ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1606-1623

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.4+519.2

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Показано, что вероятностная интерпретация решения задачи Коши для систем семилиней-

ных и квазилинейных параболических уравнений позволяет свести эту задачу к решению

соответствующей стохастической задачи. Сформулированы условия, при которых решение

стохастической задачи существует и единственно. Как следствие получены вероятностные

(интегральные) представления искомых решений задачи Коши.

DOI: 10.31857/S0374064122120032, EDN: NCBSDL

Введение. Существование связи между теорией линейных параболических уравнений вто-

рого порядка и теорией случайных процессов было установлено уже в классической работе

А.Н. Колмогорова [1], где показано, что решение задачи Коши для параболического уравнения

второго порядка может быть представлено в виде среднего по траекториям соответствующего

случайного процесса. В частности, классические решения прямой задачи Коши

u_t =

u_yy, u(0,y) = u₀(y), y ∈ R,

и обратной задачи Коши

v_t +

v_xx = 0, v(T,x) = v₀(x), x ∈ R,

0≤t≤T,

для уравнения теплопроводности можно представить в виде средних по траекториям случай-

ных процессов

w(t) = ξ₀ + w(t) и w_x(t) = x + w(t). Здесь w(t) - стандартный винеровский

процесс, заданный на вероятностном пространстве (Ω, F, P ), а ξ₀ - не зависящая от w(t)

случайная величина с плотностью распределения u₀. Соответствующие представления име-

ют вид

∫

u(t, y) = E[u₀(y - w(t))] = u₀(x)p(0, x, t, y) dx

∫

v(s, x) = E[v₀(x + w(T )) - w(s)] = v₀(y)p(s, x, T, y) dy,

где

(

)

(x - y)

p(s, x, t, y) =

√

exp

2(t - s)

– плотность переходной вероятности процесса ξ_s,x(t) = x + w(t) - w(s).

Конструируя более сложные случайные процессы, например, рассматривая решения сто-

хастических дифференциальных уравнений (СДУ), можно получать представления решения

задачи Коши для широкого класса линейных и нелинейных параболических уравнений и сис-

тем второго порядка относительно функций, заданных на пространствах [0, T ] × R^d, d ≤ ∞.

Если ξ(t) - удовлетворяющий некоторому СДУ случайный процесс, позволяющий постро-

ить решение соответствующей параболической задачи в виде среднего по траекториям это-

го процесса, то будем называть это СДУ стохастической моделью рассматриваемой задачи.

1606

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1607

При построении стохастических моделей систем нелинейных параболических уравнений коэф-

фициенты соответствующего СДУ зависят от решения этой системы, так что стохастическая

модель требует, наряду с СДУ, наличия некоторого замыкающего соотношения, как правило,

представляющего собой вероятностное представление решения исходной задачи.

Заметим, что вероятностный подход к построению решения задачи Коши для параболи-

ческих уравнений и систем является естественным обобщением метода характеристик, позво-

ляющего устанавливать связь между теорией обыкновенных дифференциальных уравнений и

теорией гиперболических уравнений и систем первого порядка, как линейных, так и нелиней-

ных.

Начало развитию вероятностного подхода к исследованию решения задачи Коши для нели-

нейных параболических уравнений с помощью СДУ было положено в работах Г. Маккина [2]

и М.И. Фрейдлина [3], где показано, что решение задачи Коши для семилиинейных парабо-

лических уравнений, т.е. уравнений, коэффициенты которых зависят от искомого решения,

допускает вероятностное представление в терминах решения соответствующего СДУ.

Вероятностный подход к исследованию решений систем семилинейных параболических

уравнений был предложен в работах Ю.Л. Далецкого и автора [4, 5]. Развитие этого подхода

позволило получить новые интегральные представления для различных классов решений за-

дачи Коши как для семилинейных, так и для квазилинейных и полностью нелинейных парабо-

лических уравнений, а для систем, помимо этого, - дополнительную информацию о структуре

системы и поведении её решений [6]. Ещё одно специфическое свойство вероятностного подхо-

да - это слабая зависимость получаемых результатов от размерности фазового пространства,

что позволяет рассматривать уравнения и системы в бесконечномерных пространствах [4].

Наряду с этим вероятностный подход даёт возможность рассматривать уравнения и системы

с вырождающимися коэффициентами при членах старшего порядка и, в частности, исследо-

вать поведение решения задачи Коши для параболических систем в пределе по исчезающей

вязкости [7].

В этой работе будет показано, что вероятностная интерпретация классических и вязкост-

ных решений обратной задачи Коши позволяет выделить несколько типов систем нелинейных

параболических уравнений, указать естественные функциональные классы, в которых можно

искать решения задачи Коши и исследовать их свойства.

Построим вероятностные представления классических и вязкостных решений обратной за-

дачи Коши

∑

∑∑

∑

∂_su^m +

Gij (x, u)∇^x x u^m +_ij

a_i(x,u)∇xi u^m +

B^mqi(x,u)∇xi u_q + c^mq(x,u)u^q = 0,

i,j=1

i=1

i=1 q=1

q=1

u_m(T,x) = u0m(x), m = 1,d,

0≤s≤T,

(1)

в предположении, что

∑

Gij (x, u) =

A_ik(x,u)A_kj(x,u).

k=1

Построение дифференциального продолжения квазилинейной системы вида (1) (т.е. сис-

темы, коэффициенты которой зависят как от u, так и от ∇u) позволит включить исходную

систему в расширенную семилинейную систему относительно функций V_m = (u_m, ∇u_m)

∂_sV_m + F_m(x,V ) +

Tr G(x, u)∇²V_m = 0,

(2)

где

∑

∂²V_m

Tr G∇²V_m =

G^ij ∂x_i∂x_j

i,j=1

и ∇²V_m - матрица Гессе функции V_m, и, как следствие, построить вероятностные представле-

ния классических и вязкостных решений обратной задачи Коши для квазилинейной системы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1608

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

В теории уравнений в частных производных был получен ряд результатов о существовании

и единственности вязкостных решений задачи Коши для систем нелинейных параболических

уравнений второго порядка

∂_tu^m + F_m(t,x,u,∇u^m,∇²u^m) = 0, u_m(0,x) = u0m(x),

(3)

называемых слабо связанными системами, т.е. систем с недиагональным вхождением только

членов нулевого порядка (см. [8, 9]). Насколько нам известно, нет работ, в которых методами

теории уравнений в частных производных изучалась бы задача Коши вида

∂_tu^m + F_m(t,x,u,∇u,∇²u^m) = 0, u_m(T,x) = u0m(x).

Вероятностные модели вязкостных решений задачи Коши для систем (3) были постро-

ены Е. Парду и его соавторами [10-12]. В этих работах было показано, что если функция

Fm(t, x, u, p, q) имеет вид

F^m(t,x,u,∇u^m,∇²u^m) =

Tr A^m(x, u)∇²u^m[A^m]^т(x, u) +

+ 〈a^m(x, u), ∇u^m〉 + (c(x, u)u)^m + f^m(t, x, u),

где G^m - положительно определённые R^d

⊗R^d-матрицы, а R^d1⊗R^d1-матрицы c(x,u) обла-

∑d1

дают свойствами Q-матрицы (т.е. c^mq(x) ≥ 0 при m = q и

c_ij(x,u) = 0), то систему (3)

j=1

можно рассматривать как обратное уравнение Колмогорова для диффузионного процесса с

∑_d

переключениями, задаваемыми марковской цепью. Здесь и ниже 〈a, b〉 =

a_kb_k, a,b ∈ R^d,

k=1

и 〈Aa, b〉 = 〈a, A^тb〉.

Вероятностный подход к построению классических решений линейных систем такого вида

был развит в работах [13, 14], а соответствующие результаты для нелинейных систем получены

в статьях [15, 16].

