ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.174-184

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.35

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ

ЗАДАЧИ ДЛЯ ТЕЛЕГРАФНОГО УРАВНЕНИЯ

С НЕЛИНЕЙНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом, заданного в первом квадран-

те, рассматривается смешанная задача, в которой на пространственной полуоси задаются

условия Коши, а на временной полуоси задаётся условие Дирихле. Решение строится мето-

дом характеристик в неявном аналитическом виде как решение некоторых интегральных

уравнений. Проводится исследование разрешимости этих уравнений, а также зависимости

от начальных данных и гладкости их решений. Для рассматриваемой задачи доказывается

единственность решения и устанавливаются условия, при выполнении которых существует

её классическое решение.

DOI: 10.31857/S0374064122020042

Введение. Сплошные среды описываются в основном нелинейными уравнениями в част-

ных производных. Выбор для описания среды линейных или нелинейных уравнений зависит

от той роли, которую играют нелинейные эффекты, и определяется конкретной физической

ситуацией. Например, при описании распространения лазерных импульсов необходимо учиты-

вать зависимость показателя преломления среды от интенсивности электромагнитного поля.

Линеаризация нелинейных уравнений математической физики не всегда ведёт к содержа-

тельному результату. Может оказаться, что линейные уравнения, возникшие в результате ли-

неаризации, сохраняют свою применимость для рассматриваемого физического процесса лишь

некоторое конечное время. Более того, с точки зрения физики для нелинейных уравнений ма-

тематической физики зачастую исключительно важны “существенно нелинейные” решения,

качественно отличающиеся от решений линейных уравнений. Такими могут быть стационар-

ные решения солитонного типа, локализованные в одном или нескольких измерениях, или

решения типа волновых коллапсов, описывающие самопроизвольную концентрацию энергии

в небольших областях пространства. Существенно нелинейными являются и стационарные

решения уравнений гидродинамики. Весьма важен вопрос об устойчивости существенно нели-

нейных решений, в том числе гидродинамических течений и солитонов, который решается

либо при помощи линеаризации нелинейных уравнений на фоне изучаемых решений, либо

при помощи вариационных оценок [1].

Классический метод последовательных приближений успешно использовался, в частности,

для нахождения слабого решения смешанной задачи для нелинейного уравнения параболиче-

ского типа [2, п. 9.2.1] и слабого решения задачи Коши для однородного нелинейного волнового

уравнения [2, п. 12.2.1]. В работе [3, § 1] этими методами строится дважды непрерывно диф-

ференцируемое решение u = u(t, x) задачи Коши на конечном временном промежутке для

нелинейного волнового уравнения с нелинейностью вида G(|u|²)u при определённой гладко-

сти и ограниченности нелинейности G, начальных функций и их производных, кроме того, при

дополнительных условиях на нелинейность решение определяется в некотором конусе [3, § 2].

Подобными методами для нелинейного волнового уравнения c однородными граничными усло-

виями были построены при некоторых предположениях сильные обобщённые и классические

решения первой [4] (нелинейность вида λ|u|^pu) и второй задачи Дарбу [5, 6] (нелинейно-

∫β(t)

сти вида λf(t, x, u,

u(t, η)dη) и λ|u|^pu) . Аналогичным образом в работе [7] при некото-

α(t)

рых условиях построено сильное обобщённое и классическое решения задачи Коши-Гурса для

нелинейного волнового уравнения c однородными граничными условиями при нелинейности

вида λ|u|^pu.

174

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

175

В данной статье, используя метод характеристик в сочетании с методом последовательных

приближений, строится решение первой смешанной задачи для неоднородного гиперболиче-

ского нелинейного уравнения второго порядка, доказывается единственность и непрерывная

зависимость решения от начальных данных, а также выводятся условия, при выполнении ко-

торых решение смешанной задачи будет классическим.

Постановка задачи. В области Q = (0, ∞)×(0, ∞) двух независимых переменных (t, x) ∈

∈ Q ⊂ R² рассмотрим одномерное нелинейное уравнение

□u(t, x) - λ(t, x)f(t, x, u(t, x)) = F (t, x),

(1)

где □ = ∂2t - a²∂2x - оператор Д’Аламбера ( a > 0 для определённости), F и λ - функции,

заданные на множестве Q, а f - функция, заданная на множестве [0, ∞) × [0, ∞) × R и

удовлетворяющая условию Липшица с постоянной L по третьей переменной, т.е. |f(t, x, z₁) -

- f(t,x,z₂)| ≤ L|z₁ - z₂|. К уравнению (1) присоединяются начальные

u(0, x) = ϕ(x),

∂_tu(0,x) = ψ(x), x ∈ [0,∞),

(2)

и граничное

Bu(t, 0) = μ(t), t ∈ [0, ∞),

(3)

условия, где ϕ, ψ, μ - функции, заданные на полуоси [0, ∞), B - некоторый оператор (он

может иметь различный вид, но в данной работе будем полагать, что B = I - тождественный

оператор).

