ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.185-191

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.957+517.958:536.2

МЕТОД РЕДУКЦИИ И НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Изучается нелинейное многомерное уравнение теплопроводности со степенным коэффи-

циентом. Предлагается строить его точные решения методом многомерной редукции на

основе использования специального анзаца. В результате редукции задача сводится к реше-

нию систем матрично-векторных алгебраических уравнений, определяющих зависимость

от пространственных переменных, и интегрированию обыкновенных дифференциальных

уравнений, определяющих зависимость от времени. Для ряда примеров с различными зна-

чениями показателей степени получены явные выражения через элементарные функции

для точных многомерных решений, в том числе анизотропных по пространственным пере-

менным. Найденные точные решения могут быть полезны при построении приближённых

решений краевых задач для нелинейного уравнения теплопроводности с помощью числен-

ных методов, приводящих к необходимости решения систем уравнений высокой размерно-

сти.

DOI: 10.31857/S0374064122020054

Введение. В данной работе, используя метод редукции, построены новые точные много-

мерные решения уравнения нелинейной теплопроводности со степенным коэффициентом

v_t = ∇ · (v1/λ∇v),

(1)

которое после замены v = u^λ запишется в виде

u_t = uΔu + λ|∇u|², u = u(x,t).

(2)

Здесь Δ - оператор Лапласа в Rⁿ, ∇ - оператор взятия градиента; x ∈ Rn, n ≥ 2, λ = 0 -

произвольный вещественный параметр. Отметим, что построению точных решений уравнения

нелинейной теплопроводности (1) посвящено огромное количество работ. Не ставя своей це-

лью дать их подробный обзор, отметим только статьи [1, 2] и справочники [3-7], в которых

содержится наиболее полная сводка точных решений уравнения (1).

Основная идея метода редукции состоит в том, чтобы с помощью некоторого анзаца по-

строение точных решений нелинейных уравнений с частными производными сводилось к ре-

шению некоторого обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) или системы ОДУ.

В данной работе точные решения уравнения (2) предлагается отыскивать в виде специального

многомерного анзаца

u(x, t) = a(t)Ω(ω) + f(t)W (x) + g(t), ω = ψ(t)W (x) + ϕ(t),

(3)

в котором используется следующая многомерная конструкция:

W (x) =

(Ax, x) + (B, x) + C, x ∈ Rⁿ, n ≥ 2,

(4)

где A - ненулевая вещественная симметрическая n×n-матрица, B ∈ Rⁿ - постоянный вектор,

C ∈ R - константа. При этом в результате редукции мы должны получить некоторое ОДУ

для функции Ω(ω). Именно использование квадратичной функции (4) от n ≥ 2 переменных

позволяет нам говорить о многомерной редукции.

185

186

КОСОВ, СЕМЕНОВ

Отметим, что в литературе подобный метод редукции для нелинейных уравнений с част-

ными производными с одномерной пространственной переменной иногда называют методом

Кларксона-Крускала [4, гл. 6]; он опирается на технику обобщённого разделения перемен-

ных [4, 6, 7].

После подстановки анзаца (3) в исследуемое уравнение (2) мы должны подобрать функции

a(t), f(t), g(t), ψ(t), ϕ(t) таким образом, чтобы в результате всё свелось к одному ОДУ для

функции Ω(ω), в этом случае будем считать задачу выполненной. При этом будем предпола-

гать, что коэффициенты функции W (x) удовлетворяют системе алгебраических уравнений

A = 2σA², B = 2σAB, C = σ|B|²,

(5)

где σ = 0 - некоторая постоянная. При таком предположении, как несложно проверить, функ-

ция W (x) обладает следующим свойством:

W = σ|∇W|².

(6)

Кроме того, ΔW = tr A = const = 0, где tr A - след матрицы A. Заметим, что конструкция (4)

ранее успешно применялась для построения частных точных многомерных решений некоторых

нелинейных уравнений и систем [8, 9].

