ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1414-1430

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.72

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Рассмотрены вопросы корректной разрешимости начальных задач для вольтерровых инте-

гро-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве с ядрами интегральных

операторов, представимыми интегралами Стилтьеса. Использованный в работе подход свя-

зан с применением теории полугрупп операторов.

DOI: 10.31857/S0374064122100107, EDN: KQURSV

Введение. В работе предлагается метод сведения исходной начальной задачи для аб-

страктного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения второго порядка в сепара-

бельном гильбертовом пространстве к начальной задаче для системы операторно-дифферен-

циальных уравнений первого порядка в ортогональной сумме гильбертовых пространств. Воз-

никающий при этом линейный оператор в расширенном гильбертовом пространстве является

максимально диссипативным и, следовательно, генератором сильно непрерывной сжимающей

полугруппы. Полученные результаты базируются на классических результатах теории полу-

групп линейных операторов в банаховых пространствах, изложенных в монографиях [1] и [2].

Устанавливается связь между классическими решениями начальной задачи для операторно-

дифференциального уравнения первого порядка в расширенном гильбертовом пространстве и

начальной задачи для исходного абстрактного вольтеррова интегро-дифференциального урав-

нения.

Упомянутое абстрактное интегро-дифференциальное уравнение может быть реализовано,

в частности, как интегро-дифференциальное уравнение в частных производных следующе-

го вида:

u_tt(x,t) = ρ-1[μΔu(x,t) + (μ + λ)grad (div u(x,t))] -

∫t

∫

− K(t - τ)ρ-1μ[Δu(x,τ) + grad(divu(x,τ))]dτ - Q(t - τ)ρ-1λgrad(divu(x,τ))dτ +f(x,t),

-∞

где t > 0, u = u(x, t) ∈ R³ - вектор малых перемещений вязкоупругой изотропной среды,

заполняющей ограниченную область Ω ⊂ R³ с гладкой границей ρ, постоянная плотность

ρ > 0, λ, μ - положительные параметры (коэффициенты Ламе) (см. [3, с. 129-130; 4, с. 54]).

Предполагается, что на границе области Ω выполнены условия Дирихле: u|∂Ω = 0. Функции

ядер интегральных операторов K(t), Q(t) - положительные невозрастающие суммируемые

функции, характеризующие наследственные свойства среды.

К рассматриваемому классу уравнений относятся также интегро-дифференциальные урав-

нения Гуртина-Пипкина, описывающие процесс распространения тепла в средах с памятью.

В качестве ядер интегральных операторов могут быть рассмотрены, в частности, суммы убы-

вающих экспонент или суммы функций Работнова с положительными коэффициентами, име-

ющие широкое применение в теории вязкоупугости и теории распространения тепла.

Результаты настоящей статьи являются развитием и обобщением результатов, полученных

в работах [5-8].

1. Определения, обозначения и постановка задачи. Пусть H - сепарабельное гиль-

бертово пространство, A - самосопряжённый положительный оператор A^∗ = A ≥ κ₀I (κ₀ >

> 0), действующий в пространстве H, I - тождественный оператор в пространстве H. Пусть

1414

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1415

B - самосопряжённый неотрицательный оператор, действующий в пространстве H с областью

определения D(B) такой, что D(A) ⊆ D(B), удовлетворяющий неравенству ∥Bx∥ ≤ κ∥Ax∥,

0 < κ < 1, для любого x ∈ D(A).

Рассмотрим следующую задачу для интегро-дифференциального уравнения второго по-

рядка на положительной полуоси R₊ = (0, ∞):

∫

∫t

d²u(t)

+ (A + B)u(t) - K₁(t - s)Au(s) ds - K₂(t - s)Bu(s) ds = f(t), t ∈ R₊,

(1)

dt²

u(+0) = ϕ₀, u⁽¹⁾(+0) = ϕ₁, u(t) = ϕ(t), t ∈ [l, 0],

-∞ ≤ l ≤ 0,

(2)

где ϕ(0) = ϕ₀, ϕ⁽¹⁾(0) = ϕ₁. Предположим, что ядра интегральных операторов K_i(t), i =

= 1, 2, имеют представление

+∞

K_i(t) =

e^-tτ dμ_i(τ), i = 1,2,

(3)

где dμ_i (i = 1, 2) - положительная мера, порождаемая неубывающей, непрерывной справа

функцией μ_i. Интеграл (3) понимается в смысле Стилтьеса. Будем предполагать, что функции

μ_i (i = 1,2) представляют собой суммы абсолютно непрерывных функций и функций скачков

(ступенчатых функций), в которых сингулярная компонента отсутствует. Кроме того, будем

считать, что выполнены условия

∫

dμ_i(τ)

< 1, i = 1, 2.

(4)

Введём обозначения

+∞

e^-tτ dμ_i(τ)

M_i(t) :=

t ≥ 0, i = 1,2.

(5)

(

∫

)

(

∫

)

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

A₀ :=

A+ 1-

Замечание 1. Из свойств операторов A и B и неравенства Гайнца (см. [1, с. 177-179])

следует, что оператор A₀ является обратимым, операторы Q₁ := A1/2A-1/20, Q₂ := B1/2A-1/20

допускают ограниченное замыкание в пространстве H, A-10 - ограниченный оператор.

Превратим область определения D(Aβ0) оператора Aβ0, β > 0, в гильбертово пространст-

во H_β, вводя на D(Aβ0) норму ∥ · ∥_β = ∥Aβ0 · ∥, эквивалентную норме графика оператора Aβ0.

