ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 10, с. 1436-1440

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.956.2

ОБ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Для уравнения (-Δ)^mU + a(x)U = 0, где Δ - оператор Лапласа, с измеримым локально

ограниченным коэффициентом a(x) приведены критерии осцилляции и неосцилляции в

неограниченной области, которая может быть определённым образом сужающейся или

расширяющейся на бесконечности.

DOI: 10.31857/S0374064122100120, EDN: KQZWIR

Введение. Работа посвящена исследованию осцилляционных свойств уравнения

LU = (-Δ)^mU + a(x)U = 0,

(1)

где a(x) - локально суммируемая функция в неограниченной области Ω ⊂ Rⁿ, m ∈ N.

Осцилляционные свойства решений уравнения (1) в различных неограниченных областях

изучены многими авторами. Так, в статьях [1-5] предполагается, что m = 1 и область Ω при

больших x содержится в конусе C_α = {x ∈ Rⁿ : x_n > |x| cos α},

0 < α < π. В работах [6,

7] рассмотрены области других видов. Различные виды неограниченных областей изучены в

работе [8], в которой приведены оценки числа точек отрицательного спектра эллиптического

оператора произвольного порядка.

Уравнение (1) рассматривается в неограниченной области Ω, которая может быть опреде-

лённым образом сужающейся или расширяющейся на бесконечности.

Введём обозначения

Ωr0 = {x ∈ Ω : |x| > r₀}, Ωr0,b = {x ∈ Ω : r0 < |x| < b}, SR0 = {x ∈ Rⁿ : |x - r0| = R},

(Ω) - замыкание множества бесконечно дифференцируемых финитных функций C∞0(Ω)

по норме пространства Соболева Wm2(Ω).

Определение. Уравнение (1) называется осцилляционным в области Ω ⊂ Rⁿ, если для

любого r₀ > 0 оно имеет нетривиальное обобщённое решение U ∈Wm2(G), где G ⊂ Ωr0 -

некоторая ограниченная область, и неосцилляционным - в противном случае.

Сначала найдём оператор Δ^m в сферических координатах. Для m = 1 имеем

Δ=Δ_r +

δ,

r²

∂

n-1 ∂

здесь Δ_r =

- радиальная часть оператора Лапласа, δ - оператор Бельтрами.

∂r

Сделаем замену t = ln r, тогда

∂

Δ = e-2t(Δ_t + δ), Δ_t =

+ (n - 2)

∂t²

∂t

Δ^m = e-2mt(Δ_t + δ)^m = e-2mt(Δ^mt + C1mΔm-1tδ + C2mΔm-2tδ² +

+ C3mΔm-3tδ³ + ... + Cm-1mΔ_tδm-1 + δ^m), C^km =

(2)

(m - k)!k!

1436

ОБ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1437

Операторы -Δ_t и -δ положительны (неотрицательны). Поэтому и операторы (-Δ_t)^l,

(-δ)^l положительны [9, c. 238-242; 10, c. 222-226]. Из равенства (2) следует, что Δ^m-ktδ^k =

= δ^kΔ^m-kt, так как (Δ + δ)^m = (δ + Δ)^m.

1. Неосцилляция. Известно [6, c. 6], что выполнение для всех U ∈ C∞0(Ω) неравенства

∫

(LU, U) =

[(-Δ)^mU + a(x)U]U dx > 0

(3)

является необходимым и достаточным условием неосцилляционности уравнения (1) в облас-

ти Ω.

В неравенстве (3) переходим к сферическим координатам и используем замену

(

)

2m - n

U = V exp

t = lnr.

Тогда в силу равенства (2) будем иметь

∫

∞

{

[

]

}

∑

(LU, U) =

(-1)^m L_mV +

C^im(δⁱL_m-iV ) + δ^mV V + a(t,ϕ)V² exp(2mt) dtdϕ,

(4)

i=1

Φ t0

где Φ - область изменения ϕ = (ϕ₁, ϕ₂, . . . , ϕn-1), dϕ - элемент поверхности |ϕ| = 1, L_j -

обыкновенные линейные дифференциальные операторы порядка 2j, характеристические по-

линомы которых имеют следующие корни:

1) при j = m

q(1)k =4(k+1)-n-2m,

q(2)k =n-2m+4k,

k = 0,m - 1,

или (так как q(1)k = -q(2)m-1-k)

q(1,2)k = ±n-2m+4k,

k = 0,m - 1;

2) при j = m - i

q(1)k =4(k+1)-n-2m,

q(2)k =n-2m+4k,

k = 0,m - i - 1;

(5)

3) при j < m/2

q(1)k =4(k+1)-n-2m,

q(2)k =n-2m+4k,

k = 0,m/2 - 2.