1. Применение метода редукции. После подстановки анзаца (3) в уравнение (2) и

вычисления необходимых производных придём к равенству

a^′tΩ + (aψ^′tΩ^′ω + f^′t)W + aϕ^′tΩ^′ω + g^′t =

(aψΩ^′ω + f)²W +

(

)

+ (aΩ + fW + g) (aψΩ^′ω + f) tr A +

aψ²Ω^′′ωωW

(7)

в котором для краткости записи опущены аргументы у всех функций; при его выводе мы

воспользовались свойством (6). Это равенство, исключив в нём функцию W с помощью тож-

дества W = (ω - ϕ)/ψ, вытекающего из (3), запишем в виде

(a^′t - af tr A)Ω + a(ϕ^′t - gψ tr A)Ω^′ω + g^′t - gf tr A = a²ψ tr AΩΩ^′ω +

2afϕ

afϕ

ω²Ω^′′ωω -

ωΩ^′′ωω +

Ω^′′ωω + (ω - ϕ)Γ,

(8)

где введено обозначение

a²ψ

agψ

a(ψ^′t - (tr A + 2λ/σ)ψf)

f^′t - (tr A + λ/σ)f

Γ=

(ΩΩ^′′ωω + λΩ′2ω) +

Ω^′′ωω -

Ω^′ω -

Так как нас интересует сведение равенства (8) к одному-единственному ОДУ для функции

Ω(ω), то положим ϕ(t) ≡ ϕ₀ = const. Кроме того, потребуем, чтобы выполнялись соотношения

a^′t - aftr A = 0, g^′t - gf tr A = 0,

(9)

из которых следует, что g(t) = νa(t), где ν = 0 - произвольная постоянная. С учётом тождеств

(9) и предположения ϕ(t) ≡ ϕ₀ равенство (8) примет вид

νa²ψ tr AΩ^′ω + a²ψ tr AΩΩ^′ω +

(ω - ϕ₀)²Ω^′′ωω + a²ψ(ω - ϕ₀)Γ₁ = 0,

(10)

где

ψ^′t - (tr A + 2λ/σ)ψf

f^′t - (tr A + λ/σ)f

Γ₁ =

(ΩΩ^′′ωω + λΩ′2ω) +

Ω^′′ωω -

Ω^′ω -

aψ²

a²ψ²

Поделив все слагаемые в равенстве (10) на a²ψ, получим

ν tr AΩ^′ω + tr AΩΩ^′ω +

(ω - ϕ₀)²Ω^′′ωω + (ω - ϕ₀)Γ₁ = 0.

(11)

σaψ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

МЕТОД РЕДУКЦИИ И НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

187

Чтобы это равенство представляло собой ОДУ для неизвестной функции Ω(ω), оно не должно

содержать функции, зависящие от времени t. Поэтому должны выполняться тождества

ψ^′t - (tr A + 2λ/σ)ψf

f^′t - (tr A + λ/σ)f²

=μ₁,

=μ₂,

=μ₃,

(12)

aψ

aψ²

a²ψ²

где μ₁ = 0, μ₂, μ₃ - некоторые постоянные, которые можно выбирать произвольными. Из ра-

венства (11) в силу тождеств (12) получим для искомой функции Ω(ω) нелинейное ОДУ вто-

рого порядка

)

⁽1

μ₁

(ω - ϕ₀)

ΩΩ^′′ωω +

Ω′2ω +

Ω^′′ωω - μ₂Ω^′ω - μ₃

(ω - ϕ₀)²Ω^′′ωω + tr A(Ω + ν)Ω^′ω = 0.

Отметим, что ранее авторами уже изучалась [8, 9] система алгебраических уравнений (5).

Поэтому повторять её полное исследование не будем, а приведём только решение матричного

уравнения из (5), которое нам понадобится. Именно, если (A, B, C) - решение системы (5),

где A - ненулевая вещественная симметричная матрица, то A = (2σ)-1SE_mS^т. Здесь E_m -

диагональная матрица, у которой на диагонали произвольным образом расположены m ∈

∈ {1, 2, . . . , n} единиц и n - m нулей, S - произвольная ортогональная матрица. При этом

имеем

tr A = m/(2σ), m ≤ n, n ∈ N, n ≥ 2.

(13)

Замечание. Пространственная структура решений определяется рангом матрицы E_m.

Если rank E_m = 1, то имеем “псевдомногомерные” точные решения, т.е. решения с линейной

комбинацией пространственных переменных. Если 1 < rank E_m < n, то получим анизотроп-

ные по пространственным переменным точные решения. Наконец, если rank E_m = n, то имеем

радиально-симметричные по пространственным переменным точные решения.