Пример 1. Если в уравнении (1) положить f(t, x, z) = sin z, λ ≡ 1, F ≡ 0 и a = 1, то

получим уравнение синус-Гордона.

Пример 2. Если в уравнении (1) положить f(t, x, z) = α sin z + β sin(z/2), где α ∈ R,

β ∈ R и λ ≡ 1, F ≡ 0, а a = 1, то получим двойное уравнение синус-Гордона, имеющее ряд

приложений в физике, например: описание спиновых волн в жидком³He, описание распро-

странения резонансных импульсов света в среде, атомы которой имеют вырожденные уровни

энергии [8].

Пример 3. Если в уравнении (1) положить f(t, x, z) = α sin z + β sin(z/3)+ γ sin(2z/3), где

α ∈ R, β ∈ R, γ ∈ R, и λ ≡ 1, F ≡ 0, а a = 1, то получим тройное уравнение синус-Гордона,

которое применяется в оптике [8].

Пример 4. Если в уравнении (1) положить f(t, x, z) = δ(t₀, x₀)z, где (t₀, x₀) ∈ Q и δ -

дельта-функция, то получим телеграфное уравнение с потенциалом Дирака [9, 10].

Интегральное уравнение. Область Q характеристикой x - at = 0 разделим на две

подобласти Q(j) = {(t, x) ∈ Q : (-1)^j (at - x) > 0}, j = 1, 2. В замыкании Q(j) каждой из

подобластей Q(j) рассмотрим интегральные уравнения

u(j)(t,x) = g(1,j)(x - at) + g⁽²⁾(x + at) -

∫

[

)

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

−

+λ

4a²

(-1)^j (at-x)

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

×f

,u(j)

dz, (t, x) ∈ Q(j), j = 1, 2,

(4)

где g⁽²⁾, g(1,1) и g(1,2) - некоторые функции, первые две из которых заданы на неотрицатель-

ной, а последняя - на неположительной полуоси.

Определим на замыкании Q области Q функцию u как совпадающую на замыкании Q(j)

области Q(j) с решением u(j) интегрального уравнения (4)

u(t, x) = u(j)(t, x), (t, x) ∈ Q(j), j = 1, 2.

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

176

КОРЗЮК, РУДЬКО

Лемма 1. Пусть выполняются условия λ ∈ C¹(Q), f ∈ C¹(Q × R), F ∈ C¹(Q). Функция

u⁽¹⁾ принадлежит классу C²(Q⁽¹⁾) и удовлетворяет уравнению (1) в Q⁽¹⁾ тогда и только

тогда, когда она является непрерывным решением уравнения (4) при j = 1, функции g(1,1)

и g⁽²⁾ в котором из класса C²([0,∞)).

Доказательство. 1. Пусть функция u⁽¹⁾ ∈ C²(Q⁽¹⁾) удовлетворяет уравнению (1) в Q⁽¹⁾.

Сделав линейную невырожденную замену переменных независимых ξ = x - at, η = x + at и

обозначив u⁽¹⁾(t, x) = v(ξ, η), получим новое дифференциальное уравнение

)

(

)

⁽η-ξ

η+ξ

η-ξ

η+ξ

⁽η-ξ

η+ξ

∂_ξ∂_ηv(ξ,η) +

,v(ξ,η)

4a²

Проинтегрируем его дважды. В результате получим уравнение

∫

{

)

⁽z-y

z+y

v(ξ, η) = g(1,1)(ξ) + g⁽²⁾(η) -

4a²

)

(

)}

)

⁽z-y

z+y

z-y

z+y

⁽η-ξ

η+ξ

+λ

,v(y,z)

dz,

∈Q⁽¹⁾.

(6)

Уравнения (6) - это уравнение (4) для j = 1. Отсюда также следует принадлежность

функций g(1,1) и g⁽²⁾ классу C²([0, ∞)).

