ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1500-1514

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.958

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ

АТТРАКТОР ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ

Рассмотрена периодическая краевая задача для интегро-дифференциального комплексно-

го уравнения Гинзбурга-Ландау. Его можно интерпретировать как обобщённый вариант

уравнения, известного в ряде физических приложений под названием “нелокальное урав-

нение Гинзбурга-Ландау”. Изучены два естественных варианта такого уравнения, одно

из них может быть включено в класс абстрактных параболических уравнений. В этом

случае показана глобальная разрешимость начально-краевой задачи и, главное, доказано

существование конечномерного глобального аттрактора. Изучен вопрос о структуре та-

кого аттрактора и указана евклидова размерность его компонент. Анализ этих вопросов

базируется на возможности получения явных формул для всех решений соответствующих

начально-краевых задач. Рассмотрен также слабодиссипативный вариант уравнения, для

которого показано существование бесконечномерного глобального аттрактора.

DOI: 10.31857/S0374064122110061, EDN: MAXXXR

Введение. Комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау (КУГЛ) приобрело известность в

математической физике благодаря широкому спектру приложений в современной физике [1].

Обычно его приводят в виде

u_t = u - (1 + ic)u|u|² + (a + ib)u_xx,

где u = u(t, x) - комплекснозначная функция, a ≥ 0, c, b ∈ R, t ≥ 0, x ∈ R или x ∈ [0, l],

l > 0. Это уравнение следует дополнить соответствующими краевыми условиями. Для прило-

жений представляют интерес частные варианты КУГЛ. Например, если a = 0, то уравнение

называют слабодиссипативным вариантом КУГЛ или обобщённым кубическим уравнением

Шрёдингера (см. [2], а также библиографию в ней). Если c = b = 0, a > 0, то получаем ва-

риант уравнения, который принято называть вариационным КУГЛ (см., например, [1, 3, 4]).

Рассматривают и иные обобщённые варианты и модификации КУГЛ. Одним из таких сле-

дует считать следующее интегро-дифференциальное уравнение в частных производных:

u_t = u - (1 + ic)uV (u) + (a + ib)u_xx,

(1)

∫l

где u = u(t, x), V (u) = l-1

|u(t, x)|² dx, если x ∈ [0, l]. Уравнение (1) и некоторые его моди-

фикации получили название “нелокальное уравнение Гинзбурга-Ландау” (НУГЛ). Они были

получены в качестве математических моделей при изучении ферромагнетизма (см., например,

статьи [5, 6], а также списки литературы, приведённые в них).

В работах [7, 8] была рассмотрена периодическая краевая задача (КЗ) для уравнения (1)

и его слабодиссипативного варианта, когда a = 0. Для обоих рассмотренных КЗ был изу-

чен вопрос о существовании решений при всех t > 0, доказано существование глобального

аттрактора и изучены его свойства.

Определение глобального аттрактора, инерциального многообразия для достаточно широ-

кого класса нелинейных эволюционных уравнений с частными производными было предложе-

но в работах [9, гл. 1; 10; 11, гл. 1]. В большом цикле статей эти вопросы были изучены для мно-

гих известных эволюционных уравнений, например, для уравнения Курамото-Сивашинского,

Кана-Хиллиарда, других уравнений параболического типа [12, 13] (см. также библиографию

из этих работ и монографий [9, 11]).

1500

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ АТТРАКТОР

1501

В данной работе будут рассмотрены аналогичные вопросы для нелокального уравнения,

которое можно интерпретировать как модификацию (обобщение) интегро-дифференциального

уравнения (1), которое естественно также называть НУГЛ.

Отметим также, что термин “нелокальное” уравнение иногда применяют к уравнениям

иного вида, в которых присутствуют нелокальные члены. Например, уравнение с отклоняю-

щимся аргументом, содержащим кроме u(t, x) неизвестную функцию u(t, x + h), h ∈ R (см.,

например, [14-16]). Для этих уравнений изучался иной круг вопросов.

Приведём два примера таких уравнений:

u_t + u = au_xx + K(1 + γ cos v), u_t = au_xx + cv_x + b(v2x),

где a, K, γ > 0, c, h, b ∈ R, u = u(t, x), v = u(t, x + h). Содержательный случай предполагает,

что коэффициенты b, h и c отличны от нуля.

1. Постановка задачи. Далее будем изучать интегро-дифференциальное уравнение с

частными производными, которое следует называть обобщённым комплексным нелокальным

уравнением Гинзбурга-Ландау или просто НУГЛ:

u_t = γu - (α + ic)uV (u) + (a + ib)u_xx - (d + ig)u_xxxx,

(2)

где u(t, x) - комплекснозначная функция, c, a, b, d, g ∈ R, α > 0, γ = ±1 или 0, и нужный ва-

риант γ будет выбираться в процессе анализа уравнения (2). Основной вариант предполагает,

что d > 0 или d = 0, a > 0. Если d = g = 0, то получим известное уравнение (1) (см. [5, 6]).

Если d² + g² = 0, то уравнение (2) в некоторых случаях может быть проинтерпретировано

как модельное уравнение для некоторых задач теории упругой устойчивости [17, 18].

Как и во многих работах (см., например, [1, 5, 6]), дополним уравнение (2) периодическими

краевыми условиями

u(t, x + 2π) = u(t, x).

(3)

Краевая задача (2), (3) записана в нормированном виде и, в частности, этим объясняет-

ся, что период по пространственной переменной равен 2π, а нормировка u → μu, μ > 0,

∫2π

позволяет далее считать, что α = 1. В уравнении (2) V (u) = (2π)-1

|u(t, x)|² dx.

Особый вариант, который заслуживает отдельного изучения, возникает при d = a = 0.

Тогда обычно уравнение (2) называют слабодиссипативной версией обобщённого уравнения

Гинзбурга-Ландау. Отметим, что краевые условия (3) могут быть заменены на другие. На-

пример, возможен вариант однородных краевых условий вида

u(t, 0) = u(t, π) = u_xx(t, 0) = u_xx(t, π) = 0

(4)

или

u_x(t,0) = u_x(t,π) = u_xxx(t,0) = u_xxx(t,π) = 0.

(5)

В данной работе сосредоточим внимание на варианте КЗ с периодическими краевыми усло-

виями (3).

Дополним КЗ (2), (3) начальным условием

u(0, x) = f(x).