Отметим, что вероятностная интерпретация решений u^m(s, x) обратной задачи Коши (3)

(как классических, так и вязкостных) позволяет рассматривать их как скалярные функции

u(s, x, m), заданные на пространстве [0, T ] × R^d × M, где M = {1, 2, . . . , d₁}, и формулиро-

вать вероятностную модель как диффузионный процесс ξ(t) с переключениями, определяе-

мыми марковской цепью ν(t) с генератором c, а систему (3) можно интерпретировать как

(скалярное) обратное уравнение Колмогорова для двухкомпонентного марковского процесса

(ξ(t), ν(t)).

Как будет показано ниже, системы типа (1) и (2) также допускают вероятностную интер-

претацию как системы обратных уравнений Колмогорова для двухкомпонентного случайного

процесса (ξ(t), η(t)), где ξ(t) ∈ R^d - диффузионный процесс, а η(t) ∈ Rd1 - диффузионный

процесс, порождающий мультипликативный операторный функционал от ξ(t). Более того,

вероятностное представление решения задачи Коши для систем такого типа, рассматриваемое

в данной работе, позволяет свести решение исходной системы относительно функций u_m(t, x),

x ∈ R^d, t ∈ [0,T], к решению скалярного уравнения относительно функции Φ(t,x,h) =

= 〈h, u(t, x)〉 в расширенном фазовом пространстве R^d × Rd1 .

Отметим, что вероятностный подход, рассматриваемый в этой работе, применим также к

построению решения прямой задачи Коши для систем вида

∑∑

∑

∂_tu^m =

Tr A(y, u)∇²u^mA^т(y, u) + 〈a(y, u), ∇u^m〉 -

B^mqi(y,u)∇yi u^q +

c^mq(y,u)u^q,

i=1 q=1

k=1

u^m(0,y) = u0m(y),

(4)

поскольку (4) можно свести к (1) с помощью простой замены

u^m(t,y) = v^m(T - t,y).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1609

Однако задача Коши для системы нелинейных параболических уравнений вида

)

] ∑d

∑

[(d1∑

∂_tu^m =

∇²

y_iy_j

Gmqij

(y, u)u^q u^m

+ a^mi(y,u)∇yiu^m -

i,j=1

q=1

i=1

∑∑

∑

B^mqi(y,u)∇yi u^q +

c^mq(y,u)u^q, u^m(0,y) = u0m(y),

(5)

i=1 q=1

q=1

такую интерпретацию не допускает. Это связано с тем, что с вероятностной точки зрения

системы (5) естественно интерпретировать как системы прямых уравнений Колмогорова, что

приводит к необходимости разрабатывать альтернативные подходы к выводу соответствующих

моделей и их исследованию. Первые результаты о структуре вероятностных моделей для таких

систем параболических уравнений можно найти в работах [17, 18] и в ряде других.

В общем случае вероятностный подход к изучению краевых задач для систем нелинейных

параболических уравнений состоит из трёх этапов: на первом этапе нужно построить стоха-

стическую модель рассматриваемой задачи; на втором - исследовать эту модель и доказать

разрешимость соответствующей стохастической задачи; на третьем - проверить, что в резуль-

тате решения стохастической задачи построено искомое решение исходной задачи.

В настоящей работе будут сформулированы стохастические модели классического и вяз-

костного решения задачи Коши для систем вида (1), (2) и исследованы эти модели. Как след-

ствие, будут найдены вероятностные представления классических и вязкостных решений об-

ратной задачи Коши для систем (1), (2). Полученные таким образом интегральные представ-

ления могут быть использованы для создания эффективных численных схем построения со-

ответствующих решений. При этом стохастические уравнения, входящие в эту модель, можно

использовать для оценки сходимости соответствующего численного метода. Ввиду ограничен-

ности объёма остановимся на основных идеях доказательств, опуская детали и ссылаясь на

работы, где приведены полные доказательства соответствующих фактов.

Далее статья организована следующим образом. В п. 1 рассмотрим стохастические модели,

связанные с классическим решением обратной задачи Коши для семилинейных систем вида

(1). Системы такого вида встречаются в задачах финансовой математики и теории игр, а так-

же к ним можно свести решение систем вида (2) и (4). Наряду с этим такие системы возникают

при изучении дифференциальных продолжений квазилинейных уравнений (т.е. уравнений с

нелинейным вхождением градиента решения) и полностью нелинейных скалярных уравнений

(т.е. уравнений с нелинейным вхождением старших производных). При этом рассмотрение

дифференциального продолжения квазилинейного или полностью нелинейного параболиче-

ского уравнения позволяет включить его в качестве компоненты в систему семилинейных

параболических уравнений и свести решение задачи Коши для исходных уравнений и систем

к решению задачи Коши для систем семилинейных уравнений с большим количеством уравне-

ний. Стохастические модели для квазилинейных систем параболических уравнений, позволя-

ющие получить вероятностные представления классических решений задачи Коши для таких

систем, изучаются в п. 2. В п. 3 приведём стохастические модели для квазилинейных уравне-

ний, которые позволяют получить вероятностные представления вязкостных решений задачи

Коши.

1. Стохастические модели классического решения обратной задачи Коши для

системы семилинейных параболических уравнений. С вероятностной точки зрения сис-

темы вида (1) можно интерпретировать как системы обратных уравнений Колмогорова для

соответствующих случайных процессов. Для того чтобы описать эти процессы, введём в рас-

смотрение вероятностное пространство (Ω, F, P ), т.е. измеримое пространство (Ω, F) с ме-

рой P, P (Ω) = 1, и заданный на нем стандартный винеровский процесс w(t) ∈ R^d. Для

случайной величины ξ : Ω → R^d и ограниченной борелевской функции f : R^d → R обозначим

∫

Ef(ξ) = f(ξ(ω))P(dω) = f(y)μ(dy),

R^d

где μ(dy) = P {ξ ∈ dy).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1610

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

Пусть C_b(R^d; Rd1 ) - пространство измеримых ограниченных функций на R^d со значениями

в Rd1; C1,k([0,T] × R^d) - пространство функций, дифференцируемых по t ∈ [0,T] и k раз

дифференцируемых по x ∈ R^d.

Пусть φ ∈ C_b(R^d; Rd1 ), Θ - множество функций вида Φ(z) = 〈h, φ(x)〉, заданных на

пространстве Z = R^d × Rd1 , γ = (x, h) ∈ Z, с нормой

∥Φ∥_Θ = sup sup |〈h, φ(x)〉|,

∥h∥=1 x∈R^d

и L - его подмножество, состоящее из функций, удовлетворяющих условию Липшица по x.

Нетрудно проверить, что имеет место равенство

∥Φ∥_Θ = ∥φ∥Θ1 .

Фундаментальную роль в стохастическом анализе играет формула Ито, позволяющая вы-

числить стохастический дифференциал dη(t) процесса η(t) = f(ξ(t)) по заданному стохасти-

ческому дифференциалу dξ(t).

Формула Ито. Пусть a(x) ∈ R^d, A(x) ∈ R^d

⊗R^d, x ∈ R^d, f ∈ C1,2([0,T] × R^d) и

dξ(t) = a(ξ(t)) dt + A(ξ(t)) dw(t).

Тогда

dη(t) = [∂_tf(ξ(t)) + Lf(ξ(t))] dt + 〈∇f(ξ(t)), A(ξ(t)) dw(t)〉.

Здесь

∑

Lf(x) =

Tr A(x)∇²f(x)A^т(x) + 〈a(x), ∇f(x)〉,

〈x, y〉 =

x_ky_k, x,y ∈ R^d.

k=1

Символом “т” будем обозначать операцию транспонирования.

Пусть a(x, u) ∈ R^d, A(x, u) ∈ R^d

⊗R^d, а c(x,u) и C(x,u)y - линейные отображения в

пространстве Rd1 , x, y ∈ R^d, u ∈ Rd1 .