Определение 1. Назовём вектор-функцию u(t) классическим решением задачи (1), (2),

если u(t) ∈ C²(R₊, H), Au(t), Bu(t) ∈ C(R₊, H) и u(t) удовлетворяет уравнению (1) для

каждого значения t ∈ R₊ и начальным условиям (2).

Через Ω_k обозначим пространства L2μk (R₊, H) вектор-функций на полуоси R₊ = (0, ∞)

со значениями в H, снабжённые нормами

∫

)1/2

∥u∥Ωk =

∥u(s)∥2H dμ_k(s)

Эти пространства являются сепарабельными гильбертовыми (см., например, [9, с. 148]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1416

ВЛАСОВ, РАУТИАН

Сформулируем теоремы из монографии [1], необходимые для доказательства результатов

данной работы.

Пусть A - замкнутый линейный оператор в гильбертовом пространстве H с плотной

областью определения D(A).

Определение 2 (см. [1, с. 38-39, 58]). Задача Коши

Z(t) = AZ(t),

(6)

Z(0) = Z₀

(7)

называется корректной (равномерно корректной), если

1) для любого Z₀ ∈ D(A) существует единственное решение задачи (6), (7);

2) это решение непрерывно зависит от начальных данных в следующем смысле: из того,

что Z_n(0) → 0 (Z_n(0) ∈ D(A)) вытекает, что Z_n(t) → 0 при каждом t ∈ [0, T ] (равномерно

по t) на любом конечном интервале [0, T ].

Замечание 2. Если задача Коши (6), (7) порождает сжимающую полугруппу в простран-

стве H, то эта задача равномерно корректна.

Теорема 1.1 (см. [1, с. 41]). Если задача Коши (6), (7) корректна, то её решение даётся

формулой Z(t) = S(t)Z₀ (Z₀ ∈ D(A)), где S(t) - сильно непрерывная при t > 0 полугруппа

операторов.

Теорема 6.5 (см. [1, с. 166]). Если задача Коши (6), (7) равномерно корректна, то формула

∫t

Z(t) = S(t)Z₀ + S(t - p)F (p) dp

(8)

даёт решение задачи Коши для неоднородного уравнения

Z(t) = AZ(t) + F (t)

с условием

Z(0) = Z₀,

(9)

где Z₀ ∈ D(A) и вектор-функция F (t) удовлетворяет одному из условий:

1) значения функции F(t) ∈ D(A) и функция AF(t) ∈ C(R₊,H);

2) функция F (t) ∈ C¹(R₊, H).

2. Сведение исходной задачи к дифференциальному уравнению первого поряд-

ка. Введём новые переменные

v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t),

∫t

e-(t-s)τ

ξ_k(t,τ) =

ds, t > 0, τ > 0, k = 1, 2.

√τQkA0/2 dds

Тогда задача (1), (2) формально может быть приведена к следующей начальной задаче для

системы дифференциальных уравнений первого порядка:

[

∫

∞

]

∑

dv(t)

dξ₀(t)

+A1/2

ξ₀(t) +

= f₁(t),

= A1/20v(t),

√τQkξ^k(t,τ)dμk(τ)

k=1 0

dξ₁(t, τ)

ξ₂(t,τ)

(10)

√τQ1A0/2v(t)-τξ1(t,τ),d

√τQ2A0/2v(t)-τξ2(t,τ),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1417

где t > 0, τ > 0,

∫

)

e-(t-l)τ

f₁(t) = f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l),

v(t)|t=0 = ϕ₁, ξ₀(t)|t=0 = A1/20ϕ₀,

∫0

e^sτ

ϕ(s)

ξ_k(t,τ)|t=0 =

ds, k = 1, 2.

(11)

√τQkA0/2 d

Теперь мы должны, во-первых, “превратить” задачу (10), (11) в начальную задачу в некото-

ром расширенном функциональном пространстве, в котором она будет корректной, во-вторых,

установить соответствие (не только формальное) между решением задачи (10), (11) и реше-

нием исходной задачи (1), (2).

3. Задача Коши в расширенном гильбертовом пространстве. Определим линейный

оператор умножения на независимую переменную в пространстве Ω_k, k = 1, 2.

Определение 3 (см. [2, с. 31]). Оператор умножения на независимую переменную T_k :

Ω_k → Ω_k, k = 1,2, определяется следующим образом:

T_kξ(τ) = τξ(τ), ξ(τ) ∈ D(T_k), τ > 0,

(12)

где область определения D(T_k) имеет вид

D(T_k) = {ξ ∈ Ω_k : τξ(τ) ∈ Ω_k}.

(13)

Введём операторы B_k : H → Ω_k, k = 1, 2, действующие следующим образом:

B_kv =

√τQkv,k=1,2,τ>0.

Тогда сопряжённые операторы B^∗k : Ω_k → H, k = 1, 2, имеют вид

∞

∫

B^∗kξ(τ) = Q^∗k

√τξ(τ)dμk(τ),k=1,2.

Действительно, для любых функций v ∈ D(B_k), ξ(τ) ∈ Ω_k справедлива цепочка равенств

∫

B_kv,ξ(τ)

√τQkv,ξ(τ)

√τQkv,ξ(τ)dμk(τ)=H

Ω_k

∫

= v,Q^∗k

= 〈v, B^∗kξ(τ)〉_H .

