ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1453-1460

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.952+517.977

ПРИМЕНЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

МЕТОДОВ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. II

Рассматривается вопрос использования дифференциально-геометрических и алгебраиче-

ских методов теории динамических систем с управлением в теории дифференциальных

уравнений с частными производными.

DOI: 10.31857/S0374064122110024, EDN: LZVOCI

Введение. Рассматривается система дифференциальных уравнений с частными производ-

ными первого порядка

Λ_ν(t,y,p) = 0, ν = 1,l,

после приведения которой к специальному виду в параметрической форме, разрешённой от-

носительно всех производных, получим систему

∂_kyⁱ = g^ik(t,y,u),

где ∂_k = ∂/∂_tk , i = 1, n, k = 1, s. В результате открывается возможность применения некото-

рых дифференциально-геометрических и алгебраических методов теории динамических сис-

тем с управлением, используя некоторую аналогию данных объектов. Эти методы позволяют

исследовать некоторые вопросы декомпозиции, построения симметрий и др. В статье [1] на

основе понятия первого интеграла с помощью замены координат, в которую входят первые

интегралы, была получена простая декомпозиция вида

∂_kzⁱ = 0, i = 1,q,

∂_kz^j = h^jk(t,x,u), j = q + 1,n.

В данной работе рассматривается более общая декомпозиция, которая также имеет аналог в

теории динамических систем с управлением под названием агрегирование (факторизация).

1. Агрегирование (факторизация) динамических систем с управлением. Напо-

минаем, что динамической системой с управлением называется система уравнений вида

yⁱ = gⁱ(t,y,u), i = 1,n, (t,y) ∈ M ⊂ Rn+1, u ∈ U ⊂ R^r.

(1)

Предполагается, что функции gⁱ,

∂fⁱ/∂y^j,

∂gⁱ/∂u^α являются гладкими. Обычно y назы-

вают фазовыми переменными (состояниями), u - управлениями (внешними воздействиями).

Множество M называется фазовым пространством. Управления могут быть кусочно-непре-

рывными функциями u(t), t ∈ [t₀, t₁], в этом случае они называются допустимыми. Решени-

ем или фазовой траекторией системы (1) называется непрерывная кусочно-гладкая функция

y(t), t ∈ [t₀, t₁], для которой существует такое допустимое управление u(t), t ∈ [t₀, t₁], что

функции y(t), u(t) удовлетворяют соотношениям (1).

Под декомпозицией управляемой системы (1) в этом пункте понимается приведение этой

системы с помощью замены фазовых переменных y → z = ϕ(t, y) к виду

Ż^k = h^k(t,z¹,... ,z^m,u), k = 1,m,

(2)

Żl = hl(t,z1,...,zn,u), l = m + 1,n.

(3)

1453

1454

ЕЛКИН

Представление (2), (3) характеризуется тем, что уравнения (2) образуют замкнутую систе-

му, поэтому любое решение z(t) системы (2), (3) может быть получено следующим образом.

Сначала нужно найти решение z¹(t), . . . , z^m(t) системы (2) (соответствующее некоторому

допустимому управлению u(t)), а затем, после подстановки z¹(t), . . . , z^m(t) в систему (3),

которая становится замкнутой, найти оставшиеся функции zm+1(t), . . . , zⁿ(t). Таким обра-

зом, декомпозиция (2), (3) позволяет свести процесс нахождения решения системы к нахожде-

нию решений для двух систем, фазовые пространства которых имеют размерности меньшие,

чем n. Если существует такое представление, то говорят также, что система (1) допускает

агрегирование порядка n - m. При этом среди функций

zⁱ = ϕⁱ(t,y), i = 1,n,

(4)

осуществляющих соответствующую замену фазовых координат

y → z = ϕ(t,y),

первые m функций называются агрегатами.