В формуле (4) выражения (-1)^m(δⁱL_m-i)V можно записать в виде

(-1)^m(δⁱL_m-i)V = (-1)ⁱδⁱ(-1)^m-iL^′m-iV + (-1)ⁱB_m-iδⁱV, i = 1, m - 1.

(6)

Числа B_m-i определяются из формул (5).

Уравнения

L_m-iV = 0, i = 1,m - 1,

являются неосцилляционными в области Ω. Нетрудно проверить, что и уравнения

L^′m-iV = 0, i = 1,m - 1,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1438

ТОРАЕВ

также будут неосцилляционными в области Ω. Поэтому справедливо неравенство

∫

∞

∑

(-1)^m

[C^imδⁱL^′m-iV ]V dt dϕ > 0

(7)

i=1

Φ t0

для любой функции V ∈ C∞0(Ω).

Рассмотрим многочлен

[

∑

⁽n - 2m)2][

⁽n - 2m + 4)2]

β2iλ2i = λ² +

λ² +

···

i=0

[

⁽n + 2m - 8)2][

⁽n + 2m - 4)2]

··· λ² +

λ² +

(8)

Теорема 1. Пусть область Ω такова, что S0R

^⋂Ω при достаточно большом R состоит

из совокупности областей D_i таких, что если D^∗i есть образ D_i на S⁰¹ при отображении

x^′ = x/|x|, то собственные значения оператора

∑

(-1)^lC^lmB_m-lδ^l + (-1)^mδ^m

l=1

с нулевыми граничными условиями Дирихле на ∂D^∗i для любого i не меньше NR^γ, N =

= const > 0, γ = const. Если

a(x) ≥ -β₀|x|-2m -

β₂(|x|^m ln |x|)-2 - N|x|γ-2m,

где β0 и β2 определяются из (8), то уравнение (1) является неосцилляционным в облас-

ти Ω.

Доказательство. В силу условия (7) из равенства (4) следует, что

∫

∞

{[

]

∑

(LU, U) ≥

(-1)^m(L_mV, V ) +

((-1)^lC^lnB_lδ^lV + (-1)^mδ^mV )V

l=1

Φ t0

}

+ a(t, ϕ) exp(2mt)V ² dt dϕ.

(9)

Из условий теоремы и неравенства (9) будем иметь

∫

∞

]

∑ (_diV)2

β₂ V²

(LU, U) ≥

β2i

+ N|x|^γV ² - β₀V ² -

- N|x|^γV ²

dt dϕ =

dtⁱ

t²

i=0

Φ t0

∫

∞

]

∑ (_diV)2

⁽ dV)2

β₂ V²

β2i

+β₀V²

+β₂

-β₀V² -

dt dϕ ≥

dtⁱ

t²

i=2

Φ t0

∫

∞

)]

∑

⁽dⁱV)2

⁽⁽dV)2

V²

≥

β2i

+β₂

dt dϕ > 0,

dtⁱ

4t²

i=2

Φ t0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

ОБ ОСЦИЛЛЯЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1439

так как известно (см. [6, c. 19]), что

∫

∞

∫∞

⁽ dV)2

V²

dt ≥

dt.

t²

t₀

Следовательно, уравнение (1) - неосцилляционное в области Ω.

Заметим, что при чётном n и таком, что n ≤ 2m, возможен случай β₀ = 0.

2. Осцилляция. Пусть Ω = T^ω - нормальный телесный угол с раствором ω ≤ π [6, c. 5].

Точность условий теоремы 1 показывает следующая

Теорема 2. Пусть λ₀ - наименьшее собственное значение задачи

∑

(-1)ⁱC^imB_m-lδⁱz + (-1)^mδ^mz = λz,

(10)

i=1

D^αz|_∂Tω = 0,

|α| = 0, m - 1.

(11)

Если для некоторого ε > 0 при достаточно большом r₀ выполняется равенство

a(x) ≤ -(β₀ + λ₀ + ε)|x|-2m,

|x| > r₀,

то уравнение (1) является осцилляционным в области T^ω.

Доказательство. Воспользуемся равенством (4) с учётом равенства (6), в котором по-

ложим V = z(t)w(ϕ), где w(ϕ) - собственная функция задачи (10), (11), соответствующая

наименьшему собственному значению λ₀. После интегрирования получим

∫

∞

[

∑

⁽dⁱz)2

(LU, U) =

W²

β2i

+ A⁽¹⁾

(∇₁W )² +

dtⁱ

i=0

i=1

Φ t0

∑

⁽dⁱz)2

(m-1)

⁽ dz)2

+ A⁽²⁾

(∇₂W )²

+...+A

(∇m-1W )² +

dtⁱ

i=1

]

∑

+z²

C^imβ_m-i(∇_iW)² + z²(∇_mW)2 + a(t,ϕ)exp(2mt)z2W2 dtdϕ,

i=1

здесь ∇_i - градиент порядка i (i = 1, m).

