ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1400-1413
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ С НЕГЛАДКОЙ
БОКОВОЙ ГРАНИЦЕЙ НА ПЛОСКОСТИ
© 2022 г. К. Д. Федоров
Рассмотрена первая начально-краевая задача для однородных параболических систем вто-
рого порядка с Дини-непрерывными коэффициентами в полуограниченной области Ω на
плоскости с криволинейной боковой границей, негладкой при t = 0. Доказано существо-
вание решения этой задачи в классе C2,1x,t(Ω) с помощью метода граничных интегральных
уравнений.
DOI: 10.31857/S0374064122100090, EDN: KQURND
Введение. Предметом исследования в настоящей работе является первая начально-крае-
вая задача с нулевым начальным условием для однородной параболической системы второго
порядка (одномерной по пространственной переменной x) с Дини-непрерывными коэффи-
циентами в полуограниченной области Ω на плоскости с криволинейной боковой границей
(см. ниже условие (1)), допускающей наличие “клюва” при t = 0. Методом граничных инте-
гральных уравнений строится решение поставленной задачи из класса C2,1(Ω), которое имеет
представление в виде специального параболического потенциала.
Если боковая граница области достаточно гладкая, а именно, из класса H1+α/2[0, T ], где
0 < α < 1, и коэффициенты параболической системы из класса Гёльдера, то для любой правой
части ψ граничного условия первого рода из класса H1+α/2[0, T ] согласно [1] (см. также [2,
0
c. 706]) существует единственное решение такой задачи в классе H2+α,1+α/2(Ω).
0
Если боковая граница области представляет собой негладкую кривую из класса H1/2+ω[0,T ]
(ω - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини), то для любой ψ, имеющей
непрерывную дробную производную порядка 1/2, равную нулю при t = 0, согласно [3-5] су-
ществует единственное регулярное решение первой начально-краевой задачи в классе C1,0(Ω).
0
В настоящей статье рассматривается промежуточный случай условия на правую часть ψ ∈
∈ C1[0,T] и доказывается, что (несмотря на негладкость при t = 0 боковой границы области)
0
существует решение поставленной задачи из класса C2,1(Ω). Ранее этот результат был получен
0
в [6] для параболической системы с постоянными коэффициентами.
Работа состоит из четырёх пунктов. В п. 1 вводятся основные функциональные простран-
ства, ставится первая начально-краевая задача и формулируется основная теорема 1. В п. 2
исследуется гладкость специального параболического потенциала и доказывается теорема 2,
которая имеет самостоятельный интерес, так как может быть использована в других начально-
краевых задачах. Доказательству однозначной разрешимости системы интегральных уравне-
ний Вольтерры первого рода, к которой редуцируется исходная задача, посвящён п. 3. В п. 4
приведено доказательство теоремы 1 о существовании решения поставленной задачи в классе
C2,1(Ω).
1. Предварительные сведения и формулировка основного результата. Фиксируем
числа T > 0 и m ∈ N. Введём пространства: C[0, T ] - пространство непрерывных (вектор-)
1400
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1401
функций ψ : [0, T ] → Rm с нормой ∥ψ; [0, T ]∥0 := max
|ψ(t)|; C[0, T ] = {ψ ∈ C[0, T ] : ψ(0) =
t∈[0,T ]
0
= 0}; C1[0, T ] = {ψ ∈ C[0, T ] : ψ′ ∈ C[0, T ]} с нормой ∥ψ; [0, T ]∥1 := max
|ψ(t)| + max |ψ′(t)|;
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
C1[0,T] = {ψ ∈ C1[0,T] : ψ(0) = ψ′(0) = 0}.
0
На плоскости R2 переменных x и t рассматриваем полосу
D := {(x, t) ∈ R2 : x ∈ R,
0 < t ≤ T}.
Пусть Ω - произвольная область из D. Через C2,1x,t(Ω) обозначим пространство (вектор-)
функций u, непрерывных и ограниченных вместе со своими первыми по x, t и второй про-
изводной по x в Ω, с нормой
∑
∂ku
∂u
∥u; Ω∥2,1 :=
sup
x,t)
sup
x,t)
+
.
(x,t)∈Ω
∂xk(
(x,t)∈Ω
∂t(
k=0
Введём пространство
C2,1(Ω) = {u ∈ C2,1x,t(Ω) : ∥u;Ω∥(2) < ∞}, где
|Δtux(x, t)|
∥u; Ω∥(2) := ∥u; Ω∥2,1 +
sup
,
(x,t),(x,t+Δt)∈Ω
|Δt|1/2
|Δt|=0
и подпространство
C2,1(Ω) = {u ∈
C2,1(Ω) : u(x,0) = ux(x,0) = uxx(x,0) = ut(x,0) = 0}.
