ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1443-1452

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

ЛИНЕЙНЫЙ ВАРИАНТ АНТИПЕРРОНОВСКОГО

ЭФФЕКТА СМЕНЫ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

НА ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ

Реализован линейный вариант антиперроновского эффекта смены всех положительных

характеристических показателей Ляпунова на отрицательные. Для произвольных чисел

λ_n ≥ . . . ≥ λ₁ > 0 и μ₁ ≤ . . . ≤ μ_n < 0 доказано существование n-мерных линейных

систем: исходной

x = A(t)x, t ≥ t0, с характеристическими показателями λi(A) = λi,

i = 1,n, и возмущённой

y = A(t)y + Q(t)y с матрицей возмущения Q(t) → 0 при t → ∞

и характеристическими показателями λ_i(A + Q) = μ_i, i = 1, n. При этом матрицы коэф-

фициентов исходной и возмущённой дифференциальных систем ограничены и бесконечно

дифференцируемы на полуоси [t₀, +∞).

DOI: 10.31857/S0374064122110012, EDN: LZPTPQ

В качестве первого приближения рассматриваем линейные дифференциальные системы

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(1_n)

с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и характеристическими

показателями λ₁(A) ≤ . . . ≤ λ_n(A). В работе О. Перрона [1] (см. также [2, с. 50-51]) в дву-

мерном случае установлено существование систем (1₂) с показателями λ₁(A) ≤ λ₂(A) < 0 и

также бесконечно дифференцируемой вектор-функции

f (t, y) : (t, y) ∈ [t₀, +∞) × R² → R²,

удовлетворяющей условию

∥f(t, y)∥ ≤ C_f ∥y∥^m, y ∈ R², t ≥ t₀,

(2)

при m = 2 таких, что все нетривиальные решения возмущённой системы

y = A(t)y + f(t,y), y ∈ R², t ≥ t₀,

(3)

бесконечно продолжимы вправо, и их показатели Ляпунова составляют множество {λ₂(A), λ}

с некоторым числом λ > 0. Этот эффект смены отрицательных показателей линейного при-

ближения (1₂) на положительные для решений возмущённой системы (3) с m-возмущени-

ем (2) произвольного порядка m > 1 исследован в серии наших, в том числе и с С.К. Корови-

ным, работ и завершился (см. [3, 4]) полным описанием суслинскими множествами совокупно-

стей Λ₊(A, f) и Λ_-(A, f) соответственно положительных и отрицательных показателей всех

нетривиальных решений системы (3), в том числе и в необходимом случае Λ_-(A, f) = ∅.

Для возможных приложений (по превращению “абсолютно неустойчивых” дифференци-

альных систем в экспоненциально или условно устойчивые) больший интерес представляет

противоположный антиперроновский эффект [5] смены малыми возмущениями (линейными,

как исчезающими на бесконечности, так и экспоненциально убывающими; нелинейными выс-

шего порядка малости) всех положительных характеристических показателей линейного при-

ближения (1_n) на отрицательные для решений возмущённой системы. В работе [5] исследован

1443

1444

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

этот эффект для экспоненциально убывающих линейных возмущений: доказано существова-

ние линейных систем (1_n) со всеми положительными показателями и возмущённой системы

y = A(t)y + Q(t)y, y ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(4_n)

с бесконечно дифференцируемой n × n-матрицей Q(t), удовлетворяющей условию

∥Q(t)∥ ≤ C_Qe^-σt, σ > 0, t ≥ t₀,

(5)

и характеристическими показателями

λ₁(A + Q) ≤ ... ≤ λn-1(A + Q) < 0 < λ_n(A + Q).

При этом остался открытым сформулированный в этой же работе вопрос о существовании

системы (4_n) с возмущением (5) и отрицательным старшим показателем λ_n(A+Q). Нельзя ли

при более общем возмущении Q(t) → 0, t → +∞, одновременно реализовать все необходимые

неравенства λ_i(A) > 0, λ_i(A + Q) < 0, i = 1, n?

Утвердительный ответ содержит следующая, анонсированная в статье [6],

Теорема. Для любых параметров

λ_n ≥ ... ≥ λ₁ > 0, μ₁ ≤ ... ≤ μ_n < 0,

2 ≤ n ∈ N,

существуют:

1) линейная система (1_n) с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициен-

тами и характеристическими показателями λ_i(A) = λ_i, i = 1, n;

2) бесконечно дифференцируемая n × n-матрица Q(t) → 0 при t → +∞,

такие, что возмущённая система (4_n) имеет характеристические показатели λ_i(A + Q) =

= μ_i, i = 1,n.