В силу условий теоремы имеем

∫

∞

[

∑

dⁱ

⁽dⁱz)2

(LU, U) ≤

W²

β2i

A⁽¹⁾

(∇m-1W )² + A⁽²⁾

(∇₂W )² + . . .

dtⁱ

i=1

Φ t0

)₂

]

⁽ dz

...+Am-1

(∇m-1W )² + β₀z²W² + λ₀z²W² - β₀z²W² - λ₀z2W2 - εz2W2 dtdϕ =

∫

∞

[

∑

dⁱz

⁽dⁱz)2

W²

β2i

+ A⁽¹⁾

(∇m-1W )² +

dtⁱ

i=1

Φ t0

]

∑

⁽dⁱz)2

(m-1)

⁽ dz)2

+ A⁽²⁾

(∇₂W )²

+...+A

(∇m-1W)2 - εz2W2 dtdϕ.

dtⁱ

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022

1440

ТОРАЕВ

Функцию z(t) определим следующим образом:

⎧

⎨0

при t ≤ t₁,

z(t) =

при t₁ + δ ≤ t < t₂,

^⎩0 при t ≥ t2 + δ,

где δ = const > 0. В результате получим

∫

∫ {[_m∑

∑

⁽dⁱz)2

(LU, U) ≤

β2i

w² +

A⁽¹⁾

(∇₁w)² +

dtⁱ

i=0

i=1

Φ M_δ

]}

∑

⁽dⁱz)2

(m-1)

⁽ dz)2

+ A⁽²⁾

(∇₂w)²

+...+A

(∇m-1w)2

dt dϕ - ε(t∗2 - t∗1)A,

dtⁱ

i=1

∫

где t₁ < t∗1 < t₁ + δ, t₂ < t∗2 < t₂ + δ, A =_Φ w² dϕ, M_δ = (t₁, t₁ + δ)

^⋃ (t₂, t₂ + δ).

Теперь положим zε1 (t) = z(ε₁t), тогда из последнего неравенства будем иметь

∫

)₂

∑

⁽dⁱz_ε

⁽dⁱzε1 )²

(LU, U) ≤

β2i

w² + A(1)iε2i

(∇₁w)² +

dtⁱ

i=1

Ω_δ

]

∑

⁽dⁱzε1 )²

⁽ dzε1 )²

+ A(1)iε2i

(∇₂w)² + . . . + A(m-1)1ε²

(∇m-1w)2

dt dϕ - ε(t∗2 - t∗1)A,

dtⁱ

i=1

где

Ω_δ = {(t,ϕ) ∈ T^w : t₁ ≤ t ≤ t₁ + δ, t₂ ≤ t ≤ t₂ + δ, ϕ ∈ Φ}.

Отсюда при ε₁ → 0 получаем, что (LU, U) ≤ 0, следовательно, согласно [6, c. 5, лемма 1.1],

уравнение (1) - осцилляционное в области T^w.

Заключение. Теоремы 1 и 2 обобщают соответствующие результаты работ [6, 7], в которых

рассмотрены случаи m = 1, 2.

Автор выражает глубокую благодарность рецензенту статьи за ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Allegretto W. Nonoscillation criteria for elliptic equations in conical operators // Pacific J. Math. 1981.

V. 92. № 1. P. 15-25.

2. Swanson C. Comparison theorems for elliptic equations on unbounded domains // Trans. Amer. Math.

Soc. 1967. V. 126. P. 278-285.

3. Swanson C. Strong oscillation on elliptic equations in general domain // Can. Math. Bull. 1970. V. 16.

P. 105-110.

4. Headley B., Swanson C.A. Oscillation criteria for elliptic equations // Pacific J. Math. 1968. V. 27.

P. 501-506.

5. Kreith K. Comparison theorems for general elliptic equations with mixed boundary // J. Differ. Equat.

1970. V. 8. P. 537-541.

6. Тораев А. Осцилляционные свойства решений эллиптических уравнений. Ашхабад, 1985.

7. Тораев А. Об осцилляции и неосцилляции решений эллиптических уравнений // Дифференц. урав-

нения. 1986. Т. 22. № 8. С. 1424-1435.

8. Егоров Ю.В., Кондратьев В.А. Об отрицательном спектре эллиптического оператора // Мат. сб.

1990. Т. 181. № 2. С. 147-166.

9. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М., 1984.

10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984.

Туркменский государственный

Поступила в редакцию 10.06.2021 г.

архитектурно-строительный институт,

После доработки 30.07.2022 г.

г. Ашгабат

Принята к публикации 15.08.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 10

2022