(6)

В первой части статьи будет показано, что начально-краевая задача (2), (3), (6) при d > 0

и соответствующем выборе f(x) имеет “классическое” решение, если t > 0, а также что КЗ

(2), (3) имеет глобальный аттрактор A. При d > 0 он имеет конечную евклидову размерность

(dim A < ∞), а при d = a = 0 - бесконечную размерность. Подчеркнём также что при d > 0

КЗ (2), (3) может быть включена в класс абстрактных параболических уравнений в смысле

определения из работ [19; 20, с. 92], а при a = d = 0 КЗ может быть проинтерпретирована

как “гиперболическая” (см. [21, 22]). Основная часть работы посвящена анализу КЗ (2), (3)

при d > 0. Слабодиссипативный вариант будет рассмотрен отдельно в п. 4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1502

КУЛИКОВ А.Н., КУЛИКОВ Д.А.

2. О глобальной разрешимости начально-краевой задачи. Рассмотрим начально-

краевую задачу (2), (3), (6), решения которой можно представить в виде

∑

u(t, x) =

u_n(t)exp(inx),

(7)

n=-∞

где коэффициенты Фурье u_n(t) определены равенствами

2π

∫

u_n(t) =

u(t, x) exp(-inx) dx.

2π

∑_∞

Очевидно, что в силу равенства Парсеваля V (u) =

|u_n(t)|2 начально-краевая зада-

n=-∞

ча (2), (3), (6) может быть записана в виде бесконечной последовательности обыкновенных

дифференциальных уравнений

u^′n = (a_n + ib_n)u_n - (1 + ic)V (u)u_n,

(8)

где a_n = γ - an² - dn⁴, b_n = -bn² - gn⁴, n ∈ Z. Система (8) дополняется начальными

условиями

2π

∫

u_n(0) = f_n, f_n =

f (x) exp(-inx) dx.

(9)

2π

Сразу отметим, что равенства f_k = 0, где k ∈ Z_∗ (Z_∗ - некоторое подмножество целых

чисел Z), выделяют линейное подпространство, которое инвариантно для решений системы

дифференциальных уравнений (8).

Положим

u_n(t) = ρ_n(t)exp(iϕ_n(t)), f_n = r_n exp(iψ_n),

(10)

где ρ_n(t), r_n ≥ 0, ϕ_n(t), ψ_n ∈ R. В результате получим две последовательности задач Коши:

ρ^′n = a_nρ_n - ρ_nV,

(11)

ρ_n(0) = r_n,

(12)

ϕ′n = b_n - cV,

(13)

ϕn(0) = ψn,

(14)

∑_∞

где теперь V = V (ρ) =

ρ2n. Уравнения (11) не зависят от ϕ_n и поэтому задачу Коши

n=-∞

(11), (12) можно изучить отдельно.

Выберем какое-либо k ∈ Z, k = 0, и рассмотрим два уравнения

ρ^′k = a_kρ_k - ρ_kV, ρ′0 = a₀ρ₀ - ρ₀V.

(15)

Если первое из уравнений (15) умножить на ρ₀, а второе - на ρ_k, и почленно вычесть, то в

результате получим равенство ρ^′kρ₀ - ρ_kρ′0 = α_kρ_kρ₀, где α_k = a_k - a₀ = -ak² - dk⁴. После

преобразований последнего равенства имеем

)_′

⁽ρ_k

ρ_k

=α_k

ρ₀

откуда следует, что

ρ_k =

r_k ρ₀ exp(α_kt).

(16)

r₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ АТТРАКТОР

1503

Эти преобразования позволяют записать уравнение с номером k = 0 системы (11) в следую-

щем виде:

ρ³⁰

ρ′0 = a₀ρ₀ -

S(t),

(17)

r²

где, естественно, ρ₀(0) = r₀, a

∑

S(t) =

r2k exp(2α_kt), r_k = |f_k|.

k=-∞

Если считать, что f(x) ∈ L₂(0, 2π) при x ∈ (0, 2π), то последний ряд, разумеется, сходится.

Уравнение (17) - это уравнение Бернулли и, следовательно, может быть проинтегрировано.

После замены 1/ρ²⁰ = y стандартным образом получаем линейное неоднородное дифференци-

альное уравнение для y(t):

S(t)

y^′ = -2a₀y + 2

r²

Если все a_k = 0, то у последнего линейного неоднородного дифференциального уравнения

отсутствуют резонансные члены, и для ρ₀(t) получаем формулу (если, конечно, учесть, что

ρ₀(0) = r₀)

r₀ exp(a₀t)

ρ₀(t) =

√

(18)

1 + Q(t)

∑_∞

где a₀ = γ, Q(t) =

r2k(exp(2a_kt) - 1)/a_k. Нетрудно убедиться в том, что Q(t) > 0 при

k=-∞

∑_∞

t > 0. Действительно, Q(0) = 0, а Q^′(t) = 2

r2k exp(2a_kt) > 0, если t > 0. Ряд в правой

k=-∞

части равенства для Q^′(t) при t ≥ t₀ > 0 сходится равномерно, так как lim a_k/k⁴ = -d < 0.

|k|→∞

Если же при некоторых k выполнены равенства a_k = 0, т.е. α_k = -a₀ (a₀ = γ), то при

интегрировании линейного неоднородного уравнения для y(t) возникают резонансные случаи,

когда сумма S(t) содержит слагаемые c exp(-2a₀t). Тогда следует заменить Q(t) на другую

функцию:

а) если существует только одна пара чисел k = m, k = -m, когда γ - ak² - dk⁴ = 0, то

Q(t) следует в формуле (18) заменить на функцию

∑

r2k

Q₁(t) =

(exp(2a_kt) - 1) + 2t(r2m + r2-m);

a_k

k=±m

b) если биквадратное уравнение имеет четыре корня: k = ±m₁, k = ±m₂, то Q(t) следует

заменить на

∑

r2k

Q₂(t) =

(exp(2a_kt) - 1) + 2t(r2m

+r2-m

+r2m

+r2-m

);

a_k

k=±m₁,±m₂

c) если m₁ = 0 (m₂ > 0), то получаем частный случай, и Q(t) следует заменить на

∑

r2k

Q₃(t) =

(exp(2a_kt) - 1) + 2t(r²⁰ + r2m

+r2-m

a_k

k=0,k=±m₂

Далее будем считать, что реализовался основной вариант, когда a_k = 0 (т.е. γ = ±1) при

всех целых k и, следовательно, для определения ρ₀(t) можно использовать равенство (18).

