ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1471-1483
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.32+517.984
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ:
СЕКВЕНЦИАЛЬНЫЙ И АКСИОМАТИЧЕСКИЙ ПОДХОДЫ
© 2022 г. И. С. Ломов
При минимальных условиях на исходные данные смешанной задачи для телеграфного
уравнения двумя разными способами получено обобщённое решение в виде быстро сходя-
щегося функционального ряда - аналога известной формулы Даламбера. Первый способ
основан на секвенциальном методе: обобщённое решение задачи определяется как предел
классических решений последовательности задач. Второй способ основан на аксиоматиче-
ском методе. Для построения обобщённого решения не привлекаются классические реше-
ния. Использована теория расходящихся рядов Л. Эйлера с дополненной системой акси-
ом. Особенность рассматриваемой задачи заключается в наличии нелокального краевого
условия, в котором присутствует значение функции во внутренней точке интервала. Оба
способа построения обобщённого решения приводят к одному и тому же быстро сходяще-
муся (экспоненциально) функциональному ряду.
DOI: 10.31857/S0374064122110048, EDN: MABMSA
Введение. Ряд математических моделей, используемых в задачах теории звука, теории
упругости, электромагнитных процессов и др., содержит так называемое телеграфное уравне-
ние utt(x, t) = uxx(x, t) - q(x)u(x, t), для которого ставится смешанная задача. В простейшем
случае, когда потенциал q(x) - постоянная величина, решение этой задачи можно записать в
виде известной формулы Даламбера. В общем случае решение можно найти методом Фурье -
в виде ряда, методом функции Грина - в виде интеграла, методом функции Римана - в виде
обобщённой формулы Римана, либо применить итерационные или численные методы. Каж-
дый из этих методов накладывает свои ограничения на исходные данные задачи. До недавнего
времени считалось, что метод Фурье является одним из самых “затратных” методов в плане
требований на параметры задачи. Это связано с необходимостью двукратного почленного диф-
ференцирования рядов, представляющих решение, которые при этом сходятся медленно.
В данной статье рассмотрен случай, когда потенциал q может зависеть от двух перемен-
ных: q = q(x, t), что не позволит применить метод разделения переменных для нахождения
решения задачи. Тем не менее метод Фурье будет использован как инструмент для построе-
ния как классического, так и обобщённого решений задачи в виде быстро сходящегося ряда.
Этот метод применяется только для построения решения смешанной задачи для волнового
уравнения utt = uxx.
Применим для построения обобщённого решения смешанной задачи два разработанных
А.П. Хромовым метода: секвенциальный (см. работы [1-4]) и аксиоматический [5], преимуще-
ство которых перед методами, использованными ранее, в том, что на исходные данные задачи
накладываются минимальные требования, обоснование результата требует минимального чис-
ла дополнительных утверждений, а решение даётся в виде быстро сходящегося функциональ-
ного ряда. При разработке этих методов были привлечены идея А.Н. Крылова об ускорении
сходимости рядов Фурье, связанных с дифференциальными операторами, и идея Л. Эйлера о
работе с расходящимися рядами.
В работе [6] секвенциальный метод был использован для построения классического и обоб-
щённого решений смешанной задачи с периодическими краевыми условиями для телеграфного
уравнения с потенциалом q = q(x), а в статье [7] - для построения решений смешанной задачи
для этого же уравнения с нелокальными краевыми условиями Самарского-Ионкина.
1. Секвенциальный подход. Будем говорить, что функция f(x,t) принадлежит классу
Q, если для любого числа T > 0 f(x,t) ∈ L(QT ) - интегрируемая на множестве QT = {(x,t):
x ∈ [0,1], t ∈ [0,T]} ≡ [0,1] × [0,T] функция.
1471
1472
ЛОМОВ
Рассмотрим в полуполосе P = {(x, t) : x ∈ (0, 1), t ∈ (0, +∞)} задачу
utt(x,t) = uxx(x,t) - q(x,t)u(x,t), (x,t) ∈ P,
(1)
u(0, t) = 0, u(1, t) + u(α, t) = 0, t ≥ 0,
(2)
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1],
(3)
где q, ϕ - комплекснозначные функции; ϕ(x) ∈ L(0, 1); q(x, t) такова, что найдётся функция
q0(x) ∈ L(0,1) и будет справедливо неравенство |q(x,t)| ≤ q0(x); q(x,t)u(x,t) принадлежит
классу Q; число α ∈ (0, 1).
1.1. Построение классического решения задачи (1)-(3).
Определение 1. Под классическим решением (решением почти всюду) задачи (1)-(3)
будем понимать функцию u(x, t), непрерывную и непрерывно дифференцируемую по x и t
в полуполосе P = [0, 1] × [0, ∞), причём функции ux(x, t), ut(x, t) абсолютно непрерывны по
x ∈ [0,1] и t ∈ [0,∞) соответственно, удовлетворяющую условиям (2), (3) и почти всюду по
x и t уравнению (1).
Для существования классического решения задачи (1)-(3), очевидно, необходимо, чтобы
начальная функция удовлетворяла условиям ϕ(x) ∈ W21(0, 1), ϕ(0) = 0, ϕ(1) + ϕ(α) = 0.
Будем считать далее, что эти условия выполнены.
Для того чтобы записать решение задачи (1)-(3) при q = 0 используем метод Фурье.
Рассмотрим оператор Штурма-Лиувилля, связанный с задачей (1), (2):
L : ly = -y′′(x), x ∈ (0,1), y(0) = 0, y(1) + y(α) = 0,
и запишем собственные функции оператора L и сопряжённого к нему оператора L∗, об-
разующие биортогональную систему. Для упрощения записей рассмотрим случай простого
спектра. В случае кратного спектра (например, при α = 1/3) нужно занумеровать собствен-
ные значения с учётом кратности, форма записи изменится, но рассуждения и общая схема
преобразований останутся прежними.