2. Если функция u⁽¹⁾ - решение уравнения (4), то в силу условий гладкости λ ∈ C¹(Q),

f ∈ C1(Q × R), F ∈ C1(Q) и принадлежности функций g(1,1) и g(2) классу C2([0,∞))

заключаем, что u⁽¹⁾ ∈ C²(Q⁽¹⁾). Подставляя представления (4) в уравнение (1), убеждаемся,

что функция u⁽¹⁾ удовлетворяет этому уравнению в Q⁽¹⁾. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть выполняются условия λ ∈ C¹(Q), f ∈ C¹(Q × R), F ∈ C¹(Q). Функция

u⁽²⁾ принадлежит классу C²(Q⁽²⁾) и удовлетворяет уравнению (1) в Q⁽²⁾ тогда и только

тогда, когда она является непрерывным решением уравнения (4) при j = 2, функции g(1,2)

и g⁽²⁾ в котором из классов C²((-∞,0]) и C²([0,∞)) соответственно.

Доказательство проводится аналогично доказательству предыдущей леммы.

Теорема 1. Пусть выполняются условия λ ∈ C¹(Q), f ∈ C¹(Q × R), F ∈ C¹(Q). Функ-

ция u принадлежит классу C²(Q) и удовлетворяет уравнению (1) тогда и только тог-

да, когда она для каждого j = 1, 2 является непрерывным решением уравнения (4), функ-

ции g(1,1), g(1,2) и g⁽²⁾ в котором из классов C²([0, ∞)), C²((-∞, 0]) и C²([0, ∞)) соот-

ветственно, и выполняются условия согласования

g(1,1)(0) - g(1,2)(0) = 0,

(7)

Dg(1,1)(0) - Dg(1,2)(0) = 0,

(8)

D²g(1,1)(0) - D²g(1,2)(0) +

(F (0, 0) + λ(0, 0)f(0, 0, g(1,1) (0) + g⁽²⁾(0))) = 0.

(9)

a²

Доказательство теоремы проведём, следуя схеме, изложенной в [11, п. 4.3] (в полном

виде) и [12] (в кратком виде).

1. Пусть функция u ∈ C²(Q) удовлетворяет уравнению (1). Тогда, согласно леммам 1 и 2,

функция u представима в виде (4), (5) и функции g(1,1), g(1,2) и g⁽²⁾ из классов C²([0, ∞)),

C²((-∞,0]) и C²([0,∞)) соответственно. Кроме того, выполнены условия непрерывности

функции u и её частных производных до второго порядка включительно, т.е.

∂^kt∂^pxu⁽¹⁾(t,x = at) = ∂^kt∂^pxu⁽²⁾(t,x = at),

0 ≤ k + p ≤ 2,

(10)

где k, p - целые неотрицательные числа.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

177

Заметим, что функция W(t, x) = g⁽²⁾(x - at) принадлежит классу C²(Q). Поэтому из

равенства (10) для k = p = 0 следует условие согласования (7).

Вычисляем производные первого и второго порядка функций u(j), j = 1, 2, в Q(j). Затем

на характеристике γ = {(t, x) : x = at} рассмотрим их предельные значения. Имеем

∂_tu(j)(t,x) = -aDg(1,j)(x - at) + aDg⁽²⁾(x + at) +

∫

)

∫

)

⁽ at - x + z

x - at + z

⁽ at + x - y

at + x + y

P_j

dz -

P_j

dy +

(-1)^j (at-x)

∫

)

]

⁽ (-1)^j (at - x) - y

(-1)^j (at - x) + y

(-1)^jPj

dy , (t, x) ∈ Q(j), j = 1, 2,

(11)

где P_j (w, z) = λ(w, z)f(w, z, u(j)(w, z)) + F (w, z). Аналогично получаем

∂_xu(j)(t,x) = Dg(1,j)(x - at) + Dg⁽²⁾(x + at) -

4a²

∫

)

∫

)

⁽ at - x + z

x - at + z

⁽ at + x - y

at + x + y

P_j

dz +

P_j

dy +

(-1)^j (at-x)

∫

)

]

⁽ (-1)^j (at - x) - y

(-1)^j (at - x) + y

(-1)^jPj

dy , (t, x) ∈ Q(j), j = 1, 2.

(12)

Из представлений (11) и (12) следует, что если предельные значения производных первого

порядка на характеристике γ совпадают между собой, то выполняется условие

Dg(1,1)(0) - Dg(1,2)(0) +

∫

(

)[

(

))

(

))]

⁽ z

,u⁽²⁾

-f

,u⁽¹⁾

dz = 0,

4a²

а так как u⁽¹⁾(t, at) = u⁽²⁾(t, at), то это равенство упрощается до (8).