0
Под значениями (вектор-) функций и их производных на границе области понимаем их
предельные значения “изнутри” области.
Под принадлежностью вектор-функции некоторому функциональному пространству пони-
мается тот факт, что все её элементы принадлежат соответствующему пространству.
Для любой матрицы B (или вектора b) под |B| (соответственно |b|) понимаем максимум
из модулей элементов B (компонент b).
Рассмотрим область Ω вида
Ω = {(x,t) ∈ D : x > g(t)}
c боковой границей Σ = {(x, t) ∈ D : x = g(t)},
ω(t1/2)
g ∈ C[0,T]
⋂C1(0,T], |g′(t)| ≤
,
0<t≤T,
(1)
t1/2
где ω - некоторый модуль непрерывности.
Модулем непрерывности, согласно [7, c. 150-151], называем функцию ω : [0, +∞)→[0, +∞),
обладающую свойствами: ω(0) = 0; ω не убывает на [0, +∞); ω непрерывна на [0, +∞); ω
полуаддитивна, а именно ω(z1 + z2) ≤ ω(z1) + ω(z2) для любых z1, z2 ∈ [0, +∞).
Отметим известные свойства модуля непрерывности (см. [7, c. 151-153]): для любого n ∈ N
верно ω(nz) ≤ nω(z), где z > 0; функция ω(z)/z, z > 0, почти убывает, а именно ω(z2)/z2 ≤
≤ 2ω(z1)/z1, если z2 ≥ z1 > 0. Кроме того (см. [8]), для любого c > 0 существует число C > 0
такое, что справедлива оценка
{
}
{
}
x2
cx2
ω(|x|) exp
-c
≤ Cω(t1/2)exp
-
t
2 t
для x ∈ R, t > 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1402
ФЕДОРОВ
В полосе D рассмотрим равномерно параболический по Петровскому (см. [9]) оператор
∑
∂u
∂ku
Lu =
- Ak(x,t)
,
u = (u1,u2,...,um)т, m ≥ 1,
∂t
∂xk
k=0
где Ak = ∥aijk∥mi,j=1, k = 0, 1, 2, - m × m-матрицы, элементы которых - вещественнозначные
функции, определённые в D и удовлетворяющие условиям:
(a) для собственных чисел μr матрицы A2 выполнены неравенства Re μr(x, t) ≥ δ, для
некоторого δ > 0 и всех (x, t) ∈ D, r = 1, m;
(b) aijk ∈ C0(D) и справедливы оценки
|Δx,taijk(x, t)| ≤ ω0(|Δx| + |Δt|1/2), (x, t) ∈ D, i, j = 1, m, k = 0, 1, 2,
где ω0 - модуль непрерывности, удовлетворяющий условию
∫z
∫
y
ω
0(z) = y-1 dy ω0(ξ)ξ-1 dξ < +∞, z > 0,
0
0
и для некоторого ε0 ∈ (0, 1) функция ν(z) = ω0(z)z-ε0 , z > 0, почти убывает, а именно,
существует число C > 0 такое, что ν(z1) ≤ Cν(z2), z1 ≥ z2 > 0.
Ставится задача: найти функцию u ∈ C(Ω), являющуюся регулярным решением первой
начально-краевой задачи
Lu = 0, (x,t) ∈ Ω; u|t=0 = 0, x ≥ g(0); u|Σ = ψ(t), t ∈ [0,T].
(2)
Рассмотрим функцию (см. [10, c. 296-297])
∫
1
Z(x, t; A2(ξ, τ)) =
eiσx exp{-σ2A2(ξ,τ)t}dσ, t > 0,
0 ≤ τ ≤ T, x,ξ ∈ R,
2π
−∞
для которой справедливы следующие неравенства:
|∂kt∂lxZ(x, t; A2(ξ, τ))| ≤ Ct-(2k+l+1)/2 exp{-cx2/t},
(3)
ω0(|Δξ| + |Δτ|1/2)
|Δξ,τ ∂kt∂lxZ(x, t; A2(ξ, τ))| ≤ C
exp{-cx2/t},
(4)
t(2k+l+1)/2
k,l ≥ 0, x,ξ,ξ + Δξ ∈ R, τ,τ + Δτ ∈ [0,T], t > 0.