Обозначим через v[α] = v(α + 0) - v(α - 0) скачок функции v(x) в точке x = α. Оператор
L∗ имеет следующий вид:
L∗ : l∗v = -v′′(x),x ∈ (0,1), v(0) = v(1) = 0, v[α] = 0, v′[α] = -v′(1).
Оба оператора L и L∗ действуют в пространстве L2(0, 1).
Рассмотрим спектральную задачу для оператора L:
-y′′(x) = λy(x), x ∈ (0,1), y(0) = 0, y(1) + y(α) = 0.
Обозначим λ = ϱ2, Re ϱ ≥ 0, тогда уравнение принимает вид y′′(x) + ϱ2y(x) = 0. Решив
задачу, получим две последовательности чисел ϱn и собственных функций un :
2πn
ϱ1n =
,
n ≥ 1, u1n(x) = sin(ϱ1nx);
1+α
π + 2πn
ϱ2n =
,
n ≥ 0, u2n(x) = sin(ϱ2nx).
1-α
Собственные функции оператора L∗, соответствующие числам ϱin, имеют различный вид в
зависимости от числа α. Запишем их для случая ϱin = π/2 + πn, i = 1, 2, n ≥ 0 (это условие
нарушается, например, при α = 1/3):
⎧
⎨c1n sin(ϱ1nx),
x ∈ [0,α],
v1n(x) =
cos(ϱ1nα)
⎩c1n
(sin(ϱ1nx) - tg ϱ1n cos(ϱ1nx)), x ∈ (α, 1],
2(-1)n cos(ϱ1n(1 - α)/2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1473
{
0,
x ∈ [0,α],
v2n(x) =
c2n(sin(ϱ2nx) - tg ϱ2n cos(ϱ2nx)),
x ∈ (α,1].
Постоянные c1n и c2n подбираются так, чтобы при всех n выполнялись равенства (uin, vin) =
= 1, i = 1, 2.
Нам потребуется далее задача, получаемая из задачи (1)-(3) при замене уравнения (1) на
неоднородное уравнение
utt = uxx - q(x,t)u(x,t) + f(x,t), (x,t) ∈ P,
(4)
где f(x, t) - функция из класса Q.
Обозначим через Z(x, t; ϕ) формальное решение задачи (1)-(3). В работе [8] показано, что
решение задачи (4), (2), (3) можно найти по формуле
∫t
∫
u(x, t) = Z(x, t; ϕ) + dτ
Z(x, η; f(x, τ)) dη.
(5)
0
0
Представим функцию Z(x, t; ϕ) в виде
Z(x, t; ϕ) = u01(x, t) + u1(x, t),
(6)
где u01(x, t) - решение задачи (1)-(3) при q(x, t) = 0. Применим метод Фурье и найдём фор-
мальное решение u01(x, t) в виде следующего ряда:
∑
u01(x,t) = (ϕ,v20)u20(x)cos ϱ20t +
[(ϕ, v1n)u1n(x) cos(ϱ1nt) + (ϕ, v2n)u2n(x) cos(ϱ2nt)] =
n=1
∑
= (ϕ, v20) sin ϱ20x cos ϱ20t +
[(ϕ, v1n) sin(ϱ1nx) cos(ϱ1nt) + (ϕ, v2n) sin(ϱ2nx) cos(ϱ2nt)] =
n=1
{
∑
1
=
(ϕ, v20) sin(ϱ20(x + t)) +
[(ϕ, v1n) sin(ϱ1n(x + t)) + (ϕ, v2n) sin(ϱ2n(x + t))] +
2
n=1
}
∑
+ (ϕ, v20) sin(ϱ20(x - t)) +
[(ϕ, v1n) sin(ϱ1n(x - t)) + (ϕ, v2n) sin(ϱ2n(x - t))]
(7)
n=1
Запишем разложение функции ϕ(x) в ряд по системе функций {uin(x), vin(x)}i=1,2 :
∑
(ϕ, v20)u20(x) +
[(ϕ, v1n)u1n(x) + (ϕ, v2n)u2n(x)] =
n=1
∑
= (ϕ, v20) sin(ϱ20x) +
[(ϕ, v1n) sin(ϱ1nx) + (ϕ, v2n) sin(ϱ2nx)] =
ϕ(x),
(8)
n=1
где
ϕ(x) = ϕ(x) при x ∈ [0, 1], функция
ϕ(x) определена на всей числовой прямой и являет-
ся продолжением функции ϕ(x). Далее получим аналитические соотношения, позволяющие
продолжить функцию ϕ(x) с отрезка [0, 1] на всю числовую прямую. Эти соотношения нам
потребуются в дальнейших построениях.
Сравнивая разложения (7) и (8), заключаем, что справедливо следующее представление:
1
u01(x,t) =
ϕ(x + t) +
ϕ(x - t)], x ∈ [0, 1], t ≥ 0.
(9)
2
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
1474
ЛОМОВ
Правая часть равенства (9) определена при любых (x, t) ∈ (-∞, ∞)×[0, ∞), и далее функцию
u01(x,t) из (9) будем обозначать через a0(x,t).
Найдём аналитические соотношения для продолжения функции ϕ(x) с отрезка [0, 1] на
числовую прямую R. Подставим функцию u01(x, t), представленную в виде (9), в краевые
условия (2). Получим следующие два соотношения:
ϕ(x) = -ϕ(-x), x ∈ R,
(10)
т.е. функция
ϕ(x) нечётная, и
ϕ(1 + x) = -ϕ(1 - x) -
ϕ(α + x) -
ϕ(α - x), x ≥ 0.
