ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1694-1701

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.958

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЭКСТИНКЦИИ

ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА

ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ

На основе математического анализа решения системы уравнений Максвелла для гранич-

ной задачи возбуждения нелокального рассеивателя, расположенного вблизи прозрачной

подложки, электрическим диполем произвольной поляризации получена универсальная

формула для сечения экстинкции. Формула позволяет определять сечение экстинкции,

вычисляя рассеянное поле лишь в одной единственной точке. Проведено обобщение полу-

ченного результата на случай возбуждения мультиполем произвольного порядка рассеива-

теля при наличии прозрачной подложки, при этом мультиполь может располагаться как

вблизи рассеивателя, так и внутри подложки. На основе проведённых исследований полу-

чена формула для вычисления квантового выхода флюоресценции, исключающая необхо-

димость вычисления сечения поглощения для рассеивателя с эффектом нелокальности.

DOI: 10.31857/S0374064122120111, EDN: NCWPAH

Введение. Явление флюоресценции широко используется в современных научных прибо-

рах как эффективное средство расшифровки спектров отдельных молекул [1, 2]. Критическим

параметром для оценки разрешающей способности таких приборов является величина кван-

тового выхода флюоресценции [3, 4]. Увеличение значений квантового выхода - первейшая

задача разработчиков подобных устройств. Основным элементом устройств является совокуп-

ность плазмонных частиц, располагающихся вблизи прозрачной подложки, при этом наиболь-

ший интерес представляет использование слоистых частиц [5, 6]. Вследствие непрерывного

развития технологий размеры самих частиц, равно как и толщины металлических слоёв, все

время уменьшаются. Тенденция минитюаризации влечёт за собой проявление эффекта нело-

кального экранирования в плазменном металле [6, 7]. Как известно, данный эффект приводит

к снижению интенсивности полей и сдвигу положения плазменного резонанса, что вызывает

существенные трудности при построении технологических схем подобных устройств.

Математическое моделирование процесса флюоресценции предполагает наличие эффек-

тивного способа вычисления квантового выхода флюоресценции с необходимостью оценки се-

чения рассеяния структуры C_scs, которое, собственно, и регистрируется, а также сечения

поглощения энергии в металле C_abc, которое представляется “паразитным” фактором, неиз-

бежно возникающим при использовании металлов [2, 4]. Для определения последнего прихо-

дится выполнять трудоемкие расчёты с интегрированием полей по поверхности структуры в

присутствии прозрачной подложки, что связано с многократным вычислением несобственных

интегралов Зоммерфельда [5]. Кроме того, присутствие нелокальности в металле приводит к

появлению продольных полей, которые осциллируют на порядок сильнее, чем классическое

поперечное поле [6]. Все это делает весьма затратной процедуру вычисления сечения погло-

щения в заданном диапазоне частот. Однако, поскольку квантовый выход представляется в

виде отношения η = C_scs/(C_scs + C_abc), возникает идея вычислять сечение экстинкции C_ext,

представленное в виде суммы C_ext = C_scs + C_abc, используя оптическую теорему.

Оптическая теорема (ОТ) представляет собой фундаментальный результат математиче-

ской теории дифракции [8, 9]. Первоначально доказанная для случая возбуждения рассеи-

вателя плоской волной, она определяла сечение экстинкции как функционал от диаграммы

направленности рассеянного поля на бесконечности в направлении прохождения плоской вол-

ны. Таким образом, сумма сечений рассеяния и поглощения определяется одним единственным

легко вычисляемым числом. В дальнейшем появилось обобщение ОТ на случай присутствия

1694

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЭКСТИНКЦИИ

1695

прозрачной подложки [10, 11]. Существенным моментом при оценке квантового выхода флюо-

ресценции является то, что возбуждение структуры в данном случае производится не плоской

волной, а электрическим диполем, располагающимся вблизи поверхности рассеивателя [6, 7].

