ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1624-1632

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.955.2

КОРРЕКТНОСТЬ КОМПЛЕКСНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

ДЛЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

В ПРОСТРАНСТВАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ

С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ МЕТРИКАМИ

Изучается задача Коши для общих линейных систем комплексных дифференциальных

уравнений с частными производными в банаховых пространствах целых вектор-функций

с интегральными метриками. Тип экспоненциального роста решения задачи и правой части

системы дифференциальных уравнений по переменной z может зависеть определённым

образом от другой переменной t. Получены необходимые и достаточные условия, при

выполнении которых данная задача является корректно разрешимой в заданной шкале

функциональных пространств. Следовательно, дано описание структуры систем диффе-

ренциальных уравнений, задача Коши для которых является корректной.

DOI: 10.31857/S0374064122120044, EDN: NCBSFO

В предлагаемой работе рассматривается задача Коши для систем комплексных линейных

дифференциальных уравнений с частными производными

∂u

- A(t, z, D)u = h(t, z), t, z ∈ C,

(1)

∂t

u(t₀, z) = ϕ(z),

(2)

где A(t, z, D) - матричный дифференциальный или функциональный оператор.

Решения задачи (1), (2) ищутся в пространствах Харди-Лебега с весом целых по перемен-

ной z и аналитических по переменной t при |t - t₀| < δ вектор-функций u(t, z). Функции

из указанных пространств могут допускать рост экспоненциального типа на бесконечности

по переменной z, при этом тип экспоненциального роста зависит определённым образом от

временной переменной t. Ограничения на порядок q ≥ 1, q ∈ N, и тип роста задаются с

помощью веса.

Ранее в работе [1, с. 48-70] были получены необходимые и достаточные условия коррект-

ности задачи Коши (1), (2) в шкале пространств функций вектор-экспоненциального типа с

супремум-нормами. Оказывается, что условия для корректности задачи Коши в случаях про-

странств с интегральными метриками и с супремум-нормами совпадают.

В статье [2] была рассмотрена задача Коши (1), (2) в шкале пространств функций вектор-

экспоненциального типа в случае, когда тип роста решения по переменной z не зависел от

временной переменной t и были получены необходимые и достаточные условия корректности

в данной шкале функциональных пространств. В настоящей работе при рассмотрении задачи

Коши (1), (2) в шкале пространств функций вектор-экспоненциального типа в случае, когда

тип экспоненциального роста решения зависит определённым образом от временной перемен-

ной t, существенно расширяется класс систем дифференциальных уравнений, для которых

имеет место корректность поставленной задачи Коши за счёт того, что условия на коэффици-

енты дифференциального оператора, необходимые и достаточные для разрешимости в данной

шкале функциональных пространств, получаются более мягкими. В частности, если рассмат-

ривать задачу Коши для комплексного уравнения теплопроводности

∂u

∂²u

- a(t, z)

= h(t, z), u(t₀, z) = ϕ(z),

∂t

∂z²

1624

КОРРЕКТНОСТЬ КОМПЛЕКСНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

1625

то в случае гауссовой шкалы (порядок q роста решения по переменной z равен двум) задача

Коши будет корректной тогда и только тогда, когда a(t, z) ≡ 0, если тип роста решения не

зависит от переменной t, и задача Коши будет корректной тогда и только тогда, когда a(t, z)-

произвольная аналитическая функция, не зависящая от z, если тип роста решения зависит

определённым образом от t.

Отметим, что в работе [3] задача Коши была изучена в шкалах более быстрого роста по

z, чем конечного экспоненциального порядка. А в случае порядка экспоненциального роста

0 < q < 1 вопрос о корректности задачи Коши был исследован в статье [4].

Главное отличие настоящей работы от известных автору исследований по аналитической

разрешимости задачи Коши состоит в том, что, во-первых, в качестве пространств решений ис-

пользуются банаховы пространства с интегральными метриками, и, во-вторых, область опре-

деления решения совпадает с областью определения правой части системы дифференциальных

уравнений.

В этой работе будут получены условия на коэффициенты дифференциального оператора,

выполнение которых равносильно корректной разрешимости задачи Коши (1), (2) в шкале

пространств функций экспоненциального типа по переменной z.

