ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1431-1435

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.925

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХ

С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ

Доказана теорема о неустойчивости равновесия в автономной системе дифференциаль-

ных уравнений с интегральным инвариантом: если в некоторой окрестности B равновесия

определена функция V с неотрицательной производной

V в силу системы, причём

в некоторых точках B, сколь угодно близких к состоянию равновесия, то это равновесие

неустойчиво. В отличие от классических теорем Ляпунова-Четаева-Красовского здесь не

накладывается никаких ограничений на свойства самой функции V в окрестности поло-

жения равновесия.

DOI: 10.31857/S0374064122100119, EDN: KQYOBT

Введение. Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений

x_i = v_i(x), i = 1,n, x ∈ Rⁿ,

(1)

допускающая интегральный инвариант

∫

ρ(x) dⁿx, ρ > 0.

Как известно, плотность удовлетворяет уравнению Лиувилля

div (ρv) = 0.

Пусть x = 0 - положение равновесия: v(0) = 0. Необходимое условие существования

интегрального инварианта сводится к равенству

div v|x=0 = 0.

Наша цель - указать новые условия неустойчивости равновесия x = 0. Положим

B = {x ∈ Rⁿ : ∥x∥ < ε},

где ε - некоторое положительное число.

Дифференциальные уравнения (1) могут не определять динамическую систему в прост-

ранстве Rⁿ из-за возможности ухода её решений в бесконечность за конечное время. Чтобы

этого избежать, введём гладкую положительную функцию ρ₁ : Rⁿ → R, которая тождествен-

но равна единице в шаре B и достаточно быстро убывает на бесконечности. Замена времени

по формуле

dτ =

ρ₁

не меняет систему в области B и сохраняет фазовые траектории (и направление движения

по ним). При подходящем выборе функции ρ₁ решения новой системы дифференциальных

уравнений определены при всех τ ∈ R. Кроме того, новая система допускает интегральный

инвариант с плотностью ρ/ρ₁.

Напомним обобщённую теорему Красовского [1, с. 84; 2, с. 31] об условиях неустойчивости

равновесия x = 0 системы (1): если найдётся открытая область Ω

(0 ∈ ∂Ω) и функция

V : B → R, V (0) = 0 такие, что выполняются условия

1431

1432

КОЗЛОВ

1) V (x) > 0 в Ω,

2) V (x) ≡ 0 при всех x ∈ ∂Ω

^⋂B,

V (x) ≥ 0 при всех x ∈ Ω^⋂ B,

4) множество {x ∈ B :^V (x) = 0}^⋂ Ω не содержит целых полутраекторий {x(t), t ≥ 0}

системы,

то равновесие x = 0 неустойчиво.

В первоначальной формулировке этой теоремы предполагалось, что условие 3) выполнено

при всех x ∈ B (см. [1, с. 84]). Область Ω, очевидно, инвариантна относительно фазового

потока системы (1) (согласно условиям 1) и 2)). Собственно, область Ω определяется заданием

функции V. Формулировка четвёртого условия несколько отличается от соответствующей

формулировки в работах [1, с. 84; 2, с. 31].

Пусть теперь Ω - проколотая окрестность точки x = 0. Более точно, пусть гладкая функ-

ция V определена в шаре B и удовлетворяет условиям 1) и 3) теоремы Красовского. Если

система (1) допускает интегральный инвариант, то V - первый интеграл этой системы. Для

доказательства рассмотрим замкнутую область M_c = {x ∈ Rⁿ : V (x) ≤ c}, где c - малое поло-

жительное число. Так как V (0) = 0, то (по условию 1)) V - гладкая непостоянная функция.

По теореме Сарда почти все значения этой функции являются регулярными. В частности, для

почти всех c граница M_c представляет собой гладкое замкнутое регулярное многообразие.

По теореме Гаусса поток векторного поля ρv через границу M_c равен

∫

div (ρv) dⁿx = 0.

(2)

Так как ρ > 0, то (по условию 3)) векторное поле ρv либо касается ∂M_c, либо направлено

наружу от границы M_c. С учётом (2) поле ρv тогда должно касаться ∂M_c. Так как множество

регулярных значений {c} функции V всюду плотно, то по непрерывности V будет первым

интегралом.

В частности, функция V будет функцией Ляпунова и, следовательно, равновесие x = 0

устойчиво. Таким образом, в самом простом случае (когда область Ω совпадает с B \ {0})

теорема Красовского не применима к системам с интегральным инвариантом.