Стохастической моделью классического решения задачи Коши (1) назовём систему стоха-

стических соотношений

dξ(t) = a(ξ(t), u(t, ξ(t))) dt + A(ξ(t), u(t, ξ(t))) dw(t), ξ(s) = x ∈ R^d,

(6)

dη(t) = c(ξ(t), u(t, ξ(t)))η(t) dt + C(ξ(t), u(t, ξ(t)))(η(t), dw(t)), η(s) = h ∈ Rd1 ,

(7)

〈h, u(s, x)〉 = E〈η_s,h(T ), u₀(ξ_s,x(T ))〉,

0≤s≤t≤T.

(8)

Здесь ξ_s,x(t), η_s,h(t) - случайные процессы, удовлетворяющие (6) и (7) соответственно,

a:R^d ×Rd1 →R^d, A:R^d ×Rd1 →R^d

⊗R^d,

c:R^d ×Rd1 →Rd1

⊗R^d1, C : R^d × R^d1 → R^d ⊗ R^d1⊗ R^d1

∑d1

и 〈h, u〉 =

h_mu_m - скалярное произведение в Rd1 .

m=1

Далее нам понадобится ряд условий.

Условие C1. Существует константа ρ₀ и положительные константы L, K_u,v, K, для

которых выполнены оценки

∥a(x, u) - a(y, v)∥² + ∥A(x, u) - A(y, v)∥² ≤ L[∥x - y∥² + K_u,v∥u - v∥²],

∥a(x, u)∥² + ∥A(x, u)∥² ≤ K[1 + ∥x∥² + ∥u∥2p],

∥c(x, u) - c(y, v)∥² + ∥C(x, u) - C(y, v)∥² ≤ L[∥x - y∥³ + K_u,v∥u - v∥²],

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1611

〈c(x, u)h, v〉 ≤ [ρ₀ + ρ∥u∥]∥h∥,

∥C(x, u)z∥² ≤ ρ[1 + ∥u∥²]∥z∥², z ∈ R^d,

sup∥u0(x)∥2 ≤ K0, sup ∥∇u0(x)∥ ≤ L0.

Условие C2. Пусть выполнено условие C1 и коэффициенты системы (6)-(8) имеют огра-

ниченные непрерывные производные по обоим аргументам до порядка k.

Введём обозначения

L^vf(x) =

Tr A(x, v)∇²fA^т(x, v) + a(x, v) · ∇f(x), M^vf(x) = B(x, v)∇f(x) + c(x, v)f(x). (9)

Покажем, что задание стохастической модели (6)-(8) позволяет свести классическое реше-

ние задачи Коши для системы (1) к решению интегрального уравнения

u(s, x) = E[S^т(s, T )u₀(ξ_s,x(T ))],

вытекающего из (8). Здесь 〈S(t, s)h, u〉 = 〈h, S^т(t, s)u(t)〉 и S(t, s)h = η(t). Установим разре-

шимость этой модели.

Теорема 1. Пусть выполнено условие C2 при k = 1. Тогда существует отрезок [T₂, T ],

длина δ = |T - T₂| которого зависит от констант в оценках условия C2, такой, что для

всех s, t ∈ [T₂, T ] существует единственное решение (ξ(t), η(t), u(s, x)) системы (6)-(8). При

этом процесс ξ(t) ∈ R^d обладает марковским свойством, а функция u(s,x) ∈ Rd1 ограничена

при s ∈ [T₂,T] и удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство теоремы 1 разобьем на несколько утверждений.

Рассмотрим линеаризованную задачу, которая позволит получить необходимые априорные

оценки. Пусть v(s, x) - заданная ограниченная функция на множестве [0, T ] × R^d, удовлетво-

ряющая оценкам

sup ∥v(s,x)∥ ≤ K_v(s) и

∥v(s, x) - v(s, y)∥ ≤ L_v(s)∥x - y∥.

x∈R^d

Рассмотрим стохастическую систему

dξ(t) = a(ξ(t), v(t, ξ(t))) dt + A(ξ(t), v(t, ξ(t))) dw(t), ξ(s) = x ∈ R^d,

dη(t) = c(ξ(t), v(t, ξ(t)))η(t) dt + C(ξ(t), v(t, ξ(t)))(η(t), dw(t)), η(s) = h ∈ Rd1 ,

и пусть функция g(s, x) задана соотношением

〈h, g(s, x)〉 = E〈η_s,h(T ), u₀(ξ_s,x(T ))〉,

0≤s≤t≤T.

(10)

Используя стандартные оценки и формулу Ито, покажем, что справедливо следующее утвер-

ждение.

Лемма 1. Пусть выполнено условие C1, u₀ ∈ Θ₁, v ∈ L. Тогда существует такой

отрезок Δ₁, что функция g(s,x), заданная соотношением (10), удовлетворяет оценке

sup∥g(s,x)∥ ≤ γ(s),

если v(s, x) удовлетворяет оценке

sup∥v(s,x)∥ ≤ γ(s),

где γ(s) < ∞ для всех s ∈ Δ₁.

Доказательство. Пусть γ(s) - положительная функция и

K_v(s) = sup ∥v(s,x)∥ ≤ γ(s)

x∈R^d

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1612

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

для всех s ∈ [0, T ]. Покажем, что существует такой отрезок Δ₁ = [T₁, T ], где T₁ < T, что

K_g(s) ≤ γ(s) для всех s ∈ Δ₁.

Используя оценки стохастических интегралов и оценки из условия C1, нетрудно проверить,

что выполняется неравенство

[∫T

]

∥g(s)∥^2Θ

≤ Ku0 exp

[2ρ₀ + 3ρK_v(τ)] dτ

где Ku0 = sup ∥u₀(x)∥², и функция γ(s), заданная соотношением

2ρ₀(T -s)

2ρ₀Ku0 e

γ(s) =

(11)

2ρ₀ + 3ρKu0 - 3ρKu0 e2ρ0(T-s)

обладает требуемыми свойствами, а именно, если K_v(τ) ≤ γ(τ), то K_g(τ) ≤ γ(τ) для любого

τ ∈Δ₁.

Из соотношения (11) следует, что функция γ(τ) ограничена на всём отрезке [0, T ], если

2ρ₀ + 3ρKu0 < 0. В противном случае функция γ(τ) ограничена на отрезке Δ₁ = [T₁, T ],

длина которого подчиняется оценке

[

]

2ρ₀

|T₁ - T | <

ln 1+

(12)

2ρ₀

3ρKu0

Если условие C2 выполнено при k = 1, то аналогичную оценку можно получить и для функ-

ции Липшица L_g(s) в неравенстве

∥g(s, x) - g(s, y)∥ ≤ L_g(s)∥x - y∥

для s ∈ [T₂, T ], где T₂ ≥ T₁. Точнее, можно показать, что если функция v(s, x) подчиняется

условию Липшица

∥v(s, x) - v(s, y)∥ ≤ β(s)∥x - y∥,

то справедлива оценка L_g(s) ≤ β(s). Для этого достаточно доказать, что существует отрезок

[T₂, T ] и ограниченная на нем функция φ(s) > 0 такие, что для всех s ∈ [T₂, T ] выполняется

неравенство ∥∇g(s, x)∥2 ≤ φ(x), если ∥∇v(s, x)∥2 ≤ φ(s). Необходимый результат можно

получить, применив описанные выше рассуждения к стохастической системе, содержащей (6)-

(8) и соотношения

dα(t) = m(ξ(t), V (t, ξ(t)))α(t) dt + M(ξ(t), V (t, ξ(t)))(α(t), dw(t)), α(s) = I,

dζ(t) = c(ξ(t), v(ξ(t)))ζ(t) dt + C(ξ(t), v(ξ(t)))(ζ(t), dw(t)) + n(ζ(t), α(t), V (t, ξ(t))) dt +

+ N(ξ(t),v(t,ξ(t)))(η(t),dw(t)), η(s) = h ∈ Rd1,

〈h, ∇g(s, x)〉 = E〈η_s,h(T ), ∇u₀(ξ_s,x(T ))α(T )〉 + 〈ζ_s,h(T ), u₀(ξ_s,x(T ))〉,

0≤s≤t≤T,

где I-единичная матрица, V (t, x) = (v(t, x), ∇v(t, x)). Здесь

m(ξ(t), V (t, ξ(t))) = ∇_xa(ξ(t), v(t, ξ(t))) + ∇_va(ξ(t), v(t, ξ(t)))∇_xv(t, ξ(t)),

n(ξ(t), V (t, ξ(t))) = ∇_xc(ξ(t), v(t, ξ(t))) + ∇_vc(ξ(t), v(t, ξ(t)))∇_xv(t, ξ(t)),

и аналогичные соотношения связывают M c A и N с C.

