ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1431-1435
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.925
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХ
С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ИНВАРИАНТОМ
© 2022 г. В. В. Козлов
Доказана теорема о неустойчивости равновесия в автономной системе дифференциаль-
ных уравнений с интегральным инвариантом: если в некоторой окрестности B равновесия
определена функция V с неотрицательной производной
V в силу системы, причём
V
>0
в некоторых точках B, сколь угодно близких к состоянию равновесия, то это равновесие
неустойчиво. В отличие от классических теорем Ляпунова-Четаева-Красовского здесь не
накладывается никаких ограничений на свойства самой функции V в окрестности поло-
жения равновесия.
DOI: 10.31857/S0374064122100119, EDN: KQYOBT
Введение. Рассматривается автономная система дифференциальных уравнений
xi = vi(x), i = 1,n, x ∈ Rn,
(1)
допускающая интегральный инвариант
∫
ρ(x) dnx, ρ > 0.
Как известно, плотность удовлетворяет уравнению Лиувилля
div (ρv) = 0.
Пусть x = 0 - положение равновесия: v(0) = 0. Необходимое условие существования
интегрального инварианта сводится к равенству
div v|x=0 = 0.
Наша цель - указать новые условия неустойчивости равновесия x = 0. Положим
B = {x ∈ Rn : ∥x∥ < ε},
где ε - некоторое положительное число.
Дифференциальные уравнения (1) могут не определять динамическую систему в прост-
ранстве Rn из-за возможности ухода её решений в бесконечность за конечное время. Чтобы
этого избежать, введём гладкую положительную функцию ρ1 : Rn → R, которая тождествен-
но равна единице в шаре B и достаточно быстро убывает на бесконечности. Замена времени
по формуле
1
dτ =
dt
ρ1
не меняет систему в области B и сохраняет фазовые траектории (и направление движения
по ним). При подходящем выборе функции ρ1 решения новой системы дифференциальных
уравнений определены при всех τ ∈ R. Кроме того, новая система допускает интегральный
инвариант с плотностью ρ/ρ1.
Напомним обобщённую теорему Красовского [1, с. 84; 2, с. 31] об условиях неустойчивости
равновесия x = 0 системы (1): если найдётся открытая область Ω
(0 ∈ ∂Ω) и функция
V : B → R, V (0) = 0 такие, что выполняются условия
1431
1432
КОЗЛОВ
1) V (x) > 0 в Ω,
2) V (x) ≡ 0 при всех x ∈ ∂Ω
⋂B,
3)
V (x) ≥ 0 при всех x ∈ Ω⋂ B,
4) множество {x ∈ B :V (x) = 0}⋂ Ω не содержит целых полутраекторий {x(t), t ≥ 0}
системы,
то равновесие x = 0 неустойчиво.
В первоначальной формулировке этой теоремы предполагалось, что условие 3) выполнено
при всех x ∈ B (см. [1, с. 84]). Область Ω, очевидно, инвариантна относительно фазового
потока системы (1) (согласно условиям 1) и 2)). Собственно, область Ω определяется заданием
функции V. Формулировка четвёртого условия несколько отличается от соответствующей
формулировки в работах [1, с. 84; 2, с. 31].
Пусть теперь Ω - проколотая окрестность точки x = 0. Более точно, пусть гладкая функ-
ция V определена в шаре B и удовлетворяет условиям 1) и 3) теоремы Красовского. Если
система (1) допускает интегральный инвариант, то V - первый интеграл этой системы. Для
доказательства рассмотрим замкнутую область Mc = {x ∈ Rn : V (x) ≤ c}, где c - малое поло-
жительное число. Так как V (0) = 0, то (по условию 1)) V - гладкая непостоянная функция.
По теореме Сарда почти все значения этой функции являются регулярными. В частности, для
почти всех c граница Mc представляет собой гладкое замкнутое регулярное многообразие.
По теореме Гаусса поток векторного поля ρv через границу Mc равен
∫
div (ρv) dnx = 0.
(2)
Mc
Так как ρ > 0, то (по условию 3)) векторное поле ρv либо касается ∂Mc, либо направлено
наружу от границы Mc. С учётом (2) поле ρv тогда должно касаться ∂Mc. Так как множество
регулярных значений {c} функции V всюду плотно, то по непрерывности V будет первым
интегралом.
В частности, функция V будет функцией Ляпунова и, следовательно, равновесие x = 0
устойчиво. Таким образом, в самом простом случае (когда область Ω совпадает с B \ {0})
теорема Красовского не применима к системам с интегральным инвариантом.
