ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1461-1470

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.957

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С НУЛЕВЫМ ФРОНТОМ

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ВЫРОЖДАЮЩЕЙСЯ

ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрена специальная краевая задача для нелинейной параболической системы, пред-

ложенной Дж. Мюрреем и применяемой для описания популяционной динамики. Краевые

условия задачи предполагают наличие у возможных решений нулевого фронта - линии, на

которой искомые функции обращаются в нуль, и происходит вырождение параболического

типа системы. Частным случаем подобных решений для одиночных вырождающихся урав-

нений можно назвать нелинейные тепловые (фильтрационные, диффузионные) волны, рас-

смотренные в работах Я.Б. Зельдовича, Г.И. Баренблатта, А.А. Самарского. В настоящей

статье доказана теорема существования и единственности нетривиального аналитическо-

го решения исследуемой задачи. В ходе доказательства построено решение в виде рядов

Тейлора, записаны рекуррентные формулы коэффициентов, которые в дальнейшем могут

быть использованы для верификации численных расчётов. Представлены некоторые точ-

ные решения системы, имеющие нулевой фронт. Отдельно рассмотрены примеры, иллю-

стрирующие поведение решения при отступлении от условий теоремы. В первом примере

показана возможность существования решений исходной системы с двумя различными ну-

левыми фронтами. Второй пример - аналог известного контрпримера С.В. Ковалевской в

рассмотренном случае.

DOI: 10.31857/S0374064122110036, EDN: LZWFJI

Введение. В статье исследуется одномерная система двух квазилинейных вырождающих-

ся параболических уравнений второго порядка. Вырождение параболического типа происхо-

дит при равенстве нулю неизвестных функций. Уравнения при этом приобретают некоторые

гиперболические свойства. Квазилинейные уравнения параболического типа [1, с. 473] и их сис-

темы достаточно часто используются при моделировании различных эволюционных процессов

в теплофизике [2], механике сплошных сред [3, 4], математической биологии [5, 6] и др. Особое

место среди них занимают уравнения и системы с вырождением [7], описывающие интересные

(в том числе с точки зрения математики) нелинейные эффекты. Одним из таких эффектов

может быть наличие нетривиальных решений, обращающихся в нуль на некоторой кривой,

которая называется нулевым фронтом. Решения с нулевым фронтом, в частности, являются

составной частью так называемых тепловых (фильтрационных, диффузионных) волн.

Точные решения с нулевым фронтом для описанных выше уравнений рассматривались

Я.Б. Зельдовичем [8] в рамках исследования механизмов лучистой теплопроводности (тепло-

вые волны), Г.И. Баренблаттом [9] при моделировании фильтрации политропного газа, прохо-

дящего через пористый грунт (волны фильтрации). В монографии акад. А.А. Самарского [2]

представлены некоторые точные решения указанного типа, исследованы нелинейные эффек-

ты, связанные с вырождением (при равенстве нулю искомой функции старшие производные об-

ращаются в нуль, параболический тип вырождается, фронт движется с конечной скоростью).

Добавим, что точные решения нелинейного уравнения теплопроводности (диффузии, филь-

трации) также можно найти в справочнике [10], однако далеко не все из них имеют нулевой

фронт.

В научной школе акад. А.Ф. Сидорова разработаны методы построения аналитических,

точных и приближённых решений с нулевым фронтом, предложены постановки краевых задач,

подразумевающих наличие такого фронта [11]. Особо выделим метод рядов, часто использую-

щийся в гиперболических задачах [12] и адаптированный А.Ф. Сидоровым и его учениками для

решения параболических задач с вырождением (характеристические [13] и специальные [14]

1461

1462

КАЗАКОВ, КУЗНЕЦОВ

ряды). Рассмотрены задачи о построении решений с нулевым фронтом в одномерных [15, 16],

симметричных [17, 18] и существенно неодномерных [19, 20] постановках. Доказаны теоремы

существования и единственности аналитических решений таких задач, решения построены в

виде степенных рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами. Сходимость послед-

них доказывается методом мажорант с использованием теоремы Коши-Ковалевской. В рабо-

тах [16, 17] построены точные решения, имеющие нулевой фронт, при этом исходная задача,

как правило, сводится к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (или

системы [15]). Такой метод редукции нередко используется при построении точных решений

(см., например, статьи [21, 22], а также справочник [10]). В ряде работ исследования дополнены

численными расчётами, выполненными на основе метода граничных элементов [19, 23, 24].