Известно (см. [11], если m = 1, и [12], если m ≥ 2), что при выполнении условий (a),
(b) существует фундаментальная матрица решений Γ(x, t; ξ, τ), (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t > τ,
системы Lu = 0 и для неё имеют место оценки
|∂kt∂lxΓ(x, t; ξ, τ)| ≤ C(t - τ)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)2/(t - τ)},
(5)
2k + l ≤ 2, (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t > τ. Кроме того, для функции
W (x, t; ξ, τ) = Γ(x, t; ξ, τ) - Z(x - ξ, t - τ; A2(ξ, τ))
справедливы неравенства
|∂kt∂lxW (x, t; ξ, τ)| ≤ C ω0((t - τ)1/2)(t - τ)-(2k+l+1)/2 exp{-c(x - ξ)2/(t - τ)},
(6)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1403
2k + l ≤ 2, (x, t; ξ, τ) ∈ D × D, t > τ, и
|Δt∂lxW (x, t; ξ, τ)| ≤ C(Δt)1-l/2 ω0((t - τ)1/2)(t - τ)-3/2 exp{-c(x - ξ)2/(t - τ)},
(7)
l = 0,1, x,ξ ∈ R, 0 ≤ τ < t < t + Δt ≤ T, Δt ≤ t - τ. Здесь и далее через C, c обозначаем
положительные постоянные, зависящие от T, δ, коэффициентов оператора L и функции ω
из условия (1).
Пусть
+∞
Y (x, t; g(τ), τ) =
Γ(x, t; g(τ) - r, τ) dr, (x, t) ∈ D.
(8)
0
Основным результатом работы является следующая
Теорема 1. Пусть выполнены условия (1), (a), (b). Тогда для любой функции ψ ∈ C1[0, T ]
0
решением задачи (2) является (векторный) параболический потенциал
∫t
u(x, t) = Y (x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ, (x, t) ∈ Ω,
(9)
0
где ϕ ∈ C[0, T ] - единственное в пространстве C[0, T ] решение граничного интегрального
0
уравнения Вольтерры первого рода
t
∫
Y (g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ = ψ(t), t ∈ [0, T ].
(10)
0
При этом u
C
2,1(Ω) и справедлива оценка
0
∥u; Ω∥(2) ≤ C∥ψ∥1.
(11)
Замечание (см. [6]). Если некоторая функция v
C
2,1(Ω) и ψ(t) = v(g(t), t), то ψ ∈
0
∈ C1[0,T].
0
2. Специальный параболический потенциал. Заметим, что из (1) следует неравенство
(t + Δt) - g(t)
2|Δt|1/2ω((|Δt|)1/2),0 ≤ t, t + Δt ≤ T.
(12)
g
≤
Пусть
+∞
Yj(x,t;g(τ),τ) =
Γ(x, t; g(τ) + (-1)j r, τ) dr, (x, t) ∈ D, j = 1, 2.
0
Определим для (вектор-) плотности ϕ ∈ C[0, T ] параболические потенциалы Sjϕ, j = 1, 2,
формулами
∫t
Sjϕ(x,t) = Yj(x,t;g(τ),τ)ϕ(τ)dτ, (x,t) ∈ D, j = 1,2.
0
Заметим, что для любой ϕ ∈ C[0, T ] имеют место соотношения
S1ϕ ∈ C2,1(Ω), L(S1ϕ) = 0 в Ω,
S2ϕ ∈ C2,1(D \ Ω), L(S2ϕ) = 0 в D \ Ω.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1404
ФЕДОРОВ
Докажем, что справедлива следующая
Лемма 1. Пусть выполнены условия (1), (a), (b). Тогда для любой функции ϕ ∈ C[0, T ]
справедливы оценки
∂kSjϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0t1-k/2, k = 0, 1, (x, t) ∈ D, j = 1, 2;
(13)
≤
∂xk
∂2S1ϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0, (x, t) ∈ Ω,
(14)
≤
∂x2
∂2S2ϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0, (x, t) ∈ D \ Ω;
≤
∂x2
∂S1ϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0|Δt|1/2, (x, t), (x, t + Δt) ∈ Ω,
(15)
Δ
t
≤
∂x
∂S2ϕ
t
(x, t)
C∥ϕ∥0|Δt|1/2, (x, t), (x, t + Δt) ∈ D \ Ω.
Δ
≤
∂x
Кроме того, если ϕ(0) = 0, то
∂2S1ϕ
(x, t)
Cωϕ(t), (x,t) ∈ Ω,
(16)
≤
∂x2
∂2S2ϕ
(x, t)
Cωϕ(t), (x,t) ∈ D \ Ω,
≤
∂x2
где ωϕ - модуль непрерывности функции ϕ на отрезке [0, T ].
Доказательство. Утверждение леммы достаточно доказать для потенциала S1ϕ, для
потенциала S2ϕ доказательство проводится аналогично.
Оценка (13) сразу следует из (5):
∫t
∂kSjϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0
(t - τ)-k/2 dτ ≤ C∥ϕ∥0t1-k/2, j = 1, 2, k = 0, 1.
