ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1712-1715
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.956+517.984.5
ФОРМУЛА СЛЕДА
ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА НА КВАДРАТЕ
© 2022 г. З. Ю. Фазуллин
Получена классическая формула следа Гельфанда-Левитана с вычетом первой поправки
теории возмущений для оператора Лапласа на квадрате, возмущённого оператором умно-
жения на функцию специального вида. Выдвинута гипотеза о формуле регуляризованного
следа в общей ситуации.
DOI: 10.31857/S0374064122120147, EDN: NDFAJH
Рассмотрим оператор L0u = -Δu с краевыми условиями Дирихле в пространстве L2(K),
где K = {(x, y) :
0 ≤ x,y ≤ π}. Хорошо известно, что спектр оператора L0 состоит из
собственных чисел λkm = k2 + m2, k, m = 1, 2, . . . , и fkm(x, y) = (2/π) sin(kx) sin(my) -
соответствующие им ортонормированные собственные функции. Пусть V - оператор умноже-
ния на ограниченную измеримую функцию v(x, y), действующий в L2(K), и L = L0 + V -
возмущённый оператор с граничными условиями Дирихле на множестве K.
В работах [1-3] для задачи Дирихле оператора L = Ls0 + V, s > 1, было доказано, что
существует подпоследовательность {nl}∞l=1 ⊂ N такая, что выполняется равенство
∑
lim
[μkm - λskm - (V fkm, fkm)] = 0.
(1)
l→∞
k2+m2≤nl
Отметим, что справедливость тождества (1), в общем случае, для произвольных ограни-
ченных возмущений самосопряжённого оператора L0 с дискретным спектром имеет место,
если N(t, L0) = o(t), t → ∞ (см. [2]).
Согласно хорошо известной асимптотической формуле Вейля при s > 1
N (t, Ls0) = o(t), t → ∞,
при s = 1 имеем
π
N (t, L0) =
t + o(t), t → ∞.
4
Следовательно, в нашем случае, т.е. при s = 1, ожидать того, что правая часть в (1)
равна нулю, не приходится. Например, для оператора Лапласа-Бельтрами L0 на двумерной
сфере S2 (N(t, L0) = t + o(t), t → ∞), возмущённого оператором умножения на функцию,
правая часть в (1) отлична от нуля (см. работы [4-8]).
В обзорной статье [9, c. 146] в разделе “Некоторые нерешённые задачи” подчеркивается,
что “конкретный “спортивный” интерес давно вызывает формула первого регуляризованного
следа для оператора Лапласа на квадрате”. Трудности исследования этой задачи прежде всего
вызваны сложной структурой собственных чисел λkm = k2 + m2 : нет формулы упорядочения
λkm по росту через один индекс: λn < λn+1, не известны (нам) асимптотика кратностей λn и
оценка снизу наибольшей лакуны в спектре. Это, в свою очередь, усложняет изучение асимп-
тотики второй поправки теории возмущений, составляющей основу метода доказательства
разработанной нами формулы следа для L0-компактных возмущений операторов с дискрет-
ным спектром [10]. На основе работы [10] выдвинем следующую гипотезу для рассматриваемой
задачи.
1712
ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
1713
Гипотеза. Пусть v ∈ W22(K). Тогда существует подпоследовательность {nl}∞l=1 ⊂ N та-
кая, что справедливы равенства
∑
lim
ρ(nl + 0) = lim
[λkm + (V fkm, fkm) - μkm] =
l→∞
l→∞
k2+m2≤nl
[∫
)2]
1
(1∫
=
v2(x,y)dxdy -
v(x, y) dx dy
8π
π
K
K
Нам удалось доказать эту гипотезу в случае, когда у функции v переменные разделя-
ются. Идея доказательства была анонсирована в статье [11] в предположении существования
подпоследовательности {nl}∞l=1, доказательство существования которой приведём в данной
работе.
