ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1654-1665

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.95

ПСЕВДОСДВИГ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

Δ_B-ОПЕРАТОРА КИПРИЯНОВА

С. А. Рощупкин, Е. Л. Санина

Изучены решения сингулярных дифференциальных уравнений с оператором Бесселя B_-γ

отрицательного порядка -1 < -γ ≤ 0. В связи с этим большой интерес представляют

решения сингулярного дифференциального уравнения Бесселя B_-γ J + λ²J = 0, которые

в работе представлены линейно независимыми функциями J_μ и J_-μ, μ = (γ + 1)/2.

Рассмотрены некоторые свойства функций J_μ, выраженные через свойства j-функции

Бесселя-Левитана. Введены прямое и обратное J_μ-преобразования Бесселя и определён

оператор T-псевдосдвига, коммутирующий с оператором Бесселя B_-γ . Найдено фун-

даментальное решение обыкновенного сингулярного дифференциального оператора B_-γ.

Приведено представление фундаментального решения Δ_B -оператора Киприянова с осо-

бенностью в точке x = 0 и на конусе |x| = |y| в евклидовом n-мерном полупростран-

стве R+n.

DOI: 10.31857/S037406412212007X, EDN: NCGOAR

1. Оператор Бесселя с отрицательным параметром и Δ_B-оператор Киприянова.

Основные результаты. Пусть -γ = -(γ₁, . . . , γ_n) - мультииндекс с отрицательными дроб-

ными координатами -1 < -γ_i < 0. Δ_B -оператором Киприянова называется сингулярный

дифференциальный оператор

∑

∂²

-γi ∂

Δ_B =

B-γi , B-γi =

x ∈ R+n = {x : x_i > 0}.

∂x2i

xi ∂xi

i=1

При -1 < -γ_i ≤ 0 этот оператор естественно назвать оператором Лапласа-Киприянова.

В сферических координатах x = rΘ (Θ ∈ R_n,

|Θ| = 1) он имеет следующее представление

Бельтрами (см. работу [1]):

Δ_B = Bn-|γ|-1 +

ΔB,Θ, n - |γ| > 0.

(1)

r²

Далее изучается возможность работы с оператором Киприянова с помощью классических

методов математической физики. Отметим, что этот оператор весьма специфичен. Например, с

помощью операторов B_-γ формула (1) позволяет произвольно менять размерность евклидова

пространства путём введения скрытых переменных со сферической симметрией. Например, в

области x_i > 0 для произвольного m и y ∈ R_m из (1) получим равенство

∑

∂²

f (x_i, x^′) =

Bγi f(|y|,x^′),

∂x²

i=1

если |γ| = 0. Тем самым оператор Лапласа в R_n окажется оператором Лапласа-Киприянова

в евклидовом пространстве Rn+m со скрытой сферической симметрией от m переменных.

Более того, оператор Бесселя B_γ с дробным параметром γ = n - 1 + {γ} окажется промежу-

точным между операторами Лапласа в R_n и в Rn+1 в том смысле, что

lim

B_γ = Δ_n и lim B_γ = Δn+1.

{γ}→0

{γ}→1

1654

ПСЕВДОСДВИГ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Δ_B -ОПЕРАТОРА

1655

Это позволяет считать сингулярный дифференциальный оператор Бесселя B_γ (с дробным па-

раметром) оператором Лапласа во фрактальной среде со скрытой сферической симметрией∗).

Также принципиально новой по сравнению с фундаментальными решениями, полученными в

работе [3] (см. также монографию [4]), является конструкция фундаментального решения Δ_B -

оператора Киприянова: при 0 < n - |γ| < 1 это решение имеет вырождение O(|x|2-n-|γ|) при

x → 0 вместо особенности для Δ_B-операторов Лапласа-Бесселя (при n ≥ 2 и положительных

параметрах операторов Бесселя).

Оператор B_-γ в “чужой” билинейной форме. В качестве основного пространства

функций рассматриваем подпространство Шварца S_ev = S_ev[0, ∞), состоящее из быстро убы-

вающих вместе со всеми производными функций, чётных∗∗) по каждой координате аргумента.

Введём весовую билинейную форму

∫∞

(u, v)_α = u(x)v(x)x^α dx.

Соответствующее пространство обобщённых функций будем обозначать S′ev,α. Функцио-

нал Дирака-Киприянова определим равенством (δ_-γ , ϕ)_α = ϕ(0) для любой функции ϕ ∈ S_ev.

Вначале отметим следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть γ ∈ [0, 1), α - произвольное действительное число, U и V принад-

лежат основному пространству функций S_ev[0, ∞), тогда справедлива формула

(

[

]

)

(γ + α)(α - 1)

(B_-γU, V )_α = U, Bγ+2α +

x²

Доказательство легко достигается интегрированием по частям.