(11)
Формулы (10) и (11) позволяют продолжить функцию ϕ(x) на всю числовую прямую. Дейст-
вительно, продолжим ϕ(x) на [-1, 0) нечётным образом. Пусть x ∈ [0, 1-α], из (11) получим
значения
ϕ(x) для x ∈ [1, 2 - α]. Продолжим
ϕ(x) нечётно на [α - 2, -1), рассмотрим x ∈
∈ [1 - α, 2 - 2α], из (11) получим
ϕ(x) на [2 - α, 3 - 2α], а следовательно, на [0, 3 - 2α] и
т.д. На n-м шаге доходим до точки x = n - 1 - nα = n(1 - α) + 1 → +∞, n → +∞, так как
1-α>0. Витоге определим функцию
ϕ(x) на всей прямой.
Замечание. Описанная выше схема применима для получения продолжения функции
ϕ(x) на всю числовую прямую в случае любого конечного числа внутренних точек в крае-
вом условии (2).
Предложенный алгоритм построения продолжения
ϕ(x) известной функции ϕ(x) позво-
ляет утверждать следующее.
Лемма 1. Функция
ϕ(x) определяется однозначно по ϕ(x).
Лемма 2. Операция продолжения
ϕ(x) линейна, т.е.
αϕ1(x)+βϕ2(x)=
ϕ1(x) + β
ϕ2(x), α,β ∈ C.
Доказательство. Обе операции в формулировке леммы нечётны, получены с использо-
ванием равенства (11). На отрезке [0, 1] они обе есть αϕ1(x) + βϕ2(x). Поэтому из леммы 1
следует утверждение леммы 2.
Ниже потребуется следующая оценка интеграла от функции
ϕ(x).
Лемма 3. Пусть функция ϕ(x) ∈ L(0, 1) и
ϕ(x) - продолжение функции ϕ(x) с отрезка
[0, 1] на всю прямую, полученное с помощью равенств (10) и (11). Зафиксируем произвольное
число T ≥ 2, пусть m - наименьшее натуральное число такое, что T ≤ m. Справедливо
следующее неравенство:
∫
ϕ(x)| dx ≤ cT ∥ϕ∥1,
-m
∫1
где ∥ϕ∥1 =
|ϕ(x)| dx, cT > 0 - некоторая постоянная, зависящая от числа T.
0
∫1
Доказательство. В силу равенства (10)
ϕ(x)| dx = 2∥ϕ∥1. Рассмотрим x ∈ [1, 2 - α]
-1
и оценим интеграл от функции
ϕ(x), использовав равенства (10), (11), по этому отрезку:
∫
∫
∫
ϕ(x)| dx =
ϕ(y + 1)| dy =
ϕ(1 - y) +
ϕ(α + y) +
ϕ(α - y)| dy ≤
1
0
0
∫
∫
∫
≤
ϕ(1 - y)| dy +
ϕ(α + y)| dy +
ϕ(α - y)| dy =
0
0
0
∫1
∫
α
∫
1
=2
ϕ(x)| dx +
ϕ(x)| dx ≤ 2∥ϕ∥1 +
ϕ(x)| dx = 4∥ϕ∥1.
α
2α-1
-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1475
Таким образом, установлены неравенства
∫
∫
∫
ϕ(x)| dx ≤ 4∥ϕ∥1,
ϕ(x)| dx ≤ 6∥ϕ∥1,
ϕ(x)| dx ≤ 10∥ϕ∥1.
1
-1
-2+α
Далее действуем по этой же схеме. Рассмотрим x ∈ [2 - α, 3 - 2α]. Используя равенство
(11) и последние полученные оценки, устанавливаем справедливость неравенств
∫
∫
ϕ(x)| dx ≤ 12∥ϕ∥1,
ϕ(x)| dx ≤ 22∥ϕ∥1.
2-α
-2+α
Полагая x ∈ [3-2α, 4-3α], получаем требуемые оценки интегралов и т.д. За конечное чис-
ло шагов достигнем любого заранее зафиксированного числа m и установим оценку леммы 3
с некоторой постоянной cT , зависящей от m. Лемма доказана.
Вернёмся к представлению (6) функции Z. Имея в виду, решением каких задач являют-
ся функции Z(x, t; ϕ) и u01(x, t), функцию u1(x, t) будем искать как решение следующей
неоднородной смешанной задачи с нулевой начальной функцией:
u1tt(x,t) = u1xx(x,t) - q(x,t)u1(x,t) + f0(x,t), (x,t) ∈ P,
(12)
u1(0,t) = 0, u1(1,t) + u1(α,t) = 0, t ≥ 0,
(13)
u1(x,0) = 0, u1t(x,0) = 0, x ∈ [0,1],
(14)
где f0(x, t) = -q(x, t)a0(x, t). Используем формулу (5) и получим представление решения
u1(x,t) задачи (12)-(14):
∫t
∫
u1(x,t) = dτ
Z(x, η; f0(x, τ)) dη.
(15)
0
0
Представим функцию Z(x, η; f0(x, τ)) в следующем виде:
Z(x, η; f0(x, τ)) = Z0(x, η; f0(x, τ)) + Z1(x, η; f0(x, τ)),
где Z0(x, η; f0(x, τ)) есть Z(x, η; f0(x, τ)) при q(x, t) = 0. Но функция Z0(x, η; f0(x, τ)) в силу
(9) определяется по формуле
1
Z0(x,η;f0(x,τ)) =
f0(x + η,τ)
f0(x - η,τ)],
2
где
f0(η,τ) при каждом значении τ есть продолжение функции f0(η,τ) с отрезка η ∈ [0,1]
на числовую прямую по формулам (10), (11).
