ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.192-203

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.957+517.958:536.24

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

МЕЖДУ ДВИЖУЩЕЙСЯ ТВЁРДОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ

ЧАСТИЦЕЙ И ВЯЗКИМ ГАЗОМ

Получено приближённое решение краевой задачи для уравнения конвективного теплообме-

на методом сращиваемых асимптотических разложений при малых значениях чисел Пекле

и Рейнольдса. При решении стационарной системы газодинамических уравнений теплооб-

мена, включающей линеаризованную по скорости систему уравнений Навье-Стокса, урав-

нение конвективного теплообмена и уравнение Пуассона, предполагается, что зависимости

вязкости, теплопроводности и плотности газообразной среды от температуры носят сте-

пенной характер.

DOI: 10.31857/S0374064122020066

Введение. Математические исследования процессов переноса, происходящих в аэродис-

персных системах, вызваны как теоретическими, так и практическими интересами и в настоя-

щее время представляют собой обширную и быстро развивающуюся область газовой динамики.

Явление переноса - это неравновесный процесс, причиной которого являются возмущения сис-

темы, нарушающие состояние её термодинамического равновесия. При взаимодействии аэро-

дисперсных систем, имеющих разную температуру, между ними происходит обмен энергией

(перенос теплоты). Значение процесса теплообмена в природе и производстве определяется

тем, что свойства тел самым существенным образом зависят от их теплового состояния, ко-

торое, в свою очередь, само определяется условиями теплообмена. Эти условия оказывают

существенное влияние на процессы изменения состояния вещества и на механические, тепло-

вые, магнитные и другие свойства тел.

При математическом описании процесса теплообмена вводят безразмерный параметр Θ(T ),

характеризующий относительный перепад температуры, под которым понимают отношение

разности между средней температурой T_S поверхности частицы и температурой T_∞ области

вдали от неё к температуре T_∞, т.е. Θ(T ) = (T_S - T_∞)/T_∞. Относительный перепад темпера-

туры считается малым, если Θ(T ) ≪ 1, и значительным в противном случае. В первом случае

вязкая газообразная среда называется изотермической, а во втором - неизотермической.

Если выполняется условие Θ(T ) ≪ 1, то решение системы газодинамических уравнений,

описывающей процесс теплообмена, существенно упрощается. В частности, коэффициенты

молекулярного переноса (вязкость, теплопроводность) и плотность газообразной среды можно

считать постоянными величинами, а сама система газодинамических уравнений распадается

при этом на гидродинамическую (система уравнений Навье-Стокса) и тепловую (уравнение

Лапласа и уравнение Пуассона).

В данной работе рассматривается конвективный теплообмен, обусловленный совместным

действием двух механизмов переноса тепла - конвекцией и теплопроводностью. В этом слу-

чае общее уравнение переноса тепла в вязкой неизотермической газообразной среде имеет в

стационарном приближении вид [1, гл. V, с. 232]

ρ(x)c_p(x)(U(x)∇)T (x) = div (λ(x)∇T (x)) + Φ(x) + Q(x),

где U(x) - вектор массовой скорости, T (x) - температура, ρ(x) - плотность, c_p(x) - удельная

теплоёмкость при постоянном давлении, λ(x) - коэффициент теплопроводности, Φ(x) - дисси-

пативная функция, учитывающая нагрев среды из-за внутреннего трения, Q(x) - внутреннее

тепловыделение в единице объёма среды, ∇ - оператор набла, x = (x₁, x₂, x₃) ∈ R³.

192

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

193

При нахождении решения этого уравнения даже при малых относительных перепадах тем-

пературы необходимо знать векторное поле массовой скорости, для чего нужно решить систему

уравнений Навье-Стокса. Система уравнений Навье-Стокса, представляющая собой матема-

тическое выражение законов сохранения импульса и массы, относится к классу нелинейных

дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Как известно, при её

решении возникают существенные математические трудности, обусловленные наличием кон-

вективного члена ускорения. Поэтому на первый план выходит вопрос не только решения

самого конвективного уравнения теплопроводности, но и нахождения решений системы урав-

нений гидродинамики (системы уравнений Навье-Стокса) и разрешимости краевых задач для

этой системы [2].

В газовой динамике вследствие указанных выше проблем разработаны приближённые ме-

тоды, позволяющие в той или иной мере упростить систему гидродинамики и приспособить её

к характеру отдельных типов конкретных физических задач. В научной литературе имеется

обширный класс таких течений, в котором можно пренебречь конвективным членом ускорения

в системе уравнений Навье-Стокса. Такие системы уравнений получили название линеаризо-

ванных по скорости систем уравнений Навье-Стокса.

К настоящему времени процесс теплообмена между частицей сферической формы и га-

зообразной средой подробно исследован лишь в изотермическом случае (см., например, [3,

гл. 4]). В последнее время возрос интерес и к исследованию краевых задач, когда параметр

Θ(T ) ∼ O(1) (см., например, [4-7]). Однако в этих работах не учитывалось влияние кон-

вективного переноса тепла на поведение взвешенных аэрозольных частиц в аэродисперсных

системах.

Отметим, что при описании теплообмена если малы характерная скорость (числа Пекле и

Рейнольдса малы) и относительный перепад температуры в газе, то конвективным переносом

тепла (ρc_p(U∇)T ) по сравнению с молекулярным переносом (div (λ∇T )) можно пренебречь.

