ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.147-152

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51

ПРИМЕР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

С ПЕРРОНОВСКОЙ И ВЕРХНЕПРЕДЕЛЬНОЙ

ПОЛНОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТЬЮ,

НО МАССИВНОЙ ЧАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТЬЮ

Конструктивно доказывается, что из полной перроновской и верхнепредельной (в отличие

от ляпуновской) неустойчивости двумерной дифференциальной системы, вообще говоря,

не следует её глобальная неустойчивость. Более того, построенный в работе пример вполне

неустойчивой гладкой нелинейной системы обладает ещё и нулевым первым приближением

(вдоль нулевого решения) и не просто частной, а даже массивной частной устойчивостью.

DOI: 10.31857/S0374064122020017

Настоящая работа посвящена изучению недавно введённого понятия качественной теории

дифференциальных уравнений - устойчивости по Перрону и его модификациям [1]. Она про-

должает работы [2, 3] автора, в которых построены примеры дифференциальных систем, пока-

зывающие некоторые возможные взаимоотношения и связи между различными типами устой-

чивости по Перрону с одной стороны, а с другой - реализуемость таких взаимоотношений на

системах с теми или иными специальными свойствами.

В работе [4] построен пример вполне неустойчивой по Ляпунову и Перрону системы диффе-

ренциальных уравнений, имеющей ненулевое решение, стремящееся к нулю на бесконечности.

В [4] построенная система имела не ограниченное на временной полуоси R₊ первое прибли-

жение вдоль нулевого решения. В [2] построен пример системы с такими же, как и в [4],

асимптотическими свойствами её решений, но имеющей ограниченное на R₊ первое прибли-

жение в нуле. Этот результат усилен в [3]: такая система может иметь тождественно нулевое

первое приближение вдоль нулевого решения.

Усиление перечисленных результатов, полученное в данной работе, состоит в построении

системы, обладающей теми же перроновскими и верхнепредельными свойствами: во-первых,

полной неустойчивостью (а значит, кстати, и ляпуновской полной неустойчивостью, из которой

вытекает и ляпуновская же глобальная неустойчивость), а во-вторых, частной устойчивостью

(которой обладали также примеры, предложенные ранее) и даже массивной частной устойчи-

востью [5] (которой указанные примеры не обладали).

Для числа n ∈ N и области G евклидова пространства Rⁿ (с нормой | · |), содержащей

начало координат, рассмотрим систему

x = f(t,x), t ∈ R₊ ≡ [0,∞), x ∈ G,

(1)

с правой частью f : R₊ × G → Rⁿ, удовлетворяющей условиям f, f^′x ∈ C(R₊ × G), f(t, 0) =

= 0, t ∈ R₊, а значит, имеющей нулевое решение. Обозначим через S_∗(f) множество всех

непродолжаемых ненулевых решений системы (1), а через S_δ(f) ⊂ S_∗(f) - подмножество,

состоящее из тех её решений x, которые удовлетворяют начальному условию |x(0)| < δ.

Определение (см., например, [1]). Скажем, что для системы (1) (точнее, для её нулевого

решения, о чём для краткости не будет далее упоминаться) имеет место перроновская или,

соответственно, верхнепредельная:

1) устойчивость, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что любое решение

x ∈ S_δ(f) удовлетворяет требованию

lim

|x(t)| < ε или, соответственно,

lim |x(t)| < ε;

(2)

t→+∞

147

148

БОНДАРЕВ

2) неустойчивость, если устойчивость не имеет места, а именно, если существует такое

ε > 0, что для любого δ > 0 некоторое решение x ∈ S_δ(f) не удовлетворяет требованию (2);

3) полная неустойчивость, если для некоторых ε, δ > 0 ни одно решение x ∈ S_δ(f) не

удовлетворяет требованию (2);

4) глобальная неустойчивость, если для некоторого ε > 0 ни одно решение x ∈ S_∗(f) не

удовлетворяет требованию (2);

5) частная устойчивость, если она не обладает глобальной неустойчивостью, а именно,

для любого ε > 0 хотя бы одно её решение x ∈ S_∗(f) удовлетворяет требованию (2);

6) массивная частная устойчивость, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что

любое решение x ∈ S_∗(f) \ S_δ(f) удовлетворяет требованию (2).

