ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1633-1644

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ

СМЕШАННОГО ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

С НЕХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИЕЙ ИЗМЕНЕНИЯ

Изучены прямая и обратная задачи для модельного уравнения смешанного параболо-ги-

перболического типа. Прямая задача представляет собой аналог задачи Трикоми для этого

уравнения с нехарактеристической линией изменения типа. В обратной задаче неизвест-

ным является переменный коэффициент при младшем члене в гиперболическом уравнении.

Для его определения исследована обратная задача, когда относительно решения, определя-

емого в гиперболической части области прямой задачи, задаётся условие переопределения

на характеристиках: на одной - значение нормальной производной, а на другой - значе-

ние самой функции. Доказаны теоремы однозначной разрешимости поставленных задач в

смысле классического решения.

DOI: 10.31857/S0374064122120056, EDN: NCCOHF

1. Постановка задачи. Пусть задана конечная открытая область Ω_T ⊂ R², ограниченная

при y > 0 отрезками AB, BC, CD, где A(0, 0), B(0, 1), C(T, 1), D(T, 0), T - фиксирован-

ное положительное число, а при y < 0 - характеристиками AE (x+y = 0) и DE (x-y = T )

уравнения

{

u_x - u_yy = 0,

y > 0,

Lu =

(1)

u_xx - u_yy - q(x)u = 0,

y < 0.

Уравнение (1) - смешанного параболо-гиперболического типа. Для него линия изменения типа

y = 0 не является характеристикой (параболическое вырождение первого рода [1, с. 258]).

Прямая задача. Найти в области Ω_T решение уравнения (1), удовлетворяющее следую-

щим начальным и краевым условиям:

u|_AB = ϕ(y), u|_BC = 0,

(2)

u|_AE = ψ(x), x ∈ [0, T/2],

(3)

где ϕ(y), ψ(x) - заданные функции.

Обозначим

Ω1T := Ω_T

^⋂ {0 < y ≤ 1}, Ω2T := Ω_T ⋂ {-T/2 ≤ y < 0}.

Определение. Решением задачи (1)-(3) назовём функцию u(x,y) из класса

C¹(Ω_T )

⋂ C1,2x,y(Ω1T )^⋂ C²(Ω2T ),

удовлетворяющую условиям (2), (3) и обращающую уравнение (1) в тождество.

В обратной задаче предполагается неизвестным коэффициент q(x) уравнения (1) и тре-

буется определить его по следующим дополнительным условиям относительно решения пря-

мой задачи, заданным на характеристиках AE и DE :



∂u



= ψ₁(x), x ∈ [0,T/2], u|_DE = ψ₂(x), x ∈ [T/2,T],

(4)



∂n

где n = (1, 1) - вектор нормали к AE, внутренней по отношению к области Ω2T , а ψ_i(x),

i = 1,2, - заданные функции.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1634

ДУРДИЕВ

Относительно заданных функций будем предполагать выполненными следующие условия:

(B1): (B1)₁ ϕ(y) ∈ C³[0, 1], (B1)₂ ψ(x) ∈ C²[0, T/2];

(B2) : (B2)₁ ϕ(0) = ψ(0), (B2)₂ ϕ^′(0) = ϕ^′′(0) = 0, (B2)₃ ϕ(1) = ϕ^′(1) = ϕ^′′(1) = 0,

(B2)₄

ψ^′(0) = 0, (B2)5 |ψ(x)| ≥ ψ0 > 0, ψ0 = const, x ∈ [0, T/2];

(B3): (B3)₁ ψ₁(x) ∈ C¹[0, T/2], (B3)₂ ψ₂(x) ∈ C²[T/2, T ];

(B4) : (B4)₁ ψ(T/2) = ψ₂(T/2), (B4)₂ ψ₁(T/2) = ψ′2(T/2), (B4)3 |ψ2(x)| ≥ ψ00 > 0,

ψ₀₀ = const, x ∈ [T/2,T].

Важность рассмотрения уравнений смешанного типа, когда уравнение в одной части облас-

ти имеет параболический тип, а в другой - гиперболический, впервые была указана И.М. Гель-

фандом в 1959 г. [2]. Изучение электрических колебаний в проводах приводит к задаче для

уравнения смешанного параболо-гиперболического типа. В однородной среде, в случае её ма-

лой проводимоcти, напряжённость электромагнитного поля удовлетворяет волновому уравне-

нию, в случае же сравнительно большой проводимости, когда можно перенебречь токами сме-

щения по сравнению с токами проводимости, упомянутая величина удовлетворяет уравнению

теплопроводности (см. [3, с. 443-447]). Другим примером может служить явление движения

жидкости в канале, окруженном пористой средой; так, в канале гидродинамическое давление

жидкости удовлетворяет волновому уравнению, а в пористой среде - уравнению фильтрации,

которое в данном случае совпадает с уравнением диффузии [4, с. 74-86]. В этом случае на

границе канала выполняются некоторые условия согласования. Уравнения такого типа также

возникают и во многих других областях естествознания.

