ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.153-163
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.925.7
О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
ОБОБЩЁННОЙ ИЕРАРХИИ УРАВНЕНИЯ P34
© 2022 г. В. И. Громак
Для нелинейных уравнений обобщённой иерархии уравнения P34 из классификационного
списка Пенлеве исследуются локальные аналитические свойства решений, преобразования
Беклунда, рациональные решения и их представление через специальные функции и по-
линомы.
DOI: 10.31857/S0374064122020029
Введение. В настоящее время решения уравнений Пенлеве (P1- P6), называемые транс-
цендентами Пенлеве, рассматриваются как нелинейные версии специальных функций, а урав-
нения Пенлеве [1, гл. 12; 2, гл. 10; 3, гл. 2], первоначально возникшие при рассмотрении класси-
фикационной проблемы для обыкновенных дифференциальных уравнений относительно свой-
ства Пенлеве, т.е. отсутствия у решений подвижных многозначных особых точек, имеют мно-
гочисленные приложения как в различных областях математики, например в изомонодромной
проблеме на сфере Римана [4-6], так и в различных областях математической физики, осо-
бенно в приложениях к классическим, квантовым и дискретным интегрируемым системам [7,
гл. 8; 8, гл. 4-7; 9, гл. 3-5]. В связи с этим также важным является рассмотрение иерархий
уравнений Пенлеве и связанных с ними уравнений, т.е. множества нелинейных уравнений,
имеющих одинаковую алгебраическую структуру с уравнениями Пенлеве [10-18].
В настоящей работе рассматриваются некоторые аналитические свойства решений уравне-
ний обобщённой иерархии уравнения P34 в классификации Пенлеве, которое является моди-
фицированным уравнением второго уравнения Пенлеве P2.
Обобщённая иерархия уравнения P34. Известно [19], что обобщённая иерархия вто-
рого уравнения Пенлеве P2 может быть записана в виде
(
)
d
P[2N]2 :
+ 2w
LN[w′ - w2] - zw - α = 0, N = 1,2,... ,
(1)
dz
в которой операторLN определяется рекуррентным соотношением
)
d
( d3
d
LN+1[u] =
+ (4u + βN )
+ 2uz
LN[u],
L1[u] = u, u = u(z), N = 1,2,... ,
(2)
dz
dz3
dz
где α и βN - числовые параметры. Согласно соотношению (2) последовательно находим
L2[u] = uzz + 3u2 + β1u,
L3[u] = 10u3 + uβ1β2 + 3u2(β1 + β2) + 5(uz)2 + (10u + β1 + β2)uzz + u4z,
L4[u] = 35u4 + s3u + 10u3s1 + 3u2s2 + 5(14u + s1)u2z +
+ (70u2 + s2 + 10us1)uzz + 21u2zz + 28uz uzzz + (14u + s1)u4z + u6z,
s1 = β1 + β2 + β3, s2 = β1β2 + β1β3 + β2β3, s3 = β1β2β3.
153
154
ГРОМАК
Если в оператореLN параметр∗) β = 0, тоLN = LN . При этом относительно оператораLN
справедливо представление (лемма 1 из [20])
∑
LN[u] =
sjLN-j[u],
(3)
j=0
в котором s0 = 1, а sj, j = 1, N - 1, - основные симметрические полиномы параметров β1,
β2, ..., βN-1, N = 2,3,...
Для N = 1, 2, 3 из (1), (2) находим первые три уравнения иерархии:
P[2]2 = P2 : w′′ = 2w3 + zw + α,
P[4]2 : w(4) = 10w2w′′ + 10w(w′)2 - 6w5 - β1(w′′ - 2w3) + zw + α,
P[6]2 : w(6) = 2w2(5(β1 + β2)w′′ + 7w(4)) - w(4)(β1 + β2) - 70w4w′′ +
+ w(10(β1 + β2)(w′)2 + 42(w′′)2 + 56w′w(3)) - (β1β2 - 70(w′)2)w′′ +
+ 2w3(β1β2 - 70(w′)2) - 6w5(β1 + β2) + 20w7 + zw + α.
Уравнение (1) можно записать в виде эквивалентной системы
w′ = q + w2, Ψ′ + 2Ψw - σ = 0,
(4)
где введены функции
q(z) := w′(z) - w(z)2, Ψ(q(z)) :=LN [q] - z/2.
(5)
Если из системы (4) исключить функцию q(z), то относительно w(z) будем иметь уравне-
ние (1). Если же из системы (4) исключить функцию w(z), то относительно q(z) получим
уравнение
2
(Ψ′)
σ2
Ψ′′ -
+ 2qΨ +
= 0,
(6)
2Ψ
2Ψ
где σ = α - 1/2, Ψ = Ψ(q(z)) = 0, (·)′ = d(·)/dz.