Подчеркнём, что в этом определении требования (2) считаются не выполненными, в част-

ности, уже тогда, когда решение x определено не на всей полуоси R₊, т.е. когда соответству-

ющая ему фазовая кривая за конечное время выходит к границе фазовой области G (согласно

теореме о продолжаемости решений; см., например, [6, теорема 23]).

Мы не упомянули здесь такие, не менее интересные [5, 7], но не изучаемые в нашей работе

разновидности перроновских и верхнепредельных свойств (не говоря уже об их ляпуновских

аналогах), как асимптотическая устойчивость или неустойчивость, частичная устойчивость,

глобальная устойчивость и частная неустойчивость, а также не указали, какие из них являются

массивными непосредственно по определению.

Основной результат настоящей работы состоит в доказательстве существования дифферен-

циальной системы, у которой все решения, начинающиеся достаточно близко к началу коорди-

нат, стремятся по норме к бесконечности при t → +∞, следовательно, эта система обладает

полной неустойчивостью (как перроновской, так и верхнепредельной), а все остальные реше-

ния стремятся к нулю, т.е. система тем не менее не обладает глобальной неустойчивостью (ни

перроновской, ни верхнепредельной) или, что то же, обладает частной устойчивостью, причём

не просто частной, а даже массивной.

Теорема. При n = 2 и G = R² существует система (1) c правой частью, для которой

f^′x(t,0) = 0, t ∈ R₊, обладающая следующими двумя свойствами:

1) для каждого решения x(t) = (x₁(t), x₂(t))^т системы (1), удовлетворяющего любому из

начальных условий: 0 < |x(0)| < 1, или x(0) = (1, 0)^т, или |x(0)| = 1, но x₂(0) < 0, имеет

место равенство lim

|x(t)| = +∞;

t→+∞

2) для всех остальных решений системы (1), т.е. удовлетворяющих любому из началь-

ных условий: |x(0)| > 1, или x(0) = (-1,0)^т, или |x(0)| = 1, но x₂(0) > 0, имеет место

равенство lim

|x(t)| = 0.

t→+∞

Доказательство. Введём на декартовой плоскости с координатами x₁, x₂ полярные ко-

ординаты ρ, ϕ (ρ ≥ 0, ϕ ∈ R):

x₁ = ρcos ϕ, x₂ = ρsin ϕ

(3)

и рассмотрим автономную двумерную систему

(

)

(

)

(

)

1-ρ

x₁

=ρ²

ρ² ≡ x²¹ + x²², x =

∈R²,

(4)

sin² ϕ + χ(ρ, ϕ)

x₂

где χ(ρ, ϕ) = (ρ - 1)² cos² ϕ, если (ρ - 1) cos ϕ ≥ 0, и χ(ρ, ϕ) = 0 в противном случае.

Равенство (4) задаёт векторное поле в области (0, +∞) × R переменных (ρ, ϕ), которое

при помощи локального диффеоморфизма, заданного формулой (3), переносится на проколо-

тую окрестность R² \ {0} переменных (x₁, x₂). Полученное поле непрерывно продолжается в

начало координат нулём, причём продолженное поле непрерывно дифференцируемо в начале

координат и имеет нулевое линейное приближение за счёт наличия в правой части системы

множителя ρ². Из сказанного следует, что система (4) допускает нулевое решение. Значит,

она является системой вида (1).

Первое уравнение системы (4) задаёт динамическую систему на прямой (точнее, на полу-

прямой R₊, так как по смыслу ρ ≥ 0), имеющую на R₊ две неподвижные точки: 0 и 1.

При этом очевидно, что если ρ(0) отлично от 0 и 1, то ρ(t) → 1 при t → +∞.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ПРИМЕР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

149

А. Рассмотрим сначала все ненулевые решения данной системы, удовлетворяющие условию

ρ(0) < 1. Такие решения имеются двух типов.

Тип 1. Для решений x, удовлетворяющих начальному условию ϕ(0) = 0, справедливо

равенство ϕ(t) = 0, t ∈ R₊.