Для установления основного результата отметим несколько лемм об интегральных свой-

ствах аналитических функций, которые, возможно, имеют самостоятельный интерес.

Перейдём к точным формулировкам. Будем пользоваться следующими обозначениями:

t,z ∈ C - комплексные переменные; N ≥ 1, q ≥ 1 - натуральные числа; p ≥ 1, R > 0,

σ > 0 - вещественные числа, m = (m₁,...,m_N) - вектор с натуральными координатами

m_j ≥ 1, j = 1,N.

В области V = G_t × C, где G_t - произвольная область на комплексной плоскости t, рас-

смотрим задачу Коши (1), (2), в которой A(t, z, D) - матрица дифференциальных операторов

конечного порядка, каждый элемент которой действует на скалярную функцию u(t, z) по

правилу

m_ij

∑

A_ij(t,z,D)u =

a^αij(t,z)D^αu(t,z),

α=0

где a^αij (t, z) - аналитические в области V коэффициенты. Здесь и далее через D^αu(t, z) обо-

значаем частную производную функции u(t, z) по переменной z порядка α. Таким образом,

i-е уравнение в системе (1) имеет вид

m_ij

∑∑

∂u_i

(t, z) =

a^αij(t,z)D^αu_j(t,z) + h_i(t,z), i = 1,N.

∂t

j=1 α=0

Введём следующие функциональные пространства: Expm,R,q;p(C) - пространство целых

вектор-функций ϕ(z) = (ϕ₁(z), . . . , ϕ_N (z)), для которых конечна норма

[(∫2π

)1/p

]

∑

∥ϕ∥m,R,q;p =

∥ϕ_j ∥mj ,R,q;p =

sup

|ϕ_j (re^iθ)|^p dθ

(1 + r)-mj exp{-Rr^q} .

0<r<+∞

j=1

Решение задачи Коши (1), (2) будем искать в пространстве ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p)(t₀) целых по

z и аналитических по t при |t - t₀| < δ вектор-функций u(t,z) = (u₁(t,z),...,u_N(t,z)), для

которых конечна норма

∑

∥u∥δ;m,R,σ,q;p =

∥u_j ∥δ;mj ,R,σ,q;p =

j=1

[

((∫2π

)1/p

)]

∑

sup

|u_j (t, re^iθ)|^p dθ

(1 + r)-mj exp{-(R + σ|t - t₀|)r^q}

|t-t₀|<δ

0<r<+∞

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1626

БИРЮКОВ

Заметим, что функции из введённых пространств допускают рост экспоненциального ти-

па на бесконечности по переменной z, при этом тип роста зависит от переменной t. Также

можно показать, используя утверждение из [5, с. 46] о свойстве голоморфных функций ком-

плексного переменного, что введённые функциональные пространства являются банаховыми

пространствами.

Определение. Будемговорить,чтозадача(1),(2)локально корректна в шкале Expm,R,σ,q;p,

если для любой точки t₀ ∈ G_t и любого R > 0 найдутся такие числа δ > 0, σ > 0,

что для любой начальной вектор-функции ϕ ∈ Expm,R,q;p(C) и любой правой части h ∈

∈ ϑ(δ;Expm+q,R,σ,q;p)(t₀) системы (1) существует единственное решение задачи (1), (2) u ∈

∈ ϑ(δ;Expm,R,σ,q;p)(t₀) и справедливо неравенство

∥u∥δ;m,R,σ,q;p ≤ M(∥ϕ∥m,R,q;p + ∥h∥δ;m+q,R,σ,q;p),

где M > 0 - постоянная, ограниченная при ограниченных значениях R.

Сформулируем теперь основной результат настоящей работы в виде следующей теоремы.

Теорема. Задача (1), (2) локально корректна в шкале Expm,R,σ,q;p тогда и только тогда,

когда выполнены следующие условия:

1) a^αij (t, z) - суть полиномы по z;

2) степени этих полиномов удовлетворяют неравенствам

deg a^αij (t, z) ≤ m_i - m_j - α(q - 1) + q,

(3)

причём если правая часть неравенства (3) получается отрицательной, то по определению

считаем a^αij (t, z) ≡ 0, а его степень deg a^αij (t, z) = -∞.

