ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1688-1693
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.955+517.956.32
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ПУАССОНА-ДАРБУ
© 2022 г. Э. Л. Шишкина
Для общего уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу энергетическим методом доказана теорема
о единственности решения задачи Коши. Решение такой задачи оказывается единственным
только при неотрицательных значениях параметра k в операторе Бесселя, действующего
по временной переменной.
DOI: 10.31857/S037406412212010X, EDN: NCVYIW
Введение. Основным объектом исследования в этой статье выступает общее уравнение
Эйлера-Пуассона-Дарбу
(Δγ )xu = (Bk)tu, u = u(x, t), t > 0, x = (x1, . . . , xn),
(1)
где Bk - сингулярный дифференциальный оператор Бесселя (см., например, [1, с. 5])
2
∂
k ∂
1 ∂
∂
(Bk)t =
+
=
tk
,
t > 0, k ∈ R,
(2)
∂t2
t ∂t
tk ∂t
∂t
△γ - B-эллиптический оператор вида
∑
△γ = (△γ)x = (Bγi)xi.
(3)
i=1
Общее уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу исследуется методами, обобщающими класси-
ческие, и имеет очень много приложений, например, в электростатической теории поля, гид-
родинамике, теории упругости и др.
Решение сингулярной задачи Коши для уравнения (1) при произвольном действительном
значении параметра k является предметом многих исследований. При n = 1 и γ = 0 урав-
нение (1) появилось в работе Л. Эйлера (см. [2, с. 227]), затем изучалось С.Д. Пуассоном
[3] и Г. Дарбу [4]. Интерес к многомерному уравнению (1) в случае, когда оператор Лапла-
са действует по переменной x, появился с работ А. Ванштейна [5, 6], и его изучение было
продолжено в работах [7, 8]. Абстрактному уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу Au = (Bk)tu,
u = u(x,t;k), где A - линейный оператор, действующий только по x, посвящены статьи
А.В. Глушака [9, 10]. В книгах [11-13] изучен вопрос разрешимости различных задач для
классического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.
В настоящей статье единственность решения задачи Коши для уравнения (1) при k > 0
будет установлена энергетическим методом. При k < 0 решение этой задачи не единственно,
но множество решений имеет определённую структуру (см. [14]).
1. Основные определения и утверждения. Пусть Rn - n-мерное евклидово простран-
ство,
Rn+ = {x = (x1,... ,xn) ∈ Rn : x1 > 0, ... , xn > 0},
Rn+ = {x = (x1,... ,xn) ∈ Rn : x1 ≥ 0, ... , xn ≥ 0},
γ = (γ1,...,γn) - мультииндекс, состоящий из фиксированных положительных чисел γi, i =
= 1, n, и |γ| = γ1 + . . . + γn.
1688
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
1689
Рассмотрим открытое множество Ω в Rn, симметричное относительно каждой гиперплос-
кости xi = 0, i = 1, n. Введём обозначения Ω+ = Ω
⋂Rn+ и Ω+ = Ω⋂Rn+, тогда Ω+ ⊆ Rn+
и Ω+ ⊆ Rn+. Пусть Cm(Ω+) - множество, состоящее из m раз дифференцируемых на Ω+
функций. Через Cm(Ω+) обозначим подмножество функций из Cm(Ω+) таких, что все про-
изводные этих функций по xi для любого i = 1, n непрерывно продолжаются на плоскость
xi = 0. Класс Cmev(Ω+) состоит из функций f ∈ Cm(Ω+) таких, что ∂2k+1f/∂x2k+1i|x=0 = 0
для всех неотрицательных целых k ≤ m при i = 1, n (см. [1, с. 21] и далее).
Пусть e1, e2, ...,
en - единичные векторы по осям x1, x2, ..., xn соответственно,
(
)
∑
1
∂
1
∂
1
∂
∇′γ =
,...,
=
γi
ei
xγ1
∂x1
xn
n ∂xn
x
∂xi
1
i=1
i
– первый взвешенный оператор набла,
(
∑
∂
∂
∂
∇′′γ = xγ1
,...,xγn
=
xγi
ei
n
i
1 ∂x1
∂xn
∂xi
i=1
– второй взвешенный оператор набла, тогда справедливо равенство (∇′γ · ∇′′γ) = Δγ . Имеем
∇′γ(uv) = u∇′γv + v∇′γu.