Далее вычисляем в Q(j) производные второго порядка функций функций u(j), j = 1, 2.

Имеем

P_j(t,x)

∂2tu(j)(t,x) = a²D²g(1,j)(x - at) + a²D²g⁽²⁾(x + at) +

)

(-1)

⁽ ((-1)^j + 1)(at - x)

((-1)^j - 1)(at - x)

P_j

∫

)

∫

)

⁽ at - x + z

x - at + z

⁽ at + x - y

at + x + y

P⁽¹⁾

dz -

P⁽²⁾

dy +

(-1)^j (at-x)

∫

)

]

⁽ (-1)^j (at - x) - y

(-1)^j (at - x) + y

+ P⁽²⁾

dy , (t, x) ∈ Q(j), j = 1, 2,

(13)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

178

КОРЗЮК, РУДЬКО

где P(k)j(w, z) = 〈grad P(w, z), (1, (-1)^k a)^т〉, k = 1, 2. Аналогично вычисляем вторые произ-

водные ∂2xu(j), ∂t∂xu(j). В результате получаем

P_j(t,x)

∂2xu(j)(t,x) = D²g(1,j)(x - at) + D²g⁽²⁾(x + at) -

2a²

)

(-1)

⁽ ((-1)^j + 1)(at - x)

((-1)^j - 1)(at - x)

P_j

2a²

8a³

∫

)

∫

)

⁽ at - x + z

x - at + z

⁽ at + x - y

at + x + y

P⁽¹⁾

dz -

P⁽²⁾

dy +

(-1)^j (at-x)

∫

)

]

⁽ (-1)^j (at - x) - y

(-1)^j (at - x) + y

∂2tu(j)(t,x) - P_j(t,x)

+ P⁽²⁾

a²

(t, x) ∈ Q(j), j = 1, 2,

(14)

∂_t∂_xu(j)(t,x) = -aD²g(1,j)(x - at) + aD²g⁽²⁾(x + at) +

)

(-1)

⁽ ((-1)^j + 1)(at - x)

((-1)^j - 1)(at - x)

P_j

8a²

∫

)

∫

)

⁽ at - x + z

x - at + z

⁽ at + x - y

at + x + y

P⁽¹⁾

dz +

P⁽²⁾

dy +

(-1)^j (at-x)

∫

)

]

⁽ (-1)^j (at - x) - y

(-1)^j (at - x) + y

+ P⁽²⁾

dy , (t, x) ∈ Q(j), j = 1, 2.

(15)

Используя представления (13), рассмотрим равенство (10) для k = 2, p = 0, т.е. равенство

для вторых производных по t на характеристике γ. Для этого в (13) полагаем x = at.

В результате получаем

∫

)

P₁(t,at)

⁽ z

P₁(0,0)

∂2tu⁽¹⁾(t,at) =

P⁽¹⁾

dz +

+ a²D²g(1,1)(0) + a²D²g⁽²⁾(2at) =

∫

)

P₂(t,at)

⁽ z

P₂(0,0)

= ∂2t u⁽²⁾(t,at) =

P⁽¹⁾

dz -

+ a²D²g(1,2)(0) + a²D²g⁽²⁾(2at).

Выполнение данных равенств влечёт за собой согласование функций g(1,1), g(1,2) и g⁽²⁾ в точ-

ке 0 в виде (9), если верны равенства (10) для k + p ≤ 1. Воспользовавшись представлениями

(14) и (15), непосредственной проверкой убеждаемся, что из равенств (10) для k = p = 1 и

k = 0, p = 2 следует условие (9), если равенство (10) верно при k + p ≤ 1.

2. Предположим, что имеют место представления функции u в виде (4), (5), где g(1,1) ∈

∈ C²([0,∞)), g(1,2) ∈ C²((-∞,0]) и g⁽²⁾ ∈ C²([0,∞)), и выполнены условия (7)-(9). Из лемм 1

и 2 следует, что функция u принадлежит классам C²(Q⁽¹⁾) и C²(Q⁽²⁾) и удовлетворяет урав-

нению (1) в Q⁽¹⁾ и Q⁽²⁾. Чтобы при этом функция u принадлежала классу C²(Q) достаточ-

но совпадений между собой на характеристике x = at значений функций u(j), значений их

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

179

производных первого порядка и значений их производных второго порядка, т.е. чтобы выпол-

нялись равенства (10). Последнее равносильно выполнению условий (7)-(9), что легко выво-

дится, если провести рассуждения в порядке, обратном порядку п. 1 доказательства, исходя

из представлений (4). Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть F ∈ C(Q), λ ∈ C(Q), f ∈ C(Q × R), функция f удовлетворяет

условию Липшица с постоянной L по третьей переменной, т.е. |f(t, x, z₁) - f(t, x, z₂)| ≤

≤ L|z₁ - z₂|, и функции g(1,1), g(1,2) и g⁽²⁾ непрерывны. Тогда решения уравнений (4) суще-

ствуют, единственны и непрерывно зависят от исходных данных.