Для изучения возможностей такой декомпозиции в теории динамических систем применя-

ется так называемый метод полных семейств векторных полей [2; 3; 4, с. 127]. Согласно этому

методу отыскиваются условия, которым должны удовлетворять полные семейства векторных

полей, для которых агрегаты (4) являются интегралами. Этот метод будем применять и для

декомпозиции дифференциальных уравнений с частными производными далее в п. 2, где он

будет подробно описан.

2. Декомпозиция дифференциальных уравнений с частными производными.

Рассматриваются дифференциальные уравнения с частными производными специального ви-

да, причём для упрощения и не ограничивая общности - “автономные”, т.е с правыми частями,

не завиcящими от аргументов t:

∂_kyⁱ = g^ik(y,u),

(5)

t∈I ⊂R^s, y∈L⊂Rⁿ, u∈U ⊂R^s,

где I, L, U - некоторые области. Речь пойдёт о декомпозиции системы (5) с помощью замены

зависимых переменных y, точнее, о возможности преобразования системы с помощью замены

переменных

zⁱ = ϕⁱ(y), i = 1,n,

(6)

к виду

Żl = hl(z1,... ,zm,u), l = 1,m,

(7)

Żⁱ = hⁱ(z¹,... ,zⁿ,u), i = m + 1,n.

(8)

Если такое представление возможно, то будем говорить, что система (5) допускает деком-

позицию по зависимым переменным порядка n - m, причём первые m функций в замене

переменных (6)

zⁱ = ϕⁱ(y), i = 1,m,

(9)

называются агрегатами. Далее рассматривается применение метода полных семейств для ис-

следования возможности декомпозиции (7), (8) для систем (5). Полным семейством векторных

полей или операторов называется семейство полей∗)

∂

Z_a = b^ia(y)

a = 1,p,

(10)

∂yⁱ

если:

1) rank ∥b^ia(y)∥ = p, т.е. векторы Z_a(y), a = 1, p, линейно независимы в каждой точке

y ∈ M или, как ещё говорят, линейно несвязаны в области M;

∗) По повторяющемуся индексу здесь и далее проводится суммирование.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1455

2) выполняются равенства

[Z_a, Z_c] = h^dac(y)Z_d, a, c, d = 1, p,

т.е. все коммутаторы [Z_a, Z_c] семейства выражаются линейно с переменными коэффициентами

h^dac(y) через остальные поля семейства.

Гладкая функция Φ(y), y ∈ M, называется интегралом поля Z_a или корнем оператора

Z_a, если

∂Φ

Z_a(Φ(y)) = b^ia(y)

= 0.

∂yⁱ

Теорема 1 [5, с. 12]. Полное семейство (10), p < n, имеет в окрестности каждой точки

m = n - p функционально независимых интегралов (полный набор)



∂Φk

k=1,n-m



Φ^k(y), rank^

= n - m,

(11)



∂yⁱ

i=1,n

причём любой интеграл Φ(y) функционально выражается через полный набор

Φ(y) = F (Φ¹(y), . . . , Φ^m(y)).

Теорема 2 [5, с. 20]. Пусть в области M заданы независимые функции (11). Тогда в

окрестности каждой точки M найдётся полное семейство (10), p = n - m, для которого

функции (11) составляют полный набор интегралов.

Доказательство. Рассмотрим систему однородных линейных алгебраических уравнений

∂ϕ

ξⁱ

= 0, k = 1, m,

(12)

∂yⁱ

относительно компонент векторного поля ξ = ξⁱ∂/∂yⁱ. Для любой точки y найдётся окрест-

ность, в которой некоторый минор m-го порядка матрицы системы уравнений (12) отличен от

нуля. Фундаментальная система решений в этой окрестности определяет линейно несвязанное

семейство векторных полей (10), для которого функции (11) являются интегралами. Любое

поле ξ = ξⁱ∂/∂yⁱ, удовлетворяющее (12), должно линейно выражаться через поля (10). В

частности, так как коммутаторы [ξ_a, ξ_b] в силу свойства

[ξ, η](Φ) = ξ(η(Φ)) - η(ξ(Φ))

(13)

удовлетворяют (12), справедливо свойство 2) семейства (10). Следовательно, построенное се-

мейство (10) является полным. Функции (11) составляют максимальный набор независимых

интегралов семейства (10), поскольку в противном случае получилось бы противоречие с тео-

ремой 1. Теорема доказана.