Итак, из формулы (16) вытекает, что

r_k exp(a_kt)

ρ_k(t) =

√

1 + Q(t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1504

КУЛИКОВ А.Н., КУЛИКОВ Д.А.

Уравнения (13) приобретают вид

∑

r2k exp(2a_kt)

ϕ′n = b_n - c

1 + Q(t)

k=-∞

и ϕ_n(t) находится интегрированием правой части последнего равенства, т.е.

ϕn(t) = ϕn,0(t) + ψn,

где ϕn,0(t) = b_nt - (c/2) ln(1 + Q(t)), а ψ_n = ϕ_n(0). Наконец, получаем, что

r_k exp(a_kt)

u_k(t) =

√

exp(iϕ_k(t)) = f_k√

exp(a_kt + iϕk,0(t)).

1 + Q(t)

Здесь учтено равенство f_k = r_k exp(iψ_k). Используя формулу (7), получаем решение КЗ (2),

(3) в явном виде

∑

u(t, x) =

f_k√

exp(a_kt + iϕk,0(t)) exp(ikx).

(19)

1 + Q(t)

k=-∞

Пусть f(x) - периодическая функция и при x ∈ (0, 2π) принадлежащая классу L₂(0, 2π).

Тогда ряд в правой части формулы (19) при t > 0 сходится равномерно и имеет частные

производные любого порядка. Доказательство этих утверждений стандартно и повторяет, на-

пример, доказательство сходимости соответствующего функционального ряда при интегриро-

вании методом Фурье первой КЗ для уравнения теплопроводности (см., например, [23, гл. 1,

§ 3]). Основным моментом здесь является то, что справедливо предельное равенство

a_k

lim

= -d < 0,

|k|→∞ k⁴

если вспомнить, что a_k = γ - ak² - dk⁴, d > 0.

Итак, доказана

Теорема 1. Пусть f(x) ∈ L₂(0, 2π) и имеет период 2π. Тогда начально-краевая за-

дача (2), (3), (6) имеет решение u(t, x), которое может быть определено формулой (19).

При этом:

1) u(t, x) ∈ C^∞ при всех x ∈ R и всех t > 0;

2) lim u(t, x) = f(x).

t→+0

Последний предел следует понимать в смысле нормы в пространстве L₂(0, 2π), т.е. вы-

полнено предельное равенство

2π

∫

lim

(u(t, x) - f(x))² dx = 0.

t→+0

Замечание 1. Если f(x) ∈ Hk2, k = 1, 2, . . . (f(x) ∈ Wk2[0, 2π] и имеет период 2π), то

lim

u(t, x) = f(x) можно понимать в смысле нормы пространства Соболева Wk2[0, 2π], т.е.

t→+0

∫

2π

)₂

∑

⁽∂^mu(t, x)

lim

- f(m)(x) dx = 0, f⁽⁰⁾(x) = f(x).

t→+0

∂x^m

m=0 0

Замечание 2. Аналогичный результат справедлив, если d = 0, но a > 0. В этом можно

убедиться, повторив последовательно построения данного пункта. Случай когда a = d = 0

будет изучаться отдельно в п. 4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ АТТРАКТОР

1505

3. Инвариантные многообразия. Как и в п. 2 сначала изучим систему дифференциаль-

ных уравнений (11). Она, конечно, имеет нулевое состояние равновесия (ρ_k = 0 при любом

k ∈ Z). Для дальнейших построений у этой системы актуально рассмотреть вопрос о суще-

ствовании ненулевых состояний равновесия.

Состояния равновесия системы дифференциальных уравнений (11) следует искать как ре-

шения системы алгебраических уравнений ρ_n(a_n - V ) = 0, где n ∈ Z. Следовательно, нену-

левые решения могут появиться, если a_k - V = 0 при некоторых или всех k ∈ Z.

Пусть a_n ≤ 0 при всех n ∈ Z. Тогда ρ_n(a_n - V ) < 0 при всех n, если хотя бы одно

ρ_m > 0 (ρ_m = 0). Но тогда ρ^′n < 0, т.е. функция ρ_n(t) убывает до нуля при всех t > 0. Итак,

справедливо утверждение.

Лемма 1. Пусть при всех n справедливо неравенство a_n ≤ 0. Тогда:

1) система дифференциальных уравнений (11) не может иметь ненулевых состояний

равновесия;

2) при всех n справедливо предельное равенство lim

ρ_n(t) = 0.

t→∞

Из второй части последнего утверждения вытекает, что все решения системы дифферен-

циальных уравнений (11) при t → ∞ приближаются к нулевому состоянию равновесия.

Итак, система дифференциальных уравнений (11) может иметь ненулевые состояния рав-

новесия, если существует набор индексов m, при которых a_m > 0. Очевидно, что a_-m = a_m

(m = 0). Поэтому далее достаточно ограничиться индексами m ≥ 0. Соответствующие набо-

ры {m}, {a_m} обозначим через Z₊ и M₊. Оба множества имеют конечный набор элементов,

так как lim (γ - an² - dn⁴) = -∞, если d > 0 (или d = 0, a > 0).

|n|→∞

√

Если γ = 1, d > 0, то m ∈ [0, ξ), ξ =

(-a +

a² + 4d)/2d.

√

Если γ = 1, d = 0, a > 0, то m ∈ [0, ξ₀), где ξ₀ =

1/a. В обоих этих вариантах

M₊ = ∅, так как a₀ = γ = 1 ∈ M₊.

√

Если γ = -1, d > 0, a < 0, d > 0, a²-4d > 0, то m∈(ξ₁, ξ₂), ξ1,2 =

(-a ∓

a²-4d)/2d.

√

Наконец, если γ = 0, a < 0, d > 0, то m ∈ (0, ξ₀), ξ₀ =

-a/d.

В остальных случаях множества Z₊, M₊ будут пустыми.

Пусть реализовался один из вариантов, когда множества Z₊, M₊ не пусты и выбраны

соответствующие элементы этих множеств. Возможны следующие варианты для определения

координат состояний равновесия системы дифференциальных уравнений (11).

1. Пусть m₀ = 0. Тогда

ρ₀(t) = ρ₀ = 1, ρ_n(t) = 0, n = 0.

2. Пусть m₀ = 0. Тогда a-m0 = am0 > 0. Если же при всех остальных целых n = ±m₀

выполнено условие a_n = am0 , то

ρ2m

+ρ2-m

= am0, ρ_k = 0 при n = ±m₀.