Окончательно, с учётом формулы (13) ОДУ для искомой функции Ω(ω) примет следую-

щий вид:

)

⁽1

μ₁

(ω - ϕ₀)

ΩΩ^′′ωω +

Ω′2ω +

Ω^′′ωω - μ₂Ω^′ω - μ₃

(ω - ϕ₀)²Ω^′′ωω +

(Ω + ν)Ω^′ω = 0.

(14)

2σ

Соотношения (9), (12) при условии μ₂ = 0, μ₃ = 0 сводятся к следующим ОДУ:

(

)

μ₁m

⁽m

2λ

⁽m

μ₃

a^′t =

a²ψ, ψ^′t = μ₂ +

μ₁

aψ², f^′t =

f².

(15)

2σ

μ²

Если μ₂ = μ₃ = 0, то соотношения (9), (12) редуцируются к ОДУ вида

)

μ₁m

⁽m

2λ

⁽m

a^′t =

a²ψ, ψ^′t =

aψ², f^′t =

f².

(16)

2σ

При этом должно выполняться условие f(t) = μ₁a(t)ψ(t), которое подробно рассмотрим при

интегрировании систем ОДУ (15) и (16).

Изучим теперь частный случай анзаца (3) при f(t) ≡ 0 и g(t) ≡ 0. В этом случае анзац

примет вид u(x, t) = a(t)Ω(ω), и после подстановки его в уравнение (2) придём к равенству

(

)

a^′tΩ + aψ^′tΩ^′ωW + aϕ^′tΩ^′ω =

a²ψ²Ω′2ωW + aΩ aψΩ^′ω tr A +

aψ²Ω^′′ωωW

которое получается из равенства (7) при f(t) ≡ 0 и g(t) ≡ 0 после очевидных преобразований.

Это равенство, разделив его на a^′t = 0 и исключив в нём функцию W с помощью тождества

W = (ω - ϕ)/ψ, вытекающего из (3), запишем в виде

]

aϕ^′t

a²ψ

^[a²ψ

aψ^′t

Ω+

Ω^′ω =

tr AΩΩ^′ω + (ω - ϕ)

(ΩΩ^′′ωω + λΩ′2ω) -

Ω^′ω

(17)

a^′t

σa^′t

a^′tψ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

188

КОСОВ, СЕМЕНОВ

Чтобы равенство (17) представляло собой ОДУ для неизвестной функции Ω(ω), оно не долж-

но содержать функции, зависящие от времени t. Кроме того, положим ϕ(t) ≡ ϕ₀ = const.

Поэтому должны выполняться тождества

a²ψ

aψ^′t

=δ₁,

=δ₂,

(18)

a^′t

a^′tψ

где δ₁ = 0, δ₂ = 0 - некоторые постоянные, которые можно выбирать произвольными. Из ра-

венства (17) в силу тождеств (18) получим для искомой функции Ω(ω) нелинейное ОДУ

второго порядка

]

mδ₁

^[δ₁

ΩΩ^′ω + (ω - ϕ₀)

(ΩΩ^′′ωω + λΩ′2ω) - δ₂Ω^′

- Ω = 0.

(19)

2σ

Из равенств (18) находим, что ψ(t) = δ₀a(t)δ2 , причём

a(t) = (C - (1 + δ₂)δ₀δ-11t)^δ, если δ₂ = -1, и a(t) = exp(δ₀δ-11t + C), если δ₂ = -1.

Здесь δ = -1/(1 + δ₂), а δ₀ = 0, C - произвольные постоянные.

2. Интегрирование систем ОДУ (15), (16). Прежде чем приступить к построению

частных точных решений найденных ОДУ для функции Ω(ω), проинтегрируем системы ОДУ

для функций времени a(t), ψ(t), f(t).

1. Пусть μ₁ = 0, μ₂ = 0, μ₃ = 0. Обозначим k₁ = μ₁m/(2σ), k₂ = μ₂ +(m/(2σ)+2λ/σ)μ₁.

Пусть выполнено условие k₁ + k₂ = 0, тогда система ОДУ (15) для функций a(t) и ψ(t)

имеет общее решение

C₁

a(t) = (C₁t + C₂)k1/(k1+k2), ψ(t) = -

(C₁t + C₂)k2/(k1+k2),

k₁ + k₂

где C₁ = 0, C₂ - произвольные постоянные. Интегрируя ОДУ (15) для функции f(t), находим

μ₃

f (t) =

где ε₁ =

-ε₁t + C₂

2σ

μ²

Так как должно выполняться равенство f(t) = μ₁a(t)ψ(t), то из последних формул вытекает,

что C₁ = -ε₁ и C₁μ₁ = -k₁ + k₂. Вследствие этих двух равенств имеем

m + 2λ

μ₁μ₂ +

μ²¹ = μ₃.