Начально-краевые задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического типа изу-

чались многими авторами в областях, где гиперболическая часть представляет собой треуголь-

ник, ограниченный характеристиками y + x = 0, y - x = 1 и характеристической линией

изменения типа x = 0 [5-11] (см. также библиографию в [8, 9]). Методы решения прямых и

обратных задач, связанные с поиском решения начально-краевой задачи для уравнений пара-

боло-гиперболического типа и неизвестной правой части (линейная задача) этого уравнения

в прямоугольной области, были предложены в монографии [12] (см. также библиографию в

ней). Среди работ по исследованию начально-краевых задач для уравнений параболо-гипербо-

лического типа с нехарактеристической линией изменения типа t = 0 отметим работы [13-16],

в которых исследовались задачи с локальными и нелокальными краевыми условиями.

Насколько нам известно, обратная коэффициентная задача для уравнения смешанного па-

раболо-гиперболического типа исследуется в данной работе впервые. Отметим, что различные

обратные задачи для классических типов дифференциальных уравнений в частных производ-

ных второго порядка изучены достаточно полно (см., например, монографии [17-22] и приве-

дённую там обширную библиографию).

Изучение обратных задач требует исследования дифференциальных свойств решений пря-

мых задач. Особенно ярко это проявляется в коэффициентных обратных задачах (нелиней-

ных задачах), где для получения теорем о разрешимости необходимо внимательно следить

за точной зависимостью дифференциальных свойств решений прямой задачи от гладкости

коэффициентов и других данных задачи.

2. Исследование прямой задачи. В этом пункте будет исследована прямая задача (1)-

(3). Для этого докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (B1), (B2) и q(x) ∈ C[0, T ]. Тогда существует в

области Ω_T единственное решение прямой задачи (1)-(3).

Доказательство. Предположим, что функция q(x) известна и q(x) ∈ C[0, T ]. Введём

∂

обозначения τ(x) := u(x, 0), ν(x) :=

u(x, 0). Тогда решение уравнения

∂y

u_xx - u_yy = F(x,y)

в области Ω2T , согласно формуле Даламбера, записывается в виде

∫

u(x, y) =

[τ(x + y) + τ(x - y)] -

ν(s)ds -

F (ξ, η) dη dξ.

(5)

x+y

x+yy+|ξ-x|

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ

1635

Рассмотрим уравнение (1) в области Ω2T . Перенесём член, содержащий произведение

q(y)u, в правую часть равенства и, использовав формулу (5), получим интегральное урав-

нение для функции u(x, y):

∫

u(x, y) =

[τ(x + y) + τ(x - y)] -

ν(s)ds -

q(ξ)

u(ξ, η) dη dξ.

(6)

x+y

y+|ξ-x|

С учётом (3) и τ(0) = ψ(0) из равенства (6) получим

∫

ψ(x) =

[ψ(0) + τ(2x)] -

ν(s)ds -

q(ξ)

u(ξ, η) dη dξ, x ∈ [0, T/2].

(7)

-x+|ξ-x|

Продифференцировав это равенство, имеем

(

)

∫

τ^′(x) = ψ^′

+ ν(x) + q(ξ)u(ξ,-x + ξ)dξ, x ∈ [0,T].

(8)

x/2

Равенства (7) и (8) можно условно назвать основными соотношениями для функций τ(x)

и ν(x), полученными из гиперболической части области.

Введём обозначения

Gk(x - ξ, y, η) =

[ (

)

(

)]

∑

(y - η + 2n)²

(y + η + 2n)²

√

exp

+ (-1)^k exp -

k = 1,2.

π(x - ξ)n=-∞

4(x - ξ)

Используя функцию Грина G₁(x - ξ, y, η) первой начально-краевой задачи для уравнения

теплопроводности в области Ω1T , решение уравнения (1) с условиями (2) и u|_AD = τ(x)

представим в виде

∫1

∫

u(x, y) = G₁(x, y, η)ϕ(η) dη + G1η(x - ξ, y, 0)τ(ξ) dξ.

