ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 11, с. 1565-1569
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.988.6+517.925.5
К АНАЛИЗУ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ
© 2022 г. В. Н. Лаптинский
Предложен конструктивный подход к доказательству существования решений оператор-
ных уравнений в банаховом пространстве. Этот подход применён к построению и анализу
ограниченных на полуоси решений матричных уравнений Риккати, не содержащих линей-
ного члена.
DOI: 10.31857/S0374064122110139, EDN: MCLWYC
Настоящая работа является продолжением исследований [1-5]. В ней развит операторный
подход к изучению ограниченных на полуоси решений нелинейных матричных дифференци-
альных уравнений.
Рассмотрим нелинейное операторное уравнение
x = A(x),
(1)
где оператор A действует из банахова пространства X в банахово пространство X и опре-
делён в открытом шаре Sδ(0) ⊂ X; 0 - нулевой элемент пространства X, A(0) = 0, δ > 0.
Пусть оператор A(x) непрерывно дифференцируем в Sδ(0), при этом выполняется оценка
∥A′(x)∥ ≤ a∥x∥ для любого x ∈ Sδ(0),
(2)
где a(s) ≥ 0 - неубывающая в промежутке [0, δ) функция класса C[0, δ).
Примем следующие обозначения:
ρ
∫
b = ∥A(0)∥, ϕ(ρ,b) = (a(s) - 1)ds + b,
0
где ρ ∈ [0, δ).
Теорема. Пусть уравнение a(ρ)-1 = 0 имеет в промежутке (0, δ) решение ρ∗, и пусть
выполнено неравенство
ϕ(ρ∗, b) < 0.
(3)
Тогда уравнение (1) имеет в замкнутом шаре
Sρ(0) единственное решение x∗ при любом
ρ ∈ [ρ1(b),ρ∗),
(4)
где ρ1(b) - решение уравнения
ϕ(ρ, b) = 0.
(5)
Решение x∗ может быть получено как предел последовательности (xk), члены которой
определяются классическим методом последовательных приближений.
Доказательство. Для доказательства теоремы применим конструктивный способ (см. [1-
5]), основанный на принципе Каччопполи-Банаха сжимающих отображений [6, с. 605].
На основании формулы Лагранжа (см., например, [7, с. 375]) имеем равенство
∫1
A(x) = A(0) + A′(μx) dμx.
(6)
0
1565
1566
ЛАПТИНСКИЙ
Тогда уравнение (1) примет вид
∫1
x = A′(μx)dμx + A(0).
0
Возьмём произвольный элемент x
Sρ(0). Затем, используя (2), найдём оценки по норме в
(6) на шаре
Sρ(0):
∫
1
∫
1
∥A(x)∥ ≤ A′(μx) dμ
x∥ + ∥A(0)∥ ≤
∥A′(μx)∥ dμ∥x∥ + b ≤
∥
0
0
1
ρ
∫1
∫
∫
≤ aμ∥x∥ dμ∥x∥ + b ≤ aμρ dμρ + b = a(s) ds + b.
0
0
0
Рассмотрим уравнение (5). Из соотношения ϕ(0, b) > 0 и условия (3) следует, что оно
имеет решение в промежутке (0, ρ∗).
В промежутке [0, ρ∗) справедливо неравенство
dϕ(ρ, b)
≡ a(ρ) - 1 < 0.
dρ
Поскольку функция ϕ(ρ, b) непрерывна на отрезке [0, ρ∗], то уравнение (5) имеет в про-
межутке (0, ρ∗) единственное решение ρ1 = ρ1(b). Из соотношения
ρ
∫
ϕ(ρ, b) = (a(s) - 1) ds
ρ1
видно, что для значений ρ, принадлежащих области (4), выполняются неравенства
ρ
∫
(a(s) - 1) ds + b ≤ ρ,
(7)
0
a(ρ) < 1,
(8)
которыми воспользуемся для анализа сжимаемости оператора A. Из уравнения (1) имеем для
любых x
Sρ(0), y
Sρ(0) соотношение
∫1
A(x) - A(y) = A′(y + μ(x - y)) dμ(x - y),
0
выполнив в котором оценки по норме, получим последовательно
∫1
∫
1
∥A(x) - A(y)∥ ≤
∥A′(y + μ(x - y))∥ dμ∥x - y∥ ≤ a∥(1 - μ)y + μx∥ dμ∥x - y∥ ≤
0
0
∫1
≤ a(1 - μ)∥y∥ + μ∥x∥ dμ∥x - y∥ ≤ a(ρ)∥x - y∥.
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
К АНАЛИЗУ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
1567
На основании неравенства (8) заключаем, что оператор A является сжимающим на шаре
Sρ(0). Для завершения доказательства этой части теоремы достаточно сослаться на теорему
в работе [6, с. 605].
Для построения решений уравнения (1) воспользуемся известным алгоритмом (см., напри-
мер, [6, с. 605])
xn+1 = A(xn) (n = 0,1,2,...),
(9)
где x0 - произвольный элемент из
Sρ(0). В силу (7) нетрудно показать, что все члены после-
довательности (xk) принадлежат
Sρ(0).
Далее получим оценку, характеризующую быстроту сходимости последовательности (xk)
к решению x∗. Из (9) имеем
xk+1 - xk = A(xk) - A(xk-1) (k = 1,2,...).
(10)
На основании формулы Лагранжа соотношение (10) можно записать в следующем виде:
∫1
xk+1 - xk = A′(xk-1 + μ(xk - xk-1))dμ(xk - xk-1).