Как видим, оператор Bγ+2α + (γ + α)(α - 1)/x² оказывается сопряжённым к оператору

B_-γ в гильбертовом пространстве Lα2(R⁺¹). Конечно, наиболее востребованы случаи α = -γ

и α = 1. Первый представляется наиболее естественным, так как тогда B_-γ является само-

сопряжённым оператором в соответствующем скалярном произведении.

В этой работе приводим результаты исследований только для случая α = -γ, 0 < γ < 1.

Это связано не только с традициями, заложенными в научной школе И.А. Киприянова (см. [4]

и имеющуюся в ней библиографию), но и с определением фундаментального решения, которое

жёстко связано с весовой билинейной формой, где определяется это решение.

Перечислим основные результаты.

1. Получены линейно независимые решения сингулярного уравнения Бесселя B_-γu(λt) +

+λ²u(λt) = 0 и приведены свойства этих функций: ортогональность, теорема сложения. На ос-

нове одной из этих функций введены взаимно обратные преобразования Бесселя.

2. Введён коммутирующий с оператором B_-γ T-псевдосдвиг

)

(√

∫

x² + y² - 2xy cosα

γ+1

Γ((γ + 3)/2)(xy)

T^yxf(x) =

(2)

)γ+1sinγ+1 αdα.

Γ(1/2)Γ((γ + 2)/2)

(√

x² + y² - 2xy cos α

3. Для γ ∈ [0, 1) фундаментальным решением оператора B_-γ в пространстве S′ev,-γ яв-

ляется регулярный S′ev,γ -функционал E(x) = xγ+1/(γ + 1).

4. Фундаментальное решение Δ_B -оператора Киприянова при n - |γ| > 0 определено в

теореме 6, а при n - |γ| > 1 - в следствии 2 на основе обобщённого сдвига Пуассона, принад-

лежащего классу обобщённых сдвигов Б.М. Левитана [5, 6].

∗) Ранее этот факт уже отмечен в некоторых прикладных исследованиях (см., например, [2]).

∗∗) Следуя работе [4], функции, определённые на промежутке [0, ∞), называются чётными по xi, если все

её производные нечётного порядка в точке xi равны нулю.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1656

ЛЯХОВ и др.

Отметим, что конструкция (2) не принадлежит к классу обобщённых сдвигов Левитана,

так как T0xf(x) = f(x) и для T^yC = C. Поэтому мы его назвали “псевдосдвигом”. Отметим

также, что конструкции сверток, порождённые двупараметрическим преобразованием Ганке-

ля, изучались В.А. Какичевым и его учениками (см., например, [7-10]). В указанных работах

изучались именно свёртки, полученные на основе одномерной конструкции (2). Будем следо-

вать методу этих работ.

2. Решения сингулярного уравнения Бесселя с отрицательным параметром

-γ ∈ (-1, 0]. Хорошо известное в теории дифференциальных уравнений и в прикладных

задачах математической физики уравнение Бесселя имеет вид вырождающегося уравнения

второго порядка

d²V

t²

+ (t² - ν²)V = 0, V = V (t),

(3)

dt²

где ν - произвольное число. Линейно независимые решения уравнения (3)

∑

(-1)^m

⁽x)2+ν

J_ν(t) =

(4)

m!Γ(ν + m + 1)

m=0

∑

(-1)^m

⁽t)2m-ν

J_-ν(t) =

(5)

m!Γ(m - ν + 1)

m=0

называются функциями Бесселя первого рода.

Сингулярное уравнение Бесселя имеет вид

γ d

B_γU + U = 0, B_γ =

(6)

dx²

x dx

При γ > 0 решение V классического уравнения Бесселя (3) и решение U сингулярного

уравнения Бесселя (6) в области t > 0 связаны равенством

V (t)

U (t) =

γ = 2ν + 1

(ν > -1/2),

t^ν

которое приводит к следующим линейно независимым решениям уравнения (6):

Γ(1 ± ν)

γ-1

j_±ν(t) =

J_±ν(t), ν =

(t/2)^±ν

называемым j-функциями Бесселя^∗. Для положительного параметра γ оператора B_γ свой-

ства этих функций и их приложения к задачам для сингулярных дифференциальных урав-

нений изучены в работах [5, 4]; на их основе построены взаимно обратные преобразования

Фурье-Бесселя, доказана теорема сложения j-бесселевых функций и другие свойства.

Для решений уравнения (6) с отрицательным параметром -γ ∈ (-1, 0] справедливо сле-

дующее утверждение.

Лемма. Пусть отрицательный параметр оператора Бесселя задан в виде -γ = -2μ + 1

(1/2 < μ < 1). Тогда решение V классического уравнения Бесселя (3) и решение U сингуляр-

ного уравнения Бесселя (6) в области t > 0 связаны равенством U(t) = t^μV (t).

Доказательство леммы проводится путём подстановки функции U(t) в уравнение (6) с

оператором B_-γ .

Из леммы с очевидностью вытекает

Теорема 2. Пусть -1 < -γ < 0 и μ = (γ + 1)/2. Линейно независимые решения уравне-

ния

γ d

B_-γu(λt) + λ²u(λt) = 0, t > 0, B_-γ =

(7)

dt²

t dt

^∗Это название использовал в своих докладах на конференциях в Алма-Ате и в Москве (1975-1980 гг.)