Уравнение Ψ(q) = 0 определяет обобщённую иерархию первого уравнения Пенлеве. При
этом уравнение P[2N]2 записывается в виде
P[2N]2 : (D + 2w)Ψ(q) + 1/2 - α = 0.
Следовательно, если q = q(z) - решение уравнения Ψ(q) = 0 при σ = 0, то функция w(z),
определяемая из уравнения Риккати w′-w2 = q, является решением уравнения P[2N]2 при α =
= 1/2. Это свойство аналогично соотношению между решениями уравнений иерархий первого
и второго уравнений Пенлеве [3, c. 293].
Система (4) определяет соотношение между решениями уравнений иерархий (1) и (6):
M : w(z) → q(z) = w′(z) - w(z)2,
Ψ′(q) - σ
d
M-1 : q(z) → w(z) = -
,
Ψ(q) = 0,
(·)′ =
(·).
(7)
2Ψ(q)
dz
При N = 1 уравнение (1) - второе уравнение Пенлеве P2. Функция Ψ(q) из (5) в этом
случае имеет вид Ψ1(z) = q - z/2, а первое уравнение иерархии (6) следующее:
q′′ = (4q3 - 4zq2 + z2q + q′ - (q′)2 + σ2 - 1/4)/(z - 2q).
(8)
∗) Здесь и далее β = (β1, . . . , βN-1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОБОБЩЁННОЙ ИЕРАРХИИ
155
Уравнение (8) калибровочным преобразованием q → σq + z/2 приводится к уравнению
P34 : q′′ = (q′)2/(2q) - zq - 2σq2 - 1/(2q).
Это уравнение имеет порядковый номер 34 в классификационном списке Пенлеве [1, с. 456], а
значит, его решения не имеют подвижных критических точек, т.е., другими словами, оно об-
ладает свойством Пенлеве. Более того, в силу связи между уравнениями (8) и P2 все решения
уравнения (8), как и решения уравнения P2, являются мероморфными функциями.
В случае N = 2 функция Ψ(q) имеет вид Ψ2(z) = q′′ + 3q2 + β1q - z/2, а уравнение
относительно q(z) следующее:
q(4) = (Ψ′2)2/(2Ψ2) - 2qΨ2 - 6(q′)2 - q′′(6q + β1) - σ2/(2Ψ2).
(9)
В случае N = 3 функция Ψ(q) имеет вид
Ψ3(z) = q(4) + 10q3 + (3q2 + q′′)s1 + 5(q′)2 + q(s2 + 10q′′) - z/2,
а уравнение относительно q(z) следующее:
q(6) = (Ψ′3)2/(2Ψ3) - 2qΨ3 - (60q + 6s1)(q′)2 - (20q′′ + 30q2 + 6qs1 + s2)q′′ -
- 30q′q(3) - (10q + s1)q(4) - σ2/(2Ψ3),
(10)
где s1 = β1 + β2, s2 = β1β2.
Заметим, что преобразование M из (7) является преобразованием Миуры и, следователь-
но, уравнение (6) можно рассматривать как редукцию уравнения (1) относительно преобра-
зования Миуры. Таким образом, следуя терминологии теории уравнения Котевега-де Фриза,
по сути уравнение (6) является модифицированным уравнением (1). Мы же будем называть
уравнение (6), следуя терминологии теории уравнений Пенлеве, уравнением, определяющим
обобщённую иерархию
P[2N]34
уравнения P34. Заметим, что иерархия P[2N]34 уравнения P34
может быть получена из (6), если положить β = 0. При этом уравнение
P[2N]34 имеет поря-
док 2N, где N определяет номер оператораLN и номер уравнения иерархии. Решение N -го
уравнения (6) обозначаем через q[N](z), однако иногда для упрощения записи, если это не
искажает смысл, верхний индекс будем опускать.
В настоящей работе исследуются некоторые аналитические свойства решений уравнений
иерархии (6).
Локальные свойства решений. Прежде всего рассмотрим свойства решений уравне-
ния (6), которые непосредственно вытекают из свойств решений уравнения (1).
Лемма 1. Решения w(z) и q(z), связанные соотношениями (7), меромофны или рацио-
нальны одновременно.
Справедливость леммы следует непосредственно из соотношений (7), определения (5) функ-
ции Ψ(q) и определения (2) оператораLN .
Лемма 2. Решение q[N](z) N -го уравнения из (6) может иметь только полюсы второго
порядка с нулевым вычетом и только в полюсах решения w[N](z).
