ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1484-1499

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.984.54

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ НА ВСЕЙ ОСИ

Приводятся достаточные условия, обеспечивающие справедливость основной теоремы Фад-

деева-Марченко о восстановлении потенциала уравнения Штурма-Лиувилля на всей оси

по заданным соотношениям между функциями Йоста. Эти условия сформулированы в тер-

минах так называемого коэффициента отражения. В рамках теоретико-функционального

подхода указанные соотношения записаны в форме краевой задачи для функций Йоста.

Установлена однозначная разрешимость данной задачи и соответствующего ей сингулярно-

го интегрального уравнения в соответствующих весовых классах Гёльдера. Как следствие,

с помощью решения этой задачи получена явная формула для потенциала через уравнения

Штурма-Лиувилля, альтернативная известной формуле Левитана-Фаддеева-Марченко.

DOI: 10.31857/S037406412211005X, EDN: MASQSN

1. Введение. Постановка задачи. Рассмотрим спектральную задачу Штурма-Лиувилля

-y^′′ + q(x)y = k²y, x ∈ R,

(1.1)

на всей оси в классической постановке, когда вещественный коэффициент q удовлетворяет

условию

∫

(1 + |x|)|q(x)|dx < ∞.

Хорошо известно [1, гл. 6], что в классе функций, исчезающих на бесконечности, эта задача

имеет дискретный спектр в конечном числе точек λ = -κ2j, 1 ≤ j ≤ n, на отрицательной

части вещественной оси λ = k², а непрерывный спектр заполняет положительную полуось.

При этом все собственные значения -κ2j являются простыми.

Введём так называемые функции Йоста f_j(x, k), j = 1, 2, как решения уравнения (1.1) с

заданными асимптотиками на бесконечности:

f₁(x,k) - e^ikx → 0 при x → +∞, f₂(x,k) - e^-ikx → 0 при x → -∞.

Они определяются однозначно и представляются формулами

∫∞

∫

∞

f₁(x,k) = e^ikx + A₁(x,t)e^ikt dt, f₂(x,k) = e^-ikx + A₂(x,t)e^-ikt dt

с определёнными вещественными ядрами A_j (x, t), причём интегралы сходятся абсолютно.

Таким образом,

∫∞

f₁(x,k) = e^ikx[1 + g₁(x,k)], g₁(x,k) = A₁(x,s + x)e^iks ds,

∫∞

f₂(x,k) = e^-ikx[1 + g₂(x,k)], g₂(x,k) = A₂(x,x - s)e^iks ds,

(1.2)

1484

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1485

где при каждом фиксированном x функции B₁(s) = A₁(x, s + x) и B₂(s) = A₂(x, x - s)

суммируемы на полуоси (0, ∞). В частности, g_j (x, k) непрерывно продолжаются до функций

g_j(x,ζ), аналитических в верхней полуплоскости D₊ = {Im ζ > 0} и исчезающих на беско-

нечности. По переменной x соответствующие функции f_j(x, ζ) удовлетворяют аналогичному

(1.1) уравнению -f^′′j + f_j = ζ²f_j.

При фиксированном вещественном k = 0 пары функций {f_j(x, k), f_j (x, k)} образуют две

фундаментальные системы решений и, следовательно, связаны соотношением

f₁(x,k) = b(k)f₂(x,k) + a(k)f₂(x,k)

(1.3)

с некоторыми коэффициентами a(k), b(k), обладающими свойствами (см., например, [1, гл. 6])

a(-k) = a(k), b(-k) = b(k),

|a(k)|² = 1 + |b(k)|²,

(1.4a)

a(k) = 1 + O(k-1), b(k) = O(k-1) при k → ∞,

(1.4b)

k[a(k) + b(k)] → 0 при k → 0.

(1.4c)

Кроме того, функция a(k) аналитически продолжается в верхнюю полуплоскость D₊, имеет

простые нули в точках ζ = iκ_j ,

1 ≤ j ≤ n, и за исключением их всюду отлична от нуля,

причём

a(ζ) = ζa(ζ) ∈ C(B₁), B₁ = {|ζ| ≤ 1, Im ζ ≥ 0},

(1.5)

и a(ζ) → 1 при ζ → ∞.

В явном виде 2ika(k) = (f′1f₂ - f′2f₁)(x, k), где в силу (1.1) вронскиан в правой части этого

равенства не зависит от x. Поэтому аналогичное выражение справедливо и для аналитиче-

ского продолжения

2iζa(ζ) = f′1(x, ζ)f₂(x, ζ) - f′2(x, ζ)f₁(x, ζ)

этой функции.

Очевидно, что функцию a(ζ) можно представить в виде

)

⁽ζ - iκ₁

⁽ζ - iκ₁)

a(ζ) = a₁(ζ)

···

(1.6)

ζ + iκ₁

где функция a₁(ζ) всюду отлична от нуля. Следовательно, в верхней полуплоскости опре-

делена аналитическая функция ln a₁(ζ), исчезающая на бесконечности и непрерывная в её

замыкании (за исключением точки ζ = 0).

Обратная задача теории рассеяния состоит в восстановлении коэффициента q уравнения

Штурма-Лиувилля по заданным набору κ₁, . . . , κ_n положительных чисел и паре функций a,

b со свойствами (1.4)-(1.6). Опишем центральный результат этой теории, развитой Л.Д. Фад-

деевым [2, 3] и В.А. Марченко [4].

Основная теорема Фаддеева-Марченко. Пусть заданы: набор κ_j,

1 ≤ j ≤ n, по-

ложительных чисел, пары функций a(t), b(t) со свойствами (1.4)-(1.6), непрерывные при

t = 0, и наборы чисел mj,1, mj,2, для которых имеет место равенство mj,1mj,2 = -[a^′(iκ_j)]²,

1 ≤ j ≤ n. Пусть функции

∫

∑

b(-t)

F₁(x) =

e-κjx -

e^ixt dt,

mj,1

2π

a(t)

j=1

∫

∑

b(t)

F₂(x) =

eκj x +

e^-ixt dt

(1.7)

mj,2

2π

a(t)

j=1

непрерывны, дифференцируемы и для любого y ∈ R удовлетворяют условиям

F₁(x),F′1(x),xF′1(x) ∈ L¹(y,+∞), F₂(x),F′2(x),xF′2(x) ∈ L¹(-∞,y).

(1.8)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1486

СОЛДАТОВ

Тогда ядра A_j в интегральном представлении (1.2) однозначно определяются как решения

интегральных уравнений Гельфанда-Левитана

∫∞

A₁(x,y) + F₁(x + y) + A₁(x,t)F₁(t + y)dt = 0, y ≥ x,

∫x

A₂(x,y) + F₂(x + y) + A₂(x,t)F₂(t + y)dt = 0, x ≥ y,

-∞

a функции f_j (x, t) удовлетворяют уравнению Штурма-Лиувилля с коэффициентом

q(x) = -2[A₁(x, x)]^′ = 2[A₂(x, x)]^′.