√τξ(τ)dμk(τ)

Введём гильбертово пространство H = H

^⊕H^⊕(⊕2k=1Ω_k), снабжённое нормой

∑

∥(v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))∥2H = ∥v∥2H + ∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k(τ)∥2 ,

Ω_k

τ > 0,

k=1

которое будем называть расширенным гильбертовым пространством.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1418

ВЛАСОВ, РАУТИАН

Рассмотрим линейный оператор A в пространстве H с областью определения

{

D(A) = (v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ)) ∈ H : v ∈ H1/2,

}

∑

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) ∈ H1/2, ξ_k(τ) ∈ D(T_k), k = 1,2

k=1

действующий следующим образом:

(

[

]

∑

)т

A(v, ξ₀, ξ₁(τ), ξ₂(τ))^т =

-A1/2

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) ,A1/20v,B_kA1/20v - T_kξ_k(τ)

k = 1,2.

k=1

Таким образом, оператор A можно записать в виде произведения операторных матриц

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

A1/20

-I

-B∗1

-B∗2

A1/20

⎜₀

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

⎝₀

⎠

B₁

-T₁

⎝₀

⎠^.

B₂

-T₂

В работе [6] показано, что при выполнении условий (4) оператор A в пространстве H с

плотной областью определения D(A) максимально диссипативен и, следовательно, является

генератором сжимающей C₀-полугруппы S(t) = etA в пространстве H.

Введём четырёхкомпонентные векторы вида

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)) ∈ H, Z₀ = (v₀, ξ₀₀, ξ₁₀(τ), ξ₂₀(τ)) ∈ H

и рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения

Z(t) = AZ(t) + F (t),

(14)

Z(0) = Z₀.

(15)

Определение 4. Вектор-функция Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)) ∈ D(A), t ∈ [0, +∞),

принимающая значения в пространстве H, называется классическим решением задачи (14),

(15), если она принадлежит классу C¹(R₊, H)

^⋂C([0,+∞),D(A)) при любом τ > 0 и удовле-

творяет уравнению (14) и начальному условию (15).

4. Теоремы о корректной разрешимости задачи (14), (15). Предположим, что вы-

полнены следующие

Условия (CS):

F (t) := (f₁(t), 0, 0, 0), f₁(t) = f(t) - (M₁(t - l)A + M₂(t - l)B)ϕ(l),

где l - заданное число, -∞ ≤ l ≤ 0; f(t) ∈ C(R+,H) - заданная вектор-функция; Mk(·),

k = 1,2, определяются формулами (5); ϕ₀ ∈ H₁, ϕ₁ ∈ H₁ - заданные векторы; вектор-

функция Z₀ = (ϕ₁, A1/20ϕ₀, ξ₀₁(τ), ξ₀₂(τ)) ∈ D(A), где функции ξ0k(τ), k = 1, 2, определяются

по формулам

∫0

e^sτ

ϕ(s)

ξ0k(τ) :=

ds, τ > 0, k = 1, 2;

√τQkA0/2 d

вектор-функция ϕ(t) задана при t ∈ [l, 0],

-∞ ≤ l ≤ 0, причём ϕ(t) ∈ H₁, ϕ^′(t) ∈ H₁ при

t ∈ [l,0], ϕ(t) ∈ C([l,0],H₁), ϕ⁽¹⁾(t) ∈ C([l,0],H₁), ϕ(0) = ϕ₀, ϕ⁽¹⁾(0) = ϕ₁ и, кроме того,

lim[Aϕ(t)] = 0,

-∞ ≤ l < 0.

t→l

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1419

Теорема 1 (о корректной разрешимости (общий случай)). Пусть выполнены условия (4),

(CS) и любое из условий:

1) вектор-функция f₁(t) ∈ H1/2 и A1/20f₁(t) ∈ C(R₊, H);

2) вектор-функция f₁(t) ∈ C¹(R₊, H).

Тогда задача (14), (15) имеет единственное классическое решение

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)),

где v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t), u(t) - классическое решение задачи (1), (2) с соответ-

ствующими данными f(t), ϕ(t), ϕ₀, ϕ₁, и справедлива оценка

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤

[

∫



∑

²

e^sτ

ϕ(s)



≤ d ∥ϕ₁∥2H + ∥A1/20ϕ₀∥2H +



√τQkA0/2 d

Ω_k

k=1

(∫t

)₂]

∥f(s) - (M₁(s - l)A + M₂(s - l)B)ϕ(l)∥_H ds

(16)

здесь d - постоянная, не зависящая от вектор-функции f и векторов ϕ₀, ϕ₁.

Сформулируем также важные частные случай теоремы 1.

Теорема 2 (о корректной разрешимости (частный случай l = 0)). Пусть выполнено усло-

вие (4), данные задачи (14), (15) удовлетворяют условиям

F (t) := (f₁(t), 0, 0, 0), f₁(t) = f(t) - (M₁(t)A + M₂(t)B)ϕ₀,

где f(t) ∈ C(R₊, H) - заданная вектор-функция, M_k(·), k = 1, 2, определяются формулами

(5), ϕ₀ ∈ H₁, ϕ₁ ∈ H₁ - заданные векторы, вектор-функция Z₀ = (ϕ₁, A1/20ϕ₀, 0, 0) ∈ D(A),

и выполнено любое из следующих условий:

1) вектор-функция f(t) ∈ H1/2 и A1/20f(t) ∈ C(R₊, H), ϕ₀ ∈ H3/2;

2) вектор-функция f₁(t) ∈ C¹(R₊, H).

Тогда задача (14), (15) имеет единственное классическое решение

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)),

где v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t), u(t) - классическое решение задачи (1), (2) с соответ-

ствующими данными l = 0, f(t), ϕ₀, ϕ₁, и справедлива оценка

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤

[

(∫t

)₂]

≤ d ∥ϕ₁∥2H + ∥A1/20ϕ₀∥2H +

∥f(s) - (M₁(s)A + M₂(s)B)ϕ₀∥_H ds

d - постоянная, не зависящая от вектор-функции f и векторов ϕ₀, ϕ₁.

