ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1645-1653

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.222

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

НЕРАВЕНСТВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Пусть A - линейный равномерно эллиптический оператор второго порядка, определён-

ный на функциях n переменных. Изучается множество K (A; B) решений неравенства

A(u) ≥ 0, удовлетворяющих краевому условию типа Неймана Bu = 0. Устанавливает-

ся оценка вида ∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ C(w)(u, w), в которой H²¹(Ω) - пространство Никольского,

(· , · ) - скалярное произведение в L2(Ω), w - неотрицательная ненулевая функция из

пространства Шварца D(Ω). Если u_j ∈ K (A, B) (j = 1, 2, . . .) и последовательность

{u_j} сходится в D^′(Ω) к функции u, то u ∈ H²¹(Ω) и {u_j} сходится к u в пространстве

Соболева W1p(Ω), где p(n - 1) < n.

DOI: 10.31857/S0374064122120068, EDN: NCEKSJ

Введение. В работе изучается множество K (A; B) решений дифференциального нера-

венства Au ≥ 0, удовлетворяющих краевому условию типа Неймана Bu = 0. Здесь A -

равномерно эллиптический оператор второго порядка. Неравенство Au ≥ 0 означает, что u

есть решение уравнения Au = f, где f - мера. Неприятной особенностью эллиптических кра-

евых задач является то, что их теория не применима в пространстве C(Ω) и в сопряжённом

к нему пространстве M(Ω). В частности, для подобных пространств не выполняется нера-

венство коэрцитивности, играющее первостепенную роль при исследовании граничных задач

в пространствах L_p(Ω) (1 < p < ∞). Решающее значение в преодолении возникающих здесь

трудностей имеют точные по порядку особенностей оценки функции Грина [1] и теоремы о

полном наборе гомеоморфизмов [2, с. 9].

В п. 1 приводятся сведения о различных классах функций, основное внимание уделяется

пространствам Соболева W^kp(Ω) [3] и Никольского Hk1(Ω) [4, 5], напоминаются определения

пространства Шварца D(Ω) и сопряжённого к нему пространства распределений D^′(Ω) [6].

В п. 2 содержится доказательство оценки

∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ C∥Au; M(Ω)∥

при ряде предположений относительно краевой задачи типа Неймана Au = f, Bu = 0. Глав-

ные предположения - единственность решения и достаточная гладкость данных задачи.

Основные результаты работы приведены в п. 3: для функций класса K (A; B) устанавли-

ваются обратные неравенства вида ∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ CΛ(u), где C - не зависящая от функции u

из множества K (A; B) постоянная, Λ - линейный функционал. Если функция Грина для рас-

сматриваемой краевой задачи положительна, то функционал Λ можно определить равенством

∫

Λ(u) = u(x)w(x) dx,

в котором w - неотрицательная и ненулевая функция класса D(Ω).

1. Функциональные пространства. Всюду далее Rⁿ - действительное n-мерное ев-

клидово пространство с нормой |x|; Ω - ограниченная область в пространстве Rⁿ (n > 1);

L_p(Ω) - пространство Лебега, как обычно, эквивалентные относительно n-мерной меры Ле-

бега mes_n функции отождествляются; 1 ≤ p ≤ ∞; норма в пространстве L_p(Ω) вводится

стандартным образом.

1645

1646

КЛИМОВ

Для натурального числа k и q ∈ [1, ∞) через W^kq(Ω) обозначается совокупность функ-

ций из L_q(Ω), производные в смысле Соболева [3, 4] которых до порядка k включительно

принадлежат пространству L_q(Ω). Норма в W^kq(Ω) определяется равенством

∑

∥u; W^kq(Ω)∥ =

∥D^αu; L_q(Ω)∥.

|α|≤k

Здесь и всюду ниже |α| = α₁ + . . . + α_n - порядок мультииндекса α = (α₁, . . . , α_n), D^αu =

= Dα11 · · · Dnn u, Di = ∂/∂xi.