(1.9)

Часто вместо коэффициента b используют отношение r = b/a, которое носит название

коэффициент отражения. Из (1.4) видно, что он должен удовлетворять условиям

r(-t) = r(t),

|r(t)| < 1, t = 0; r(t) = O(t-1) при t → ∞,

(1.10)

|a(t)|-2 = 1 - |r(t)|².

(1.11)

Кроме того, в обозначениях (1.5) можем записать t[a(t) + b(t)] = a(t)[1 + r(t)], так что при

a(0) = 0 условие (1.4c) выполняется автоматически. С другой стороны, это условие приводит

к пределу

lim r(t) = -1 при

a(0) = 0.

t→0

Отметим, что при a(0) = 0 поведение r(t) при t → 0 до конца не выяснено.

Очевидно, что в равенстве (1.11) можно a заменить на функцию a₁, фигурирующую в

формуле (1.6). В частности, для граничного значения ln a⁺¹(t), t ∈ R, аналитической функции

ln a₁(ζ) имеем соотношение -2ln a+1 = ln(1 - |r|2). Поэтому эту функцию с точностью до

мнимой постоянной можем восстановить по формуле Шварца [5, с. 117]

∫

ln[1 - |r(t)|²] dt

- 2lna₁(ζ) =

z∈D₊.

(1.12)

πi

t-ζ

2. Достаточные условия основной теоремы. Возникает вопрос, для каких коэффици-

ентов отражения r(k) и построенных по ним коэффициентов a и b функции (1.7) удовле-

творяют условиям (1.8) основной теоремы. Этот вопрос подробно исследовался Б.М. Левита-

ном [6], результаты его можно уточнить и дополнить, основываясь на классических свойствах

интеграла типа Коши

∫

ϕ(t) dt

(Iϕ)(ζ) =

ζ ∈D_±,

(2.1)

2πi

t-ζ

определяющего аналитическую функцию в полуплоскостях D_± = {±Im ζ > 0}, и сингуляр-

ного интеграла Коши

∫

ϕ(t) dt

(Sϕ)(t₀) =

t₀ ∈ R.

(2.2)

πi

t-t₀

Последний интеграл с граничными значениями (Iϕ)^± функции Iϕ связан формулами Со-

хоцкого-Племеля

2(Iϕ)^± = ±ϕ + Sϕ.

(2.3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1487

Пусть C^μ(G),

0 < μ < 1, означает класс Гёльдера на замкнутом множестве G ⊆ C.

Напомним, что он состоит из всех функций ϕ(z), z ∈ G, для которых конечна норма

|ϕ| = |ϕ|₀ + [ϕ]_μ,

(2.4)

где

|ϕ(z₁) - ϕ(z₂)|

|ϕ|₀ = sup|ϕ(z)|,

[ϕ]_μ = sup

z∈G

z₁,z₂∈G

|z₁ - z₂|^μ

Полунорма [ϕ]_μ имеет смысл и для μ = 0, в этом случае она означает колебание функции ϕ.

Очевидное равенство

|ϕ(z₁) - ϕ(z₂)|

⁽ |ϕ(z₁) - ϕ(z₂)|)μ/ν

= |ϕ(z₁) - ϕ(z₂)|1-μ/ν

|z₁ - z₂|^μ

|z₁ - z₂|^ν

приводит к интерполяционному неравенству

[ϕ]_ν ≤ [ϕ]1-μ/ν0 [ϕ]^μ/νν ,

0<μ<ν.

(2.5)

Из него, в частности, следует вложение банаховых пространств C^ν(G) ⊆ C^μ(G). Если множе-

ство G ограничено, то с учётом теоремы Асколи это вложение является компактным.

Для неограниченных множеств G вводят также пространство функций ϕ(z), удовлетворя-

ющих условию Гёльдера с некоторым показателем μ по отношению к метрике сферы Римана

^⋃ {∞}. Это условие можно выразить в форме

C|z₁ - z₂|

|ϕ(z₁) - ϕ(z₂)| ≤

z₁,z₂ ∈ G,

(2.6)

(1 + |z₁|)^μ(1 + |z₂|)^μ

с некоторой постоянной C > 0. Оно равносильно тому, что ϕ(z) вместе с функцией ϕ(1/z)

удовлетворяют условию Гёльдера на любых компактных подмножествах, соответственно, G

G = {z, 1/z ∈ G}. Этот класс обозначим H(G), его элементы ϕ, очевидно, допускают

предел ϕ(∞) = lim ϕ(z) при z → ∞. Условие ϕ(∞) = 0 выделяет в нем класс, который

обозначим

^H(G).

Исходя из весовой функции ρ_λ(z) = (1+|z|²)λ/2 с вещественным показателем λ, C^μλ(G, ∞) -

весовое пространство функций ϕ(z), для которых конечна норма

|ϕ| = |ρ_-λϕ|₀ + [ρ_μ-λϕ]_μ.

(2.7)

В случае, когда G является некоторой замкнутой областью, пространство C^n,μ(G) дифферен-

цируемых функций, все производные которого до n-го порядка включительно принадлежат

C^μ(G), можно определить индуктивно условиями ϕ,ϕ^′ ∈ Cn-1,μ(G), где под ϕ^′ понимает-

ся пара частных производных. По аналогии пространство C^n,μλ(G, ∞) вводится индуктивно

условиями

ϕ∈Cn-1,μλ, ϕ^′ ∈Cn-1,μλ-1.

(2.8)

Все эти пространства являются частным случаем аналогичных пространств с более общи-

ми весовыми функциями, введённых и изученных в работе [8]. В частности, умножение, как

билинейное отображение, ограничено Cn,μλ′ × Cn,μλ′′ → Cn,μλ′+λ′′,пространствоC0,μ являетсяба-

наховой алгеброй по умножению, и оператор ϕ → ρ_δϕ осуществляет изоморфизм банаховых

пространств C^n,μλ → Cn,μλ+δ. Кроме того, семейство банаховых пространств (C^n,μλ) монотонно

убывает (в смысле вложений банаховых пространств) по параметру μ и монотонно возрастает

по λ. При этом для функций ϕ, заданных на множестве G и исчезающих на бесконечности,

условие (2.6) равносильно принадлежности ϕ пространству C^μ-μ(G, ∞). В частности, имеют

место вложение C^μλ ⊆ C^ε-ε при 0 < ε ≤ min(μ, -λ) и равенство

⋃

^H(G) =

0<ε<1C^−ε(G, ∞).

(2.9)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1488

СОЛДАТОВ

Отметим ещё вложение банаховых пространств

C^μ(G) ⊆ C^μμ(G,∞),

(2.10)

которое непосредственно следует из определения (2.7), так как

C^μ(G) ⊆ C^μμ(G,∞) = {ϕ : [ϕ]_μ < ∞}.