В последнее время авторами предприняты усилия для распространения полученных ра-

нее результатов на более сложные математические объекты. В частности, решения с нулевым

фронтом удалось построить для нелинейной вырождающейся параболической системы, возни-

кающей в математической биологии. Она отличается от реакционно-диффузионных систем [16]

существенно более сложной взаимосвязью уравнений, что делает невозможным автоматиче-

ское перенесение ранее полученных результатов и накладывает свой отпечаток на построение

решения, а также на доказательство сходимости. Настоящая статья обобщает и развивает

результаты, полученные в статье [25], а именно, для системы более общего вида обоснована

теорема существования и единственности аналитического решения с заданным нулевым фрон-

том; предложена конструктивная процедура построения решения в виде степенных рядов и

доказана сходимость последних; представлены некоторые точные решения, имеющие нулевой

фронт; рассмотрены примеры, иллюстрирующие поведение решения при отступлении от усло-

вий теоремы.

1. Постановка задачи. В монографии [26, с. 10] представлена нелинейная вырождающа-

яся система

u_t - [(α₁ + β₁v_x)u]_x = f(u,v), v_t - [(α₂ - β₂u_x)v]_x = g(v,u), α1,2,β1,2 ∈ R,

(1)

лежащая в основе двумерной модели “хищник-жертва” и представляющая собой обобщение

хорошо известной модели Лотки-Вольтерры [27, с. 24]. Данная модель описывает популяци-

онную динамику двух взаимодействующих видов - хищников v и жертв u. Константы α₁

и α₂ обозначают скорости движения жертв и хищников, соответственно, до начала их вза-

имодействия (т.е. пока хищники не заметили жертв и не начали преследование). С началом

преследования скорости меняют значения на α₁ + β₁v_x и α₂ - β₂u_x (см. [26, с. 10, рис. 1.4.b]).

Замечание 1. Биологический смысл данной модели диктует следующие ограничения на

константы: α₁α₂ ≥ 0 и β1,2 > 0. В данной статье будет предполагаться лишь, что β1,2 = 0.

Этого достаточно для корректного проведения планируемых исследований. Случай β1,2 =

= 0 также встречается в литературе, однако при этом система (1) становится полулинейной

гиперболической системой первого порядка без вырождения.

Выполним в (1) дифференцирование и разрешим уравнения относительно u_t и v_t :

u_t = α₁u_x + β₁(uv_xx + v_xu_x) + f(u,v), v_t = α₂v_x - β₂(vu_xx + u_xv_x) + g(v,u).

(2)

Пусть u, v - искомые функции, f, g - известные достаточно гладкие функции (в [25] они

предполагаются степенными), причём f(0, 0) = g(0, 0) = 0. Согласно монографии [26, с. 10,

рис. 1.4.b] целесообразно рассматривать решения, имеющие нулевой фронт. Поэтому для сис-

темы (2) представляют интерес краевые условия

u(t, x)|x=a(t), v(t, x)|x=b(t) = 0.

(3)

Аналитическое исследование задачи (2), (3) представляется весьма сложным, поскольку

метод характеристических рядов для раскрытия особенностей здесь, по-видимому, неприме-

ним. Отметим, что авторам неизвестны результаты аналитического исследования даже более

простой задачи с условиями вида (3) для системы “реакция-диффузия”

u_t = uu_xx + u2x/σ + F(u,v), v_t = vv_xx + v2x/δ + G(v,u), σ,δ > 0.

(4)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С НУЛЕВЫМ ФРОНТОМ

1463

В связи с этим в качестве первого шага исследований рассмотрим случай, когда нулевые фрон-

ты для искомых функций совпадают. Пусть a(t) = b(t) и краевые условия имеют вид

u(t, x)|x=a(t) = v(t, x)|x=a(t) = 0.

(5)

Считаем, что нулевой фронт обеих искомых функций здесь определяется достаточно глад-

кой кривой x = a(t), такой, что a^′(0) = 0. Подобный пример при α₁ = α₂ рассмотрен в

монографии [26, с. 11], где фронт предполагался линейным: x = -α₁t. Данная ситуация (сов-

падающий фронт) может возникнуть, когда хищники полностью “покрывают” жертв, делая

невозможным продвижение переднего фронта последних дальше своего. Общий случай задачи

(2), (3), когда каждая из функций u и v имеет свой фронт, на данном этапе исследований не

рассматривается.