В работе [12] было получено сечение экстинкции для мультиполя, располагающегося в сво-

бодном пространстве. В настоящей работе при анализе решения системы уравнений Максвелла

для нелокального рассеивателя, расположенного вблизи прозрачной подложки и возбуждае-

мого электрическим диполем произвольной поляризации, получена универсальная формула

для сечения экстинкции. Формула даёт возможность определять сечение экстинкции, вычис-

ляя рассеянное поле в одной единственной точке - точке расположения диполя. Проведено

обобщение этого результата на случай возбуждения мультиполем произвольного порядка рас-

сеивателя, располагающегося вблизи прозрачного полупространства. При этом мультиполь

может находиться как непосредственно вблизи рассеивателя, так и внутри прозрачного полу-

пространства.

1. Постановка граничной задачи. Перейдём к математической постановке граничной

задачи дифракции. Пусть локальный рассеиватель D_i, расположенный в верхнем полупро-

странстве D₀ (z > 0) : D_i ⊂ D₀ вблизи границы нижнего полупространства D₁ (z < 0),

возбуждается точечным диполем J(M, M₀) = eδ(M -M₀). Полные поля (E0,1, H0,1) в каждом

из полупространств D0,1 являются решениями уравнений Максвелла

∇ × H₀ = jkε₀E₀ + J,

∇ × E₀ = -jkμ₀H₀ в D₀\D_i,

∇ × H₁ = jkε₁E₁ + J,

∇ × E₁ = -jkμ₁H₁ в D₁,

ez × (E0 - E1) = 0,

ez × (H0 - H1) = 0 на Σ : (z = 0).

(1)

Временная зависимость величин выбрана в виде exp(jωt), где ω - частота колебаний, t -

время, ε₀ и ε₁ - диэлектрические проницаемости сред в областях D₀\D_i и D₁ соответственно,

а e_z - единичный вектор декартовой системы координат, соответствующий оси z. Кроме того,

поля (E_0,1, H0,1) должны удовлетворять следующим условиям излучения на бесконечности

[13]:

)

√

⁽r

lim

√μ0,1H0,1 -√ε0,1E0,1

= 0, r =

x² + y² + z², z = 0;

r→∞

√

max(| E0,1 |, | H0,1 |) = O(ρ-1/2); ρ =

x² + y², ρ → ∞, z = ±0.

(2)

Внутри локального рассеивателя D_i полное поле (E_i, H_i) удовлетворяет полукласси-

ческой системе уравнений Максвелла в рамках теории обобщённого нелокального отклика

(GNOR) [14], т.е.

∇ × H_i = jk[ε_i + ξ²∇(∇·)]E_i,

∇ × E_i = -jkH_i в D_i.

(3)

Здесь k = ω/c - волновое число, c - скорость света, ε_i - диэлектрическая проницаемость

среды внутри D_i, а

[

]

ξ²

=ε_b

ω(ω - jγ)

ξ - корреляционная длина нелокальности в рамках модели GNOR, ε_b = ε_i + ω2p/(ω(ω - jγ)),

ω_p - плазмонная частота металла, β² = (3/5)v^2F, v_F - скорость Ферми, γ - скорость затухания

и D - коэффициент диффузии электронов. Граничные условия на поверхности рассеивателя

∂D_i, включая дополнительное условие, могут быть записаны как

n_i × (E_i - E₀) = 0,

n_i × (H_i - H₀) = 0, ε_bn_i · E_i = ε₀n_i · E₀ в

∂D_i.

(4)

Будем считать, что ∂D_i ∈ C(2,α), а параметры среды удовлетворяют условиям Im ε_i ≤ 0,

Imε0,1 = 0, μ0,1 = 1. Тогда на основании результатов, представленных в работе [15], будем

полагать, что сформулированная выше граничная задача (1)-(4) имеет единственное класси-

ческое решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1696

ЕРЁМИН, ЛОПУШЕНКО

2. Оптическая теорема. Проведём некоторые предварительные построения. Выберем

сферу Σ_R с центром на плоскости Ξ, которая заключает область D_i и точку источника M₀

внутри. Обозначим получившуюся внутреннюю область как D_R. Плоскость Ξ разрезает D_R

на два полушара D^±R с поверхностями Σ^±R, располагающихся в областях D0,1 соответственно.