Тип 2. Рассмотрим решения, удовлетворяющие условию ϕ(0) = 0. Заметим, что угловая

координата ϕ(t) каждого такого решения x системы (4) возрастает при t → +∞, поэтому в

некоторый момент t > 0 решение обязательно войдёт в область (4-ю четверть внутри круга)

V •₄ = {x ∈ R² : x²¹ + x²² < 1, x₁ > 0, x₂ < 0}, в которой функция χ(ρ,ϕ) нулевая. В этой

области система (4) принимает вид

(

)

(

)

1-ρ

=ρ²

(5)

sin² ϕ

следовательно, для рассматриваемых решений ϕ(t) → 2π при t → +∞.

Б. Рассмотрим решения, удовлетворяющие условию ρ(0) > 1. Такие решения у рассмат-

риваемой системы (4) имеются двух типов.

Тип 3. Для решений x, удовлетворяющих начальному условию ϕ(0) = π, справедливо

равенство ϕ(t) = π при t ∈ R₊.

Тип 4. Рассмотрим решения, удовлетворяющие условию ϕ(0) = π. Заметим, что угловая

координата ϕ(t) каждого такого решения x системы (4) возрастает при t → +∞, поэтому

в некоторый момент t > 0 решение обязательно войдёт в область (2-ю четверть вне круга)

V ◦₂ = {x ∈ R² : x²¹ + x²² > 1, x₁ < 0, x₂ > 0}, в которой функция χ(ρ,ϕ) нулевая. В

этой области система (4) принимает вид (5), следовательно, для рассматриваемых решений

выполняется соотношение ϕ(t) → π при t → +∞.

B. Рассмотрим теперь решения, удовлетворяющие начальному условию ρ(0) = 1. Такие

решения бывают также двух типов.

Тип 5. Особыми точками системы (4) являются e₁ = (1, 0)^т и e₂ = (-1, 0)^т, которые,

как показано в пп. А и Б, представляют собой точки притяжения внутренности и внешности

единичного круга соответственно.

Тип 6. Рассмотрим решения x, удовлетворяющие условию x₂(0) = 0. Угловая координата

ϕ(t) каждого решения этого типа удовлетворяет уравнению

ϕ = sin2 ϕ, поэтому решения

с начальным условием x₂(0) > 0 асимптотически притягиваются при t → +∞ к особой

точке e₂, а все остальные - к особой точке e₁.

Для упрощения в дальнейшем записи обозначим

∫b

((

∫

((

)-1⁽

)-1⁾

)-1⁽

)-1⁾

ω(a, b) = exp τ -

τ-

dτ и δ(a, b) = exp τ +

τ+

dτ.

2+t

3+t

Для i = 1, 2 рассмотрим функции χ_i : R₊ × R → R, заданные условиями

⎧

⎨0,

если u ≤ 1/3,

χ₁(t,u) =

C₁(t)ω(1/3,u),

если

1/3 ≤ u ≤ 1/2,

⎩

если

u ≥ 1/2,

где C₁(t) = t/ω(1/3, 1/2), и

⎧

⎪0,

если u ≤ -1/(2 + t),

⎨

C₂(t)δ(-1/(2 + t),u),

если

- 1/(2 + t) ≤ u ≤ -1/(3 + t),

χ₂(t,u) =

⎪

⎩

если u ≥ -1/(3 + t),

1+t

где C₂(t) = t((1 + t)δ(-1/(2 + t), -1/(3 + t)))-1 , которые являются гладкими функциями клас-

са C^∞ по переменной u при каждом фиксированном значении t ∈ R₊. Для краткости записи

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

150

БОНДАРЕВ

также введём обозначения константы Σ₁ и функции Σ₂ : R₊ → R₊, задав их равенствами

∫

Σ₁ =

ω(1/3, u) du и Σ₂(t) =

χ₂(t,τ)dτ.