Параболичность первого уравнения системы (2) определяется группой старших производ-

ных v_xx. Однако вырождение параболического типа происходит при равенстве нулю (напри-

мер, на линии фронта) другой функции - u. Кроме того, уравнение разрешено относительно

u_t, что весьма характерно для эволюционных уравнений - весь процесс отслеживается отно-

сительно производной по времени. То же самое имеет место и для второго уравнения.

Для сравнения обратимся к системе типа “реакция-диффузия” (4), рассмотренной в ста-

тье [16]. Здесь при F = F (u), G = G(v) имеем два независимых одномерных уравнения типа

нелинейной теплопроводности [2, с. 17] (фильтрации [11, с. 258]). Таким образом, исследование

аналитической разрешимости задачи (2), (5) будет иметь ряд отличий от проводимых ранее.

В дальнейшем это будет показано при построении решения в виде рядов и доказательстве их

сходимости.

В завершении этого пункта добавим, что выполнение равенства f(0, 0) = g(0, 0) = 0 га-

рантирует существование хотя бы одного аналитического решения задачи (2), (5) - тривиаль-

ного. В следующем пункте будет доказано существование и единственность нетривиального

аналитического решения. Под аналитической (в точке) здесь и далее понимается функция,

совпадающая в некоторой окрестности (точки) со своим тейлоровским разложением.

2. Теорема существования. Для задачи (2), (5) справедлива следующая

Теорема. Пусть выполнены условия:

1) a(t) и f, g - аналитические функции в точках t = 0 и (0, 0) соответственно;

2) a^′(0) + α_i = 0, i = 1, 2, f(0, 0) = g(0, 0) = 0.

Тогда задача (2), (5) имеет единственное нетривиальное аналитическое решение в окрест-

ности кривой x = a(t).

Доказательство. Доказательство проведём в два этапа: на первом этапе построим реше-

ние задачи в виде формальных рядов Тейлора по степеням x - a(t), на втором докажем их

сходимость с помощью метода мажорант. При этом получим конструктивные формулы реше-

ния с возможностью их использования для верификации численных расчётов, а также для

оценки радиуса сходимости.

Для удобства введём новую переменную z = x - a(t). Задача (2), (5) примет вид

u_t = (α₁ + a^′)u_z + β₁(uv_zz + v_zu_z) + f(u,v), v_t = (α₂ + a^′)v_z - β₂(vu_zz + u_zv_z) + g(v,u),

(6)

u(t, z)|z=0 = v(t, z)|z=0 = 0.

(7)

Отметим, что такая замена глобально невырождена.

Решение задачи (6), (7) построим в виде рядов Тейлора



∑



∑



zⁿ

∂ⁿu

zⁿ

∂ⁿv



u(t, z) =

u_n(t)

u_n(t) =

v(t, z) =

v_n(t)

v_n(t) =

(8)



∂zⁿ

n=0

z=0

n=0

z=0

Определим коэффициенты рядов. Из краевого условия (7) следует тождество u₀, v₀ ≡ 0.

Положив в (6) z = 0, получим систему

(α₁ + a^′)u₁ + β₁v₁u₁ = 0, (α₂ + a^′)v₁ - β₂u₁v₁ = 0,

(9)

из которой несложно выразить коэффициенты u₁, v₁.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1464

КАЗАКОВ, КУЗНЕЦОВ

Замечание 2. Рассмотрим систему (9). При α1,2 + a^′ = 0 тождество u₁ ≡ 0 выполняет-

ся тогда и только тогда, когда выполняется тождество v₁ ≡ 0. Неравенство же α1,2 + a^′ = 0

всегда справедливо в некоторой окрестности t = 0, так как по условию теоремы a(t) - ана-

литическая функция, причём a^′(0) = -α1,2. Отсюда следует, что система (9) имеет лишь два

решения: u₁, v₁ ≡ 0 и

′

α₁ + a

α₂ + a^′

v₁ = -

u₁ =

(10)

β₁

β₂

В дальнейшем будем предполагать выполнение равенств (10), так как случай u₁, v₁ ≡ 0 при-

водит к тривиальному решению задачи (см. ниже).

Чтобы найти u₂, v₂, необходимо продифференцировать оба уравнения системы (6) по z

и положить z = 0. Первое уравнение запишется в виде

u′1 = (α₁ + a^′)u₂ + β₁(u₁v₂ + v₂u₁ + v₁u₂) + f₁,

в котором f₁ = [f(u, v)]_z |z=0. Так как (α₁ + a^′)u₂ + β₁v₁u₂ = 0, то из данного равенства

можно выразить коэффициент v₂ = (u′1 - f₁)/(2β₁u₁). В то же время из тождества u₁, v₁ ≡ 0

следует, что v₂ ≡ 0.