≤
∂xk
0
Докажем (14). Представим S1ϕ(x, t) в виде
∫t
∫
S1ϕ(x,t) = ϕ(τ)dτ
Z(x - g(τ) + r, t - τ; A2(g(t), t)) dr +
0
0
∫t
∫
+ ϕ(τ) dτ
{(Z(x - g(τ) + r, t - τ; A2(g(τ) - r, τ)) -
0
0
− Z(x - g(τ) + r,t - τ;A2(g(t),t))) + W(x,t;g(τ) - r,τ)}dr ≡ S(1)1ϕ(x,t) + S(2)1ϕ(x,t).
Для слагаемого S(1)1ϕ справедлива оценка (см. [6])
∂2S(1)1ϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0, (x, t) ∈ Ω.
≤
∂x2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1405
Для слагаемого S(2)1ϕ из оценок (4), (6) имеем
∫
t
∂2S(2)1ϕ
ω0((t - τ)1/2)
(x, t)
C∥ϕ∥0
dτ ≤ Cω0(t1/2)∥ϕ∥0.
≤
∂x2
t-τ
0
Если, кроме того, ϕ(0) = 0, то, используя неравенство
|ϕ(τ)| = |ϕ(τ) - ϕ(0)| ≤ ωϕ(τ) ≤ ωϕ(t),
получим неравенство (16).
Докажем теперь (15). Достаточно рассмотреть Δt > 0. При Δt ≥ t неравенство (15)
следует из оценки (13) для k = 1. В случае 0 < Δt < t положим
∫
∂S1ϕ
∂Y1
Δt
(x, t) =
(x, t + Δt; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ -
∂x
∂x
t-Δt
∫t
∫
∂Y1
∂Y1
−
(x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ +
Δt
(x, t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ ≡
∂x
∂x
t-Δt
0
≡ J1(x,t,Δt) + J2(x,t,Δt) + J3(x,t,Δt).
Оценим слагаемое J1 :
∫
∫
∂Γ
|J1(x, t, Δt)| ≤
|ϕ(τ)| dτ
x,t + Δt;g(τ) - r,τ)
r≤
d
∂x(
t-Δt
0
∫
1
≤ C∥ϕ∥0
dτ ≤ C∥ϕ∥0|Δt|1/2, (x, t) ∈ Ω.
(t + Δt - τ)1/2
t-Δt
Интеграл J2 оценивается аналогично.
Рассмотрим теперь
∫
∫
{
∂Z
J3(x,t,Δt) =
ϕ(τ) dτ
Δt ∂x(x-g(τ)+r,t-τ;A2(g(τ)-r,τ))+
0
0
}
)
∂W
+Δt
(x, t; g(τ) - r, τ) dr
∂x
Из неравенств (3), (7), (12) и оценки (a - b)2 ≥ a2/2 - b2, a, b ∈ R, получаем
∫
∫
t
)
1
ω0((t - τ)1/2)
|J3(x, t, Δt)| ≤ C∥ϕ∥0 Δt
dτ + (Δt)1/2
dτ
≤
(t - τ)3/2
t-τ
0
0
≤ C∥ϕ∥0|Δt|1/2, (x,t) ∈ Ω.
Лемма доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1406
ФЕДОРОВ
Лемма 2. Пусть выполнены условия (1), (a), (b). Тогда для любой ϕ ∈ C[0, T ] функции
∫t
∂2Yj
Rjϕ(t) :=
(g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ, t ∈ [0, T ], j = 1, 2,
(17)
∂x2
0
непрерывны.
Доказательство. Достаточно показать, что функция R1ϕ непрерывна, доказательство
для функции R2ϕ проводится аналогично. Пусть 0 < t ≤ T. Положим
t
∫t
∫
∂Z
R1ϕ(t) = -
(g(t) - g(τ), t - τ; A2(g(t), t))ϕ(τ) dτ + K(g(t), t; τ)ϕ(τ) dτ,
(18)
∂x
0
0
где
+∞
(∂2Z
K(x, t; τ) =
(x - g(τ) + r, t - τ; A2(g(τ) - r, τ)) -
∂x2
0
)
∂2Z
∂2W
-
(x - g(τ) + r, t - τ; A2(g(t), t)) +
(x, t; g(τ) - r, τ) dr.
(19)
∂x2
∂x2
Имеем (см. [6])
∂Z
ω(τ1/2)
g(t) - g(τ), t - τ; A2(g(t), t))
C
≤
∂x(
τ1/2(t - τ)1/2
Кроме того, из оценок (4), (6) получаем
ω0((t - τ)1/2)
(x, t; τ)
C
,
(x, t) ∈ Ω.
(20)
K
≤
t-τ
Поэтому
(
)
∂2Y1
ω(τ1/2)
ω0((t - τ)1/2)
g(t), t; g(τ), τ)
C
+
,
(21)
≤
∂x2 (
τ1/2(t - τ)1/2
t-τ
следовательно, интеграл R1ϕ(t) сходится и имеет место оценка
(
)
|R1ϕ(t)| ≤ C∥ϕ∥0 ω(t1/2) +ω0(t1/2)
Из последнего неравенства следует, в частности, что
R1ϕ(0) = lim
R1ϕ(t) = 0.