Ситуация существенно меняется, когда относительный перепад температуры в газе значи-

тельный, т.е. Θ(T ) ∼ O(1) (например, частицу нагрели лазером до 700◦C, а температура

окружающей её газообразной среды 20^◦C). Тогда конвективный перенос тепла по порядку ве-

личины сравним с молекулярным переносом тепла и его необходимо учитывать при описании

аэродисперсных систем. Настоящая работа посвящена исследованию такого случая.

Постановка задачи. Основные уравнения и граничные условия. Рассматривается

классическая задача для установившегося процесса теплообмена при обтекании твёрдой нерав-

номерно нагретой частицы сферической формы радиуса R плоскопараллельным потоком газа

со скоростью U_∞ (U_∞∥Oz, ось Oz направлена горизонтально) при произвольных перепа-

дах температуры. Описание проводится в сферической системе координат (r, ϕ, θ). При этом

положение декартовой системы координат фиксировано относительно оси частицы Oz, про-

ходящей через её центр. Задача осесимметрична (это означает, что все неизвестные функции

зависят только от координат r и θ) и формулируется следующим образом.

Задача. Вязкая неизотермическая газообразная среда занимает неограниченную область

Ω_e = R³ \ Ω_i, где Ω_i - сферическая область с центром в нуле евклидова пространства R³.

Требуется найти векторное поле массовой скорости U_e(x) = (U^(e)1(x), U^(e)2(x), U^(e)3(x)) (x ∈

∈ Ω_e) и распределения температур T_e(x) (x ∈ Ω_e) и T_i(x) (x ∈ Ω_i) в газообразной среде и

внутри частицы, удовлетворяющие уравнениям:

)]

∑ [(

∇_kP_e =

∇_j μ_e

∇_jU(e)k + ∇_kU(e)j -²

δ_jk(∇ · U_e)

k = 1,2,3,

(1)

j=1

∇ · (ρ_eU_e) = 0,

(2)

ρ_ecpe(U_e · ∇T_e) = ∇ · (λ_e∇T_e),

(3)

∇ · (λ_i∇T_i) = -q_i,

(4)

где x = (x₁, x₂, x₃) ∈ R³, P_e(x) - давление, ∇ = (∇₁, ∇₂, ∇₃) - векторный дифференциальный

оператор Гамильтона в декартовых координатах, ∇_j ≡ ∂/∂x_j , q_i(x) - заданная в Ω_i функция,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

194

МАЛАЙ и др.

определяющая распределение плотности тепловых источников внутри частицы. Здесь и далее

индекс e относится к областям Ω_e, индекс i относится к области Ω_i; индексом ∞ обозначены

значения физических величин в невозмущённом потоке (т.е. вдали от частицы) и индексом

S - значения физических величин, взятые при средней температуре поверхности частицы,

равной T_S .

Ввиду того, что μ_e, ρ_e, λ_e, λ_i являются функциями от искомых функций T_e(x) и T_i(x),

система уравнений (1)-(4) в целом является нелинейной. Уравнение (1) в литературе называ-

ется стационарным линеаризованным по скорости уравнением Навье-Стокса, (2) - уравнением

неразрывности, (3) - уравнение теплопроводности, описывающее распределение температуры

в области Ω_e, а (4) - уравнение Пуассона, описывающее распределение температуры внутри

области Ω_i (внутри частицы).

Для решения системы уравнений газовой динамики сделаем следующие физические допу-

щения, реализуемые в большинстве прикладных задач (см., например, [4-6]).

Допущение 1. При описании свойств частицы и газообразной среды рассматривается

степенной вид зависимости динамической вязкости, теплопроводности и плотности от темпе-

ратуры (см., например, [8, гл. IX, с. 217]):

μ_e = μ_∞(T_e/T_∞)^β, ρ_e = ρ_∞(T_∞/T_e), λ_e = λ_∞(T_e/T_∞)^α, λ_i = λ_∗(T_i/T_∞)^γ,

где μ_∞, ρ_∞, λ_∞, λ_∗, T_∞ - положительные постоянные. В указанных степенных зависимо-

стях показатели заключены в следующих пределах: 0, 5 ≤ α, β ≤ 1, -1 ≤ γ ≤ 1.

Допущение 2. Как и в работах [4-6], будем считать, что коэффициент теплопроводно-

сти частицы много больше коэффициента теплопроводности газа, что имеет место для боль-

шинства реальных газообразных сред. Это допущение приводит к тому, что в коэффициенте

вязкости можно пренебречь зависимостью от угла θ в системе частица-газообразная сре-

да (предполагается слабая угловая асимметрия распределения температуры) и, следователь-

но, вязкость связана только с температурой T_e0(r), т.е. μ_e(T_e(r, θ)) ≈ μ_e(T_e0(r)). При этом

T_e(r,θ) = T_e0(r) + δT_e(r,θ), где δT_e(r,θ) ≪ T_e0(r), а δT_e(r,θ) и T_e0(r) определяются из реше-

ния уравнений (3), (4). При таком допущении мы можем рассматривать гидродинамическую

часть отдельно от тепловой части, а связь между ними осуществлять с помощью граничных

условий.

Допущение 3. Частица образована однородным и изотропным по своим свойствам веще-

ством.