В дальнейшем роль множества G будут играть в основном прямая R и полуплоскости D_±.

В первом случае под ϕ^′ в (2.8) понимается обычная производная, а во втором случае под C^n,μλ

понимается пространство аналитических в D_± функций. Особо остановимся на пространстве

Cn,μ0(R,∞).

Лемма 2.1. (a) Пусть ϕ ∈ Cn,μ0(R, ∞) и функция f аналитична в окрестности неко-

торого компакта K, содержащего множество значений ϕ. Тогда суперпозиция f ◦ ϕ ∈

∈ Cn,μ0(R,∞).

(b) Пусть последовательность функций ϕ_m, m = 1, 2, . . . , ограничена в Cν0 (R, ∞), и

sup- нормы |ϕ_m|₀ → 0 при m → ∞.

но дифференцируемых функций ϕ₁, ϕ₂, ...с компактным носителем, которая при 0 < μ < ν

сходится к ϕ по норме пространства Cμ0(R, ∞).

Доказательство. (a) Рассмотрим сначала случай n = 0. На компакте K функция f

удовлетворяет условию Липшица

|f(z₁) - f(z₂)| ≤ L|z₁ - z₂|

с некоторой постоянной L > 0. Поэтому применительно к введённой выше полунорме {ϕ}_μ

имеем очевидную оценку {f ◦ ϕ}_μ ≤ L{ϕ}_μ, так что f ◦ ϕ ∈ Cμ0.

В общем случае воспользуемся индукцией по n. Тогда согласно (2.8) функции f ◦ ϕ и

ρ₁f^′ ◦ ϕ принадлежат пространству Cn-1,μ0. Поэтому в правой части равенства

ρ₁(f ◦ ϕ)^′ = (f^′ ◦ ϕ)(ρ₁ϕ^′)

оба сомножителя принадлежат Cn-1,μ0, так что по определению f ◦ ϕ ∈ Cn,μ0.

(b) Нетрудно видеть, что аналогичное (2.4) равенство

ρ_μ(t₁)|ϕ(t₁) - ϕ(z₂)|

|ϕ| = |ϕ|₀ + {ϕ}_μ,

{ϕ}_μ = sup

t₁,t₂∈G

|t₁ - t₂|^μ

определяет эквивалентную норму в пространстве Cμ0(R, ∞). Поэтому имеет место аналогичное

(2.5) интерполяционное неравенство

{ϕ}_ν ≤ [ϕ]1-μ/ν0 {ϕ}^μ/νν ,

0<μ<ν,

из которого утверждение леммы получается непосредственно.

срезывающую функцию χ(t) ∈ C^∞, тождественно равную единице при |t| ≤ 1 и нулю при

|t| ≥ 2. Утверждается, что последовательность

ϕm(t) = χ(t/m)ϕ(t), m = 1, 2, . . . ,

сходится к ϕ в Cμ0.

В самом деле эта последовательность, очевидно, ограничена в Cν0 и |ϕ - ϕ_m|₀ → 0 при

m → ∞. Поэтому на основании (b) последовательность ϕ_m → ϕ по норме пространства Cμ0.

Итак, без ограничения общности можно считать, что функция ϕ ∈ C^ν имеет компактный

носитель. В этом случае воспользуемся стандартной конструкцией свёртки с усредняющим

ядром. Пусть неотрицательная функция h ∈ C^∞ имеет компактный носитель и интеграл от

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1489

неё по всей прямой равен единице. Тогда по отношению к h_ε(t) = ε-1h(ε-1t),

0 < ε < 1,

функции

∫

ϕε(t0) = hε(t0 - t)ϕ(t) dt = h(t)ϕ(t0 - εt) dt

являются бесконечно дифференцируемыми и имеют компактный носитель, причём в этом

равенстве можно ϕ заменить на ϕ(k), 0 ≤ k ≤ n. При достаточно малых ε носитель функции

ϕ - ϕ_ε лежит внутри некоторого отрезка прямой. Поэтому на основании (2.5) при ε → 0

функции ϕ - ϕ_ε → 0 по норме пространства C^μ(I), что завершает доказательство (c) и

леммы.

Исходя из отрицательного нецелого весового порядка λ, введём пространство

C^μλ(D_±,∞)

как конечномерное расширение C^μλ(D_±, ∞) многочленами переменной u = (ζ ± i)-1. Оче-

видно, что при -1 < λ < 0 оно совпадает с C^μλ(D_±, ∞), а при -2 < λ < -1 его элементы

однозначно представляются в виде

φ(ζ) = α(ζ ± i)-1 + φ₀(ζ), φ₀ ∈ C^n,μλ(D_±, ∞),

с некоторым α ∈ C. Аналогично при -3 < λ < -2 элементы этого пространства однозначно

представляются в виде

φ(ζ) = α(ζ ± i)-1 + β(ζ ± i)-2 + φ₀(ζ), φ₀ ∈ C^μλ(D_±, ∞),

с некоторыми α, β ∈ C и т.д.

В общем случае пространство

C^μλ(D_±,∞) при -s - 1 < λ < -s является расширением

C^μλ(D_±,∞) на s измерений.

Аналогичное расширение

C^μλ(R,∞) можем ввести по отношению к многочленам перемен-

ной v = t/(t² + 1), t ∈ R, или, что равносильно, по отношению к многочленам переменной

u = (t ± i)-1.

Наконец, соответствующие пространств

C^n,μλ дифференцируемых функций определяются

индуктивно аналогичными (2.8) условиями

Cn-1,μλ, ϕ^′

Cn-1,μλ-1.

Из определений видно, что операция φ → φ^± действует

C^n,μλ(D_±,∞)

C^n,μλ(R,∞).

Обратимся к интегралу типа Коши (2.1) и связанному с ним сингулярному интегралу (2.2).

Теорема 2.1. Для любого нецелого отрицательного λ оператор I ограничен и обратим

C^n,μλ(R,∞)

C^n,μλ(D_±,∞), причём для кусочно-аналитической функции φ, принадлежащей

C^n,μλ(D_±,∞) в полуплоскостях D_±, равенство φ⁺ - φ^- = ϕ равносильно φ = Iϕ.

Сингулярный оператор S ограничен в

C^n,μλ(R,∞) и совпадает со своим обратным, т.е.

S² = 1, где 1 означает единичный оператор.

Доказательство. Убедимся сначала, что оператор I ограничен:

C^n,μλ(R,∞)

C^n,μλ(D_±,∞).

Для определённости исследуем случай верхней полуплоскости и рассмотрим сначала случай

-1 < λ < 0, когда волну в обозначениях пространств можно опустить. Для n = 0 это утвер-

ждение установлено в работе [8], при этом, как легко видеть, для φ ∈ C^μλ(D₊, ∞) справедлива

формула Коши

φ(ζ) = (Iφ⁺)(ζ), ζ ∈ D₊.