(9)

Отметим, что функции G_k(x - ξ, y, η), k = 1, 2, имеют эквивалентные представления

∑

G₁(x - ξ,y,η) = 2

exp[-(nπ)²(x - ξ)] sin(nπy) sin(nπη),

n=1

∑

G₂(x - ξ,y,η) = 2

exp[-(nπ)²(x - ξ)] cos(nπy) cos(nπη)

n=1

и являются бесконечно дифференцируемыми в области Ω1T [3, с. 200-204].

Найдём производные правой части (9), используя легко проверяемые соотношения

G1y(x - ξ,y,η) = -G2η(x - ξ,y,η),

G1η(x - ξ,y,η) = -G2y(x - ξ,y,η), G2ξ(x - ξ,y,η) = -G2yy(x - ξ,y,η).

(10)

Проинтегрировав по частям, получим

∫

G1y(x,y,η)ϕ(η)dη = - G2η(x,y,η)ϕ(η)dη =

∫1

= G₂(x,y,0)ϕ(0) - G₂(x,y,1)ϕ(1) + G₂(x,y,η)ϕ^′(η)dη.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

4^∗

1636

ДУРДИЕВ

Используя (10) и интегрируя по частям, вычислим производную по y второго слагаемого в

правой части формулы (9):

∫

∂

G1η(x - ξ,y,0)τ(ξ)dξ = -

G2y(x - ξ,y,0)τ(ξ)dξ =

∂y

∫x

∫

= G2ξ(x - ξ,y,0)τ(ξ)dξ = -G₂(x,y,0)τ(0) - G₂(x - ξ,y,0)τ^′(ξ)dξ.

С учётом этих соотношений дифференцируем теперь (9) по y и полагаем y = 0. Так как

(∂/∂y)u(x, 0) = ν(x), то ввиду условий согласования (B2)₁ находим соотношение между τ(x)

и ν(x), привнесённое из параболической части:

∫¹

∫

ν(x) = G₂(x, 0, η)ϕ^′(η) dη - G₂(x - ξ, 0, 0)τ^′(ξ) dξ, x ∈ [0, T ].

(11)

Заметим, что для функции G₂(x - ξ, 0, 0) имеет место представление

G₂(x - ξ,0,0) =

(

)

∑

∑ (

n²

√

exp

√

exp

(12)

π(x - ξ)n=-∞

x-ξ

π(x - ξ)

π(x - ξ)n=1

x-ξ

Отсюда следует, что функция G₂(x - ξ, 0, 0) имеет слабо полярную особенность.

Исключив функцию τ(x) в (6) с помощью равенства (7), а τ^′(x) в (11) с помощью (8),

получим систему интегральных уравнений для функций u(x, y), ν(x):

∫

u(x, y) = u₀(x, y) +

ν(s)ds +

q(ξ)

u(ξ, η) dη dξ +

-(x+y)/2+|ξ-(x+y)/2|

∫

q(ξ)

u(ξ, η) dη dξ -

q(ξ)

u(ξ, η) dη dξ,

(13)

-(x-y)/2+|ξ-(x-y)/2|

x+y

y+|ξ-x|

∫x

∫

ν(x) = ν₀(x) - G₂(x - ξ, 0, 0)ν(ξ) dξ - G₂(x - ξ, 0, 0) q(η)u(η, -ξ + η) dη dξ,

(14)

ξ/2

где

⁽x+y⁾

⁽x-y⁾

u₀(x,y) = ψ

+ψ

- ψ(0),

(15)

∫x

∫

ν₀(x) = - G₂(x - ξ,0,0)ψ^′(ξ/2)dξ + G₂(x,0,η)ϕ^′(η)dη.

(16)

Уравнения (13) и (14) представляют собой систему линейных интегральных уравнений

вольтеровского типа второго рода для определения неизвестных функций u(x, y), ν(x) с

непрерывными свободными членами и ядрами, согласно (12) имеющими слабо полярную осо-

бенность. Из теории интегральных уравнений известно, что система уравнений (13) и (14)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ

1637

разрешима в классе непрерывных в Ω2T функций. Это решение может быть найдено, напри-

мер, методом последовательных приближений с учётом ν(0) = 0 в силу lim

G₂(x,0,η) = 0

x→0

для η ∈ (0, 1). Гладкость решения зависит от гладкости функций ϕ(y), ψ(x), входящих в

свободные члены уравнений (13) и (14).