Доказательство этой теоремы сводится к доказательствам двух её частных вариантов,

соответственно, в двумерном и трёхмерном случаях. При этом, как и в работе [5], сначала

строится кусочно-постоянная и ограниченная на промежутке [t₀, +∞) матрица A(t) коэф-

фициентов системы (1_n) с показателями λ_i(A) = λ_i, i = 1, n, и необходимая также кусочно-

постоянная n × n-матрица-возмущение Q(t) → 0, t → +∞, такие, что возмущённая систе-

ма (4_n) имеет характеристические показатели λ_i(A + Q) = μ_i, i = 1, n. Затем с помощью

соответствующих функций Гелбаума-Олмстеда матрицы A(t) и Q(t) переопределим на про-

межутках очень малой длины, содержащих их точки разрыва, так чтобы они стали бесконечно

дифференцируемыми и по-прежнему остались ограниченными на полуоси [t₀, +∞) (как и в

самом эффекте Перрона), сохранив при этом значения показателей как исходной, так и воз-

мущённой систем.

1. Общие построения. С помощью величин

μi-1 - λ_i

θ₁ = θ > e, θ_i = θ

≥ θ, i = 2,3,

(6)

μ_i - λ_i

введём последовательность {T_l} ⊂ [t₀, +∞) моментов T_l со свойствами

T3l+i = T3l+i-1(θθ_i)ki(l), k_i(l) > l, T₃ > e, i = 1,3, l ∈ N.

(7)

Заметим, что нетривиальные построения необходимых систем в двумерном случае будут

вестись на промежутках [T3l, T3l+2) для всех l ∈ N, а в трёхмерном - дополнительно и на

промежутках [T3l+2, T3l+3), l ∈ N.

Для определения элементов матриц A(t) и Q(t) понадобятся промежуточные моменты

времени

t₀(i,l) = T3l+i-1, i = 1,3, l ∈ N,

t2k(i,l) = θθ_it2k-2(i,l), t2k-1(i,l) = θt2k-2(i,l)

для всех k = 1, k_i(l) при всех l ∈ N и i = 1, 3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ЛИНЕЙНЫЙ ВАРИАНТ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

1445

2. Двумерный случай. Нулевые значения кусочно-постоянных коэффициентов необхо-

димой двумерной системы

x = diag[a₁(t),a₂(t)]x ≡ A₂(t)x, x ∈ R², t ≥ t₀,

(1₂)

определим для всех l ∈ N равенствами

a₁(t) = a₂(t) = 0, t ∈ [t_k(i,l),l + t_k(i,l)) ≡ I0k(i,l), k = 0,2k_i(l) - 1, i = 1,2,

(8₁)

a₂(t) = 0, t ∈ I0k(3,l), k = 0,2k3 (l) - 1.

(8₂)

Ненулевые значения этих коэффициентов на оставшихся промежутках

⋃

I₀(i,l) ≡ [t₀(i,l),t₂(i,l)) \

I0k(i,l), i = 1,3, l ∈ N,

k=0,1

⋃

I₂(i,l) ≡ [t₂(i,l),T3l+i) \

I0k(i,l), k = 2,2k_i(l), i = 1,3, l ∈ N,

определим следующим образом:

θ²μ₁ - μ₂

a₁(t) = α₁ ≡ -θλ₂ +

θ-1

a₂(t) = α₂ ≡ -θλ₁ + (1 + θ)μ₁, t ∈ I₀(i,l), i = 1,2, l ∈ N,

(9₁)

что позволит избежать на промежутках I₀(i, l) возможного недопустимого роста норм реше-

ний соответствующей возмущённой системы при переходе с любого промежутка [Tp, Tp+1),

3 ≤ p ∈ N, на аналогичный соседний;

a_i(t) = λ_i, a3-i(t) = α3-i, t ∈ I₂(i,l), i = 1,2, l ∈ N.

(9₂)

На последнем для фиксированного l промежутке [T3l+2, T3l+3) (используемом при последу-

ющем рассмотрении в п. 3 трёхмерного случая и не нарушающем необходимых параметров в

двумерном случае) положим

a₁(t) = α₁, t ∈ [T3l+2,T3l+3),

θ²μ₂ - μ₃

a₂(t) = α₃ ≡ -θλ₃ +

t ∈ I₀(3,l)

^⋃I₂(3,l), l ∈ N.