Напомним определение пространства Никольского Hk1(Ω). Обозначим через Ω_η совокуп-

ность точек из Ω, отстоящих от границы области Ω на расстояние большее, чем η. Функция

f : Ω → R принадлежит H¹¹(Ω), если она суммируема по Ω и выполняется условие Зигмунда

∥f(· + h) - 2f(·) + f(· - h); L₁(Ω_η)∥ ≤ M|h|,

|h| < η.

(1)

Класс H¹¹(Ω) образует пространство Банаха, если ввести норму

∥f; H¹¹(Ω)∥ = ∥f; L₁(Ω)∥ + M_f ,

где M_f - наименьшая константа, с которой выполняется неравенство (1) для всех η, для

которых Ω_η имеет смысл. Для натурального k > 1 пространство Hk1(Ω) состоит из функций

класса Wk-11(Ω), все производные которых порядка k - 1 принадлежат пространству H¹¹(Ω).

В Hk1(Ω) вводится норма

∑

∥f; Hk1(Ω)∥ = ∥f; Wk-11(Ω)∥ +

∥D^αf; H¹¹(Ω)∥.

|α|=k-1

Хорошо известны определения пространств Никольского Hk1(Ω) и для нецелых значений па-

раметра k [4, с. 180].

Приведём два вспомогательных утверждения о пространствах Никольского.

Предложение 1 [5]. Пусть Ω - ограниченная область в Rⁿ с липшицевой границей ∂Ω.

Тогда из всякой последовательности {u_s} функций с ограниченными нормами

∥u_s; Hr1(Ω)∥ ≤ M

(2)

можно выделить подпоследовательность {usk } со следующими свойствами:

1) {usk } сходится в любой метрике, более слабой чем метрика Hr1(Ω), к некоторой функ-

ции u из пространства Hr1(Ω);

2) для этой функции u выполняется неравенство ∥u; Hr1(Ω)∥ ≤ M, где константа M

та же, что и в (2).

Предложение 1 называют теоремой об ослабленной компактности пространств Николь-

ского. Под метрикой, более слабой чем метрика в Hr1(Ω), можно понимать метрику простран-

ства Hr11(Ω) при 0 < r1 < r или метрику пространства L1(Ω).

Предложение 2 [7]. Пусть X - ограниченная область в Rⁿ, F : X ×X → R - функция,

непрерывная по совокупности переменных вне диагонали x = y вместе со всеми частными

∂²F

производными

второго порядка. Пусть для любых x = y имеют место неравенства

∂x_i∂x_j



∂2F(x,y)

|F (x, y)| ≤



i, j = 1, n.



≤

|x - y|n-1

∂x_i∂x_j

|x - y|n+1

Тогда совокупность функций F_y(·) = F ( · , y) (y ∈ X ) есть ограниченное множество в

пространстве Никольского H¹¹(X ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

1647

Для компактного множества K ⊂ Rⁿ обычным образом [8, с. 261; 9, с. 63] вводится банахово

пространство C(K) непрерывных на K действительных функций. Норма в C(K) определя-

ется равенством

∥u; C(K)∥ = max |u(x)|.

x∈K

Через rca (K) обозначается множество всех регулярных счётно-аддитивных функций μ, за-

данных на σ-алгебре B всех борелевских множеств из K и имеющих конечную полную

вариацию |μ|(K) < ∞. Сопряжённое к C(K) пространство (C(K))^∗ состоит из линейных

функционалов Λ, допускающих представление

∫

Λ(ϕ) = ϕ(x) dμ(x), ϕ ∈ C(K),

и обозначаемых через μ_Λ [8, 9]. Если функционал Λ положителен, то его норма равна

∥Λ; (C(K))^∗∥ = Λ(1) = μ(K),

соответствующий ассоциированный функционал μ_Λ называют мерой. Далее пространство

(C(K))^∗ обозначается символом M(K), его элементы называются зарядами. Совокупность

положительных функционалов обозначим через M₊(K). Любой функционал Λ из простран-

ства M(K) представим в виде разности двух положительных функционалов: Λ = Λ₁ - Λ₂;

при этом

∥Λ; M(K)∥ = ∥Λ₁; M(K)∥ + ∥Λ₂; M(K)∥.