Применив формулу Гаусса к решению граничной задачи (1)-(4) в области D+R/D_i, получим

∫

∇ · [E₀ × H∗0]dτ =

[H∗0 · ∇ × E₀ - E₀ · ∇ × H∗0] dτ =

D⁺

/D_i

D_R

/D_i

∫

[-jk|H∗0|² + jkε₀|E₀|² - (E₀ · J^∗)] dτ =

[E₀ × H∗0] · n dσ,

(5)

D⁺/Di

^⋃∂D_i⋃ΞR

здесь n - внешняя нормаль к соответствующим поверхностям, Ξ_R - круг радиуса R на

плоскости Ξ, отсекаемый сферой Σ_R. Учитывая условия сопряжения для тангенциальных

компонент полей на ∂D_i, имеем

∫

[E₀ × H∗0] · n dσ =

[E_i × H^∗i] · n dσ.

(6)

∂D_i

В правой части равенства (6) стоит сечение поглощения C_abc. Выделяя реальные значения

от обеих частей (5), с учётом (6) получаем

∫

C_abc + Re

[E₀ × H∗0] · e_r dσ + Re

[E₀ × H∗0] · i_z dσ = -Re

(E₀ · J^∗) dτ.

Σ+R

Ξ_R

D⁺/Di

Аналогично в области D^-R имеем

∫

[E₁ × H∗1] · e_r dσ - Re

[E₁ × H∗1] · i_z dσ = 0.

Σ^-R

Ξ_R

Складывая два последних соотношения, с учётом условий сопряжения для полей на гра-

нице раздела Ξ полупространств получаем следующее соотношение:

∫

C_abc + Re

[E₀ × H∗0] · e_r dσ + Re

[E₁ × H∗1] · e_r dσ = -Re

(E₀ · J^∗) dτ.

(7)

Σ⁺

D_R

/D_i

Введём в рассмотрение диаграммы рассеяния F0,1(θ, ϕ) (см. [16, с. 131]) полей в верхнем

и нижнем полупространствах соответственно

-jk0,1r

E0,1(M) =

F0,1(θ,ϕ) + o(r-1), r → ∞,

определённые на единичных полусферах Θ^±, и k0,1 = k√ϵ0,1μ0,1. Для перехода к пределам

при R → ∞ в соотношении (7) следует учитывать особенности использования условий излуче-

ния (2) в присутствии подложки. Выделим сферический слой толщиной h, отсекаемый плоско-

стями, параллельными плоскости Ξ и расположенными по разные стороны от неё в верхнем

и нижнем полупространствах. Внутри областей, ограниченных верхней и нижней оставши-

мися частями сфер Σ^±R, справедливы классические условия излучения Сильвера-Мюллера.

В окрестности Ξ имеет место оценка max(|E0,1|, |H0,1|) = O(ρ-1/2), ρ → ∞. Тогда поток энер-

гии через боковую поверхность сферического слоя толщиной h имеет порядок O(h), причём

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЭКСТИНКЦИИ

1697

эта оценка не зависит от R. Устремляя h → 0, R → ∞ и учитывая классические условия

излучения, получаем из (5) соотношение

∫

^√ε₀

^√ε₁ ∫

C_abc +

|F₀|² dϖ +

|F₁|² dϖ = -Re

(E₀ · J^∗) dτ.

(8)

μ₀

μ₁

Θ⁺

Θ^-

D⁺/Di

Введём сечения рассеяния в верхнее и нижнее полупространство соответственно:

∫

^√ε0,1

C±scs =

|F0,1|² dϖ.

μ0,1

Θ^±

Тогда по аналогии со свободным пространством определим сечение экстинкции

C_ext = C_abc + C^+scs + C-scs.

Разобьем поле в верхнем полупространстве на рассеянное поле и поле диполя E₀ = Es0 +

+Ed0. При этом будем полагать, что каждое из них удовлетворяет условиям сопряжения на Ξ.

Тогда правая часть (8) может быть записана как

C_ext = -Re(e · Es0(M₀)) - Re (e · Ed0(M)|M=M0 ).

(9)

Для вычисления конкретного вида выражений в правой части (9) понадобится представ-

ление для поля электрического диполя в присутствии полупространства. Соответствующий

векторный потенциал имеет вид [17, с. 37]

∫

A(M) =

G^e(M,P)J(P)dτ_P ,

4π

D₀/D_i

где G^e(M, M₀) - тензор Грина полупространства

⎡

⎤

G₁₁

G^e(M,M₀) = ⎣

G₁₁

⎦_.