Правая часть (15) с функцией Z0 вместо функции Z определена теперь при любых (x, t) ∈
∈ (-∞, ∞) × [0, ∞). Обозначим её через a1(x, t) и получим
t
∫
∫
1
a1(x,t) =
dτ
f0(η,τ)dη.
2
0
x-t+τ
На следующем шаге для функции u2(x, t) решаем задачу, аналогичную (12)-(14), где вме-
сто f0(x, t) следует записать f1(x, t) = -q(x, t)a1(x, t). Продолжив эти преобразования, полу-
чим решение u(x, t) задачи (1)-(3) в виде ряда
∑
u(x, t) = A(x, t) =
an(x,t),
(16)
n=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
3∗
1476
ЛОМОВ
здесь
1
a0(x,t) =
ϕ(x + t) +
ϕ(x - t)],
(17)
2
∫
t
∫
1
an(x,t) =
dτ
fn-1(η,τ)dη, n = 1,2,... ,
(18)
2
0
x-t+τ
где
fn(η,τ) = fn(η,τ) = -q(η,τ)an(η,τ) при η ∈ [0,1], n ≥ 0, при каждом τ; далее
fn(η,τ)
по переменной η продолжается на всю числовую прямую по формулам (10), (11), как и функ-
τ
ция
ϕ(x);
fn(η,τ) = -q(η,
)an(η, τ).
Отметим, что если потенциал q(x, t) = 0, то ряд (16) превращается в обычную формулу
Даламбера, что даёт основание назвать ряд (16) обобщённой формулой Даламбера.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Для того чтобы существовало единственное классическое решение u(x, t) за-
дачи (1)-(3), необходимо и достаточно, чтобы функции ϕ(x), ϕ′(x) были абсолютно непре-
рывны на отрезке [0,1] и выполнялись условия ϕ(0) = 0, ϕ(1) + ϕ(α) = 0. Это решение
даётся формулой (16).
Доказательство теоремы 1 проводится по схеме, изложенной в статьях [6] и [4].
Теорема 2. Если ϕ(x) ∈ L(0, 1), то ряд A(x, t) (16) сходится абсолютно и равномерно (с
экспоненциальной скоростью) в прямоугольнике QT при любом фиксированном числе T > 0.
Доказательство. Из оценки общего члена ряда (16) непосредственно вытекает справед-
ливость теоремы.
Лемма 4. Пусть функция ϕ(x) ∈ L(0, 1), T - произвольное фиксированное положитель-
ное число. Тогда справедливы оценки
n-1
T
∥an(x, t)∥QT ≤ cn+1T∥q0∥n∥ϕ∥1
,
n ∈ N,
(19)
1
(n - 1)!
где cT - постоянная из неравенства в лемме 3.
Доказательство. Заметим, что для x ∈ [0, 1], t ∈ [0, T ], τ ∈ [0, t] имеют место следующие
вложения:
[x - t + τ, x + t - τ] ⊆ [x - t, x + t] ⊆ [-t, t + 1] ⊆ [-T, T + 1].
Воспользуемся методом математической индукции. Пусть n = 1, тогда с учётом оценки лем-
мы 3 справедливо неравенство
∫
T
∫
∫
T
∫
1
1
τ
|a1(x, t)| ≤
dτ
|q(η,
)a0(η, τ)| dη ≤ cT dτ
|q(η, τ)a0(η, τ)| dη ≤
2
0
-T
0
0
∫
1
∫
T
∫
1
∫
cT
cT
≤
q0(η)dη
(|ϕ(η + τ)| + |ϕ(η - τ)|) dτ =
q0(η)dη
ϕ(ξ)| dξ ≤
2
2
0
0
0
η-T
∫
≤ cT∥q0∥1
ϕ(ξ)| dξ ≤ c2T ∥q0∥1∥ϕ∥1,
-T
причём равномерно по (x, t) ∈ QT . Пусть n ≥ 2. Тогда имеем
t
t
1
∫
∫
∫
∫
1
|an(x, t)| ≤
dτ
f (η, τ)| dη ≤ cT
dτ q0(η)|an-1(η, τ)| dη =
2
0
-T
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1477
t
∫1
∫
= cT q0(η)dη
|an-1(η, τ)| dτ
(20)
0
0
равномерно по x ∈ [0, 1] для каждого t ≥ 0. Функции an(x, t), n ≥ 1, непрерывны в QT .
Завершаем доказательство леммы по индукции. Как промежуточную получаем из формулы
(20) оценку
n-1
t
|an(x, t)| ≤ cn+1T∥q0∥n
1
∥ϕ∥1
,
n ≥ 2, x ∈ [0,1], t ≥ 0.
(n - 1)!
Лемма доказана. Теорема 2 доказана.
1.2. Построение обобщённого решения задачи (1)-(3).
Определение 2. Пусть последовательность
{uh(x, t)} классических решений задачи
(1)-(3), отвечающих начальным функциям {ϕh(x)}, сходится по норме пространства L(QT )
к функции u(x, t). Функцию u(x, t) назовём обобщённым решением задачи (1)-(3).
Теорема 3. Если функция ϕ(x) ∈ L(0, 1), а функции ϕh(x), h ≥ 1, удовлетворяют усло-
виям теоремы 1 и ∥ϕh - ϕ∥1 → 0 при h → ∞, то соответствующие начальным функциям
ϕh классические решения uh(x, t) задачи (1)-(3) сходятся по норме L(QT ) к A(x, t), т.е. в
этом случае u(x, t) = A(x, t) и ряд (16) является обобщённым решением задачи (1)-(3).