(22)
t→+0
Докажем непрерывность функции R1ϕ на промежутке (0, T ]. Фиксируем произвольно
значение t1 ∈ (0, T ) и рассмотрим последовательность функций
∫
∂2Y1
R1,nϕ(t) =
(g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ, t ∈ [t1, T ], n ∈ N.
∂x2
0
Не ограничивая общности, считаем, что 1/n2 < t1/2. Тогда (R1,nϕ(t))n∈N - последователь-
ность функций, непрерывных на отрезке [t1, T ]. Достаточно проверить, что R1,nϕ(t)→R1ϕ(t),
n → ∞, равномерно по t ∈ [t1,T]. Для этого достаточно показать, что R1,nϕ(t)-R1ϕ(t) → 0,
n → ∞, равномерно по t ∈ [t1,T].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1407
Из оценки (21) получаем
∫
t
∂2Y1
|R1,nϕ(t) - R1ϕ(t)| =
(g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ
≤
∂x2
t-1/n2
∫t
(
)
ω(τ1/2)
ω0((t - τ)1/2)
≤C
+
|ϕ(τ)| dτ ≤
τ1/2(t - τ)1/2
t-τ
t-1/n2
∫
t
)
(
)
1/2
(ω(t
)
dτ
1
1
≤ C∥ϕ∥0
+ ω0(1/n)
≤ C(t1)∥ϕ∥0
+ω0(1/n)
,
(t - τ)1/2
n
t1/2
1
t-1/n2
откуда следует требуемое равномерное стремление к нулю при n → ∞. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть выполнены условия (1), (a), (b) и ϕ ∈ C[0, T ]. Тогда для любого t0 ∈
∈ (0, T ] имеют место соотношения (см. (17))
∂2S1ϕ
1
lim
(x, t) =
A-12(g(t0),t0)ϕ(t0) + R1ϕ(t0),
(23a)
(x,t)→(g(t0),t0)
∂x2
2
(x,t)∈Ω
∂2S2ϕ
1
lim
(x, t) = -
A-12(g(t0),t0)ϕ(t0) + R2ϕ(t0).
(23b)
(x,t)→(g(t0),t0)
∂x2
2
(x,t)∈D\Ω
Если, кроме того, ϕ(0) = 0, то формулы (23a), (23b) справедливы и для t0 = 0.
Доказательство. Достаточно доказать формулу (23a), формула (23b) доказывается ана-
логично. Фиксируем произвольно t0 ∈ (0, T ] и положим (см. (19)), что
t
∫
∂2S1ϕ
∂Z
(x, t) = -
(x - g(τ), t - τ; A2(g(t0), t0))ϕ(τ) dτ +
∂x2
∂x
0
∫t(
)
∂Z
∂Z
+
(x - g(τ), t - τ; A2(g(t0), t0)) -
(x - g(τ), t - τ; A2(g(t), t)) ϕ(τ) dτ +
∂x
∂x
0
∫t
+ K(x,t;τ)ϕ(τ)dτ ≡ I1(x,t) + I2(x,t) + I3(x,t), (x,t) ∈ Ω.
0
Для слагаемого I1(x, t) справедливо соотношение (см. [6])
t0
∫
1
∂Z
lim
I1(x,t) =
A-12(g(t0),t0)ϕ(t0)-
(g(t0)-g(τ), t0 -τ; A2(g(t0), t0))ϕ(τ) dτ. (24)
(x,t)→(g(t0),t0)
2
∂x
(x,t)∈Ω
0
Рассмотрим I2(x, t). Из представления (см. [13])
∂Z
x
(x, t; A2(ξ, τ)) = -
A-12(ξ,τ)Z(x,t;A2(ξ,τ)), x,ξ ∈ R, t > 0,
0≤τ ≤T,
∂x
2t
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1408
ФЕДОРОВ
оценки (4) и условия (a) на коэффициенты системы получаем неравенство
{∫t
|x - g(τ)|
|I2(x, t)| ≤ C
|Z(x - g(τ), t - τ; A2(g(t0), t0)) - Z(x - g(τ), t - τ; A2(g(t), t))| dτ +
t-τ
0
∫t
}
|x - g(τ)|
+ ω0((t - t0)1/2)
|Z(x - g(τ), t - τ; A2(g(t), t)) dτ|
≤
t-τ
0
∫t
{
}
|x - g(τ)|
(x - g(τ))2
≤ Cω0((t - t0)1/2)
exp
-c
dτ ≤
(t - τ)3/2
t-τ
−∞
≤ Cω0((t - t0)1/2) → 0, t → t0, (x,t) ∈ Ω.