(10)

∂g/∂x

∂g/∂y G₃₃

Компоненты тензора Грина могут быть записаны в виде интегралов Зоммерфельда:

∫∞

∫

∞

Gββ (M, M0) = J0(λr)vββ (λ, z, z0)λ dλ, β = 1, 3; g31(M, M0) = J0(λr)v31(λ, z, z0)λ dλ.

Здесь r² = (x - x₀)² + (y - y₀)², J₀ - цилиндрическая функция Бесселя, (x₀, y₀, z₀) - декарто-

вы координаты источника, расположенного в точке M₀. В данном случае для спектральных

функций v₁₁, v₃₃, v₃₁ [17, с. 39], обеспечивающих непрерывность тангенциальных компонент

полей при z = 0, имеют место следующие представления:

exp{-η₀|z - z₀|}

exp{-η₀z}

v_ββ(λ,z,z₀) =

+ A_ββ(λ,z₀)

z₀ > 0, z > 0;

η₀

v₃₁(λ,z,z₀) = A₃₁(λ,z₀)exp{-η₀z₀}, z₀ > 0, z > 0,

где η20,1 = λ² -k20,1. Спектральные коэффициенты определяются из условий для скачков полей

при z = 0 [17, с. 40]. Отсюда легко получается, что

η₀ - η₁

ε₁η₀ - ε₀η₁

A₁₁(λ,z₀) =

exp{-η₀z₀}, A₃₃(λ, z₀) =

exp{-η₀z₀},

η₀ + η₁

ε₁η₀ + ε₀η₁

2(ε₁ - ε₀) exp{-η₀z₀}

A₃₁(λ,z₀) =

(η₀ + η₁)(ε₁η₀ + ε₀η₁)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

1698

ЕРЁМИН, ЛОПУШЕНКО

Отметим, что первое слагаемое в первой строке спектральной функции соответствует фун-

даментальному решению уравнения Гельмгольца 4πΨ(M, M₀). Таким образом, поле электри-

ческого диполя, удовлетворяющее условиям сопряжения для полей на границе раздела полу-

пространств, принимает вид

∫

Ed0(M) = -

∇×∇×

G^e(M,P) · J(P)dτ_P .

4πk₀

D₀/D_i

Рассмотрим компоненты вектора поляризации возбуждающего диполя в декартовой сис-

теме координат. Начнём с вертикального диполя, т.е. компоненты с e_z. Имеем

Ed(z)0(M) = -j

∇ × ∇ × {Ψ(M,M₀)e_z} -

∇ × ∇ × {G₃₃(M,M₀)e_z},

4πk₀

здесь первое слагаемое представляет собой поле диполя в свободном пространстве с волновым

числом k₀. Для удобства дальнейшего рассмотрения преобразуем выражение

(

)

⁽e^-jk0^RMM0)=-j

Ψ(M, M₀)

= Im

0(k0RMM₀ ),

k₀

k₀RMM0

где j₀(k₀RMM0 ) - сферическая функция Бесселя [18, с. 785]. Тогда справедливы равенства

(

)

∂²

e_z · ∇ × ∇ × [j₀(M)e_z] = -|e_z|²△j₀(M) + e_z∇∇ · (j₀(M)e_z) = |e_z|² k²⁰j₀(M) +

j₀(M)

∂z²

В результате получим для сингулярной части выражение

(

)

|e_z|

∂²

k²⁰

∇ × ∇ × {j₀(M)e_z}M=M0 =

k²⁰j₀(M) +

j₀(M)

|e_z|².

(11)

4πk₀

4π

∂z²

6π

M=M₀

Рассмотрим подробнее второе слагаемое, в котором G₃₃ - соответствующий элемент тен-

зора Грина (10) без сингулярности. Поскольку компоненты тензора (10) удовлетворяют урав-

нению Гельмгольца в полупространстве D₀, то аналогично имеем



[



]



∂²



e_z · ∇ × ∇ × [G₃₃(M,M₀)e_z]^

= |e_z|2 k20G33(M,M0) +

G₃₃(M,M₀)



∂z²

M=M₀

∫

∞

∫

∞

ε₁η₀ - ε₀η₁ exp{-2η₀z₀}

= |e_z|²

(k²⁰ + η²⁰)

λ dλ = |e_z|2

λ³ dλ.