V
Если условие 3) теоремы Красовского заменить более сильным условием
> 0 в Ω \ {0}
(тогда условие 4) будет лишним), то система (1) будет иметь асимптотическую траекторию,
которая выходит из положения равновесия [1, с. 77]. Следует иметь ввиду, что неустойчивость
положения равновесия ещё не означает наличие асимптотически выходящих траекторий. В ра-
боте [3] указаны контрпримеры для размерности фазового пространства n ≥ 3 (при n = 2
всегда имеется асимптотическая траектория, выходящая из неустойчивого изолированного
равновесия [4, с. 78]). В статье [5] установлено, что аналитическая система дифференциаль-
ных уравнений в трёхмерном фазовом пространстве с изолированной особой точкой всегда
имеет хотя бы одну асимптотическую траекторию (входящую или выходящую). Частичное
распространение этого результата на случай нечётного n ≥ 5 показано в работах [3, 6].
1. Теорема о неустойчивости. Для систем с инвариантной мерой можно указать иные
условия неустойчивости состояний равновесия.
Теорема. Если найдётся гладкая функция V : B → R такая, что:
1)
V (x) ≥ 0 при всех x ∈ B,
2)
V (ξ) > 0 при некоторых ξ из сколь угодно малой окрестности точки x = 0,
то равновесие x = 0 неустойчиво.
Главное отличие от классических теорем Ляпунова-Четаева-Красовского о неустойчивости
состоит в том, что здесь не накладывается никаких ограничений на свойства самой функции V
в окрестности положения равновесия. Кроме того, не предполагается выполненным условие 4)
теоремы Красовского.
V
Следствие. Если найдётся аналитическая функция V : B → R такая, что
≥ 0 и
V
≡ 0, то равновесие неустойчиво.
Доказательство теоремы. По приведённым во введении данным можно считать, что
фазовый поток системы (1) определён при всех t ∈ R. По теореме Э. Хопфа решения с почти
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХ
1433
всеми начальными данными либо уходят на бесконечность, либо бесконечно много раз сколь
угодно близко подходят к своей начальной точке, причём это свойство имеет место как при
t → +∞, так и при t → -∞. В первом случае теорема доказана: решение с почти каждым
начальным условием x(0) = ξ покинет область B. Рассмотрим второй случай, когда
V (ξ) > 0
и решение с начальным условием ξ не покидает область B. Воспользуемся равенством
∫t
V (x(t)) - V (x(0)) =
V (x(t)) dt ≥ 0.
0
С другой стороны, при приближении x(t) к точке ξ, где
V (ξ) > 0,
интеграл справа заведомо увеличивается всегда на малую, но на одну
и ту же положительную константу. Это легко выводится из теоремы
о выпрямлении фазовых траекторий в окрестности неособой точки
x = ξ (рисунок).
Следовательно, V (x(t)) → +∞ при t → ±∞, откуда вытекает,
что решение с почти каждым начальным данным ξ за конечное время
покинет область B. Теорема доказана.
Замечание 1. Пусть все решения системы (1) определены на всей
оси времени R = {t} и найдётся гладкая функция V : Rn → R такая,
Рисунок. Фазовые тра-
˙ (x) ≥ 0. Тогда решения системы (1) с почти всеми начальными ектории в окрестности
что
неособой точки ξ.
данными из области {x ∈ Rn :
V (x) > 0} уходят на бесконечность
при t → +∞ и t → -∞.
Из этого утверждения с учётом замечаний из введения вытекает сформулированная выше
теорема.
Замечание 2. Предположим, что система (1) допускает непостоянный интеграл f : Rn →
→ R (как, например, в гамильтоновых системах). Пусть f(0) = 0 и f может принимать
значения разных знаков в сколь угодно малой окрестности точки x = 0. Если найдётся функ-
ция V : B → R такая, что:
1)
V (x) ≥ 0 в области Ω = B ⋂ {f(x) > 0},
2)
V (ξ) > 0 для некоторых сколь угодно малых ξ из области Ω,
то равновесие x = 0 неустойчиво.
Это утверждение доказывается точно так же, как и теорема с учётом инвариантности
области {f(x) > 0}. Конечно, в условии 1) в качестве инвариантной можно взять область
{f(x) < 0}.
Замечание 3. Пусть выполнены условия 1)-3) теоремы Красовского и
V (x) > 0 в неко-
торых точках Ω
⋂B, сколь угодно близких к началу координат. Тогда x = 0 - неустойчивое
равновесие.
Доказательство неустойчивости основано на тех же соображениях, что и доказательство
теоремы, и использует инвариантность области Ω.
2. Примеры.
2.1. Рассмотрим динамику частицы на плоскости в соленоидальном силовом поле. Её урав-
нения движения имеют следующий вид:
∂W
x1 =
,
x2 = -
∂W .
∂x2
∂x1
Фазовый поток сохраняет стандартную форму объёма в четырёхмерном фазовом пространстве
{x, x}. Пусть W - ненулевой однородный многочлен по x1 и x2 степени n ≥ 2. Тогда (по
формуле Эйлера)
(x1x2 - x1 x2)· = nW.