Рассмотрим интеграл I3(x, t). Обозначим t1 = t0/2. Пусть ε > 0 - фиксированное произ-
вольное число. Для 0 < δ1 < t1 положим
∫t0
∫
t
I3(x,t) - K(g(t0),t0;τ)ϕ(τ)dτ =
K(x, t; τ)ϕ(τ) dτ -
0
t-δ1
∫t0
∫
∫
)
− K(g(t0),t0;τ)ϕ(τ)dτ +
K(x, t; τ)ϕ(τ) dτ -
K(g(t0), t0; τ)ϕ(τ) dτ
≡
t0-δ1
0
0
≡ J1(x,t) - J1(g(t0),t0) + (J2(x,t) - J2(g(t0),t0)).
Из оценки (20) следует, что
∫t
ω0((t - τ)1/2)
|J1(x, t)| ≤ C
|ϕ(τ)| dτ ≤ C∥ϕ∥0 ω0(δ1/21).
t-τ
t-δ1
Аналогично
∫t0
ω0((t0 - τ)1/2)
|J1(g(t0), t0)| ≤ C
|ϕ(τ)| dτ ≤ C∥ϕ∥0 ω0(δ1/21).
t0 - τ
t0-δ1
Выбрав δ1 достаточно малым, имеем |J1(x, t)| < ε/4,
|J1(g(t0), t0)| < ε/4.
Для выбранного δ1 рассмотрим теперь J2(x, t). В силу непрерывности подынтегральной
функции по x, t, τ и непрерывности по t верхнего предела собственного интеграла J2(x, t)
получаем, что существует δ2 > 0 такое, что выполняется неравенство
|J2(x, t) - J2(g(t0), t0)| < ε/2,
если |x - g(t0)| < δ2, |t - t0| < δ2.
Таким образом,
lim
I3(x,t) = I3(g(t0),t0).
(x,t)→(g(t0),t0)
(x,t)∈Ω
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1409
Отсюда и из (24) получаем окончательно (см. (18))
0
∫
t
∂2S1ϕ
1
∂Z
lim
(x, t) =
A-12(g(t0),t0) -
(g(t0) - g(τ), t0 - τ; A2(g(t0), t0))ϕ(τ) dτ +
(x,t)→(g(t0),t0)
∂x2
2
∂x
(x,t)∈Ω
0
∫t0
1
+ K(g(t0),t0;τ)ϕ(τ)dτ =
A-12(g(t0),t0)ϕ(t0) + R1ϕ(t0),
2
0
и формула (23a) доказана в случае t0 ∈ (0, T ].
Если t0 = 0 и ϕ(0) = 0, то (23a) следует из оценки (16) и равенства (22). Лемма доказана.
Из лемм 1-3 следует
Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), (a), (b) и ϕ ∈ C[0, T ]. Тогда S1ϕ ∈
C
2,1(Ω),
0
0
S2ϕ
C
2,1(D \ Ω) и имеют место оценки
0
∥S1ϕ; Ω∥(2) ≤ C∥ϕ; [0, T ]∥0,
∥S2ϕ; D \ Ω∥(2) ≤ C∥ϕ; [0, T ]∥0.
3. Граничное интегральное уравнение.
Лемма 4. Пусть выполнены условия (1), (a), (b). Тогда для любой функции ψ ∈ C1[0, T ],
ψ(0) = 0, интегральное уравнение Вольтерры
t
∫
Y (g(t), t; g(τ), τ)ϕ(τ) dτ = ψ(t), t ∈ [0, T ],
(25)
0
имеет единственное в пространстве C[0,T] решение ϕ ∈ C[0,T] и справедлива оценка
∥ϕ∥0 ≤ C∥ψ∥1.
(26)
Если, кроме того, ψ ∈ C1[0, T ], то ϕ ∈ C[0, T ].
0
0
Доказательство. Учитывая определение (8), запишем уравнение (25) в виде
∫
t
∫
ϕ(τ) dτ
Γ(g(t), t; g(τ) - r, τ) dr = ψ(t), t ∈ [0, T ].
(27)
0
0
Применим к обеим частям этого соотношения оператор дифференцирования по t:
+∞
lim ϕ(t)
Γ(g(t), t; g(τ) - r, τ) dr +
τ→t-0
0
∫t
∫
(
)
+ ϕ(τ) dτ
Γx(g(t),t;g(τ) - r,τ)g′(t) + Γt(g(t),t;g(τ) - r,τ) dr = ψ′(t),
0≤t≤T.
0
0
Заметим, что
∫
∫
1
1
Z(r, t - τ; A2(g(τ), τ)) dr =
Z(r, t - τ; A2(g(τ), τ)) dr =
,
2
2
0
-∞
8
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1410
ФЕДОРОВ
и, кроме того, имеем (см. (3), (4), (6) и (12))
∫
{
}
Z(g(t) - g(τ) + r, t - τ; A2(g(τ) - r, τ)) - Z(r, t - τ; A2(g(τ), τ))
+
0
(
)
+ W(g(t),t;g(τ) - r,τ)dr ≤ C ω((t - τ)1/2) + ω0((t - τ)1/2)
→ 0, τ → t - 0.