ω(1/3, 1/2)

1/3

-1/(2+t)

Теперь сделаем в рассматриваемой системе (4) неавтономную замену переменных

y₁ = θ(t,x₁), y₂ = x₂,

(6)

где

⎧

(

)

t+1

⎪

⎪(t + 1)x1 + b1(t) -

если x₁ ≥

⎪

x₁

∫

⎪

(1 + χ₁(t, τ)) dτ,

если

≤x₁ ≤

⎪3

⎪

1/3

⎨

x₁,

если

≤x₁ ≤

θ(t, x₁) =

3+t

⎪

x₁

⎪

∫

(

)

⎪

⎪b2(t) +

+ χ₂(t,τ) dτ, если

≤x₁ ≤-

⎪

1+t

2+t

3+t

⎪

−1/(2+t)

⎪

(

)

⎪

⎩¹

x₁ +

+ b₂(t)

если x₁ ≤ -

1+t

(2 + t)(1 + t)

2+t

а функции b₁ : R₊ → R и b₂ : R₊ → R задаются равенствами

b₁(t) = tΣ₁ +

и b₂(t) = -

- Σ₂(t).

3+t

(1 + t)(3 + t)

(1 + t)(2 + t)

Прежде всего покажем, что функция θ(t, · ) является гладкой функцией своего аргумента

при каждом фиксированном значении t ∈ R₊. Для этого заметим, что она является линейной

функцией (а значит, и гладкой) всюду за исключением отрезков [-1/(2 + t), -1/(3 + t)] и

[1/3, 1/2]. Внутри этих отрезков функция θ(t, · ) гладкая по построению, поэтому остаётся

проверить её гладкость в четырёх точках -1/(2 + t), -1/(3 + t), 1/3,

1/2.

А. Проверим сначала непрерывность. Равенство

(

)

∫



(

)

1/2

θ t,

-0

(1 + χ₁(t, τ)) dτ =

+τ

+ tΣ₁ = b₁(t) = θ t,



1/3

и аналогично устанавливаемое равенство θ(t, 1/3+0) = θ(t, 1/3-0) доказывают непрерывность

функции θ(t, · ) в точках 1/2 и 1/3 соответственно. Далее, выполнение равенств

(

)

∫

(

)



-1/(3+t)



θ t,-

-0

= b₂(t) +

+ χ₂(t,τ) dτ = b₂(t) +

+ Σ₂(t) =



3+t

1+t

-1/(2+t)

(

)

= θ t,-

3+t

(

)

∫

(

)

(

)

θ t,-

= b₂(t) +

+ χ₂(t,τ) dτ = b₂(t) = θ t,-

-0

2+t

1+t

2+t

−1/(2+t)

доказывает непрерывность в точках -1/(3 + t) и -1/(2 + t) соответственно.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ПРИМЕР ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

151

Б. Проверим непрерывную дифференцируемость функции θ(t, · ) в рассматриваемых че-

тырёх точках. В точках -1/2 и -1/3 непрерывная дифференцируемость следует из равенств

(

)

(

)

θ^′x

-0

= (1 + χ₁(t, τ))|τ=1/2 = 1 + t = θ^′

x₁

и, соответственно,

(

)

(

)

θ^′x

= (1 + χ₁(t, τ))|τ=1/3 = 1 = θ^′x

-0 .

Аналогично выполнение равенств

(

)

(

)

(

)



θ^′x

t,-

-0

+ χ₂(t,τ)

=1=θ^′

t,-



x₁

3+t

1+t

3+t

τ=-1/(3+t)

(

)

(

)

(

)



θ^′

t,-

+ χ₂(t,τ)

=θ^′

t,-

-0

x₁



x₁

2+t

1+t

2+t

τ=-1/(2+t)

доказывает непрерывную дифференцируемость в точках -1/(3 + t) и -1/(2 + t).

Теперь заметим, что в силу бесконечной дифференцируемости функций χ_i, а также вы-

полнения для каждого m ∈ N равенств

(

)

(

)

(

)

(

)

χ(m)1 t,

=χ(m)

t,-

=χ(m)

t,-

3+t

2+t

функция θ(t, · ) является бесконечно дифференцируемой функцией своего аргумента для каж-

дого фиксированного значения t ∈ R₊. Покажем также, что она является возрастающей би-

екцией R на R. Действительно,

⎧

⎪

⎪(t + 1),

если x₁ ≥

⎪

⎪1 + χ1(t,x1),

если

≤x₁ ≤

⎪

⎨

если

≤x₁ ≤

θ^′x

(t, x₁) =

3+t

⎪

+ χ₂(t,x₁), если

≤x₁ ≤-

⎪

1+t

2+t

3+t

⎪

⎩¹

если x₁ ≤ -

1+t

2+t

откуда следует, что θ′x1 (t, x₁) > 0, t ∈ R₊, x₁ ∈ R, следовательно, функция θ(t, · ) мо-