В сферической системе координат (r, θ, ϕ) система газодинамических уравнений, описы-

вающая распределение скорости и давления вне частицы, имеет следующий вид [1, с. 70-71,

232]:

∂P_e

∂σ_rr

1 ∂σ_rθ

ctg θ

σ_θθ - σ_ϕϕ

σ_rr +

σ_rθ -

(5)

∂y

y ∂θ

1 ∂P_e

∂σ_rθ

1 ∂σ_θθ

ctg θ

σ_rθ +

(σ_θθ - σ_ϕϕ),

(6)

y ∂θ

∂y

y ∂θ

∂

(y²ρ_eU(e)r) +

(sin θρ_eU(e)θ) = 0,

(7)

y² ∂y

y sin θ ∂θ

а уравнения теплопроводности с учётом допущения 1 принимают вид

(

)

(

)

ρ_∞cpeR

∂t_e

U(e)θ ∂t_e )

∂

∂t_e

∂

∂t_e

U^(e)

y²t^α

tαe sin θ

(8)

λ_∞t_e

∂y

∂θ

y² ∂y

^e ∂y

y² sin θ ∂θ

∂θ

(

)

(

)

∂

∂t_i

∂

R²

y²t

sin θt^γ ∂ti

q_i,

(9)

y² ∂y

∂y

y² sinθ ∂θ

∂θ

λ_∗T_∞

где y = r/R;

, U(e)θ- нормальная и касательные компоненты массовой скорости в сфе-

рической системе координат; t_e = T_e/T_∞, t_i = T_i/T_∞; σ_rr, σ_rθ, σ_θθ и σ_ϕϕ - компоненты

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

195

тензора напряжений в сферической системе координат, определяемые равенствами [1, гл. II,

с. 70]:

(

)

∂

⁽2∂U(e)θ

σ_rr = μ_e

div U_e

σ_θθ = μ_e

U(e)r -

div U_e

∂y

∂θ

)

⁽2

⁽∂U(e)θ

1 ∂

U(e)θ )

σ_ϕϕ = μ_e

U(e)r +

ctg θU(e)θ -²

div U_e

σ_rθ = μ_e

∂y

∂θ

Для уравнений теплообмена задаются краевые условия первого и второго рода: на поверх-

ности частицы (при y = 1) имеют место равенство температур и непрерывность радиальных

потоков тепла с учётом излучения, а также справедливы следующие стандартные условия при

y→∞ и y→0:

lim

T_e(y,θ) = lim

T_i(y,θ),

(10)

y→1

(

)

∂T

∂T_i

lim

λ_e

= lim

λ_i

+ Rσ₀σ₁(T⁴ⁱ - T4∞) ,

(11)

y→1

∂y

y→1

∂y

lim

P_e = P_∞, lim

T_e = T_∞, lim

|T_i| < ∞,

(12)

y→∞

y→0

lim

(U(e)r(y, θ) - U_∞ cos θ) = 0, lim

(U(e)θ(y, θ) + U_∞ sin θ) = 0,

y→∞

где σ₀ - постоянная Стефана-Больцмана, σ₁ - интегральная степень черноты тела, U_∞ =

= |U_∞|. В силу общности постановки задачи граничные условия на поверхности частицы

для нормальной

r (y, θ) и касательной U(e)θ(y, θ) компонент массовой скорости Ue мы не

приводим. При математическом описании равномерного движения нагретых частиц в вязкой

неизотермической газообразной среде природа сил, вызывающих это движение, нас интере-

совать не будет. Она может быть гравитационной, магнитной, термофоретической и т.д., что

позволит распространить метод решения системы газодинамических уравнений на более ши-

рокий класс физических задач.

Компоненты массовой скорости и давления будем искать в виде разложения по полиномам

Лежандра и Гегенбауэра. Используя свойство полиномов Лежандра и Гегенбауэра, несложно

показать, что в случае осесимметричного течения для определения физических величин, его

характеризующих, можно ограничиться первыми членами разложений (см. [3, гл. 4, с. 156]).

Поэтому будем считать, что

V (e)r(y,θ) = G(y)cosθ, V (e)θ(y,θ) = -g(y)sinθ,

(13)

где

/U_∞, V(e)θ = U(e)θ/U_∞, G(y) и g(y) - функции, зависящие от радиальной

координаты.

Связь между функциями G(y) и g(y) находится из уравнения непрерывности (7) с учётом

зависимости плотности газообразной среды от температуры (допущение 1) и имеет следую-

щий вид:

dt_e0(y)

g(y) = G(y) +

(G^′(y) - f(y)G(y)), f(y) =

(14)

t_e0(y) dy

Определяющими параметрами в задаче являются материальные постоянные μ_∞, ρ_∞, λ_∞

и сохраняющиеся в процессе обтекания частицы постоянные R, T_∞, U_∞. Из этих параметров

можно составить две безразмерные комбинации - числа Пекле и Рейнольдса, которые счита-

ются малыми величинами. Так как число Пекле выражается через число Рейнольдса, то в

качестве малого параметра в задаче используется число Рейнольдса (Re_∞ = (ρ_∞RU_∞)/μ_∞).

Решение уравнений (8), (9) будем искать методом сращиваемых асимптотических разложе-

ний (см. [9, гл. 12, с. 291]), при этом ограничимся членами до первого порядка малости (как

правило, этого достаточно для физических приложений).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

4^∗

196

МАЛАЙ и др.