Применяя лемму 2 к системе последовательных приближений

〈h, uⁿ(s, x)〉 = E〈ηn-1s,h(T ), u₀(ξn-1s,x(T ))〉,

0≤s≤t≤T,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1613

где ξ^ns,x(t) и η^ns,h(t) - последовательные приближения к решениям СДУ (6) и (7), можно до-

казать для некоторых положительных T₁ сходимость последовательности u_n в пространстве

C([T₁, T ]; C_b(R^d; Rd1 )). Если выполнено условие C2 при k = 2 + ϵ, ϵ ∈ (0, 1), то можно про-

верить, что последовательность ∇un сходится к пределу ∇u на некотором отрезке [T2,T]

и последовательность ∇²u_n сходится к пределу ∇²u на отрезке [T₃, T ], [T3, T ] ⊂ [T2, T ] ⊂

⊂ [T₁, T ]. Отсюда вытекает справедливость следующего утверждения.

Теорема 2. Пусть выполнено условие C2 при k = 3. Тогда существует отрезок [T₃, T ],

длина δ₃ = |T - T₃| которого зависит от констант в оценках условия C2, такой, что для

всех s ∈ [T₂, T ] существует единственное решение (ξ(t), η(t), u(s, x)) системы (6)-(8). При

этом функция u(s, x) вида (8) ограничена и дважды дифференцируема.

В результате приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. В условиях теоремы 3 для всех s ∈ [T₃, T ] существует единственное клас-

сическое решение системы (1). Существуют константы в условии C2, при которых суще-

ствует единственное классическое глобальное решение систем (1) на всём отрезке [0,T].

Доказательство. Пусть u ∈ C1,2([T₃, T ]×R^d; Rd1 ). Применяя формулу Ито, можно прове-

рить, что функция u(s, x) вида (8) удовлетворяет задаче Коши (1). Действительно, вычислив

стохастический дифференциал случайного процесса γ(t) = S^т(t, s)u(t, ξ_s,x(t)), получим

dγ(t) = dS^т(t, s)u(t, ξ_s,x(t)) + S^т(t, s) du(t, ξ_s,x(t)) + dS^т(t, s) du(t, ξ_s,x(t)).

Опуская для упрощения аргументы у коэффициентов и функции u и применяя ещё раз фор-

мулу Ито, получаем равенство

[

]

dγ(t) = S^т(t, s) ∂_tu +

Tr A∇²uA^т + 〈a, ∇u〉 + 〈C^т, A^т∇u〉 + c^тu dt +

+ S^т(t,s)〈[C^тu + A^т∇u],dw(t)〉.

Проинтегрировав по t от s ∈ [T₃, T ] до T и вычислив математическое ожидание, имеем

E[S^т(T, s)u₀(ξ_s,x(T ))] - u(s, x) =

[∫T

]

= E S^т(τ,s)[∂_τu(s,ξ_s,x(τ)) + L^uu(s,ξ_s,x(τ)) + M^uu(s,ξ_s,x(τ))]dτ

Как следует из (8), левая часть последнего равенства равна нулю. Таким образом, поскольку

при любых s и x

[∫T

]

E S^т(τ,s)[∂_τ u(s,ξ_s,x(τ)) + L^uu(s,ξ_s,x(τ)) + M^uu(s,ξ_s,x(τ))]dτ

= 0,

то отсюда вытекает, что функция u(s, x) = E[S^т(t, s)u₀(ξ_s,x(T ))] является классическим реше-

нием задачи (1). Заметим, что при применении формулы Ито мы предположили, что u(s, x)

дифференцируема по s ∈ [T₃, T ]. Доказательство этого факта аналогично проведённому до-

казательству и основано на непосредственной проверке существования предела

u(s + Δs, x) - u(s, x)

lim

= lim

E[S^т(s + Δs, T )u₀(ξs+Δs,x(T )) - S^т(s, T )u₀(ξ_s,x(T ))] =

Δs→0

Δs

Δs→0 Δs

= E[(S^т(s + Δs,T) - S^т(s,T))u(T,ξs+Δs,x(T)) + S^т(s,T)(u₀(ξs+Δs,x(T)) - u₀(ξ_s,x(T)))].

(13)

При этом для вычисления правой части (13) используются соотношения

S^т(s + Δs,T) - S^т(s,T) = S^т(s + Δs,T)[I - S^т(s,s + Δs)] =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1614

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

∫

= S^т(T,τ)c^т(ξ(τ),u(τ,ξ(τ)))dτ +

S^т(T,τ)C^т(ξ(τ),u(τ,ξ(τ)))dw(τ)

∫

u(T, ξ_s,x(T )) = u(T, ξs+Δs,x(T )) +

L^uu(τ,ξ(τ))dτ +

∇u(τ, ξ(τ))A(ξ(τ), u(τ, ξ(τ))) dw(τ).

Далее, вычисляя математическое ожидание и переходя к пределу, получим равенство ∂_su =

= -L^uu - M^uu, и поскольку u(s) ∈ C²(R^d;Rd1 ) в силу теоремы 2, то существование ∂_su

также гарантировано.

Анализ задачи Коши для системы (4) показывает, что с помощью простого преобразования

v(T - t, x) = u(t, x) её можно свести к задаче Коши вида

∑

∑∑

∑

∂_tv_m +

Gij (v)∇yiy_jvm + ami(y,v)∇yi vm +

C^mki(y,v)∇yi v_k +

c_mk(y,v)v_k = 0,

i,j=1

i=1

i=1 k=1

k=1

v(T, x) = u₀(x)

и затем рассмотреть стохастическую модель

dξ(s) = a(ξ(s), v(T - s, ξ(s)))ds + A(ξ(s), v(T - s, ξ(s))) dw(s), ξ(t) = x ∈ R^d,

(14)

dη(s) = c(ξ(s), v(T - s, ξ(s)))η(s)ds + C(ξ(s), v(T - s, ξ(s)))(η(s), dw(s)), η(t) = h ∈ Rd1 , (15)

〈h, v(T - t, x)〉 = E〈η_t,h(T ), u₀(ξ_t,x(T ))〉,

0≤t≤s≤T.

Как следствие, можно применить теоремы 1-3 и проверить, что при выполнении условий C2

при k = 3 функция u(t, x) = v(T - t, x) является классическим решением задачи Коши

для (1).

Теорема 4. Вероятностное представление классического решения задачи Коши для неод-

нородной параболической системы

∑

∑∑

∂_sg^m +

Gij (y, g)∇^y y g^m +_ij

a_i(y,g)∇yi g^m +

B^mqi(y,g)∇yi g^q +

i,j=1

i=1

i=1 q=1

∑

+ c^mq(y,g)g^q = f^m(x,g), g(0,x) = g₀(x)

(16)

q=1

имеет вид

[

∫

]

〈h, g(s, x)〉 = E 〈ηs,h(T ), g0(ξs,x(T ))〉 +

〈η_s,h(τ), f(ξ(τ), g(τ, ξ(τ)))〉 dτ ,

(17)

где функции ξ(t) и η(t) подчиняются СДУ

dξ(t) = a(ξ(t), g(t, ξ(t))) dt + A(ξ(t), g(t, ξ(t))) dw(t), ξ(s) = x ∈ R^d,

dη(t) = c(ξ(t), g(t, ξ(t)))η(t) dt + C(ξ(t), g(t, ξ(t)))(η(t), dw(t)), η(s) = h ∈ Rd1 .