Использовав обозначение g₁ = [g(v, u)]_z |z=0, повторим те же рассуждения для второго

уравнения системы и получим формулы

u′1 - f₁

a^′′ - f₁β₂

v′1 - g₁

a^′′ + g₁β₁

v₂ =

u₂ =

(11)

2β₁u₁

2β₁(α₂ + a^′)

-2β₂v₁

2β₂(α₁ + a^′)

Остальные коэффициенты определяются аналогично, возрастает лишь порядок дифферен-

цирования. Применив к каждому уравнению системы (6) оператор ∂ⁿ[ · ]/∂zⁿ|z=0, получим

равенства

)

∑

u^′n = (α₁ + a^′)un+1 + β₁

C^knu_kvn+2-k +

C^k

vk+1un+1-k

+f_n,

k=0

)

∑

v^′n = (α₂ + a^′)vn+1 - β₂

C^knv_kun+2-k +

C^k

uk+1vn+1-k

+g_n,

(12)

k=0

в которых использованы обозначения



∂ⁿf(u,v)

∂ⁿg(v,u)



f_n =

g_n =



∂zⁿ

z=0

С помощью рекуррентной формулы (12) индукцией по n можно показать, что тождество

u₁,v₁ ≡ 0 приводит к равенству нулю всех коэффициентов.

Выразим из формул (12) коэффициенты vn+1 и un+1 :

[

]

∑

β₂

vn+1 =

u^′

-β₁

(C^kn + Ck-1)ukvn+2-k - fn ,

β₁(α₂ + a^′)(1 + n)

k=2

[

]

∑

β₁

un+1 =

v^′

+β₂

(C^kn + Ck-1

)v_kun+2-k - g_n , n ≥ 2.

(13)

β₂(α₁ + a^′)(1 + n)

k=2

Замечание 3. Процедура построения решения наглядно демонстрирует взаимосвязь урав-

нений системы (6). При дифференцировании первого уравнения, разрешённого относительно

u_t, находится коэффициент vn+1, который выражается, в том числе, через коэффициенты

ряда Тейлора функции u. То же самое можно сказать и о втором уравнении.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С НУЛЕВЫМ ФРОНТОМ

1465

Решение задачи (6), (7) построено в виде рядов (8) с коэффициентами u₀, v₀ ≡ 0, (10), (11)

и (13). Первый этап доказательства завершен.

Второй этап доказательства разберём кратко. Сходимость рядов докажем методом мажо-

рант. Перед построением мажорантной задачи сделаем в системе (6) замену

u(t, z) = u₁z + z²U(t, z), v(t, z) = v₁z + z²V (t, z),

которая представляет собой частичное разложение искомых функций в ряды Тейлора (8).

При такой замене отпадает необходимость рассматривать краевое условие (7), так как оно

выполняется автоматически.

После приведения подобных членов и деления на z задачу (6), (7) можно свести к системе

4V + 5zV_z + z²V_zz = ξ₀(t) + zξ₁(t, U, V, U_t) + z²ξ₂(t, U, V, U_z , V_z) + z³ξ₃(z, t, U, V, U_z , V_z, V_zz),

4U +5zU_z +z²U_zz = η₀(t)+zη₁(t, V, U, V_t)+z²η₂(t, V, U, V_z , U_z)+z³η₃(z, t, V, U, V_z , U_z, U_zz). (14)

В левых частях уравнений (14) собраны слагаемые, относительно которых могут быть выраже-

ны коэффициенты наивысшего порядка. Здесь также проявляют себя специфические свойства

системы, описанные в замечании 3.

Вид функций ξ_i, η_i, i = 0, 1, 2, 3, не приводится в силу крайней громоздкости, отметим

лишь, что все они будут аналитическими по своим переменным (в начале координат). Отсюда

следует, что для них можно подобрать мажоранты.