3. Пусть m₁, m₂ ∈ Z₊ и оказалось, что am1 = am2 (a-m1 = am1 , a-m2 = am2 ). Тогда

координаты состояний равновесия ρm1 , ρm2 , ρ-m1 , ρ-m2 находим из уравнения

ρ2m

+ρ2-m

+ρ2m

+ρ2-m

=am1 =am2,

а ρ_n = 0 для остальных n.

4. Пусть m₁, m₂ ∈ Z₊ и m₁ = 0 (am1 = a₀). Тогда ненулевые координаты находим из

уравнения

ρ²⁰ + ρ2m

+ρ2-m

=a₀ =1

(γ = 1),

а для остальных n справедливы равенства ρ_n = 0.

Соответствующие состояния равновесия системы дифференциальных уравнений (11) обо-

значим через S₀, Sm0 , Sm1,m₂ , S0,m₂ .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1506

КУЛИКОВ А.Н., КУЛИКОВ Д.А.

Уместно подчеркнуть, что иных состояний равновесия, отличных от нулевого (см. пп. 1-4),

быть не может. Равенство am∗ = am∗∗ для двух различных m_∗, m_∗∗ ∈ N может быть реализо-

вано максимум для одной пары натуральных чисел m_∗ = m₁, m_∗∗ = m₂, так как квадратное

уравнение γ - aη - dη² = δ не может иметь более двух корней, δ ∈ R.

Использование равенств (7) и (10) позволяет перенести полученные для системы (11) ре-

зультаты на систему обыкновенных дифференциальных уравнений (8) (задачу Коши (8), (9))

и КЗ (2), (3). При этом, конечно, следует найти соответствующие ϕ_n(t) из уравнений системы

(13) простым интегрированием.

Теорема 2. 1) Состоянию равновесия S₀ системы дифференциальных уравнений (11)

соответствует цикл системы дифференциальных уравнений (8)

C₀ : u₀(t) = exp(iω₀t + iψ₀), u_n = 0, n = 0,

где ω₀ = -c, ψ₀ ∈ R, а также цикл A₀ КЗ (2), (3), u(t, x) = u₀(t).

2) Однопараметрическому семейству состояний равновесия Sm0 соответствует трёх-

мерное инвариантное многообразие Cm0 системы (8), сформированное периодическими ре-

шениями вида

um0 (t) = ρm0 exp(iωm0 t + iψm0 ), u-m0 (t) = ρ-m0 exp(iω-m0 t + iψ-m0 ),

где ρ2m0 + ρ2-m0 = am0 , ω-m0 = ωm0 = -cam0 - bm²⁰ - gm⁴⁰, ψm0 , ψ-m0 ∈ R, u_n(t) = 0 при

остальных n. КЗ (2), (3) в этом случае имеет трёхмерное инвариантное многообразие Am0 ,

сформированное решениями следующего вида:

u(t, x) = um0 (t) exp(im₀x) + u-m0 (t) exp(-im₀x).

3) Пусть система дифференциальных уравнений (11) имеет трёхпараметрическое семей-

ство состояний равновесия Sm1,m₂. Тогда система дифференциальных уравнений (8) и КЗ

(2), (3) имеют инвариантные многообразия Cm1,m₂ и Am₁,m₂ размерности, равной семи,

соответственно. Многообразия Cm1,m₂ имеют вид

um1 (t) = ρm1 exp(iωm1 t + iψm1 ), u-m1 (t) = ρ-m1 exp(iω-m1 t + iψ-m1 ),

um2 (t) = ρm2 exp(iωm2 t + iψm2 ), u-m2 (t) = ρ-m2 exp(iω-m2 t + iψ-m2 ),

u_n(t) = 0, n = ±m₁,±m₂,

а многообразие Am1,m₂ содержит решения КЗ (2), (3) вида

∑

u(t, x) =

u_k(t)exp(ikx).

k=±m₁,±m₂

При этом

ρ2m

+ρ2-m

+ρ2m

+ρ2-m

=am1

(am2 = am1 в данном случае), ψ_k ∈ R, k = ±m₁, ±m₂,

ω±m1 = -cam1 - bm²¹ - gm⁴¹, ω±m2 = -cam2 - bm²² - gm⁴².

4) Пусть система дифференциальных уравнений (11) имеет двухпараметрическое семей-

ство состояний равновесия

S0,m2 : ρ₀(t) = ρ₀, ρm2 (t) = ρm2 , ρ-m2 (t) = ρ-m2 , ρ_n = 0, если n = 0,±m₂,

ρ²⁰ + ρ2m

+ρ2-m

=a₀

(am2 = a₀ = 1).

Тогда система дифференциальных уравнений (8) имеет пятимерное инвариантное много-

образие

C0,m2 : u₀(t) = ρ₀ exp(iω₀t + iψ₀), um2 (t) = ρm2 exp(iωm2 t + iψm2 ),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ АТТРАКТОР

1507

u-m2 (t) = ρ-m2 exp(iω-m2 t + iψ-m2 ), u_n(t) = 0,

если n = 0,

±m₂, а КЗ (2), (3) - пятимерное инвариантное многообразие

A0,m2 : u(t,x) = u₀(t) + um2 (t)exp(im₂x) + u-m2 (t)exp(-im₂x).

Здесь ψ₀, ψm2 , ψ-m2 ∈ R, ω₀ = -c, ω±m2 = -cam2 - bm²² - gm⁴².

Подчеркнём, что из предыдущих построений вытекает следующее. Пусть k ∈ Z_-, где Z_-

содержит те индексы у элементов последовательности {a_k}, для которых a_k < 0. Если теперь

рассмотреть те компоненты ρ_k(t) системы (11), где k ∈ Z_-, то

exp(a_kt)

ρ_k(t) = r_k√

≤ rk exp(a_kt),

1 + Q(t)

т.е. ρ_k(t) → 0 со скоростью экспоненты. При этом нетрудно показать, что для таких ak

справедливо неравенство a_k ≤ -ν < 0, где ν - некоторая положительная постоянная.

Следовательно, соответствующие u_k(t) в формуле (7) таковы, что для них lim

u_k(t) =

t→∞

= 0. Более того, линейное подпространство фазового пространства (пространства начальных

условий), для которых f_k = 0 (k ∈ Z_-), инвариантно. Следовательно, это конечномерное

линейное подпространство фазового пространства (пространства начальных условий) будет

инерциальным для КЗ (2), (3) в смысле определения из работы [10]. Решения на нем задаются

формулой

∑

u(t, x) =

u_m(t)exp(imx),

m∈Z\Z_-

где справа находится сумма из конечного числа слагаемых.