В доказательстве достаточности условий (3) используется следующая лемма об оценке нор-

мы производной целой функции через норму самой функции. Эту и все леммы в дальнейшем

для упрощения записи будем формулировать для случая N = 1.

Лемма 1 [6]. Пусть функция v(z) ∈ Expm,R,q;p(C). Тогда Dv(z) ∈ Expm+(q-1),R,q;p(C),

причём

∥Dv∥m+(q-1),R,q;p ≤ C exp{R2^q}∥v∥m,R,q;p,

где C > 0 - постоянная, зависящая только от m и q.

∫t

Лемма 2 [6]. Пусть функция h ∈ ϑ(δ; Expm+q,R,σ,q;p). Тогда функция

h(τ, z) dτ

∈

∈ ϑ(δ;Expm,R,σ,q;p) и справедливо неравенство

∫



h(τ, z) dτ

≤ 2^q max{δ,1/σ}∥h∥δ;m+q,R,σ,q;p.



δ;m,R,σ,q;p

Докажем сначала достаточность условий (3) основной теоремы 1. Запишем интегро-диф-

ференциальное уравнение, эквивалентное исходной задаче (1), (2) (без ограничения общности

рассматриваем случай t₀ = 0, доказательство для t₀ = 0 сводится к случаю t₀ = 0 формаль-

ным сдвигом t → t - t₀)

∫t

u(t, z) = A(τ, z, D)u(τ, z) dτ + ϕ(z) + h(τ, z) dτ,

(4)

где интегрирование проводится по отрезку, соединяющему точки 0 и t.

Покажем, что оператор

∫^t

(Bu)(t, z) = A(τ, z, D)u(τ, z) dτ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

КОРРЕКТНОСТЬ КОМПЛЕКСНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

1627

определён в пространстве ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p) и является сжимающим, если δ > 0 достаточно

мало, а σ > 0, напротив, достаточно велико. Для этого рассмотрим i-ю компоненту, i = 1, N :

∫t

∑

(Bu)_i(t, z) =

a^αij(τ,z)D^αu_j(τ,z)dτ.

j=1 α=0

Отсюда видно, что справедливо неравенство

|t|

m_ij

∫

∑∑

|(Bu)_i(t, z)| ≤

C(1 + |z|)nij |D^αu_j(τ, z)| d|τ|,

j=1 α=0 0

где n^αij - степень многочлена a^αij(t, z). Поэтому имеет место оценка

m_ij

(∫|t|

)_p

∑∑

|(Bu)_i(t, re^iθ)|^p ≤ C^p(a^αij , N, m_ij )

(1 + r)nij^p

|D^αu_j(τ, re^iθ)| d|τ|

j=1 α=0

Для краткости записи обозначим

(∫2π

)1/p

I ≡

|(Bu)_i(t, re^iθ)|^p dθ

≤

m_ij

(∫2π(∫|t|

)_p

)1/p

∑∑

≤ C(a^αij,N,m_ij)

(1 + r)ni

|D^αu_j (τ, re^iθ)| d|τ| dθ

j=1 α=0

Применив теперь обобщённое неравенство Минковского, получим

|t|

m_ij

∫

(∫2π

)1/p

∑∑

I ≤ C(a^αij,N,m_ij)

(1 + r)ni

|D^αu_j (τ, re^iθ)|^p dθ

d|τ|.

j=1 α=0

Так как вектор-функция u ∈ ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p), то u_j (τ, · ) ∈ Expmj ,R+σ|τ|,q;p(C), а значит, в

силу леммы 1 D^αu_j (τ, · ) ∈ Expmj +|α|(q-1),R+σ|τ|,q;p(C) и справедливо неравенство

(∫2π

)1/p

|D^αu_j (τ, re^iθ)|^p dθ

≤

≤ ∥D^αu_j(τ, · )∥_m

j+|α|(q-1),R+σ|τ|,q;p(1+r)mj+|α|(q-1) exp{(R+σ|τ|)rq}^≤

≤ C(q,m_ij,m)exp{Rm_ij2^q}∥u_j∥δ;m

j,R,σ,q;p(1+r)mj+|α|(q-1) exp{(R + σ|τ|)r^q}.

