ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1557-1561

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.956.4

О СТАБИЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ПО ВРЕМЕНИ

ОТ РЕШЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ

ПО И.Г. ПЕТРОВСКОМУ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Изучаются необходимые и достаточные условия стабилизации средних по времени от ре-

шения задачи Коши для параболической по И.Г. Петровскому системы уравнений.

DOI: 10.31857/S0374064122110115, EDN: MCKNEG

Вопросы стабилизации решений параболических уравнений привлекают внимание многих

исследователей. Из большого числа работ по данной теме отметим обзорные статьи [1-3]. Осо-

бую важность для случая параболических по И.Г. Петровскому систем уравнений имеют ра-

боты С.Д. Эйдельмана и Ф.О. Порпера [4-6] и монография С.Д. Эйдельмана [7], посвящённая

параболическим системам.

Рассмотрим параболическую по И.Г. Петровскому систему уравнений

∑

∂u

A_kD^ku, x ∈ E^N , t > 0,

(1)

∂t

|k|=2b

где b ∈ N, A_k - m × m-матрицы с постоянными элементами, для решений u(x, t) которой

выполняются начальные условия

u(x, 0) = u₀(x), x ∈ E^N ,

(2)

где u₀(x) = (u¹⁰(x), . . . , um0(x)) - заданная в пространстве E^N ограниченная и непрерывная

вектор-функция (верхний индекс здесь обозначает номер компоненты вектор-функции u₀(x)),

оператор

|k|

∂

D^k = (-i)^k

|k| = k₁ + k₂ + . . . + k_N .

∂xk11^...∂xN

Установлено (см. работу [4]), что для матрицы Грина системы (1)

∫

[

]

∑

G(x, t) =

exp i(x, y) - t

A_kyk11y22 ... yN

(2π)

|k|=2b

E^N

имеет место оценка



∂^kG(x,t)



C₁t-(N+k)/(2b) exp(-C₂(|x|t-1/(2b))^q),

(3)

^<

^∂xk11 ... ∂xN

где (x, y) = x₁y₁ + . . . + x_N y_N ,

|x| = [x²¹ + . . . + x2N ]1/2, q = 2b/(2b - 1), C₁ > 0, C₂ > 0.

Известно [7], что в классе единственности решение задачи Коши (1), (2), построенное

по ограниченной и непрерывной начальной вектор-функции u₀(x), задаётся интегралом Пу-

ассона

∫

u(x, t) =

G(x - ξ, t)u₀(ξ) dξ, dξ = dξ₁ dξ₂ . . . dξ_N .

(4)

E^N

1557

1558

ДЕНИСОВ

Из того, что единичная m × m-матрица I удовлетворяет системе (1), следует равенство

∫

G(x - ξ, t) dξ = I.

E^N

В настоящей работе будут изучаться необходимые и достаточные условия стабилизации

предела средних по времени от решения задачи (1), (2)

∫

lim

u(x, τ) dτ = 0

(5)

t→+∞ t

равномерно по x в пространстве E^N .

Теорема. Если начальная вектор-функция u₀(x) ограничена и непрерывна в простран-

стве E^N , то для того чтобы существовал предел (5) средних по времени t от решения

задачи (1), (2) равномерно по x в E^N необходимо и достаточно, чтобы решение задачи (1),

(2) стабилизировалось к нулю:

lim u(x, t) = 0

(6)

t→+∞

равномерно по x в E^N .

Доказательство. Достаточность. Предположим, что u₀(x) - ограниченная и непре-

рывная в E^N вектор-функция и что существует предел (6) решения u(x, t) задачи (1), (2).

Докажем, что тогда существует предел (5) средних по времени t от решения задачи (1), (2)

равномерно по x в E^N . Так как предел (6) является равномерным по x в E^N , то для любого

ε > 0 существует число d = d(ε) такое, что при всех t > d справедливо неравенство

|u(x, t)| < ε/2

(7)

для всех x ∈ E^N .

В силу условия ограниченности функции u₀(x), x ∈ E^N , получим для решения u(x, t)

задачи (1), (2), определяемого формулой (4), оценку

|u(x, t)| ≤ M

(8)

для всех x ∈ E^N и всех t > 0.