2σ

С учётом последних соотношений искомые функции примут окончательный вид

[

)

]_p

[

)

]-1-p

⁽m + 2λ

μ₂

⁽m + 2λ

μ₂

a(t) =

t+C₂

ψ(t) =

t+C₂

μ₁

[

)

]-1

⁽m + 2λ

μ₂

mμ₁/2

m + 2λ

f (t) =

t+C₂

p=-

μ₂ = -

μ₁.

μ₁

(m + 2λ)μ₁ + σμ₂

Если k₁ + k₂ = 0 (k₁ = k, k₂ = -k, k = 0), то система ОДУ (15) для функций a(t) и

ψ(t) имеет общее решение

C₂

a(t) = C₁ exp(C₂t), ψ(t) =

exp(-C₂t),

kC₁

где C₁ = 0, C₂ = 0 - произвольные постоянные. Так как должно выполняться равенство

f (t) = μ₁a(t)ψ(t), то из последних формул следует, что f(t) ≡ μ₁C₂/k. Чтобы решением

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

МЕТОД РЕДУКЦИИ И НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

189

ОДУ (15) для функции f(t) была константа, мы должны потребовать равенство нулю коэф-

фициента в правой части этого уравнения, т.е. μ₃ = -(m + 2λ)μ²¹/(2σ), λ = -m/2. Тогда в

силу условия k₁ + k₂ = 0 имеем μ₂ = -(m + 2λ)μ₁/σ. Искомые функции a(t), ψ(t), f(t)

примут окончательный вид

2σC₂

a(t) = C₁ exp(C₂t), ψ(t) =

exp(-C₂t), f(t) ≡

(20)

mμ₁C₁

2. Пусть μ₁ = 0, μ₂ = μ₃ = 0. Обозначим k₁ = μ₁m/(2σ), k₂ = m/(2σ) + 2λ/σ.

Пусть выполнено условие k₁ + k₂ = 0, тогда система ОДУ (16) для функций a(t) и ψ(t)

имеет общее решение

C₁

a(t) = (C₁t + C₂)k1/(k1+k2), ψ(t) = -

(C₁t + C₂)k2/(k1+k2),

(21)

k₁ + k₂

где C₁ = 0, C₂ - произвольные постоянные. Интегрируя ОДУ (16) для функции f(t), находим

m + 2λ

f (t) =

где ε₂ =

-ε₂t + C₂

2σ

Так как должно выполняться равенство f(t) = μ₁a(t)ψ(t), то из последних формул вытекает,

что C₁ = -ε₂ и C₁μ₁ = -k₁ + k₂. Вследствие этих двух равенств имеем μ₁ = (m + 4λ)/λ.

С учётом последних соотношений искомые функции примут окончательный вид

[

]_q

[

]-1-q

m + 2λ

a(t) =

t+C₂

ψ(t) =

t+C₂

2σ

μ₁

[

]-1

m + 2λ

μ₁m

m + 4λ

f (t) =

t+C₂

q=-

μ₁ = -

2σ

μ₁m + m + 4λ

Если k₁ + k₂ = 0 (k₁ = k, k₂ = -k, k = 0), то система ОДУ (16) для функций a(t) и

ψ(t) имеет общее решение

C₂

a(t) = C₁ exp(C₂t), ψ(t) =

exp(-C₂t),

kC₁

где C₁ = 0, C₂ = 0 - произвольные постоянные. Так как должно выполняться равенство

f (t) = μ₁a(t)ψ(t), то из последних формул следует, что f(t) ≡ μ₁C₂/k. Чтобы решением

ОДУ (16) для функции f(t) была константа, мы должны потребовать равенство нулю ко-

эффициента в правой части этого уравнения, т.е. λ = -m/2. Кроме того, в силу условия

k₁ +k₂ = 0 имеем μ₁ = -(m+4λ)/m, λ = -m/4. Искомые функции a(t), ψ(t), f(t) примут

окончательный вид (20).

