ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1562-1564
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.927.25
О СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
КОЛЕБАНИЯМИ НАГРУЖЕННОЙ ЦЕПИ
© 2022 г. Н. Ю. Капустин
Рассматриваются две спектральные задачи для уравнений Бесселя нулевого и первого по-
рядка с одним характеристическим уравнением. Одна задача содержит спектральный па-
раметр в граничном условии, другая спектрального параметра в граничных условиях не
содержит.
DOI: 10.31857/S0374064122110127, EDN: MCLHNZ
Постановка задачи. Рассмотрим спектральную задачу
xX′′(x) + X′(x) + λxX(x) = 0,
0 < a < x < b,
(1)
X′(a) = 0, X′(b) - λdX(b) = 0,
(2)
с отличным от нуля действительным коэффициентом d. Решением задачи (1), (2) является
система собственных функций, состоящая из постоянной X1(x) = 1, соответствующей соб-
ственному значению λ1 = 0, и функций
√
√
√
√
Xn(x) = Y1(
λna)J0(
λnx) - J1(
λna)Y0(
λnx), n = 2,3,4,... ,
отвечающих собственным значениям λn - корням характеристического уравнения
√
√
√
√
√
√
√
√
J1(
λa)[Y1(
λb) +
λdY0(
λb)] = Y1(
λa)[J1(
λb) +
λdJ0(
λb)],
(3)
где Jn и Yn - функции Бесселя первого и второго рода, соответственно, порядка n.
Задача (1), (2) возникает при изучении смешанной задачи для уравнения колебания на-
груженной цепи
(
)
∂
∂U(x,t)
∂2U(x,t)
(x + m)g
-
+ f(x,t) = 0
∂x
∂x
∂t2
в области {(x, t) ∈ R2 : 0 < x < l, t > 0} с начальными условиями
∂U(x,0)
U (x, 0) = 0,
=0
∂t
и граничными условиями
∂2U(0,t)
∂U(0,t)
∂U(l,t)
=g
,
= u(t),
∂t2
∂x
∂x
c гравитационной постоянной g и управлением u(t) упругой силой. Функция f(x, t) пред-
ставляет собой воздействие внешних сил. Аналогичная задача в случае, когда проводилось
управление смещением, рассматривалась в работе [1].
Задача (1), (2) содержит спектральный параметр в граничном условии. Наряду с ней,
рассмотрим задачу
(
)
1
xv′′(x) + v′(x) + λx -
v(x) = 0,
0 < a < x < b,
(4)
x
1562
О СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ
1563
v(a) = 0, dbv′(b) + (d + b)v(b) = 0,
(5)
которая спектрального параметра в граничных условиях не содержит и имеет такое же харак-
теристическое уравнение (3).
Основные результаты. Решением задачи (4), (5) будет система функций
√
√
√
√
vn(x) = Y1(
λna)J1(
λnx) - J1(
λna)Y1(
λnx), n = 2,3,4,...
Для этой задачи число λ1 = 0 собственным значением не является. Заметим, что
√
X′n(x) = -
λnvn(x)
в силу известных соотношений
J′0(x) = -J1(x), J′1(x) = J0(x) - J1(x)/x, Y′0(x) = -Y1(x), Y′1(x) = Y0(x) - Y1(x)/x.
Согласно результатам работ [2, с. 99; 3, с. 247] задача (4), (5) имеет простые собствен-
ные значения, расположенные на действительной оси, а значит, тем же свойством обладает
и задача (1), (2). Задача (4), (5) является самосопряжённой и её система собственных функ-
ций образует ортонормированный базис в соответствующем весовом пространстве L2,x(a, b) :
∫b
(f, g) =
xf(x)g(x)dx. Для задачи (1), (2) доказаны следующие утверждения.
a
Теорема 1. Если d = (a2 - b2)/2b, то система {Xn(x)}, n = 1, 2, . . . , l - 1, l + 1, . . . ,
собственных функций задачи (1), (2) без любой одной собственной функции Xl(x) образу-
ет базис Рисса в весовом пространстве L2,x(a,b). Функции биортогонально сопряжённой
системы {Ψn(x)} к этой системе определяются по формуле
(∫b
)-1[
]
Xn(b)
Ψn(x) =
xX2n(x)dx + dbX2n(b)
Xn(x) -
Xl(x) .
Xl(b)
a
Теорема 2. Если d = (a2 - b2)/2b, то вся система {Xn(x)}, n = 1, 2, 3, . . . , собственных
функций задачи (1), (2) образует базис Рисса в весовом пространстве L2,x(a, b). Функции
биортогонально сопряжённой системы {Ψn(x)} к этой системе определяются по формуле
(∫b
]
)-1[
Xn(b)
Ψn(x) =
xX2n(x)dx + dbX2n(b)
Xn(x) -
X1(x) , n = 2,3,4,... ,
X1(b)
a
(∫b
]
)-1[
Ψ1(x) =
x(Z′(x))2 dx
Z(b) - Z(x) ,
a
где
2
a
x2
Z(x) = -
ln x +
2
4
Доказательства теорем проводятся по схемам, разработанным в статьях [4, 5]. Осцилляци-
онные свойства устанавливаются с помощью теоремы Руше. Отметим, что даже задача для
простейшего оператора Штурма-Лиувилля с граничными условиями третьего рода, одно из
которых содержит спектральный параметр, может иметь ненулевое кратное собственное зна-
чение при действительных коэффициентах (см. [6]). В теории уравнений смешанного типа
соответсвующая задача со спектральным параметром в граничном условии рассматривалась
в статье [7]. При выводе точной априорной оценки решения было использовано его представ-
ление в виде билинейных рядов.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
1564
КАПУСТИН
Коэффициент в формуле для функции Ψn(x) биортогональной системы в нуль не обра-
щается при отрицательном значении параметра d, так как имеет место равенство
∫
b
(∫b
)
x(X′(x))2 dx = λ
xX2n(x)dx + dbX2n(b)
a
a
Автор выражает благодарность академику Е.И. Моисееву за проявленный интерес к на-
стоящей работе.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-
ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284 и при частичной финансовой
поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 20-51-18006 Болг-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kapustin N., Polosin A. On a mixed problem for oscillation of a heavy chain with loads // AIP Conf.
Proc. 2015. V. 1690. P. 040014.
2. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М., 1964.
3. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М., 1984.
4. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций, от-
вечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференц. урав-
нения. 2000. Т. 36. № 10. С. 1357-1360.
5. Капустин Н.Ю., Моисеев Т.Е. О спектральной задаче со спектральным параметром в граничном
условии в теории уравнения радиального распространения тепла // Дифференц. уравнения. 2007.
Т. 43. № 10. С. 1382-1386.
6. Гуляев Д.А. О задаче с граничным условием третьего рода, одно из которых содержит спектраль-
ный параметр: дис
канд. физ.-мат. наук. М., 2013.
7. Моисеев Е.И., Капустин Н.Ю. Об оценке решения одной задачи для параболо-гиперболического
уравнения с помощью рядов Фурье // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39. № 5. С. 656-662.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 01.08.2022 г.
имени М.В. Ломоносова
После доработки 01.08.2022 г.
Принята к публикации 30.08.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