(2.11)

Пусть ϕ ∈ C^n,μλ, n ≥ 1, тогда интегрированием по частям получим равенство

(Iϕ)^′(ζ) = (Iϕ^′)(ζ), ζ ∈ D₊.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1490

СОЛДАТОВ

Поскольку

t+i

ζ ∈D₊,

(2.12)

t-ζ

ζ+i

ζ+i t-ζ

и интеграл от ϕ^′ по R равен нулю, имеем

∫

(t + i)ϕ^′(t) dt

(ζ + i)(Iϕ)^′(ζ) =

2πi

t-ζ

На основании формулы Сохоцкого-Племеля с учётом соотношения [(Iϕ)⁺]^′ = [(Iϕ)^′]⁺, выте-

кающего из (2.13), получим соответствующее равенство и для сингулярного интеграла:

∫

(t + i)ϕ^′(t) dt

(t₀ + i)(Sϕ)^′(t₀) =

πi

t-t₀

Таким образом, по отношению к операции (Dφ)(ζ) = (ζ + i)φ^′(ζ) и аналогичной операции на

прямой имеем равенства DI = ID, DS = SD. Так как соотношения (2.8) можем записать в

форме φ, Dφ ∈ Cn-1,μλ(D₊, ∞) и аналогично для пространств на прямой, отсюда по индукции

приходим к справедливости теоремы и для пространства C^n,μλ, -1 < λ < 0.

При -2 < λ < -1 равенство (2.12) показывает, что

∫

(ζ + i)(Iϕ)(ζ) =

ϕ(t) dt + (Iϕ₀)(ζ)

2πi

с функцией ϕ₀(t) = (t + i)ϕ(t) ∈ Cn,μλ+1(R, ∞). Остаётся заметить, что по доказанному выше

оператор I ограничен: Cn,μλ+1(R, ∞) → Cn,μλ+1(D₊, ∞).

Пусть далее -3 < λ < -2. Тогда согласно (2.12) можем записать

t+i

⁽t+i)2

ζ+i t-ζ

(ζ + i)²

ζ+i t-ζ

так что

t+i

⁽t+i)2

t-ζ

ζ+i

(ζ + i)²

ζ+i t-ζ

Аналогично предыдущим рассуждениям отсюда приходим к ограниченности оператора I для

рассматриваемого случая весовых порядков λ.

Продолжая этот процесс, приходим к справедливости рассматриваемого утверждения для

всех нецелых отрицательных λ. С другой стороны, формулу Коши (2.11) можно применить

к многочленам переменной u = (ζ + i)-1, что в соответствии с определением приводит к

ограниченности оператора I

C^n,μλ(R,∞)

C^n,μλ(D₊,∞).

Пусть далее φ ∈

C^n,μλ(D,∞). Применяя к функции φ₀ = φ - I(φ⁺ - φ^-) формулы

Сохоцкого-Племеля (2.3), получаем равенство φ⁺⁰ = φ-0, поэтому функция φ₀ аналитична

на всей плоскости и исчезает на бесконечности, что возможно только для φ₀ = 0.

Тем самым первая часть теоремы установлена. Утверждение об ограниченности оператора

S в пространстве

C^n,μλ(R,∞) вытекает из первой части теоремы и формул (2.3). Равенство

S² = 1 доказывается обычным образом (см. [7, с. 115]), записывая для φ = Iϕ формулу Коши

(2.11) и снова пользуясь (2.3).

Обратимся к описанию коэффициентов отражения r(k), обеспечивающих справедливость

основной теоремы.

Теорема 2.2. Пусть функция r(t) со свойствами (1.10) принадлежит классу C2,νδ-ν (R, ∞),

0 < ν < 1,

-3 < δ < -2, и подчинена одному из следующих двух предположений:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1491

(i)

|r(0)| < 1;

(ii) r(0) = -1,

(|r|²)^′′(0) = 0, причём функция r0(t) = t-2[1 - |r(t)|2] принадлежит

классу C2,ν в окрестности t = 0.

Тогда функции a, определяемая формулами (1.6), (1.12), и b = ra удовлетворяют всем

условиям (1.4), (1.5), причём

a-1 - 1

C^νδ(D₊,∞),

(2.13)

а функции F₁, F₂, определяемые формулами (1.7), удовлетворяют условиям (1.8) основной

теоремы.

Доказательство. Для каждого из двух предположений (i), (ii) рассуждения проведём

отдельно.

(i) В этом случае функцию ln(1 - |r|²) можно представить в виде |r|²h(|r|²), где h(s) =

= s-1 ln(1 - s),

|s|

< 1. Поскольку |r(t)|² = r(t)r(t) ∈ C2,ν2δ-2ν

⊆ C2,ν0, то на основании

леммы 2.1 (a) заключаем, что h(|r|²) ∈ C2,ν0 (R, ∞) и, следовательно,

ln(1 - |r|²) ∈ C2,ν2δ-2ν (R, ∞) ⊆ C2,νδ(R, ∞).

(2.14)

Поэтому в силу (1.12) и теоремы 2.1 функция ln a₁

C2,νδ(D₊,∞). C учётом леммы 2.1 (a),

как и выше, отсюда выводим, что

e±lna1 - 1

C2,νδ(D₊,∞)

и, следовательно,

a-1

C2,νδ(R,∞), a-1 - 1

C2,νδ(D₊,∞).

Обратимся к проверке условия (1.8) основной теоремы. Для первых слагаемых в правой

части (1.7) это условие, очевидно, выполнено. Поэтому его достаточно проверить для преоб-

разования Фурье функций

r(t) = b(t)/a(t),

r(t) = b(-t)/a(t),

фигурирующих в (1.7).

Обозначим через M(R) образ пространства L¹(R) при преобразовании Фурье. Тогда с

учётом хорошо известных свойств достаточно убедиться в том, что все функции r(t), r^′(t),

tr(t) и

r(t),

r′(t), tr(t) принадлежат M(R). Воспользуемся тем, что класс дифференцируе-

мых функций, которые вместе со своей производной принадлежат L²(R), содержится в M(R).

Поэтому дело сводится к доказательству того, что

ϕ(t), ϕ^′(t), ϕ^′′(t), tϕ(t), tϕ^′(t) ∈ M(R)

(2.15)

для каждой из функций ϕ = r, r.

Для ϕ = r ∈ C2,νδ-ν (R, ∞) с учётом неравенства δ < -3/2 эти условия очевидным образом

выполнены. Что касается функции ϕ = r, то в силу (1.4a) и (1.6), (1.12) можем записать

r(t) = c₀(t)r(t) с коэффициентом

∏

a(t)

c₀(t) =

⁽t + iκj )²e-2iarga1(t).

a(t)

t - iκ_j

j=1

Из (1.12) и формулы Сохоцкого-Племеля следует, что 2 arg a₁ = iS[ln(1 - |r|²)]. Поэтому на

основании (2.14) и теоремы 2.1

arg a₁(t)

C2,νδ(R,∞) ⊆ C2,ν0(R,∞).