(9₃)

θ-1

Вычислим теперь характеристические показатели построенной линейной системы (1₂). По

определениям (8₁),

(8₂) и (9₁)-(9₃) коэффициентов этой системы и неравенств α_i < 0, i =

= 1, 3, справедливы оценки

a_i(t) ≤ λ_i, i = 1,2, t ∈ [T₃,+∞),

из которых следуют очевидные неравенства λ_i(A₂) ≤ λ_i, i = 1, 2. С другой стороны, в силу

неравенств

T3l+i-1T-13l+i < exp[-2k_i(l)], k_i(l) > l, l ∈ N, i = 1,3,

вытекающих из определений (6) и (7), справедливы необходимые противоположные оценки

λ_i(A₂) ≥ lim

T-13l+i[α₀t₂(i,l) - 2λ_ilk_i(l) + λ_i(T3l+i - t₂(i,l))] ≥

l→∞

≥ lim

T-13l+i[2α₀θ₁θ₂T3l+i-1 - 2λ_ik2i(l)T3l+i-1 + λ_i(T3l+i - T3l+i-1)] =

l→∞

= λ_i - 2λ_i lim

[k2i(l)e-2ki(l)] = λ_i, i = 1, 2,

l→∞

в которых α₀ = min{αj }, j = 1, 3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1446

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

Таким образом, линейная система (1₂) с кусочно-постоянными ограниченными коэффи-

циентами a_i(t) имеет необходимые характеристические показатели λ_i(A₂) = λ_i, i = 1, 2.

Матрицу Q₂(t) → 0 при t → ∞ (также куcочно-постоянную) возмущённой двумерной

линейной системы

y = A₂(t)y + Q₂(t)y, y ∈ R², t ≥ t₀,

(10)

определим равенством (см., например, [7])

(

)

Q₂(t) = q₂(t)

t≥t₀ ≡T₃,

(11₁)

−1

с функцией

{

(-1)k+iπ/(2l), t ∈ I0k(i, l), k = 0, 2k_i(l) - 1, i = 1, 2,

q₂(t)

(11₂)

для всех остальных t ∈ [t₀, +∞)

и её интегралом

∫

q₂(τ)dτ =

(-1)k+i, k = 0, 2k_i(l) - 1, i = 1, 2.

(11₃)

I0k(i,l)

У системы (10) на промежутках I0k(i, l), i = 1, 2, k = 0, 2k_i(l) - 1, l ∈ N, матрица A₂(t)

тождественно равна нулевой, а матрица Q₂(t) коэффициентов этой системы, определённая

равенствами (11₁)-(11₃), обеспечивает на указанных промежутках повороты её решений (и

тем самым сохранение их нормами постоянных значений) на угол π/2 : 1) при i = 1 против

часовой стрелки в случае равного нулю и чётного k и по часовой стрелке - для нечётного k;

2) при i = 2 для тех же k - в противоположных направлениях. Поэтому для норм решений

Y₁(t) и Y₂(t) с начальными векторами

Y_j[t_k(i,l)] = ∥Y_i[t_k(i,l)]∥(2 - j,j - 1)^т, j = 1,2,

(12_ik)

при нулевом или чётном k < 2k_i(l) на промежутках

I0s(i,l),I^′s(i,l) ≡ [l + t_s(i,l),ts+1(i,l)) ⊂ [T3l+i-1,T3l+i), i = 1,2, l ∈ N,

будем иметь при j = 1, 2 представления

{

∥Y_j (t_s)∥,

t ∈ I0s(i,l), s = k,k + 1,

∥Y_j (t)∥=

t_s ≡ t_s(i,l),

(13_is)

∥Y_j (l + t_s)∥ exp[β_s(i, j)(t - l - t_s)],

t ∈ I^′s(i,l), s = k,k + 1,

в случае i = 1. В них величины β_s(1, j) определены равенствами

{

α₂

для s = 0 и чётных s < 2k₁(l),

β₁(1,1) = α₁, β_s(1,1)

(14₁₁)

λ₁

для нечётных s ∈ {3, . . . , 2k₁(l) - 1}

для первого решения Y₁(t);

{

α₂

для нечётного s ≤ 2k₁(l) - 1,

β₀(1,2) = α₁, β_s(1,2)

(14₁₂)

λ₁

для чётного s < 2k₁(l)

для второго решения Y₂(t). При этом для рассматриваемых решений Y₁(t) и Y₂(t) спра-