Внутренние и внешние асимптотические разложения обезразмеренной температуры ищут-

ся в виде

∑

t_e(y,θ) =

f_n(ε)ten(y,θ), f₀(ε) = 1,

(15)

n=0

∑

t∗e(ξ,θ) =

f^∗n(ε)t∗en(ξ,θ),

(16)

n=0

где ξ = εy - “сжатая” радиальная координата [9, гл. 12.3, с. 291]. При этом требуется, чтобы

выполнялись соотношения

fn+1(ε)

f∗n+1(ε)

→0

при ε → 0.

(17)

f_n(ε)

f^∗n(ε)

Относительно функций f_n(ε) и f^∗n(ε) предполагается лишь, что их порядок малости по

ε увеличивается с ростом n (см. (17)). Недостающие краевые условия для внутреннего и

внешнего разложений вытекают из условия тождественности асимптотических продолжений

того и другого разложения в некоторую промежуточную область

t_e(y → ∞,θ) = t∗e(ξ → 0,θ).

Асимптотические разложения решения внутри частицы, как показывают краевые условия

на поверхности частицы, следует искать в виде, аналогичном (15):

∑

t_i(y,θ) =

f_n(ε)tin(y,θ).

n=0

С учётом сжатой радиальной координаты имеем следующее уравнение для температуры

t∗e (оно получается из уравнения конвективной теплопроводности заменой y на ξ = εy):

(

)

Pr_∞

∂t∗e

V∗θ ∂t∗e

V∗

= div^∗(t∗αe∇^∗t∗e),

(18)

t∗e

∂ξ

∂θ

при этом

V∗e = n_z + εV∗e + ... , t∗e → 1 при ξ → ∞,

где Pr_∞ = μ_∞c_p/λ_∞ - число Прандтля, ∇^∗ - оператор набла, полученный из оператора ∇

заменой y на ξ и т.д., n_z - единичный вектор в направлении оси Oz.

Решения уравнений теплопереноса. Сначала найдём решение уравнения конвектив-

ного теплопереноса. Построение решения начинается с определения нулевого члена внешнего

разложения (16). В данном случае, очевидно, нашей краевой задаче удовлетворяет решение

t∗e0 = 1.

(19)

Найдём нулевой член внутреннего разложения (15). При ε = 0 из уравнения (8) получим

Δt1+αe0 = 0,

и его общее решение имеет вид

[

(

)

]1/(1+α)

∑

Γ₀

Γ_n

t_e0 = K₀ +

K_nyⁿ +

P_n(cos θ)

(20)

yn+1

n=1

Здесь P_n(cos θ) - полиномы Лежандра.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

197

Постоянные интегрирования K_n и Γ_n определяются из условия сращивания, для этого

внешнее разложение должно быть разложено в ряд по ξ. Затем значения констант нахо-

дятся из требования соответствия поведения членов полученного ряда при ξ → 0 и членов

разложения (20) при y → ∞. Для нулевых приближений сращивание тривиально: K₀ = 1,

Γ_n = K_n = 0 при n ≥ 1. Следовательно,

(

)1/(1+α)

Γ₀

t_e0 =

(21)

Постоянная интегрирования K₀ определяется из краевых условий на поверхности частицы

(y = 1). Для её определения необходимо знать поле температуры внутри частицы (9). Как

будет показано ниже, поле температуры t_i(y, θ) можно искать в виде

t_i(y,θ) = t_i0(y) + εt_i1(y,θ),

(22)

где

(

∫

)1/(1+γ)

∫

H₀

ψ₀(y)

R²

1+γ

t_i0(y) = B₀ +

ψ₀(y)dy +

ψ₀(y) = -

y²

q_i dx,

2λ_∗ T_∞

-1

∫⁰

∫

3R²

R²

H₀ =

ψ₀(y)dy, ψ₁(y) = -

y²

q_ixdx, H₁ = ψ₁y dy =

J₁, x = cos θ,

2λ_∗T_∞

3λ_∗T_∞

-1

[

( ∫y

∫

)]

∫

N₀

cos θ

H₁

ψ₁(y)

t_i1(y,θ) =

B₁y +

dy -

ψ₁(y)y dy

J₁ =

q_iz dV.

tγi0

y²

∫

Здесь_V q_iz dV - дипольный момент плотности тепловых источников [7] и интегрирование

ведётся по всему объёму частицы, V = 4πR³/3, z = r cos θ.

Через T_S обозначим среднее значение температуры поверхности частицы (T_S = tiST_∞,

tiS = t_i0 (y = 1)), тогда из краевых условий (10), (11) получим

)1+α

⁽T_S

ℓ(S) λeS

R²

RT3∞

Γ₀ =

- 1,

teS =

J₀ - σ₀σ₁

(t4iS - 1),

T_∞

1+αλiS

3λiS T_∞

λiS

где

λeS = λ_∞tαeS, λiS = λ_∗tγiS, teS = t_e0 (y = 1),

∫

Γ₀

ℓ(S) = ℓ (y = 1), ℓ(y) =

J₀ =

q_i dV.

y+Γ₀

4πR³

Найдём первые приближения для внешней температуры. Для членов первого приближения

внешнего разложения в силу представления (16) имеем

t_e(ξ,θ) = 1 + f∗1(ε)t∗e1(ξ,θ).

Найдём явный вид коэффициента f₁(ε). Для этого перейдём в решении (21) к внешней

переменной. Видим, что f₁(ε) = ε, тогда

t_e(ξ,θ) = 1 + εt∗e1(ξ,θ).