Доказательство. Действительно, если z0 - полюс решения q[N](z), то в силу M-1-пре-
образования решение w[N](z) в точке z0 либо голоморфно, либо имеет полюс. Но в силу M-
преобразования z0 не может быть точкой голоморфности решения w[N](z) в случае полярно-
сти решения q[N](z) в точке z0. Следовательно, w[N](z) в z0 имеет полюс. Так как решение
w[N](z) уравнения (1) может иметь только простые полюсы с разложением (см., например, [21])
w[N](z) = c-1(z - z0)-1 + O(z - z0),
в котором вычет c-1 ∈ {±1, ±2, . . . , ±N}, то отсюда следует, что в окрестности полюса z = z0
решение q[N](z) N -го уравнения из (6) имеет разложение
q[N](z) = c-2(z - z0)-2 + c0 + O(z - z0),
(11)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
156
ГРОМАК
где c-2 = resz=z0 (zq[N](z)) = -m(m + 1), m ∈ {1, 2, . . . , N}. Лемма доказана.
В частности, для уравнения (8) в окрестности подвижного полюса z0 решение имеет раз-
ложение
3
∑
z0
z0t
t4
q[1](z) = -2t-2 +
+ ht2 -
+
(720hz0 + 8z30 + 27(4σ2 - 9)) +
cjtj,
6
18
6048
j=5
где t = z - z0, h - произвольная постоянная, а коэффициенты cj , j > 4, однозначно опреде-
ляются через z0, h и параметр σ.
Для рациональных решений уравнений иерархии (6) бесконечно удалённая точка z = ∞
является точкой голоморфности. В частности, для уравнения (8) рациональное решение в
окрестности бесконечно удалённой точки z = ∞ имеет разложение
q[1](z) = (1/4-σ2)/z2 +(9-40σ2 +16σ4)/(4z5)-7(876σ2 -189-496σ4 +64σ6)/(16z8)+O(z-9).
Для уравнения (9) в окрестности подвижного полюса z = z0 решение имеет одно из следую-
щих разложений: либо
∑
6z0 + β21
2σ + 3
σβ1
q[2](z) = -2t-2 - β1/6 -
t2 -
t3 + h1t4 -
t5 + h2t6 +
cjtj,
120
36
360
j=7
где t = z - z0, h1, h2 - произвольные постоянные, а коэффициенты cj , j > 6, однозначно
определяются через z0, h1, h2 и параметры β1, σ; либо
2
∑
(10z0 + 3β21)t
β1t5
q[2](z) = -6t-2 - β1/10 -
+h1t4 -
+h2t6 + cjtj,
1400
1200
j=7
где t = z - z0, h1, h2 - произвольные постоянные, а коэффициенты cj , j > 6, однозначно
определяются через z0, h1, h2 и параметры β1, σ.
Для мероморфного решения q[N](z) уравнения (6) функция
(∫z(∫z
)
)
τ[N](z) = exp
q[N](z)dz dz
(12)
является целой с нулями порядка m(m + 1), где m ∈ {1, 2, . . . , N}, в полюсах q[N](z). В спра-
ведливости этого утверждения несложно убедиться непосредственно, подставив разложение
(11) в правую часть функции (12).
Заметим также, что произвольное мероморфное нерациональное решение q(z) уравнения
(6) имеет бесконечное число полюсов второго порядка с нулевым вычетом. Это утверждение
следует из теоремы Виттиха [22, с. 118], согласно которой алгебраическое дифференциальное
уравнение с одним доминирующим членом не может иметь целых трансцендентных решений.
Уравнение из иерархии (6) после умножения на 2Ψ станет полиномиальным относительно
q, q′, ..., q(2N) с одним доминирующим членом, определяемым из выражения 4qΨ2, и, по
сути, из выражения 4q(LN [q])2. В самом деле, доминирующий член при N = 1 - это 4q3,
при N = 2 - это 36q5, при N = 3 - это 400q7. Однако в силу (3) доминирующий член вы-
раженияLN [q] совпадает с доминирующим членом выражения LN [q], который равен aN qN ,
где aN = 0 - константа (см., например, [23]). Следовательно, выражение 4qΨ2 содержит один
доминирующий член 4a2N q2N+1. Если при этом предположить, что мероморфное нерацио-
нальное решение q(z) имеет конечное число полюсов, то тогда функция v(z) = P (z)q(z) с
подходящим полиномом P (z) является целой трансцендентной функцией и при этом функция
v(z) удовлетворяет алгебраическому уравнению с одним доминирующим членом, что проти-
воречит предположению. Заметим также, что аналогичное утверждение справедливо и для
уравнений иерархии (1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОБОБЩЁННОЙ ИЕРАРХИИ
157
Преобразования Беклунда. Система (4) устанавливает связь между решениями уравне-
ний (1) и (6) в соответствии с преобразованиями (7). При этом уравнение (1) имеет дискретную
симметрию
S : w(z,α,β) → -w(z,-α,β).