Представим интеграл в (5) в виде суммы двух интегралов:

∫

u(x, τ) dτ =

u(x, τ) dτ +

u(x, τ) dτ = K₁ + K₂,

(9)

где d > 0.

Пусть t > d, тогда из (7)-(9) получим неравенства

∫

M₁d

εt-d

|K₁| <

M₁ = sup

|u(x, t)|,

|K₂| <

(10)

x∈E^N

t>0

Выберем теперь t > 2M₁d/ε, тогда из (9), (10) получим



∫



₁



u(x, τ) dτ

=ε

^<

t

при всех t > 2M₁d/ε равномерно по x в E^N .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

О СТАБИЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ПО ВРЕМЕНИ ОТ РЕШЕНИЯ

1559

Необходимость. Пусть u₀(x) - ограниченная и непрерывная в E^N вектор-функция и

существует предел (5) средних по времени t от решения задачи (1), (2), равномерно по x

в E^N. Докажем, что тогда существует предел (6) решения u(x,t) равномерно по x в E^N.

Предположим противное, т.е. что решение u(x, t) задачи (1), (2) не имеет равномерного в

E^N предела (6). Это означает, что для некоторого ε₀ > 0 и любых положительных t_k,

k ∈ N, найдутся t > t_k и такие точки x^k = (xk1,xk2,...,x^Nk), что по крайней мере для од-

ной из компонент вектор-функции u(x, t), например для u¹(x, t), справедливо неравенство

|u¹(x^k, t_k)| ≥ ε₀.

(11)

Докажем, что тогда не существует нулевого предела (5) средних по времени t от u(x, t) рав-

номерно по x в E^N .

Для доказательства (11) достаточно показать, что найдутся компонента u¹⁰(x) начальной

вектор-функции u₀(x) и положительное число ε₀ > 0 такие, что для любого R > 0 найдутся

R_k > R и точки x^k = (xk1,... ,x^kN ), для которых справедливы неравенства



∫



u¹⁰(ξ)dξ

ε₀ > 0.

(12)

≥

^ (2R_k)N

K^xk

Используя (12), докажем, что соответствующая компонента средних по времени t от u(x, t)

∫

W¹(x,t) =

u¹(x,τ)dτ

(13)

не стремится к нулю при t_k → ∞ равномерно по x в E^N .

Замечание 1. Хорошо известно, что существование предела

∫

lim

u₀(x)dx = 0

^t→∞ (2R)^N

K^x

равномерно по x в E^N влечёт за собой существование равномерного в пространстве E^N

предела (5) (см. [8, c. 349]) средних по времени от u(x, t).

Напомним наше предложение о том, что не существует предела (13), равномерного по x

в E^N. Покажем, что из (12) следует, что W¹(x,t) в (13) не стремится к нулю при t → ∞

равномерно по x в E^N .

Выберем временную последовательность

(

)2b

ε₀R_k

t_k =

→ +∞,

(14)

4BN+1mN

где R_k - некоторая последовательность, стремящаяся к бесконечности, а B > 0 - постоянная,

которая будет выбрана далее. Усредним функцию W¹(x, t) в (13) по кубу Kxk следующим_R

образом:



∫



|Δ| =

W¹(x,t_k)dx

⁼

^ (2R_k)N

K^xk



∫



∑



=

dτ

G1j(x - ξ,τ)[u

(x) + uj0(ξ) - uj0(x)] dξ

(15)

^,

^ 2t_k

(2R_k)N

j=1

E^N

K^xk

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

1560

ДЕНИСОВ

где t_k - последовательность (14). Учитывая, что

∑

G1j(x - ξ,τ)dξ = 1,

j=1

E^N

и производя замены переменных ξ_k = x_k +y_kτ1/2, k = 1, N , в интеграле по ξ, получаем в (15)



∫



∫



∑

|Δ|=^

W¹(x,τ_k)dx



uj0(ξ)dξ +1

τN/2b dτ

G1j(yτ1/2b,τ)dy ×

⁼

(2R_k)N

^ (2R_k)N

t_k

j=1

|y|≤B

K^xkR

K^xk

[

∫

]

∫

∑

(uj0(x - yτ1/2b) - uj0(x)) dx) +

τN/2b dτ

G1j(yτ1/2b,τ)dy ×

(2R_k)^N

t_k

j=1

|y|≥B

K^xk

[

∫

]



[uj0(x - yτ1/2b) - uj0(x)] dx)

|L₁ + L₂ + L₃| ≥ |L₁| - |L₂| - |L₃|,

(16)

⁼

(2R_k)^N

K^xk

где в силу (12)



∫



|L₁| =

uj0(ξ)dξ

ε₀ > 0.