Б.М. Левитан.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ПСЕВДОСДВИГ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Δ_B -ОПЕРАТОРА

1657

имеют вид

∑

(-1)^m · 2^μ

J-μ(t) = t^μJ-μ(t) =

⁽t)2m,

m!Γ(m + 1 - μ)

m=0

Jμ(t) = t2μjμ(t) = 2^μΓ(1 + μ)x^μJμ(t), J^μ(t) = x^μJμ(t),

(8)

где J_μ и J_-μ - функции Бесселя первого рода (4) и (5) соответственно, а j_-μ и j_μ - j-

функции Бесселя.

Отметим, что теорема сложения Левитана на основе обобщённого сдвига Пуассона может

применяться к функциям Бесселя, порядок которых строго больше -1/2 (см. [5, § 7, c. 124;

§ 11, с. 137]). Ниже рассмотрим возможности, которые открываются при использовании функ-

ций (8), имеющих особый статус, поскольку, с одной стороны, удовлетворяют сингулярному

уравнению Бесселя с отрицательным параметром -γ (γ > 0), а с другой - определены непо-

средственно через функции Бесселя первого рода с положительным параметром μ = (γ+1)/2.

2.1. Ортогональность J_μ-функций Бесселя. Введём весовую билинейную форму

∫∞

(u, v)_-γ = u(x)v(x)x^-γ dx,

(9)

в рамках которой сингулярный дифференциальный оператор Бесселя B_-γ самосопряжён (см.

теорему 1).

Отметим также, что если функция u(x) - решение уравнения (7), то функция u(λx) -

решение уравнения B_±γ u(λx) + λ²u(λx) = 0.

Теорема 3. Пусть γ = 2μ - 1 и 0 < μ ≤ 1/2. Имеет место равенство

{

∫

k = m,

J∗μ(λ_kt)J^∗μ(λ_mt)t^-γ dt =

(10)

(λ_kλ_m)(γ+1)/2M = 0,

k = m,

где числа λ_k являются корнями функций J_μ или корнями функции J^′μ.

Действительно, с учётом того, что J^∗μ(λ_kt) = (λ_kt)(γ+1)/2J(γ+1)/2(λ_kt), получим следующее

представление левой части равенства (10):

∫

Jμ(λkt)Jμ(λmt)t^-γ dt = (λkλm)(γ+1)/2

J_μ(λ_kt)J_μ(λ_mt)tdt.

Теперь равенство (10) следует из ортогональности функций Бесселя первого рода J_μ поло-

жительных порядков μ (на самом деле для μ > -1, см. [11, с. 265, формулы (12.6) и (13.3)]).

Отметим также, что ряды Фурье по J-функциям Бесселя исследовались, например, в ра-

боте [12].

3. J-преобразование Бесселя. Будем следовать методике В.А. Какичева, опираясь на

теорему сложения Б.М. Левитана для соответствующих j-функций Бесселя [5].

Теорема 4. Пусть γ = 2μ - 1 и 0 < μ ≤ 1/2. Если x^-μf(x) ∈ L₂(0, ∞), то

∞

∫∞

∫

f (x) = J_μ(xξ)ξ-2μ+1 dξ J_μ(yξ)y-2μ+1f(y) dy,

(11)

т.е. следующие J-преобразования Бесселя взаимно обратимы:

∞

∫∞

∫

f (ξ) = J(γ+1)/2(yξ)f(y)y^-γ dy, F-1

f ](x) = f(x) =

f (ξ)ξ^-γ dξ.

FB_-γ [f](ξ)

B_-γ

J(γ+1)/2(xξ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1658

ЛЯХОВ и др.

Доказательство. Известен следующий интеграл Ханкеля для функций f ∈ L₂(0, ∞):

∫∞

∫

∞

f (x) = J_μ(xξ)ξ dξ J_μ(yξ)f(y)y dy.

Пусть x^-μf(x) ∈ L₂(0, ∞), μ = (γ + 1)/2 > 0. Тогда выполняются равенства

∫∞

∫

∞

∫

∞

∫

∞

Jμ(xξ)

Jμ(yξ)

f (x)x^-μ = J_μ(xξ)ξ dξ J_μ(yξf(y)y^-μy dy =

ξ dξ

f (y)y^-μy dy =

(xξ)^μ

(yξ)^μ

∫∞

∫

∞

= x^-μ J_μ(xξ)ξ-2μ+1 dξ J_μ(yξ)y-2μ+1f(y)dy,

откуда следует формула (11). Теорема доказана.

4. Обобщённый T-псевдосдвиг и теорема сложения для J-функций Бесселя. Для

j-функций Бесселя известен следующий вариант теоремы сложения [5]: для ν > -1/2

j_ν(tξ)j_ν(tτ) = T^τξ j_ν(ξτ),

где сдвиг Пуассона T^τξ определён равенством

∫

)

(√

Γ((γ + 1)/2)

T^τ ϕ(t) =

t² + τ² - 2tτ cos α sinγ-1 α dα, γ > 0.