Возвращаемся к оценке выражения для интеграла I :

m_ij

∑∑

I ≤ C(a^αij,N,m_ij)

(1 + r)nij ×

j=1 α=0

|t|

∫

× C(q,m_ij,m)exp{Rm_ij2^q}∥u_j∥δ;m

j,R,σ,q;p(1+r)mj+|α|(q-1) exp{(R + σ|τ|)r^q}d|τ|.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1628

БИРЮКОВ

Обозначив

m = maxm_ij и использовав условие (3) теоремы, имеем

|t|

m_ij

∫

∑∑

I ≤ C(a^αij,N,m_ij,q,m)exp{R m2^q}

(1 + r)mi+^q

∥u_j ∥δ;mj ,R,σ,q;p

exp{(R + σ|τ|)r^q} d|τ| ≤

j=1 α=0

|t|

∫

≤ C exp{R m2^q}(1 + r)mi+^q∥u∥δ;m,R,σ,q;p exp{(R + σ|τ|)r^q}d|τ|.

Вычислим интеграл, рассмотрев отдельно два случая:

1) 0 < r ≤ 1:

I ≤ C exp{R m2^q}(1 + r)mi2^q∥u∥δ;m,R,σ,q;p exp{(R + σ|t|)r^q}δ;

2) r > 1:

I ≤ C exp{R m 2^q}(1 + r)mi+^q∥u∥δ;m,R,σ,q;p exp{Rr^q}

exp{σ|t|r^q} ≤

σr^q

≤C

exp{R m2^q}(1 + r)mi ∥u∥δ;m,R,σ,q;p exp{(R + σ|t|)r^q}.

Таким образом, для любого r : 0 < r < +∞ и для любого t : |t| < δ справедливо

неравенство

(∫2π

)1/p

(

)

|(Bu)_i(t, re^iθ)|^p dθ

(1 + r)-mi exp{-(R + σ|t|)r^q} ≤ C max δ,

exp{R m2^q}∥u∥δ;m,R,σ,q;p,

где C > 0 - постоянная, зависящая от коэффициентов a^αij , N, m_ij, m, q. Важно отметить,

что C не зависит от R, σ и δ. Из последнего неравенства и следует, что (Bu)_i(t, z) ∈

∈ ϑ(δ;Expmi,R,σ,q;p), а значит, (Bu)(t,z) ∈ ϑ(δ;Expm,R,σ,q;p), причём справедлива оценка

∥Bu∥δ;m,R,σ,q;p ≤ C max(1/σ, δ) exp{R m2^q}∥u∥δ;m,R,σ,q;p.

Выберем σ достаточно большим и δ достаточно малым так, чтобы

C max(1/σ,δ)exp{R m2^q} ≤ 1/2.

Тогда оператор B будет сжимающим в пространстве ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p). Если ϕ∈Expm,R,q;p(C),

то включение ϕ ∈ ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p) очевидно. Далее, если h ∈ ϑ(δ; Expm+q,R,σ,q;p), то вклю-

∫t

чение

h(τ, z) dτ ∈ ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p) следует из леммы 2. Поэтому существует единственное

решение уравнения (4), а значит, и задачи (1), (2) u ∈ ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p), и для него справедли-

ва оценка из приведённого выше определения локальной корректности задачи Коши (1), (2).

Тем самым достаточность условий (3) теоремы доказана.

Замечание. Из проведённого доказательства следует, что “время жизни” δ > 0 комплекс-

ного решения u(t, z) зависит от R непрерывно. В частности, при ограниченных значениях

R ≤ R₀ постоянные δ > 0, σ > 0 можно выбрать не зависящими от R.

Докажем теперь необходимость условий (3), т.е. будем считать, что задача Коши (1), (2) яв-

ляется локально корректной в шкале Expm,R,σ,q;p. Покажем, что в этом случае a^αij(t, z) - суть

полиномы по z, степени которых удовлетворяют неравенствам (3). В доказательстве необхо-

димости условий (3) также будем использовать леммы о свойствах аналитических функций.