(23)

Подставляя выражение (23) для t_e в уравнение (18) и удерживая члены порядка ε, полу-

чаем следующее уравнение:

(

)

∂t∗e1

1-x² ∂t∗e1

Pr_∞ x

=Δ^∗t∗e1

при ξ → ∞, t∗e1 → 0.

(24)

∂ξ

∂x

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

198

МАЛАЙ и др.

Общее решение уравнения (24) имеет вид

}(

)1/2∞∑

^{Pr_∞

⁽Pr_∞ξ⁾

t∗e1 = exp

xξ

L_nKn+1/2

P_n(x),

Pr_∞ξ

n=0

(

)1/2

(

)1/2

{

∑

⁽Pr_∞ξ⁾

∞

(n + m)!

Kn+1/2

exp

Pr_∞ξ

(n - m)!m!(Pr_∞ξ)^m

m=0

(

)1/2

⁽Pr_∞ξ⁾

Здесь

Kn+1/2

- модифицированная функция Бесселя [10, с. 398]. Посто-

Pr_∞ξ

янные интегрирования L_n определяются из условия сращивания: L₀ = (Pr_∞Γ₀)/(π(1 + α)) и

L_n = 0 при n ≥ 1. Следовательно,

{

}

Γ₀

Pr_∞

t∗e1(ξ,θ) =

exp

ξ(1 - cos θ)

(25)

(1 + α)ξ

Найдём первое приближение для внутреннего разложения (15). Из формулы (25) видно,

что f₁(ε) = ε, и тогда

t_e(y,θ) = t_e0(y) + εt_e1(y,θ).

(26)

Подставляя выражение (26) для t_e в уравнение (8), приходим к уравнению для функции

t_e1(y,θ):

(

)

Pr_∞

∂t_e0(y)

V (e)r(y,θ)

= div tαe0(y)∇t_e1(y,θ) + αtα-1e0(y)t_e1(y,θ)∇t_e0(y)

(27)

t_e0(y)

∂y

Чтобы определить поведение t_e1(y → ∞, θ) (т.е. краевое условие), срастим двучленные

внутреннее и внешнее разложения, имеем:

ω₁

Γ₀Pr_∞

t_e1(y → ∞,θ) =

(cos θ - 1), ω₁ =

(28)

1+α

Из уравнения (27) видно, что для нахождения первого приближения t_e1(y, θ) для внутрен-

него разложения необходимо знать компоненты поля массовой скорости. Для их определения

поступим аналогично тому, как это сделано в [4, 5]. Учитывая решение (21) и допущение 2,

заключаем, что зависимость динамической вязкости от температуры имеет вид

(

)β(1+α)

Γ₀

μ_e(y,θ) = μ_∞

(29)

Продифференцируем уравнение (5) по переменной θ и уравнение (6) по переменной y,

затем, подставляя в получившиеся уравнения представления (13) и учитывая соотношения

(14) и (29), после очевидных преобразований получим для функции G(y) на полуинтервале

[1, ∞) следующее линейное неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка:

d³G(ℓ)

d²G(ℓ)

[ℓ³ - 3ℓ⁴ + 3ℓ⁵ - ℓ⁶]

+ [2ℓ² - ℓ³(10 + γ₁) + 2ℓ⁴(7 + γ₁) - ℓ⁵(6 + γ₁)]

dℓ³

dℓ²

dG(ℓ)

− [6ℓ - ℓ²(2 - 2γ₁ - γ₂) - ℓ³(10 + 4γ₁ + γ₂ + γ₃) + ℓ⁴(6 + 2γ₁ + γ₃)]

dℓ

+ γ₃ℓ²(2 - ℓ)G(ℓ) =

ℓ(1 - ℓ)γ4 ,

(30)

Γ₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

199

в котором

1-β

1+β

2 + 2α - β

γ₁ =

γ₁ = 2

γ₃ =

γ∗4 =

- 1, d = const,

1+α

(1 + α)²

1+α

Γ₀

1 < y < ∞, ℓ(y) =

y+Γ₀

с краевым условием

lim G(y) = 1.

(31)

y→∞

Далее будем называть однородным уравнением (30) уравнение (30) с нулевой правой ча-

стью. Найдём решение однородного уравнения (30). Точка ℓ = 0 является для него регуляр-

ной особой точкой, поэтому его решение будем искать в виде обобщённого степенного ряда [10,

гл. V, с. 101; 11, гл. IV, с. 146]:

∑

G(ℓ) = ℓ^ρ

α_nℓⁿ, α₀ = 0.

(32)

n=0

Подставляя ряд (32) в однородное уравнение (30) и приравнивая коэффициент при y^ρ к

нулю, получаем определяющее уравнение ρ(ρ - 3)(ρ + 2) = 0, корни которого ρ₁ = 3, ρ₂ = 0,

ρ₃ = -2. Большему из этих корней отвечает решение

∑

G₁(y) = ℓ³

α(1)nℓⁿ, α⁽¹⁾⁰ = 0.