(12)

Γ(1/2)Γ(γ/2)

Поскольку μ = (γ + 1)/2 > 0, то из (8) имеем

Jμ(tξ)Jμ(tτ) = (tξ)2μjμ(tξ)(tτ)2μjμ(tτ) = (tξ)2μ(tτ)2μ

j_μ(tξ) =

(

)

√

∫π

ξ² + τ² - 2ξτ cos α

Jμ t

(tξ)2μ(tτ)2μΓ(μ + 1)

(

)2μ sin2μ α dα =

Γ(1/2)Γ(μ + 1/2)

√

ξ² + τ² - 2ξτ cos α

(

)

√

∫

Jμ t

ξ² + τ² - 2ξτ cos α

(ξτ)2μΓ(μ + 1)

)2μ sin2μ αdα = T^xJμ(xξ),

2μ = γ + 1.

Γ(1/2)Γ(μ + 1/2)

(√

ξ² + τ² - 2ξτ cos α

Таким образом, имеет место

Теорема 5 (сложения J_μ-функций Бесселя). Справедлива формула

(13)

J(γ+1)/2(xξ)J(γ+1)/2(yξ) = T^xJ(γ+1)/2(xξ), x, y, ξ ∈ R¹,

где 0 < γ < 1, μ = (γ + 1)/2 > 0, а T-псевдосдвиг в евклидовом пространстве R+1 имеет

вид (2), где 1/2 ≤ μ < 1.

Отметим, что T-псевдосдвиг не меняет гладкости функции, так как особенность знамена-

теля (возникающая при x = y, α = 0) регулярная.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ПСЕВДОСДВИГ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Δ_B -ОПЕРАТОРА

1659

5. Свойства T-псевдосдвига. Весовую билинейную форму в пространстве R⁺¹ опреде-

лим равенством (10).

Свойство 1. Если f и g - функции, суммируемые с весом x^-γ, 0 < γ < 1, то

(T^yf, g)_-γ = (f, T^yg)_-γ .

(14)

Доказательство. Учитывая, что -γ = 1 - 2μ, имеем

)

(√

∞

∫

x² + y² - 2xy cos α

(f, T^yg)γ

(xy)2μf(y)₍

)2μ sin2μ αdαy1-2μ dy.

C(μ)

√

x² + y² - 2xy cosα

Введём антиполярные координаты

y cos α = z₁, y sin α = z₂, y dy dα = dz₁ dz₂ = dz.

Тогда

)

(√

∫

(√

) g (x - z₁)² + z²

(√

)-2μ

(f, T^yg)γ

x2μf

z²¹ + z²

dz.

)2μ z2μ

C(μ)

(√

R⁺²={z:z₂>0}

(z₁ - x)² + z²

Теперь сдвиг x - z₁ = ξ приведёт к равенству

)

(√

∫

(x - ξ)² + z²

ξ² + z²

(f, T^yg)_γ

=x2μ

)2μ (

)2μ z2μ2 dξ dz2.

C(μ)

(√

√

R⁺²

(x - ξ)² + z²²

ξ² + z²

C помощью формул перехода к полярным координатам

ξ = y cosα, z₂ = y sinα, dξ dz₂ = dξ dz₂ = dαy dy

вернёмся к прежним обозначениям:

)

(√

∫

∞

∫

x²² + y²² - 2xy cos α g(y)

(f, T^yg)γ

= x2μ

y2μ

sin2μ α dα y-2μ+1 dy =

C(μ)

(x²² + y²² - 2xy cos α)^μ

)

(√

∫∞

∫

x²² + y²² - 2xy cos α g(y)

(T^yf, g)_-γ

= (xy)2μ

sin2μ αy^-γ dy =

(x²² + y²² - 2xy cos α)^μ

C(μ)

Отсюда вытекает равенство (15). Свойство доказано.

Свойство 2. Пусть f

- чётная, дважды непрерывно дифференцируемая функция,

x^-γf(x) ∈ L₂(0,∞), 0 < γ < 1. Тогда

B_-γ,xT^yxf(x) = T^yxB_-γ,xf(x).

(15)

Доказательство. Из (11), (13) и (7) имеем

∞

∫

B_-γ,xT^yxf(x) = B_-γ,x J_μ(xξ)J_μ(yξ

f (ξ)ξ^-γ dξ =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1660

ЛЯХОВ и др.

∫∞

∫

∞

(-ξ²)J_μ(xξ)J_μ(yξ

f (ξ)ξ^-γ dξ =

(-ξ²)T^yxJ_μ(xξ

f (ξ)ξ^-γ dξ.