Теорема 3 (о корректной разрешимости (частный случай -∞ ≤ l < 0)). Пусть выполнено

условие (4), данные задачи (14), (15) удовлетворяют условиям: F (t) := (f(t), 0, 0, 0), где

f (t) ∈ C(R₊, H) - заданная вектор-функция, M_k(·), k = 1, 2, определяются формулами (5),

ϕ₀ ∈ H₁, ϕ₁ ∈ H₁ - заданные векторы, вектор-функция

Z₀ = (ϕ₁,A1/20ϕ₀,ξ₀₁(τ),ξ₀₂(τ)) ∈ D(A),

(17)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1420

ВЛАСОВ, РАУТИАН

где функции ξ0k(τ), k = 1, 2, определены формулами

∫0

e^sτ

ϕ(s)

ξ0k(τ) :=

ds, τ > 0, k = 1, 2,

√τQkA0/2 d

вектор-функция ϕ(t) задана при t ∈ (l, 0], причём ϕ(t) ∈ H₁, ϕ^′(t) ∈ H₁ при t ∈ (l, 0], ϕ(t) ∈

∈ C((l,0],H₁), ϕ⁽¹⁾(t) ∈ C((l,0],H₁), ϕ(0) = ϕ₀, ϕ⁽¹⁾(0) = ϕ₁, кроме того, lim[Aϕ(t)] = 0,

t→l

-∞ ≤ l < 0.

Пусть также выполнено любое из следующих условий:

1) вектор-функция f(t) ∈ H1/2 и A1/20f(t) ∈ C(R₊, H);

2) вектор-функция f(t) ∈ C¹(R₊, H).

Тогда задача (14), (15) имеет единственное классическое решение

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), ξ₂(t, τ)),

где v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t), u(t) - классическое решение задачи (1), (2) с соответ-

ствующими данными l, f(t), ϕ(t), ϕ₀, ϕ₁, и справедлива оценка

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤

[

∫



(∫t

)₂]

∑

²

e^sτ

ϕ(s)



≤ d ∥ϕ₁∥2H + ∥A1/20ϕ₀∥2H +

∥f(s)∥_H ds



√τQkA0/2 d

k=1

Ω_k

d - постоянная, не зависящая от вектор-функции f и векторов ϕ₀, ϕ₁.

Замечание 2 (достаточные условия корректной разрешимости при l = -∞). Пусть вы-

полнены условия

∫

dμ_k(τ)

< ∞, k = 1,2, p = 0,1,2,

(18)

τ^p

∫



dϕ(s)2



s < ∞.

(19)

^A

 d

−∞

Тогда справедливо условие (17). В частности, если меры dμ_k, k = 1, 2, имеют компактный

носитель, принадлежащий отрезку [d₀, d₁], где d₀ > 0, d₁ < +∞, то условия (18) выполнены.

5. Доказательство теоремы 1 о корректной разрешимости задачи (14), (15). За-

дача (14), (15) является равномерно корректной, поскольку полугруппа S(t) = etA, t > 0, -

сжимающая (см. [6]). Из условий теоремы 1 следует выполнение условий теоремы 1.1 из мо-

нографии [1] для задачи (14), (15). Таким образом, для задачи (14), (15) справедлива оценка

(

∫

)

∥Z(t)∥_H ≤ d

∥Z₀∥_H +

∥F (s)∥_H ds

(20)

где d - постоянная, не зависящая от вектор-функции F и векторов ϕ₀, ϕ₁. Оценка (20)

следует из формулы (8), применённой к задаче (14), (15), в обозначениях теоремы 1.

Покажем, что v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t), где u(t) - классическое решение зада-

чи (1), (2).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1421

Задача Коши (14), (15), записанная покоординатно, имеет вид (10), (11). Рассмотрим по-

следние два уравнения системы (10). Применим к этим уравнениям метод вариации произ-

вольных постоянных. Соответствующие однородные уравнения имеют вид

dξ_k(t, τ)

= -T_kξ_k(t,τ), t > 0.

Следовательно, по определению операторов T_kξ(τ) = τξ(τ), τ > 0, k = 1, 2, где D(T_k) =

= {ξ ∈ Ω_k : τξ ∈ Ω_k} (см. (12), (13)), общие решения однородных уравнений могут быть записа-

ны в виде ξ^Ok(t, τ) = e-tTk C_k(τ) = e^-tτ C_k(τ), где τ > 0, C_k(τ) ∈ Ω_k, k = 1, 2, - произвольные

векторы.

Применив формулу (8) для решения неоднородных уравнений при заданных начальных

условиях

∫0

e^sτ

ϕ(s)

ξ_k(t,τ)|t=0 =

ds, τ > 0, k = 1, 2,

√τQkA0/2 d

и положив v(t) = ϕ⁽¹⁾(t), ϕ(0) = ϕ₀ при t ∈ (l, 0], получим

∫t

∫

ξ_k(t,τ) = e-(t-s)Tk

√τQkA0/2v(s)ds=e-(t-s)τ

√τQkA0/2v(s)ds.

Из первого уравнения системы, согласно области определения оператора A, имеем

∞

∫

∑

ξ₀(t) +

(21)

√τQkξ^k(t,τ)dμk(τ)∈D(A0/2)^.

k=1 0

Из второго уравнения системы получаем, что

∫t

ξ₀(t) = A1/20v(s)ds + A1/20ϕ(l).