Таким образом, из теорем 1 и 3 следует, что один и тот же ряд A(x, t), быстро сходящийся,
является классическим или обобщённым решением задачи (1)-(3) в зависимости от гладкости
функции ϕ(x).
Доказательство. Пусть начальная функция ϕ(x) ∈ L(0, 1). Пусть начальные функции
ϕh(x), h ≥ 1, удовлетворяют условиям теоремы 1, им соответствуют классические решения
uh(x,t) задачи (1)-(3), и ∥ϕh - ϕ∥1 → 0 при h → ∞. Обозначим ряд (16), отвечающий
функции uh(x, t), через Ah(x, t). Для функции ϕ(x) построим ряд (16) A(x, t), который в
соответствии с теоремой 2 сходится абсолютно и равномерно в любом прямоугольнике QT .
Рассмотрим разность этих рядов
∑
uh(x,t) - u(x,t) = Ah(x,t) - A(x,t) =
[anh(x, t) - an(x, t)],
n=0
где
∫
t
∫
1
1
a0h(x,t) =
ϕh(x + t) +
ϕh(x - t)], anh(x, t) =
dτ
fn-1,h(η,τ)dη,
2
2
0
x-t+τ
n ≥ 1. Используя схему доказательства леммы 4, оценим эту разность. Покажем, что имеют
место следующие неравенства:
n-1
t
|anh(x, t) - an(x, t)| ≤ cn+1T∥q0∥n∥ϕh - ϕ∥1
,
h, n ≥ 1,
(21)
1
(n - 1)!
(x, t) ∈ Q, cT - постоянная из оценки леммы 3.
Пусть n = 1. Используем оценку леммы 3. Равномерно по (x, t) ∈ Q справедливы следу-
ющие преобразования:
∫
T
∫
1
̃
τ
|a1h(x, t) - a1(x, t)| ≤
dτ
|q(η, τ
)a0h(η, τ) -
q(η,
)a0(η, τ)| dη =
2
0
-T
T
T
1
∫
∫
∫
∫
1
=
dτ
|q(η, τ)a0h(η,
τ) - q(η,τ)a0(η,τ)|dη ≤ cT dτ
|q0(η)||a0h(η, τ) - a0(η, τ)| dη ≤
2
0
-T
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
1478
ЛОМОВ
∫
1
∫
T
1
≤cT
|q0(η)| dη
(|ϕh(x + t) -
ϕ(x + t)| + |ϕh(x - t) -
ϕ(x - t)|) dτ =
2
0
0
∫
1
∫
∫
CT
=
|q0(η)| dη
ϕh(ξ) -
ϕ(ξ)| dξ ≤ cT ∥q0∥1
ϕh(ξ) -
ϕ(ξ)| dξ ≤ c2T ∥q0∥1∥ϕh - ϕ∥1.
2
0
η-T
-T
Получили оценку (21) при n = 1.
Пусть n ≥ 2. Применив оценку леммы 3, устанавливаем соотношения
∫
t
∫
1
τ
|anh(x, t) - an(x, t)| ≤
dτ
|fn-1,h(η,
) - fn-1(η,τ)|dη ≤
2
0
-T
∫t
∫
1
∫
1
∫
t
≤ cT dτ
|q0(η)||an-1,h(η, τ) - an-1(η, τ)| dη = cT
|q0(η)| dη
|an-1,h(η, τ) - an-1(η, τ)| dτ.
0
0
0
0
Продолжим эти преобразования для случая n = 2
∫1
∫
t
|a2h(x, t) - a2(x, t)| ≤ cT
|q0(η)| dη
|a1,h(η, τ) - a1(η, τ)| dτ ≤ c3T ∥q0∥21∥ϕh - ϕ∥1t
0
0
равномерно по x ∈ [0, 1] для каждого значения t ≥ 0. Далее действуем по индукции и уста-
навливаем оценки (21).
Применим неравенства (21) для получения оценки разности рядов. Для всех (x, t) ∈ QT
справедливо соотношение
∑
tn-1
|Ah(x, t) - A(x, t)| ≤ |a0h(x, t) - a0(x, t)| + ∥ϕh - ϕ∥1
cn+1T∥q0∥n
=
1 (n - 1)!
n=1
= |a0h(x, t) - a0(x, t)| + c2T ∥q0∥1ecT ∥q0∥1t∥ϕh - ϕ∥1.
Далее, применив оценку леммы 3 и использовав обозначение ∥ · ∥1,QT ≡ ∥ · ∥L(QT ), получим
∫1
∫
∥a0h(x, t) - a0(x, t)∥1,QT ≤
dx
|ϕh(
y) - ϕ(y)|dy ≤
0
x-T
∫
≤
|
ϕh(
y) - ϕ(y)|dy ≤ cT ∥ϕh - ϕ∥1, h ≥ 1.
−T
Таким образом, для разности рядов имеем оценку
∥Ah(x, t) - A(x, t)∥1,QT ≤ cT (1 + cT ∥q0∥1T ecT ∥q0∥1T )∥ϕh - ϕ∥1, h ≥ 1,
из которой следует, что если ∥ϕh - ϕ∥1 → 0 при h → ∞, то и ∥Ah(x, t) - A(x, t)∥1,QT → 0 при
h → ∞, т.е. ∥uh(x,t) - u(x,t)∥1,QT → 0 при h → ∞. Теорема доказана.
2. Аксиоматический подход. Рассмотрим последовательно четыре смешанные задачи,
найдём их решения. Первые три из этих задач исследуем для того чтобы построить обобщённое
решение четвёртой задачи - задачи (1)-(3).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1479
2.1. Рассмотрим задачу (1)-(3) с потенциалом q(x,t) = 0:
utt(x,t) = uxx(x,t), (x,t) ∈ P,
u(0, t) = 0, u(1, t) + u(α, t) = 0, t ≥ 0,
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1],
где ϕ(x) ∈ L(0, 1). Формальное решение u(x, t) этой задачи представлено формулой (7).