Переходим к условиям существования декомпозиции (7), (8). Введём в рассмотрение опе-

раторы полного дифференцирования системы (5) по переменным t^l (без явного дифференци-

рования по t^l в силу “автономности”)

X_l = g^il(y,u)∂/∂yⁱ, l = 1,s.

(14)

Замена зависимых переменных (6) в системе (5) осуществляется следующим образом: нужно

подействовать операторами (14) на функции (6)

X_l(ϕⁱ(y)) = g^jl(y,u)^∂ϕ

i = 1,n,

∂y^j

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1456

ЕЛКИН

и выразить функционально полученные функции через (6):

g^jl(y,u)^∂ϕ

= hⁱ(ϕ¹(y),... ,ϕⁿ(y),u), i = 1,n,

(15)

∂y^j

Функции hⁱ(z¹, . . . , zⁿ, u) являются новыми правыми частями системы, при этом декомпози-

ция (7), (8) возникает, когда первые m функций (15) функционально выражаются только

через агрегаты (9), т.е.

g^jl(y,u)^∂ϕ

= hⁱ(ϕ¹(y),... ,ϕ^m(y),u), i = 1,m.

(16)

∂y^j

Непосредственное применение этого условия не даёт конструктивного метода нахождения аг-

регатов и проверки возможности декомпозиции. Поэтому применяется опосредованный под-

ход, когда сначала с помощью решения некоторых систем дифференциальных уравнений отыс-

киваются полные семейства векторных полей, для которых агрегаты являются интегралами, а

затем находятся агрегаты, т.е. интегралы этих семейств. При этом совместность упомянутых

систем дифференциальных уравнений определяет возможность декомпозиции.

Теорема 3. Система (5) тогда и только тогда локально приводится к виду (7), (8) с

помощью замены переменных (6), когда существует такое полное семейство (10), p = n -

- m < n, что

[X_l, Z_a] = μ^bla(y, u)Z_b, l = 1, r, a, b = 1, p,

(17)

причём агрегаты (9) составляют полный набор интегралов семейства (10).

Доказательство. Необходимость. Для агрегатов (9) по теореме 2 существует полное

семейство (10). Подействуем коммутаторами

[X_l, Z_a] на эти функции, используя свойство

коммутатора (13). Получим

[X_l, Z_a](ϕⁱ(y)) = X_l(Z_a(ϕⁱ(y))) - Z_a(X_l(ϕⁱ(y))) = 0.

(18)

Здесь использовано то обстоятельство, что функции X_l(ϕⁱ(y)) согласно формуле (16) функ-

ционально выражаются через полный набор интегралов семейства (10) и поэтому также яв-

ляются интегралами этого семейства. В доказательстве теоремы 2 отмечено, что условие (18)

влечёт за собой выполнение условия (17).

Достаточность. Для семейства (10) возьмём полный набор интегралов ϕⁱ(y), i = 1, n - p,

и рассмотрим выражения (18). Из (18) вытекает, что функции X_l(ϕⁱ(y)) являются интеграла-

ми семейства (10) и по теореме 1 функционально выражаются через полный набор интегралов

и, следовательно, ϕⁱ(y) являются агрегатами для системы (5). Теорема доказана.