(11)
0
Выполним в (11) оценки по норме
∫1
∥xk+1 - xk∥ ≤
∥A′(xk-1 + μ(xk - xk-1))∥ dμ∥xk - xk-1∥ ≤
0
∫1
≤ a∥(1 - μ)xk-1 + μxk∥ dμ∥xk - xk-1∥ ≤
0
∫1
≤ a((1 - μ)∥xk-1∥ + μ∥xk∥) dμ∥xk - xk-1∥ ≤ a(ρ)∥xk - xk-1∥.
0
Таким образом, получена оценка
∥xk+1 - xk∥ ≤ a(ρ)∥xk - xk-1∥ (k = 1, 2, . . .).
(12)
Используя (12), на основании (7), (8) нетрудно доказать, что последовательность (xk) схо-
дится к элементу x∗
Sρ(0), при этом справедлива оценка
k
a
∥x∗ - xk∥ ≤
∥x1 - x0∥ (k = 1, 2, . . .).
(13)
1-a
Замечание 1. Очевидно, в доказанной теореме вместо величины b = ∥A(0)∥ можно при-
нять оценку для ∥A(0)∥.
Замечание 2. Уравнение α(ρ) - 1 = 0 имеет единственное решение в промежутке (0, δ)
при выполнении соотношения α(s0) < 1 < α(s1), где 0 ≤ s0 < s1 < δ.
С помощью теоремы изучим вопрос существования ограниченных на полуоси R+ ≡ [0, ∞)
решений матричного уравнения Риккати (см. [8; 9, с. 165; 10, с. 158] и др.)
dY
= Y P(t)Y + Q(t),
(14)
dt
где P (t), Q(t) - непрерывные и ограниченные в R+ n × n-матрицы, подчинённые условиям
∫∞
p≡
∥P (τ)∥ dτ < ∞,
q≡ sup∥ Q(t)∥ < ∞,
t≥0
0
∫t
здесь
Q(t) =
Q(τ) dτ .
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
1568
ЛАПТИНСКИЙ
Обозначим
∥Y ∥C ≡ sup ∥Y (t)∥,
t≥0
где C = B(n) - конечномерная банахова алгебра матриц-функций, непрерывных и ограничен-
ных на полуоси, ∥ · ∥ - определённая норма матриц, например, любая из норм, приведённых
в [11, с. 21].
Для уравнения (14) будем исследовать задачу Коши с условием
Y (0) = Λ.
(15)
Вместо задачи (14), (15) рассмотрим эквивалентное ей интегральное уравнение
∫t
Y (t) = Λ + Y (τ)P (τ)Y (τ) dτ + Q(t).
(16)
0
Исследуем разрешимость этого уравнения в B(n); сходимость последовательности означает
равномерную сходимость на полуоси R+.
Для всякой n × n-матрицы X(t), принадлежащей шару ∥X∥C ≤ ρ, имеем
∫
t
X(τ)P (τ)X(τ) dτ + Λ +Q(t)
≤ pρ2 + ε + q,
C
0
где ε = ∥Λ∥.
Аналогично получим оценку
∫
t
(X(τ)P (τ)X(τ) - Y (τ)P (τ)Y (τ)) dτ
≤ 2pρ∥X - Y ∥C,
C
0
где ∥X∥C ≤ ρ, ∥Y ∥C ≤ ρ.
Применительно к уравнению (16) имеем
a(ρ) = 2pρ, ϕ(ρ, b) = pρ2 - ρ + b,
где b = ε + q.
Так как ρ∗ = 1/(2p), то условие (3) примет вид
1
ϕ(ρ∗, b) = b -
< 0.
4p
Из доказанной теоремы следует, что при выполнении условия
1
q-
<0
4p
задача об ограниченных на полуоси решениях уравнения (14) однозначно разрешима для на-
чальных значений, принадлежащих области
1
∥Λ∥ <
- q,
4p
при этом
1
ρ1(ε) ≤ ρ <
,
4p
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
К АНАЛИЗУ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
1569
здесь
√
1-
1 - 4p(ε + q)
1-
√1 - 4pq
ρ1(ε) =
>
= ρ1(0).
2p
2p
Для построения решения уравнения (16) может быть использован алгоритм (9) вместе с
оценкой (13).
Замечание 3. Приведённая теорема сформулирована и доказана в терминах функций
a(s), ϕ(ρ, b); в этом состоит её конструктивность, что проиллюстрировано на примере урав-
нения Риккати (и ранее в работах [1-5]), для которого получены коэффициентные достаточные
условия существования ограниченных на полуоси R+ решений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лаптинский В.Н. Об ограниченных на полуоси решениях уравнения Риккати // Весцi АН Беларусi.
Сер. фiз.-мат. навук. 1995. № 2. С. 12-16.
2. Лаптинский В.Н. Об ограниченных на полуоси решениях нелинейных дифференциальных уравне-
ний // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32. № 1. С. 131-132.
3. Лаптинский В.Н. Об ограниченных на полуоси решениях нелинейных дифференциальных систем
// Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 2. С. 275-277.
4. Лаптинский В.Н. К задаче об ограниченных на полуоси решениях нелинейных дифференциальных
систем // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2008. № 1. С. 13-15.
5. Лаптинский В.Н. Об асимптотическом поведении решений нелинейных дифференциальных систем
// Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 2. С. 205-210.
6. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1977.
7. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980.
8. Забрейко П.П., Лаптинский В.Н. Принцип неподвижной точки и нелокальные теоремы о разреши-
мости для существенно нелинейных дифференциальных уравнений // Докл. АН Беларуси. 1997.
Т. 41. № 1. С. 5-9.
9. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М., 1975.
10. Егоров А.И. Уравнения Риккати. М., 2001.
11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.
Белорусско-Российский университет,
Поступила в редакцию 26.05.2022 г.
г. Могилёв
После доработки 15.09.2022 г.
Принята к публикации 21.10.2022 г.
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 11
2022