Здесь множитель (-ξ²) можно внести под знак T-псевдосдвига. В результате получим

∫∞

B_-γT^yxf(x) = T^yx((-ξ²)J_μ(xξ)

f (ξ)ξ^-γ dξ =

∫∞

∫

∞

= T^yx(B_-γJ_μ(xξ)

f (ξ)ξ^-γ dξ = T^yB-γ Jμ(xξ

f (ξ)ξ^-γ dξ = T^yxB_-γf(x).

Свойство доказано.

Свойство 3 (переместительность T-псевдосдвига). Если функция f представлена равно-

мерно сходящимся рядом Фурье по J-функциям Бесселя, то

T^yxT^zxf(x) = T^zxT^yxf(x).

Доказательство непосредственно следует из определения T-сдвига и теоремы 5:

T^yxT^zxJ(λx) = J(λy)J(λz)J(λx) = T^zxT^yxJ(λx).

Свойство 4 (ассоциативность T-сдвига). Если функция f представлена равномерно схо-

дящимся рядом Фурье по J-функциям Бесселя, то T^zyT^xf(x) = T^zxT^xf(x).

Доказательство аналогично доказательству свойства 3.

Свойство 5 (представление многомерного T-псевдосдвига в сферических координатах).

∏_n

Если f и g - радиальные в R+n функции, суммируемые с весом x^-γ =

i=1

x-γii, μi = (γi +

+ 1)/2, то

∫

∞

C(n, μ)

f (|y|),Tx g(|y|)y-γ dy = f(r)

T^ρ g(r)r^s dr, s = n - |γ| - 1,

Rⁿ

где C(n, μ) - константа, не зависящая от подынтегральных функций, через

T^x обозначен

многомерный псевдосдвиг, отвечающий мультииндексу μ = (μ₁,

,μ_n),

1/2 < μ_i < 1.

Доказательство. В выражении

(√

)

∫

∏

f (|y|)

y1-2μii sin2μi αi(|x|yi)2μi dαi dy

(. . . + x²

+ y2i - 2x_iyi cosα_i + ...)^μi

i=1

Rⁿ

по каждой паре переменных (y_i, α_i) введём антиполярные координаты

y_i cos α_i = zi,1, y_i sin α_i = zi,2, y_i dy_i dα_i = dzi,1 dzi,2.

Пусть R+2n = {z : zi,2 > 0}. Тогда справедливо равенство

)

(√

∫

... + (x_i - zi,1)² + z2i,2 + ...

(√

)-2μ_i

∏

(f,Ty

g)_-γ

f (|z|)

|x|2μi z2μi

z2i,1 + z²

dz.

i,2

C(μ)

(. . . + (x_i - zi,1)² + z2i,2 + . . .)^μi

i=1

R⁺

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ПСЕВДОСДВИГ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Δ_B -ОПЕРАТОРА

1661

Здесь существование интеграла обеспечено выбором функции g и тем, что

)-μ_i

⁽z²

i,1

(z2i,1 + z2i,2)-μi =

z²

i,2

Теперь повернём оси координат вокруг гиперплоскости, образованной чётными осями ко-

ординат Ozi,2, так, чтобы орты векторов Oz1,1 и Ox совпали. С учётом того, что радиальные

функции инвариантны относительно вращений системы координат, а точка x в новых коор-

динатах это x = (|x|, 0, . . . , 0), получим

)

(√

∫

(|x| - z1,1)² + z21,2 + . . . z22n,1 + z²

2n,2

∏

(√

)-2μ_i

(f,Ty

g)_-γ

f (|z|)

|x|2μ

z2μ

z2i,1+z²

dz =

i,2

C(μ)

((|x| - z1,1)² + z21,2 + . . . z22n,2 + z22n,2)^μ

i=1

R⁺

)

(√

∫

|x|² - 2|x|z1,1 + |z|²

(√

)-2μ_i

∏

f (|z|)

|x|2μ

z2μi

z2i,1 + z²

dz.

i,2

(|x|² - 2|x|z1,1 + |z|²)^μ

i=1

R⁺

Сферическое преобразование координат

z1,1 = ρcos φ₁, z1,2 = ρsin φ₁ cos φ₂n,

...,

z2n,1 = ρsin φ₁ ··· sin φ2n-2 cos φ2n-1, z2n,2 = ρsin φ₁ ··· sin φ2n-2 sin φ2n-1

приведёт к равенству

)

(√

∞

∫

(rρ)2|μ|g

r² + ρ² - 2rρcos ϕ₁

(f,Ty

g)_-γ

f (ρ)

C(μ)

(r² + ρ² - 2rρ cos ϕ₁)^μ

0 S⁺¹(2n)

(√

)-2μ_i

∏

× Θ2μ

Θ2i,1 + Θ²

dS ρ2(n-|μ|)-1 dρ,

i,2

i=1

где S⁺¹(2n) = {Θ : |Θ| = 1, Θ2i > 0}. Поскольку на 2n-мерной сфере

dS = sin2n-2 φ dφ₁ sin2n-3 φ₂ dφ₂ . . . sin φ2n-2 dφ2n-2 dφ2n-1,

то

)

(√

∞

∫

(rρ)2|μ|g

r² + ρ² - 2rρcos α

(f,Ty

g)_-γ

f (ρ)

sin2|μ| α ×

C(μ)

(r² + ρ² - 2rρ cos α)^μ

(∫π

∫

)-1

∏

2μ

× sin2n-2 φ dφ

(Θ2i,1 + Θ2i,2)-μi dS ρ2(n-|μ|-1 dρ.

i,2

i=1

S₁(2n)

Обозначив

(∫π

∫

)-1

∏

2μ

C-1(n,μ) = C(μ)

sin2n-2 ϕ dϕ

(Θ2i,1 + Θ2i,2)-μi dS,

i,2

i=1

S₁(2n)

получим утверждение свойства 5.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1662

ЛЯХОВ и др.