Подставив найденные выражения для функций ξ_k в (21), имеем

∫

∞

∫

∑

A1/20v(s) ds + A1/20ϕ(l) +

e-(t-s)τ

√τQk

√τQkA0/2v(s)dsdμk(τ)=

k=1 0

∫^t

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

A1/20 +

dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/2

v(s) ds + A1/20ϕ(l) ∈ D(A1/20).

k=1

По условиям теоремы 1 Aϕ(t), Bϕ(t) ограничены при t → l при фиксированном значении

параметра l,

-∞ ≤ l ≤ 0, следовательно, ϕ(l) ∈ H₁, откуда получаем

∫

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

A1/20 +

dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/2

v(s) ds ∈ D(A1/20).

k=1

Рассмотрим вектор-функцию

∫

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

-A1/20

A1/20 +

dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/2

v(s) ds =

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1422

ВЛАСОВ, РАУТИАН

∫^t

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

= -A₀

A-1/2

I+

dμ_k(τ) Q^∗Qk A1/20v(s) ds, t > 0.

(22)

k=1

Из (22) следует, что

∫

[

∫

)

]

∑

e-(t-s)τ

A-1/2

I+

dμ_k(τ) Q^∗Qk A1/20v(s) ds ∈ D(A0).

(23)

k=1

Введём обозначение

∫

)

]

[₂∑

e^-tτ

R(t) := A-1/20

dμ_k(τ) Q^∗Qk A1/20, t > 0,

k=1

тогда вектор-функцию (23) можно записать в виде

∫

v(s) ds + R(t - s)v(s) ds = y(t) ∈ D(A₀).

(24)

После интегрирования по частям в (24) получаем следующее интегральное уравнение:

∫t

∫

(∫s

)

(I + R(0)) v(s) ds + R^′(t - s)

v(s) ds ds = y(t), y(t) ∈ C(R₊; H₁),

(25)

где

∫

)

∑

R^′(t) = -A-1/20

e^-tτ dμ_k(τ) Q^∗kQ_kA1/20 =

k=1

∫

)

∫

)

= - e^-tτ dμ₁(τ) A-10A -

e^-tτ dμ₂(τ) A-10B,

∫

)

]

∫

)

∫

)

[₂∑

dμ_k(τ)

dμ₁(τ)

dμ₂(τ)

R(0) = A-1/20

Q^∗

Q_k A1/20 =

A-10A +

A-10B.

k=1

Уравнение (25) можно записать в виде

∫t

∫

(∫s

)

(I + R(0)) v(s) ds + R^′(t - s)

v(p) dp ds = y(t) - Φ(t),

(26)

где

∫0

∫

Φ(t) := (I + R(0))(ϕ(0) - ϕ(l)) + R^′(t - s)(ϕ(s) - ϕ(l)) ds + R^′(t - s)(ϕ(0) - ϕ(l)) ds,

Φ(t) ∈ D(A₀), так как заданная вектор-функция A₀ϕ(t) ∈ C([l, 0], H) по условию теоремы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1423

∫t

Введём вектор-функцию w(t) :=

v(s) ds, тогда уравнение (26) можно записать в виде

интегрального уравнения Вольтерры второго рода

∫t

(I + R(0))w(t) + R^′(t - s)w(s) ds = y(t) - Φ(t).

(27)

Покажем, что R^′(t) ∈ C(R₊; B(H₁)). Действительно, для любого z ∈ H₁ справедлива оценка



∫

)

∫

) ]



∥R^′(t)z||H1 =^

e^-tτ dμ₁(τ) A +

e^-tτ dμ₂(τ) B A-10(A₀z)

≤



∫

)

∫

)



≤

e^-tτ dμ₁(τ) AA-10 +

e^-tτ dμ₂(τ) BA-10

∥z∥H1 ≤



∫

)

∫

)

]

≤

e^-tτ dμ₁(τ) ∥AA-10||H +

e^-tτ dμ₂(τ) ∥BA-1||H

∥z∥H1 .

Таким образом, R^′(t) ∈ B(H₁). Кроме того, для любых t₁, t₂ > 0 выполняется неравенство

∫

)

∫

)

∥R^′(t₁)-R^′(t₂)||H1 ≤

(e-t1τ - e-t2τ ) dμ₁(τ)

∥AA-10||_H +

(e-t1τ - e-t2τ ) dμ₂(τ)

∥BA-10∥_H .

Следовательно, R^′(t) ∈ C(R₊; B(H₁)). Из (27) получаем

(

∫

)

w(t) = (I + R(0))-1 y(t) - Φ(t) - R^′(t - s)w(s) ds

=: Lw(t),

где оператор L : C(R₊, H₁) → C(R₊, H₁). Покажем, что ∥L∥C(R+;B(H₁)) < +∞.

Утверждение. Для любых функций w₁(t), w₂(t) ∈ H₁ и для любого T > 0 при t ∈ [0, T ]

имеет место оценка

sup

∥Lw₁(t) - Lw₂(t)||H1 ≤ κ sup ∥w₁(t) - w₂(t)||H1 ,

t∈[0,T ]

где κ = ∥(M₁(0)A + M₂(0)B)(A + B)-1∥_H < +∞, функции M_k(t), k = 1, 2, определены фор-

мулами (5).

Действительно, для любых w₁(t), w₂(t) ∈ H₁ при t > 0 имеем



∫



∥Lw₁(t) - Lw₂(t)||H1 =^(I + R(0))-1

R^′(t - s)(w₁(s) - w₂(s))ds

(28)



H₁

Далее, для любого z ∈ H₁ имеем

∥(I + R(0))-1z∥H1 = ∥A₀(I + R(0))-1A-10(A₀z)∥_H = ∥(A₀(I + R(0))A-10)-1(A₀z)∥_H .