3. Частные точные решения ОДУ (14), (19). Поскольку построение общего решения

нелинейных ОДУ второго порядка (14), (19) представляется весьма непростой задачей, то в

этом пункте работы ограничимся предъявлением явных частных точных решений указанных

уравнений.

Пусть μ₁ = 0, μ₂ = 0, μ₃ = 0, ϕ₀ = 0, тогда при следующих значениях параметров:

m+2

μ₁(4 - m)

(2 - m)(m + 4)μ₁

λ=-

1) μ₂ =

2) μ₂ =

4σ

8σ

ОДУ (14) имеет соответственно следующие точные частные решения:

μ₁

μ₁ϕ₀

μ₁(m + 2)

(m + 2)μ₁ϕ₀

1) Ω(ω) = -

ω² +

-ν и

2) Ω(ω) = -

ω² +

- ν.

(22)

2ϕ₀

4ϕ₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

190

КОСОВ, СЕМЕНОВ

Отметим, что при сделанных предположениях: μ₁ = 0, μ₂ = 0, μ₃ = 0, ϕ₀ = 0 и λ =

= -(m + 2)/4, ОДУ (14) обладает точным частным решением Ω(z) = P₁ω² + P₂ω + P₃, но

значения постоянных P_i, i = 1, 2, 3, получаются чрезвычайно громоздкими, и поэтому их

приводить не будем.

Пусть ϕ₀ = 0, m = 2, λ = -m/2, δ₂ = -1, тогда ОДУ (19) имеет частное точное решение

Ω(ω) =

ω+Cω^p,

δ₁(1 - p)

где p = 1, C - произвольные постоянные.

Пример 1. Пусть n = 3, m = 2, λ = -1, тогда уравнение нелинейной теплопровод-

ности (2) в трёхмерном координатном пространстве имеет частное точное анизотропное по

пространственным переменным решение

(

)

δ₀σ

u(x, y, z, t) =

W (x, y, z) + Cδp0 exp (1 - p)

δ₀ t W^p(x,y,z),

(1 - p)δ₁

δ₁

где

√

W (x, y, z) =

(55x² + 39y² + 34z² - 30xy - 6

30xz - 10

30yz) -

256σ

√

−

(5l₁ +

30l₂)x + l₁y + l₂z +

(34l²¹ + 10

30l₁l₂ + 39l²²),

(23)

p = 1, δ₀ = 0, δ₁ = 0, σ = 0, C, l₁, l₂, l₃ - произвольные параметры.

Пример 2. Пусть n = 3, m = 2, λ = -1, μ₁ = β, μ₂ = β/(2σ), μ₃ = 2β²/σ, тогда

уравнение нелинейной теплопроводности (2) в трёхмерном координатном пространстве имеет

частное точное анизотропное по пространственным переменным решение

u(x, y, z, t) = a(t)Ω(ω) + f(t)W (x, y, z) + νa(t), ω = ψ(t)W (x, y, z) + 1,

где

Ω(ω) = P ω² - (2P + β)ω + β - ν,

(

)

(

)-2

)-1

a(t) = C₂ -

ψ(t) =

C₂ -

f (t) = C₂ -

(24)

2σ

μ₁

2σ

а функция W (x, y, z) определена равенством (23), где P = 0, β = 0, μ₁ = 0, μ₂ = 0, ν > 0,

C₂, l₁, l₂, l₃ - произвольные параметры.

Пример 3. Пусть n = 3, m = 2, λ = -1, тогда уравнение нелинейной теплопровод-

ности (2) в трёхмерном координатном пространстве имеет частное точное анизотропное по

пространственным переменным решение

u(x, y, z, t) = a(t)Ω(ω) + f(t)W (x, y, z) + νa(t), ω = ψ(t)W (x, y, z) + ϕ₀,

где функция Ω(ω) задаётся формулой 1) в (22), а функции a(t), ψ(t), f(t) и W (x, y, z) -

равенствами (24) и (23) соответственно, здесь μ₁ = 0, μ₂ = 0, ϕ₀ = 0, ν > 0, C₂, l₁, l₂,

l₃ - произвольные параметры.