Итак, рассмотрим оператор L в пространстве L2(K), порождённый краевой задачей
lu = -Δu + v(x,y)u, u|∂K = 0.
Пусть v(x, y) = v1(x) + v2(y), тогда в уравнении
-Δu + v(x,y)u = μu
переменные разделяются и задача сводится к изучению спектра обыкновенных дифференци-
альных операторов в L2(0, π):
Lif(t) = -f′′(t) + vi(t)f(t), f(0) = f(π) = 0, i = 1,2,
т.е. L = L1 + L2.
√
Пусть σ(Li) = {μ(i)k}∞k=1- спектр оператора Li, i = 1, 2, fk(t) =
2/π sin(kt) - ортонор-
мированные собственные функции оператора L0f(t) = -f′′(t) с условиями f(0) = f(π) = 0,
соответствующие собственным числам λk = k2. Причём нетрудно убедиться в том, что если
vi(t) ∈ W22(0,π), то справедлива асимптотическая формула
μ(i)k = k2 + (vifk,fk) -ci
+ O(k-4),
(2)
k2
где
[∫π
(
∫
π
)2]
1
1
ci =
v2i(t)dt -
(3)
4π
√πvi(t)dt
0
0
Замечание. Отметим, что асимптотика второй поправки теории возмущений
∑
(vifk, fm)2
ci
α(i)k =
=
+ O(k-4)
m2 - k2
k2
m=k
получена в статье [12] при более жёстких условиях на функцию vi(t), причём во втором слагае-
мом в (3) была допущена неточность: вместо коэффициента 1/√π в этой работе коэффициент
равен единице.
Теперь докажем утверждение о выборе подпоследовательности {nl}∞l=1 ⊂ N, по которой
производится суммирование со скобками.
Лемма. Пусть l2+z = k2+m2, l, k, m = 1, 2, . . . , 1 ≤ z ≤ 2l+1, z ∈ N. Тогда существует
подпоследовательность {zl}∞l=1 ⊂ N такая, что
nl = l2 + zl = k2 + m2,
причём для всех l ≥ 14, и
l + 1 < zl ≤ 2l + 1,
т.е. zl → ∞ при l → ∞.
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
1714
ФАЗУЛЛИН
Доказательство. Пусть l ∈ N и l ≥ 2. Положив k = l - 1 в равенстве l2 + zl = k2 + m2,
получим, что
zl = m2 - 2l + 1.
(4)
√
√
Пусть m = [
3l] + 1, тогда m >
3l. Следовательно, из (4) вытекает, что
zl > l + 1.
(5)
Теперь покажем, что при нашем выборе m для всех l ≥ 14 выполняется неравенство
zl ≤ 2l + 1.
(6)
Действительно, в силу (4) и (5) имеем
√
√
zl = ([
3l] + 1)2 - 2l + 1 ≤ l + 2 + 2
3l,
отсюда вытекает справедливость равенства (6), поскольку l2 - 14l + 1 ≥ 0 для всех l ≥ 14.
Лемма доказана.
Справедлива следующая
Теорема. Пусть v(x, y) = v1(x) + v2(y), vi(t) ∈ W22(0, π). Тогда существует подпоследо-
вательность {nl}∞l=1 = {l2 + zl}∞l=1 ⊂ N такая, что
∑
lim
ρ(l2 + zl + 0) = lim
[k2 + m2 + (V fkm, fkm) - μkm] =
l→∞
l→∞
k2+m2≤l2+zl
[∫
)2]
1
(1∫
=
v2(x,y)dxdy -
v(x, y) dx dy
(7)
8π
π
K
K
Доказательство. Вначале заметим, что так как N(t, Li) = o(t), t → ∞, то
∑
(k2 + (vifk, fk) - μ(i)k) = 0, i = 1, 2.
(8)
k=1
Далее, пусть l2 + zl = k2 + m2, k, m = 1, 2, . . . , числа zl из леммы.