Доказательство. Пусть g(t, x) - решение задачи Коши (16). Рассмотрим случайный про-

цесс γ(t) = 〈η(t), g(t, ξ(t))〉, применив к которому формулу Ито, получим равенство

dγ(t) = 〈dη(t), g(t, ξ(t))〉 + 〈η(t), dg(t, ξ(t))〉 + 〈dη(t), dg(t, ξ(t))〉.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1615

Повторно применив формулу Ито и воспользовавшись соотношениями (14) и (15), получим

[

dγ(t) = η(t), ∂tg +

Tr A(ξ(t), g(t, ξ(t)))∇²g(t, ξ(t))A^т(ξ(t), g(t, ξ(t))) + a(ξ(t), g(t, ξ(t))) +

]

+ C^т(ξ(t),g(t,ξ(t)))∇g(t,ξ(t))A(ξ(t),g(t,ξ(t))) + c^т(ξ(t),g(t,ξ(t)))g(t,ξ(t))

dt +

+ 〈η(t), 〈[C^т(ξ(t), g(t, ξ(t)))g(t, ξ(t))+c^т (ξ(t), g(t, ξ(t)))∇g(t, ξ(t))A(ξ(t), g(t, ξ(t)))], dw(t)〉〉.

(18)

Проинтегрируем (18) по t от s до T, вычислим математическое ожидание и, принимая во

внимание, что u(T, ξ(T )) = g₀(ξ(T )), g(s, ξ(s)) = g(s, x), получим

∫T

E〈η(T ), g₀(ξ(T ))〉 - 〈h, g(s, x)〉 = E〈η(t), ∂_tg + 〈a(ξ(t), g(t, ξ(t))), ∇g〉 +

Tr A(ξ(t), g(t, ξ(t)))∇² g(t, ξ(t))A^т(ξ(t), g(t, ξ(t))) + c^т(ξ(t), g(t, ξ(t)))g(t, ξ(t)) +

+ C^т(ξ(t),g(t,ξ(t)))∇g(t,ξ(t))A(ξ(t), g(t,ξ(t)))〉dt.

Замечание 1. Пусть u(s, x) - классическое решение задачи Коши (1). Соотношение (8)

позволяет заметить, что задача Коши (1) эквивалентна задаче Коши для скалярного урав-

нения

∂_sΦ + 〈q(γ,u),∇Φ〉 +

Tr Q(γ, u)∇²ΦQ^т(γ, u) = 0, Φ(T, γ) = Φ₀(γ) = 〈h, u₀(x)〉

(19)

относительно функции Φ(s, γ), γ = (x, h) ∈ R^d × Rd1 . Здесь

(

)

(

)

a(x)

A(x)

q(γ) =

Q(γ) =

(20)

c(x)h

C(x)h

(

)

w(t)

Обозначив W (t) =

, запишем систему (6)-(8) в виде

w(t)

dγ(t) = q(γ(t)) dt + Q(γ(t)) dW (t), γ(s) = γ,

Φ(s, γ) = E[Φ₀(γ_s,γ(T ))] = E[〈η_s,h(T ), u₀(ξ_s,x(T ))〉].

(21)

Используя формулу Ито, можно проверить, что функция Φ(s, γ) вида (21) является един-

ственным классическим решением задачи (19).

Эта эквивалентность, в частности, играет важную роль при построении вязкостных реше-

ний задачи Коши для систем нелинейных параболических уравнений.

2. Стохастические модели классического решения обратной задачи Коши для

систем квазилинейных и полностью нелинейных параболических уравнений. Будем

считать, что система параболических уравнений квазилинейна или полностью нелинейна, если

коэффициенты этой системы нелинейно зависят от градиента или от гессиана (матрицы Гессе)

её решения соответственно.

Рассмотрим задачу Коши для системы квазилинейных уравнений

∑

∂_su^m +

Tr A(x, u)∇²u^mA^т(x, u) + 〈a(x, u, ∇u), ∇u^m〉 +

〈B^mq(x, u, ∇u), ∇u^q 〉 +

q=1

∑

+ c^mq(x,u,∇u)u^q = 0, u^m(T,x) = u0m(x).

(22)

q=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1616

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

После дифференцирования (22) и введения новой переменной v = ∇u получим систему семи-

линейных параболических уравнений относительно вектор-функции

V (s, x) = (u(s, x), ∇u(s, x) = v(s, x)) = (V₁(s, x) . . . , V_M (s, x)),

где M = d₁(1 + d), обладающую той же структурой, что и системы, рассмотренные в п. 1.

Лемма 2. Дифференциальное продолжение системы (22), т.е. система уравнений для

функции V (s, x)=(u(s, x),∇u(s, x)), является семилинейной системой с диагональным вхож-

дением старших производных.

Доказательство. Вычислениями проверяется, что вектор функция V (s, x) = (u(s, x),

∇u(s, x)) удовлетворяет системе семилинейных уравнений, состоящей из (22) и уравнений

для v_m(s, x) = ∇u_m(s, x):

∑

∂_sv^m + L^uv^m + M^uv^m +

〈θ^mq(x, V ), ∇v^q〉 +

〈β^mq (x, V ), v^q 〉 +

∇_xc^mq(x,V )u^q = 0, (23)

q=1

где

θ = ∇_xG + ∇_uGv + ∇_vav + ∇_vcu + ∇_vBv + B, β = ∇_xa + ∇_uav + ∇_ucu + c + ∇_xB + ∇_uBv,

а L^u и M^u имеют вид (9).

Рассмотрим стохастическую модель, соответствующую новой системе (22), (23), и покажем,

что справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Стохастическая модель, соответствующая системе (22), (23), имеет

структуру, аналогичную структуре стохастической модели исходной системы (22).

Доказательство. Рассмотрим систему СДУ

dξ(t) = a(ξ(t), V (t, ξ(t)))ds + A(ξ(t), u(t, ξ(t))) dw(t), ξ(s) = x ∈ R^d,

0≤s≤t≤T,

(24)

dη(t) = c(ξ(t), V (t, ξ(t)))η(t) dt + C(ξ(t), V (t, ξ(t)))(η(t), dw(t)), η(s) = h ∈ Rd1 ,

(25)

〈h, u(s, x)〉 = E〈η_s,h(T ), u₀(ξ_s,x(T ))〉

(26)

и систему СДУ для процессов α_ij (t) = ∇_iξ_j(t) и β_im(t) = ∇_iη_m(t)

dα_ij (θ) = [∇uq a_i(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))v_jq(θ, ξ(θ))α_km(θ) + ∇vql a_i(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))∇_mv_ql(θ, ξ(θ)) ×

× α_mj(θ)]dθ + ∇uqA_ik(ξ(θ),u(θ,ξ(θ)))v_kq(θ,ξ(θ))α_km(θ)dw_n(θ),

(27)

dβ_im(θ) = [∇uq c_mk(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))v_qr(θ, ξ(θ))α_ri(θ)η_k(θ) + c_mk(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))β_ik(θ)] dθ +

+ [∇uq C^jmk(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))v_jq(θ, ξ(θ))α_ji(θ)η_k(θ) + C^jmk(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))β_ki(θ)] dw_j (θ).

(28)

В соотношениях (27), (28) используем соглашение о суммировании по повторяющимся аргу-

ментам, чтобы упростить громоздкие обозначения. Дополним систему (24)-(27) соотношением

〈h, ∇u(s, x)〉 = E〈∇η_s,h(T ), u₀(ξ_s,x(T ))〉 + 〈η_s,h(T ), ∇u₀(ξ_s,x(T ))α(T )〉.

Пусть Y = R^d

^⊕ (R^d ⊗ R^d)⊗ R^d1 и G^⊕ Γ = G^⊗ I + I^⊗ Γ - тензорная сумма операто-

ров, действующих в пространстве Y по правилу

^⊕ Γ(x,y) = Gx^⊗y + x^⊗ Γy.