Замечание 3. Пусть Z₀ ⊂ Z (Z₀ = Z) - множество тех индексов k, для которых a_k ≤ 0.

Из предыдущих фрагментов очевидно, что lim

ρ_s(t) = 0, если s ∈ Z₀, и линейное подпро-

t→∞

странство, где f_s = 0, инвариантно. Все решения, которые не принадлежат этому подпро-

странству, стремятся к нему, но не обязательно со скоростью экспоненты. Поэтому линейное

подпространство f_s = 0 (s ∈ Z₀) не является инерциальным, если строго следовать опреде-

лениям работы [10].

4. Глобальный аттрактор. Сформулируем сразу основной результат данного пункта,

относящийся к вопросу о существовании глобального аттрактора КЗ (2), (3).

Теорема 3. Пусть

A_ga = {0}

^⋃B₁⋃B₂,

⋃

где {0} - нулевое состояние равновесия КЗ (2), (3), B1 =j Amj - объединение тех ин-

вариантных многообразий КЗ (2), (3), существование которых гарантируют пп. 1) и 2)_⋃

теоремы 2, а B₂ =_j A

, существование которых гарантируют пп. 3), 4) теоремы 2.

mj1 mj2

Тогда A_ga - глобальный аттрактор для решений КЗ (2), (3) в смысле определений из

[9, с. 20-27], т.е. все решения КЗ с течением времени приближаются к одной из компо-

нент A_ga.

Замечание 4. Не исключён вариант, когда A_ga = {0}, т.е. состоит только из нулевого

состояния равновесия. Так будет, например, если все a_n ≤ 0. При γ = 1 очевидно, что a₀ =

= 1 > 0 и поэтому существует по-крайней мере одна компонента A₀ и, следовательно, A_ga

содержит не только нулевое состояние равновесия КЗ (2), (3).

Центральное место в обосновании справедливости утверждения теоремы 3 отводится до-

казательству следующего утверждения.

Лемма 2. Пусть S_∗ - объединение всех существующих ненулевых состояний равнове-

сия системы дифференциальных уравнений (11) и S_ga = {0}

^⋃S_∗. Тогда S_ga - глобальный

аттрактор для решений системы дифференциальных уравнений (11).

Напомним, что состояния равновесия системы (11) обозначены как S₀, Sm0 , Sm1,m₂ ,

S0,m2 . Действительно, пусть M₊ = ∅ и max a_m = am∗ (a-m∗ = am∗ ). Тогда в случае

m∈M₊

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

5^∗

1508

КУЛИКОВ А.Н., КУЛИКОВ Д.А.

реализации максимума только на одной паре индексов (m_∗, -m_∗) все решения, у которых

r2m∗ +r2-m∗ = 0, с течением времени приближаются к Sm∗. Действительно, рассмотрим какую-

либо функцию ρ_s(t), где s = m_∗, -m_∗. Тогда можно показать, что lim

ρ_s(t) = 0.

t→∞

Пусть при всех s выполнено условие a_s = 0. Тогда

∑

r2s

r2m∗ + r2-m∗

Q(t) =

(exp(2a_st) - 1) +

(exp(2am∗ t) - 1),

a_s

am∗

s=±m∗

если учесть, что am∗ = a-m∗ . При этом функции 1 + Q(t) можно записать в виде

)

⁽r2m

+r2-m∗

∗

1 + Q(t) = exp(2am∗t)

+ Q₀(t) ,

am∗

где

(

)

r2m∗ + r²

∑

r²

Q₀(t) = exp(-2am∗ t)

-m^∗ +

^s (exp(2a_st) - 1) ,

a_m

∗

a_s

s=±m∗

а значит, lim

Q₀(t) = 0, так как все a_s < am∗ . Но тогда

t→∞

exp(a_s - am∗ )t

ρ_s(t) = r_s√

→0

(r2m∗ + r2-m∗

)/am∗ + Q₀(t)

при t → ∞ (a_s - am∗ < 0).

Если s = m_∗ или s = -m_∗, то

√a

m∗

√a-m∗

lim

ρm∗(t) = rm∗

√

lim

ρ-m∗(t) = r-m∗

√

t→∞

r2m∗ + r2-m∗

r2m∗ + r²

-m∗

но

(

)₂

(

)₂

√am∗

√a-m∗

rm∗

√

+ r-m∗

√

=am∗.

r2m∗ + r2-m∗

r2m∗ + r²

-m∗

Следовательно, все решения приближаются к Sm∗ .

Если r2m∗ + r2-m∗ = 0, то рассмотрим M₊\{am∗ , a-m∗ }. Так как множества (подпростран-

ства) rm∗ = r-m∗ = 0 инвариантны для решений системы дифференциальных уравнений (11),

то можно повторить предыдущие построения для системы (11), в которой “исключены” два

уравнения с номерами m_∗, -m∗.

Пусть теперь m_∗∗,

-m_∗∗ - номера наибольших элементов множества M₊, в которых

исключены am∗ и a-m∗ . Тогда при выполнении условия

r2m

+r2-m

∗∗

все решения системы (11) стремятся к Sm∗∗ и т.д.

Если же оказалось, что все r_s = r_-s = 0 при всех s ∈ Z₊, то рассматриваем систему

(11) без этих уравнений. У оставшейся подсистемы a_k ≤ 0 и, следовательно, все решения

приближаются к нулевому состоянию равновесия.

Вариант, когда m_∗ = 0, разбирается аналогично и он проще. Здесь были рассмотрены

случаи общего положения. Если, например, max{a_s} реализуется при m = ±m₁, m = ±m₂,

то при выполнении условия

r2m

+r2-m

+r2m

+r²

-m₂

все решения системы (11) приближаются к инвариантному многообразию Sm1,m₂ (см. его

определение в п. 3).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ АТТРАКТОР

1509

Отметим, что при реализации max{a_∗} при m = 0 и m = ±m₂ (m₂ = 0) и выполнения

условия

r²⁰ + r2m

+r²

-m₂

все решения КЗ (2), (3) приближаются к инвариантному многообразию S0,m2 .