(13)
Уравнение (6) также имеет дискретную симметрию
S0 : q(z,σ,β) → q(z, σ,β) = q(z,-σ,β),
σ = -σ,
(14)
которая означает, что функция q(z, σ, β) является решением уравнения (6) как для парамет-
ров (σ, β), так и для параметров (-σ, β). В работе [20] на основании преобразований (7), (13),
(14) получены преобразования Беклунда
2α + 1
T : wα → wα+1 = -wα +
,
(15)
2LN[-w′α - w2α] - z
2α + 1
T-1 : wα+1 → wα = -wα+1 +
(16)
2LN[w′α+1 - w2α+1] - z
для уравнения (1) и преобразование Беклунда для уравнения (6), т.е. доказана
Теорема 1. Пусть qσ = q(z, σ, β) - решение произвольного уравнения иерархии (6) при
фиксированном значении параметров (σ, β). Тогда преобразования
)2
1
(Ψ′(qσ) - σ
B : qσ → qσ+1 = -qσ -
,
(17)
2
Ψ(qσ)
)2
1
(Ψ′(qσ) + σ
B-1 : qσ → qσ-1 = -qσ -
,
(18)
2
Ψ(qσ)
где Ψ(·) = 0,
(·)′ = d(·)/dz, также определяют решения этого уравнения.
В следующем пункте работы мы рассмотрим приложение преобразований (17), (18) к по-
строению рациональных решений уравнения (6). Заметим, что преобразования Беклунда (17),
(18) определяют алгебру Вейля на множестве решений. В частности, для уравнения (8) три
последовательные решения qσ-1, qσ, qσ+1, образованные преобразованием (17), связаны ал-
гебраическим соотношением
4(z - 2qσ)4(qσ-1 + qσ)(qσ + qσ+1) - (8σ2 + (z - 2qσ)2(qσ-1 + 2qσ + qσ+1))2 = 0.
Рассмотрим ещё один класс преобразований, которые позволяют строить решения урав-
нения (6) по известному решению при фиксированных значениях параметров (σ, β). Такой
класс преобразований назовём автопреобразованиями уравнения (6).
Для уравнения (1) автопреобразования Беклунда имеют вид [20]
w(z, α, β) = Tn ◦ S ◦ T-nw(z, α, β), α = n ∈ Z.
(19)
При этом решения
w(z, α, β) и w(z, α, β) совпадают лишь в случае, если они рациональные
решения. Приведём аналогичный класс преобразований для уравнения (6).
Пусть q = q(z, σ, β) - фиксированное решение уравнения (6) для фиксированных значений
параметров σ, β; при этом в соответствии σ = α - 1/2 принимаем σ = n - 1/2, α = n ∈ Z.
Тогда Ψ(q) = 0 и “новое” решение уравнения (6) при этих же значениях параметров строим в
соответствии со схемой
−→
→ q(z, σ, β).
Тогда справедлива
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
158
ГРОМАК
Теорема 2. Пусть q = q(z, σ, β) - произвольное решение уравнения (6) при σ = n - 1/2,
n ∈ Z. Тогда функция q(z,σ,β), определяемая соотношением
q(z, σ, β) = Gq(z, σ, β), G = H ◦ S ◦ H-1, H := M ◦ Tn,
(20)
также является решением уравнения (6) при тех же значениях параметров σ, β. При
этом q(z,σ,β) ≡ q(z,σ,β) тогда и только тогда, когда q(z,σ,β) - рациональное решение.
Доказательство соотношения (20) вытекает из того, что для уравнений (1) и (6) пре-
образования Беклунда (15)-(18) и преобразования (7) связывают решения этих уравнений.
При этом решения q(z, σ, β) и q(z, σ, β) различны, если они нерациональны, и совпадают в
противном случае, что следует из леммы 1. Теорема доказана.
В качестве примера рассмотрим случай N = 1, т.е. уравнение (8).
Пусть q = q(z) - решение уравнения (8) при σ = 1/2, т.е. n = 1 в (20). Тогда функция
w1 = w(z,1) = M-1q(z) = -(q′ - 1)/(2q - z)
(21)
– решение уравнения P2 при значении параметра α = 1, а в силу преобразования (19) функ-
ция w1 = T ◦S ◦T-1w1 также является решением уравнения P2 при α = 1. Явное выражение
решения
w1 через w1 получено в [24] и имеет вид
w1 = -w1 + 1/(2R) - R2/(2(w1R - 1)2 + (2w′1 + z)R2 - 1),
(22)
где R = w′1 - w21 - z/2. Но тогда по решению w1 можно построить “новое” решение q(z) =
= M w1 = w′1- w21 уравнения (8). При этом представления (21), (22) дают явное выражение для
q(z) через фиксированное решение q(z) уравнения (8) при σ = 1/2. Если при этом исходное
решение q(z) имеет в точке z0 начальные данные q0, q′0 такие, что k = 2q0 - z0 = 0, то для
решения q(z) начальные данные в точке z0 определяются равенствами
q(z0) = -q0 - 2(q′0/k)2,
q′(z0) = (2q0 + z0)(q′0/k) + 4(q′0/k)3.