Пример 4. Пусть n = 3, m = 3, λ = -5/4, тогда уравнение нелинейной теплопро-

водности (2) в трёхмерном координатном пространстве имеет частные точные радиально-

симметричные решения

u_i(x,y,z,t) = a_i(t)Ω_i(ω_i) + f_i(t)W₀(x,y,z) + νa_i(t), ω_i = ψ_i(t)W₀(x,y,z) + ϕ₀,

где i = 1, 2, функции Ω_i(ω) задаются соответственно формулами 1) и 2) в (22),

(

)6i-8

(

)-6i+7

)-1

(-1)ⁱ

a_i(t)= C₂ +

ψ_i(t)=

C₂ +

f_i(t)= C₂ +

4σ

μ₁

4σ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

МЕТОД РЕДУКЦИИ И НОВЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

191

W₀(x,y,z) =

(x² + y² + z²) + l₁x + l₂y + l₃z + σ(l²¹ + l²² + l²³),

4σ

где μ₁ = 0, μ₂ = 0, ϕ₀ = 0, ν > 0, C₂, l₁, l₂, l₃ - произвольные параметры.

Приведённые примеры достаточно наглядно иллюстрируют новизну полученных резуль-

татов. В примерах 1-3 с одинаковым значением параметра λ = -1 найдены точные решения,

представленные функциями различных видов. В примере 1 (вообще говоря, не полиномиаль-

ное, поскольку p не обязательно целое) решение имеет степень 2p = 2 по пространственным

переменным и экспоненциально зависящие от времени множители. В примере 2 решение яв-

ляется полиномом 4-й степени по пространственным переменным с зависящими от времени

коэффициентами, представляющими собой отношение полиномов. В примере 3 решение име-

ет ту же структуру, что и в примере 2, однако в коэффициентах, отражающих зависимость

от времени, степени полиномов другие. Тем самым показано, что предложенный подход позво-

ляет находить для одного и того же многомерного нелинейного уравнения теплопроводности

несколько семейств точных решений различной структуры. В примере 4 для значения па-

раметра λ = -5/4 предъявлено радиально симметричное по пространственным переменным

решение, а зависимость от времени выражена через полиномы существенно более высоких

степеней, чем в примерах 1-3.

Заключение. В статье методом редукции построены новые многомерные точные реше-

ния уравнения нелинейной теплопроводности со степенным коэффициентом. Полученные яв-

ные выражения для точных многомерных решений, включающих комбинации элементарных

функций, могут представлять не только теоретический, но и прикладной интерес, посколь-

ку их можно использовать для тестирования, настройки и адаптации численных методов и

алгоритмов [10, 11]. Кроме того, найденные точные решения могут быть полезны при постро-

ении для нелинейного уравнения теплопроводности приближённых решений краевых задач,

приводящих к необходимости решения систем уравнений высокой размерности.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект № 20-07-00397).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. King J.R. Exact multidimensional solutions to some nonlinear diffusion equations // Quart. J. Mech.

Appl. Math. 1993. V. 46. № 3. P. 419-436.

2. Пухначев В.В. Многомерные точные решения уравнения нелинейной диффузии // Прикл. механика

и техн. физика. 1995. Т. 36. № 2. С. 23-31.

3. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.,

2002.

4. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической

физики и механики. М., 2005.

5. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Нелинейные уравнения математической физики. В 2-х ч. Ч. 1. М., 2017.

6. Полянин А.Д., Журов А.И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных урав-

нений математической физики. М., 2020.

7. Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs. Boca Raton;

London; New York, 2022.

8. Косов А.А., Семенов Э.И. О точных многомерных решениях системы уравнений реакции-диффузии

со степенными нелинейностями // Сиб. мат. журн. 2017. Т. 58. № 4. С. 796-812.

9. Косов А.А., Семенов Э.И. О точных многомерных решениях одной нелинейной системы уравнений

реакции-диффузии // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 1. С. 108-122.

10. Галактионов В.А., Самарский А.А. Методы построения приближённых автомодельных решений

нелинейных уравнений теплопроводности. I // Мат. сб. 1982. Т. 118. № 3. С. 291-322.

11. Ulrich Olivier Dangui-Mbani, Liancun Zheng, Xinxin Zhang. On analytical solutions for the nonlinear

diffusion equation // Amer. J. of Engineering Research. 2014. V. 3. № 9. P. 224-232.

Институт динамики систем и теории управления

Поступила в редакцию 25.06.2021 г.

им. В.М. Матросова СО РАН, г. Иркутск

После доработки 21.01.2022 г.

Принята к публикации 07.02.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022