(33)

n=0

Подставляя ряд (33) в однородное уравнение (30) и используя метод неопределённых коэф-

фициентов, приходим к следующей рекуррентной формуле для нахождения коэффициентов

αn1) (n ≥ 1):

α(1)n =

{(n + 2)[(n + 1)(3n + 10 + γ₁) - 2 + 2γ₁ + γ₂]α(1)n-1 -

n(n + 3)(n + 5)

- [(n + 1)(n(3n + 11 + 2γ₁) + 10 + 4γ₁ + γ₂ + γ₃) + 2γ₃]α(1)n-2 +

+ [n((n - 1)(n + 4 + γ₁) + 6 + γ₃ + 2γ₁) + γ₃]α(1)n-3}.

Второе решение G₃(ℓ) однородного уравнения (30), отвечающее корню ρ₂ = 0, имеет вид

∑

⁽ℓ),

G₃(ℓ) =

α(3)nℓⁿ + ω∗3G₁(ℓ)ln

α⁽³⁾⁰ = 0, ℓ₀ = ℓ (y = 1),

(34)

ℓ₀

n=0

где коэффициенты αn3) (n ≥ 3) определяются следующей рекуррентной формулой:

α(3)n =

{(n - 1)[(n - 2)(3n + 1 + γ₁) - 2 + 2γ₁ + γ₂]α(3)n-1 -

n(n + 2)(n - 3)

- [(n - 2)((n - 3)(3n + 2 + 2γ₁) + 10 + 4γ₁ + γ₂γ₂) + 2γ₃]α(3)n-2 +

+ [(n - 3)((n - 4)(n + 1 + γ₁) + 6 + γ₃ + 2γ₁) + γ₃]α(3)n-3 - ω∗3S(1)n-3},

S(1)n = (3n² + 16n + 15)α(1)n - (9n² + 18n + (10 + γ₁)(2n + 3) + 2γ₁ + γ₂)α(1)n-1 +

+ (9n² +7+(14+2γ₁)(2n+1)+4γ₁ +γ₂ +γ₃)α(1)n-2 -(3n² -6n+8+(6+γ₁)(2n-1)+2γ₁ +γ₃)α(1)n-3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

200

МАЛАЙ и др.

Третье решение однородного уравнения (30), линейно независимое с решениями G₁(ℓ),

G₃(ℓ) и соответствующее корню определяющего уравнения ρ₃ = -2, мы не приводим, по-

скольку оно не удовлетворяет краевому условию (31).

Исходя из вида правой части неоднородного уравнения (30), его частное решение ищем

в виде

∑

⁽ℓ),

G(ℓ) = A₂G₂(ℓ), G₂(ℓ) = ℓ

α(2)nℓⁿ + ω∗2G₁(ℓ)ln

α⁽²⁾⁰ = 0, A₂ = const.

(35)

ℓ₀

n=0

Поступая аналогичным образом, имеем рекуррентные формулы для коэффициентов αn2)

(n ≥ 3):

{

α(2)n =

n[(n - 1)(3n + 4 + γ₁) - 2 + 2γ₁ + γ₂]α(2)n-1 -

(n + 1)(n + 3)(n - 2)

- [(n - 1)((n - 2)(3n + 5 + 2γ₁) + 10 + 4γ₁ + γ₂ + γ₃) + 2γ₃]α(2)n-2 +

}

γ∗4!

+ [(n - 2)((n - 3)(n + 2 + γ₁) + 6 + γ₃ + 2γ₁) + γ₃]α(2)n-3 - ω∗2S(1)n-2 +^d

(-1)ⁿ

Γ₀

(γ∗4 - n)!n!

Здесь

ω∗2 =

[(16 + 6γ₁ + 2γ₂)α⁽²⁾¹ - (10 + 4γ₁ + γ₂ + 3γ₃ + 3γ∗4(γ∗4 - 1))α⁽²⁾⁰],

15α⁽¹⁾

= -6α⁽²⁾⁰, α⁽²⁾¹ = -α02)(-2 + 2γ1 + γ2 + 6γ∗4), α(2)2 = 1, α(3)1 = 0, α(3)3 = 1,

Γ₀

γ₃

ω∗3 =

[(16 + 6γ₁ + 2γ₂)α⁽²⁾¹ - (10 + 4γ₁ + γ₂ + 3γ₃ + 3γ∗4(γ∗4 - 1))α⁽²⁾⁰],

15α⁽¹⁾

α⁽³⁾² =γ3α(3)0, α(k)n = 0, если n < 0 (k = 1,2,3).

Таким образом, общее решение уравнения (30) имеет вид

G(ℓ) = A₁G₁(ℓ) + A₂G₂(ℓ) + A₃G₃(ℓ),

(36)

где функции G₁(ℓ), G₂(ℓ) и G₃(ℓ) задаются формулами (33), (35) и (34) соответственно, а

входящие в них коэффициенты определяются следующими после этих формул равенствами.

Заметим, что функция G(ℓ) удовлетворяет уравнению (30) по построению. Ряды, опреде-

ляющие функции G_k(ℓ), k = 1, 2, 3, равномерно сходятся при всех 1 ≤ y < ∞ (ℓ(y) = Γ₀/(y +

+ Γ₀)).

Учитывая явный вид коэффициентов αn1), введём в рассмотрение мажорирующий ряд

∑

β(1)nℓⁿ,

(37)

n=0

в котором коэффициенты βn1) неотрицательны и определяются рекуррентной формулой

β(1)n = 3β(1)n-1 + 3β(1)n-2 + β(1)n-3,

где β(1)-2 = β(1)-1 = β⁽¹⁾⁰ = β, β > 0 - достаточно большое число.