(23)
Из соотношений (23) вытекает, что решения q(z) и q(z) имеют совпадающие начальные дан-
ные тогда и только тогда, когда q0 = q′0 = 0. Но это начальные данные рационального решения
q(z) = 0 при σ = 1/2.
Для второго уравнения Пенлеве P2 также известно [2, с. 102] преобразование Беклунда
между его решениями с параметрами α = 0 и α = ε/2, ε2 = 1.
Пусть w(z) - решение уравнения P2 при α = ε/2, ε2 = 1, такое, что R(w(z)) = w′(z) -
- εw(z)2 - εz/2 = 0. Тогда функция y(τ), определяемая соотношением
-21/3εy(τ)2 = R(w(z)), z = -21/3τ,
является решением уравнения P2 при α = 0, а обратное преобразование определяет его
решение w(z) = 2-1/3εy′(τ)/y(τ), y(τ) = 0. В силу M-преобразования из (7) по решениям
y(τ) и w(z) при ε = 1 уравнения P2 можно построить решения q(τ) = q(τ, -1/2, β) =
= 0 и q(z) = q(z,0,β) = z/2 уравнения (8) для значений параметров σ = -1/2 и σ = 0
соответственно, при этом между этими решениями имеет место следующая связь:
q(z) = z/2 - 21/3(q′(τ))2/(2q(τ) - τ)2, z = -21/3τ.
Рациональные решения. Для рациональных решений уравнений иерархии (6) спра-
ведлива
Лемма 3. Произвольное уравнение иерархии (6) имеет тривиальное решение q = 0 при
σ = ±1/2 и решение q = -2/z2 при σ = ±3/2.
Доказательство леммы вытекает из соотношений (7) и того, что произвольное уравнение
из иерархии (1) имеет тривиальное решение w = 0 при α = 0 и решение w = -1/z при α = 1
(лемма 2 из [20]).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОБОБЩЁННОЙ ИЕРАРХИИ
159
Теорема 3. Для существования рационального решения у уравнения иерархии (6) необ-
ходимо и достаточно, чтобы σ = n + 1/2, n ∈ Z. При этом для каждого такого σ и
фиксированного β существует только одно рациональное решение.
Доказательство теоремы 3 непосредственно следует из единственности рациональных
решений уравнения (1) при α = n ∈ Z, леммы 1 и соотношений (7). Теорема доказана.
Рациональные решения уравнений иерархии (6) можно построить последовательным при-
менением преобразования Беклунда (17), (18) с начальным тривиальным решением. Так в
случае N = 1, т.е. для уравнения (8), которое не содержит параметр β, имеем первые раци-
ональные решения
q[1](z,±1/2) = 0, q[1](z,±3/2) = -2/z2, q[1](z,±5/2) = -6z(z3 - 8)/(z3 + 4)2,
q[1](z,±7/2) = -12z(z9 + 600z3 + 1600)/(z6 + 20z3 - 80)2,
20(z18 + 48z15 + 2520z12 - 78400z9 - 1881600z6 + 12544000)
q[1](z,±9/2) = -
z2(z9 + 60z6 + 11200)2
Первые рациональные решения для уравнения (9) в явном виде приведены в [20]. Относи-
тельно представления рациональных решений уравнений из иерархии (6) через обобщённые
полиномы Яблонского-Воробьёва [25, 26] справедлива
Теорема 4. Произвольное рациональное решение N -го уравнения из иерархии (6) име-
ет вид
2
(QnN])′′QnN] - ((QnN])′)
d2
q[N](z,±(n + 1/2),β) = 2
=2
ln(Q[N]n),
(24)
dz2
(QnN])2
где QnN](z) - обобщённые полиномы Яблонского-Воробьёва, определяемые рекуррентными со-
отношениями
[
]
d2
Q[N]n+1Q[N]n-1 = z(Q[N]n)2 - 2(Q[N]n)2 LN
2
ln(Q[N]n) , n = 1, 2, 3, . . . ,
(25)
dz2
с начальными полиномами Q[N]0 = 1, Q[N]1 = z.
Доказательство. В работе [20] получен критерий существования и единственности раци-
онального решения w[N](z, α, β) уравнения (1), который состоит в выполнении условия α ∈ Z
при фиксированном β. Если при этом α = n, n ∈ N, то рациональное решение имеет пред-
ставление
d
w[N]n(z) =
ln(Q[N]n-1/Q[N]n).
(26)
dz
Для α = 0 рациональное решение нулевое: w[N]0 = 0; для α = -n, n ∈ N, справедливо
равенство w[N]-n = -wnN]. В [20] получено также рекуррентное соотношение (25), исследована
структура полиномов QnN](z) и установлено тождество (формулы (42), (44) из [20])
(Q[N]n-1)′′Q[N]n - 2(Q[N]n-1)′(Q[N]n)′ + Q[N]n-1(Q[N]n)′′ = 0.