Перейдём теперь к системе дифференциальных уравнений (8). Напомним, что в одной из

возможных форм записи

u_k(t) = ρ_k(t)exp(iϕk,0t + iψ_k),

где ψ_k = ϕ_k(0), а ϕk,0(t) = b_kt - (c/2) ln(1 + Q(t)). При k = ±m_∗ (или k = ±m₁, ±m₂ в

особом варианте) справедливо равенство lim

u_k(t) = 0, так как lim

ρ_k(t) = 0 (см. лемму 2).

t→∞

При k = m_∗ или k = -m_∗ получаем, что

√a

m∗ rm∗

lim

ρ_k(t) =

√

если k = m_∗,

t→∞

r2m∗ + r²

−m∗

√a-m∗r-m∗

lim

ρ_k(t) =

√

если k = -m_∗.

t→∞

r2m∗ + r²

−m∗

Наконец, lim

ln(1 + Q(t))/t = 2am∗ . Поэтому достаточно стандартным образом проверя-

t→∞

ется, что

(

)

√am∗rm∗

lim

um∗ (t) -

√

exp(iωm∗ t + iψm∗ + iβm∗ )

= 0,

t→∞

r2m∗ + r²

−m∗

(

)

√a-m∗r-m∗

lim

u-m∗(t) -

√

exp(iω-m∗ t + iψ-m∗ + iβ-m∗ )

= 0,

t→∞

r2m∗ + r²

−m∗

где ψm∗ , ψ-m∗ ∈ R и были указаны ранее (см. условия (14)), ωm∗ = ω-m∗ = (bm∗ - cam∗ ),

bm∗ = -bm2∗ - gm4∗, а

)

⁽r2m

+r2-m∗

⁽r2m

+r2-m∗

∗

βm∗ = -

β-m∗ = -

am∗

Окончательно получаем

(

am∗

lim u(t, x) -

√

rm∗ exp(iωm∗ t + iψm∗ + iβm∗ )exp(im_∗x) +

t→∞

r2m∗ + r²

-m∗

))

+ r-m∗ exp(iω-m∗t + iψ-m∗ + β-m∗)exp(-im_∗x)

= 0,

т.е. u(t, x) приближается к функции, принадлежащей Am∗ - одной из компонент A_ga. Раз-

ность между решением КЗ (2), (3) и некоторой функцией, принадлежащей компоненте Am∗

аттрактора A_ga, стремится к нулю по норме пространства L₂(0, 2π) (и даже пространства

Wp2[0,2π] при любом p).

Здесь детально разобран случай общего положения, когда max{a_m} достигается на одной

паре m_∗,

-m_∗. Если этот максимум достигается на двух парах ±m₁,

±m₂, то последнюю

формулу следует подкорректировать и повторить аналогичные рассуждения.

В этом случае соответствующую “предельную функцию” следует выбрать в следующем

виде:

am1

u_∗(t,x) =

[rm1 exp(iωm1 t + iψm1 + iβm1 ) exp(im₁x) +

(r2m1 + r2-m1 + r2m2 + r²

)1/2

-m₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1510

КУЛИКОВ А.Н., КУЛИКОВ Д.А.

+ r-m1 exp(iω-m1t + iψ-m1 + iβ-m1)exp(-im₁x) +

+ rm2 exp(iωm2t + iψm2 + iβm2)exp(im₂x) + r-m2 exp(iω-m2t + iψ-m2 + iβ-m2)exp(-im₂x)],

где величины βm1 , β-m1 , βm2 , β-m2 вычисляются аналогичным образом, как и ранее. Функ-

ция u_∗(t, x) принадлежит глобальному аттрактору A_ga (его компоненте Am1,m₂ ).

Напомним, что в этом особом случае, когда am1 = am2 (a-m1 = am1 , a-m2 = am2 ), час-

тоты ωm1 , ωm2 , ω-m1 , ω-m2 вычисляются по формулам

ωm1 = ω-m1 = -bm²¹ - gm⁴¹ - cam1, ωm2 = ω-m2 = -bm²² - gm⁴² - cam2.

Решение u_∗(t, x) по переменной t зависит от двух частот ωm1 , ωm2 . В ситуации общего

положения они несоизмеримы, т.е. u_∗(t, x) относительно переменной t будет почти-периоди-

ческой функцией (по x, естественно, она имеет период 2π). Вариант, когда m₁ = 0, а m₂ = 0

и a₀ = a_m, разбирается аналогично двум предшествующим.

В заключение этого пункта подчеркнём ещё раз, что все решения КЗ (2), (3) при d > 0

(d = 0, a > 0) с течением времени стремятся к одной из компонент A_ga. В ситуации общего

положения для f(x) (u(0, x) = f(x)) номер компоненты выбирается как m_∗ - это номер

am∗ = max{a_m}, если am∗ > 0. Функцию f(x) можно выбрать таким образом, что компонента

может быть и иной, включая нулевое состояние равновесия КЗ (2), (3). Так, например, если

множества M₊ и Z₊ не пусты, но f_k = 0, если k ∈ Z₊, то решение начально-краевой задачи

(2), (3), (6) стремится к нулю.

5. Слабодиссипативный вариант нелокального уравнения Гинзбурга-Ландау.

Рассмотрим КЗ

u_t = γu - (1 + ic)uV (u) + ibu_xx - igu_xxxx,

(20)

u(t, x + 2π) = u(t, x),

(21)

т.е. КЗ (2), (3), в которой α = 1, a = d = 0. Последние два равенства характеризуют тот

вариант уравнения Гинзбурга-Ландау, который принято называть слабодиссипативным. Без

нарушения общности, если γ > 0, можно считать, что γ = 1. Это достигается нормировками

t и неизвестной функцией u(t,x). Случай γ ≤ 0 не представляет интереса, так как тогда

любое решение КЗ (20), (21) стремится к нулю.

Итак, далее считаем, что γ = 1. Как и ранее, решение КЗ (20), (21) можно искать в виде

ряда Фурье

∑

u(t, x) =

u_n(t)exp(inx).

n=-∞

При этом

∫2π

∑

V (u) = (2π)-1

|u(t, x)|² dx =

|u_n(t)|².

n=-∞

В данном случае для u_n(t) получаем систему дифференциальных уравнений

u^′n = (a_n + ib_n)u_n - (1 + ic)u_nV (u), n = 0,±1,±2,... ,

(22)

где a_n + ib_n = 1 + i(-bn² - gn⁴), u_n = u_n(t), n = 0, ±1, ±2, . . .