Функционал Λ назовём дискретным, если он допускает представление

∑

Λ= c_iδyi,

i=1

где коэффициенты c_i - действительные числа, y_i - различные элементы компакта K; здесь

и далее δ_y - единичная мера Дирака, сосредоточенная в точке y. Норма дискретного функ-

ционала

∥Λ; M(K)∥ = |c₁| + . . . + |c_N |;

положительность Λ равносильна неотрицательности коэффициентов c_i. Для любого положи-

тельного функционала Λ существует последовательность дискретных положительных функ-

ционалов Λ_i, слабо сходящаяся к Λ, т.е.

lim

Λ_i(z) = Λ(z) для любой z ∈ C(K).

i→∞

Поскольку ∥Λ_i; M(K)∥ = Λ_i(1), ∥Λ; M(K)∥ = Λ(1), то

lim

∥Λ_i; M(K)∥ = ∥Λ; M(K)∥.

i→∞

Пусть C₊(K) - конус неотрицательных функций класса C(K), u₀ - ненулевая функция из

C₊(K). Линейный оператор Q, действующий в пространстве C(K), назовём u₀-положитель-

ным, если для каждой ненулевой функции w из C₊(K) существуют такие положительные

числа τ₁ и τ₂, что справедливы неравенства τ₁u₀ ≤ Qw ≤ τ₂u₀. Это понятие в более широком

смысле вводилось в монографии [4, с. 60].

Ниже в основном будет рассматриваться случай, когда компакт K есть замыкание Ω

ограниченной области Ω с липшицевой границей ∂Ω. В этом случае пространство Соболева

W1q(Ω) при q > n компактно вложено в пространство C(Ω). Отсюда следует компактность

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1648

КЛИМОВ

оператора вложения пространства M(Ω) в сопряжённое к W1q(Ω) пространство W-1p(Ω) (1 <

< p < n/(n - 1)). Негативное пространство Соболева W-1p(Ω) состоит из распределений z,

допускающих представление

∑

D^αz_α,

|α|≤1

где z_α ∈ L_p(Ω) при всех |α| ≤ 1. Вложение M(Ω) в W-1p(Ω) при p(n - 1) < n является

усиленно непрерывным в следующем смысле: если последовательность функционалов {Λ_j }

класса M(Ω) слабо сходится к функционалу Λ, то она сильно сходится к Λ в метрике прост-

ранства W-1p(Ω) (это также следует из теорем вложения).

Через D(Ω) далее обозначается линейное пространство всех финитных в области Ω беско-

нечно дифференцируемых функций, наделённое обычной топологией. Непрерывный линейный

функционал Λ: D(Ω) → R называют обобщённой функцией или распределением. Линейное то-

пологическое пространство всех распределений обозначают символом D^′(Ω) [6].

2. Оценки обобщённых решений задачи типа Неймана. Пусть Ω - ограниченная

область в Rⁿ с границей ∂Ω, Ω = Ω + ∂Ω - её замыкание. Будет изучаться краевая задача

типа Неймана

(

∑

∂

∂u

Au := -

a_ij(x)

a_i(x)

+ a(x)u = f,

(3)

∂x_i

∂x_j

∂x_i

i,j=1

i=1

∂u

Bu :=

(x) + β(x)u(x) = 0 (x ∈ ∂Ω).

(4)

∂ν

Предполагаем, что определяемый равенством (3) оператор A равномерно эллиптичен:

∑

a_ij(x)t₁t_j ≥ γ

t2i (γ > 0),

i,j=1

i=1

причём a_ij(x) = a_ji(x); ∂u/∂ν - производная по внешней конормали; β(x) ≥ 0. Для упроще-

ния будем считать границу ∂Ω и коэффициенты операторов A и B бесконечно дифферен-

цируемыми:

∂Ω ∈ C^∞, a_ij ∈ C^∞, a_i ∈ C^∞, a ∈ C^∞, β ∈ C^∞.