В результате после дифференцирования обеих частей в (27) в силу условия ψ(0) = 0 получаем
эквивалентное (27) уравнение Вольтерры второго рода
∫t
ϕ(t) + N(t, τ)ϕ(τ) dτ = 2ψ′(t),
0≤t≤T,
(28)
0
где
+∞
N (t, τ) = 2 (Γx(g(t), t; g(τ) - r, τ)g′(t) + Γt(g(t), t; g(τ) - r, τ)) dr ≡ I1(t, τ) + I2(t, τ).
0
Докажем, что для ядра N(t, τ) справедлива оценка
{
}
ω(τ1/2)
ω0((t - τ)1/2)
|N(t, τ)| ≤ C
+
,
0≤τ <t≤T.
(29)
τ1/2(t - τ)1/2
t-τ
Действительно, из условия (1) и оценки (5) для I1(t, τ) вытекает неравенство
ω(t1/2)
ω(τ1/2)
|I1(t, τ)| ≤ C
≤C
t1/2(t - τ)1/2
τ1/2(t - τ)1/2
Рассмотрим интеграл
+∞
∫
I2(t,τ) =
Zt(g(t)-g(τ)+r,t-τ;A2(g(τ),τ))dr+ (Zt(g(t)-g(τ)+r,t-τ;A2(g(τ)-r,τ))-
0
0
− Zt(g(t) - g(τ) + r,t - τ;A2(g(τ),τ)) + Wt(g(t),t;g(τ) - r,τ))dr ≡ I21(t,τ) + I22(t,τ).
Для слагаемого I21(t, τ) справедливо неравенство (см. [6])
ω(τ1/2)
|I21(t, τ)| ≤ C
τ1/2(t - τ)1/2
Далее, из оценок (4) и (6) имеем
ω0((t - τ)1/2)
|I22(t, τ)| ≤ C
t-τ
Умножив обе части уравнения (28) на e-λt, где λ > 0 будет выбрано ниже, получим
эквивалентное уравнение
∫t
ϕ∗(t) + N∗(t, τ)ϕ∗(τ) dτ = ψ∗(t),
0≤t≤T,
(30)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1411
где
ϕ∗(t) := ϕ(t)e-λt, ψ∗(t) := 2ψ′(t)e-λt, N∗(t, τ) := N(t, τ)e-λ(t-τ).
Введём обозначение
∫t
Bλϕ∗(t) = N∗(t,τ)ϕ∗(τ)dτ,
0≤t≤T,
0
и запишем уравнение (30) в операторном виде
ϕ∗ + Bλϕ∗ = ψ∗.
(31)
Заметим, что Bλϕ∗ ∈ C[0, T ], если ϕ∗ ∈ C[0, T ]. В самом деле, в силу оценки (29) получаем
lim
Bλϕ∗(t) = 0.
t→+0
Докажем непрерывность Bλϕ∗ на (0, T ]. Фиксируем произвольно t1 ∈ (0, T ) и рассмотрим
последовательность функций
∫
Bλ,nϕ∗(t) =
N∗(t,τ)ϕ∗(τ)dτ, t ∈ [t1,T], n ∈ N.
0
Не ограничивая общности, считаем, что 1/n2 < t1/2. Тогда (Bλ,nϕ∗)n∈N - последовательность
функций, непрерывных на отрезке [t1, T ]. Докажем, что Bλ,nϕ∗(t) → Bλϕ∗(t), n → ∞, рав-
номерно по t ∈ [t1, T ]. Для этого достаточно показать, что Bλ,nϕ∗(t) - Bλϕ∗(t) → 0, n → ∞,
равномерно по t ∈ [t1, T ].
Из оценки (29) имеем
∫
t
|Bλ,nϕ∗(t) - Bλϕ∗| =
N∗(t,τ)ϕ∗(τ)dτ
≤
t-1/n2
∫t
(
)
ω(τ1/2)
ω0((t - τ)1/2)
≤C
+
|ϕ∗(τ)| dτ ≤
τ1/2(t - τ)1/2
t-τ
t-1/n2
∫
t
)
(
)
1/2
(ω(t
)
dτ
1
1
≤ C∥ϕ∗∥0
+ ω0(1/n)
≤ C(t1)∥ϕ∗∥0
+ ω0(1/n)
,
(t - τ)1/2
n
t1/2
1
t-1/n2
откуда следует требуемое равномерное стремление к нулю при n → ∞.