(27)
Пусть w[N]n+1(z) - рациональное решение уравнения (1) при α = n + 1, n ∈ Z+. Тогда в
силу (7) имеем рациональное решение
q[N](z,±(n + 1/2),β) = (w[N]n+1(z))′ - (w[N]n+1(z))2
(28)
уравнения (6). Подставляя в (28) выражение для w[N]n+1(z) из (26) с условием (27) и с заменой
n на n+1, приходим к представлению (24). При этом единственность рациональных решений
уравнения (6) при σ = n + 1/2, n ∈ Z, и фиксированном β следует из леммы 1, дискретной
симметрии (14) и единственности рациональных решений уравнения (1). Теорема доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
160
ГРОМАК
В случае N = 1 имеемL1[u] = u, поэтому
Q[1]n+1Q[1]n-1 = z(Q[1]n)2 - 4(Q[1]n(Q[1]n)′′ - ((Q[1]n)′)2), n = 1,2,3,...
При этом Q[1]0 = 1, Q[1]1 = z. Тогда последовательно находим первые полиномы
Q[1]2 = z3 + 4, Q[1]3 = z6 + 20z3 - 80, Q[1]4 = z10 + 60z7 + 11200z,
Q[1]5 = z15 + 140z12 + 2800z9 + 78400z6 - 3136000z3 - 6272000.
При этом полиномы Qn1] имеют лишь простые корни zj, каждый из которых является полю-
сом рационального решения q[1](z) с главной частью разложения -2(z - zj )-2.
Отметим, что для уравнения (9) первые рациональные решения, а также полиномы QnN],
N = 1,2,3, в явной форме приведены в [20]. Отметим также, что степень полинома QnN] не
зависит от N, а зависит только от n и равна n(n + 1)/2. При этом полиномы QnN], N > 1,
могут иметь кратные корни.
Для рациональных решений уравнения P2 известно детерминантное представление [27]
(см. также [28]), которое в [21] обобщено на нестационарную иерархию P2. На основании
этого представления и связи (7) между решениями иерархий (1) и (6) справедлива
Теорема 5. Рациональное решение N -го уравнения иерархии (6) представляется в виде
2
d
q[N](z,±(m + 1/2),β) = 2
{ln(τ[N]m)},
(29)
dz2
где полиномиальная τ -функция τmN](z) является определителем
pm (z) p
(z) . . . p[N]2m-1(z)
m+1
[N]
pm
(z)
p[N]m-1(z) ... p[N]2m-3(z)
τ[N]m =
−2
(30)
p[N]-m+2(z) p[N]-m+3(z) . . . p[N]1(z)
матрицы m-го порядка, полиномы pm (z) (pm (z) = 0 для m < 0) которой определяются
образующей функцией Φ(z, λ) формального параметра λ:
(
)
∑
∑
4lsN-l
Φ(z, λ) =
p[N]k(z)λk, Φ(z,λ) = exp zλ -
λ2l+1 ,
(31)
2l + 1
k=0
l=1
здесь s0 = 1, а sl, l = 1, N - 1, - основные симметрические полиномы параметров β1, . . . ,
βN-1.
Зависимость между полиномиальными τ -функциями, задаваемыми равенствами (12), (30),
и обобщёнными полиномами Яблонского-Воробьёва Qm следует из представлений (12) и (24)
∏m
и выражается соотношением τmN] = cmQ
(2k + 1)k-m [21].
m , cm =
k=1
Покажем, что полиномы pm (z), определяющие детерминантное представление (29), (30)
рационального решения N -го уравнения иерархии (6), так же, как и в случае N = 1 для
второго уравнения Пенлеве [28], удовлетворяют как разностному, так и линейному дифферен-
циальному уравнениям.
Согласно определению (31) полиномов pm (z) имеем
∑
∑
∑
)k
λk
4lsN-l
p[N]k(z)λk =
z-
λ2l
k!
2l + 1
k=0
k=0
l=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОБОБЩЁННОЙ ИЕРАРХИИ
161
Заметим также, что функция Φ(z, λ) удовлетворяет уравнению
)
∑
Φλ = z -
4lsN-lλ2l Φ.
(32)
l=1
Тогда в силу равенств (31), (32) получаем
∑
∑
∑
np[N]nλn-1 = z -
4lsN-lλ2l
p[N]nλn.
(33)
n=1
l=1
n=0
В (33) положим p[N]0(z) = 1. Тогда p[N]1(z) = z и для определения функций pnN](z), n = 2, N ,
имеем рекуррентные соотношения
∑
2np[N]2n(z) = zp[N]2n-1 -
4j sN-jp[N]2n-2j-1,
(34)
j=1
∑
(2n + 1)p[N]2n+1(z) = zp[N]2n -
4j sN-jp[N]2n-2j.