(17)

^>

^ (2R_k)N

K^xk

Выберем теперь число B > 0 настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

|L₃| < ε₀/4.

(18)

Это можно сделать в силу оценки (3). В самом деле, учитывая, что

|uj0(x - yτ1/2b) - uj0(x)| < 2

для всех x, y из E^N и для всех t > 0, из (3) получим неравенства

∫



∑



ε₀



|L₃| ≤ 2tN/2bk

1j (yτ1/2b, τk)

^G

^d

j=1

|y|≥B

где τ1/2b ≤ t1/2bk. Таким образом, оценка (18) доказана.

Покажем, что

|L₂| < ε₀/4.

(19)

Действительно, так как функция uj0(x - τ1/2by) отличается от функции uj0(x) на множе-

стве, имеющим меру, не превосходящую 2^N NRN-1kBt1/2bk при 0 < τ < t_k, то имеет место

оценка



∫



NBt1/2bk



(uj0(x - yτ1/2b) - uj0(y))dy)

^<

^ (2R_k)N

R_k

K^xk

в силу которой и в силу выбора t_k по формуле (14) получим

1/2b

NBt

mNBN+1

ε₀R_k

ε₀

|L₂| <

mB^N =

R_k

4BN+1mN

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022

О СТАБИЛИЗАЦИИ СРЕДНИХ ПО ВРЕМЕНИ ОТ РЕШЕНИЯ

1561

С учётом оценок (17)-(19) получаем из (16), что



∫



ε₀



W¹(x,t_k)dx

(20)

^>

^ (2R_k)N

K^xk

Таким образом, из неравенства (11) следует, что для некоторого числа ε₀ > 0 нашлись

такая последовательность t_k из (14), t_k → +∞ при k → ∞, и такая последовательность точек

x^k, что справедлива оценка (20). Из (20) вытекает, что для любого сколь угодно большого

времени T > 0 можно указать такие t_k > T, а также точки xk0, лежащие внутри куба Kxk ,_R

для которых выполняется неравенство



∫



₁



ε₀

|W¹(xk0, t_k)| =^

u¹(xk0,τ)dτ

^>

^t_k

т.е. доказано, что функция W¹(x, t) в (13) не стремится к нулю при t_k → ∞ равномерно по

x в E^N. Полученное противоречие доказывает необходимость теоремы. Теорема доказана.

Замечание 2. Утверждение о необходимости в теореме доказано без применения тауберо-

вой теоремы Н. Винера [8, с. 352-354].

Автор выражает глубокую благодарность проф. Шамолину М.В. за внимание и проявлен-

ный интерес к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гущин А.К., Михайлов В.П., Муравей Л.А. О стабилизации решений нестационарных граничных

задач для линейных дифференциальных уравнений в частных производных // Динамика сплошной

среды. 1975. Т. 23. С. 57-90.

2. Денисов В.Н., Репников В.Д. О стабилизации решения задачи Коши для параболических уравнений

// Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 1. С. 20-41.

3. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени

// Успехи мат. наук. 2005. Т. 60. № 4. С. 145-212.

4. Эйдельман С.Д. Оценки решений параболических систем и некоторые их приложения // Мат. сб.

1953. Т. 33. № 2. С. 359-382.

5. Эйдельман С.Д. Лиувиллевы теоремы и теоремы об устойчивости для решений параболических

систем // Мат. сб. 1958. Т. 44. № 4. С. 481-508.

6. Эйдельман С.Д., Порпер Ф.О. О стабилизации решения задачи Коши для параболических систем

// Изв. вузов. Математика. 1960. № 4. С. 210-217.

7. Эйдельман С.Д. Параболические системы. М., 1964.

8. Харди Г.Г. Расходящиеся ряды. М., 2006.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 09.03.2022 г.

имени М.В. Ломоносова,

После доработки 09.03.2022 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 21.10.2022 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 11

2022