Покажем, что оператор Bλ : C[0, T ] → C[0, T ] будет сжимающим, если число λ > 0
выбрать достаточно большим.
Пусть ε > 0 - произвольное число. Если 0 < t ≤ ε2, то в силу (29) справедливо неравенство
|Bλϕ∗(t)| ≤ C(ω(ε) +ω0(ε))∥ϕ∗∥0.
Если t > ε2, то
{∫ε2
∫
t
ω(τ1/2)
ω(τ1/2)
|Bλϕ∗(t)| ≤ C∥ϕ∗∥0
dτ +
e-λ(t-τ) dτ +
τ1/2(t - τ)1/2
τ1/2(t - τ)1/2
0
ε2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
8∗
1412
ФЕДОРОВ
∫
∫
t
}
ω0((t - τ)1/2)
ω0((t - τ)1/2)
+
e-λ(t-τ) dτ +
dτ
≤
t-τ
t-τ
0
t-ε2
{
∫
t
}
{
}
ω(ε) + ω0(ε)
e-λ(t-τ)
ω(ε) + ω0(ε)
≤ C∥ϕ∗∥0 ω(ε)+
dτ +ω0(ε)
≤ C∥ϕ∗∥0 ω(ε)+
+ω0(ε)
ε
(t - τ)1/2
ελ1/2
0
В итоге получаем оценку
{
}
ω(ε) + ω0(ε)
|Bλϕ∗(t)| ≤ C∥ϕ∗∥0 ω(ε) +
+ ω0(ε) ,
t ∈ [0,T].
ελ1/2
Фиксируя сначала ε > 0 так, что C(ω(ε) +ω0(ε)) < 1/4, а затем выбирая λ = λ(ε) так, что
ω(ε) + ω0(ε)
1
C
<
,
ελ1/2
4
получаем окончательно ∥Bλ∥ < 1/2. Следовательно, уравнение (31) имеет единственное ре-
шение ϕ∗ ∈ C[0, T ] и справедлива оценка
∥ϕ∗∥0 ≤ C∥ψ∗∥1.
Возвращаясь к первоначальной функции ϕ, получаем первое утверждение леммы.
Если, кроме того, правая часть ψ ∈ C1[0, T ], то из вида уравнения (30) делаем вывод, что
0
ϕ∗ ∈ C[0, T ] и, следовательно, ϕ ∈ C[0, T ]. Лемма доказана.
0
0
4. Доказательство теоремы 1. Ищем решение u задачи (2) в виде (векторного) пара-
болического потенциала (9) с плотностью ϕ ∈ C[0, T ], подлежащей определению. Тогда для
0
любой ϕ ∈ C[0, T ] функция u удовлетворяет уравнению и начальному условию из (2). Под-
ставив (9) в граничное условие из (2), для определения неизвестной плотности ϕ ∈ C[0, T ]
имеем интегральное уравнение Вольтерры первого рода (10). Из леммы 4 следует, что это
уравнение имеет единственное решение ϕ ∈ C[0, T ] и справедлива оценка (26).
0
Подставив решение ϕ уравнения (10) в выражение (9) для u(x, t), получим, что опреде-
лённая таким образом функция u является решением задачи (2). При этом из теоремы 2 и
неравенства (26) следует, что u
C
2,1(Ω) и верна оценка (11). Теорема 1 доказана.
0
Автор выражает глубокую благодарность проф. Е.А. Бадерко за постановку задачи и по-
стоянное внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных
уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.
2. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-
раболического типа. М., 1967.
3. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях
с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379-381.
4. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coecients
// Appl. Anal. 2021. V. 100. № 13. P. 2900-2910.
5. Бадерко Е.А., Сахаров С.И. Единственность решений начально-краевых задач для параболических
систем с Дини-непрерывными коэффициентами в плоских областях // Докл. РАН. 2022. Т. 503.
№ 2. С. 26-29.
6. Федоров К.Д. О первой начально-краевой задаче для модельной параболической системы в области
с криволинейными боковыми границами // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 12. С. 1623-1634.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
ГЛАДКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
1413
7. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.
8. Камынин Л.И. Гладкость тепловых потенциалов в пространстве Дини-Гёльдера // Сиб. мат. журн.
1970. Т. 11. № 5. C. 1017-1045.
9. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными
в области неаналитических функций // Бюлл. Московского гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 7.
C. 1-72.
10. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.
11. Бадерко Е.А. О потенциалах для 2p-параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1983.
Т. 19. № 1. С. 9-18.
12. Зейнеддин М. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго порядка
в классах Дини // Деп. в ВИНИТИ РАН. 16.04.92. № 1294-В92.
13. Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго поряд-
ка // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 02.09.88. № 6850-В88.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 24.07.2022 г.
имени М.В. Ломоносова,
После доработки 24.07.2022 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 15.08.2022 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