C учётом леммы 2.1 (a) отсюда следует, что c₀ ∈ C2,ν0(R,∞) и, значит, r = c₀r ∈ C2,νδ(R,∞).

Поэтому соотношения (2.15) имеют место и для ϕ = r.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

4^∗

1492

СОЛДАТОВ

(ii) В этом случае для достаточно малого ε > 0 функция

g(t) = ln[1 - |r(t)|²] - 2 ln |t| ∈ C2,ν [-2ε, 2ε].

(2.16)

Рассмотрим внутри полукруга B_ε = {|z| ≤ ε, Re ζ ≥ 0} аналитическую функцию

2ε

∫

ln |t| dt

ψ(ζ) = ln ζ -

πi

t-ζ

-2ε

В силу формулы Сохоцкого-Племеля для её граничного значения имеем выражение

2ε

∫

ln |t| dt

ψ⁺(t₀) = iarg t₀ -

πi

t-t₀

-2ε

Таким образом, Re ψ⁺ = 0 и, следовательно, функция ψ аналитически продолжается

внутрь круга {|ζ| < ε}. Совместно с (1.12), (2.16) отсюда следует, что

2ε

∫

ln[1 - |r(t)|²] dt

g(t) dt

-2ln a₁(ζ) =

+ 2lnz - 2ψ(ζ),

πi

t-ζ

πi

t-ζ

|t|≥2ε

-2ε

так что с учётом теоремы 2.1

ln a₁(ζ) + ln ζ ∈ C2,ν (B_ε).

(2.17)

В частности, отсюда следует справедливость (1.5) с a(0) = 0.

Запишем плотность ln(1 - |r|²) в виде суммы ϕ₀ + ϕ₁, где ϕ₀(t) = 0 при |t| ≥ ε/2 и

ϕ₁ ∈ C^νδ(R,∞). Тогда на основании теоремы 2.1 в дополнение к (2.17) получим, что

ln a₁(ζ)

C^νδ(B^′ε,∞)

во внешности полукруга B^′ε = {|ζ| ≥ ε, Im ζ ≥ 0}. В результате приходим к справедливости

всех утверждений первой части теоремы, включая соотношение (2.13).

Что касается условий (1.8), то они проверяются совершенно аналогично случаю (i).

3. Теоретико-функциональный подход. При выполнении условий основной теоремы

обратная задача Штурма-Лиувилля однозначно разрешима и её решение может быть полу-

чено из интегрального уравнения Гельфанда-Левитана. Однако хорошо известен и теоретико-

функциональный подход [9] к описанию этого решения, основанный на задаче Маркушевича

для функций Йоста.

Пусть функция r(t) удовлетворяет условиям теоремы 2.2 с построенными по ней коэф-

фициентами a, b. Тогда в обозначениях (1.2) основное соотношение (1.3) между функциями

Йоста перейдёт в равенство

a-1(t)g₁(x,t) = c(t)g₂(x,t) + g₂(x,t) + h₀(x,t), t ∈ R,

(3.1)

с коэффициентом c(x, t) = e-2ixtr(t) и правой частью h₀(x, t) = 1 - a-1(t) + e-2ixtr(t). Эти

соотношения можно рассматривать как краевое условие для пары аналитических в области

D₊ функций g_j(ζ) = g_j(x,ζ), j = 1,2.

Заметим, что в силу (2.10) при фиксированном x осциллирующий множитель e(t) = e-2ixt

принадлежит C^νν(R, ∞) и, следовательно, с учётом (2.13) функции

c(x, t) = e-2ixtr(t) ∈ C^νδ(R, ∞), h₀(x, t)

C^νδ(R,∞).

(3.2)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1493

Опуская временно в обозначениях зависимость от x и полагая, что

φ₁(ζ) = a-1(z)g₁(ζ), φ₂(ζ) = g₂(ζ),

(3.3)

соотношения (3.1) для граничных значений φ+j перейдут в равенство

φ⁺¹ = cφ⁺² + φ⁺² + h₀.

(3.4)

Полученную краевую задачу можно записать в форме задачи Маркушевича

ψ⁺ - ψ^- = cψ^- + h₀

(3.5)

по отношению к кусочно-аналитической функции

{

φ₁(ζ), ζ ∈ D₊,

ψ(ζ) =

φ₂

ζ), ζ ∈ D_-.

Удобно этот термин использовать и для исходной задачи (3.4). В соответствии с (3.2) её реше-

ние φ = (φ₁, φ₂) будем искать в классе

C^μλ(D₊,∞),

0 < μ < ν, δ < λ < -2.

(3.6)

Поскольку

C^νδ ⊆ C^ν-ν, в соответствии с (2.9) коэффициент c и правая часть h задачи

принадлежат и классу

^H(R). Как установлено в статье [10], задача (3.4) однозначно разре-

шима в этом классе, однако его использование не даёт возможности восстановить потенциал

q уравнения (1.1).

Заметим, что в случае, когда коэффициент c по модулю не превосходит некоторого чис-

ла, строго меньшего единицы, однозначная разрешимость задачи (3.4) в классе

^H(R) была

установлена Б.В. Боярским [11]. Поэтому основной вклад работы [10] в теорию этой задачи

состоял в том, что в случае нарушения неравенства |c(t)| < 1 в единственной точке t = 0

при дополнительном условии (|c|)^′′(0) = 0 задача Маркушевича может быть эквивалентно

редуцирована к аналогичной задаче с некоторым новым коэффициентом c(t), который уже

по модулю меньше единицы для всех t. Эту редукцию можно осуществить и в рамках прост-

ранства

C^μλ(D₊,∞). В основе лежит следующая

Лемма 3.1. Пусть функция c(t) ∈ C(R) дважды непрерывно дифференцируема в окрест-

ности t = 0, стремится к нулю на бесконечности и удовлетворяет условиям

|c(0)| = 1,

|c(t)| < 1, t = 0;

(|c|)^′′(0) = 0.

(3.7)

Тогда для любого натурального числа m существует такое α > 0, что функция c(t) =

= c(t) - αc(0)(1 - it)^-m по модулю меньше единицы для всех t.

Доказательство опирается на рассуждения, аналогичные использованным при доказа-

тельстве теоремы 2 в работе [10]. Не ограничивая общности, можно считать c(0) = 1. Утвер-

ждается, что для некоторых положительных ε₁ и ε₂ выполнено неравенство

|c(t) - αc(0)(1 - it)^-m| < 1 при 0<α≤ε1,

0 < |t| ≤ ε₂.

(3.8)

В самом деле, опять же не ограничивая общности, можно считать c(0) = 1. Поскольку

функция |c|² = cc в точке t = 0 достигает максимума, равного единице, с учётом (3.7) имеем

соотношения

(cc)^′(0) = 2Re c^′(0) = 0, (cc)^′′(0) = -2a < 0.