В силу сказанного выше и выполнения условий (B1) выражение, стоящее в формуле (6)

справа, имеет по x, y частные производные первого порядка. Поэтому и левая часть этого

равенства, т.е. функция u(x, y), также имеет производные первого порядка в области Ω2T :

u_x(x,y) =

[τ^′(x + y) + τ^′(x - y)] +

[ν(x + y) - ν(x - y)] -

∫

q(ξ)u(ξ, y + |ξ - x|) sign (ξ - x) dξ,

(17)

x+y

u_y(x,y) =

[τ^′(x + y) - τ^′(x - y)] +

[ν(x + y) + ν(x - y)] +

∫

q(ξ)u(ξ, y + |ξ - x|) dξ,

(18)

x+y

где τ^′(·) определяется по формуле (8).

Предполагая далее существование производной у функции ν(x), на основании условий (2),

(3) и (B1) из (14) получим для ν^′(x) уравнение

∫x

[

∫

]

∂

ν^′(x) =

ν₀(x) - G₂(x - ξ,0,0) q(ξ)u(ξ,0) -

q(ξ/2)ψ(ξ/2) + q(η)u_y(η, -ξ + η) dη dξ -

∂x

ξ/2

∫x

- G₂(x - ξ,0,0)ν^′(ξ)dξ.

(19)

Согласно формуле (16) вычислим

∫

∂

ν₀(x) = - G₂(x - ξ,0,0)ψ^′′(ξ/2)dξ + G2x(x,0,η)ϕ^′(η)dη.

(20)

∂x

Учитывая равенство

∫

G2x(x,0,η)ϕ^′(η)dη = G2ηη(x,0,η)ϕ^′(η)dη,

с помощью интегрирования по частям на основе условий (B1), (B2)₂ и (B2)₃ находим

∫

G2ηη(x,0,η)ϕ^′(η)dη = G₂(x,0,η)ϕ^′′′(η)dη.

С учётом этого запишем (20) в виде

∫

∂

ν₀(x) = -

G₂(x - ξ,0,0)ψ^′′(ξ/2)dξ + G₂(x,0,η)ϕ^′′′(η)dη.

(21)

∂x

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1638

ДУРДИЕВ

Отсюда и из непрерывности функций u(x, y) и u_y(x, y) в области Ω2T заключаем, что сво-

бодный член интегрального уравнения (19) является непрерывной функцией на отрезке [0, T ].

Таким образом, уравнение (19) разрешимо в класс∫ непрерывных функций. Обозначая реше-

ние уравнения (20) через N(x), положим ν(x) =

N (ξ) dξ. Нетрудно убедиться в том, что

функция ν(x) удовлетворяет уравнению (15) и принадлежит классу C¹[0, T ].

Ранее полученные равенства (17), (18) показывают, что u_x(x, y), u_y(x, y) являются непре-

рывными функциями в области Ω2T . В силу ν(x) ∈ C¹[0, T ] имеем τ(x) ∈ C²[0, T ]. Отсюда

вытекает, что правые части равенств (17), (18) также имеют по x, y частные производные

первого порядка и, следовательно, функция u(x, y) имеет непрерывные в Ω2T производные

второго порядка. В дальнейшем нам понадобятся выражения для этих производных:

u_xx(x,y) =

[τ^′′(x + y) + τ^′′(x - y)] +

[ν^′(x + y) - ν^′(x - y)] + q(x)u(x, y) -

∫

[q(x + y)u(x + y, 0) + q(x - y)u(x - y, 0)] +

q(ξ)u_x(ξ, y + |ξ - x|) dξ,

(22)

x+y

u_xy(x,y) =

[τ^′′(x + y) - τ^′′(x - y)] +

[ν^′(x + y) + ν^′(x - y)] -

∫

[q(x + y)u(x + y, 0) - q(x - y)u(x - y, 0)] -

q(ξ)u_x(ξ, y + |ξ - x|) sign (ξ - x) dξ,

(23)

x+y

u_yy(x,y) =

[τ^′′(x + y) + τ^′′(x - y)] +

[ν^′(x + y) - ν^′(x - y)] -

∫

[q(x + y)u(x + y, 0) + q(x - y)u(x - y, 0)] +

q(ξ)u_x(ξ, y + |ξ - x|) dξ.

(24)

x+y

Формулы (22)-(24) показывают, что {u_xx, u_yx, u_yy } ∈ C(Ω2T ).