6. Фундаментальное решение оператора B_-γ. Пусть u и v - чётные суммируемые

с весом x^-γ функции. Весовую билинейную форму со слабой особенностью определим равен-

ством (8).

Предполагая чётные функции u и v суммируемыми вместе со всеми производными и

дважды интегрируя по частям, получаем равенство

(B_-gu, v)_-γ = (u, B_-γ v)_-γ .

Здесь внеинтегральные члены исчезли в силу суммируемости и нечётности функций u^′ и v^′

(см. теорему 1).

Фундаментальное решение оператора B_-γ определяется как обобщённая функция E ∈ S′ev,

удовлетворяющая равенству

B_-γE = δ_-γ

или, что то же самое,

(E, B_-γ ϕ)_-γ = ϕ(0) для любой ϕ ∈ S_ev([0, ∞)).

(16)

Следующая теорема представляет собой одно из возможных обобщений результатов рабо-

ты [6] (см. в ней теорему 1) на операторы Бесселя отрицательного параметра.

Теорема 6. Пусть Z(t) - регулярный функционал из пространства S′ev и пусть

lim

t^-γ

Z(t) = 1,

0 ≤ γ < 1.

(17)

t→0

Если в области t > 0 функция Z = Z(x) удовлетворяет однородному сингулярному диффе-

ренциальному уравнению второго порядка

B_-γZ(t) = 0,

0 ≤ γ < 1,

(18)

то в смысле обобщённых функций S′ev функция Z есть фундаментальное решение оператора

B_-γ в пространстве L-γ2.

Доказательство. Пусть ϕ ∈ S_ev. Необходимо проверить выполнение равенства (16). Ин-

тегрируя по частям, получаем

(

)

∫

∞

(

)

^∞

dZ(t)



(Z, B_-γ ϕ)_-γ = Z(t) t^-γ

ϕ(t)

t^-γ

ϕ(t) dt.



Поскольку функция ϕ быстро убывает вместе со всеми производными, то

(

)

lim

Z(t) t^-γ

ϕ(t)

= 0.

t→∞

По условию функция ϕ чётная и бесконечно дифференцируемая в окрестности начала коор-

динат, поэтому ϕ^′(x) = O(x), x → 0. Учитывая, что 0 ≤ γ < 1, имеем

Z(t)t^-γϕ^′(t) = O(t1-γ ), t → 0.

Следовательно,

(

)

^∞

Z(t) t^-γ

ϕ(t)



= 0.



Вновь проинтегрировав по частям, получим



∫

∞

(

)

∞

dZ(t)



dZ(t)

(Z, B_γ ϕ)_γ = -t^-γ

ϕ(t)^

- t^γ

t^-γ

ϕ(t)t^-γ dt.

Остаётся воспользоваться условиями (17), (18) и получить равенство (16). Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ПСЕВДОСДВИГ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Δ_B -ОПЕРАТОРА

1663

Следствие 1. Фундаментальным решением оператора B_-γ ,

0 ≤ γ < 1, является функ-

ция

E (t) =

tγ+1.

γ+1

Действительно, непосредственно проверяется справедливость (18): B_-γAtγ+1 = 0, а из

условия (17) следует, что нормирующая константа A = 1/(γ + 1). Отсюда следует уравне-

ние (6).

При γ = 0 сингулярный дифференциальный оператор Бесселя есть вторая производная.

Из (17) вытекает, что фундаментальным решением второй производной в пространстве обоб-

щённых функций S′ev является функция E(t) = t, что легко проверить: если ϕ ∈ S_ev, то

∫

∞

∫

∞

tϕ^′′(t)dt = tϕ^′(t)|∞0 - ϕ^′(t)dt = ϕ(0).

Замечание 1. В работе [6] получено фундаментальное решение E_γ,m натуральных сте-

пеней (B_γ )^m сингулярного дифференциального оператора Бесселя при γ > 0. В частности

Eγ,1 = t1-γ/(1-γ), т.е. фундаментальное решение имеет вырождение (вместо привычной син-

гулярности) порядка O(t1-γ ), t → 0. Тем самым результат следствия 1 справедлив в более

общей форме: при γ > -1 фундаментальным решением оператора B_γ является функция

E_γ = t1-γ/(1 - γ).

