ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 12, с. 1716-1718
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.977.1
ТОЧНАЯ ОЦЕНКА ОШИБКИ НАБЛЮДЕНИЯ
ДЛЯ АЛГОРИТМА “СУПЕР-СКРУЧИВАНИЯ”
ПРИ НАЛИЧИИ ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ
© 2022 г. В. В. Фомичев, А. О. Высоцкий
Рассматривается задача наблюдения для двумерной системы с неизвестным входным воз-
действием при наличии погрешности измерения. Для метода построения наблюдателя, ос-
нованного на алгоритме “супер-скручивания”, построены точные оценки величины ошибки
наблюдения.
DOI: 10.31857/S0374064122120159, EDN: NDLQAZ
Введение. Исследования алгоритмов управления на основе переключаемых систем, сис-
тем с переменной структурой (и с использованием скользящих режимов, в частности) нача-
лись ещё в 60-70-е годы прошлого века (см., например, [1, 2]). В настоящее время это научное
направление активно развивается (отметим монографии [3, 4]). Популярность таких алгорит-
мов объясняется их робастностью по отношению к внешним возмущениям. Одной из задач, в
которой активно и успешно используются алгоритмы управления с использованием разрыв-
ных и нелинейных законов, является задача построения наблюдателей для систем с внешними
возмущениями. В ряде работ показано, что эта задача может быть сведена к каскаду дву-
мерных случаев (см., например, [5]), решение для которого, алгоритм “супер-скручивания”
(super-twisting), было описано в работах [6, 7]. Для анализа такого алгоритма требуется иссле-
довать на устойчивость систему
x1 = x2 - k1 sgn (x1)|x1|1/2,
x2 = ξ - k2 sgn (x1),
(1)
где ξ - неизвестное ограниченное входное воздействие. Для систем вида (1) были получе-
ны условия глобальной асимптотической устойчивости [8-10]. Пользуясь этим алгоритмом,
можно, в частности, решать задачи наблюдения для динамических систем в условиях неопре-
делённости, если выходной сигнал системы известен точно.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача наблюдения для двумерной системы
x1 = x2,
x2 = ξ, y = x1 + δ,
где ξ - неизвестное ограниченное возмущение, |ξ| ≤ ξ0; δ - неизвестная ограниченная по-
грешность измерения, |δ| ≤ Δ. Требуется построить оценку вектора состояния системы.
Для решения задачи можно использовать наблюдатель вида
x1 = x2 + sign (ε1)|ε1|1/2,
x2 = μsign (ε1),
где ε1 = y- x1 = x1 - x1 +δ, а μ > ξ0. Для ошибки оценивания с помощью такого наблюдателя
справедливы уравнения
ė1 = e2 - sgn (e1 + δ)|e1 + δ|1/2,
ė2 = ξ - μsgn (e1 + δ),
(2)
где e = x - x. В работе [5] было показано, что траектория системы (2) сходится в окрестность
начала координат, малую при малом Δ, и была получена оценка величины этой окрестности.
Целью данной работы является уточнение полученных результатов - получение вида области
сходимости системы (2) и точной оценки величины этой области.
1716
ТОЧНАЯ ОЦЕНКА ОШИБКИ НАБЛЮДЕНИЯ
1717
2. Система с наихудшими возмущениями. Поскольку уравнения системы (2) симмет-
ричны относительно e1, то всюду далее будем рассматривать систему (2) в правой полуплос-
кости, т.е. при e1 > 0. Положим начальные условия (0, e02), e02 > 0. Будем рассматривать
систему (2) при наихудшем возмущении ξ(t) и наихудшей погрешности δ(t).
Сначала рассмотрим систему при e1 < Δ, e2 > 0. В этой области справедливо неравенство
ė2 ≤ μ + ξ0, причём если
ė2 > 0 (т.е. если δ(t) < -e1(t) < 0), то
ė1 ≥ e2. Таким образом,
траектории системы (2) в этой области будут ограничены траекторией системы
ė1 = e2,
ė2 = ξ0 + μ.
(3)
Обозначим через t′ момент времени, за который система (3) доходит до границы области,
т.е. до момента, когда e1 = Δ, e2(t′) = e′2.
В области e1 > Δ будет справедлива система неравенств
sign (e1 + δ) = sign (e1),
ė1 ≤ e2 - (e1 - Δ)1/2,
-μ - ξ0 ≤ ė2 ≤ -μ + ξ0.
Из этого следует, что траектории системы (2) в этой области будут ограничены кривой (e1(t)+
+ Δ,e2(t)) системы
e1 = e2 - e1/21,
ė2 = ξ0 sign
e1) - μ
(4)
с начальными условиями e1(0) = 0, e2(0) = e′2, где e1 = e1 - Δ. Для такой системы известно
[5], что если μ > ξ0 + 1/8, то координата пересечения оси e1 = 0 равна e′′2 = -ν(ξ0, μ)e′2, где
√
)
μ+ξ0
(-2π + 2arctg√8(μ + ξ0) - 1
2 arctg
8(μ - ξ0) - 1
(ν(ξ0, μ))2 =
exp
√
-
√
μ-ξ0
8(μ + ξ0) - 1
8(μ - ξ0) - 1
После этого система попадает в область e1 < Δ, e2 < 0. Для неё, аналогично области
e1 < Δ, e2 > 0, можно показать, что траектории системы (2) будут ограничены траекторией
системы
ė1 = e2,
ė2 = -μ - ξ0
(5)
с начальными условиями e1(0) = Δ, e2(0) = e′′2. Оставшееся время пребывания системы в
правой полуплоскости обозначим как t′′, координату пересечения оси e1 = 0 - e12.