Доказательство теоремы проведём по схеме, изложенной в [13, п. 2.4]. Для определён-

ности рассмотрим уравнение (4) при j = 1. Будем решать его методом последовательных

приближений. Обозначим G(t, x) = g(1,j)(x - at) + g⁽²⁾(x + at). Возьмём начальное приближе-

ние u(1,0) = G. Тогда каждое следующее приближение будет вычисляться по формуле

∫

[

)

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

u(1,m)(t,x) = G(t,x) -

+λ

4a²

x-at

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

×f

,u(1,m-1)

dz, (t, x) ∈ Q⁽¹⁾.

(16)

Найдём оценки для последовательных приближений.

Пусть x > 0, A = Q⁽¹⁾

^⋂ ([0, x/a] × [0, x]), M = max

|G(t, x)|, c = max

|λ(t, x)|. Тогда

(t,x)∈A

|(u(1,1) - u(1,0))(t, x)| ≤



∫

)

))



⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y



≤

,u(1,0)

dz

≤

^ 4a²

x-at

∫



)



⁽z-y

z+y



LcMt(x - at)



(1,0)



≤

z≤

^u

^d

4a²

x-at

∫



)

)



⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y



(1,1)



|(u(1,2) - u(1,1))(t, x)| ≤

-u(1,0)

z≤

^u

^d

4a²

x-at

∫

Lc²M|y||z - y|

L²c²Mxat(x² - a²t²)

≤

dz ≤

4a²

(4a²)²

x-at

Далее методом математической индукции, в качестве базы в которой здесь выбирается по-

следнее неравенство, несложно доказывается, что имеет место оценка

2(Lc)i+1M xat(x - at)ⁱ(x + at)

|(u(1,i+1) - u(1,i))(t, x)| ≤

(t, x) ∈ A, i ∈ N, i ≥ 2,

(17)

(1)_i(2)_i(4a²)i+1

∏_n

где использовано обозначение (x)_n =

(x + k - 1) - символ Похгаммера.

k=1

∑m-1

Заметим, что u(1,m) = u(1,0) +

(u(1,j+1) - u(1,j)). Из оценки (17) следует абсолютная и

j=0

∑_∞

равномерная сходимость ряда u(1,∞) = u(1,0) +

(u(1,j+1) -u(1,j)) на множестве A, посколь-

j=0

ку его члены мажорируются по абсолютной величине членами равномерно сходящегося ряда

(

)

∑

2(Lc)i+1M xat(x - at)ⁱ(x + at)ⁱ

Lcxt₀F₁(;2;(4a²)-1Lc(x - at)(x + at))

M +

=M 1+

(1)_i(2)_i(4a2)i+1

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

3^∗

180

КОРЗЮК, РУДЬКО

где₀F₁ - вырожденная гипергеометрическая функция, которая может быть определена как

сумма ряда

∑

z^k

0F1(; b; z) =

(b)_kk!

k=0

Таким образом, последовательные приближения непрерывных функций u(1,m) равномерно

стремятся на множестве A к непрерывной в A функции u⁽¹⁾ : A → R, а в силу произ-

вольности x - к непрерывной в Q⁽¹⁾ функции u⁽¹⁾ : Q⁽¹⁾ → R, (t, x) → u⁽¹⁾(t, x). Переходя

в равенстве (16) к пределу при m → ∞, получаем, что функция u⁽¹⁾ является решением

уравнения (4) при j = 1 на множестве Q⁽¹⁾.

Докажем единственность решения уравнения (4) при j = 1 от противного. Пусть у урав-

нения (4) при j = 1 существуют два решения u⁽¹⁾ и u⁽¹⁾. Обозначим U = u⁽¹⁾ - u⁽¹⁾. Тогда

∫

)

))

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

U (t, x) = -

,u⁽¹⁾

dz +

4a²

x-at

∫

)

))

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

,u⁽¹⁾

dz, (t, x) ∈ Q⁽¹⁾. (18)

4a²

x-at

Функция U является непрерывной, значит, |U(t, x)| ≤ M_U при условии (t, x) ∈ A, где M_U -

некоторая константа. Из равенства (18) c учётом условия Липшица следует, что

∫

LcM_U tx

|U(t, x)| ≤

cM_U dz ≤

(t, x) ∈ A.