Нетрудно проверить, используя определение оператора A₀, что A₀(I+R(0))A-10 = (A+B)A-10.

Таким образом,

∥(A₀(I + R(0))A-10)-1(A₀z)∥_H = ∥A₀(A + B)-1(A₀z)∥_H .

(29)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1424

ВЛАСОВ, РАУТИАН

∫t

Подставляя в формулу (29) z =

R^′(t - s)(w₁(s) - w₂(s))ds, учитывая представление (28)

для любого T > 0, получаем



∫



sup

∥Lw₁(t) - Lw₂(t)||H1 = sup^A₀(A + B)-1A0

R^′(t - s)(w₁(s) - w₂(s))ds

≤



t∈[0,T ]



∫



≤ A₀(A + B)-1A0

R^′(t - s)A-10 ds

up ∥w₁(t) - w₂(t)||H1 .

(30)

 s

t∈[0,T ]

Можно установить оценку



∫



sup^A₀(A + B)-1A0

R^′(t - s)A-10 ds



t∈[0,T ]

= sup ∥A₀(A + B)-1A₀(R(t) - R(0))A-10∥_H ≤ ∥A₀(A + B)-1A₀R(0)A-10∥_H.

(31)

t∈[0,T ]

Нетрудно проверить, используя определение оператора A₀, что

∥A₀(A + B)-1A₀R(0)A-10∥_H = ∥(M₁(0)A + M₂(0)B)(A + B)-1∥_H < +∞.

(32)

Действительно, справедлива цепочка равенств

A₀(A + B)-1A₀R(0)A-10 = A₀(A + B)-1A₀(M₁(0)A-10A + M₂(0)A-10B)A-10 =

= A₀(A + B)-1(M₁(0)A + M₂(0)B)A-10 = A₀(A + B)-1(A + B - A₀)A-10 =

= A₀(A + B)-1((A + B)A-10 - I) = I - A₀(A + B)-1 =

= I - (A + B - M₁(0)A - M₂(0)B)(A + B)-1 = (M₁(0)A + M₂(0)B)(A + B)-1.

Из установленных оценок (30)-(32) следует, что

sup

∥Lw₁(t) - Lw₂(t)||H1 ≤ ∥(M₁(0)A + M₂(0)B)(A + B)-1∥_H sup ∥w₁(t) - w₂(t)||H1

t∈[0,T ]

= κ sup ∥w₁(t) - w₂(t)∥H1,

t∈[0,T ]

где κ = ∥(M₁(0)A + M₂(0)B)(A + B)-1∥_H < +∞. Отсюда для любого n ∈ N получаем нера-

венство

κⁿTⁿ

sup

∥Lⁿw₁(t) - Lⁿw₂(t)||H1 ≤

sup ∥w₁(t) - w₂(t)∥H1 .

t∈[0,T ]

Таким образом, значение n можно выбрать настолько большим, что κⁿTⁿ/n! < 1. Следо-

вательно, ∥Lⁿ∥C([0,T];B(H1)) < 1, т.е. отображение Lⁿ : C([0, T ], H1) → C([0, T ], H1) является

сжимающим, и уравнение (27) имеет единственное решение w(t) ∈ C([0, T ], H₁). В силу про-

извольности T > 0 отсюда получаем, что решение w(t) ∈ C([0, +∞), H₁). Тогда

∫

v(s) ds = v(s) ds + v(s) ds = ϕ^′(s) ds + w(t) = ϕ(0) - ϕ(l) + w(t) ∈ C([0, +∞), H₁).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1425

Вернёмся к первому уравнению системы (10) и воспользуемся тем, что

∫

v(s) ds ∈ C([0, +∞), H₁).

Справедлива следующая цепочка равенств:

[

∫

∞

]

∫

∞

)

∑

e-(t-l)τ

-A1/20 ξ₀(t) +

Q^∗

+f(t)-

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l) =

√τξk(t,τ)dτ

k=1

[∫t

∫

∞

∫

]

∑

e-(t-s)τ

= -A1/20

A1/20v(s) ds + A1/20ϕ(l) +

Q^∗

Q_kA1/20v(s)ds dμ_k(τ)

k=1

∫

∞

)

e-(t-l)τ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l) =

[∫ t

∫

∞

∫

∞

∫

]

e-(t-s)τ

= - A₀v(s)ds + A₀ϕ(l) +

Av(s) ds dμ₁(τ) +

Bv(s)ds dμ₂(τ)

∫

∞

)

e-(t-l)τ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l).

(33)

С помощью замены переменной v(t) := u^′(t), u(t) = ϕ(t), t ∈ [l, 0], u(+0) = ϕ₀, ϕ(0) = ϕ₀ в

выражении (33) и формулы интегрирования по частям получим

∞

[∫ t

∫

]

e-(t-s)τ

− A₀u^′(s)ds + A₀ϕ(l) +

Au^′(s) ds dμ₁(τ) +

Bu^′(s)ds dμ₂(τ)

∫

∞

)

e-(t-l)τ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l) =

∞

[

∫

]

e-(t-s)τ

= - A₀u(t) +

dμ₁(τ)Au^′(s) ds +

dμ₂(τ)Bu^′(s) ds

∫

∞

)

e-(t-l)τ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l) =

∫

)



∫

∞

e-(t-s)τ

^t



= -A₀u(t) -

dμ₁(τ) Au(s)

e-(t-s)τ dμ₁(τ)Au(s)ds -



∫

)