Вначале сформулируем лемму, являющуюся обобщением известной теоремы Лиувилля.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

КОРРЕКТНОСТЬ КОМПЛЕКСНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

1629

Лемма 3 [6]. Пусть v(z) - целая функция и существует число M > 0 такое, что для

любого r > 0 справедливо неравенство

(∫2π

)1/p

|v(re^iθ)|^p dθ

≤ M(1 + r)^m.

Тогда v(z) - полином, степень которого не превосходит m.

Лемма 4 [6]. Пусть функция u(t, z) ∈ ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p). Тогда функция

u^′t(0,z) ∈ Expm+q,R,q;p(C)

и справедливо неравенство

∥u∥δ;m,R,σ,q;p.

∥u^′t(0, · )∥m+q,R,q;p ≤max{1,σ}eδ

Лемма 5 [2]. Функция v(z) = zm+s exp{Rz^q}, s - целое, принадлежит пространству

Expm,R,q;p(C), если s ≤ q/(2p), и не принадлежит Expm,R,q;p(C), если s > q/(2p).

Вернёмся теперь к доказательству необходимости условий (3) теоремы. Считаем, что за-

дача (1), (2) локально корректна в шкале Expm,R,σ,q;p(C). Сначала установим, что коэффици-

енты a^αij (t, z) - полиномы по z, используя метод математической индукции, а затем уточним

степени этих полиномов.

Положим t₀ = 0, R ∈ (0, 1] - произвольное. Из условия локальной корректности найдём

δ > 0, σ > 0, которые от выбора R не зависят. Зафиксируем j = 1,N - любое. В качестве

начальной вектор-функции возьмём ϕ(z) = (ϕ₁(z), . . . , ϕ_N (z)), где ϕ_i(z) ≡ 0 при i = j,

ϕj (z) = 1. Заметим, что ϕ ∈ Expm,R,q;p(C), причём ∥ϕ∥m,R,q;p ≤ (2π)1/p. В качестве правой

части системы (1) положим h(t, z) ≡ 0. Для решения u ∈ ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p) задачи Коши

(1), (2) с выбранной начальной вектор-функцией ϕ и правой частью системы h справедливы

равенства

∂u_i

a0ij(0,z) =

(0, z), i, j = 1, N .

∂t

Полагая z = re^iθ, где r = R-1/q, в силу леммы 4 будем иметь следующие неравенства:

(∫2π

)1/p



_∂u



|a0ij (0, re^iθ)|^p dθ

≤

(0, · )

(1 + r)mi+^q exp{Rr^q} ≤



∂t

m_i+q,R,q;p

max{1, σ}

≤

e^δ∥u∥δ;m,R,σ,q;p(1 + r)mi+^q exp{Rr^q} ≤

max{1, σ}

≤

e^δM(2π)1/p(1 + r)mi+^q exp{Rr^q} ≤ M₁(1 + r)mi+^q,

где M₁ > 0 - постоянная, которая от выбора R не зависит, i, j = 1, N . Поэтому из леммы 3

следует, что все функции a0ij(0, z) - полиномы, степени которых не превосходят m_i + q.

Предположим теперь, что для всех α = 0, k - 1 a^αij (0, z) - полиномы и имеют место нера-

венства deg a^αij(0, z) ≤ m_i + q + α. Докажем, что a^kij (0, z) также полиномы степени не выше

m_i + q + k, k ∈ N.

Сначала рассмотрим случай k ≤ m_j. Полагаем t₀ = 0, R ∈ (0, 1] - произвольное. Из усло-

вия локальной корректности задачи Коши (1), (2) найдём δ > 0, σ > 0, которые от выбора

R ∈ (0,1] не зависят. Теперь начальную вектор-функцию определим по правилу

ϕ(z) = (0, . . . , 0, ϕ_j (z), 0, . . . , 0), ϕ_j (z) = z^k.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1630

БИРЮКОВ

Заметим, что ∥ϕ∥m,R,q;p ≤ (2π)1/p. В качестве правой части системы (1) снова возьмём вектор-

функцию h(t, z) ≡ 0. Для соответствующего решения задачи Коши (1), (2) вектор-функции

u ∈ ϑ(δ;Expm,R,σ,q;p) справедливы равенства

∑

∂u_i

(0, z) =

a^αij(0,z)k(k - 1)··· (k - α + 1)z^k-α + a^kij(0,z)k!, i = 1,N.