Итак, по найденным функциям ν(x) ∈ C¹[0, T ], u(x, y) ∈ C²(Ω2T ) функция τ(x) находит-

ся из формулы (7). Тогда функция u(x, y), построенная по формуле (9) как решение уравнения

(1) с условиями (2) и u|_AD = τ(x), принадлежит классу C^x,y(Ω1T ). Таким образом, найден-

ные в Ω2T решение u(x, y) и функция (9) в области Ω1T в совокупности определяют решение

прямой задачи (1)-(3) в области Ω_T . Теорема доказана.

3. Исследование обратной задачи. Пусть выполнены условия (B2). Предположим,

что неизвестная функция q(x), x ∈ [0, T ], имеет вид q(x) = q₁(x), x ∈ [0, T/2], q(x) = q₂(x),

x ∈ [T/2,T], причём q₁(T/2) = q₂(T/2). Записав первое условие в (4) в виде

u_x(x,-x) + u_y(x,-x) = ψ₁(x), x ∈ [0,T/2],

и продифференцировав его, имеем

u_xx(x,-x) - u_yy(x,-x) = ψ′1(x), x ∈ [0,T/2].

(25)

Используя формулы (22) и (24) при y = -x, из (25) находим функцию q₁(x):

ψ′1(x)

q₁(x) =

x ∈ [0,T/2].

(26)

ψ(x)

Дифференцируя теперь два раза второе равенство в (4), получаем

u_xx(x,x - T) + 2u_xy(x,x - T) + u_yy(x,x - T) = ψ′′2(x), x ∈ [T/2,T].

(27)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ

1639

С учётом формул (22)-(24) при y = x - T из (27) следует равенство

ψ′′2(x) = 2τ^′′(2x - T) + 2τ^′(2x - T) - 2q(2x - T)u(2x - T,0) + q(x)u(x,x - T) +

∫x

q(ξ)u_y(ξ, 2x - T - ξ), x ∈ [T/2, T ].

(28)

2x-T

Вычислив производную от обеих частей (8) и заменив переменную x на 2x - T, исключим

τ^′′(2x - T) в правой части (28). Разрешая при этом получающееся уравнение относительно

q₂(x) и используя (3), (26), а также второе условие в (4), находим

4ν^′(2x - T )

q₂(x) =

[ψ′′2(x) - ψ^′′(x - T/2) + ψ′1(x - T/2)] -

ψ₂(x)

∫

]

q(ξ)u_y(ξ, -2x + T + ξ) dξ +

q(ξ)u_y(ξ, 2x - T - ξ) dξ , x ∈ [T/2, T ].

(29)

ψ₂(x)

x-T/2

2x-T

Из условия (3) и первого соотношения в (4) также следует равенство

u_y(x,-x) = (1/2)[ψ₁(x) - ψ′1(x)].

В силу lim

G₂(x,0,η) = 0 для η ∈ (0,1) из (19) и (21) находим ν^′(0) = 0. Используя эти

x→0

соображения и (В3), получим условие для заданных функций (при выполнении которого имеет

место равенство q₁(T/2) = q₂(T/2)):

∫

ψ′1(ξ)

ψ′1(T/2) = ψ′′2(T/2) - ψ^′′(0) + ψ′1(0) -

[ψ₁(ξ) - ψ′1(ξ)] dξ.

(30)

ψ(ξ)

Исключив в правой части (29) функцию ν^′(2x - T ) с помощью (19) и отделив свободный

от неизвестных член, имеем

∫

q₂(x) = q₀₂(x) -

G₂(2x - T - ξ,0,0)ν^′(ξ)dξ +

ψ₂(x)

∫

[

∫

]

G₂(2x - T - ξ,0,0) q(ξ)ϕ(ξ) + q(η)u_y(η,-ξ + η)dη dξ +

ψ₂(x)

ξ/2

∫

]

q(ξ)u_y(ξ, -2x + T + ξ) dξ +

q(ξ)u_y(ξ, 2x - T - ξ) dξ , x ∈ [T/2, T ],

(31)

ψ₂(x)

x-T/2

2x-T

где

∫1

q₀₂(x) =

[ψ′′2(x) - ψ^′′(x - T/2) + ψ′1(x - T/2)] -

G₂(2x - T,0,η)ϕ^′′′(η)dη +

ψ₂(x)

∫

G₂(2x - T - ξ,0,0)[ψ^′′(ξ/2) - ψ′1(ξ/2)]dξ, x ∈ [T/2,T].