ε₁η₀ + ε₀η₁

η₀

ε₁η₀ + ε₀η₁

η₀

Выделив вещественную часть последнего интеграла, с учётом отсутствия мнимой части у

волнового числа k₁ получим

∫

∞

ε₁η₀ - ε₀η₁ exp{-2η₀z₀}

(Ed(z)0 · J^∗) dτ =|ez|²

λ³ dλ =

4πk₀

ε₁η₀ + ε₀η₁

η₀

D₀

k₁

∫

|e_z|

ε₁η₀ - ε₀η₁ exp{-2η₀z₀}

λ³ dλ.

4πk₀

ε₁η₀ + ε₀η₁

η₀

Рассмотрим теперь случай горизонтального диполя, соответствующего компоненте e_x.

Как и в предыдущем случае, достаточно рассмотреть лишь соответствующий элемент тен-

зора без сингулярности, поскольку для сингулярной части будет иметь место соотношение,

∂

полностью аналогичное (11). Таким образом, для G₁₁(M, M₀) +

g(M, M₀) имеем

∂x

[

]



∂



e_x · ∇ × ∇ × G₁₁(M,M₀) +

g(M, M₀) e_x



∂x

M=M₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЭКСТИНКЦИИ

1699

[



]

[

]

∂



∂²

∂³



= k²⁰|e_x|² G₁₁(M,M₀) +

g(M, M₀)

G₁₁(M,M₀) +

g(M, M₀)



∂x

∂x²

∂x³

M=M₀

Сразу отметим то обстоятельство, что наличие любых производных нечётного порядка по

x или y от интеграла, содержащего J₀(λr), приводит к обнулению результата при M = M₀

(r = 0). В этом легко убедиться, записав ряд для функции Бесселя J₀(x), который содержит

лишь чётные степени аргумента [18, c. 777]. Учитывая данное обстоятельство, получаем

[



]

∫

∞

(

∂²



λ²

⁾η₀ - η₁ exp{-2η₀z₀}



|e_x|²

k²⁰G₁₁(M,M₀) +

G₁₁(M,M₀)

= |e_x|2

k²⁰ -

λ dλ



∂x²

η₀ + η₁

η₀

M=M₀

или

k₁

∫

η₀ - η₁ exp{-2η₀z₀}

(Ed(x)0 · J^∗) dτ =|ex|²

(2k²⁰ - λ²)

λ dλ.

8πk₀

η₀ + η₁

η₀

D₀

Аналогичное соотношение можно получить и для случая горизонтального диполя, соот-

ветствующего компоненте e_y. Собрав слагаемые, имеем

k₁

∫

k²

|e_z|

ε₁η₀ - ε₀η₁ exp{-2η₀z₀}

- Re (e · Es0) =

|e|² -

λ³ dλ -

6π

4πk₀

ε₁η₀ + ε₀η₁

η₀

k₁

∫

(|e_x|² + |e_y|²)

η₀ - η₁ exp{-2η₀z₀}

(2k²⁰ - λ²)

λ dλ.

8πk₀

η₀ + η₁

η₀

Теорема 1. Оптическая теорема (или, как её иногда называют, теорема экстинкции)

для граничной задачи (1)-(4) принимает следующий вид:

k₁

∫

k²

|e_z|

ε₁η₀ - ε₀η₁ exp{-2η₀z₀}

C_ext = -Re(e · Es0) +

|e|² -

λ³ dλ -

6π

4πk₀

ε₁η₀ + ε₀η₁

η₀

k₁

∫

(|e_x|² + |e_y|²)

η₀ - η₁ exp{-2η₀z₀}

(2k²⁰ - λ²)

λ dλ.