(5)

Задачу (3), (4) называют невырожденной, если при f = 0 она имеет только нулевое ре-

шение. Невырожденность задачи (3), (4) влечёт за собой её однозначную разрешимость для

широкого класса правых частей. Если, например, f ∈ L_p(Ω) и 1 < p < ∞, то единственное

решение u задачи (3), (4) принадлежит пространству Соболева W2p(Ω) и допускает инте-

гральное представление

∫

u(x) = G(x, y)f(y) dy,

где G(x, y) - функция Грина задачи (3), (4).

Обозначим через ψ(t; k) (t > 0, k ∈ R) функцию, определяемую соотношениями: ψ(t; k) =

= t^k, если k < 0; ψ(t;0) = 1 + (- ln t)₊; ψ(t;k) = 1, если k > 0.

Предложение 3 [1]. Функция Грина G(x, y) задачи (3), (4) удовлетворяет следующим

соотношениям:

|G^γβ (x, y)| ≤ cψ(|x - y|; 2 - n - |β| - |γ|),

где под G^γβ(x,y) понимается D^xD^yG(x,y);

∑

|G^γβ (x, y₁)| - |G^γβ (x, y₂)| ≤ c|y₁ - y₂|^ν

ψ(|x - y_i|; 2 - n - β - γ - ν),

i=1

здесь 0 < ν < 1, c - некоторая постоянная.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

1649

Предложение 3 характеризует свойства гладкости функции Грина. Оно оказывается по-

лезным при изучении решений краевой задачи (3), (4) в случае, когда f ∈ M(Ω). Из теорем

о полном наборе гомеоморфизмов следует, что если f есть элемент негативного простран-

ства Соболева W-1p(Ω), сопряжённого к пространству Соболева W1p(Ω)

(1 < p < ∞), то

обобщённое решение u = T f задачи (3), (4) принадлежит пространству W1p(Ω). Определён-

ный таким образом оператор T : W-1p(Ω) → W1p(Ω) непрерывен. Если 1 < p < n/(n - 1), то

q = p/(p - 1) > n. Пространство Соболева W1q (Ω) при q > n компактно вложено в прост-

ранство C(Ω). Отсюда следует, что пространство M(Ω) компактно вложено в пространство

W-1p(Ω). Оператор T : M(Ω) → W1p(Ω) (1 < p < n/(n - 1)) вполне непрерывен.

Усилим это утверждение, используя предложение 3. Справедливо равенство

Tδ_y = G_y = G(·,y),

(6)

которое можно принять в качестве определения функции Грина задачи (3), (4).

Лемма. Множество функций {G_y} ограничено в пространстве H²¹(Ω):

∥G_y ; H²¹(Ω)∥ ≤ R₁,

постоянная R₁ не зависит от y из Ω.

Доказательство. Функция F (x, y) = D_αG(x, y)

(|α| ≤ 1) в силу предложения 3 удо-

влетворяет оценкам, фигурирующим в предложении 2; в рассматриваемом случае X = Ω.

Лемма доказана.

Следствие. Справедлива оценка ∥T δ_y; H²¹(Ω)∥ ≤ R₁ для любого y ∈ Ω.

Теорема 1. Для любого заряда f из пространства M(Ω) имеет место оценка

∥T f; H²¹(Ω)∥ ≤ R₁∥f; M(Ω)∥.

(7)

Доказательство. Пусть вначале f - дискретный положительный функционал и

∑

f = c_iδyi,

(8)

i=1

где c₁, . . . , c_N - положительные числа, y₁, . . . , y_N - различные элементы из Ω. Имеет место

равенство

∑

∥f; M(Ω)∥ = f(1) =

c_i.

(9)

i=1

В силу (8) верно равенство

∑

Tf =

c_iTδyi .

i-=1

Из (8) и (9) вытекают соотношения

∑

∥T f; H²¹(Ω)∥ ≤

R₁c_i = R₁∥f;M(Ω)∥,

i=1

влекущие за собой оценку (7) в рассматриваемом случае.