Если условие 3) теоремы Красовского заменить более сильным условием

> 0 в Ω \ {0}

(тогда условие 4) будет лишним), то система (1) будет иметь асимптотическую траекторию,

которая выходит из положения равновесия [1, с. 77]. Следует иметь ввиду, что неустойчивость

положения равновесия ещё не означает наличие асимптотически выходящих траекторий. В ра-

боте [3] указаны контрпримеры для размерности фазового пространства n ≥ 3 (при n = 2

всегда имеется асимптотическая траектория, выходящая из неустойчивого изолированного

равновесия [4, с. 78]). В статье [5] установлено, что аналитическая система дифференциаль-

ных уравнений в трёхмерном фазовом пространстве с изолированной особой точкой всегда

имеет хотя бы одну асимптотическую траекторию (входящую или выходящую). Частичное

распространение этого результата на случай нечётного n ≥ 5 показано в работах [3, 6].

1. Теорема о неустойчивости. Для систем с инвариантной мерой можно указать иные

условия неустойчивости состояний равновесия.

Теорема. Если найдётся гладкая функция V : B → R такая, что:

V (x) ≥ 0 при всех x ∈ B,

V (ξ) > 0 при некоторых ξ из сколь угодно малой окрестности точки x = 0,

то равновесие x = 0 неустойчиво.

Главное отличие от классических теорем Ляпунова-Четаева-Красовского о неустойчивости

состоит в том, что здесь не накладывается никаких ограничений на свойства самой функции V

в окрестности положения равновесия. Кроме того, не предполагается выполненным условие 4)

теоремы Красовского.

Следствие. Если найдётся аналитическая функция V : B → R такая, что

≥ 0 и

≡ 0, то равновесие неустойчиво.

Доказательство теоремы. По приведённым во введении данным можно считать, что

фазовый поток системы (1) определён при всех t ∈ R. По теореме Э. Хопфа решения с почти

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХ

1433

всеми начальными данными либо уходят на бесконечность, либо бесконечно много раз сколь

угодно близко подходят к своей начальной точке, причём это свойство имеет место как при

t → +∞, так и при t → -∞. В первом случае теорема доказана: решение с почти каждым

начальным условием x(0) = ξ покинет область B. Рассмотрим второй случай, когда

V (ξ) > 0

и решение с начальным условием ξ не покидает область B. Воспользуемся равенством

∫^t

V (x(t)) - V (x(0)) =

V (x(t)) dt ≥ 0.

С другой стороны, при приближении x(t) к точке ξ, где

V (ξ) > 0,

интеграл справа заведомо увеличивается всегда на малую, но на одну

и ту же положительную константу. Это легко выводится из теоремы

о выпрямлении фазовых траекторий в окрестности неособой точки

x = ξ (рисунок).

Следовательно, V (x(t)) → +∞ при t → ±∞, откуда вытекает,

что решение с почти каждым начальным данным ξ за конечное время

покинет область B. Теорема доказана.

Замечание 1. Пусть все решения системы (1) определены на всей

оси времени R = {t} и найдётся гладкая функция V : Rⁿ → R такая,

Рисунок. Фазовые тра-

˙ (x) ≥ 0. Тогда решения системы (1) с почти всеми начальными ектории в окрестности

что

неособой точки ξ.

данными из области {x ∈ Rⁿ :

V (x) > 0} уходят на бесконечность

при t → +∞ и t → -∞.

Из этого утверждения с учётом замечаний из введения вытекает сформулированная выше

теорема.

Замечание 2. Предположим, что система (1) допускает непостоянный интеграл f : Rⁿ →

→ R (как, например, в гамильтоновых системах). Пусть f(0) = 0 и f может принимать

значения разных знаков в сколь угодно малой окрестности точки x = 0. Если найдётся функ-

ция V : B → R такая, что:

V (x) ≥ 0 в области Ω = B ^⋂ {f(x) > 0},

V (ξ) > 0 для некоторых сколь угодно малых ξ из области Ω,

то равновесие x = 0 неустойчиво.

Это утверждение доказывается точно так же, как и теорема с учётом инвариантности

области {f(x) > 0}. Конечно, в условии 1) в качестве инвариантной можно взять область

{f(x) < 0}.

Замечание 3. Пусть выполнены условия 1)-3) теоремы Красовского и

V (x) > 0 в неко-

торых точках Ω

^⋂B, сколь угодно близких к началу координат. Тогда x = 0 - неустойчивое

равновесие.

Доказательство неустойчивости основано на тех же соображениях, что и доказательство

теоремы, и использует инвариантность области Ω.

2. Примеры.

2.1. Рассмотрим динамику частицы на плоскости в соленоидальном силовом поле. Её урав-

нения движения имеют следующий вид:

∂W

x₁ =

x₂ = -

∂W .

∂x₂

∂x₁

Фазовый поток сохраняет стандартную форму объёма в четырёхмерном фазовом пространстве

{x, x}. Пусть W - ненулевой однородный многочлен по x₁ и x₂ степени n ≥ 2. Тогда (по

формуле Эйлера)

(x₁x₂ - x₁ x₂)^· = nW.