ведливы и их значения (121,k+2). Тем самым при продолжении этих решений представления

(12_lk) справедливы при всех чётных k ≤ 2k₁(l) и k = 0, а при всех нечётных k < 2k₁(l)

рассматриваемые решения системы (10) принимают значения

Y_j[t_k(1,l)] = ∥Y_j[t_k(1,l)]∥(1 - j,2 - j)^т, j = 1,2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ЛИНЕЙНЫЙ ВАРИАНТ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

1447

Очевидно, что это же справедливо и для непрерывных рассматриваемых на всем проме-

жутке [T3l, T3l+1) решений Y₁(t) и Y₂(t) системы (10), а также для них выполнены равенства

(131s) при нулевом и всех чётных s < 2k₁(l).

Заметим, что конечные значения (121,2k1(l)) в момент t = t2k₁(l)(1, l) = T3l+1 построен-

ных на отрезке [T3l, T3l+1] непрерывных решений Y1(t) и Y2(t) возмущённой системы (10)

будут являться начальными значениями (12₂₀) аналогичных решений на следующем отрезке

[T3l+1, T3l+2] с одним и тем же l ∈ N.

На отрезке [T3l+1, T3l+2] l-го временного цикла [T3l, T3l+3], соответствующем значению

i = 2, аналогичным образом построим непрерывные решения Y1(t) и Y2(t) возмущённой

системы (10) с начальными значениями (12₂₀), совпадающими, как уже отмечалось, с конеч-

ными значениями (121,2k1(l)). Тем самым они являются непрерывным продолжением постро-

енных на предыдущем промежутке [T3l, T3l+1) также непрерывных одноименных решений.

При этом следует учитывать, что направление поворотов на угол π/2 решений системы (10)

на промежутках I0k(2, l) противоположно аналогичным поворотам на промежутках I0k(1, l) ⊂

⊂ [T3l, T3l+1).

В итоге будем иметь равенства: (122k ) при всех нулевом и чётных k ≤ 2k₂(l);

Y_j[t_k(2,l)] = ∥Y_j[t_k(2,l)]∥(j - 1,j - 2)^т

для всех нечётных k < 2k₂(l); (132s) с постоянными

{

α₁

для нечётных s < 2k₂(l),

β₀(2,1) = α₂, β_s(2,1) =

(14₂₁)

λ₂

для чётных s < 2k₂(l)

для первого решения Y₁(t),

{

α₁

для s = 0 и чётных s < 2k₂(l),

β₁(2,2) = α₂, β_s(2,2) =

(14₂₂)

λ₂

для нечётных s ⊂ {3, . . . , 2k₂(l) - 1}

для второго решения Y₂(t).

Последний промежуток [T3l+2, T3l+3) l-го временного цикла [T3l, T3l+3) построения необ-

ходимых исходной (1₂) и возмущённой (10) линейных систем является подготовительным для

последующего рассмотрения трёхмерного случая. На нём первый коэффициент системы (1₂)

определяется равенством a₁(t) = α₁, а второй a₂(t) - равенствами (82) и (93), матрица

Q₂(t) в системе (10) тождественно равна нулю. Тем самым решения Y₁(t) и Y₂(t) на этом

промежутке имеют вид

( ∫ t

)

Y_j(t) = ∥Y_j(T3l+2)∥exp

a_j(τ)dτ

(2 - j, j - 1)^т, t ∈ [T3l+2, T3l+3), j = 1, 2,

T3l+2

и в силу значений (122,2k2(l)) являются непрерывным продолжением одноименных решений,

построенных на предыдущем промежутке [T3l+1, T3l+2).

Заметим, что построенные непрерывные на промежутке [T3l, T3l+3) решения Y₁(t) и Y₂(t)

возмущённой системы (10) в любой момент этого промежутка являются ортогональными.

Приведённые построения на промежутке [T3l, T3l+3) с произвольно фиксированным ин-

дексом l ∈ N распространим индукцией по l ∈ N (в определённом смысле периодически) на

всю полуось [t₀, +∞), t₀ ≡ T₃. В итоге будем иметь двумерные исходную линейную систему

(1₂) с ограниченной кусочно-постоянной матрицей коэффициентов A₂(t) и положительными

показателями λ_i(A) = λ_i > 0, i = 1, 2, а также возмущённую систему (10) с кусочно-постоян-

ной матрицей Q₂(t) → 0 при t → +∞ и нормальной (ортогональной в любой момент t ≥ t₀)