Тогда имеем следующую оценку:

β(1)n ≤ 7ⁿβ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

201

Следовательно, ряд (37) сходится при 7ℓ < 1 (ℓ < 1/7 или y > 6Γ₀, Γ₀ = (T_s/T_∞)1+α -1).

Так как коэффициенты дифференциального уравнения (30) аналитичны при 1 ≤ y < ∞, то

в силу принципа аналитического продолжения решение этого уравнения ряд (37) не может

иметь особых точек при всех 1 ≤ y < ∞. Таким образом, ряд (33) сходится при всех 1 ≤ y <

< ∞. Аналогично устанавливается равномерная сходимость рядов, определяющих функции

G₂(ℓ), G₃(ℓ).

В результате проведённого исследования доказана следующая

Теорема 1. Общее решение уравнения (30) имеет вид (36), где коэффициенты A₁, A₂,

A₃ - произвольные постоянные, а функции G₁(ℓ), G₂(ℓ), G₃(ℓ) задаются формулами (33),

(35), (34).

Отметим, что выбор постоянных α⁽¹⁾⁰, α⁽²⁾⁰, α⁽³⁾⁰ осуществляется таким образом, чтобы

выполнялся предельный переход к задаче обтекания сфере при малых относительных перепа-

дах температуры. Для этого удобно перейти от переменной ℓ к переменной y. Тогда имеем

G(y) = A₁G₁(y) + A₂G₂(y) + A₃G₃(y),

∑

G₁(y) =

C(1)nℓⁿ, G₂(y) =

C(2)nℓⁿ +ω₂G₁(y)ln y, G₃(y) =

C(3)nℓⁿ +ω₃G₁(y)ln y,

y³

n=0

C(1)n = Γ³⁰(1 - ℓ)³α(1)n, C(2)n = Γ₀(1 - ℓ)α(2)n, C(3)n = α(3)n,

)

ω∗2

⁽ℓ

ω∗3

⁽ℓ).

ω₂ =

ω₃ =

ln(Γ₀(1 - ℓ)/ℓ)

ℓ₀

ln(Γ₀(1 - ℓ)/ℓ)

ℓ₀

В этом случае функции G₁(y), G₂(y), G₃(y) стремятся к соответствующим функциям

для сферы при малых относительных перепадах температуры [2, с. 144; 3, с. 83]. При Γ₀ → 0

имеем

G₁(y) →

G₂(y) →

G₃(y) → 1,

y³

откуда видим, что C⁽¹⁾⁰ = C⁽²⁾⁰ = C⁽³⁾⁰ = 1, A₃ = 1.

Зная общее решение уравнения (30) и связь между функциями G(y) и g(y), получаем

выражения для компонент векторного поля скорости U_e(x):

[

]

V_r(y,θ) = cos θ A₁G₁(y) + A₂G₂(y) + G₃(y) ,

(38)

[

]

V_θ(y,θ) = - sinθ A₁G₄(y) + A₂G₅(y) + G₆(y) ,

(39)

где

(

)

ℓ

Gk(y) 1+

Gk-3(y) +

G^′k-3(y) (k = 4, 5, 6).

2(1 + α)

Таким образом, в работе для линеаризованной по скорости стационарной системы уравне-

ний Навье-Стокса при степенной зависимости коэффициентов молекулярного переноса (вяз-

кости, теплопроводности) и плотности газообразной среды от температуры получено прибли-

жённое решение, удовлетворяющее краевому условию (31).

Поскольку нами получены выражения для компонентов массовой скорости, мы можем

решить уравнение (27), удовлетворяющее краевому условию (28). Будем искать решение этого

уравнения в виде

t_e1(y,θ) = ζ(y) +

τ_e(y)cos θ

(40)

t^α

с краевыми условиями

ω₁

ζ(y → ∞) → -

τ_e(y → ∞) →

(41)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

202

МАЛАЙ и др.

Подставляя представление (40) в уравнение (27) и учитывая, что

V (e)r(y,θ) = cos θ(A₁G₁(y) + A₂G₂(y) + G₃(y)), t_e0(y) = (1 + Γ₀/y)1/(1+α),

для нахождения функции τ_e получаем линейное обыкновенное неоднородное дифференци-

альное уравнение

d²τ_e

2 dτ_e

ℓ

τ_e = -ω₁

(A₁G₁(y) + A₂G₂(y) + G₃(y)),

dy²

y dy

y²

yΓ₀

решение которого ищется стандартным способом.

Таким образом, имеем следующее выражение для функции t_e1(y, θ), удовлетворяющее кра-

евым условиям (41):

(

)]

ω₁

cos θ[Γ1

ω₁

τ₂(y)

τ₁(y)

t_e1(y,θ) =

(N₁ - y) +

τ₃(y) + A₂

-A₁

(42)

2ytαe0(y)

t^α

y²

y³

Здесь

∑

Ωn1)ℓⁿ

(1 - ℓ)⁴

^∑Ωn3)ℓⁿ

τ₁(y) = (1 - ℓ)

n+1

n+4

n=0

[

)]

∑

Cn2)ℓⁿ (

n-1

τ₂(y) =

1 + ℓlnℓ + C⁽²⁾¹(ℓ² - ℓlnℓ) -

ℓ

1-ℓ

n-1

n=0

∑

Ωn4)ℓⁿ

ω₂(1 - ℓ)