При выполнении мажорантных оценок

U|z=0,V |z=0 ≪ W₀, U_z|z=0,V_z|z=0 ≪ W₁, ξ₀(t),η₀(t) ≪ ψ₀(t),

ξ₁(t,U,V,U_t),η₁(t,V,U,V_t) ≪ ψ₁(t,W,W,W_t),

ξ₂(t,U,V,U_z,V_z),η₂(t,V,U,V_z,U_z) ≪ ψ₂(t,W,W,W_z,W_z),

ξ₃(z,t,U,V,U_z,V_z,V_zz),η₃(z,t,V,U,V_z,U_z,U_zz) ≪ ψ₃(z,t,W,W,W_z,W_z,W_zz)

решение задачи

∂ψ₁(t,W,W,W_t)

W_zz =

+ ψ₂(t,W,W,W_z,W_z) + zψ₃(z,t,W,W,W_z,W_z,W_zz),

(15)

∂z

W (t, z)|z=0 = W₀(t), W_z(t, z)|z=0 = W₁(t)

(16)

мажорирует решение системы (14). В этом можно убедиться, построив решения в виде рядов

Тейлора

∑

zⁿ

∑ zⁿ

U (t, z) =

U_n n!,V(t,z)=

V_n n!,W(t,z)=

W_n n!^,

n=0



∂ⁿU



∂ⁿV



∂ⁿW



U_n =

V_n =

W_n =



∂zⁿ

z=0

Задачу (15), (16) можно привести к задаче вида Ковалевской, продифференцировав уравне-

ние (15) по z, разрешив его относительно W_zzz и добавив третье краевое условие W_zz(t, 0) =

= W₂(t). Все входные данные являются аналитическими, следовательно, согласно теореме

Коши-Ковалевской, полученная задача имеет единственное аналитическое решение. Теорема

доказана.

3. Точные решения. Приведём некоторые точные решения. Под точными решениями

авторы в данном случае понимают решения задачи, которые представимы в виде суперпозиции

элементарных функций, квадратур, или же их построение сведено к задаче Коши для системы

обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1466

КАЗАКОВ, КУЗНЕЦОВ

Пусть в задаче (6), (7) фронт описывается линейной функцией a(t) = γt, γ ∈ R:

u_t = (α₁ + γ)u_z + β₁(uv_zz + v_zu_z) + f(u,v), v_t = (α₂ + γ)v_z - β₂(vu_zz + u_zv_z) + g(v,u),

(17)

u(t, z)|z=0 = v(t, z)|z=0 = 0.

(18)

Если задача (17), (18) удовлетворяет условиям теоремы, то, очевидно, имеет единственное

нетривиальное аналитическое решение. Покажем, что это решение не зависит от переменной

t, и задача допускает редукцию к задаче Коши для системы двух ОДУ второго порядка.

Исследуем коэффициенты рядов (8) в рассматриваемом случае. В силу линейности фронта

первые коэффициенты постоянны и для них справедливы формулы

α₁ + γ

α₂ + γ

f₁β₂

g₁β₁

u₀,v₀ ≡ 0, v₁ = -

u₁ =

v₂ = -

u₂ = -

β₁

β₂

2β₁(α₂ + γ)

2β₂(α₁ + γ)

Замечание 4. Здесь выбраны ненулевые коэффициенты u₁ и v₁, так как в противном

случае получим тривиальное решение u, v ≡ 0.

С помощью формулы (13) индукцией по n можно доказать, что все остальные коэффици-

енты также являются константами:

[

]

∑

-β₂

vn+1 =

β₁

(C^kn + Ck-1)ukvn+2-k + fn ,

β₁(α₂

+ γ)(1 + n)

k=2

[

]

∑

β₁

un+1 =

β₂

(C^kn + Ck-1)vkun+2-k - gn , n ≥ 2.

β₂(α₁

+ γ)(1 + n)

k=2

Таким образом, установлена справедливость следующего утверждения.

Утверждение. Задача (6), (7) при a(t) = γt, γ ∈ R, α1,2 + γ = 0, f(0, 0) = g(0, 0)

может быть сведена к задаче Коши для системы ОДУ

β₁(uv^′′ + v^′u^′) + (α₁ + γ)u^′ + f(u,v) = 0,

-β₂(vu^′′ + u^′v^′) + (α₂ + γ)v^′ + g(v,u) = 0,

(19)

α₁ + γ

α₂ + γ

u(0) = v(0) = 0, v^′(0) = -

u^′(0) =

(20)

β₁

β₂

имеющей единственное нетривиальное аналитическое решение.