Используя эти обозначения, будем рассматривать уравнения (25), (27), (28) как уравнения

для процессов β₁(θ) = ∇η^k(θ), β₂(θ) = α(θ)

^⊗η(θ), имеющие вид

dβ₁(θ) = c(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))β₁(θ) dθ + C(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))β₁(θ) dw(θ) +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1617

+ ∇c(ξ(θ),V (θ,ξ(θ))) ⋄ β₂(θ)dθ + ∇C(ξ(θ),V (θ,ξ(θ))) ⋄ β₂(θ)dw(θ),

dβ₂(θ) = [∇a(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))

^⊕ c(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))]β₂(θ) dθ +

+ [∇A(ξ(θ), u(θ, ξ(θ)))

^⊕C(ξ(θ),V (θ,ξ(θ)))]β₂(θ)dw(θ),

β₁(s) = 0, β₂(s) = y

^⊗ h.

Здесь ∇c ⋄ (α

^⊗ h) = c(α, h), ∇C ⋄ (α

^⊗ h) = ∇C(α, h). Запишем уравнение для процесса

β(θ) = (β₁(θ), β₂(θ)) в виде

dβ(θ) = b(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))β(θ) dθ + B(ξ(θ, V (θ, ξ(θ)))β(θ)dW (θ),

где

(

)

(

)

w(t)

ζ(θ)

W (t) =

β(θ) =

⊗

w(t)

α(θ)

η(θ)

а линейные отображения b(u), B(u) действуют по правилу

(

)

(

)

(

)(

)

β₁

cβ₁ + ∇c(y, η)

∇c

β₁

b(u)

⊗

0·y

^⊗η+y^⊗cη

∇a

^⊕c

(

)

(

)

(

)(

)

β₁

Cβ₁ + ∇C(y,h)

∇C

β₁

B(u)

⊗

∇Ay

^⊗η+y^⊗Ch

∇Ay

^⊕C

В результате систему (25), (26), (28) можно представить в виде линейного СДУ

dβ(θ) = b(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))β(θ) dθ + B(ξ(θ), V (θ, ξ(θ)))β(θ)dW (θ)

(29)

с соответствующими начальными условиями. Пусть

(

)

u₀(x)

G₀(x) = G(0,x) =

v₀(x)

где v₀ = ∇u₀ - дифференцируемая ограниченная функция. Рассмотрим функцию

(

)

[(

)(

)]

u(s, x)

η(T )

u₀(ξ_s,x(T))

G(s, x) =

v(s, x)

β₁(T) β₂(T)

v₀(ξ_s,x(T))

(

)

E[η(T )u₀(ξ_s,x(T ))]

(30)

E[β₁(T )u₀(ξ_s,x(T )) + β₂(T )v₀(ξ_s,x(T ))]

и заметим, что система (24), (29) и (30) имеет ту же структуру, что и система (24)-(26).

Cистема стохастических соотношений (24), (29), (30) является стохастической моделью для

системы (22), (23) параболических уравнений, полученной из исходной системы с помощью

процедуры дифференциального продолжения. Таким образом, если коэффициенты b и B

удовлетворяют условиям C1 и C2, то утверждения теорем 3 и 4 справедливы и в новом кон-

тексте.

Отметим, что описанный выше подход работает и при построении вероятностного пред-

ставления решения задачи Коши для полностью нелинейного уравнения, однако при этом

возникает необходимость рассматривать дифференциальное продолжение исходной системы

до третьего порядка.

3. Вероятностные модели вязкостных решений обратной задачи Коши для сис-

тем нелинейных параболических уравнений. Далее опишем альтернативный вероятност-

ный подход, который позволяет естественным образом построить вероятностные представле-

ния для вязкостных решений задачи Коши (1). Предлагаемый подход базируется на резуль-

татах теории обратных стохастических дифференциальных уравнений, основы которой были

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1618

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

заложены в работах [10-12]. Среди многих результатов этой теории существенную роль игра-

ет возможность построения вероятностных представлений вязкостных решений задачи Коши

для скалярных квазилинейных параболических уравнений. В этой работе будут обобщены со-

ответствующие результаты на системы вида (1).

Для упрощения рассмотрим систему

∑

u^ms + 〈a(x),∇u^m〉 +

Tr A(x)∇²u^mA^т(x) +

〈B^mq(x), ∇u^q〉 +

c^mq(x)u^q =

q=1

f^m(x,u,A^т(x)∇u + B(x)u), u^m(T,x) = u0m(x), m = 1,d.

(31)

Пусть, как и выше, (Ω, F, P ) - заданное вероятностное пространство и F_t - семейство σ-

подалгебр σ-алгебры F, порождённых винеровским процессом w(t) ∈ R^d.

Рассмотрим процесс γ(t) = (ξ(t), η(t)) ∈ R^d ×R^d, удовлетворяющий (прямой) системе СДУ:

dξ(t) = a(ξ(t)) dt + A(ξ(t)) dw(t), ξ(s) = x ∈ R^d,

0 ≤ s ≤ t,

(32)

dη(t) = c(ξ(t))η(t) dt + C(ξ(t))(η(t), dw(t)), η(s) = h ∈ R^d.

(33)

Как уже было показано, процесс γ(t) = (ξ(t), η(t)) удовлетворяет СДУ

dγ(t) = q(γ(t)) dt + Q(γ(t))dW (t),

(34)

где q и Q заданы соотношениями (20) и W (t) = (w(t), w(t))^т.

Существование и единственность процесса γ(t), удовлетворяющего (34), гарантируется

условием C2. Обозначим как S(t, s) и S^т(s, t) стохастические эволюционные семейства, за-

данные соотношениями η(t) = S(t, s)h и 〈S(t, s)h, u〉 = 〈h, S^т(s, t)u〉.

Для того чтобы вывести вероятностное представление решения задачи Коши для системы

(31), предположим, что функция u ∈ C1,2([0, T ] × R^d; R^d) является классическим решением

этой задачи. Из формулы Ито следует, что стохастический дифференциал процесса

y(t) = 〈η(t), u(t, ξ(t))〉 = 〈h, S^т(s, t)u(t, ξ(t))〉 ∈ R

имеет вид

[

]

dy(t) = h, S^т(s, t) u_t + 〈∇u, a(ξ(t))〉 +

Tr A(ξ(t))∇²uA^т(ξ(t)) + 〈B(ξ(t)), ∇u〉 + c(ξ(t))u dt +

+ 〈h, S^т(s, t)[〈∇u, A(ξ(t)) dw(t)〉 + 〈C^т(ξ(t))u, dw(t)〉]〉,

(35)

где

∑

〈B, ∇u(x)〉^m =

C^mqj(x)A_jk∇_x

u^q.

q=1 j,k=1

Введём обозначения

y(t) = v(t, γ(t)) = S^т(s, t)u(t, ξ(t)), f(γ(t), y(t), z(t)) = S^т(s, t

f (ξ(t), y(t), z(t)).

Поскольку по предположению u удовлетворяет (31), то из (35) вытекает, что процесс y(t) =

= u(t, γ(t))〉 удовлетворяет стохастической задаче Коши

dy(t) = -f(γ(t), y(t), z(t)) dt + z(t) dw(t), y(T ) = u₀(γ(T )),

(36)

если

z(t) = S^т(s, t)[∇uA(t, ξ(t)) + C^т(ξ(t))u(t, ξ(t))] ∈ R^d

⊗R^d.

Будем рассматривать (36) как обратное стохастическое дифференциальное уравнение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1619

Обозначив W (t) = (w(t), w(t))^т и записав систему (32), (33) как уравнение (17) относи-

тельно γ(t) = (ξ(t), η(t)), придём к системе ПОСДУ, состоящей из прямого СДУ

dγ(t) = g(γ(t)) dt + G(γ(t)) dW (t), γ(s) = γ = (x, h),

(37)

и обратного СДУ (ОСДУ)

dy(t) = -f(γ(t), y(t), z(t)) dt + z(t) dw(t), y(T ) = ζ ∈ R^d.