Положим u_n(t) = ρ_n(t) exp(iϕ_n(t)). Система (22) может быть заменена на две действитель-

ные системы

ρ^′n = ρ_n(1 - V (ρ)),

(23)

ϕ′n = b_n - cV (ρ),

(24)

∑_∞

где b_n = -bn² - gn⁴, V (ρ) =

ρ2n.

n=-∞

Если дополнить КЗ (20), (21) начальным условием

u(0, x) = f(x),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ АТТРАКТОР

1511

то систему (22) следует уже дополнить начальным условием

u_n(0) = f_n,

где {f_n} - коэффициенты Фурье функции f(x) при её разложении в ряд Фурье в комплексной

форме. В свою очередь, систему (23), (24) следует дополнить начальными условиями

ρ_n(0) = r_n, ϕ_n(0) = ψ_n,

(25)

где f_n, r_n, ψ_n связаны соотношением f_n = r_n exp(iψ_n).

С одной стороны, очевидно, что КЗ (2), (3) и (20), (21) близки. Вторая КЗ может быть

проинтерпретирована как основная КЗ (2), (3), в которой a_n = 1. Поэтому многие из ана-

литических результатов близки. Тем не менее есть существенное различие между этими КЗ.

Как уже отмечалось, КЗ (2), (3) может быть включена в класс абстрактных параболических

уравнений в смысле определения из работ [19; 20, с. 92]. В то же время КЗ (20), (21) может

быть включена в класс абстрактных гиперболических уравнений в смысле определений из

работ [21, 22].

Сначала отметим некоторые близкие моменты. Например, анализ системы дифференци-

альных уравнений (23), дополненной первым из условий (25), показывает, что

ρ_n(t) =

r_n ρ₀(t).

r₀

Повторяя построения из п. 2, получаем формулу для решений КЗ (20), (21), которая имеет

вид

∑

u(t, x) =

f_nv_n(t)exp(inx),

(28)

n=-∞

где

∑

exp(ib_nt - i(c/2) ln(1 - Q₀ + exp(2t)Q₀))

v_n(t) =

√

Q₀ =

|f_k|² =

r2k.

(1 - Q₀) exp(-2t) + Q₀

k=-∞

Теорема 4. Пусть f(x) ∈ H⁴², тогда формула (28) определяет решение КЗ (20), (21) при

любом t > 0.

Не считая вывода формулы (28), основным моментом обоснования теоремы 4 является до-

казательство сходимости ряда (28) при всех t вместе со своими производными до 4-го порядка

включительно, а именно

∑

u_xxxx(t,x) =

n⁴f_nv_n(t)exp(inx).

n=-∞

Ряд в правой части последнего равенства сходится в смысле сходимости в пространстве

L₂(0,2π). Действительно, справедливо неравенство

|v_n(t)|² ≤

(1 - Q₀) exp(-2t) + Q₀

С другой стороны,

(1 - Q₀) exp(-2t) + Q₀ ≥ 1, если Q₀ ∈ [1, ∞),

(1 - Q₀) exp(-2t) + Q₀ ≥ Q₀, если Q₀ ∈ (0, 1).

Поэтому имеют место оценки

|v_n(t)|² ≤ max{1, 1/Q₀},

т.е. |vn(t)| ограничены постоянной, которая не зависит от n.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1512

КУЛИКОВ А.Н., КУЛИКОВ Д.А.

∑_∞

В свою очередь, ряд

n⁸|f_n|²

сходится в силу предположения о том, что f(x) ∈ H⁴²

n=-∞

(f(x) ∈ H⁴², если f(x) имеет период 2π и f(x) ∈ W⁴²[0, 2π]) .

Нетрудно заметить, что система дифференциальных уравнений (23) имеет семейство со-

стояний равновесия

∑

ρ2n = 1

или

|f_n|² = 1.

(29)

n=-∞

Если выполнены соотношения (29), то ϕ_n(t) = b_nt - ct + ψ_n. Следовательно, система (22)

∑_∞

имеет инвариантное многообразие A_∞, выделяемое равенством

|f_n|² = 1. Решения,

n=-∞

принадлежащие A_∞, имеют вид

∑

u(t, x) =

f_n exp(iϕn,0(t))exp(inx),

(30)

n=-∞

где ϕn,0(t)=b_nt - ct, использованы равенства f_n =ρ_n exp(iψ_n) и обозначение b_n =-bn² - gn⁴.

Теорема 5. Инвариантное многообразие A_∞ является глобальным аттрактором для

решений КЗ (20), (21).

Для доказательства последнего утверждения необходимо показать, что все решения (28)

при t → ∞ приближаются к A_∞. Пусть u_n(t) = f_nv_n(t). Элементарно проверяется, что

lim

|u_n(t)| = |f_n|/√Q0 и, следовательно,

t→∞

∑

|f_n|²

lim

|u_n(t)|² =

= 1.

t→∞

Q₀

n=-∞

Подчеркнём, что КЗ (20), (21) имеет глобальный аттрактор A_∞ бесконечной размерности.

Функция f(x) ∈ A_∞, если

∥f(x)∥2L

= 2π,

2(0,2π)

√

т.е. аттрактор является сферой радиуса

2π в пространстве L₂(0, 2π). Добавим, что это мно-

жество не только имеет бесконечную размерность, но и не является компактным (не является

вполне ограниченным) (см. [24, гл. 2, §§ 6, 7]).

Последнее замечание в какой-то мере характеризует то обстоятельство, что КЗ (20), (21)

не входит в класс абстрактных параболических уравнений.

Отметим ещё одну особенность аттрактора A_∞ КЗ (20), (21). Все решения на нем имеют

вид, определённый равенством (30). При этом функции u(t, x) таковы, что

√

2π,

∥u(t, x)∥L2 (0,2π) =

но норма ∥u(t, x)∥_H4 может быть сколь угодно большой. Действительно, положим f(x) =

∑_∞

√

f_n exp(inx), где f_n =1/

n=-∞

k, если n=1,k, и f_n = 0, если n иное. Тогда ∥f∥2L2(0,2π)⁼

= 2π(1/k + . . . + 1/k) = 2π, т.е. f(x) и, следовательно, u(t, x), соответствующее этому на-

чальному условию, принадлежат A_∞. В то же время

)

⁽1

2⁸

k⁸

∥f∥2H4

≥ ∥f⁽⁴⁾∥2L

= 2π

+...+

≥ 2πk⁷ → ∞ при k → ∞.