Классическое решение задачи определяем так же, как в первой части.
Приведём теорему единственности классического решения рассматриваемой задачи.
Теорема 4. Если u(x, t) - классическое решение задачи (1)-(3) с q(x, t) = 0 и с условием
принадлежности utt(x,t) классу Q, то оно единственно и находится по формуле (7), в
которой ряды справа при любом фиксированном t > 0 сходятся абсолютно и равномерно по
x ∈ [0,1].
Доказательство теоремы проводится по схеме, изложенной в работе [3], и не зависит от
конкретного вида краевых условий.
Определим как понимается смешанная задача при минимальных требованиях на началь-
ную функцию. Заметим, что указанный ряд (7) имеет смысл для любой функции ϕ(x) ∈
∈ L(0,1), хотя теперь он может быть и расходящимся. Тем не менее будем считать, что он
является формальным решением исследуемой задачи, но понимаемой теперь чисто формаль-
но. Эту задачу будем называть обобщённой смешанной задачей. Найти решение обобщённой
смешанной задачи - значит найти “сумму”, вообще говоря, расходящегося ряда. “Сумма” озна-
чает, что это сумма именно расходящегося (в общем случае) ряда (см. [9, с. 101; 10, с. 6, 19]). В
данном случае найти решение рассматриваемой обобщённой смешанной задачи - значит найти
“сумму” расходящегося ряда (7).
Помимо трёх аксиом о расходящихся рядах [10, с. 19], следуя А.П. Хромову, будем пользо-
ваться ещё следующим правилом интегрирования расходящегося ряда:
∫∑
∑∫
=
,
(22)
∫
где
- определённый интеграл.
Ряд (7) представим в виде
∑ ∑
u(x, t) =
+
,
(23)
+
-
∑
∑∞
где
=
(. . .)(x±t). Сравнивая разложения (8) и (23), заключаем, что для нахождения
±
n=1
“суммы” ряда (7) нужно найти “сумму” ряда (8).
Пусть “сумма” ряда (8) при x ∈ [0, 1] есть некоторая функция g(x) ∈ L(0, 1). Тогда в
соответствии с правилом (22) получим
∫
x
∫
x
[
∫
x
∑
g(η) dη = (ϕ, v20) sin(ϱ20η) dη +
(ϕ, v1n) sin(ϱ1nη) dη +
n=1
0
0
0
∫x
]
+ (ϕ, v2n) sin(ϱ2nη) dη , x ∈ [0, 1].
(24)
0
Имеет место следующее обобщение на рассматриваемую систему {un(x)} теоремы Лебега о
почленном интегрировании тригонометрического ряда Фурье.
Теорема 5. Пусть задана функция ϕ(x) ∈ L(0, 1), имеющая ряд (8) своим биортого-
нальным разложением по системе {un(x)}. Если отрезок [A, B] ⊆ [0, 1], то справедливо
равенство
∫
B
∫
B
∫
B
∑
ϕ(η) dη = (ϕ, v20) sin(ϱ20η) dη +
[(ϕ, v1n) sin(ϱ1nη) + (ϕ, v2n) sin(ϱ2nη)] dη.
n=1A
A
A
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
1480
ЛОМОВ
Таким образом, биортогональный ряд (8) можно почленно интегрировать, полученный ряд
∫B
сходится и его сумма равна
ϕ(η) dη. При этом сам ряд (8) может и не сходиться.
A
Доказательство теоремы 5 проводится по схеме, изложенной в работе [11, с.∫320-321].
x
Согласно теореме 5 суммой ряда (24) (обычной суммой) является функция
ϕ(η) dη. Но
∫x
∫x
0
тогда
g(η) dη =
ϕ(η) dη, т.е. справедливо равенство g(x) = ϕ(x) почти всюду на отрезке
0
0
[0, 1], тем самым найдена “сумма” ряда (8), который может быть и расходящимся.
Формальный ряд (8) определён для всех значений x ∈ R. Обозначим через
ϕ(x) “сумму”
ряда (8) для всех значений x ∈ R. В силу (8) и (23) заключаем, что “сумма” u(x, t) ряда (7)
есть функция
1
u(x, t) =
ϕ(x + t) +
ϕ(x - t)].
(25)
2
Доказана
Теорема 6. Решением обобщённой смешанной задачи (1)-(3) с q(x, t) = 0 является функ-
ция u(x, t) из класса Q, определяемая по формуле (25).
Алгоритм продолжения функции
ϕ(x) с отрезка [0, 1], где
ϕ(x) = ϕ(x), на всю числовую
прямую определён формулами (10), (11).
2.2. Рассмотрим следующую обобщённую смешанную задачу:
utt(x,t) = uxx(x,t) + f(x,t), (x,t) ∈ P,
(26)
u(0, t) = 0, u(1, t) + u(α, t) = 0, t ≥ 0,
(27)
u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1],
(28)
где f(x, t) - функция класса Q.
Формальное решение задачи (26)-(28) методом Фурье определяется по формуле
∫t
{
1
u(x, t) =
(f, v20) sin(ϱ20x) sin(ϱ20(t - τ)) +
ϱ20
0
[
]}
∑
1
1
+
(f, v1n) sin(ϱ1nx) sin(ϱ1n(t - τ)) +
(f, v2n) sin(ϱ2nx) sin(ϱ2n(t - τ)) dτ.