∫

∞

e-(t-s)τ

^t



dμ₂(τ) Bu(s)

e-(t-s)τ dμ₂(τ)Bu(s)ds +



ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1426

ВЛАСОВ, РАУТИАН

∫

∞

)

e-(t-l)τ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l) =

(∫∞

)

(∫∞

)

dμ₁(τ)

e-(t-l)τ

= -A₀u(t) -

Au(t) +

dμ₁(τ) Au(l) +

∫t

∫

∞

(∫∞

)

dμ₂(τ)

e-(t-s)τ dμ₁(τ)Au(s)ds -

Bu(t) +

∫

)

∫

∞

e-(t-l)τ

dμ₂(τ) Bu(l) +

e-(t-s)τ dμ₂(τ)Bu(s)ds +

∫

∞

)

e-(t-l)τ

+ f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l) =

∫

)

∫

)

dμ₁(τ)

e-(t-l)τ

= -A₀u(t) -

Au(t) +

dμ₁(τ) Aϕ(l) +

∫t

∫

∞

(∫∞

)

∫

)

dμ₂(τ)

e-(t-l)τ

e-(t-s)τ dμ₁(τ)Au(s)ds -

Bu(t) +

dμ₂(τ) Bϕ(l) +

∞

∫t

∫

)

e-(t-l)τ

e-(t-s)τ dμ₂(τ)Bu(s)ds + f(t) -

dμ₁(τ)A +

dμ₂(τ)B ϕ(l) =

∫^t

∫

= -(A + B)u(t) + K₁(t - s)Au(s)ds + K₂(t - s)Bu(s)ds + f(t).

Таким образом, полученное уравнение совпадает с интегро-дифференциальным уравне-

нием (1) с начальными условиями (2). Следовательно, u(t) - классическое решение задачи

(1), (2). Более того, выполнение условий теоремы 1 обеспечивает выполнение условий теоре-

мы 6.5 из работы [1, с. 166], и тогда оценка (16) следует из оценки (20). Теорема 1 доказана.

Доказательства теорем 2, 3 повторяют доказательство теоремы 1 при l = 0 и -∞ ≤ l <

< 0 соответственно.

Доказательство замечания 2. Условие (17) равносильно выполнению условий

∫

∞

)

∑

(∫⁰ e^sτ

A1/20ϕ₀ +

ds dμ_k(τ) ∈ D(A1/20),

√τQk

√τQkA0/2 d

k=1 0

-∞

∫

e^sτ

ϕ(s)

ds ∈ Ω_k,

√τe^sτ Q_kA1/2 dϕ(s)0

ds ∈ Ω_k, k = 1, 2.

√τQkA0/2 d

−∞

-∞

По условию теоремы 3 ϕ₀ ∈ H₁ и ϕ⁽¹⁾(t) ∈ C((-∞, 0], H₁). Отсюда, используя неравенство

Гёльдера, получаем оценки



∫

∞

(∫0

)



1/2

e^sτ

ϕ(s)



ds dμ₁(τ)

≤

^A



√τQ1

√τQ1A0/2 d

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1427

∫∞(∫0



⁾ dμ₁(τ)

1/2

≤

e^sτ

Q∗1Q₁A1/2 dϕ(s)0



≤

A



-∞

∫∞(∫0

)1/2(∫



)1/2

∫

∞

(∫0



)1/2



dϕ(s)2

dμ₁(τ)



dϕ(s)2



≤

e2sτ ds

≤C₁

^A



^A

 d

τ3/2

-∞

поскольку A1/20Q∗1Q₁A1/20 = A. Аналогично рассматриваем случай k = 2. Справедливы сле-

дующие оценки:

∫

∞



∫



∫

∞

(∫0



)1/2



e^sτ

ϕ(s)

²

dμ_k(τ)



²

1/2 dϕ(s)



ds

μ_k(τ) ≤ C₂



 d

^A

 d

√τQkA0/2 d

τ²

-∞

∫

∞



∫



∫

∞

(∫0



)1/2



²



²

1/2 dϕ(s)



√τe^sτ Q_kA1/2 dϕ(s)0

ds

μ_k(τ) ≤ C₃ dμ_k(τ)



k = 1,2,



 d

A

 d

-∞

где C_i > 0 (i = 1, 2, 3) - некоторые константы. Таким образом, условия (18), (19) являются

достаточными для выполнения условия (17).

6. Примеры.

Пример 1. Рассмотрим функции

)

(j-1∑

μ₁(τ) =

a_k χ[βj-1,β_j)(τ),

k=0

)

(j-1∑

μ₂(τ) =

b_k χ[βj-1,β_j)(τ), τ ∈ [βj-1,β_j), j = 1,N (или j ∈ N),

k=0

где a₀ = 0, b₀ = 0, a_k > 0, b_k ≥ 0, χ[βj-1, β_j )(τ) - характеристические функции интервалов

[βj-1, β_j ), 0 ≤ βj-1 < βj, β0 = 0.

Тогда ядра интегральных операторов имеют представления

∑

K₁(t) =

a_je-βjt, K₂(t) =

b_je-βjt

j=1

и условия (4) принимают вид

∑

a_j

b_j

< 1,

< 1.