(3.9)

Запишем теперь

|c(t) - α(1 - it)^-m|² = |c(t)|² - 2αγ(t) + α²(1 + t²)^-m,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1494

СОЛДАТОВ

где γ(t) = Re [c(t)(1 + it)^-m]. C учётом (3.9) имеем соотношения |c(t)|² = 1 - at² + o(t²) и

γ(t) = 1 + b₁t² + o(t²),

(1 + t²)^-m = 1 + b₂t² + o(t²)

с некоторыми постоянными b₁, b₂. Поэтому

|c(t) - α(1 - it)^-m|² = (1 - α)² - (a₁ - 2αa₂ - α²a₃)t² + t²γ₀(t),

где γ₀(t) → 0 при t → 0. Выбирая ε₁ из условия |2αb₁ + α²b₂| ≤ a/2 при α ≤ ε₁, приходим

к справедливости (3.8) для достаточно малого ε₂.

Зафиксируем теперь ε₂ и выберем ε₁ столь малым, что имеет место неравенство

|ρ(t) - αρ(0)(1 - it)^-m| < 1 при 0<α≤ε1,

|t| ≥ ε₂.

Тогда утверждение леммы будет выполнено при 0 < α ≤ min(ε₁, ε₂).

Теорема 3.1. Пусть коэффициент c(t) принадлежит классу C^νδ (R, ∞) с некоторым δ <

< 0 и удовлетворяет условию (3.7). Тогда задача (3.4) однозначно разрешима в пространстве

C^μλ(D₊,∞), где 0 < μ < ν, δ < λ < 0.

Доказательство. Покажем сначала, что оператор задачи (3.4), действующий по формуле

φ = (φ₁,φ₂) → φ+1 -cφ-2 -φ+2 , является фредгольмовым

C^μλ(D₊,∞)

C^μλ(R,∞), и его индекс

равен нулю. С этой целью воспользуемся стандартной редукцией задачи (3.4) к матричной

задаче линейного сопряжения, продолжая функции φ_j(ζ) в нижнюю полуплоскость D_- по

формуле φ_j(z) = φ_j(z), z ∈ D_-, и добавляя к (3.4) комплексно-сопряжённое равенство. Тогда

для пары φ = (φ₁, φ₂) кусочно-аналитических функций получим краевую задачу линейного

сопряжения

φ⁺ = Cφ^- + h,

(3.10)

где

(

)

1 - |c|

C =

h₁ = h₀ - ch₀, h₂ = -h₀.

-c

Заметим, что матрица C и правая часть h этой задачи удовлетворяют условию

C = C-1, h + Ch = 0,

(3.11)

поэтому вместе с φ решением этой задачи служит и вектор-функция φ^∗(ζ) = φ

ζ). Таким

образом, в предположении, что φ = φ_∗ по отношению к R-линейной операции φ_∗(ζ) = φ

ζ),

задача (3.10) эквивалентна (3.4).

Введём в пространств

C^μλ(D,∞) аналитических в области D = D₊ ⋃D_- вектор-функций

φ = (φ₁,φ₂) подпространство

C^μλ)_R, линейное над полем R, выделяемое условием φ = φ_∗.

Тот же символ

C^μλ)_R сохраним и для класса вектор-функций h = (h₁,h₂)

C^μλ(R,∞), вы-

деляемого условием h + Ch = 0 (различие в использовании этих обозначений будет видно из

контекста). В обоих случаях имеем разложение каждого из этих двух C-линейных пространств

в прямую сумму подпространств

C^μλ =

C^μλ)_R

^⊕ i(Cμλ)R.

(3.12)

Рассмотрим оператор Lφ = φ⁺ - Cφ^- задачи линейного сопряжения (3.10), линейный над

полем C. В силу свойства (3.11) коэффициента C этот оператор связан с операцией φ →

→ φ_∗(ζ) = φ

ζ) соотношением (Lφ_∗) = -Lφ. Таким образом, оператор L инвариантен в

соответствующих подпространствах

C^μλ)_R и его сужение обозначим как L_R. В силу (3.12)

операторы L и L_R обладают свойством фредгольмовости одновременно и их индексы (над

полями C и R соответственно) совпадают. Как было отмечено, в классе

C^μλ)_R задача (3.10)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1495

эквивалентна задаче (3.4), поэтому утверждение о фредгольмовости достаточно установить

по отношению к первой из них.

В силу теоремы 2.1 вектор-функция φ

C^μλ единственным образом представима в виде

φ = Iϕ с ϕ = φ⁺ - φ^-. Поэтому задача (3.10) эквивалентна сингулярному интегральному

уравнению Nϕ = g в пространстве

C^μλ(R,∞) с оператором

2N = (1 + S) + C(1 - S),

(3.13)

где C рассматривается как оператор умножения ϕ → Cϕ. Таким образом, дело сводится к

аналогичному утверждению для оператора N, который согласно теореме 2.1 ограничен в этом

пространстве.

Положим для краткости X

C^μλ(R,∞) и покажем, что

CS∼SC,

(3.14)

где эквивалентность означает равенство с точностью до оператора, компактного в простран-

стве X. Из выражения (3.10) видно, что матрицу C можно представить в виде суммы

(

)

C =E+C⁰, E=

с соответствующей матрицей C⁰ ∈ C^νδ (R, ∞). На основании леммы 2.1 (c) , применённой к

ρ_-λG⁰ ∈ C^να(R,∞) с весовым порядком α = δ - λ < 0, существует последовательность беско-

нечно дифференцируемых функций C0m с компактным носителем, сходящаяся при m → ∞

к C⁰ по норме пространства C^μλ(R). Остаётся заметить, что для C_m = E + C0m аналогичное

соотношение (3.14) очевидно и последовательность C_m → C по операторной норме простран-

ства X.

Очевидно также, что соотношение (3.14) справедливо и для матрицы G-1, которая опре-

деляется тем же выражением по отношению к комплексно-сопряжённой функции c. С учётом

равенства S² = 1 теоремы 2.1 отсюда приходим к соотношению

RN ∼ NR ∼ 1,

где R определяется заменой в (3.13) коэффициента G на G-1. Следовательно, операторы

N и R фредгольмовы и их индексы противоположны.

Пусть для 0 ≤ r ≤ 1 матрица C_r(t) определяется как в (3.10) заменой c(t) на rc(t). Тогда

оператор N(r), полученный заменой G на G_r в (3.13), также фредгольмов и непрерывно

зависит от r по операторной норме. Поэтому на основании известных свойств фредгольмовых

операторов [12, гл. 7] его индекс не зависит от r. Но при r = 0 оператор 2N(0) = (1 + S) +

+ E(1 - S) обратим и, следовательно, индекс оператора N(1) = N равен нулю.