Выражения (18) можно трактовать как систему дифференциальных уравнений

X_l(b^ia) = Z_a(gⁱ) + μ^bla(y,u)b^ic, i = 1,n, a,c = 1,p, u ∈ U,

(19)

относительно неизвестных компонент семейства (10). В (19) выражения X_l, Z_a представля-

ют собой действия полей X_l, Z_a на функции b^ia(y), fⁱ(y, u) как операторов. После решения

этой системы нужно найти полный набор интегралов ϕⁱ(y), i = 1, n - p, полного семейства

(10), что, согласно [5, с. 12], сводится к решению некоторых систем обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений. Для нахождения правых частей фактор-системы следует функции

g^j(y,u)∂ϕ^k/∂y^j выразить функционально через функции ϕⁱ(y), i = 1,n - p, т.е. представить

их в виде

∂ϕ

g^j(y,u)

= h^p(ϕ¹(y),... ,ϕ^m(y),u).

∂y^j

Построенные функции h^k и определяют искомую фактор-систему

Ż^k = h^k(z,u), k = 1,m.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1457

Система (19) содержит помимо переменных b^ia(y) неизвестные параметрические перемен-

ные μ^bla(y, u). Последнее обстоятельство усложняет дело. Кроме того, нужно добавить условие

полноты [Z_b, Z_a] = κ^cba(y)Z_c семейства (10), которое тоже представляет собой систему диф-

ференциальных уравнений, причём с неизвестными параметрическими переменными κ^cba(y).

Рассмотрим метод исключения параметрических переменных с помощью использования яко-

биевых семейств. Сначала докажем одно утверждение, которое связывает полные семейства и

их интегралы.

Для того чтобы исключить функции μ^cua из системы (19), следует задать некоторое свой-

ство, которым должны обладать агрегаты (9). Это свойство заключается в определённом рас-

положении базисного минора в якобиевой матрице ∥∂ϕ^k/∂yⁱ∥.

Теорема 4. Пусть (10) - полное семейство векторных полей, (11) - полный набор ин-

тегралов этого семейства, а I - некоторое подмножество из p элементов множества

индексов {1,... ,n}, I = {1,... ,n} \ I. Тогда следующие условия эквивалентны:

а) |ξ^ia|^i∈I

= 0;

a=1,p



_∂ϕk

k=1,m



б)^

= 0.



∂yⁱ

i∈I

Доказательство. Пусть выполняется условие а). Рассмотрим семейство полей η_b, b ∈

∈ I, которое получается из исходного семейства линейным невырожденным преобразованием:

η_b = μ^ab(y)ξ_a, b ∈ I. Здесь функции μ^ab составляют матрицу, обратную к матрице ∥ξ^ia∥^i∈I

a=1,p

Построенное семейство полей будет иметь вид

∂

η_b =

+ η^cb(y)

b∈I, c∈I,

(20)

∂y^b

∂y^c

где η^cb - некоторые функции. Очевидно, что функции ϕ^k являются интегралами и полей

η_b, т.е.

∂ϕ^k

= -η^c

∂y^b

^b ∂y^c

Отсюда вытекает, что выполняется условие б).

Пусть теперь выполняется условие б). Рассмотрим систему линейных однородных уравне-

ний относительно неизвестного векторного поля ξ = ξⁱ(y)∂/∂yⁱ :

∂ϕ

ξⁱ

= 0, k = 1, m.

∂yⁱ

Очевидно, что поля ξ_a, a = 1, p, образуют фундаментальную систему решений этой системы

уравнений. С другой стороны, нетрудно видеть, что существует фундаментальная система

решений вида (20). Два семейства (10) и (20) должны быть связаны линейным невырожденным

преобразованием. Отсюда вытекает справедливость условия а). Теорема доказана.

Предположим, что для искомых агрегатов (9) выполняется условие



_∂ϕk

k=1,m



= 0, p = n - m.

(21)



∂yⁱ

i=p+1,n

Справедлива

Теорема 5. Для того чтобы система (1) допускала (локальную) факторизацию порядка

p = n-m, характеризующуюся свойством (21), необходимо и достаточно, чтобы была сов-

местной система дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций b^la(y):

X_l(b^la) = Z_a(f^l) - b^lcZ_a(f^c),

(22)

Z_a(b^lc) = Z_c(b^la),

(23)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1458

ЕЛКИН

где

∂

Z_a =

+ b^la(y)

u ∈ U, a,c = 1,p, l = p + 1,n.