β_j

j=1

∑

a_j

b_j

M₁(t) =

e-βjt, M₂(t) =

e-βjt,

β_j

j=1

∫

)1/2

∑

∥ξ∥Ω1 =

∥ξ(s)∥2H dμ₁(s)

a_n∥ξ_n∥²

n=1

∫

)1/2

∑

∥ξ||Ω2 =

∥ξ(s)∥2H dμ₂(s)

b_n∥ξ_n∥²

n=1

где ξ_n = ξ(β_n) ∈ H, n ∈ {1, . . . , N}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

9^∗

1428

ВЛАСОВ, РАУТИАН

В этом случае задача (14), (15) может быть записана следующим образом:

[

]

∑

dv(t)

a_j

b_j

dξ₀(t)

+A1/2

ξ₀(t) +

√ Q∗1ξ1j(t) +

√

Q∗2ξ2j(t) = f1(t),

= A1/20v(t),

β_j

j=1

dξ1j (t)

√

Q₁A1/20v(t) - β_jξ1j(t,τ),dξ2j(t)

√ Q₂A1/20v(t) - β_jξ2j(t,τ), j = 1,N,

β_j

∫0

eβjs

ϕ(s)

v(t)|t=0 = ϕ₁, ξ₀(t)|t=0 = A1/20ϕ₀, ξ_kj(t)|t=0 =

ds, k = 1, 2, j = 1, N,

√β_j Q^kA0/2 d

)

∑

a_j

b_j

f₁(t) = f(t) -

e-βj(t-l)A +

e-βj(t-l)B ϕ(l).

β_j

j=1

Оценка (16) в этом случае имеет вид

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤

[

∫



∑

²

e^sτ

ϕ(s)



≤ d ∥ϕ₁∥2H + ∥A1/20ϕ₀∥2H +



√τQ1A0/2 d

k=1

Ω_k

(∫t



)₂]



∑



e-βj(s-l)



(s) -

(a_j A + b_jB)ϕ(l)

^f

 d

β_j

j=1

Пример 2. Рассмотрим функции

∑

K₁(t) =

a_jЭα-1(-β_j,t), K₂(t) =

b_jЭα-1(-β_j,t),

j=1

где 0 < α < 1, a_j > 0, b_j ≥ 0,

0 ≤ βj-1 < β_j, j = 1,N, β₀ = 0,

∑

(-β_j )ⁿt^nα

Эα-1(-βj , t) := tα-1

j = 1,N,

Γ[(n + 1)α]

n=0

- функции Работнова (см. [10, с. 36]), Γ(·) - гамма-функция. Функции Работнова имеют сле-

дующие интегральные представления (см. [10, с. 29]):

∫

sin(πα)

e^-tτ dτ

Эα-1(-βj , t) =

0 < α < 1, j = 1,N.

τ^α + 2β_j cos(πα) + β2jτ^-α

Тогда

(

)

sin(πα)

∑

a_j

dμ₁(τ) =

dτ,

τ^α + 2β_j cos(πα) + β2j

τ^-α

j=1

)

∑

sin(πα)

b_j

dμ₂(τ) =

dτ,

τ^α + 2β_j cos(πα) + β2j

τ^-α

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ВОЛЬТЕРРОВЫХ УРАВНЕНИЙ

1429

+∞

∫

∑

e^-tτ

dμ₁(τ)

M₁(t) =

= a_j Эα-1(-β_j,s)ds,

j=1

+∞

∫

∑

e^-tτ

dμ₂(τ)

M₂(t) =

= b_j Эα-1(-β_j,s)ds.

j=1

Условия (4) принимают вид

∑

a_j

b_j

< 1,

< 1.

β_j

j=1

В этом случае задача (14), (15) имеет представление

[

∫

]

∑

dv(t)

(a_j Q∗1ξ₁(t, τ) + b_jQ∗2ξ₂(t, τ)) dτ

+A1/2

ξ₀(t) +

= f₁(t), t > 0,

√τ(τα + 2β_j cos(πα) + β2jτ-α)

j=1 0

dξ₀(t)

= A1/20v(t),

dξ₁(t, τ)

ξ₂(t,τ)

√τQ1A0/2v(t)-τξ1(t,τ),d

√τQ2A0/2v(t)-τξ2(t,τ),τ>0,

∫0

e^sτ

ϕ(s)

v(t)|t=0 = ϕ₁, ξ₀(t)|t=0 = A1/20ϕ₀, ξ_k(t, τ)|t=0 =

ds, k = 1, 2,

√τQkA0/2 d

∫

)

∑

f₁(t) = f(t) -

Эα-1(-β_j,s)ds (a_jA + b_jB)ϕ(l)

j=1

t-l

Оценка (16) принимает вид

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤

[

∫



∑

²

e^sτ

ϕ(s)

≤ d ∥ϕ₁∥2H + ∥A1/20ϕ₀∥2H +



ds



√τQ1A0/2 d

Ω_k

k=1

(∫t



∫

)



)₂]



∑



(s) -

Эα-1(-β_j,τ)dτ (a_jA + b_jB)ϕ(l)

^f



j=1

s-l

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Министерства науки и высше-

го образования Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра

фундаментальной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284 и при частич-

ной финансовой поддержке Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского

университета “Математические методы анализа сложных систем”.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1430

ВЛАСОВ, РАУТИАН

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М., 1967.

2. Engel K.J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York, 2000.

3. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., 1970.

4. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York; London, 1971.

5. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.

М., 2016.

6. Власов В.В., Раутиан Н.А. О вольтерровых интегро-дифференциальных уравнениях с ядрами,

представимыми интегралами Стилтьеса // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 4. С. 536-551.

7. Раутиан Н.А. Полугруппы, порождаемые вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнени-

ями // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 9. С. 1226-1244.

8. Раутиан Н.А. О свойствах полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными

уравнениями с ядрами, представимыми интегралами Стилтьеса // Дифференц. уравнения. 2021.

Т. 57. № 9. С. 1255-1272.

9. Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гиль-

бертовы пространства. М., 1961.

10. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 01.08.2022 г.

имени М.В. Ломоносова,

После доработки 01.08.2022 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 30.08.2022 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022