(4)
Для доказательства единственности решения задачи Коши для уравнения (1) нам потре-
буется обобщённая дивергентная теорема из работы [15].
Теорема 1. Пусть G+ - область в Rn+ такая, что каждая линия, перпендикулярная
плоскости xi = 0, i = 1, n, либо не пересекает G+, либо имеет один общий отрезок с G+
(возможно, вырождающийся в точку) вида
αi(x′) ≤ xi ≤ βi(x′), x′ = (x1,... ,xi-1,xi+1,... ,xn), i = 1,n.
Если g = (g1(x), . . . , gn(x)) является непрерывно дифференцируемым в области G+ век-
торным полем иF = (F1(x),... ,Fn(x)), F1(x) = xγ11g1(x),... ,Fn(x) = xnn gn(x), то справед-
лива формула
∫
∫
(∇′γ
F )xγ dx =
(g · ν)xγ dS,
(5)
G+
∂G+
где
ν = e1 cosη1 + ... + en cosηn - внешний вектор нормали к поверхности ∂G+, ηi - угол
между вектором ν и осью Oxi, i = 1,n.
В подпространстве Rn+ рассматривается многомерный обобщённый сдвиг, отвечающий
мультииндексу γ, вида
,
γTyx =γ1Ty1x1 ···γn
xn
где каждый из одномерных обобщённых сдвигов определён выражением
π
∫
√
Γ((γi + 1)/2)
f (x1, . . . , xi-1, x2i + y2i - 2xiyi cos αi, xi+1, . . . , xn) sinγi-1 αi dαi.
γi Tyixi f(x) =
Γ(γi/2)Γ(1/2)
0
На основе многомерного обобщённого сдвигаγTy конструируется весовое сферическое
среднее функции f, которое при n ≥ 2 имеет вид
γ
∫
1
Mγt[f(x)] =
Ttθxf(x)θγ dS,
(6)
|S+1(n)|γ
S+1(n)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
1690
ШИШКИНА
∏n
где θγ =
i=1
θγii, S1(n) = {θ : |θ| = 1, θ∈R+} - часть сферы в R+, а
∏n
Γ((γi + 1)/2)
|S+1(n)|γ =i=1
2n-1Γ((n + |γ|)/2)
При n = 1 положим
Mγt[f(x)] =γTtθxf(x).
(7)
Пусть Lp(Rn+) = Lp , 1 ≤ p < ∞, - пространство всех измеримых на Rn+ функций, чётных
по каждой из своих переменных xi, i = 1, n, таких, что
∫
|f(x)|pxγ dx < ∞,
Rn+
∏n
здесь и далее xγ =
i=1
xγii. Для вещественных чисел 1 ≤ p < ∞ норма в Lp функции f
определяется равенством
(∫
)1/p
∥f∥Lγ
|f(x)|pxγ dx
p (R+)=∥f∥p,γ=
Rn
+
При p = ∞ норма в пространстве L∞ функции f имеет вид
∥f∥Lγ
|f(x)|.
∞(R+)=∥f∥∞,γ=esssup
x∈Rn
+
Известно [1, с. 42], что Lp - банахово пространство.
Оператор Mγt ограничен в Lp (Rn+) при 1 ≤ p ≤ ∞. Кроме того, справедливо неравенство
∥Mγt u∥p,γ ≤ ∥u∥p,γ , t > 0.
И.А. Киприянов в монографии [1] представил B-полигармоническую порядка p функцию
u = u(x) = u(x1,...,xn) такую, что Δγu = 0, где Δγ - оператор (3). B-полигармоническая
первого порядка функция называется B-гармонической.