Система (19) наследует все характерные особенности исходной системы, в частности, оба

уравнения не разрешимы относительно старшей производной. Для корректной постановки за-

дачи Коши помимо преобразованного условия (7) добавлено значение первых производных

(коэффициенты u₁ = (α₂ + γ)/β₂ и v₁ = -(α₁ + γ)/β₁). Существование нетривиального ана-

литического решения v(z), u(z) задачи (19), (20) следует из доказанной теоремы.

Замечание 5. При выборе f, g ≡ 0 для всех n ≥ 2 имеет место равенство v_n, u_n = 0.

При этом решение, также как и фронт, линейно:

α₁ + γ

α₂ + γ

v(z) = -

z, u(z) =

β₁

β₂

4. Примеры. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие поведение решения при отступле-

нии от условий теоремы. В первом примере показана возможность существования решений

системы (2) с двумя различными нулевыми фронтами. Второй пример - аналог известного

контрпримера С.В. Ковалевской.

Пример 1. Рассмотрим систему (2) при f, g ≡ 0:

u_t = α₁u_x + β₁(uv_xx + v_xu_x), v_t = α₂v_x - β₂(vu_xx + u_xv_x).

(21)

Пусть каждая из неизвестных функций имеет свой фронт, заданный линейной функцией, т.е.

u(t, x)|x=a1t = v(t, x)|x=a₂t = 0, a1,2 ∈ R.

(22)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С НУЛЕВЫМ ФРОНТОМ

1467

Решение построим в виде плоскостей u = A₁t + B₁x, u = A₂t + B₂x, где A1,2, B1,2 ∈ R.

Подставив эти конструкции в (22), получим равенства

A₁ + B₁a₁ = 0, A₂ + B₂a₂ = 0.

(23)

Из (21) и (23) следуют формулы

a₂ + α₂

a₁ + α₁

(x - a₁t), v =

(x - a₂t).

(24)

β₂

β₁

При a₂ > a₁ функции u и v положительны в области

t ≥ 0, a₁t < x < a₂t.

(25)

Таким образом, задача (21), (22) имеет в области (25) аналитическое решение в виде двух

диффузионных волн (24) с разными линейными фронтами.

Как уже упоминалось, общий случай, когда функции u и v имеют различные фронты,

требует развёрнутого исследования. Очевидно, что обобщение полученных в этой статье ре-

зультатов представляет собой нетривиальную задачу. Построение данного примера - первый

пробный шаг в её решении.

Пример 2. Рассмотрим задачу

u_t = β(uv_xx + v_xu_x), v_t = -β(vu_xx + u_xv_x),

(26)

u(t, x)|t=0 = u₀(x), v(t, x)|t=0 = v₀(x).

(27)

Здесь (26) - это система (2) при β1,2 = β, α1,2 = 0, f, g ≡ 0. Краевые условия (27) записаны

относительно переменной t.

Построим решение задачи (26), (27) в виде рядов



∑

tⁿ

∂ⁿu

∑

tⁿ

∂ⁿv



u(t, x) =

u_n(x)

u_n(x) =

v(t, x) =

v_n(x)

v_n(x) =

(28)



∂tⁿ

n=0

t=0

n=0

t=0

Процедуру, описанную в предыдущем пункте, повторим относительно переменной t. Коэф-

фициенты u₀(x), v₀(x) известны, остальные коэффициенты определяются по формулам

u₁ = β(u₀v′′0 + v′0u′0), v₁ = -β(v₀u′′0 + u′0v′0), ...

∑

...,

un+1 = β C^kn(u_kv^′′n-k + v^′ku^′n-k), vn+1 = -β

C^kn(v_ku^′′n-k + u^′kv^′n-k).

(29)

k=0

Пусть теперь u₀(x) = -v₀(x). В силу формул (29) индукцией по n несложно показать,

что u(t, x) = -v(t, x).

Наличие у рядов (28) ненулевого радиуса сходимости зависит от начальных данных. Для

примера рассмотрим случай степенных функций u₀(x) = -x^l, v₀(x) = x^l, где l ∈ N. При

l = 1 ряды (28) являются полиномами первой степени, решение существует для всех t,x ∈ R

и имеет вид

u(t, x) = -x - βt, v(t, x) = x + βt.