(35)
j=1
Из соотношения (33) вытекает, что
∑
[(m + 2N + 1)p[N]m+2N+1 - zp[N]m+2N + 4sN-1p[N]m+2N-2 + . . . + 4N-1s1p[N]m+2 + 4N p[N]m]λm = 0, (36)
m=0
откуда и следует разностное уравнение для полиномов pm при m > N (см. формулировку
теоремы 6 ниже).
С другой стороны, функция Φ(z, λ) из (31) удовлетворяет дифференциальному уравнению
Φz = λΦ, и поэтому
∑
(Dp[N]m - p[N]m-1) = 0, D =d
dz
m=1
Следовательно, Dp
m
= p[N]m-1, m ≥ 1. Тогда в силу (36) получаем линейное обыкновенное
дифференциальное уравнение (2N + 1)-го порядка относительно pm (z):
(4N D2N+1 + 4N-1s1D2N-1 + . . . + 4N-2sN-1D3 - zD + m)p[N]m = 0.
(37)
Таким образом, справедлива
Теорема 6. Полиномы pm (z) удовлетворяют разностному уравнению (2N + 1)-го по-
рядка
(m + 2N + 1)p[N]m+2N+1 - zp[N]m+2N + 4sN-1p[N]m+2N-2 + . . . + 4N-1s1p[N]m+2 + 4N p[N]m = 0
(38)
с начальными полиномами p[N]0(z) = 1, p[N]1(z) = z, и p[N]3(z), p[N]4(z), ... , p[N]2N(z), опреде-
ляемыми рекуррентными соотношениями (34), (35), и линейному дифференциальному урав-
нению (37) порядка 2N + 1.
Заметим, что в случае s1 = s2 = . . . = sN-1 = 0, соответствующем стационарной иерархии
P[2N]34, N ∈ N, уравнение (37) имеет вид
(4N Dk - zD + m)p[N]m = 0, k = 2N + 1,
(39)
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
162
ГРОМАК
для которого единственная особая точка z = ∞ является иррегулярной. Общее решение урав-
нения (39) представляется в виде
(
)
(
)
m
1
2
k-1
1-m
2
3
k-1
k+1
p[N]m = c11F2N
-
;
,
,...,
;ς
+c2z1F2N
;
,
,...,
,
;ς
+...
k
k
k
k
k
k
k
k
k
(
)
k-1-m
k+1
k+2
2k - 1
...+ckzk-1
1F2N
;
,
,...,
;ς
,
(40)
k
k
k
k
в котором ς = zk(2k)-2N , ck - произвольные постоянные, а 1Fq(a; b1, b2, . . . , bq; ς) - обобщённая
гипергеометрическая функция, определяемая равенством
∑
(a)j
ζj
1Fq(a; b1, b2, . . . , bq; ς) =
,
(b1)j , (b2)j , . . . , (bq)j j!
j=1
где
(a)j = a(a + 1) . . . (a + j - 1) = Γ(a + j)/Γ(a)
и Γ(·) - гамма функция. Если m ∈ Z+, как в нашем случае, то одна из гипергеометрических
функций, входящих в представление (40), является полиномом по z, так как в этом случае
функция1F2N (-m; b1, b2, . . . , b2N ; zk(2k)-2N ) - полином по z, который и определяет полином
pm (z). Заметим, что при N = 1 уравнения (37), (39) с общим решением (40) в этом случае
получены в [28].
В качестве примера рассмотрим случай N = 3, т.е. уравнение (10), имеющее свободные
параметры s1, s2, σ. Пусть, как в теореме 5, σ = m + 1/2, m ∈ Z+. Тогда из рекуррентных
соотношений (34), (35) с начальными полиномами p[3]0 = 1, p[3]1 = z последовательно находим
первые полиномы pm :
p[3]2 = z2/2!, p[3]3 = (z3 - 8s2)/3!, p[3]4 = (z4 - 32zs2)/4!,
p[3]5 = (z5 - 384s1 - 80z2s2)/5!,
p[3]6 = (z6 - 2304zs1 - 160z3s2 + 640s22)/6!,
p[3]7 = (z7 - 46080 - 8064z2s1 - 280z4s2 + 4480zs22)/7!,
p[3]8 = (z8 - 368640z - 21504z3s1 - 448z5s2 + 172032s1s2 + 17920z2s22)/8!,
которые при N = 3 удовлетворяют уравнениям (37), (38) и в силу представлений (29), (30)
определяют первые рациональные решения q[3](z, σ, s1, s2) уравнения (10):
2
q[3](z,±1/2,s1,s2) = 0, q[3](z,±3/2,s1,s2) = -
,
z2
-6(z4 - 8zs2)
q[3](z,±5/2,s1,s2) =
,
(z3 + 4s2)2
12(z10 + 600z4s22 + 1600zs32 + 432z5s1 + 3456s21)
q[3](z,±7/2,s1,s2) = -
(z6 + 20z3s2 - 80s22 - 144zs1)2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ОБОБЩЁННОЙ ИЕРАРХИИ
163
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939.