2. Единственность решения задачи Коши для общего уравнения Эйлера-Пуас-
сона-Дарбу. Рассмотрим Γ - лоренцево расстояние между точками (x, t) и (ξ, τ) сингуляр-
ной гиперплоскости:
∑
Γ(x, t; ξ, τ) = (t - τ)2 -
(xi - ξi)2.
i=1
Пусть (ξ, τ) - точка в Rn+1+. Через G+ обозначим часть конической области в Rn+1+, огра-
ниченную нижней полостью конуса Γ(x, t; ξ, τ) = 0 с вершиной в точке (ξ, τ) и плоскостями
xi = 0, i = 1,n, t = 0.
При t = 0 получаем основание G+ в Rn+, представляющее собой шар (часть шара)
B+n(ξ,τ) с центром в точке ξ радиуса τ : B+n(ξ,τ) = {x ∈ Rn+ : |x - ξ| ≤ τ}.
Теорема 2. Пусть u - функция из C2ev(G+), удовлетворяющая общему уравнению Эйле-
ра-Пуассона-Дарбу
(Δγ )xu = (Bk)tu, u = u(x, t; k)
(8)
в G+, и предположим, что k ≥ 0, а функции u, ut обращаются в нуль на основании G+,
т.е.
u(x, 0; k) = ut(x, 0; k) = 0, x ∈ B+n(ξ, τ),
(9)
тогда u(x,t;k) обращается в нуль в области G+.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
1691
Доказательство. Возьмём произвольную точку (x, t) внутри или на границе множества
∑m
G+ и построим новый конус (часть конуса) (t - t)2 =
(xi - xi)2. Через D+ обозна-
i=1
чим часть конической области в Rn+1+, ограниченную нижней полостью конуса (t - t)2 =
∑m
=
(xi - xi)2 с вершиной в точке (x, t) и плоскостями xi = 0, i = 1, n, t = 0. Область D+
i=1
ограничена в плоскости t = 0 шаром (частью шара) B+n(x, t), который составляет часть пер-
воначального шара (части шара) B+n(ξ, τ), следовательно, в B+n(x, t) верны соотношения (9).
Равенство (8) умножим на ut и преобразуем следующим образом:
)
k
(1
0 = ut(Bk)tu - utΔγu = ut · utt +
u2t - (∇′γ · ut∇′′u) + ∂t
|∇u|2
=
γ
t
2
)
)
)
(1
k
(1
(1
1
k
=∂t
u2
+
u2t -(∇′γ ·ut∇′′
u) + ∂t
|∇u|2
=∂t
u2t +
|∇u|2
+
u2t -(∇′γ ·ut∇′′γu). (10)
t
γ
2
t
2
2
2
t
Здесь были использованы соотношения, полученные из (4), а именно
utΔγu = (∇′γ · ut∇′′γu) - (∇′γut · ∇′′γu)
и
(
)
(
(
) (
)
∑
1
∂ut
1
∂ut
∂u
1 ∂ut
(∇′γ ut · ∇′′γu) =
,...,
· xγ1 ∂u1
,...,xγn
=
· xγi ∂u
=
n
γi
i
xγ1
∂x1
xn
n ∂xn
∂x1
∂xn
x
∂xi
∂xi
1
i=1
i
)2
)2
)
∑
∑
∑
∂ut
∂u
(1 ∂u
(1 ∂u
(1
=
·
=
∂t
=∂t
=∂t
|∇u|2
∂xi
∂xi
2 ∂xi
2 ∂xi
2
i=1
i=1
i=1
Проинтегрируем равенство (10) по области D+ и применим формулу (5), положив
(
)
)
(1
∂u
F =
u2t
+ |∇u|2 ,
-utxγ1 ∂u1
,..., -utxγn
,
n
2
∂x1
∂x1
(
)
)
(1
∂u
∂u
g=
u2t
+ |∇u|2
, -ut
,..., -ut
,
2
∂x1
∂xn
в результате получим
∫
( (
)
)
1
1
k
0=
∂t
u2t +
|∇u|2
+
u2t - (∇′γ · ut∇′′γu) xγ dtdx =
2
2
t
D+
∫
)
)
∫
∑
(1(
∂u
k
=
u2t
+ |∇u|2
cos η0 -
ut
cos ηi xγ dS +
u2txγ dtdx =
2
∂x
i
t
i=1
∂D+
D+
∫
(
)
∫
∑
∑
1
∂u
( ∂u )2
k
=
u2
cos η0 - 2ut
cos ηi +
cos η0
xγ dS +
u2txγ dtdx,
t
2
∂xi
∂x
i
t
i=1
i=1
∂D+
D+
где n = (cos η0, cos η1, . . . , cos ηn) - внешний вектор нормали к поверхности ∂D+, η0 - угол
между вектором√n и осью Ot, ηi - угол между вектором n и осью Oxi, i = 1, n, кроме
∑n
того, cos η0 = 1/
2. Умножим последнее равенство на cos η0. Учитывая, что
cos η2i = 1
∑n
i=0
и 1/2 = cos η20 = 1 - cos η20 =
cos η2i, будем иметь
i=1
∫ (
)2
∫
∑
1
∂u
k
0=
ut cos ηi -
cos η0
xγ dS +
u2txγ dtdx.