Поэтому для завершения доказательства теоремы достаточно установить, что однородная

задача (3.4) имеет в пространстве C^μλ только нулевое решение. В силу леммы 3.1 эту задачу

всегда можно свести к случаю, когда

|c|₀ = max |c(t)| < 1.

(3.15)

В самом деле, пусть |c(0)| = 1 и натуральное число m > -λ. Тогда замена

φ₁(ζ) = φ₁(ζ) + αc(0)(1 - iζ)^-m,

φ₂(ζ) = φ₂(ζ)

не выводит из класс

C^μλ(D₊,∞) и сводит задачу (3.4) к аналогичной задаче с коэффициентом

c(t) = c(t) - αc(0)(1 - it)^-m ∈ C^μλ(R, ∞),

который на основании леммы 3.1 уже по модулю меньше единицы для всех t.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1496

СОЛДАТОВ

Как было отмечено выше, задача (3.4) однозначно разрешима в классе

^H(G), который в

силу (2.9) содержит класс

C^νδ(R,∞). Поэтому на основании фредгольмовости задачи в прост-

ранстве

C^μλ(D₊,∞) и равенства нулю индекса отсюда будет следовать и её однозначная разре-

шимость в этом пространстве. Однако нетрудно дать и прямое доказательство её однозначной

разрешимости.

C этой целью рассмотрим вариант (3.5), (3.6) данной задачи, который аналогично преды-

дущему рассуждению редуцируется к эквивалентному сингулярному уравнению N₀ϕ = h

относительно плотности ϕ = ψ⁺ - ψ^- с оператором

N₀ϕ = ϕ - cS₊ϕ = ϕ + cS_-ϕ,

где для краткости положили 2S_± = 1 ± S. Как было установлено выше, задача (3.5) фред-

гольмова в пространствах C^μλ, -1 < λ < 0, и её индекс равен нулю, так что этим свойством

обладает и оператор N₀.

Введём далее на прямой R банахово пространство L2λ(R, ∞) с конечной нормой

(∫

)1/2

|ϕ| =

ρ-2λ-1(t)|ϕ(t)|² dt

Как обычно, функции, отличающиеся друг от друга на множестве меры нуль, отождествля-

ются.

Очевидно, что L2λ(R, ∞) = L²(R) при λ = -1/2 и равенство

(∫

)1/2

(∫

)1/2

|ϕ| =

|ϕ(t)|² dt

|t|-2λ-1|ϕ(t)|² dt

|t|≤1

|t|≥1

определяет эквивалентную норму. Тогда семейство банаховых пространств L2λ(R, ∞), λ ∈ R,

монотонно возрастает по λ (относительно вложений). Очевидно также, что L²⁰ является L² -

пространством относительно меры ρ-1(t) dt, так что имеет место неравенство Гёльдера

∫

|ϕ(t)ψ(t)ρ-1(t) dt ≤ |ϕ|_L2ψL2 .

Поэтому билинейная форма

∫

〈ϕ, ψ〉 = Re ϕ(t)ψ(t) dt

ограничена на произведении L2λ × L2-λ-1. Отметим, что при -1 < λ < 0 весовой порядок

-λ - 1 меняется в том же интервале.

Относительно введённой R-линейной формы операторы Jϕ = ϕ и S имеют самосопря-

жённые J^∗ = J и S^∗ = -S. Поэтому сопряжённым к N₀ в (3.18) служит оператор

N∗0ψ = ψ - S_-(cψ).

(3.16)

Совершенно аналогично случаю гёльдеровых пространств убеждаемся, что соотношение

cS ∼ Sc справедливо и по отношению к пространству L2λ, поэтому

(cJS₊)² ∼ cS_-JcJS₊ = cS_-cS₊ ∼ 0.

Следовательно, оператор 1 + cJS₊ служит регуляризатором к N₀ = 1 - cJS₊, так что оба

они являются фредгольмовыми. Заменяя здесь множитель c на rc,

1 ≤ r ≤ 1, убеждаемся,

что их индексы равны нулю.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1497

То же самое верно и по отношению к сопряжённому оператору (3.16). По определению

фредгольмовости уравнение N₀ϕ = h разрешимо в пространстве L2λ тогда и только тогда,

когда 〈h, ψ〉 = 0 для всех решений ψ ∈ L2-λ-1 однородного уравнения N∗0ψ = 0.

Полагая

s(λ) = dim[ker (N₀|L2λ)], s^∗(λ) = dim[ker (N∗0|L2λ)],

равенство ind (N₀|L2λ) = 0 в терминах размерности можем выразить в форме 0 = s(λ) -

- s^∗(-λ - 1). Поскольку целочисленная функция s(λ) монотонно возрастает, а s^∗(-λ - 1)

монотонно убывает по λ, то это возможно только тогда, когда эти функции постоянны. Но

при λ = -1/2 оператор N₀ обратим в пространстве L2-1/2 = L²(R). Хорошо известно (см. [13,

гл. 3]), что оператор S как преобразование Гильберта имеет в пространстве L²(R) норму, рав-

ную единице, так что и норма оператора S₊ не превосходит единицы. Но тогда на основании

(3.15) норма оператора cJS₊ не превосходит |c|₀, так что оператор N₀ действительно обра-

тим.

Таким образом, s(λ) = 0 для всех λ в интервале (-1, 0). Нетрудно видеть, что при ε > 0

пространство Cμ0 содержится в L2ε и, значит, C^μλ ⊆ L2λ+ε. Поэтому ядро ker (N₀|C^μλ) также

нулевое и, следовательно, оператор M обратим и в пространстве C^μλ(R, ∞), что завершает

доказательство теоремы.

Напомним, что коэффициент c(x, t) = e-2ixtr(t) и правая часть h(x, t) исходной зада-

чи (3.4) зависят от параметра x ∈ R. Возникает вопрос о характере зависимости от x её

решения φ(x, t).

Лемма 3.2. Пусть коэффициент c(x, t) задачи (3.4) и её правая часть h₀(x, t) зависят

от x ∈ R и непрерывно дифференцируемы по этой переменной, а по переменной t удовле-

творяют условиям

∂c

c(x, t) ∈ C^νδ (R, ∞),

∈ Cνδ+1(R,∞), δ < -1,

∂x

∂h₀

h₀(x,t)

C^μλ(R,∞),

∈

Cμλ+1(R,∞), δ < λ < -1,

0<μ<ν.

(3.17)

∂x

Тогда и решение φ(x, t) задачи (3.4) обладает соответствующими свойствами:

∂φ

φ(x, t)

C^μλ(D₊,∞),

∈

Cμλ+1(D₊,∞).