4a²

x-at

Применяя метод математической индукции, придём к следующей оценке:

2(Lc)i+1M xat(x - at)ⁱ(x + at)

2i⁺¹(Lc)i+1M_U x2i+1

|U(t, x)| ≤

≤

(1)_i(2)_i(4a²)i+1

(1)_i(2)_i(4a²)ⁱ

для любого натурального i и любой пары (t, x) из A. Отсюда следует, что U ≡ 0 на множе-

стве A, а в силу произвольности x - что U ≡ 0 на множестве Q(j). Таким образом, доказано

существование единственного непрерывного решения уравнения (4) при j = 1.

Для доказательства непрерывной зависимости решения от начальных данных рассмотрим

наряду с уравнением (4) при j = 1 возмущённое уравнение

∫

[

)

⁽z-y

z+y

(u⁽¹⁾ + Δu)(t, x) = (G + ΔG)(t, x) -

4a²

x-at

)

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

+λ

, (u⁽¹⁾ + Δu)

dz, (t, x) ∈ Q⁽¹⁾,

(19)

и разность возмущённого (19) и невозмущённого (4) уравнений

∫

[

)

⁽z-y

z+y

Δu(t, x) = ΔG(t, x) -

4a²

x-at

{

))

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

× f

, (u⁽¹⁾ + Δu)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

181

))}]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

-f

,u⁽¹⁾

dz, (t, x) ∈ Q⁽¹⁾.

(20)

Для уравнения (20) относительно возмущения Δu справедлива следующая оценка модуля

возмущения:

(

)

Lcxt₀F₁(;2;(4a²)-1Lc(x - at)(x + at))

|Δu(t, x)| ≤ MΔG

(t, x) ∈ A,

где MΔG = max |ΔG(t, x)|. Из полученного неравенства вытекает, что какое бы малое воз-

(t,x)∈A

мущение ΔG, MΔG = ε, мы ни взяли, для возмущения решения выполняется неравенство

(

))

Lcx²

|Δu(t, x)| = δ ≤ ε

0F1

; 2;

2a²

4a²

на множестве A. В силу произвольности x получаем, что решение уравнения (4) при j = 1

непрерывно зависит от исходных данных.

Существование единственного непрерывного и непрерывно зависящего от начальных дан-

ных решения уравнения (4) при j = 2 доказывается аналогично. Теорема доказана.

Построение решения смешанной задачи. Теперь продемонстрируем наш метод реше-

ния смешанных задач на примере задачи (1)-(3) при B = I (тождественный оператор), т.е. в

этом случае условие (3) имеет простой вид u(t, 0) = μ(t) (условие Дирихле).

Функции g(1,1) и g⁽²⁾ определяем из условий Коши (2). Подставляя выражение (4) для

функции u(j) при j = 1 в условия (2), получаем систему уравнений относительно функций

g(1,1) и g⁽²⁾ :

u⁽¹⁾(0,x) = ϕ(x) = g(1,1)(x) + g⁽²⁾(x), x ≥ 0,

∂_tu⁽¹⁾(0,x) = ψ(x) = -aDg(1,1)(x) + aDg⁽²⁾(x) -

∫

[

)

))

)]

⁽x-y

x+y

⁽x-y

x+y

⁽x-y

x+y

⁽x-y

x+y

,u⁽¹⁾

dy, x ≥ 0.

Проинтегрировав второе уравнение от 0 до x, будем иметь

g(1,1)(x) + g⁽²⁾(x) = ϕ(x), x ≥ 0,

∫

[

)

⁽z-y

z+y

- g(1,1)(x) + g⁽²⁾(x) =

ψ(z) dz +

2a²

)

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

+λ

,u⁽¹⁾

dy + 2C, x ≥ 0,

откуда вытекает, что

∫

ϕ(x)

g(1,1)(x) =

ψ(z) dz - C -

4a²

∫x

∫

[

)

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

× dz

+λ

,u⁽¹⁾

dy, x ≥ 0,

∫

[

)

ϕ(x)

⁽z-y

z+y

g⁽²⁾(x) =

ψ(z) dz + C +

4a²

)