(24)

∂y^a

∂y^l

Доказательство. Необходимость. Если система (1) допускает факторизацию со свой-

ством (21), то, согласно доказательству теоремы 4, существует семейство вида (24). Семейство

(24) должно удовлетворять соотношениям (17). Запишем эти соотношения покомпонентно:

ξ_u(δ^ia) - Z_a(fⁱ) = h^caδ^ic,

(25)

ξ_β(b^la) - Z_a(f^l) = h^cab^lc,

(26)

где i, a, c = 1, p, l = p + 1, n, δ^ia - символ Кронекера. Из (25) имеем h^ia = -Z_a(fⁱ). Подставив

h^ia в (26), получим (22). Равенства (23) представляют собой условие полноты семейства (24).

Действительно, согласно доказательству теоремы 1, семейство (24) является полным тогда

и только тогда, когда оно якобиево, т.е. [Za, Zc] = 0, a, c = 1, p, что равносильно равен-

ствам (23).

Достаточность. Если совместна система (22), (23), то семейство полей (24) является пол-

ным. Далее, положив h^ia = -Z_a(fⁱ), из (22) получим (25), (26), откуда вытекает (17). Сле-

довательно, система (1) допускает факторизацию порядка p. Свойство (21) вытекает из вида

семейства (24). Теорема доказана.

Уравнения (22) представляют собой систему уравнений относительно b^la без параметриче-

ских переменных.

При ином расположении базисного минора в матрице ∥∂ϕ^k/∂yⁱ∥ условия факторизации

(22), (23) преобразуются очевидным образом. Итак, задача решения системы дифференциаль-

ных уравнений (19) с параметрическими переменными сведена к задаче решения нескольких

систем дифференциальных уравнений вида (22) без параметрических переменных. Решение

системы (22), т.е. набор компонент семейства полей (24), следует подставить для проверки в

уравнения (23), представляющие собой условия полноты семейства (24). Лишь те решения сис-

темы (22), которые одновременно являются и решениями системы (23), определяют семейство,

порождающее факторизацию порядка p.

Система такого вида является частным случаем так называемых уравнений в частных

производных с одинаковой главной частью

a^jk(x)^∂y

= b^ik(x,y), i = 1,n, j = 1,m, k = 1,r.

(27)

∂x^j

Функции a^jk, b^ik гладкие в области V × U, где V ⊂ R^m, U ⊂ Rⁿ.

Замечание. Системы (27) для r = 1 рассматривались в работе [4, с. 146]. Другой частный

случай систем вида

∂yⁱ

= b^ij(x,y), i = 1,n, j = 1,m,

(28)

∂x^j

также хорошо известен (см., например, [4, с. 10]). Для проверки совместности следует рас-

смотреть равенство смешанных производных

∂²yⁱ

∂x^j∂x^s

∂x^s∂x^j

в силу (28).

Если эти уравнения тождественно выполняются, то система (27) вполне интегрируема.

В противном случае получаем систему конечных уравнений, устанавливающих условия на y,

как функций от x. Если каждое из этих уравнений продифференцировать по xⁱ и заменить

производные ∂yⁱ/∂xⁱ их значениями из (28), то данные уравнения либо будут следствиями

полученных уравнений, либо составят новую систему. Продолжив этот процесс, получим ряд

систем, которые должны быть совместны, если уравнения (28) имеют решения. В противном

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1459

случае решений у системы (28) нет. Данные рассуждения и выводы можно применять и тогда,

когда заданы какие-либо дополнительные функциональные соотношения между переменными

y и x:

η^α(y,x) = 0, α = 1,q.

В работе [7] автором получен алгоритм проверки совместности и нахождения решений

систем уравнений (27).