(5)

∂t

α=0

В силу предположения математической индукции для всех α таких, что 0 ≤ α ≤ k - 1,

имеют место оценки

|a^αij (0, z)| ≤ C(a^αij)(1 + |z|)mi+q+α.

Тогда, используя утверждение леммы 4 и обобщённое неравенство Минковского, получаем

(∫2π

)1/p



_∂u



|a^kij (0, re^iθ)|^p dθ

≤

(0, · )

(1 + r)mi+^q exp{Rr^q} + C(1 + r)mi+q+k,



∂t

m_i+q,R,q;p

где C > 0 - постоянная, зависящая только от a^αij, m_ij и p. Положим в последнем неравенстве

r = R-1/q. Из оценки в утверждении леммы 4 следует, что

(∫2π

)1/p

|a^kij (0, re^iθ)|^p dθ

≤ M₁(1 + r)mi+q+k,

где M₁ > 0 - постоянная, которая от выбора R не зависит. Следовательно, для любого r ≥ 1

справедливо неравенство

(∫2π

)1/p

|a^kij (0, re^iθ)|^p dθ

≤ M₁(1 + r)mi+q+k,

которое в силу леммы 3 и означает, что все функции a^kij (0, z) - полиномы степени не выше

m_i + q + k при k ≤ m_j.

Пусть теперь k ≥ m_j + 1. Задаём произвольное значение R ∈ (0, 1]. Так как задача Коши

(1), (2) локально корректна, то найдутся константы δ > 0, σ > 0, которые от выбора R не

зависят. Начальную вектор-функцию определим по правилу

ϕ(z) = (0, . . . , 0, ϕ_j (z), 0, . . . , 0), ϕ_j (z) = z^k,

а в правой части системы (1) положим h(t,z) ≡ 0. Как показывают вычисления и оценки

интегралов, и в этом случае ϕ ∈ Expm,R,q;p(C) и справедливо неравенство

∥ϕ∥m,R,q;p ≤ (2π)1/p

R(k-mj)^/q

для любого r > 0, где C > 0 зависит только от k, m_j и q.

Решение задачи Коши (1), (2) с данной начальной вектор-функцией и нулевой правой

частью удовлетворяет равенствам (5). Применяя к равенствам (5) обобщённое неравенство

Минковского и утверждение леммы 4, получаем следующие оценки для всех i, j = 1, N :

(∫2π

)1/p

|a^kij (0, re^iθ)|^p dθ

≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

КОРРЕКТНОСТЬ КОМПЛЕКСНОЙ ЗАДАЧИ КОШИ

1631

max{1, σ}e

C(p, k, m_j , q)

≤

(1 + r)mi+^q exp{Rr^q} + C(p, a^αij , m_ij )(1 + r)mi+q+k.

R(k-mj)^/q

В последнем неравенстве положим r = R-1/q. Теперь имеем

(∫2π

)1/p

|a^kij (0, re^iθ)|^p dθ

≤ M₁(1 + r)mi+q+k,

где M₁ > 0 - постоянная, которая от выбора R не зависит. Поэтому в силу леммы 3 все

функции a^kij (0, z), i, j = 1, N , являются полиномами степени не выше mi + q + k и для

случая k ≥ m_j + 1.

Таким образом, установлено, что все коэффициенты дифференциального оператора сис-

темы (1) являются полиномами по переменной z. Более точно, все функции a^αij (0, z) имеют

следующий вид:

a^αij(0,z) = ai,j,α0 + ai,j,α1z + ai,j,α2z² + ... + a^i,j,αm

zmi+q+α, i,j = 1,N, α = 0,m_ij.

i+q+α

Уточним теперь степени этих полиномов. Вновь полагаем t₀ = 0, значения R будем по-

следовательно перебирать: R = 1, m_ij + 1. В качестве начальной вектор-функции возьмём

ϕR(z) = (0, . . . , 0, ϕRj (z), 0, . . . , 0), ϕRj (z) = zmj +[q/(2p)] exp{Rz^q}.