ϱ1n
ϱ2n
n=1
В этом соотношении выполним преобразование
∫
1
1
1
sin(ϱx)sin(ϱ(t - τ)) = -
(cos(ϱ(x + t - τ)) - cos(ϱ(x - t + τ))) =
sin(ϱη) dη
ϱ
2ϱ
2
x-t+τ
и получим равенство
∫
t
∫
{
∑
1
u(x, t) =
dτ
(f, v20) sin(ϱ20η) +
[(f, v1n) sin(ϱ1nη) +
2
n=1
0
x-t+τ
}
∫
t
∫
1
+ (f, v2n) sin(ϱ2nη)] dη =
dτ
f (η, τ) dη,
(29)
2
0
x-t+τ
в котором выражение в фигурных скобках, как это следует из формулы (8), имеет “сумму”
f (η, τ), где
f (η, τ) - продолжение функции f(η, τ) по η с [0, 1] на всю числовую прямую по
тем же формулам (10), (11), что и функция ϕ(x).
Таким образом, справедлива
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1481
Теорема 7. Решение u(x, t) обобщённой смешанной задачи (26)-(28) есть функция клас-
са Q, определяемая по формуле
t
∫
∫
1
u(x, t) =
dτ
f (η, τ) dη.
(30)
2
0
x-t+τ
Зафиксируем произвольное число T > 0. Из формулы (30), использовав неравенство лем-
мы 3, получим
T
1
∫
∫
∫
|u(x, t)| ≤ dτ
f (η, τ)| dη ≤ cT dτ
|f(η, τ)| dη = cT ∥f(x, t)∥1,QT ,
0
-T
0
0
откуда следует оценка ∥u(x, t)∥1,QT ≤ cT T ∥f(x, t)∥1,QT , cT = const > 0, которая подтвержда-
ет, что u(x, t) является функцией класса Q.
2.3. Рассмотрим обобщённую смешанную задачу
utt(x,t) = uxx(x,t) + f(x,t), (x,t) ∈ P,
(26)
u(0, t) = 0, u(1, t) + u(α, t) = 0, t ≥ 0,
(27)
u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = 0, x ∈ [0, 1],
(31)
где f(x, t) есть функция класса Q, ϕ(x) ∈ L(0, 1).
Формальное решение задачи (26), (27), (31) по методу Фурье есть u(x, t) = u0(x, t)+u1(x, t),
где u0(x, t) - ряд (7), а u1(x, t) - ряд (29). Поэтому, исходя из пп. 2.1, 2.2, получаем
Теорема 8. Обобщённая смешанная задача (26), (27), (31) имеет решение из класса Q,
определяемое по формуле
∫
t
∫
1
1
u(x, t) =
ϕ(x + t) +
ϕ(x - t)] +
dτ
f (η, τ) dη.
2
2
0
x-t+τ
2.4. Используем результат пп. 2.1-2.3 для решения задачи (1)-(3).
Из теоремы 8 следует, что нахождение решения задачи (1)-(3) в классе Q сводится к
нахождению в этом классе решения интегрального уравнения
∫
t
∫
1
1
u(x, t) =
ϕ(x + t) +
ϕ(x - t)] -
dτ
q(η,
τ )u(η, τ) dη,
(32)
2
2
0
x-t+τ
где
q(η,
τ )u(η, τ) - продолжение по η на всю числовую прямую с отрезка [0, 1] при каждом
τ функции q(η, τ)u(η, τ) по тем же формулам (10), (11), что и функция ϕ(x).
Интегральное уравнение (32) имеет единственное решение в классе Q, получаемое по ме-
тоду последовательных подстановок. Это решение u(x, t) даётся формулой (16), где функции
an(x,t), n ≥ 0, определяются формулами (17), (18).
Теорема 9. При ϕ(x) ∈ L(0, 1) задача (1)-(3) имеет обобщённое решение, которое пред-
ставляется формулами (16)-(18).
Доказательство. Рассмотрим оператор
∫
t
∫
1
Bf = -
dτ
q(η,
τ )f(η, τ) dη,
2
0
x-t+τ
где f(x, t)∈C(QT ), продолжение подынтегральной функции построено по формулам (10), (11).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
1482
ЛОМОВ
Лемма 5. Для линейного ограниченного в пространстве C(QT ) оператора B справедлива
оценка
∥Bf∥C(QT ) ≤ cT T ∥q0∥1∥f(x, t)∥C(QT ),
где cT - постоянная из неравенства леммы 3.
Доказательство. Линейность оператора B следует из леммы 2. Докажем его ограничен-
ность. Как и в доказательстве леммы 4, имеем
∫
T
∫
1
|Bf| ≤
dτ
|q(η,
τ )f(η, τ)| dη ≤ cT · T · ∥q0∥1∥f(x, t)∥C(QT ),
2
0
-T
откуда следует требуемая оценка и ограниченность оператора B. Лемма доказана.
∑∞
Рассмотрим ряд A1(x, t) =
an(x,t), где an(x,t) = Ban-1, n ≥ 1, и a0(x,t) =
n=1
=
ϕ(x + t) +
ϕ(x - t)]/2. Заметим, что функции an(x, t) имеют вид (18), и ряд A1(x, t) есть
ряд (16) A(x, t) без слагаемого a0(x, t). Из теоремы 2 следует, что ряд A1(x, t) сходится
абсолютно и равномерно в прямоугольнике QT .
Докажем, что уравнение (32) имеет решение u(x, t) = A(x, t) = a0(x, t) + A1(x, t), получа-
емое с помощью метода последовательных подстановок.
Уравнение (32) имеет вид u = a0 + Bu. Положим v(x, t) = u(x, t) - a0(x, t), тогда v =
= Bu = Bv + Ba0 = Bv + a1, и для v(x,t) получаем интегральное уравнение
v(x, t) = a1(x, t) + Bv(x, t).