(3.18)

∂x

Доказательство. Положим для краткости X

C^μλ(D₊,∞), Y

C^μλ(R,∞), и пусть X₁,

Y1 имеют аналогичный смысл по отношению к λ + 1. В принятых предположениях задачу

(3.4) можем рассматривать как в пространстве X, так и в X₁, причём согласно теореме 3.1

эта задача однозначно разрешима в пространствах X и X₁. Обозначим через M(x) оператор

этой задачи, действующий X × X → Y, он принадлежит банахову пространству L(X × X, Y )

и обратим. При этом операторное отображение x → M(x) непрерывно R → L(X × X, Y ) и

непрерывно дифференцируемо R → L(X₁ ×X₁, Y₁). Хорошо известно, что тогда аналогичным

свойством обладает и отображение x → M-1(x) [14, с. 278; 15, гл. 7], т.е. оно непрерывно R →

→ L(Y,X × X) и непрерывно дифференцируемо R → L(Y₁,X₁ × X₁). При этом производная

этого отображения вычисляется по формуле

[M-1(x)]^′ = -M-1(x)M^′(x)M-1(x).

В соответствии с (3.17) отсюда заключаем, что отображение x → φ(x, t) = M-1(x)h₀(x, t)

непрерывно R → Y × Y и непрерывно дифференцируемо R → Y₁ × Y₁, причём

∂φ

∂h₀

= [M-1(x)]^′h₀ + M-1(x)

∂x

Тем самым соотношения (3.18) установлены.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1498

СОЛДАТОВ

4. Восстановление потенциала q. Теорема 3.1 совместно с леммой 3.2, применённые к

задаче (3.1), позволяют восстановить потенциал q уравнения (1.1) по функциям Йоста.

Теорема 4.1. В условиях теоремы 2.2 задача (3.1) для пары g = (g₁, g₂) видоизменённых

функций Йоста, фигурирующих в (1.2), однозначно разрешима в классе (3.6). Эти функции

представимы в виде

α_j(x)

β_j(x)

g_j(x,t) =

+ g0j(x,t), g0j ∈ C^μλ(R,∞),

(4.1)

t+i

(t + i)²

где α_j (x), β_j (x) и g0j(x, t) непрерывно дифференцируемы по x, причём

∂g0j

∈ Cμλ+1(R,∞), j = 1,2,

(4.2)

∂x

и определяют потенциал q уравнения (1.1) по формуле

∫

∂g⁰¹

∂g⁰²

q(x) = -α′1(x) -

(x, t) dt = α′2(x) +

(x, t) dt.

∂x

Заметим, что согласно условию на λ в (3.6) интегралы в последней формуле имеют смысл.

Доказательство. Напомним, что с помощью подстановки (3.3) задача (3.1) записана в

форме (3.4). По теореме 3.2 эта задача имеет единственное решение φ в классе (3.6). Однако

в случае предположения (ii) теоремы 2.2 функция a-1(z) имеет в точке z = 0 нуль первого

порядка, так что этим же свойством обладает и φ₁(z) = a-1(z)f⁰¹(z). В рассматриваемом

случае r(0) = -1 и, следовательно, правая часть h₀(t) = 1 - a-1(t) + e-2ixtr(t) также имеет

нуль первого порядка в точке t = 0. Утверждается, что аналогичным свойством обладает и

вторая компонента φ₂ решения задачи (3.4).

Введём функцию^h(t) = t-1h(t)

C^μλ(R,∞) и рассмотрим решение^φ задачи (3.4) с правой

частью^h в том же классе (3.6). Тогда обе функции φ(z) и zφ(z) являются решениями задачи

(3.4) и, значит, совпадают, что и требовалось доказать. Заметим попутно, что эта тонкость в

работе [10] была упущена.

Итак, существует решение g = (g₁, g₂) задачи (3.1), которое принадлежит классу (3.6).

В частности, на граничной вещественной оси оно представимо в виде (4.1). На основании

леммы 3.2 можем также утверждать, что функции α_j(x), β_j (x) и g0j(x, t) непрерывно диф-

ференцируемы по x, причём справедливо соотношение (4.2).

Соотношения (1.2) для этих функций в области D₊ представляют собой преобразование

Лапласа

∞

{

∫

A₁(x,x + s), j = 1,

g_j(x,ζ) = B_j(x,s)e^iζs ds, B_j(x,s) =

A₂(x,x - s), j = 2,

от функций B_j (x, s) на полуоси, которые восстанавливаются обратным преобразованием Фу-

рье:

∫

B_j(x,s) =

g_j(x,t)e^-ist dt, s > 0.

(4.3)

2π

Поскольку (см. [16, с. 269])

∫

e^-ist dt

=e^-s,

= -se^-s, s > 0,

2π

t+i

(t + i)²

подстановка (4.2) в (4.3) приводит к выражению

∫

2B_j (x, s) = e^-s[2α_j (x) - β_j (x)s] +

g0j(x,t)e^-ist dt, s > 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

К РЕШЕНИЮ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

1499

В силу условия на λ в (3.6) это равенство можно дифференцировать под знаком интеграла,

так что

∫

∂g0j

[B_j (x, 0)]^′ = [A_j (x, x)]^′ = α^′j (x) +

(x, t)(x, t) dt, s > 0.

2π

∂x

Поскольку по теореме 2.2 можем воспользоваться основной теоремой Фаддеева-Марченко,

формула (1.9) приводит к выражению потенциала

[

∫

]

∂g⁰

q(x) = (-1)j 2α′j (x) +

(x, t)(x, t) dt ,

j = 1,2,

∂x

через видоизменённые функции Йоста.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М., 1984.

2. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шрёдингера // Тр. Мат. ин-та АН

СССР. 1964. Т. 73. С. 314-336.

3. Фаддеев Л.Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния. II // Итоги науки и техники. Сер.

Совр. проблемы математики. 1974. Т. 3. С. 93-180.

4. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.

5. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций. М., 1984.

6. Левитан Б.М. Достаточные условия разрешимости обратной задачи теории рассеяния на всей пря-

мой // Мат. сб. 1979. Т. 108 (150). № 3. С. 350-357.

7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

8. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи // Совр.

математика. Фунд. направления. 2016. Т. 63. С. 1-179.

9. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуля-

ции волн в нелинейной среде // Журн. эксп. и теор. физики. 1971. Т. 61. С. 118-134.

10. Жура Н.А., Солдатов А.П. О представлении решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на всей

оси // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 8. С. 1027-1037.

11. Боярский Б.В. Об обобщенной граничной задаче Гильберта // Сообщ. АН ГрССР. 1960. Т. 25. № 4.

С. 385-390.

12. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М., 1970.

13. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М., 1974.

14. Рудин У. Функциональный анализ. М., 1991.

15. Картан A. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М., 1971.

16. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1. М., 1969.

Федеральный исследовательский центр РАН

Поступила в редакцию 11.06.2022 г.

“Информатика и управление”, г. Москва,

После доработки 11.06.2022 г.

Национальный исследовательский университет

Принята к публикации 21.10.2022 г.

“Московский энергетический институт”

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022