Решив уравнения ограничивающих систем (3), (5), получим систему уравнений
μ+ξ0
μ+ξ0
e02t′ +
(t′)2 = Δ,
-νe′2t′′ -
(t′′)2 = -Δ,
2
2
e′2 = e02 + (μ + ξ0)t′, e12 = -νe′2 - (μ + ξ0)t′′.
(6)
Найдём из первых двух уравнений t′, t′′ и подставим полученные значения в последние два.
В результате получим
√
|e12| = (νe02)2 + 2(μ + ξ0)(1 + ν2)Δ.
Значит, условие скручивания |e12| ≤ e02 выполнено тогда и только тогда, когда выполнено
неравенство
2(μ + ξ0)(1 + ν2)Δ
(e02)2 ≥
1-ν2
После аналогичных рассуждений для левой полуплоскости имеем утверждение.
Теорема. Система (2) с ограниченной погрешностью |δ(t)| ≤ Δ и таким μ > ξ0 +
+ 1/8, что ν(μ, ξ0) < 1, сходится в область, ограниченную траекторией систем (3)-(5) в
соответствующих областях, при следующих начальных условиях для системы (3) на оси
e1 = 0:
√
2(μ + ξ0)(1 + ν2)Δ
e01 = 0, e02 =
1-ν2
Эта область описывается предельным циклом при наихудших возмущениях и указанных
начальных условиях.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
1718
ФОМИЧЕВ, ВЫСОЦКИЙ
3. Оценка размеров области сходимости. Оценим размеры области, в которую гаран-
тированно попадает система. Очевидно, что максимальное значение e2 = e′2. Максимальное
же значение e1 = Δ + e1,max, где e1,max - максимальное значение e1(t) из (4) при движении
системы в исследуемой области.
Для системы (4) в работе [5] был получен параметрический вид решения. Для интервала
времени, когда
e1 ≥ 0, справедливо равенство
(
(
))
1
1
4bz + e2
ln(-2bz2 - ze2 + e22) +
√
arctg
√
= const,
2
-8b - 1
-e2
-8b - 1
где z = e1/21, b = -μ + ξ0. Максимально значение e1 достигается тогда, когда e2 = e1/21 = z.
Подставив это условие, а также начальные условия z(0) = 0 в уравнение, получим
{
(
(
)
(
))}
2
(e′2)
2
4b + 1
1
e1,max =
exp
√
arctg
√
- arctg
√
-2b
-8b - 1
-8b - 1
-8b - 1
Из системы (6) найдём e′2 и получим точную оценку на величину области сходимости
системы (2) при ограниченном δ.
Следствие. В случае выполнения условий теоремы система (2) сходится в область
√
2
|e2| ≤
2Δ(μ + ξ0)
=e2,max,
1-ν2
{
(
(
)
(
))}
2
(e2,max)
2
4b + 1
1
|e1| ≤ Δ +
exp
√
arctg
√
- arctg
√
,
-2b
-8b - 1
-8b - 1
-8b - 1
где b = -μ + ξ0.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-
00288).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Емельянов С.В. Системы автоматического управления с переменной структурой. М., 1967.
2. Емельянов С.В., Уткин В.И. Теория систем с переменной структурой. М., 1970.
3. Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи: управление при неопределённости. М.,
1997.
4. Shtessel Yu., Edwards Ch., Fridman L., Levant A. Sliding Mode Control and Observation. New York,
2014.
5. Фомичев В.В., Высоцкий А.О. Алгоритм построения каскадного асимптотического наблюдателя
для системы с максимальным относительным порядком // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55.
№ 4. С. 567-573.
6. Емельянов С.В., Коровин С.К., Левантовский Л.В. Новый класс алгоритмов скольжения второго
порядка // Мат. моделирование. 1990. Т. 2. № 3. С. 89-100.
7. Levant A. Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control // Int. J. of Control. 1993. V. 58.
P. 1247-1263.
8. Moreno J., Osorio M. Strict Lyapounov functions for the super-twisting algorithm // IEEE Trans. on
Autom. Control. 2012. V. 57. P. 1035-1040.
9. Seeber R., Horn M. Stability proof for a well-established super-twisting parameter setting // Automatica.
2017. V. 84. P. 241-243.
10. Moreno J., Rios H., Ovalle L., Fridman L. Multivariable super-twisting algorithm for systems with
uncertain input matrix and perturbations // IEEE Trans. on Autom. Contr. 2021.
Электротехнический университет,
Поступила в редакцию 19.10.2022 г.
г. Ханчжоу, Китай,
После доработки 19.10.2022 г.
Московский государственный университет
Принята к публикации 21.10.2022 г.
имени М.В. Ломоносова,
Федеральный исследовательский центр
“Информатика и управление” РАН, г. Москва
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№ 12
2022