2
∂xi
t
i=1
∂D+
D+
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
1692
ШИШКИНА
На плоскости t = 0 имеем ut(x, 0) = 0. Поскольку k ≥ 0, t > 0, то из последнего равенства
получаем, что на боковой поверхности конуса (части конуса) ∂D+ справедливы тождества
∂u
ut cos ηi -
cos η0 ≡ 0
∂xi
и ut ≡ 0 в D+. Отсюда следует, что ∂u/∂xi ≡ 0, i = 1,n. Это означает, что на боковой
поверхности конуса (части конуса) ∂D+ вектор grad u параллелен нормали. Возьмём на ∂D+
произвольную точку (x, t) и проведём через неё образующую ℓ. Вектор grad u ортогонален
к ℓ, поэтому ∂u/∂ℓ = 0. Это означает, что u постоянна вдоль любой образующей боковой
поверхности конуса (части конуса) ∂D+ и значение u в вершине (x, t) совпадает со значением
u в точке образующей ℓ, которая лежит в плоскости t = 0. Но по условиям (9) имеем, что
u(x, 0; k) = 0, следовательно u(x, t; k) = 0. Так как точка (x, t) была взята произвольно в
G+, то u(x, t; k) ≡ 0 в G+. Теорема доказана.
Следствие. Пусть (x, t) - точка и G+ - область, описанные в теореме 2. Предположим,
что две функции ul и u2 из класса C2ev(G+) удовлетворяют уравнению (8) в G+, кроме
того, u1(x,0) = u2(x,0) и ∂u1/∂t|t=0 = ∂u2/∂t|t=0 = 0. Тогда u1 ≡ u2 в G+.
Объединив результат теоремы 2 и результаты из [16], получим следующие утверждения.
Теорема 3. Пусть область G+ имеет вид, описанный в теореме 2, точка (x, t) нахо-
дится внутри или на границе множества G+, и пусть u ∈ C2ev(G+). Тогда при k ≥ n+|γ|-1
единственное решение задачи
△γu(x,t) = (Bk)tu, u = u(x,t;k),
∂u
u(x, 0; k) = f(x),
=0
∂t
t=0
имеет вид
t
∫
2t1-kΓ((k + 1)/2)
u(x, t; k) =
(t2 - r2)(k-n-|γ|-1)/2rn+|γ|-1Mγrf(x) dr,
Γ((k - n - |γ| + 1)/2)Γ((n + |γ|)/2)
0
где Mγt f(x) - весовое сферическое среднее, определяемое равенством (6) или (7).
Пусть k ≥ n+|γ|-1 и 1 ≤ p ≤ ∞, тогда решение задачи Коши u = u(x, t; k) из теоремы 3
при начальной функции f ∈ Lp(Rn+) допускает оценку
∥u( · , t; k)∥p,γ ≤ Cn,γ,k∥f∥p,γ, t > 0.