Заметим, что в силу леммы 5 вектор-функция ϕ_R(z) ∈ Expm,R,q;p(C). В качестве правой части

системы (1) возьмём h(t, z) ≡ 0.

Так как задача Коши (1), (2) является локально корректной в шкале Expm,R,σ,q;p(C), то

существует единственное решение этой задачи u_R(t, z) ∈ ϑ(δ; Expm,R,σ,q;p), для которого спра-

ведливо равенство

m_ij

∑

∂u_Ri

(0, z) =

a^αij(0,z)D^αϕ_Rj(z).

∂t

α=0

Вычислив производные функций ϕ_Rj (z), получим следующие равенства для любого α =

= 0, m_ij :

D^αϕ_Rj(z) = (Rq)^αzmj+[q/(2p)]+α(q-1) exp{Rz^q} + ...

(записано только слагаемое, которое содержит в качестве множителя переменную z в макси-

мальной степени, т.е. zmj +[q/(2p)]+α(q-1)). Следовательно, решение задачи Коши (1), (2) удо-

влетворяет соотношению

∂u_Ri

(0, z) = zmj +[q/(2p)]-mij exp{Rz^q} ×

∂t

m_ij

∑

[(ai,j,α0 + ai,j,α1z + . . . + a^i,j,αm

zmi+q+α)((Rq)^αzmij +α(q-1) + ...)].

(6)

i+q+α

α=0

В силу леммы 4 функция, стоящая в левой части равенства (6), принадлежит пространству

Expmi+q,R,q;p(C), поэтому функция, стоящая в правой части (6), тоже должна принадлежать

данному классу. Исходя из этого, получим условия на коэффициенты многочленов a^αij (0, z).

Отметим, что в правой части равенства (6) под знаком суммы стоит многочлен, степень

которого не превосходит m_i + m_ij + m_ijq + q. Будем задавать значения параметра s от m_i +

+m_ij(q+1)+q до m_i+q-mj +mij +1 (включительно), последовательно уменьшая значение

параметра на единицу. При каждом значении s в силу леммы 5 получаем систему линей-

ных алгебраических уравнений относительно коэффициентов многочленов a^αij (0, z) следую-

щего вида:

m_ij

∑

(Rq)^αa^i,j,αs-m

= 0, R = 1, m_ij + 1.

ij -α(q-1)

α=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1632

БИРЮКОВ

Определитель матрицы этой системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю,

так как является определителем Вандермонда, а значит, сама система имеет только триви-

альное решение. Поэтому справедливы равенства a^i,j,αs-m

= 0 при любых α = 0,m_ij,

ij -α(q-1)

s ≥ m_i + q - m_j + m_ij + 1 или, что то же самое, a^i,j,αk = 0 для k ≥ m_i - m_j - α(q - 1) + q +

+ 1. Последние равенства и означают, что deg a^αij(0, z) ≤ m_i - m_j - α(q - 1) + q, i, j = 1, N ,

α = 0,m_ij. Необходимость условий (3) доказана.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 19-11-

00033).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дубинский Ю.А. Задача Коши в комплексной области. М., 1996.

2. Бирюков А.М. Необходимые и достаточные условия разрешимости комплексной задачи Коши в

классах функций вектор-экспоненциального типа // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 8.

С. 1055-1064.

3. Chin Ngok Min. Linear differential infinite degree operator and its applications // Acta Math. Vietnamica.

1987. V. 12. № 1. P. 101-124.

4. Одиноков О.В. О корректности задачи Коши для операторов с гладкими символами// Изв. АН

Армянской ССР. 1988. Т. 23. № 1. С. 65-75.

5. Владимиров В.С. Методы теории функций многих комплексных переменных. М., 1964.

6. Бирюков А.М. О корректности аналитической задачи Коши в классах целых функций конечного

порядка // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 10. С. 1336-1350.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 19.06.2022 г.

“Московский энергетический институт”

После доработки 07.10.2022 г.

Принята к публикации 21.10.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022