Если f ∈ M₊(Ω), то существует последовательность дискретных положительных функци-

оналов f_k, слабо сходящаяся к функционалу f. Верно равенство

f (z) = lim

f_k(z) при любом z ∈ C(Ω).

(10)

k→∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1650

КЛИМОВ

Равенство (10) влечёт за собой сходимость f_k → f в метрике пространства W-1p(Ω), поэтому

последовательность u_k = T f_k сходится в пространстве W1p(Ω) к функции u = T f. В силу

уже доказанного справедливы оценки

∥u_k; H²¹(Ω)∥ ≤ R₁∥f_k; M(Ω)∥.

Так как ∥f_k; M(Ω)∥ = f_k(1),

∥f; M(Ω)∥ = f(1), то из (10) следует равенство

lim

∥f_k; M(Ω)∥ = ∥f; M(Ω)∥.

k→∞

Из теоремы Никольского (предложение 1) вытекают неравенства

∥T f; H²¹(Ω)∥ = ∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ lim

∥u_k; H²¹(Ω)∥ ≤ R₁ lim

∥f_k; M(Ω)∥ = R₁∥f; M(Ω)∥.

k→∞

Таким образом, оценка (7) установлена для положительного функционала f.

В общем случае функционал f из M(Ω) допускает представление f = f¹ - f², в котором

f¹, f² - положительные функционалы и

∥f; M(Ω)∥ = ∥f¹; M(Ω)∥ + ∥f²; M(Ω)∥.

Справедливы соотношения

∥T f; H²¹(Ω)∥ ≤ ∥T f¹; H²¹(Ω)∥ + ∥T f²; H²¹(Ω)∥ ≤

≤ R₁∥f¹;M(Ω)∥ + R₁∥f²;M(Ω)∥ = R₁∥f;M(Ω)∥.

Теорема доказана.

Неравенство (7) эквивалентно оценке

∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ R₁∥Au; M(Ω)∥

(11)

для решений краевой задачи (3), (4). Действительно, если Au = f, то u = T f, верно и

обратное утверждение. Оценки (7), (11) можно рассматривать как варианты неравенства ко-

эрцитивности.

3. Обратные неравенства. Вместе с краевой задачей (3), (4) будем рассматривать и

сопряжённую к ней, которая заключается в отыскании решения уравнения

(

)

∑

∂

∂v

∂

A^∗v := -

a_ij(x)

a_i(x)v

+ a(x)v = w(x),

(12)

∂x_i

∂x_j

∂x_i

i,j=1

i=1

удовлетворяющего краевому условию

∂v

B^∗v :=

+ b(x)v = 0 (x ∈ ∂Ω).

(13)

∂ν

Известно, что при выполнении условий гладкости (5) функция b(x) принадлежит классу

C^∞(∂Ω); предположение b(x) ≥ 0 может не выполняться.

Невырожденность задачи (3), (4) эквивалентна невырожденности задачи (12), (13); спра-

ведливо равенство

∫

v = T^∗w = G_∗(x,y)w(y)dy,

в котором G_∗(x, y) = G(y, x) и G(x, y) - функция Грина задачи (3), (4).

Предложение 4. При некотором действительном λ краевая задача

A^∗v = λv, B^∗v = 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

1651

имеет единственное положительное решение v₁, нормированное условием

min{v₁(x), x ∈ Ω} = 1.

(14)

Предложение 4 следует из результатов работ [10, 11].

Обозначим через K (A; B) множество T M₊(Ω). Таким образом, если u ∈ K (A; B), то

Au - положительный функционал, μ = μ_Au - ассоциированная мера. Из условия (14) и тео-

ремы 1 вытекают неравенства

∫

v₁(x)dμ(x) = (Au)(v₁) ≥ ∥Au;M(Ω)∥ ≥

∥u; H²¹(Ω)∥.