(32)

ψ₂(x)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1640

ДУРДИЕВ

Соотношения (26) и (31) объединим в одно уравнение

∫

4θ(x - T/2)

q(x) = q₀(x) -

G₂(2x - T - ξ,0,0)ν^′(ξ)dξ +

ψ₂(x)

∫

[

∫

]

4θ(x - T/2)

G₂(2x - T - ξ,0,0) q(ξ)ϕ(ξ) + q(η)u_y(η,-ξ + η)dη dξ +

ψ₂(x)

ξ/2

∫

]

4θ(x - T/2)

q(ξ)u_y(ξ, -2x + T + ξ) dξ +

q(ξ)u_y(ξ, 2x - T - ξ) dξ , x ∈ [0, T ], (33)

ψ₂(x)

x-T/2

2x-T

где θ(t) - функция Хевисайда: θ(t) = 1, t ≥ 0, θ(t) = 0, t < 0;

ψ′1(x)

q₀(x) = θ(T/2 - x)

+ θ(x - T/2)q₀₂(x), x ∈ [0,T].

(34)

ψ(x)

Нетрудно заметить, что если выполнено условие

ψ′1(T/2) = ψ′′2(T/2) - ψ^′′(0) + ψ′1(0),

(35)

то функция q₀(x) является непрерывной на отрезке [0, T ]. Тогда, как следует из (30), для

того чтобы q(x) ∈ C[0, T ] достаточно выполнения условия

∫

ψ′1(ξ)

[ψ₁(ξ) - ψ′1(ξ)] dξ = 0.

(36)

ψ(ξ)

В дальнейшем будем считать выполненными условия (35) и (36).

Замечание 1. Условиям (B2)₄, (B2)₅, (B3), (B4), (36) и (37), в частности, удовлетво-

ряют функции

ψ(x) = exp(x²), ψ₁(x) = exp(x),

⁽T²)

⁽T⁾

T²

ψ₂(x) = exp(x) +

+ exp

- exp

Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (B1)-(B4), (35), (36). Тогда для достаточно ма-

лых T существует единственное решение q(x) ∈ C[0, T ] обратной задачи (1)-(4).

Доказательство. Введём в рассмотрение вектор функцию, определив её компоненты с

помощью неизвестных функций:

p(x, y) = [p₁(x, y), p₂(x), p₃(x)]^т := [u_y(x, y), ν^′(x), q(x)]^т,

^т - знак транспонирования. Тогда, используя очевидные соотношения

∫x

∫

ν(x) = p₂(ξ) dξ, u(x, y) = ψ(x) + p₁(x, η) dη

(37)

-x

и исключая сначала функцию τ^′(x) в (18) с помощью (8), а затем ν(x) и u(x, y) в получа-

ющемся уравнении и в (20) с помощью (37), запишем уравнения (18), (19), (33) в векторно-

операторном виде

p(x, y) = Ap(x, y), (x, y) ∈ Ω2T ,

(38)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ

1641

где A = [A₁, A₂, A₃]^т и A_i, i = 1, 2, 3, определяются равенствами

∫

[

∫

]

A₁p(x,y) = p₀₁(x,y)+ ∈ tx+y0p₂(ξ)dξ +1

p₃(ξ) ψ(ξ) +

p₁(ξ,η)dη dξ -

(x+y)/2

-ξ

∫

[

∫

]

}

∫

[

∫

]

−

p₃(ξ) ψ(ξ) +

p₁(ξ,η)dη dξ

p₃(ξ) ψ(ξ) +

p₁(ξ,η)dη dξ,

(x-y)/2

-ξ

x+y

-ξ

∫x

∫

A₂p(x) = p₀₂(x) - G₂(x - ξ,0,0)p₂(ξ)dξ - G₂(x - ξ,0,0) ×

[

(

∫

)

∫

]

× p₃(ξ) ψ(ξ) + p₁(ξ,η)dη

p₃(ξ/2)ψ(ξ/2) + p₃(η)p₁(η,-ξ + η)dη dξ,

−ξ

ξ/2

∫

4θ(x - T/2)

A₃p(x) = p₀₃(x) -

G₂(2x - T - ξ,0,0)p₂(ξ)dξ +

ψ₂(x)

∫

[

∫

]

4θ(x - T/2)

G₂(2x - T - ξ,0,0) p₃(ξ)ϕ(ξ) + p₃(η)p₁(η,-ξ + η)dη dξ +

ψ₂(x)

ξ/2

∫

]

4θ(x - T/2)

p₃(ξ)p₁(ξ,-2x + T + ξ)dξ +

p₃(ξ)p₁(ξ,2x - T - ξ)dξ .

ψ₂(x)

x-T/2

2x-T

Здесь через функции p₀₁, p₀₂ и p₀₃ обозначены выражения

[

⁽x+y⁾

⁽x-y^)]

∂

p₀₁(x,y) :=

ψ^′

-ψ^′

p₀₂(x) :=

ν₀(x), p₀₃(x) := q₀(x).