2(0,2π)

Заключение. В работах [7, 8] был изучен вопрос о существовании глобального аттрактора

для традиционного варианта нелокального уравнения Гинзбурга-Ландау, когда в уравнении

(2) d = g = 0. Если d > 0, то получаем в целом аналогичные результаты (см. [7]), но тем

не менее есть существенное различие. В обоих вариантах (d = g = 0 и d > 0) достаточно

типична ситуация, когда глобальный аттрактор содержит несколько компонент, каждая из

которых является инвариантным многообразием для решений рассматриваемой КЗ. Тем не

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ, ГЛОБАЛЬНЫЙ АТТРАКТОР

1513

менее основную роль играет одна из таких компонент, которая соответствует a_∗ = max a_n.

“Большинство” решений приближается к ней и, следовательно, типична ситуация, когда ди-

намику определяют те решения, которые принадлежат ей. В стандартном варианте, когда

d = g = 0, a > 0, это либо нулевое состояние равновесия, либо пространственно-однородный

цикл.

В обобщённом варианте при d > 0 ситуация часто иная. “Основной” компонентой может

оказаться инвариантное многообразие размерности 3 или 5, или даже 7. При этом такая ком-

понента заполнена (сформирована) пространственно неоднородными решениями. В ситуации

общего положения эти решения зависят от t и будут почти-периодическими. Нетрудно п√и-

вести пример, когда реализуется такая ситуация. Пусть γ = -1, d = 1/2, a = -5/2, c =

√

b = 1, g = 0. В этом случае a₁ = a₂ = 1, остальные a_j < 0. Наконец, ω₁ = -(

2 + 1),

√

ω₂ = -(

2 + 4) и отношение ω₂ : ω₁ иррационально.

В слабодиссипативном варианте, если a = d = 0, получаем вариант КЗ (2), (3), у ко-

торой глобальный аттрактор является бесконечномерным. В ситуации общего положения все

решения, принадлежащие ему, будут почти-периодическими функциями переменной t. В этом

случае результаты анализа КЗ (2), (3) (a = d = 0) непринципиально отличаются от резуль-

татов, полученных в работе [8], где анализу подлежал “классический” вариант нелокального

уравнения Гинзбурга-Ландау (1) в слабодиссипативной версии, когда a = 0.

Отметим также, что при анализе КЗ (2), (4) и (2), (5) следует ожидать аналогичных ре-

зультатов. При d > 0 (d = 0, a > 0) обе эти КЗ будут иметь конечномерные глобальные

аттракторы, а при a = d = 0 - бесконечномерные. Тем не менее анализ КЗ (2), (4) и (2), (5)

заслуживает отдельного изложения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образова-

ния Российской Федерации в рамках реализации программы развития регионального научно-

образовательного математического центра Ярославского государственного университета по

соглашению № 075-02-2022-886.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aranson I.S., Kramer L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation // Rev. Mod. Phys. 2002.

V. 74. P. 99-143.

2. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Локальные бифуркации плоских бегущих волн обобщённого кубиче-

ского уравнения Шрёдингера // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 9. С. 1290-1299.

3. Kulikov A.N., Kulikov D.A. Equilibrium states of a variational formulation for the Ginzburg-Landau

equation // IOP Conf. Ser. J. of Physics. 2017. V. 937. P. 012025

4. Куликов Д.А. Обобщённый вариант вариационного уравнения Гинзбурга-Ландау // Вестн. МИФИ.

2020. Т. 9. № 4. С. 329-337.

5. Elmer F.J. Nonlinear and nonlocal dynamics of spatially extended systems: stationary states, bifurcations

and stability // Physica D. 1988. V. 30. № 3. P. 321-341.

6. Duan J., Hung V.L., Titi E.S. The effect of nonlocal interactions on the dynamics of the Ginzburg-

Landau equation // ZAMP. 1996. V. 47. № 3. P. 432-455.

7. Kulikov A., Kulikov D. Invariant varieties of the periodic boundary value problem of the nonlocal

Ginzburg-Landau equation // Math. Methods in the Appl. Sci. 2021. V. 44. № 15. P. 11985-11997.

8. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Инвариантные многообразия слабодиссипативного варианта нелокаль-

ного уравнения Гинзбурга-Ландау // Автоматика и телемеханика. 2021. № 2. С. 94-110.

9. Temam R. Infinite Dimensional Systems in Mechanics and Physics. New York, 1997.

10. Foias C., Sell G.R., Temam R. Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations // J. of Differ.

Equat. 1998. V. 73. P. 309-353.

11. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М., 1989.

12. Nicolaenko B., Scheurer B., Temam R. Some global dynamical properties of the Kuramoto-Sivashinsky

equations: nonlinear stability and attractors // Physica D. 1985. V. 16. P. 155-183.

13. Nicolaenko B., Scheurer B., Temam R. Quelques proprietes des attracteurs pour l’equation de Kuramoto-

Sivashinsky // C.R. Acad. Sci. Paris. 1984. V. 298. P. 23-25.

14. Разгулин А.В. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргу-

ментом // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1993. Т. 33. № 1. С. 69-80.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1514

КУЛИКОВ А.Н., КУЛИКОВ Д.А.

15. Скубачевский А.В. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных урав-

нений и их приложения // Успехи мат. наук. 2016. Т. 71. № 5 (431). С. 3-112.

16. Куликов А.Н., Куликов Д.А. Нелокальная модель формирования рельефа под воздействием потока

ионов. Неоднородные наноструктуры // Мат. моделирование. 2016. Т. 28. № 3. С. 33-50.

17. Paidoussis M. Dynamics of flexible slender cylinders in axial flow. Part 1. Theory // J. of Fluid Mech.

1966. V. 26. № 4. P. 717-736.

18. Куликов А.Н. Бифуркации автоколебаний для сингулярно возмущённой краевой задачи гипербо-

лического типа // Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. 2001. № 5. С. 74-76.

19. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве // Тр. Москов-

ского мат. о-ва. 1961. Т. 10. С. 297-350.

20. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967.

21. Якубов С.Я. Разрешимость задачи Коши для абстрактных квазилинейных гиперболических урав-

нений второго порядка и их приложения // Тр. Московского мат. о-ва. 1970. Т. 23. С. 37-60.

22. Segal I. Nonlinear semigroups // Ann. of Math. 1963. V. 78. № 2. P. 339-364.

23. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М., 1977.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.

Ярославский государственный университет

Поступила в редакцию 21.11.2021 г.

имени П.Г. Демидова

После доработки 05.09.2022 г.

Принята к публикации 21.10.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022