системой непрерывных решений Y₁(t) и Y₂(t) с начальными значениями

Y₁(t₀) = (2 - j,j - 1)^т, j = 1,2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1448

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

Нормы этих решений в силу равенств (13_is) представимы в виде

(∫t

)

∥Y_j(t)∥ = exp

β_j(τ)dτ

j = 1,2, t ≥ t₀,

(15)

t₀

здесь кусочно-постоянные вспомогательные функции β_j (t), j = 1, 2, на разных временных

промежутках принимают значения

⎧

⎨0,

t ∈ I0s(i,l), i = 1,2, l ∈ N,

β_j(t) =

β_s(i,j),

t ∈ I^′s(i,l), s = 0,2k_i(l) - 1,

(16)

⎩

a_j(t),

t ∈ [T3l+2,T3l+3)

с величинами β_s(i, j), определёнными равенствами (14_ij ), i, j = 1, 2.

Вычислим теперь показатели решений Y_j(t), j = 1, 2, нормы которых представлены равен-

ствами (15), (16). Для этого вместо функций β_j (t) используем более простые по определению

кусочно-постоянные функции b_j (t), j = 2, имеющие представления

{

α3-i, t ∈ [t2s+1-i,t2s+2-i), s = 1,k_i(l) + i - 2, t_s = t_s(i,l),

b₁(t) =

λ_i,

t ∈ [t2s+2-i,t2s+3-i), s = 1,k_i(l) - 1, i = 1,2,

b₁(t) = α2-s, t ∈ [t_s(i,l),ts+1(i,l)), s = 0,1, i = 1,2,

b_j(t) = α2j-1, t ∈ [T3l+2,T3l+3), j = 1,2, l ∈ N.

Вторая функция b₂(t) дополнительно определяется равенствами

{

α₁ + α₂ - b₁(t), t ∈ [t₀(i,l),t₂(i,l)), i = 1,2,

b₂(t) =

α3-i + λ_i - b₁(t), t ∈ [t₂(i,l),T_i), i = 1,2.

Эти новые функции b_j (t) связаны с прежними интегральными неравенствами

∫t

∫

−λ₂l + b_j(τ)dτ ≤ β_j(τ)dτ ≤ 2|α₀|l + b_j(τ)dτ, j = 1,2,

t2s

θ²μ₁ - μ₃

α₀ = -θλ₃ +

t2s = t2s(i,l), t ∈ [t2s,t2s+1),

(17)

θ-1

для любых s = 0, k_i(l) - 1, i = 1, 3 и l ∈ N. С помощью соотношений (17) установим ра-

венства

∫

λ[Y_i] ≡ lim t-1

β_i(τ)dτ = lim

λ_j(t), λ_j(t) ≡ t-1 bj(τ) dτ, j = 1, 2,

(18)

t→∞

t₀

для вычисления характеристических показателей λ[Y_j] решений Y_j(t), j = 1, 2, возмущённой

системы (10). Действительно, из правого неравенства (17) в силу произвола i, s и l > 1 имеем

оценку

∫

ηt

β_j(τ)dτ ≤ b_j(τ)dτ +

[β_j (τ) - b_j (τ)] dτ + 4l|α₀|[s + m_t(i, l)],

(19)

t₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ЛИНЕЙНЫЙ ВАРИАНТ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

1449

в которой момент η_t и величина m_t(i, l) определяются равенствами

{

k₃(l - 1), i = 1,

η_t = T3l+i-2, m_t(i,l) =

ki-1(l),

i = 2,3.

Так как справедливы неравенства

t ≥ t2s ≥ θ2sT3l+i-1 ≥ θ2[s+mt(i,l)]T3l+i-2 = θ2[s+mt(i,l)]η_t(i,l)

и m_t(i,l) → +∞ (при t → ∞ и l → ∞), то из (19) верхним предельным переходом получаем

первую необходимую оценку

λ[Y_j ] ≤ lim

λ_j(t), j = 1,2.

t→∞

Аналогичным образом получаем и второе противоположное неравенство, устанавливающее

необходимое равенство (18).

При вычислении характеристических показателей λ[Y_j ] построенных решений Y_j (t) по

формулам (18) (и функциям b_j (t)) воспользуемся следующим очевидным утверждением.