нотонна и инъективна. Заметим, что при фиксированном значении t ∈ R₊ выполняются и

соотношения

lim

θ(t, x₁) = +∞ и

lim

θ(t, x₁) = -∞,

x₁→+∞

x₁→-∞

в силу которых и непрерывности функции θ(t, · ) ∈ C^∞(R) получаем, что θ(t, · ) принимает

все промежуточные значения от -∞ до +∞, т.е. является сюръекцией из R на R.

Остаётся заметить, что функция θ имеет непрерывные по совокупности переменных (t, x₁)

производные всех порядков по t и x₁ на R₊ × R, поэтому после такой замены (6) система

(4) принимает вид

y = F(t,y), (t,y) = (t,(y₁,y₂)^т) ∈ R₊ × R²,

(7)

с правой частью F : R₊ × R² → R², удовлетворяющей условию F, F^′y ∈ C(R₊ × R²).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

152

БОНДАРЕВ

Далее, для каждого t ∈ R₊ в открытой полосе

U_t = {x ∈ R² : -1/(3 + t) < x₁ < 1/3, x₂ ∈ R} ⊂ R²,

содержащей начало координат, замена (6) имеет вид y = x, следовательно, построенная систе-

ма (7) имеет нулевую матрицу линейного приближения вдоль нулевого решения (так как этим

же свойством обладает система (4)). Из сказанного выше следует, что система (7) является

системой вида (1).

Теперь покажем, что система (7) обладает свойствами 1) и 2) доказываемой теоремы.

Действительно, в силу положительности константы Σ₁ равномерно по x₁ ∈ [1/2, 1] имеем

(

))

t+1

lim

θ(t, x₁) = lim

(t + 1)x₁ + tΣ₁ +

≥ lim

tΣ₁ = +∞,

t→+∞

что обеспечивает выполнение свойства 1). Далее заметим, что справедливы оценки



∫



(

)



|Σ₂(t)| =^

χ₂(t,τ)dτ

−

max

|χ₂(t, τ)| ≤

≤

3+t

2+t

τ ∈[-1/(2+t),-1/(3+t)]

−1/(2+t)

(

)

≤

→0

3+t

2+t

1+t

при t → +∞, следовательно, равномерно по x₁ ∈ [-2, -1] справедливы соотношения



(

)



lim

|θ(t, x₁)| = lim



+ b₂(t)



1 +

⁼

t→+∞

^1+tx

(2 + t)(1 + t)



(

)



= lim

1 +

- Σ₂(t)

t→+∞

^1+tx

2+t

3+t

(1 + t)(3 + t)

(1 + t)(2 + t)

≤

(

)

≤ lim

+ |Σ₂(t)|

= 0,

t→+∞

1+t

3+t

(1 + t)(3 + t)

откуда вытекает свойство 2). Теорема доказана.

Автор выражает благодарность И.Н. Сергееву за ценные замечания, способствовавшие

улучшению текста статьи.

Работа выполнена при поддержке Фонда развития теоретической физики и математики

“БАЗИС” (проект 21-8-2-4-1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и её связь с устойчивостью по Ляпунову

// Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6. С. 855-856.

2. Бондарев А.А. Один пример неустойчивой системы // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 6.

С. 899.

3. Бондарев А.А. Пример полной, но не глобальной неустойчивости по Перрону // Вестн. Моск. ун-та.

Сер. 1. Математика. Механика. 2021. № 2. С. 43-47.

4. Сергеев И.Н. Определение и некоторые свойства устойчивости по Перрону // Дифференц. уравне-

ния. 2019. Т. 55. № 5. С. 636-646.

5. Сергеев И.Н. Определение верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью по Ляпунову

и устойчивостью по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557.

6. Сергеев И.Н. Лекции по дифференциальным уравнениям. М., 2019.

7. Сергеев И.Н. Массивные и почти массивные свойства устойчивости и неустойчивости дифферен-

циальных систем // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 11. С. 1576-1578.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 19.09.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 16.01.2022 г.

Принята к публикации 07.02.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022