Если W ≥ 0 (или W ≤ 0), то (по доказанной теореме) положение равновесия x1 = x2 = 0
неустойчиво.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
1434
КОЗЛОВ
2.2. Рассмотрим вопрос об устойчивости изолированных положений равновесия следующей
бездивергентной системы в трёхмерном евклидовом пространстве:
2x33
x1 = x2 + x1x23,
x2 = -x1 + x2x23,
x3 = -
(3)
3
Положим V = x21 + x22. Тогда
V
= 2(x21 + x22)x23.
V
V
Очевидно, что
≥ 0 и
> 0 в некоторых точках, сколь угодно близких к началу коор-
динат. Следовательно, по сформулированной выше теореме равновесие x1 = x2 = x3 = 0
неустойчиво. Более того, почти все решения системы (3) уходят в бесконечность.
Стоит отметить, что вся плоскость {x3 = 0} заполнена периодическими траекториями
(следовательно, условие 4) теоремы Красовского не выполняется). Кроме того, хотя равнове-
сие неустойчиво, нет решений, асимптотически выходящих из него [3], но есть две входящие
в равновесие асимптотические траектории (как и полагается по теореме Брунеллы [5]).
2.3. Рассмотрим ещё задачу об устойчивости тривиального равновесия следующей системы
дифференциальных уравнений:
x1 = y1 + x1ρ1ρ2,
y1 = -x1 + y1ρ1ρ2,
x2 = y2 - x2ρ1ρ2,
y2 = -x2 - y2ρ1ρ2,
(4)
где ρk = x2k + y2k (k = 1, 2). Эта система также является бездивергентной и допускает первый
интеграл
f = (x21 + y21)(x22 + y22).
Однако эта функция не является положительно определённой в окрестности начала координат,
и поэтому её нельзя принять за функцию Ляпунова.
Положим V = x21 + y21. Тогда
V
= 2(x21 + y21)2(x22 + y22).
Следовательно (по доказанной теореме), равновесие x = y = 0 неустойчиво.
Стоит отметить инвариантность двумерных плоскостей {x1 = y1 = 0} и {x2 = y2 = 0} -
они сплошь заполнены периодическими траекториями. Как показано в [3], система (4) вообще
не допускает асимптотических траекторий (как входящих, так и выходящих из особой точки).
2.4. Наконец, рассмотрим градиентную динамическую систему
xi =
∂ϕ , i = 1,n,
(5)
∂xi
с гармонической функцией ϕ (Δϕ = 0). Покажем, что если ϕ = const, то почти все её
траектории выходят на бесконечность (как при t → +∞, так и при t → -∞).
Действительно, фазовый поток системы (5) сохраняет стандартную меру Лебега в прост-
ранстве Rn = {x} ввиду бездивергентности её правой части:
)
∑∂(∂ϕ
div =
= Δϕ = 0.
∂xi
∂xi
Положив V = ϕ, получим
2
∑(∂ϕ)
V
=
∂xi
Поскольку гармоническая функция аналитична и ϕ = const, то (согласно п. 1) почти все
решения системы (5) уходят на бесконечность (возможно, за конечное время). Что и требо-
валось.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022
О НЕУСТОЙЧИВОСТИ В СИСТЕМАХ
1435
Множество траекторий, не уходящих в бесконечность, не сводится только к критическим
точкам функции ϕ. Каждая из невырожденных критических точек - неустойчивое равнове-
сие, и имеются траектории, асимптотически входящие в положение равновесия. Это вытекает
из аналитичности гармонической функции и отсутствия у неё точек локального максимума [7].
Отметим ещё, что в системе (5) с гармонической функцией ϕ могут быть решения, ухо-
дящие в бесконечность за конечное время, простой пример - n = 2 и ϕ = x31 - 3x1x22.
Предположение о гармоничности функции ϕ существенно. Например, если ϕ = -(x, x)/2,
то все решения системы (5) стремятся к равновесию x = 0 при t → +∞.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 21-71-
30011).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости. М., 1959.
2. Карапетян А.В. Устойчивость и бифуркация движений. М., 2020.
3. Kozlov V.V., Treschev D.V. Instability, asymptotic trajectories and dimension of the phase space
// Moscow Math. J. 2018. V. 18. № 4. P. 681-692.
4. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л., 1949.
5. Brunella M. Instability of equilibria in dimension three // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1998. V. 48.
№ 5. P. 1345-1357.
6. Козлов В.В. Первые интегралы и асимптотические траектории // Мат. сб. 2020. Т. 211. № 1. С. 32-
59.
7. Козлов В.В. Асимптотические движения и проблема обращения теоремы Лагранжа-Дирихле
// Прикл. математика и механика. 1986. Т. 50. № 6. С. 928-937.
Математический институт
Поступила в редакцию 09.08.2022 г.
имени В.А. Стеклова РАН, г. Москва,
После доработки 09.08.2022 г.
Ярославский государственный университет
Принята к публикации 30.08.2022 г.
имени П.Г. Демидова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 10
2022