√
Положим 1 ≤ m ≤ l, k = [
l2 + zl - m2]. Тогда в силу соотношений (2) и (8) будем иметь
равенства
∑
ρ(l2 + zl + 0) =
[k2 + m2 + (V fkm, fkm) - μkm] =
k2+m2≤l2+zl
√
∑
∑[
l2+zl-m2]∑
=
(k2 + (vifk, fk) - μ(i)k) =
i=1 m=1
k=1
{ [√zl]∑
(
)}
∑
∑
∑
ci
=
[k2 + (vifk, fk) - μ(i)k] +
+ O(k-4)
(9)
√
k2
i=1
k=1
m=1k=[
l2+zl-m2]+1
Далее нетрудно убедиться в справедливости соотношения
(
)
∑
∑
ci
πci
lim
+ O(k-4)
=
(10)
l→∞
√
k2
2
m=1k=[
l2+zl-m2]+1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ ОГРАНИЧЕННОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
1715
Теперь переходим к пределу при l → ∞ в равенстве (9). Поскольку в силу леммы zl → ∞
при l → ∞, то, использовав равенства (8) и (10), формулу (3) и тождество
∫
)2
[∫π
(
∫
π
)2]
∑
(1∫
1
(v1(x) + v2(y))2 dx dy -
(v1(x) + v2(y)) dx dy
=π
v2i(x)dx-
,
π
√πvi(x)dx
i=1
K
K
0
0
убедимся в справедливости равенства (7). Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования
Российской Федерации по соглашению № 075-02-2022-888.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дубровский В.В., Пузанкова Е.А. Оценка разности спектральных функций и формулы регуля-
ризованных следов степени оператора Лапласа, заданного на треугольнике или квадрате, в Lp,
1 ≤ p ≤ 2 // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 4. С. 552-555.
2. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. О формулах следов для неядерных возмущений // Докл. РАН.
1999. Т. 368. № 4. С. 442-444.
3. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов с относительно компактным возмущением
// Мат. сб. 2002. Т. 193. № 2. С. 129-152.
4. Садовничий В.А., Дубровский В.В. Классическая формула регуляризованного следа для собствен-
ных чисел оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом на сфере S2 // Докл. АН СССР. 1991.
Т. 319. № 1. С. 61-62.
5. Подольский В.Е. Формула регуляризованного следа оператора Лапласа-Бельтрами с потенциалом
на сфере S2 // Мат. заметки. 1994. Т. 56. № 1. С. 71-77.
6. Фазуллин З.Ю. Регуляризованная формула следа для возмущения оператора Лапласа-Бельтрами
// Тез. докл. междунар. конф. о комплексном анализе и сопряжённых вопросах. Нижний Новгород,
1997. С. 80-81.
7. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Формула первого регуляризованного следа для возмущения опе-
ратора Лапласа-Бельтрами // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 3. С. 402-409.
8. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Атнагулов А.И. Свойства резольвенты оператора Лапласа на
двумерной сфере и формулы следов // Уфимск. мат. журн. 2016. Т. 8. № 3. С. 22-40.
9. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. № 5. С. 89-
156.
10. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю., Нугаева И.Г. Спектр и формула следа для ограниченных воз-
мущений дифференциальных операторов // Докл. РАН. 2018. Т. 483. № 1. С. 19-21.
11. Муртазин Х.Х., Фазуллин З.Ю. Неядерные возмущения дискретных операторов и формулы следов
// Мат. сб. 2005. Т. 196. № 12. С. 123-156.
12. Дикий Л.А. Формулы следов для дифференциальных операторов Штурма-Лиувилля // Успехи
мат. наук. 1958. Т. 13. № 3. С. 111-143.
Башкирский государственный университет,
Поступила в редакцию 25.09.2022 г.
г. Уфа
После доработки 25.09.2022 г.
Принята к публикации 21.10.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
9∗