Если W ≥ 0 (или W ≤ 0), то (по доказанной теореме) положение равновесия x₁ = x₂ = 0

неустойчиво.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1434

КОЗЛОВ

2.2. Рассмотрим вопрос об устойчивости изолированных положений равновесия следующей

бездивергентной системы в трёхмерном евклидовом пространстве:

2x³³

x₁ = x₂ + x₁x²³,

x₂ = -x₁ + x₂x²³,

x₃ = -

(3)

Положим V = x²¹ + x²². Тогда

= 2(x²¹ + x²²)x²³.

Очевидно, что

≥ 0 и

> 0 в некоторых точках, сколь угодно близких к началу коор-

динат. Следовательно, по сформулированной выше теореме равновесие x₁ = x₂ = x₃ = 0

неустойчиво. Более того, почти все решения системы (3) уходят в бесконечность.

Стоит отметить, что вся плоскость {x3 = 0} заполнена периодическими траекториями

(следовательно, условие 4) теоремы Красовского не выполняется). Кроме того, хотя равнове-

сие неустойчиво, нет решений, асимптотически выходящих из него [3], но есть две входящие

в равновесие асимптотические траектории (как и полагается по теореме Брунеллы [5]).

2.3. Рассмотрим ещё задачу об устойчивости тривиального равновесия следующей системы

дифференциальных уравнений:

x₁ = y₁ + x₁ρ₁ρ₂,

y₁ = -x₁ + y₁ρ₁ρ₂,

x₂ = y₂ - x₂ρ₁ρ₂,

y₂ = -x₂ - y₂ρ₁ρ₂,

(4)

где ρ_k = x2k + y2k (k = 1, 2). Эта система также является бездивергентной и допускает первый

интеграл

f = (x²¹ + y²¹)(x²² + y²²).

Однако эта функция не является положительно определённой в окрестности начала координат,

и поэтому её нельзя принять за функцию Ляпунова.

Положим V = x²¹ + y²¹. Тогда

= 2(x²¹ + y²¹)²(x²² + y²²).

Следовательно (по доказанной теореме), равновесие x = y = 0 неустойчиво.

Стоит отметить инвариантность двумерных плоскостей {x₁ = y₁ = 0} и {x₂ = y₂ = 0} -

они сплошь заполнены периодическими траекториями. Как показано в [3], система (4) вообще

не допускает асимптотических траекторий (как входящих, так и выходящих из особой точки).

2.4. Наконец, рассмотрим градиентную динамическую систему

x_i =

∂ϕ , i = 1,n,

(5)

∂x_i

с гармонической функцией ϕ (Δϕ = 0). Покажем, что если ϕ = const, то почти все её

траектории выходят на бесконечность (как при t → +∞, так и при t → -∞).

Действительно, фазовый поток системы (5) сохраняет стандартную меру Лебега в прост-

ранстве Rⁿ = {x} ввиду бездивергентности её правой части:

)

^∑∂⁽∂ϕ

div =

= Δϕ = 0.

∂x_i

Положив V = ϕ, получим

∑(∂ϕ)

∂x_i

Поскольку гармоническая функция аналитична и ϕ = const, то (согласно п. 1) почти все

решения системы (5) уходят на бесконечность (возможно, за конечное время). Что и требо-

валось.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХ

1435

Множество траекторий, не уходящих в бесконечность, не сводится только к критическим

точкам функции ϕ. Каждая из невырожденных критических точек - неустойчивое равнове-

сие, и имеются траектории, асимптотически входящие в положение равновесия. Это вытекает

из аналитичности гармонической функции и отсутствия у неё точек локального максимума [7].

Отметим ещё, что в системе (5) с гармонической функцией ϕ могут быть решения, ухо-

дящие в бесконечность за конечное время, простой пример - n = 2 и ϕ = x³¹ - 3x₁x²².

Предположение о гармоничности функции ϕ существенно. Например, если ϕ = -(x, x)/2,

то все решения системы (5) стремятся к равновесию x = 0 при t → +∞.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 21-71-

30011).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости. М., 1959.

2. Карапетян А.В. Устойчивость и бифуркация движений. М., 2020.

3. Kozlov V.V., Treschev D.V. Instability, asymptotic trajectories and dimension of the phase space

// Moscow Math. J. 2018. V. 18. № 4. P. 681-692.

4. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л., 1949.

5. Brunella M. Instability of equilibria in dimension three // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1998. V. 48.

№ 5. P. 1345-1357.

6. Козлов В.В. Первые интегралы и асимптотические траектории // Мат. сб. 2020. Т. 211. № 1. С. 32-

59.

7. Козлов В.В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа-Дирихле

// Прикл. математика и механика. 1986. Т. 50. № 6. С. 928-937.

Математический институт

Поступила в редакцию 09.08.2022 г.

имени В.А. Стеклова РАН, г. Москва,

После доработки 09.08.2022 г.

Ярославский государственный университет

Принята к публикации 30.08.2022 г.

имени П.Г. Демидова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022