Утверждение. Характеристический показатель λ[Y ] нетривиального решения

(∫t

)

Y (t) = exp

b(τ) dτ

t≥t₀,

t₀

скалярного уравнения

y = b(t)y, y ∈ R¹, t ≥ t₀, с кусочно-постоянным ограниченным коэф-

фициентом

b(t) = b_k, t ∈ [t_k, tk+1), k ≥ 0,

вычисляется по последовательности {t_k} ↑ ∞ по формуле

∫

λ[Y ] = lim

t-1k b(τ)dτ.

k→∞

t₀

Его справедливость следует из знакопостоянства или тождественного равенства нулю про-

изводной λ^′(t) характеристической функции λ(t) ≡ t-1 ln |Y (t)| решения Y (t) рассматрива-

емого уравнения на всяком интервале (t_k, tk+1).

В соответствии с этим утверждением такой последовательностью для вычисления харак-

теристических показателей λ[Y_j] решений Y_j(t), j = 1, 2, по функциям b_j(t) (см. формулы

(18)) является последовательность

{t_s(i, l)}, s = 0, 2k_i(l), i = 1, 3, l ∈ N.

По этой последовательности с учётом определений функций b_j(t) и построенных α_i и θ_i вы-

числим (а в некоторых случаях оценим) на промежутках [T3l+i-1, T3l+i) интегральные средние

∫

J_ij(t_s,ts+2) ≡ (ts+2 - t_s)-1

b_j(τ)dτ, s = 2,2k_i(l) - 2, i,j = 1,2, l ∈ N,

для членов t_s = t_s(i, l) указанной последовательности с чётными и нечётными номерами s,

что позволит вычислить показатели решений Y_j (t). Для i = 1 и чётных s имеем равенство

α₂(ts+1 - t_s) + λ₁(ts+2 - ts+1)

α₂ + θλ₁

J₁₁(t_s,ts+2) =

=μ₁,

ts+2 - t_s

1+θ

λ₁ + θα₂

J₁₂(t_s,ts+2) =

< J₁₁(t_s,ts+2) = μ₁ ≤ μ₂,

1+θ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1450

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

а для нечётных s = 3, 2k₁(l) - 3 - равенства

λ₁ + θα₂

α₂ + θλ₁

J₁₁(t_s,ts+2) =

= μ₁, J₁₂(t_s,ts+2) =

=μ₁ ≤μ₂.

1+θ

На следующем промежутке [T3l+1, T3l+2), соответствующем значению i = 2, вычислим

аналогичные интегральные средние J2j (t_s, ts+2) с моментами t_s = t_s(2, l) и чётными и нечёт-

ными номерами s = 2, 2k₂(l) - 2. Для j = 2 и чётных s имеем с учётом значений α₁ и θ₂

равенства

α₁(ts+1 - t_s) + λ₂(ts+2 - ts+1)

J₂₂(t_s,ts+2) =

ts+2 - t_s

(θ - 1)α₁ + θ(θ₂ - 1)λ₂

θ(θ₂ - θ)λ₂ + θ²μ₁ - μ₂

=μ₂.

θθ₂ - 1

Для нечётных s ∈ {3, 2k₂(l) - 3} имеем значение

(θ - 1)λ₂ + θ(θ₂ - 1)α₁

J₂₂(t_s,ts+2) =

θθ₂ - 1

очевидно, строго меньшее значения J₂₂, вычисленного выше при чётных s, т.е. меньшее чис-

ла μ₂.

Воспользовавшись полученным выше представлением

(θ - 1)α₁ + θ(θ₂ - 1)λ₂

μ₂ =

θθ₂ - 1

оценим теперь интегральное среднее J₂₁(t_s, ts+2) с нечётными номерами s∈{3, . . . , 2k₂(l)-3}:

(θ₂ - 1)α₁ + (θ - 1)θ₂α₂

(θ₂ - θ)(α₁ - λ₂)

J₂₁(t_s,ts+2) =

+μ₂ =

θθ₂ - 1

θ₂(μ₂ - λ₂) + θλ₂

θ(μ₁ - λ₂) + θλ₂ - μ₂

θμ₁ - μ₂

≤μ₁.

θ-1

Вычисляемые по чётным номерам s ∈ {2, . . . , 2k₂(l) - 2} значения

(θ - 1)λ₂ + θ(θ₂ - 1)α₁

J₂₁(t_s,ts+2) =

θθ₂ - 1

очевидно, строго меньше аналогичных значений, вычисленных выше по нечётным номерам s,

т.е. строго меньше μ₁. Поэтому в силу того, что вычисленные выше интегральные средние

J_ij(t_s,ts+2) в каждом отдельном случае принимают одно и то же значение при всех рассматри-

ваемых s, а также ввиду неравенств α_i < μ₁, i = 1, 2, α₃ < μ₂ и свойства T3l+i-1/T3l+i → 0

при l → ∞, i = 1, 3, справедливы необходимые равенства λ[Y_j ] = μ_j , j = 1, 2, причём

показатель решения Y_j(t) реализуется, например, по последовательности {T3l+j }, j = 1, 2.