Замечание 2. Принципиальное отличие фундаментальных решений операторов B_-γ и B_γ

заключается в том, что второе (т.е. при γ > 0) может быть представлено с вырождением в

произвольной точке τ обобщённым сдвигом Пуассона (12) (см. в работе [5] формулу Пуассона),

который не определён при γ = 0 и не существует при γ < 0. Последнее приводит к тому, что

обобщённый сдвиг Пуассона не может применяться к фундаментальному решению оператора

Бесселя с отрицательным параметром -γ.

При γ = 0 сдвиг (12), применённый к чётной непрерывной функции f, есть среднее обыч-

ных сдвигов: учитывая, что j-1/2(x) = cos x, и используя формулу обращения преобразования

Фурье-Ганкеля (см. [4, с. 18]), имеем

∞

∫

T^yxf(x) = T^yxF-1B[F_Bf](x)|γ=0 =

(cos ξ(x - y) + cos ξ(x + y))[F_cosf](ξ)dξ =

(f(x - y) + f(x + y)).

7. T-Псевдосдвиг фундаментального решения оператора B_-γ . Пусть -1<-γ < 0,

μ = (γ)/2. Согласно формуле (6) фундаментальное решение оператора B_-γ - это функция

→ y) = x² + y² - 2xy cos α и

определение (14):

(√

)γ+1

∫

(xy)γ+1

→ y) sinγ+1 αdα

∫

C(g)

C(g)(xy)γ+1

(xy)γ+1

T^yE(x) =

(√

)2(γ+1)/2

sinγ+1 α dα =

γ+1

→ y)

Таким образом, функция T^yE(x) - фундаментальное решение в пространстве R₂ по каж-

дой из переменных. При этом

(

)

(

)

(yx)γ+1

xγ+1

(B_-γ T^yE (x), ϕ(x))-γ = B-γ

, ϕ(x)

=yγ+1

B_-γ

, ϕ(x)

= yγ+1ϕ(0).

γ+1

-γ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1664

ЛЯХОВ и др.

8. Фундаментальное решение Δ_B-оператора Киприянова.

Теорема 7. Пусть -γ = -(γ₁, . . . , γ_n), 0 > -γi > -1 и n-|γ| > 0. Тогда фундаменталь-

ным решением Δ_B-оператора Киприянова является регулярная S′ev,-γ-обобщённая функция

⎧

⎪

|x|2-n-|γ|

⎨

n + |γ| = 2,

(2 - n - |γ|)|S⁺(n)|γ

E_n,γ(x) =

(19)

⎪

⎩

n + |γ| = 2,

|S⁺¹(n)|_γ

|x|

где площадь нагруженной сферы

∫

∏

|S⁺¹(n)|_γ =

Γ((α_k + 1)/2).

xγki dS =

n-1Γ((n + |α|)/2)

k=1

i=1

S⁺¹(n)={x:|x|=1,x_i>0}

Доказательство. Используем весовую линейную форму (9). Необходимо найти функцию

E_n,γ, для которой

(Δ_BE_n,-γ, ϕ)_-γ = ϕ(0).

Предполагая функции E_n,-γ и ϕ = ϕ(|x|) радиальными и учитывая (1), видим, что предыду-

щее соотношение эквивалентно равенству

|S⁺¹|_γ (Bn-|γ|-1E_n,γ(r), ϕ(r))_-γ = ϕ(0).

Пусть n + |γ| = 2. Но тогда n + |γ| - 1 = 1, а это даёт возможность воспользоваться след-

ствием 1 при n + |γ| < 1 или замечанием 1 при n + |γ| > 1. Искомая функция имеет вид

2-n-|γ|

|x|

E_n,γ(x) =

(2 - n - |γ|)|S₁(n)|_γ

При n+|γ| = 2 применяется теорема о фундаментальном решении оператора B_γ из работы [6],

поскольку фундаментальным решением оператора Бесселя Bn+|γ|-1 при n + |γ| = 2 будет

функция E_n,γ(x) = ln |x|. Теорема доказана.

Отметим, что для оператора Киприянова не найден коммутирующий с ним обобщённый

сдвиг, а определённый выше T-псевдосдвиг, как это следует из п. 7, не определяет фунда-

ментального решения оператора B_-γ с центром в точке y ∈ R+n, не совпадающей с началом

координат.

Следствие 2. Пусть -1 < -γ_i < 0 и n - |γ| > 1. Фундаментальное решение Δ_B -опера-

тора Киприянова с центром на конусе |x| = |y| имеет вид T^|y||x|E_n,-γ, где

- обобщённый

сдвиг Пуассона (12), а E_n,-γ - функция (19).

Доказательство. При n - |γ| > 1 оператор Бесселя Bn-|γ|-1 имеет положительный

параметр, поэтому ему отвечает обобщённый сдвиг Пуассона (12) порядка α = n - |γ| - 1 > 0,

коммутирующий с Bn-|γ|-1.