Кроме того, lim
u(x, t; k) = f(x) почти при всех x ∈ Rn+.
t→0
Теорема 4. Пусть область G+ имеет вид, описанный в теореме 2, точка (x, t) нахо-
дится внутри или на границе множества G+, и пусть u ∈
ev
(G+). Решение
задачи Коши
△γu(x,t) = (Bk)tu, u = u(x,t;k),
(11)
∂u
u(x, 0; k) = f(x),
=0
(12)
∂t
t=0
при k < n + |γ| - 1, k = -1,-3,-5,... , имеет вид
(
)m
∂
u(x, t; k) = t1-k
(tk+2m-1u(x, t; k + 2m)),
(13)
t∂t
n + |γ| - k - 1
где m - минимальное целое число такое, что m ≥
и u(x, t; k + 2m) - решение
2
задачи Коши
(Bk+2m)tu = (Δγ )xu,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
1693
f (x)
u(x, 0; k + 2m) =
,
ut(x,0;k + 2m) = 0.
(k + 1)(k + 3) · · · (k + 2m - 1)
Решение (13) единственно при k ≥ 0 и не единственно при k < 0. Если f - B-полигармо-
ническая функция порядка (1-k)/2 и f ∈ C1-kev, то одно из решений задачи Коши (11), (12)
при k = -1,-3,-5,... имеет вид
u(x, t; k) = f(x), k = -1,
∑
Δhγf
t2h
u(x, t; k) = f(x) +
,
k = -3,-5,...
(k + 1) · · · (k + 2h - 1) 2 · 4 · · · 2h
h=1
Заключение. Приведённая теорема о единственности решения задачи Коши для общего
уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, доказанная энергетическим методом, дополняет резуль-
таты исследований задач для сингулярных гиперболических уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Киприянов И.А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М., 1997.
2. Euler L. Institutiones Calculi Integralis. V. III. Petropoli, 1770.
3. Poisson S.D. Mémoire sur l’intégration des équations linéaires aux diffrences partielles // J. de L’École
Polytechechnique. 1823. Ser. 1. V. 19. P. 215-248.
4. Darboux G. Leçons sur la théorie générale des surfaces et les applications géométriques du calcul
infinitésimal. II. Paris, 1888.
5. Weinstein A. On the wave equation and the equation of Euler-Poisson // Proc. of Symposia in Applied
Mathematics. V. 5. Wave Motion and Vibration Theory. New York; Toronto; London, 1954. P. 137-147.
6. Weinstein A. The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation // Summa
Brasiliensis Mathematicae. 1955. V. 3. P. 125-147.
7. Bresters D.W. On the equation of Euler-Poisson-Darboux // SIAM J. Math. Anal. 1973. V. 4. № 1.
P. 31-41.
8. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск, 1973.
9. Глушак А.В. Регулярное и сингулярное возмущения абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-
Дарбу // Мат. заметки. 1999. Т. 66. № 3. С. 364-371.
10. Глушак А.В., Покручин О.А. Критерий разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения
Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 1. С. 41-59.
11. Маричев О.И., Килбас А.А., Репин О.А. Краевые задачи для уравнений в частных производных с
разрывными коэффициентами. Самара, 2008.
12. Уринов А.К. К теории уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Фергана, 2015.
13. Зайцева Н.В. Смешанные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений с
оператором Бесселя. М., 2021.
14. Шишкина Э.Л. Общее уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу и гиперболические B-потенциалы
// Совр. математика. Фунд. направления. 2019. Т. 65. № 2. С. 157-338.
15. Шишкина Э.Л. Обобщённая дивергентная теорема и второе тождество Грина для B-эллиптиче-
ских и B-гиперболических операторов // Науч. ведомости Белгородского гос. ун-та. Математика.
Физика. 2019. Т. 51. № 4. С. 506-513.
16. Shishkina E.L., Sitnik S.M. General form of the Euler-Poisson-Darboux equation and application of the
transmutation method // Electron. J. Differ. Equat. 2017. V. 2017. № 177. P. 1-20.
Воронежский государственный университет,
Поступила в редакцию 22.11.2021 г.
Белгородский государственный национальный
После доработки 14.10.2022 г.
исследовательский университет
Принята к публикации 21.10.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