(12)

8πk₀

η₀ + η₁

η₀

Проведём анализ полученного соотношения (12). Напомним, что сечение экстинкции сос-

тоит из C_ext = C_abc + C^+scs + C-scs. Здесь два последних слагаемых представляют собой сечения

рассеяния полного поля, включая поле диполя, в верхнем и нижнем полупространствах. Убе-

рём теперь рассеиватель, т.е. положим Es0 = 0, тогда и C_abc = 0. Последнее легко установить,

если, аналогично предыдущему, использовать теорему дивергенции внутри области, занятой

рассеивателем, для поля диполя Ed0. Таким образом, в левой части соотношения (12) останет-

ся лишь сумма Cd+scs +Cd-scs, а в правой части исчезнет слагаемое, соответствующее рассеянному

полю. Обозначим оставшуюся сумму как C^di = Cd+scs + Cd-scs. Она представляет собой полное

сечение излучения диполя как в верхнее, так и в нижнее полупространство. Тогда формулу

(12) для сечения экстинкции можно записать как

C_ext = -Re(e · Es0) + C^di.

(13)

Полученную формулу (13) будем называть универсальной формулой для сечения экстинк-

ции, соответствующей локальному источнику первичного излучения в присутствии прозрач-

ного полупространства.

Итак, установлено, что вместо того чтобы вычислять сечение поглощения, интегрируя по

поверхности рассеивателя (6), достаточно вычислить проекцию рассеянного поля на вектор

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

8^∗

1700

ЕРЁМИН, ЛОПУШЕНКО

поляризации электрического диполя в одной единственной точке - точке расположения диполя

и добавить к нему сечение излучения диполя.

Таким образом, квантовый выход флюоресценции может быть записан как

C^+scs + C-scs

η=

C_ext

где C_ext имеет вид (13).

Замечание 1. С вычислительной точки зрения формула (13) представляется более эконо-

мичной. Так как при вычислении сечений рассеяния C±scs приходится интегрировать диаграм-

му рассеянного поля плюс диаграмму источника, вычисление отдельно интеграла от источника

излучения не ведет к дополнительным затратам ресурсов.

В работе [12] было получено выражение для экстинкции для случая возбуждения локаль-

ного проницаемого рассеивателя, расположенного в свободном пространстве, произвольным

мультиполем. В этом случае в качестве функции тока вместо диполя J(M, M₀) = eδ(M - M₀)

использовалось представление для мультипольного источника следующего вида:

J(M, M₀) = eD^mnδ(M - M₀),

где дифференциальный оператор

)]_m

^[j⁽ ∂

∂

⁽j ∂⁾

D^mn = (-1)^mjⁿ

-j

P(m)

∂x

∂y

ⁿ k∂z

∂^mP_n(cos θ)

здесь

n (cos θ) =

, P_n(cos θ) - полином Лежандра, а (n,m) - порядки мульти-

∂(cos θ)^m

поля [12]. Отметим [19], что оператор D^mn возникает из представления поля мультипольного

источника, записанного следующим образом: hn2)(kr)P^mn(cos θ) exp(-jmϕ) = D^mnh⁽²⁾⁰(kRMM0 ),

где h⁽²⁾⁰ - сферическая функция Ханкеля. Тогда, как было установлено, главная часть сечения

экстинкции может быть представлена в виде

σ_ext = -Re[Dm+n(Es0(M) · e)]M=M0 ,

где Dm+n - эрмитово-сопряжённый оператор по отношению к D^mn. При этом рассеянное поле

Es0 является аналитической функцией всюду вне рассеивателя, поэтому взятие производных

не представляет проблемы [16, с. 132]. В данном случае, основываясь на универсальной фор-

муле для сечения экстинкции (13), можно обобщить полученный выше результат на случай

возбуждения локального рассеивателя в присутствии прозрачной подложки произвольным

мультиполем. В этом случае имеет место

Теорема 2. В случае возбуждения локального рассеивателя, расположенного вблизи про-

зрачной подложки, мультиполем порядка (n, m) сечение экстинкции принимает вид

C_ext = -Re[Dm+n(Es0(M) · e)]M=M0 + Cmulti,

(14)

где Cmulti - сечение излучения мультиполя в присутствии полупространства.

Отметим, что именно это обстоятельство имелось ввиду под универсальностью форму-

лы (13).

Замечание 2. В обоих случаях в формулировках (13), (14) точка M₀ в равной степени

может находиться как в верхнем D₀, так и в нижнем D₁ полупространстве.