Наконец, рассмотрим один весьма общий случай систем, когда можно проверить совмест-

ность системы (22), (23), не решая предварительно (22). Данный случай собственно и назы-

вается случаем системы, находящейся в общем положении. Это такие системы, у которых

отсутствуют нетривиальные первые интегралы. Вопрос о существовании первых интегралов

был рассмотрен в статье [1]. Термин системы, находящейся в общем положении, был введён

для динамических систем с управлением [8, с. 149]

yⁱ = fⁱ(y,u), i = 1,n, y ∈ M ⊂ Rⁿ, u ∈ U ⊂ R^r.

(29)

В определённом смысле почти все системы вида (29) находятся в общем положении [8, с. 149].

Напомним алгоритм нахождения первых интегралов для системы (5) [1], который заключа-

ется в процессе пополнения. Операторы полного дифференцирования (14) после подстановки

в них всевозможных постоянных u ∈ U дают ассоциированное семейство векторных полей в

M, компоненты которых зависят от Y. Далее нужно выделить в ассоциированном семействе

максимальное число линейно несвязанных векторных полей, объединить эти поля и пополнить

в области изменения переменных M. Процесс пополнения заключается в постепенном добав-

лении коммутаторов до тех пор, пока все новые коммутаторы не будут линейно выражаться

через уже полученные. Если число полей s в полученном полном семействе меньше числа пе-

ременных n, то нетривиальные первые интегралы существуют, причём число функционально

независимых интегралов равно n - s. Таким образом, нетривиальные первые интегралы от-

сутствуют, если s = n, т.е. полученное полное семейство состоит из n линейно несвязанных

полей. Следовательно, матрица из компонент этого семейства является квадратной размерно-

сти n×n невырожденной матрицей. Теперь заметим, что ассоциированные поля удовлетворя-

ют соотношениям (17). Прямым вычислением подтверждается, что коммутаторы этих полей

также удовлетворяют (17), а следовательно, и поля построенного полного семейства, которые

также удовлетворяют и соотношениям (22), так как эти соотношения являются следствиями

соотношений (17). Для построенного полного семейства соотношения (22) характеризуются

следующим обстоятельством: левую часть можно трактовать как умножение невырожденной

матрицы на производные от b^la. В результате эти производные можно выразить через осталь-

ные члены уравнений и уравнения преобразуются в систему вида (28). После подстановки

производных в равенство (23) эти дифференциальные связи заменяются на конечные связи.

Согласно замечанию, в этом случае при проведении алгоритма исследования на совмест-

ность системы (22) дополнительные дифференциальные связи типа (23) можно заменить на

конечные связи и рассматривать их в рамках проведения данного алгоритма.

Заключение. Рассмотрена возможность применения методов теории управления в теории

уравнений с частными производными.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 19-01-00625).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Елкин В.И. Применение дифференциально-геометрических методов теории управления в теории

дифференциальных уравнений с частными производными. I // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57.

№ 11. С. 1474-1482.

2. Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организаци-

онные структуры. I. Группы, характеризующие динамические системы // Журн. вычислит. мате-

матики и мат. физики. 1974. Т. 14. № 4. С. 862-872.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

2^∗

1460

ЕЛКИН

3. Павловский Ю.Н. Групповые свойства управляемых динамических систем и фазовые организаци-

онные структуры. II. Фазовые организационные структуры // Журн. вычислит. математики и мат.

физики. 1974. Т. 14. № 5. С. 1093-1103.

4. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Декомпозиция и инвариантность по воз-

мущениям. М., 2003.

5. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М., 1947.

6. Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.

7. Елкин В.И. Общее решение систем уравнений в частных производных с одинаковой главной частью

// Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21. № 8. С. 1389-1398.

8. Лобри К. Динамические полисистемы и теория управления // Математические методы в теории

систем. М., 1979. С. 134-173.

Федеральный исследовательский центр

Поступила в редакцию 12.05.2022 г.

“Информатика и управление” РАН, г. Москва

После доработки 12.05.2022 г.

Принята к публикации 15.08.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022