2. Gromak V.I., Laine I., Shimomura S. Painlevé Differential Equations in the Complex Plane. De Gruyter.
Studies in Mathematics. V. 28. Berlin; New-York, 2002.
3. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.; Ижевск,
2004.
4. Flashka H., Newell A.C. Monodromy and spectrum preserving deformations. I // Commun. Math. Phys.
1980. V. 76. P. 65-116.
5. Its A.R., Novakshenov V.Yu. The Isomonodromy Deformation Method in the Theory of Painlevé
Equations // Lect. Notes in Math. 1986. V. 1191. P. 1-93.
6. Итс А.Р., Капаев А.А., Новокшенов В.Ю., Фокас А.С. Трансценденты Пенлеве. Метод задачи
Римана. М.; Ижевск, 2005.
7. Babelon O., Bernard D., Talon M. Introduction to Classical Integrable Systems. New York, 2003.
8. Conte R., Musette M. The Painlevé Handbook. Dordrecht, 2008.
9. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Догопрудный, 2010.
10. Airault H. Rational solutions of Painlevé equations // Stud. Appl. Math. 1979. V. 61. P. 31-53.
11. Noumi M., Yamada Y. Higher order Painlevé equations of type A(1)l // Funkcial. Ekvac. 1998. V. 41.
P. 483-503.
12. Gromak V.I. Bäcklund transformations of the Painlevé equations and their applications // The Painlevé
Property. One Century Later / Ed. R. Conte. CRM Series in Mathematical Physics. Berlin; Heidelberg;
New York; Tokyo, 1999. P. 687-734.
13. Clarkson P.A., Joshi N., Pickering A. Bäcklund transformations for the second Painlevé hierarchy: a
modified truncation approach // Inverse Problems. 1999. V. 15. P. 175-187.
14. Kudryashov N.A. One generalization of the second Painlevé hierarchy // J. Phys. A. Math. Gen. 2002.
№ 35. P. 93-99.
15. Clarkson P.A., Mansfield E.L. The second Painlevé equation, its hierarchy and associated special
polynomials // Nonlinearity. 2003. V. 16. P. R1-R26.
16. Joshi N. The second Painlevé hierarchy and the stationary KdV hierarchy // Publications of the Research
Institute for Mathematical Sciences. 2004. V. 40. № 3. P. 1039-1061.
17. Демина М.В., Кудряшов Н.А. Специальные полиномы и рациональные решения иерархии второго
уравнения Пенлеве // Теор. и мат. физика. 2007. Т. 153. № 1. С. 58-67.
18. Sakka A.H. Linear problems and hierarchies of Painlevé equations // J. Phys. A. Math. Theor. 2009.
V. 42. P. 025210.
19. Громак В.И. К теории уравнений Пенлеве высших порядков // IX Белорус. мат. конф. Тез. докл.
3-6 ноября 2004 г., Гродно. Ч. 1. Гродно, 2004. С. 115-116.
20. Громак В.И. Аналитические свойства решений уравнений обобщённой иерархии второго уравнения
Пенлеве // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 8. С. 1017-1033.
21. Bobrova I. On symmetries of the non-stationary P(n)II hierarchy and their applications // arXiv:
2010.10617v2 [nlin.SI].
22. Виттих Г. Новейшие исследования по однозначным аналитическим функциям. М., 1960.
23. Li Y., He Y. On analytic properties of higher analogs of the second Painlevé equation // J. Math. Phys.
2002. V. 43. № 2. P. 1106-1115.
24. Громак В.И., Голубева Л.Л. О решениях второго уравнения Пенлеве // University of Padlasie,
Institute of Math. and Phys. Siedlce, 2001. V. 40. P. 79-84.
25. Яблонский А.И. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Изв. АН БССР. Сер.
физ.-техн. наук. 1959. № 3. С. 30-35.
26. Воробьев А.Р. О рациональных решениях второго уравнения Пенлеве // Дифференц. уравнения.
1965. Т. 1. С. 79-81.
27. Kajiwara K., Ohta Y. Determinant structure of the rational solutions for the Painlevé II equation // J.
Math. Phys. 1996. V. 37. P. 4393-4704.
28. Clarkson P. A. Painlevé equations - nonlinear special functions // Lect. Notes in Math. 2006. V. 1883.
P. 331-411.
Белорусский государственный университет,
Поступила в редакцию 21.10.2021 г.
г. Минск
После доработки 18.01.2022 г.
Принята к публикации 07.02.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
2∗