Заключение. Сформулируем основные результаты работы.

1. Для системы уравнений Максвелла с учётом эффекта нелокальности получено базовое

соотношение для сечения экстинкции при возбуждении рассеивателя электрическим диполем

в присутствии прозрачной подложки.

2. Получена универсальная формула, позволяющая определять сечение экстинкции, вы-

числяя рассеянное поле в одной единственной точке.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ЭКСТИНКЦИИ

1701

3. Проведено обобщение универсальной формулы на случай возбуждения мультиполем про-

извольного порядка, при этом мультиполь может располагаться как вблизи рассеивателя, так

и внутри подложки.

4. Получена формула для расчёта квантового выхода флюоресценции, исключающая необ-

ходимость вычисления сечения поглощения для рассеивателя с эффектом нелокальности.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2022-284.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Adhikari S., Orrit M. Progress and perspectives in single-molecule optical spectroscopy // J. Chem. Phys.

2022. V. 156. P. 160903.

2. Ugwuoke L.C., Mančal T., Krüger T.P.J. Plasmonic quantum yield enhancement of a single molecule

near a nanoegg // J. Appl. Phys. 2020. V. 127. P. 203103.

3. Sui N., Wang L., Yan T., et al. Selective and sensitive biosensors based on metal-enhanced fluorescence

// Sensors and Actuators. B. 2014. V. 202. P. 1148-1153.

4. Liaw J-W., Chen H-C., Kuo M-K. Comparison of Au and Ag nanoshells’ metal-enhanced fluorescence

// J. Quantitat. Spectr. Radiat. Trans. 2014. V. 146. P. 321-330.

5. Гришина Н.В., Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников для анализа усиле-

ния флюоресценции в присутствии плазмонных структур // Журн. вычислит. математики и мат.

физики. 2016. Т. 5. № 1. С. 131-139.

6. Tserkezis C., Stefanou N., Wubs M., Mortensen N. Molecular fluorescence enhancement in plasmonic

environments: exploring the role of nonlocal effects // Nanoscale. 2016. V. 8. P. 17532-17541.

7. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Математическая модель процессов флюоресценции с учетом кван-

тового эффекта нелокального экранирования // Мат. моделирование. 2019. Т. 31. № 5. С. 85-102.

8. Newton R.G. Optical theorem and beyond // Am. J. Phys. 1976. V. 44. № 7. P. 639-642.

9. Berg M.J., Sorensen C.M., Chakrabarti A. Extinction and the optical theorem. Part I. Single particles

// J. Opt. Soc. Am. A. 2008. V. 25. № 7. P. 1504-1513.

10. Еремин Ю.А. Обобщение оптической теоремы на основе интегро-функциональных соотношений

// Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 9. С. 1168-1172.

11. Small A., Fung J., Manoharan V.N. Generalization of the optical theorem for light scattering from a

particle at a planar interface // J. Opt. Soc. Am. A. 2013. V. 30. P. 2519-2525.

12. Еремин Ю.А. Обобщение оптической теоремы для мультиполя на основе интегральных преобразо-

ваний // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 9. C. 1156-1161.

13. Jerez-Hanckes C., Nédélec J.C. Asymptotics for Helmholtz and Maxwell solutions in 3-D open waveguides

// Commun. Computat. Phys. 2012. V. 11. № 2. P. 629-646.

14. Mortensen N.A., Raza S., Wubs M., Søndergaard T., Bozhevolnyi S.I. A generalized non-local optical

response theory for plasmonic nanostructures // Nat. Commun. 2014. V. 5. P. 3809.

15. Ma C., Zhang Y., Zou J. Mathematical and numerical analysis of a nonlocal Drude model in

nanoplasmonics // arXiv:1906.04790v1 [math.NA]. 2019.

16. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.

17. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике.

М., 2008.

18. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1973.

19. Devaney A.J., Wolf E. Multipole expansions and plane wave representations of the electromagnetic field

// J. Math. Phys. 1974. V. 15. P. 234-244.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 25.08.2022 г.

имени М.В. Ломоносова

После доработки 16.09.2022 г.

Принята к публикации 21.10.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№ 12

2022