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

+λ

,u⁽¹⁾

dy, x ≥ 0,

(21)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

182

КОРЗЮК, РУДЬКО

где C - произвольная действительная константа. Функцию g(1,2) определяем из граничного

условия. Подставляя выражение (4) для функции u(j) при j = 2 в условия (3), получаем

уравнение g(1,2)(-at) + g⁽²⁾(at) = μ(t) относительно функции g(1,2). Сделав в нём замену

t = -z/a, будем иметь g(1,2)(z) = μ(-z/a) - g⁽²⁾(-z). Отсюда

(

)

∫

[

)

ϕ(-x)

⁽z-y

z+y

g(1,2)(x) = μ -

ψ(z) dz - C -

4a²

)

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

+λ

,u⁽¹⁾

dy, x ≤ 0.

(22)

Подставив представления (21) и (22) в исходные интегральные уравнения (4), получим

∫

ϕ(x - at) + ϕ(x + at)

u⁽¹⁾(t,x) =

ψ(z) dz +

x-at

∫

[

)

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

+λ

4a²

x-at x-at

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

×f

,u⁽¹⁾

dy, (t, x) ∈ Q⁽¹⁾,

(

)

∫

ϕ(x + at) - ϕ(at - x)

u⁽²⁾(t,x) = μ t -

ψ(z) dz -

at-x

∫

[

)

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

−

+λ

,u⁽²⁾

dz+

4a²

at-x

∫

[

)

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

+λ

4a²

at-x

))]

⁽z-y

z+y

⁽z-y

z+y

×f

,u⁽¹⁾

dy, (t, x) ∈ Q⁽²⁾.

(23)

Лемма 3. Пусть выполняются условия λ ∈ C¹(Q), f ∈ C¹(Q × R), F ∈ C¹(Q), ϕ ∈

∈ C²([0,∞)), ψ ∈ C¹([0,∞)), μ ∈ C²([0,∞)) и функция f удовлетворяет условию Липши-

ца с постоянной L по третьей переменной. Тогда решения u(j) (j = 1,2) уравнений (23)

существуют, единственны в классе C²(Q(j)) и непрерывно зависят от функций ϕ, ψ и μ.

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

Таким образом, построено кусочно-гладкое решение задачи (1)-(3), которое определяется

формулами (23) и (5).

Анализ решения смешанной задачи. Чтобы функция u принадлежала классу C²(Q),

кроме требований гладкости для функций f, F, λ необходимо и достаточно выполнение

равенств (7)-(9) согласно теореме 1. Вычисляя величины, которые входят в выражения (7)-

(9), получаем следующие условия согласования:

μ(0) = ϕ(0),

(24)

μ^′(0) = ψ(0),

(25)

μ^′′(0) =

λ(0, 0)(f(0, 0, μ(0)) + f(0, 0, ϕ(0))) + F (0, 0) + a²ϕ^′′(0).

(26)

Результат сформулируем в виде теоремы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КЛАССИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

183

Теорема 3. Пусть выполняются условия λ ∈ C¹(Q), f ∈ C¹(Q × R), F ∈ C¹(Q), ϕ ∈

∈ C²([0,∞)), ψ ∈ C¹([0,∞)), μ ∈ C²([0,∞)) и функция f удовлетворяет условию Липшица

с постоянной L по третьей переменной. Первая смешанная задача (1)-(3) имеет в классе

C²(Q) единственное решение u тогда и только тогда, когда выполняются условия (24)-(26).

Это решение определяется формулами (5) и (23).

Доказательство следует из теоремы 1, леммы 3 и проведённых выше рассуждений.

Неоднородные условия согласования. Если заданные функции задачи (1)-(3) не удо-

влетворяют однородным условиям согласования (24)-(26), то решение задачи (1)-(3) сводится

к решению соответствующей задачи сопряжения, в которой условия сопряжения задаются на

характеристике x - at = 0.

Условиями сопряжения могут быть следующие условия:

[(u)⁺ - (u)^-](t, x = at) = ϕ(0) - μ(0),

[(∂_tu)⁺ - (∂_tu)^-](t, x = at) = ψ(0) - μ^′(0) +

∫

)[

))

(

))]

⁽ z

, (u)⁺

-f

, (u)^-

dz,

(

)

λ(0, 0)

[(∂2tu)⁺ - (∂2tu)^-](t, x = at) = F (0, 0) +

f (0, 0, (u)⁺(0, 0)) + f(0, 0, (u)^-(0, 0))

(

)

λ(t, at)

f (t, at, (u)⁺(t, at)) - f(t, at, (u)^-(t, at))