(39)

∂x

Далее нам необходимы оценки интегралов с участием функции G₂, входящей в уравнение

(38). Ниже проведём оценки по одному из однотипных интегралов. Для этого, использовав

легко проверяемые соотношения

∫

∑

√π

G₂(x,y,η)dη = 1,

e-n2z² ≤

z > 0,

n=1

получим неравенства

∫



G₂(x,0,η)ϕ^′′′(η)dη

max |ϕ^′′′(y)|,

(40)



≤

y∈[0,1]

 ∫



∫

(

)



∑

ψ^′′(ξ/2)

n²



G₂(x - ξ,0,0)ψ^′′(ξ/2)dξ

√

exp

dξ ≤



⁼

√π

x-ξn=-∞

x-ξ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1642

ДУРДИЕВ

∫x

(

))

∑

n²

≤

|ψ^′′(x)|

√

1+2

exp

dξ ≤

√πx∈[0,T

/2]

x-ξ

n=1



∫



(

)



√

dξ



≤ max

|ψ^′′(x)|^

T max

|ψ^′′(x)|.

(41)

≤

x∈[0,T/2]

√π

√x - ξ+x

√π⁺

x∈[0,T/2]

Обратимся к уравнению (38). Очевидно, что оператор A переводит функции p(x, y) ∈

∈ C(Ω2T) в функции, также принадлежащие пространству C(Ω2T). Покажем теперь, что

при достаточно малом T оператор A осуществляет сжатое отображение шара S(p₀, r) ⊂

⊂ C(Ω2T) радиуса r с центром в точке p₀(x,y) = (p₀₁(x,y),p₀₂(x),p₀₃(x)) в себя. Тем самым

мы покажем, что уравнение (38) имеет в области Ω2T при достаточно малом T единственное

непрерывное решение, удовлетворяющее неравенству ∥p - p0∥T ≤ r. Норму p естественно

здесь определить равенством

{

}

∥p∥_T = max

max

|p₁(x, y)|, max

|p₂(x)|, max |p₃(x)|

(x,y)∈Ω2T

x∈[0,T ]

Очевидно, что для элементов p ∈ S(p₀, r) имеет место оценка

∥p∥_T ≤ ∥p₀∥_T + r =: R,

где

{

}

∥p₀∥_T = max

max

|p₀₁(x, y)|, max

|p₀₂(x)|, max |p₀₃(x)|

(x,y)∈Ω1T

x∈[0,T ]

Из соотношений (39), (21), (34) и (32) с учётом (40), (41) для ∥p₀∥_T следует оценка

{

(

√

)

√

∥p₀∥_T ≤ max max

|ψ^′(x)|, max

|ϕ^′′′(y)| +

max

|ψ^′′(x)|,

x∈[0,T/2]

y∈[0,1]

√π⁺

x∈[0,T/2]

[

max

|ψ′1(x)| +

max

|ψ′′2(x)| + 2 max |ϕ^′′′(y)| +

ψ₀

x∈[0,T/2]

ψ₀₀

x∈[T/2,T ]

y∈[0,1]

(

))

]}

√

+ 1+2

max

(|ψ^′′(x)| + |ψ′1(x)|)

√π⁺

x∈[0,T/2]

Теперь покажем, что для некоторых малых T оператор A является на шаре S(p₀, r)

оператором сжатия.

Действительно, пусть p ∈ S(p₀, r). Тогда для всех точек (x, y) ∈ Ω2T , учитывая соотно-

шения (40), (41), получаем неравенства

[

(

)]

|A₁p - p₀₁| ≤

1+3

max

|ψ^′(x)| + RT RT,

x∈[0,T/2]

(

)(

)

√

3RT

√

|A₂p - p₀₂| ≤

max

|ψ(x)| +

√π⁺

x∈[0,T/2]

(

)(

√

)

√

|A₃p - p₀₃| ≤

1 + max

|ψ(x)| +

ψ₀₀

√π⁺

x∈[0,T/2]

Обозначим через T^∗ наибольшее значение T, для которого правые части этих неравенств

будут меньше чем R. Тогда для T ≤ T^∗ имеет место включение Ap ∈ S(p₀, r). Остаётся

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ КОЭФФИЦИЕНТА УРАВНЕНИЯ

1643

показать, что оператор A сжимает расстояние между элементами шара S(p₀, r). Для доказа-

тельства этого возьмём любые два элемента p¹, p² ∈ S(p₀, r) и оценим норму разности между

их образами Ap¹, Ap². Обозначим компоненты элементов p¹, p² через p1i, p2i, i = 1, 2, 3.