9. Обобщение для Δ_B-оператора Лапласа-Бесселя-Киприянова. Рассмотрим опе-

ратор Δ_B с параметрами γ > -1 в евклидовом пространстве R+n. Будем предполагать, что

хотя бы один из операторов Бесселя, входящий в Δ_B, имеет отрицательный параметр. Тогда

нельзя определить фундаментальное решение этого оператора с особенностью в точке. Соглас-

но (1) имеем Δ_Bu(|x|) = Bn+|γ|-1u(r), r = |x|. Тем самым фундаментальное решение Δ_B -

оператора найдётся в виде соответствующего фундаментального решения оператора Бесселя

с параметром n + |γ| - 1.

В пространстве R+n = {n ≥ 2, x : x_i > 0} введём весовую линейную форму

∫

∏

(u, v)_γ =

u(x)v(x)x^γ dx, x^γ =

xγii, γi > -1.

i=1

Rⁿ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

ПСЕВДОСДВИГ И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ Δ_B -ОПЕРАТОРА

1665

Фундаментальное решение Δ_B-оператора Лапласа-Бесселя-Киприянова с центром в про-

извольной точке n-мерного полупространства R+n можно получить из фундаментального ре-

шения (19) при дополнительном условии

n + |γ| - 1 > 0.

(20)

Теорема 8. При выполнении условия (20) фундаментальное решение Δ_B -оператора Ла-

пласа-Бесселя-Киприянова с особенностью в точке на конусе |x| = |y|, x, y ∈ R+n, имеет вид

⎧

⎪

|x|2-n-|γ|

n + |γ| = 2,

⎪

(2 - n - |γ|)|S₁(n)|_γ

E_n,γ(|x|,|y|) = T^|y||x|

⎪

⎩

n + |γ| = 2,

|S⁺¹(n)|_γ

|x|

где T^|y| - обобщённый сдвиг Пуассона (12), отвечающий параметру n+|γ|-1 > 0, |S1(n)|α -

площадь нагруженной сферы.

Доказательство. Введём сферические координаты x = rΘ,

|Θ| = 1. Согласно форму-

√

ле (1) имеем Δ_Bu(|x|) = Bn-|γ|-1u(r), r =

x²¹ + ... + x2n. Отсюда, предположив функцию

ϕ = ϕ(|x|) радиальной и учтя (20), получим равенства

(Δ_BE, ϕ)_γ = (Δ_BT^|y||x|E, ϕ)_γ = |S⁺¹|_γ (Bn+|α|-1T^ρrE(r), ϕ(r))_-γ =

= |S+1 |_γ (Tρr Bn+|α|-1E(r), ϕ(r))_-γ = |S+1 |_γ (Bn+|α|-1E(r), Tρr ϕ(r))_-γ = ϕ(ρ).

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ляхов Л.Н., Санина Е.Л. Оператор Киприянова-Бельтрами с отрицательной размерностью опе-

ратора Бесселя и сингулярная задача Дирихле для B-гармонического уравнения // Дифференц.

уравнения. 2020. Т. 56. № 12. C. 1610-1520.

2. Metzler R., Glöckle W.G., Nonnenmacher T.F. Fractional model equation for anomalous diffusion

// Phys. A. Stat. Mech. and its Appl. 1994. V. 211. № 1. P. 13-24.

3. Киприянов И.А., Кононенко В.И. О фундаментальных решениях некоторых сингулярных уравне-

ний в частных производных // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5. № 8. С. 1470-1483.

4. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., 1997.

5. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук.

1951. Т. 6. Вып. 2 (42). С. 102-143.

6. Ляхов Л.Н. Фундаментальные решения сингулярных дифференциальных уравнений с D_B опера-

тором Бесселя // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2012. Т. 278. С. 148-160.

7. Какичев В.А. О свертках для интегральных преобразований // Изв. АН БССР. Сер. физ-мат. наук.

1967. № 2. С. 48-57.

8. Бритвина Л.Е. Полисвертки преобразования Ханкеля и дифференциальные операторы // Докл.

РАН. 2002. Т. 382. № 3. С. 298-300.

9. Бритвина Л.Е. О некоторых полисвертках, порожденных преобразованием Ханкеля // Мат. замет-

ки. 2004. Т. 76. Вып. 1. С. 20-26.

10. Britvina L.Y. Generalized shift operators generated by convolutions of integral transforms // Current

Trends in Analysis and its Applications. Trends in Mathematics / Eds. V. Mityushev, M. Ruzhansky.

Cham, 2015.

11. Толстов Г.П. Ряды Фурье. М., 1980.

12. Сабитов К.Б., Зайцева Н.В. Вторая начально-граничная задача B-гиперболического уравнения

// Изв. вузов. Математика. 2019. № 10. С. 75-86.

Воронежский государственный университет,

Поступила в редакцию 26.05.2022 г.

Елецкий государственный университет

После доработки 26.05.2022 г.

имени И.А. Бунина,

Принята к публикации 21.10.2022 г.

Липецкий государственный педагогический университет

имени П.П. Семенова-Тян-Шанского

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022