(15)

R₁

С другой стороны,

Au(v₁) = (u, A^∗v₁)_L

(16)

2(Ω) =λ(u,v1⁾L2(Ω)^.

Объединение (15), (16) влечёт за собой следующее утверждение.

Теорема 2. Для функций u из множества K (A; B) имеет место оценка

∫

∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ λR₁ u(x)v₁(x) dx.

(17)

Более сильные обратные неравенства можно получить в случае, когда функция Грина

G(x, y) задачи (3), (4) положительна. Простое достаточное условие положительности G(x, y) -

неравенство a(x) > 0.

Предложение 5 [11]. Для положительности функции Грина G(x, y) задачи (3), (4) необ-

ходимо и достаточно, чтобы существовала неотрицательная функция v из C²(Ω), для ко-

торой справедливы неравенства

Av ≥ 0, Bv ≥ 0,

∥Av; C(Ω)∥ + ∥Bv; C(∂Ω)∥ > 0;

при этом сужение оператора T^∗ на C(Ω) u₀-положительно с u₀(x) = 1 .

Теорема 3. Пусть функция Грина задачи (3), (4) положительна. Тогда для любой нену-

левой и неотрицательной функции w из пространства D(Ω) найдётся такая постоянная

C(w), что выполняется неравенство

∫

∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ C(w) u(x)w(x) dx для любой u ∈ K (A; B).

(18)

Доказательство. Пусть функция w удовлетворяет условиям теоремы и v = T^∗w. Тогда

v есть классическое решение краевой задачи (12), (13). В предположениях теоремы сужение

T^∗ на C(Ω) есть u₀-положительный оператор, поэтому v(x) ≥ τ₁ для любых x ∈ Ω, τ₁ -

положительная постоянная.

Если u ∈ K (A, B), то μ = Au есть мера. Тогда имеют место равенства

∫

v(x) dμ(x) = (Au)(v) = (u, A^∗v)_L

(19)

2(Ω) =u(x)w(x)dx

и справедливы соотношения

∫

R₁

∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ R₁∥Au; M(Ω)∥ ≤

v(x) dμ(x) =

u(x)v(x) dx.

(20)

τ₁

Здесь последовательно использовались оценка (11), неравенство v(x) ≥ τ₁ и равенства (19). Из

соотношений (20) вытекает неравенство (18) с постоянной C(w) = R₁/τ₁. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

5^∗

1652

КЛИМОВ

Оценка (18) показывает, что функциональный класс K (A; B) является достаточно узким

подмножеством пространства Никольского H²¹(Ω). Основываясь на (18), можно установить

нелинейные теоремы вложения [12; 13, c. 155], означающие, грубо говоря, что топологии, неэк-

вивалентные в объемлющих линейных пространствах, оказываются эквивалентными при их

сужениях на класс K (A; B). Приведём лишь один результат в данном направлении.

Теорема 4. Пусть функция Грина задачи (3), (4) положительна. Пусть {u_j } - последо-

вательность функций из K (A; B), сходящаяся к функции u в топологии D^′(Ω). Тогда:

1) последовательность {u_j} ограничена в пространстве H²¹(Ω) и сходится к функции u

в метрике пространства W1p(Ω) (1 ≤ p < n/(n - 1));

2) функция u принадлежит пространству Никольского H²¹(Ω) и справедлива оценка

∥u; H²¹(Ω)∥ ≤ lim

∥u_j ; H²¹(Ω)∥.

(21)

j→∞

Доказательство. Пусть w - ненулевая и неотрицательная функция из D(Ω). Сходимость

последовательность {u_j } к функции u в топологии D^′(Ω) влечёт за собой ограниченность

числовой последовательности

∫

u_j(x)w(x)dx.

Отсюда в силу (18) вытекает ограниченность последовательности {u_j } в пространстве H²¹(Ω).