В случае l = 2 коэффициенты могут быть записаны в явном виде u_n = -βⁿ6ⁿn!x², v_n =

= βⁿ6ⁿn!x². Эти формулы превращают ряды (28) в геометрические прогрессии, сходящиеся

при x ∈ R и t < 1/|6β| к функциям

x²

u(t, x) = -

v(t, x) =

1 - 6βt

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1468

КАЗАКОВ, КУЗНЕЦОВ

Расходимость же можно наблюдать при начальных данных u₀(x) = -x^l, v₀(x) = x^l, где

l ≥ 3. В частности, при l = 3 ряды (28) запишутся в виде

∑

βⁿb_n

u(t, x) = -x³

(xt)ⁿ, v(t, x) = x³

(xt)ⁿ.

(30)

n=0

Коэффициент b_n определяется рекуррентно по формуле

∑

b₀ = 1, b₁ = 15, b₂ = 630, ... , bn+1 = (n + 5)

C^kn(n - k + 3)b_kb_n-k.

k=0

Несложно показать, что последовательность bn+1 строго возрастает.

Пользуясь формулой Даламбера, определим радиус R сходимости суммы в формулах (30):



bnβⁿ

(n + 1)!



(n + 1)b_n



R = lim

lim

∑_n

⁼

n→∞

 n! bn+1βn+1

n→∞ |β|(n + 5)

C^kn(n - k + 3)b_kb_n-k

k=0

Так как справедлива оценка

b_n

0≤

∑_n

≤

≡

C^kn(n - k + 3)b_kb_n-k

C0n(n + 3)b₀b_n

n+3

k=0

то по признаку существования предела последовательности имеем равенство

(n + 1)b_n

R = lim

∑_n

· 0 = 0.

n→∞ |β|(n + 5)

C^kn(n - k + 3)b_kb_n-k

|β|

k=0

Получили, что R = 0 и ряды (30) сходятся лишь при xt = 0. Остальные случаи при l ≥ 4

рассматриваются аналогично.

Таким образом, при рассмотрении начальной задачи для системы (2) её аналитическая раз-

решимость обусловлена выбором краевых условий. Сходимость рядов (28) зависит от того, бу-

дет ли рост коэффициентов u_n, v_n выше факториального. Иначе говоря, задание начальных

условий для рассмотренной системы в общем случае невозможно. Данный пример представля-

ет собой аналог известного контрпримера к теореме Коши-Ковалевской [28, с. 163]. Добавим,

что случай a^′(0) + α_i = 0, i = 1, 2, также не подпадающий под действие теоремы, представ-

ляет отдельный интерес и требует детального рассмотрения. Например, при a^′(t) ≡ const (см.

п. 3) решение, по-видимому, будет содержать произвольную функцию.

Заключение. Настоящей работой авторы продолжают цикл исследований аналитической

разрешимости задач о построении решений с нулевым фронтом для нелинейных вырожда-

ющихся параболических уравнений и систем. Рассмотренный здесь математический объект

примечателен тем, что существенно отличается от исследовавшихся ранее реакционно-диф-

фузионных систем наличием более сложных нелинейностей.

Сказанное выше делает невозможным автоматическое перенесение полученных результа-

тов на указанный случай и привносит в построение решения и доказательство теоремы су-

ществования определённые сложности, которые авторам удалось успешно преодолеть. Так, в

статье доказана теорема существования и единственности нетривиального аналитического ре-

шения задачи с заданным нулевым фронтом для системы уравнений типа “хищник-жертва”. В

ходе доказательства, которое носит конструктивный характер, построено решение в виде рядов

Тейлора. Предложенные рекуррентные формулы коэффициентов могут быть использованы

для верификации численных расчётов, выполненных, например, на основе метода граничных

элементов (см. [19, 23, 24]). Отдельно рассмотрен случай линейного фронта, для которого уда-

ётся найти точное решение, построение которого сводится к интегрированию задачи Коши для

ОДУ. Подробно разобраны два примера.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ С НУЛЕВЫМ ФРОНТОМ

1469

Хотя рассматриваемая система возникает в математической биологии [26], прикладное зна-

чение найденных решений неочевидно, поскольку получить значимые результаты для наибо-

лее содержательного случая при наличии двух различных нулевых фронтов пока не удалось.

Построен только единичный пример. Тем не менее отрезки полученных рядов могут быть ис-

пользованы для тестирования численных алгоритмов решения данной задачи, основанных на

методе коллокаций [24] или граничных элементов [23].

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации (проект “Аналитические и численные методы математической физики

в задачах томографии, квантовой теории поля и механике жидкости и газа” № 121041300058-1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967.

2. Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в

задачах для квазилинейных параболических уравнений. М., 1987.