(38)

Замечание 2. Если правая часть системы (31) имеет произвольный вид m(x, u, ∇u), то

нужно будет формулировать условия, гарантирующие, что

f (γ(t), y(t), z(t)) = m(γ(t), [S^т(t, T )]-1y(t), (A^т)-1[S^т(T, t)]-1z(t) - C^т(ξ(t))[S^т(T, t)]-1y(t))

обладает нужными свойствами.

Ниже нам понадобится ряд результатов из общей теории ОСДУ и ПОСДУ (см. [12]).

Рассмотрим ОСДУ (38) и отметим, что это уравнение содержит два неизвестных процесса

y(t) ∈ R^d и z(t) ∈ R^d

⊗R^d, следовательно, как и в п. 2, нам потребуется замыкающее со-

отношение. Однако на этот раз для получения замыкающего соотношения мы воспользуемся

теоремой Ито о представлении квадратично интегрируемого мартингала [19], которая утвер-

ждает, что любая F_T -измеримая случайная величина ζ ∈ R^d с конечным вторым моментом

(E∥ζ∥² < ∞), допускает представление вида

∫T

ζ = Eζ + z(t)dw(t),

где z(t) ∈ R^d

⊗R^d - F_t-измеримый однозначно определённый квадратично-интегрируемый

случайный процесс.

Из (38) следует, что случайный процесс y(t) удовлетворяет соотношению

[

∫

]

y(t) = v(t, γ(t)) = E v₀(γ(T )) + f(γ(τ), y(τ), z(τ)) dτ|Ft ,

(39)

и ОСДУ (38) имеет по крайней мере одно решение y(t) = S^т(s, t)u(t, ξ(t)).

Для того чтобы проверить, что

z(t) = S^т(s, t)[A^т(t, ξ(t))∇u + C^т(ξ(t))u(t, ξ(t))],

рассмотрим случайную величину

∫T

χ = v₀(γ(T)) + f(γ(t),y(t),z(t))dt ∈ R^d

и предположим, что она квадратично интегрируема, F_T -измерима и E[χ|F_t] - это F_t-мартин-

гал. Тогда, в силу теоремы Ито о представлении мартингалов [16], существует единственный

случайный процесс z(t) ∈ R^d

⊗R^d такой, что E ^∫T0 ∥z(t)∥2 dt < ∞ и

∫T

χ = E[χ] + z(t)dw(t).

(40)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

3^∗

1620

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

Из соотношения (39) следует, что y(0) = E[χ|F₀] = E[χ], и в силу (40) справедливо равенство

∫T

y(0) = v₀(γ(T )) + f(γ(r), y(r), z(r)) dr - z(τ) dw(τ).

(41)

∫t

При этом величина y(0) -

f (γ(r), y(r), z(r)) dr +

z(r) dw(r) будет F_t-измерима и равна

величине

∫T

∫

v₀(γ(T)) + f(γ(r),y(r),z(r))dr - z(r)dw(r).

Вычислив условное математическое ожидание полученных величин относительно F_t и

приняв во внимание соотношение (39), получим

∫t

∫

y(t) = y(s) - f(γ(r), y(r), z(r)) dr + z(r) dw(r),

откуда (с учётом (41)) следует, что

∫T

∫

y(t) = v₀(γ(T )) + f(γ(r), y(r), z(r)) dr - z(r) dw(r).

Решение y(t) допускает также представление

∫t

∫

y(s) = y(t) - f(γ(r), y(r), z(r)) dr + z(r) dw(r).

Далее будем предполагать, что выполнено следующее условие.

Условие C3. Cуществует константа μ и положительные константы K, L такие, что:

а) ∥f(x, y, z)∥ ≤ K[∥x∥ + ∥y∥ + |z|] для любого t ∈ [0, T ];

б) ∥f(x, y, z) - f(x, y, z₁)∥ ≤ L|z - z₁|;

в) 〈y - y₁, f(t, y, z) - f(t, y₁, z)〉 ≤ μ∥y - y₁∥², y, y₁ ∈ R^d, z, z₁ ∈ R^d × R^d.

Пусть B₁(0) - единичный шар с центром в нуле в пространстве R^d.

Теорема 6. Пусть выполнены условия C2 и C3. Тогда существуют процессы γ(t), y(t),

z(t), удовлетворяющие системе (37), (38), и функция y(s) = Φ(s, γ) является ограниченной

функцией, удовлетворяющей условию Липшица на множестве [0, T ] × R^d × B₁(0).

Доказательство этого утверждения вытекает из того факта, что условия C2 и C3 гаранти-

руют выполнение условий существования и единственности решения ПОСДУ [12].

Наша задача - показать, что функция u(s, x) = y(s) является вязкостным решением систе-

мы (31). При доказательстве этого факта важную роль играет теорема сравнения для решений

ОСДУ.

Пусть заданы два скалярных процесса Y_i(t) и два векторных процесса Z_i(t) ∈ R^d таких,

что пары (Y_i(t), Z_i(t)), i = 1, 2, удовлетворяют ОСДУ

dY_i(t) = -f_i(ξ(t),Y_i(t),Z_i(t))dt + 〈Z_i(t),dw(t)〉, Y_i(T) = ζ_i,

где w(t) ∈ R^d и ζ_i - F_T -измеримая случайная величина. Тогда справедливо следующее утвер-

ждение (см. [12]).

Теорема 7. Пусть ζ₁ ≤ ζ₂ и f₁(y, z) ≤ f₂(y, z) п.н. Тогда Y₁(t) ≤ Y₂(t) п.н.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1621

Следствие. Пусть заданы два скалярных процесса Y_i(t) и два векторных процесса Z_i(t)∈

∈ R^d таких, что пары (Y_i(t),Z_i(t)), i = 1,2, удовлетворяют ОСДУ

∫T

∫

dY₁(t) = ζ₁ + f(ξ(r),Y₁(r),Z₁(r))dr -

〈Z₁(r), dw(r)〉,

∫T

∫

dY₂(t) = ζ₂ + N(r)dr -

〈Z₂(r), dw(r)〉,

и ζ₁ ≤ ζ₂, f₁(ξ(r),Y₂(t),Z₂(t)) ≤ N(r). Тогда можно применить теорему 7, положив

f₂(ξ(t),y,z) = f₁(ξ(t),y,z) + N(t) - f₁(ξ(t),Y₂(t),Z₂(t)).

Если при этом f₁(ξ(r), Y₂(t), Z₂(t)) < N(r) на множестве положительной меры dt × dP, то

Y₁(0) < Y₂(0).

Как следует из сказанного выше, система (31) эквивалентна скалярному уравнению

∂_sΦ + 〈g(γ),∇Φ〉 +

Tr G(s, γ)∇²ΦG(s, γ) = Λ(Φ, ∇Φ), Φ(T, γ) = Φ₀(γ) = 〈h, u₀(x)〉,

(42)

относительно функции Φ(t, γ) = 〈h, u(s, x)〉, γ = (x, h) ∈ R^d × R^d.

Для того чтобы определить понятие вязкостного решения нелинейного параболического

уравнения (42) относительно скалярной функции Φ(t, γ), γ = (x, h), введём понятие суб- и

суперрешения.

Пусть R^m = R^d × R^d, m = 2d, M^m = R^m

⊗R^m, κ(u,∇u) = B∇u + cu,

L_γΨ = 〈g,∇_γΨ〉 +

Tr G∇2γ ΨG^т, Λ(Ψ, G^т∇_γΨ) = 〈h, f(κ(u, ∇φ))〉.

Определение 1. Функцию Φ ∈ C([0,T] × R^m) назовём вязкостным субрешением задачи

(1), если Φ(T, γ) ≤ Φ₀(γ) и для любых Ψ ∈ C1,2([0, T ] × R^m) и точки (t, γ) ∈ [0, T ] × R^d, в

которой достигается локальный максимум разности Φ - Ψ, где Ψ = 〈h, ψ〉 и ψ ∈ C1,2([0, T ] ×

× R^d;R^d), справедливо неравенство

∂_sΨ + L_γΨ - 〈h,f(κ(u,∇ψ))〉 ≥ 0;

и суперрешением, если Φ(T,γ) ≥ Φ₀(γ) и для любых Ψ ∈ C1,2([0,T] × R^m) и точки (t,γ) ∈

∈ [0, T ] × R^d, в которой достигается локальный минимум разности Φ - Ψ, справедливо нера-

венство

∂_sΨ + L_γΨ - 〈h,f(κ(u,∇ψ))〉 ≤ 0.