Оператор вложения пространства H²¹(Ω) в пространство Соболева W1p(Ω) при p(n - 1) < n

вполне непрерывен. Сходимость u_j → u в D^′(Ω) и ограниченность последовательности {u_j }

в пространстве H²¹(Ω) влекут за собой сходимость u_j → u в метрике пространства W1p(Ω).

Включение u ∈ H²¹(Ω) и неравенство (21) следуют из предложения 1. Теорема доказана.

Кратко остановимся на возможных модификациях результатов работы. Предположение

(5) можно заменить условиями достаточной гладкости коэффициентов операторов A, B и

границы области Ω. Точные по порядку особенностей оценки функции Грина для эллиптиче-

ских краевых задач установлены при весьма необременительных предположениях о гладкости

данных [1]. Определённые трудности возникают в случае, когда правые части рассматрива-

емых уравнений являются элементами негативного пространства Соболева. Однако и здесь

имеются возможности некоторого ослабления условия (5) (см. [2, с. 222]). Подобный резерв

потенциальных обобщений в данной работе не используется.

В случае задачи Дирихле для эллиптического оператора A второго порядка известны усло-

вия положительной обратимости. Вместе с тем в теоремах 2-4 условие типа Неймана нельзя

заменить условием Дирихле. Приведём простой пример, относящийся к функциям одного пе-

ременного.

Пусть Ω = (0, 1), Au = -u^′′, класс K (A; B) совпадает с классом вогнутых на Ω функ-

ций, удовлетворяющих однородному условию Дирихле u(0) = u(1) = 0. Рассмотрим семейство

принадлежащих множеству K (A; B) функций

}

^{x

1-x

u_t(x) = min

(0 < t < 1).

1-t

Как нетрудно видеть, справедливы соотношения

∫1

(

)₂

0 ≤ u_t(x) ≤ 1, γ(t) :=

u_t (x)dx =

t(1 - t)

Функция γ(t) неограничена на интервале (0, 1), поэтому оценка (17) в данном случае неверна.

В работах [11, 14] доказаны ослабленные варианты теорем 2-4 для задачи Дирихле. Ста-

тья [7] содержит внутренние оценки решений эллиптических неравенств. В теореме 4 прост-

ранство W1p(Ω) можно заменить любым функциональным пространством E(Ω), если только

H²¹(Ω) компактно вложено в E(Ω). Условие p(n - 1) < n существенно для справедливости

заключения теоремы 4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

1653

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Солонников В.А. О матрицах Грина для эллиптических краевых задач. I // Тр. Мат. ин-та

им. В.А. Стеклова. 1970. Т. 110. С. 107-145.

2. Roitberg Y. Elliptic Boundary Value Problems in the Spaces of Distrubutions. Dordrecht; Boston; London,

1996.

3. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М., 1988.

4. Никольский C.M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М., 1969.

5. Никольский C.M. Компактность и неравенства для частных производных // Тр. Мат. ин-та

им. В.А. Стеклова РАН. 2005. T. 248. С. 194-203.

6. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1.

М., 1986.

7. Климов В.С. Внутренние оценки решений линейных эллиптических неравенств // Изв. РАН. 2021.

Т. 85. № 8. С. 3-22.

8. Данфорд Н., Шварц Т. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М., 1962.

9. Бурбаки Н. Интегрирование. Меры, интегрирование мер. М., 1967.

10. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М., 1962.

11. Климов В.С. О неотрицательных решениях краевых задач для эллиптических уравнений второго

порядка // Сиб. мат. журн. 1971. Т. 12. № 4. С. 718-726.

12. Малышев В.А. Нелинейные теоремы вложения // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5. № 6. С. 1-38.

13. Hormander L. Notions of Convexity. Boston; Basel; Berlin, 1994.

14. Климов В.С., Павленко А.Н. Обратные функциональные неравенства и их приложения к нелиней-

ным краевым задачам // Сиб. мат. журн. 2001. Т. 42. № 4. С. 781-795.

Ярославский государственный университет

Поступила в редакцию 13.12.2021 г.

имени П.Г. Демидова

После доработки 13.10.2022 г.

Принята к публикации 21.10.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022