Двумерный кусочно-постоянный вариант теоремы доказан.

3. Трёхмерный случай. Для построения необходимых исходной и возмущённой линей-

ных систем используем их двумерные аналоги из п. 2 - линейные системы (1₂) и (10), дополнив

их соответствующим образом. Исходную линейную систему возьмём в виде

x = diag[A₂(t)a₃(t)]x ≡ A₃(t)x, x ∈ R³, t ≥ t₀,

(1₃)

с кусочно-постоянной функцией

⎧

⎨0,

t ∈ I0k(3,l), k = 0,k₃(l) - 1, l ∈ N,

a₃(t) =

λ₃,

t ∈ I₂(3,l), l ∈ N,

⎩

α₃,

t ∈ [T3l,T3l+2)

^⋃I₀(3,l), l ∈ N.

Очевидно, что система (1₃) имеет необходимые характеристические показатели λ₁ ≤ λ₂ ≤ λ₃.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ЛИНЕЙНЫЙ ВАРИАНТ АНТИПЕРРОНОВСКОГО ЭФФЕКТА

1451

Основываясь на двумерной возмущённой системе (10), в качестве необходимой возмущён-

ной трёхмерной системы рассмотрим следующую:

y = A₃(t)y + Q₃(t)y, y ∈ R³, t ≥ t₀,

(20)

с кусочно-постоянной 3×3-матрицей

{

diag [Q₂(t), 0],

t ∈ [T3l,T3l+2), l ∈ N,

Q₃(t) =

- diag [0,Q′2(t)], t ∈ [T3l+2,T3l+3), l ∈ N.

Определение матрицы Q′2 второго порядка на промежутке [T3l+2, T3l+3) идентично определе-

нию (11₁)-(11₃) матрицы Q₂(t) на промежутке [T3l+1, T3l+2) с заменой индекса i = 2 на i = 3.

При этом знак минус в определении матрицы Q₃(t) обеспечивает на промежутке [T3l+2, T3l+3)

совпадение направлений поворотов на угол π/2 в пространстве y₂Oy₃ решений Y₂(t) и Y₃(t)

системы (20) с направлением поворотов на тот же угол в пространстве y₁0y₂ и на промежутке

[T3l+1, T3l+2) решений Y₁(t) и Y₂(t) системы (10).

Сравнивая определения двумерной системы (10) на промежутке [T3l+1, T3l+2) и двумерной

независимой подсистемы

y = diag[a₂(t),a₃(t)]y - Q′2(t)y, y = (y₂,y₃)^т ∈ R², t ∈ [T3l+2,T3l+3),

(21)

системы (20) на промежутке [T3l+2, T3l+3), приходим к выводу об их эквивалентности. При

этом в случае i = 3 числа λ₃ и Q₃, функции a₂(t) и a₃(t) и матрица -Q′2(t) полностью ана-

логичны числам λ₂ и θ₂, функциям a₁(t) и a₂(t) и матрице Q₂(t) в случае i = 2. Повторяя

построения решений Y₁(t) и Y₂(t) системы (10) на промежутке [T3l+1, T3l+2) и рассуждения

по вычислению их показателей при построении решений Y₂(t) и Y₃(t) подсистемы (21) и затем

вычисляя (оценивая) их “временные” показатели, получаем соотношения

(θ - 1)α₃ + θ(θ₃ - 1)λ₃

λ[Y₃] =

= μ₃, t-1 ln∥Y₂(t)∥ ≤ μ₂, t ∈ [T3l+2,T3l+3).

θθ₃ - 1

Распространив приведённые построения индукцией на всю полуось [t₀, +∞) по параметру

l ∈ N, получим необходимые равенства λ_i(A₃+Q₃) = μ_i, i = 1,3 (заметим, что решение Y₁(t)

системы (10) является и решением системы (20)).

Трёхмерный кусочно-постоянный вариант теоремы доказан.