Определение 2. Функцию Φ ∈ C([0,T]×R^m) назовём вязкостным решением задачи (42),

если она является как суб-, так и суперрешением задачи (42).

Определение 3. Функцию u(s,x) ∈ C([0,T] × R^d;R^d) назовём вязкостным решением

задачи (1), если функция Φ(s, γ) = 〈h, u(s, x)〉 является вязкостным решением задачи (42).

Теорема 8. Пусть выполнены условия C1, C3 и случайные процессы (γ(t), y(t), z(t)) удо-

влетворяют уравнениям (37), (38). Тогда функция y(s) = u(s, x) непрерывна и является

вязкостным решением задачи (1).

Доказательство. Непрерывность функции u(s, x) вытекает из среднеквадратичной непре-

рывности процессов ξ(t), η(t) и y(t) относительно параметра x, которая, в свою очередь,

вытекает из липшицевости коэффициентов уравнений (37), (38) и начальной функции u₀(X).

Чтобы доказать, что Φ(t, γ) = 〈h, u(t, x)〉 - вязкостное решение задачи (42), достаточно

показать, что эта функция является как суб-, так и суперрешением этой задачи.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1622

БЕЛОПОЛЬСКАЯ

Для проверки того, что Φ является субрешением, выберем функцию Ψ(t, γ) = 〈h, ψ(t, x)〉

такую, чтобы точка (t, γ) являлась точкой максимума для разности Φ - Ψ, и предположим,

без потери общности, что Φ(t, γ) = Ψ(t, γ). Покажем, что, предположив справедливость нера-

венства

∂_sΨ + L_γΨ - 〈h,f(κ(u,∇ψ))〉 < 0,

(43)

придём к противоречию.

Выберем положительный момент θ ≤ T - t так, чтобы для всех t ≤ s ≤ t + θ и y таких,

что ∥y - x∥ ≤ θ, была справедлива оценка Φ(s, γ) ≤ Ψ(s, γ) и выполнялось неравенство (43).

Обозначим

τ = inf{∥ξs,x(t) - x∥ ≥ θ} ∧ (t + θ),

s≥t

рассмотрим пару процессов (y(s), z(s)), заданных соотношением

(y(s), z(s)) = (y(s ∧ τ), I[0,τ](r)z(s)), t ≤ s ≤ t + θ,

и заметим, что (y(s), z(s)) удовлетворяет ОСДУ

t+θ

∫

y(s) = Φ(τ, γ_s,γ(τ)) +

I[0,τ](r)〈h,f(Φ(r,γ(r)), z(r))〉dr -

z(r) dw(r), t ≤ s ≤ t + θ.

Рассмотрим также пару процессов (ŷ(s), z(s)), заданных соотношением

(ŷ(s), z(s)) = (Ψ(s, γ(s ∧ τ)), I[0,τ](s)∇Ψ(s, γ(s))G^т(γ(s))), t ≤ s ≤ t + θ.

Воспользовавшись формулой Ито, покажем, что пара (ŷ(s), z(s)) удовлетворяет ОСДУ

t+θ

∫

ŷ(t) = Ψ(τ, γ_s,γ(τ)) -

I[0,τ](r)(∂_rΨ + L_γΨ)(r,γ(r))dr -

〈z(r), dW (r)〉.

Поскольку по определению Φ(s, γ) ≤ Ψ(s, γ), то в силу выбора θ и τ из теоремы 6 следует,

что y(s) < ŷ(s), откуда ввиду следствия к теореме 7 вытекает, что Φ(s, γ) < Ψ(s, γ). Пришли

к противоречию.

Таким образом, показано, что Φ(s, γ) является вязкостным субрешением задачи (42). Ана-

логично проверяется, что Φ(s, γ) является вязкостным суперрешением задачи (42), откуда вы-

текает, что функция Φ(s, γ), заданная соотношением Φ(s, γ) = 〈h, u(s, x)〉 = 〈h, y(s)〉, являет-

ся вязкостным решением этой задачи. При этом, по определению, u(s, x) является вязкостным

решением системы (1).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Научно-технологического уни-

верситета “Сириус” и Российского научного фонда (проект 22-21-00016).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи мат. наук. 1938. Т. 5.

С. 5-41.

2. McKean H.P. A class of Markov processes associated with non-linear parabolic equations // Proc. of the

National Academy of Sciences. 1966. V. 56. № 6. P. 1907-1911.

3. Фрейдлин М.И. Квазилинейные параболические уравнения и меры в функциональных пространст-

вах // Функц. анализ и его приложения. 1967. Т. 3. С. 74-82.

4. Belopolskaya Ya., Dalecky Yu. Stochastic Equations and Differential Geometry. Dordrecht; Boston; Lon-

don, 1990.

5. Белопольская Я.И., Далецкий Ю.Л. Исследование задачи Коши для квазилинейных параболиче-

ских систем при помощи марковских случайных процессов // Изв. вузов. Математика. 1978. Т. 12.

С. 6-17.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

1623

6. Белопольская Я.И. Стохастические дифференциальные уравнения. Приложения к математической

физике и финансовой математике. СПб., 2019.

7. Белопольская Я.И. Вероятностная интерпретация метода исчезающей вязкости для систем законов

сохранения и баланса // Мат. заметки. 2021. T. 109. № 3. С. 338-351.

8. Liu W., Yang Y., Lu G. Viscosity solutions of fully nonlinear parabolic system // J. of Math. Anal. and

Appl. 2003. V. 281. № 1. P. 362-381.

9. Huang H. The Cauchy problem for fully nonlinear parabolic systems on manifolds // arXiv:1506.05030.

2015.

10. Pardoux E., Peng S. Adapted solution of a backward stochastic differential equation // Systems & Control

Lett. 1990. V. 14. P. 55-61.

11. Pardoux E., Peng S. Backward SDE’s and quasilinear parabolic PDE’s // Stochastic PDE and Their

Applications. LNCIS, 1992. V. 176. P. 200-217.

12. Pardoux E. Backward stochastic differential equations and viscosity solutions of systems of semilinear

parabolic and elliptic PDEs of second order // Stochastic Analysis and Related Topics. V. 4. Geilo, 1996.

Progr. Probab. V. 42. Boston, 1998. P. 79-127.

13. Khasminskii R.Z., Zhu C., Yin G. Stability of regime-switching diffusions // Stochastic Proc. and their

Appl. 2007. V. 117. P. 1037-1051.

14. Zhu C., Yin G. Hybrid Switching Diffusions: Properties and Applications. New York, 2010.

15. Belopolskaya Ya. Probabilistic counterparts of nonlinear parabolic PDE systems // Modern Stochastics

and Applications. Springer Optimization and its Applications. 2014. V. 90. P. 71-94.

16. Belopolskaya Ya., Woyczynski W. Probabilistic approach to viscosity solutions of the Cauchy problem

for systems of fully nonlinear parabolic equations // J. Math. Sci. 2013. V. 188. № 6. P. 655-672.

17. Talay D., Tomasević M. A new stochastic interpretation of Keller-Segel equations: the 1-D case

// Bernoulli. 2020. V. 26. № 2. P. 1323-1353.

18. Белопольская Я.И. Марковские процессы и уравнения магнитогидродинамики // Зап. науч. семи-

наров ПОМИ. Cер. Вероятность и статистика. 2019. Т. 28. С. 7-34.

19. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. М., 2003.

Университет “Сириус”, г. Сочи,

Поступила в редакцию 22.11.2021 г.

Санкт-Петербургское отделение

После доработки 20.10.2022 г.

Математического института

Принята к публикации 21.10.2022 г.

имени В.А. Стеклова РАН

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022