При оценке ∥Ap¹ - Ap²∥_T воспользуемся неравенствами

|p1kp1s - p2kp2s| ≤ |p1k - p2k||p1s| + |p2k||p1s - p2s| ≤ 2R∥p¹ - p²∥_T , k, s = 1, 2, 3,

которые имеют место для произвольных p¹, p² ∈ S(p₀, r). В результате имеем оценки

[

(

)]

|A₁p¹ - A₁p²| ≤ 1+3

max

|ψ^′(x)| + 2RT T ∥p¹ - p²∥_T ,

x∈[0,T/2]

(

)(

√

⁾√

3RT

|A₂p¹ - A₂p²| ≤

max

|ψ(x)| +

T ∥p¹ - p²∥_T ,

√π⁺

x∈[0,T/2]

(

)(

√

⁾√

|A₃p¹ - A₃p²| ≤

1 + max

|ψ(x)| + T R + 3R

T ∥p¹ - p²∥_T ,

ψ₀₀

√π⁺

x∈[0,T/2]

откуда следует, что

∥Ap¹ - Ap²∥ ≤

∥p¹ - p²∥_T ,

T^∗

и оператор A при T ∈ (0, T∗) осуществляет сжатое отображение шара S(p0, r) на себя.

Тогда, согласно принципу сжимающих отображений, уравнение (38) определяет единственное

решение, принадлежащее этому шару. Теорема доказана.

Замечание 2. По найденным p₁(x, y), p₂(x) функции ν(x), u(x, y) находятся по фор-

мулам (37). Тогда из формулы (8) определим τ^′(x) (q(x) = p₃(x) - известна). Далее τ(x)

вычисляется по формуле

∫x

τ (x) = ψ(0) + τ^′(ξ) dξ,

а функция u(x, y) в области Ω1T определяется из соотношения (9). Построенная таким об-

разом функция u(x, y) в областях Ω1T и Ω2T будет классическим решением прямой задачи

в смысле указанного выше определения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. и др. Линейные уравнения математической физики.

Справочная математическая библиотека. М., 1964.

2. Гельфанд И.М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук.

1959. Т. 14. № 3 (87). С. 3-19.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1953.

4. Лейбензон Л.Л. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.; Л., 1947.

5. Золина Л.А. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболического типа // Журн. вычис-

лит. математики и мат. физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 991-1001.

6. Бжихатлов Х.Г., Нахушев А.М. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа // Докл.

АН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 261-264.

7. Елеев В.А. О некоторых краевых задачах со смещением для одного уравнения смешанного пара-

боло-гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 1. С. 22-29.

8. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент,

1979.

9. Джураев Т.Д., Сопуев А., Мамажанов А. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболиче-

ского типа. Ташкент, 1986.

10. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся

гиперболической частью // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 72-78.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1644

ДУРДИЕВ

11. Сабитов К.Б. К теории уравнений параболо-гиперболического типа со спектральным параметром

// Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25. № 1. С. 117-126.

12. Сабитов К.Б. Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического

типа. Уфа, 2015.

13. Капустин Н.Ю. Об обобщённой разрешимости задачи Трикоми для параболо-гиперболического

уравнения // Докл. АН СССР. 1984. Т. 274. № 6. С. 1294-1298.

14. Елеев В.А. Аналог задачи Трикоми для смешанных параболо-гиперболических уравнений с неха-

рактеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. № 1. С. 56-63.

15. Елеев В.А. Обобщённая задача Трикоми для смешанных гиперболо-параболических уравнений

// Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. № 1. С. 41-53.

16. Кальменов Т.Ш., Садыбеков М.А. О задаче типа Франкеля для уравнения смешанного параболо-

гиперболического типа // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 2. С. 298-304.

17. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики

и анализа. М., 1980.

18. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984.

19. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М., 1994.

20. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics.

Monogr. Textbooks Pure Appl. Math. V. 231. New York, 1999.

21. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск, 2009.

22. HasanoǦlu A. Hasanov, Romanov V.G. Introduction to Inverse Problems for Differential Equations.

Cham, 2017.

Бухарское отделение Института математики

Поступила в редакцию 15.05.2022 г.

имени В.И. Романовского АН Республики Узбекистан,

После доработки 15.09.2022 г.

Бухарский государственный университет,

Принята к публикации 21.10.2022 г.

Узбекистан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022