4. Бесконечная дифференцируемость и n-мерный случай. Для чётного n ≥ 4 и

параметров 0 < λ₁ ≤ . . . ≤ λ_n, μ₁ ≤ . . . ≤ μ_n < 0 по доказанному двумерному варианту

теоремы существуют n/2 двумерных систем-блоков: исходных

x = A_j(t)x с ограниченными

кусочно-постоянными на полуоси [t₀, +∞) матрицами A_j (t) и показателями 0 < λ2j-1 ≤ λ2j ,

j = 1,n/2, и возмущённых

y = Aj(t)y + Qj(t)y с показателями μ2j-1 ≤ μ2j < 0, j = 1,n/2,

и кусочно-постоянной матрицей Q_j (t) → 0 при t → ∞. Это доказывает теорему в кусочно-

постоянном варианте и при чётном n. В случае нечётного n ≥ 5 поступаем точно также,

только один из блоков окажется трёхмерным.

Для завершения доказательства теоремы необходимо по уже определённым кусочно-посто-

янным матрицам A(t) системы (1_n) (с показателями 0 < λ₁ ≤ . . . ≤ λ_n) и Q(t) системы

(4_n) (с показателями μ₁ ≤ . . . ≤ μ_n < 0) построить такие бесконечно дифференцируемые

ограниченные матрицы

A(t) и

^Q(t) → 0 при t → ∞, чтобы системы (1_n) и (4_n) с этими

матрицами в качестве коэффициентов имели прежние показатели:

λ_i

A) = λ_i, λ_i

A + ^Q) = μ_i, i = 1,n.

Для превращения, например, кусочно-постоянной функции f : [t₁, t₂] → R¹ с единственной

(изолированной) точкой разрыва t₀ ∈ (t₁, t₂) воспользуемся на очень малом по длине ε(t₀) =

= exp(-t²⁰) интервале (t₁, t₂) сглаживающей функцией Гелбаума-Олмстеда [8, с. 54]

e_αβ(t,t₁,t₂) = α + (β - α)exp{-(t - t₁)-2 exp[-(t - t₂)-2]}, t ∈ (t₁,t₂),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1452

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

f (t₁) = α, f(t₂) = β, принимающей на концах интервала значения α и β и нулевые значе-

ния своих односторонних производных любого порядка. Применив этот процесс сглаживания

в любой точке разрыва (а они все изолированы и расположены на полуоси достаточно ред-

ко) каждого элемента указанных матриц, получим необходимые ограниченные бесконечно-

дифференцируемые матрицы

A(t) и

^Q(t) → 0, t → ∞, для которых в силу равенства ε(t) =

= exp(-t²), t ≥ t₀, выполнено условие

∫

[∥A(τ)

A(τ)∥ + ∥Q(τ) -Q(τ)∥]e^Mτ dτ < +∞

t₀

для достаточно большого M > 0. Поэтому согласно [9] на полуоси [t₀, +∞] будут асимптоти-

чески эквивалентными (приводимыми): система (1_n) - системе

A(t)x, x ∈ Rⁿ, а система

(4_n) - системе

A(t)y +^Q(t)y, y ∈ Rⁿ (с сохранением прежних показателей). Теорема

доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Perron O. Die Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen // Mathematische Zeitschrift. 1930. Bd. 32.

H. 5. S. 702-728.

2. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. М.; Ижевск,

2006.

3. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение произвольного суслинского множества положительных ха-

рактеристических показателей в эффекте Перрона // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 4.

С. 464-472.

4. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение счётного числа различных суслинских множеств характерис-

тических показателей в эффекте Перрона смены их значений // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56.

№ 12. С. 1585-1589.

5. Изобов Н.А., Ильин А.В. О существовании линейных дифференциальных систем со всеми поло-

жительными характеристическими показателями первого приближения и экспоненциально убыва-

ющими возмущениями и решениями // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. C. 1450-1457.

6. Изобов Н.А., Ильин А.В. Существование антиперроновского эффекта смены положительных ха-

рактеристических показателей на отрицательные при исчезающих на бесконечности линейных воз-

мущениях // Дифференц. уравнения. 2022. Т. 58. № 6. C. 863-864.

7. Миллионщиков В.М. О неустойчивости особых показателей и о несимметричности отношения почти

приводимости линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1969.

Т. 5. № 4. С. 749-750.

8. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. М., 1967.

9. Изобов Н.А., Мазаник С.А. Об асимптотически эквивалентных линейных системах при экспонен-

циально убывающих возмущениях // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 2. C. 168-173.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 25.07.2022 г.

г. Минск,

После доработки 25.07.2022 г.

Московский государственный университет

Принята к публикации 30.08.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022