- μ^′′(0) + a²ϕ^′′(0) +

2at

{(

(

)

))(

(

))

(

)))

⁽ z

a∂_xλ

-∂_tλ

, (u)^-

-f

, (u)⁺

(

)

[(

(

)

(

))

(

))

⁽ z

+λ

(∂_tu)⁺

- a(∂_xu)⁺

∂_yf

,y = (u)⁺

(

))

(

))]

⁽ z

- a∂_xf

, (u)⁺

+∂_tf

, (u)⁺

(

)

[(

(

)

(

))

(

))

⁽ z

-λ

(∂_tu)^-

- a(∂_xu)^-

∂_yf

,y = (u)^-

))

))]}

⁽ z

- a∂_xf

, (u)^-

+∂_tf

, (u)^-

dz.

(27)

Здесь через ()^± обозначаются предельные значения функции и её частных производных, вы-

числяемые с разных сторон характеристики x - at = 0, т.е.

(∂^ptu)^±(t, x = at) = lim

∂^ptu(t,at ± δ).

δ→0+

Теперь задачу (1)-(3) можно сформулировать, используя условия сопряжения (27), следу-

ющим образом.

Задача (1)-(3) с условиями сопряжения на характеристиках. Найти классическое

решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям Коши (2), граничным условиям (3) и усло-

виям сопряжения (27).

Отметим, что такая формулировка рассмотренной задачи с условиями сопряжения более

приемлема для её численной реализации.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

184

КОРЗЮК, РУДЬКО

Заключение. В статье получены необходимые и достаточные условия, при выполнении

которых для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом существует единственное

классическое решение первой смешанной задачи в четверти плоскости. Установлена зависи-

мость гладкости решения от гладкости начальных функций. В работе предложен метод доказа-

тельства существования классических решений смешанных задач для нелинейных уравнений.

Кроме того, сформулирована задача с условиями сопряжения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Физическая энциклопедия: в 5 т. / Гл. ред. А.М. Прохоров. Т. 3. М., 1992.

2. Evans L.C. Partial Differential Equations. Providence, 2010.

3. Jörgens K. Das Anfangswertproblem in Großen für eine Klasse nichtlinearer Wellengleichungen // Math.

Zeitschr. 1961. № 208. S. 295-308.

4. Берикелашвили Г.К., Джохадзе О.М., Мидодашвили Б.Г., Харибегашвили С.С. О существовании и

отсутствии глобальных решений первой задачи Дарбу для нелинейных волновых уравнений // Диф-

ференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 3. С. 359-372.

5. Kharibegashvili S., Jokhadze O. The second Darboux problem for the wave equation with integral

nonlinearity // Trans. of A. Razmadze Math. Inst. 2016. V. 170. № 3. P. 385-394.

6. Харибегашвили С.С., Джохадзе О.М. Вторая задача Дарбу для волнового уравнения со степенной

нелинейностью // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 12. С. 1623-1640.

7. Jokhadze O. On existence and nonexistence of global solutions of Cauchy-Goursat problem for nonlinear

wave equations // J. of Math. Anal. and Appl. 2008. V. 340. № 2. P. 1033-1045.

8. Bullough R.K., Caudrey P.J., Gibbs H.M. The double sine-Gordon equations: a physically applicable

system of equations // Solitons. Topics in Current Physics / Eds. R.K. Bullough, P.J. Caudrey. Berlin;

Heidelberg, 1980. V. 17. P. 107-141.

9. Моисеев Е.И., Юрчук Н.И. Классические и обобщённые решения задач для телеграфных уравнений

с потенциалом Дирака // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 10. С. 1338-1344.

10. Барановская С.Н., Новиков Е.Н., Юрчук Н.И. Задача с косой производной в граничном условии

для телеграфного уравнения с потенциалом Дирака // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 9.

С. 1176-1183.

11. Корзюк В.И. Уравнения математической физики. М., 2021.

12. Корзюк В.И., Козловская И.С., Соколович В.Ю. Классическое решение в четверти плоскости сме-

шанной задачи для волнового уравнения // Докл. НАН Беларуси. 2018. Т. 62. № 6. С. 647-651.

13. Столярчук И.И. Классические решения смешанных задач для уравнения Клейна-Гордона-Фока:

дис

канд. физ.-мат. наук. Гродно, 2020.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 20.10.2021 г.

г. Минск,

После доработки 01.02.2022 г.

Институт математики НАН Беларуси,

Принята к публикации 07.02.2022 г.

г. Минск

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022