3. Vazquez J.L. The Porous Medium Equation: Mathematical Theory. Oxford, 2007.

4. Cuesta C.M., Pop I.S. Numerical schemes for a pseudo-parabolic Burgers equation: discontinuous data

and long-time behaviour // J. of Comput. and Appl. Math. 2009. V. 224. P. 269-283.

5. Perthame B. Parabolic Equations in Biology. Growth, Reaction, Movement and Diffusion. New York,

2015.

6. Achouri T., Ayadi M., Habbal A., Yahyaoui B. Numerical analysis for the two-dimensional Fisher-

Kolmogorov-Petrovski-Piskunov equation with mixed boundary condition // J. of Appl. Math. and

Comput. 2021. № 1. P. 1-26.

7. DiBenedetto E. Degenerate Parabolic Equations. New York, 1993.

8. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических

явлений. М., 1966.

9. Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.

М., 1984.

10. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Boca Raton; London;

New York, 2011.

11. Сидоров А.Ф. Избранные труды. Математика. Механика. М., 2001.

12. Казаков А.Л. Обобщённая задача Коши с данными на двух и трёх поверхностях для квазилинейной

системы с особенностями в коэффициентах перед производными // Дифференц. уравнения. 2012.

Т. 48. № 4. С. 530.

13. Filimonov M.Yu., Korzunin L.G., Sidorov A.F. Approximate methods for solving nonlinear initial

boundary-value problems based on special construction of series // Rus. J. of Numer. Anal. and Math.

Model. 1993. V. 8. Iss. 2. P. 101-125.

14. Филимонов М.Ю. Применение метода специальных рядов для построения новых классов решений

нелинейных уравнений с частными производными // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 6.

С. 801-808.

15. Казаков А.Л., Лемперт А.А. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нели-

нейной фильтрации с вырождением // Вычислит. технологии. 2012. Т. 17. № 1. С. 57-68.

16. Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Lempert A.A. Analytical solutions to the singular problem for a system

of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type // Symmetry. 2020. V. 12. № 6. P. 999.

17. Казаков А.Л., Орлов Св.С., Орлов С.С. Построение и исследование некоторых точных решений

нелинейного уравнения теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59. № 3. С. 544-560.

18. Казаков А.Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нели-

нейной теплопроводности // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 1057-1068.

19. Казаков А.Л., Кузнецов П.А., Спевак Л.Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелиней-

ного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Тр. Ин-та математики и механики

УрО РАН. 2014. Т. 20. № 1. С. 119-129.

20. Казаков А.Л., Кузнецов П.А. Об аналитических решениях одной специальной краевой задачи для

нелинейного уравнения теплопроводности в полярных координатах // Сиб. журн. индустр. мате-

матики. 2018. Т. 21. № 2 (74). С. 56-65.

21. Кудряшов Н.А., Синельщиков Д.И. Аналитические решения нелинейного уравнения конвекции-

диффузии с нелинейными источниками // Моделирование и анализ информационных систем. 2016.

Т. 23. № 3. С. 309-316.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1470

КАЗАКОВ, КУЗНЕЦОВ

22. Polyanin A.D., Sorokin V.G. Reductions and exact solutions of Lotka-Volterra and more complex

reaction-diffusion systems with delays // Appl. Math. Lett. 2022. V. 125. P. 107731.

23. Казаков А.Л., Нефедова О.А., Спевак Л.Ф. Решение задач об инициировании тепловой волны для

нелинейного уравнения теплопроводности методом граничных элементов // Журн. вычислит. ма-

тематики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 6. С. 1047-1062.

24. Казаков А.Л., Кузнецов П.А., Спевак Л.Ф. Построение решений краевой задачи с вырождением

для нелинейной параболической системы // Сиб. журн. индустр. математики. 2021. Т. 24. № 4 (88).

С. 64-78.

25. Кузнецов П.А. Аналитические диффузионные волны в нелинейной параболической модели “хищ-

ник-жертва” // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28. № 2. С. 158-167.

26. Murray J.D. Mathematical Biology Ii: Spatial Models and Biomedical Applications. Interdisciplinary

Applied Mathematics. V. 18. New York, 2003.

27. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 2012.

28. Козлов В.В. Софья Ковалевская: математик и человек // Успехи мат. наук. 2000. Т. 55. Вып. 6 (336).

С. 159-172.

Институт динамики систем и теории управления

Поступила в редакцию 23.06.2022 г.

имени В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск

После доработки 15.09.2022 г.

Принята к публикации 21.10.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022