(33)
Так как a1(x, t) ∈ C(QT ), то уравнение (33) рассматриваем в пространстве C(QT ). Методом
последовательных подстановок из (33) получаем ряд A1(x, t): v0 = 0, vn = a1 + Bvn-1, v1 =
= a1, v2 = a1+Ba1 = a1+a2, v3 = a1+a2+a3 и т.д. Поскольку B - линейный и ограниченный
∑∞
оператор в C(QT ) и BA1(x, t) =
an(x,t), то A1(x,t) - решение уравнения (33).
n=2
Докажем, что уравнение (33) имеет единственное решение. Допустим, что кроме A1(x, t)
есть ещё другое решение w(x, t) этого уравнения. Тогда z(x, t) = A1(x, t) - w(x, t) - решение
уравнения z(x, t) = Bz(x, t), а значит, и уравнения z(x, t) = Bnz(x, t) при любом натураль-
ном n.
Запишем оценку (19) леммы 4 в другой форме. Поскольку an(x, t) = Ban-1 = B2an-2 =
... = Bn-1a1(x,t) = Bna0(x,t), то из доказательства леммы 4 следует, что
∫1
∫
t
|an(x, t)| ≤ cT
|q0(η1)| dη1
|an-1(η1, τ1)| dτ1 ≤
0
0
1
t
1
τ1
∫
∫
[∫
∫
]
≤c2
T
|q0(η1)| dη1
|q0(η2)| dη2
|an-2(η2, τ2)| dτ2 dτ1 ≤ . . .
0
0
0
0
1
t
∫
∫
∫
tn-1
...≤cn-1
|q0(η1)| dη1
···
|a1(ηn-1, τn-1)| dτn-1 · · · dτ1 ≤ cn-1T∥q0∥n-1
T
∥a1(x, t)∥C(Qt),
(n-1)!
0
0
0
где Qt = [0, 1] × [0, t]. Таким образом, установлена оценка
n-1
T
∥an∥C(QT ) = ∥Bn-1a1∥C(QT ) ≤ cT-1∥q0∥1-1
∥a1∥C(QT ),
(34)
(n - 1)!
которая остаётся верной, если в качестве a1(x, t) взять любую функцию из пространства
C(QT ), например, функцию z(x, t). Тогда из оценки (34) следует неравенство
n-1
T
∥z(x, t)∥C(QT ) = ∥Bn-1z∥C(QT ) ≤ ∥z∥C(QT )cT-1∥q0∥1-1
(n - 1)!
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
ПОСТРОЕНИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ
1483
Отсюда в силу произвольности n получаем, что z(x, t) = 0, и тем самым единственным
решением уравнения (33) является ряд A1(x, t), а уравнения (32) - ряд A(x, t). Теорема 9
доказана.
Как доказано в теореме 2, при ϕ(x) ∈ L(0, 1) ряд (16) A(x, t) сходится абсолютно и рав-
номерно (с экспоненциальной скоростью) в прямоугольнике QT для любого T > 0.
Таким образом, во второй части статьи предложен отличный от рассмотренного в первой
части метод построения обобщённого решения задачи (1)-(3). При этом оба решения опреде-
ляются рядом (16).
Замечание. Отметим, что в работе [12] с помощью функции Римана получены форму-
лы классического решения первой смешанной задачи для общего неоднородного телеграфного
уравнения с переменными коэффициентами в первой четверти плоскости (обобщённые фор-
мулы Римана).
Автор признателен А.П. Хромову за полезные обсуждения результатов работы.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-
ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Резольвентный подход в методе Фурье // Докл. РАН. 2014. Т. 458.
№ 2. С. 138-140.
2. Хромов А.П. О сходимости формального решения по методу Фурье волнового уравнения с суммиру-
емым потенциалом // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2016. Т. 56. № 10. С. 1795-1809.
3. Хромов А.П. Необходимые и достаточные условия существования классического решения смешан-
ной задачи для однородного волнового уравнения в случае суммируемого потенциала // Диффе-
ренц. уравнения. 2019. Т. 55. № 5. С. 717-731.
4. Хромов А.П., Корнев В.В. Классическое и обобщённое решения смешанной задачи для неодно-
родного волнового уравнения // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 2.
С. 286-300.
5. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и обобщённая смешанная задача для волнового уравнения // Со-
врем. проблемы теории функций и их приложения. Саратов, 2022. Вып. 21. С. 319-324.
6. Ломов И.С. Обобщённая формула Даламбера для телеграфного уравнения // Итоги науки и тех-
ники. Соврем. математика и её приложения. Тематич. обзоры. 2021. Т. 199. С. 66-79.
7. Ломов И.С. Эффективное применение метода Фурье для построения решения смешанной задачи
для телеграфного уравнения // Вестн. Московского ун-та. Сер. 15. Вычислит. математика и кибер-
нетика. 2021. № 4. С. 37-42.
8. Хромов А.П. Расходящиеся ряды и метод Фурье для волнового уравнения // Соврем. проблемы
теории функций и их приложения: материалы междунар. Саратовской зимней школы. Саратов,
2020. С. 433-439.
9. Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. М.; Л., 1949.
10. Харди Г. Расходящиеся ряды. М., 2006.
11. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М., 1957.
12. Ломовцев Ф.Е. Первая смешанная задача для общего телеграфного уравнения с переменными ко-
эффициентами на полупрямой // Журн. Белорусского гос. ун-та. Математика. Информатика. 2021.
№ 1. С. 18-38.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 19.06.2022 г.
имени М. В. Ломоносова
После доработки 19.06.2022 г.
Принята к публикации 21.10.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