+ (1 - ℓ)²

S(2)n,

n+2

y²

n=0

(

)

^[1

τ₃(y) =

- 2ℓ - ℓ² ln ℓ + C⁽³⁾¹(ℓ + 2ℓ² ln ℓ - ℓ³) + C(3)2 -

- ℓ2 lnℓ + 2ℓ³

(1 - ℓ)²

)]

∑

Cn3)ℓⁿ (

n-2

Ωn6)ℓⁿ

ω₃

ℓ² - 2

ℓ

+ (1 - ℓ)

(1 - ℓ)S(2)n,

n-2

n-1

n+1

y³

n=3

n=0

∑

Ω(1)n =

C(1)k, Ω(3)n =

(n - k + 1)(n - k + 2)(n - k + 3)C(1)k,

k=0

∑

Ω⁽¹⁾

∑

Ω(3)k

Ω(2)n =

Ω(6)n =

C(3)k, Ω(5)n =

k+1

k+4

k=0

∑

Θ(1)n = Ω(2)n + Ω(1)n ln y, Θ(2)n = Ω(5)n + Ω(3)n ln y, Ω(4)n =

(n - k + 1)C(2)k,

k=0

[

]

∑

ℓⁿ

n+4

S(2)n =

(1 - ℓ)³Θ(2)n - 6

Θ⁽¹⁾

6(n + 4)

n+1

n=0

Теорема 2. Распределения температур T_e(x) (x ∈ Ω_e) и T_i(x) (x ∈ Ω_i), где Ω_e = R³ \Ω_i

(Ω_i - сферическая область с центром в нуле евклидова пространства R³) в газообразной

среде и внутри частицы, удовлетворяющие уравнениям (3), (4) и краевым условиям (10)-

(12), имеют вид (22), (42).

Постоянные интегрирования A₁, A₂, входящие в выражения (38), (39) и поле температуры

t_e(y,θ), определяются из краевых условий для компонент массовой скорости (нормальной

и касательной U(e)θ) на поверхности частицы. Эти краевые условия определяются конкретной

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН

203

физической задачей. При математическом описании процесса теплообмена между движущейся

нагретой частицей и вязкой неизотермической газообразной средой (в системе координат, свя-

занной с частицей, имеем задачу обтекания) природа сил, вызывающих это движение, может

быть гравитационной, магнитной, фотофоретической, термофоретической и т.д., что позво-

ляет распространить разработанный метод решения системы газодинамических уравнений на

широкий класс физических задач.

Полученные выше формулы можно использовать и при малых относительных перепадах

температуры, т.е. когда величина нагрева поверхности частицы мала. В этом случае средняя

температура поверхности частицы незначительно отличается от температуры окружающей

газообразной среды вдали от неё и при Γ₀ → 0 (y = 1) имеем

G₁ = 1, G′1 = 1, G′′1 = 12, G₂ = 1, G′2 = -1, G′′2 = 2, G₃ = 1, G′3 = 0, G′′3 = 0,

τ₁ = 3/4, τ′1 = 0, τ₂ = 3/2, τ′2 = 0, τ₃ = 3/2, τ′3 = 0.

Качественный анализ показывает (см. формулу (42)), что величина конвективного перено-

са тепла пропорциональна коэффициенту ω₁ = Γ₀Pr_∞/(1+ α) (при прочих равных условиях).

Для большинства газов число Прандтля имеет порядок единица, а Γ₀ = (T_S /T_∞)(1+α) -1. Сле-

довательно, ω₁ ∼ Γ₀, т.е. чем сильнее нагрета частица, тем значительнее вклад конвективного

переноса тепла.

Заключение. В работе получено приближённое решение стационарной системы газоди-

намических уравнений, описывающей конвективный теплообмен между движущейся нерав-

номерно нагретой крупной твёрдой частицей сферической формы и вязкой неизотермической

газообразной средой при малых значениях чисел Пекле и Рейнольдса. При описании теплооб-

мена предполагалось, что зависимости коэффициентов теплопроводности, вязкости и плотно-

сти газообразной среды от температуры имеют степенной характер. Получено приближённое

решение линеаризованной по скорости системы уравнений Навье-Стокса (теорема 1). Мето-

дом сращиваемых асимптотических разложений найдено решение уравнения теплопроводно-

сти, описывающего поле температуры вне частицы, и методом теории возмущений - решение

уравнения Пуассона, описывающего поле температуры внутри частицы (теорема 2). Нулевые

приближения внутренних и внешних асимптотических разложений определяются формулами

(19), (21), а первые приближения - формулами (25), (42).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. М., 1954.

2. Ладыженская О.А. Шестая проблема тысячелетия: уравнения Навье-Стокса. Существование и

гладкость // Успехи мат. наук. 2003. Т. 58. Вып. 2 (350). С. 44-78.

3. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. М., 1960.

4. Малай Н.В., Лиманская А.В., Щукин Е.Р. Решение краевой задачи для линеаризованного по ско-

рости уравнения Навье-Стокса в случае неизотермического обтекания равномерно нагретой сферы

газообразной средой // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 10. С. 1328-1338.

5. Малай Н.В., Глушак А.В., Щукин Е.Р. Решение краевой задачи медленного обтекания сферы неизо-

термическим газом // Изв. вузов. Математика. 2016. № 12. С. 54-65.

6. Малай Н.В., Щукин Е.Р. Термофорез нагретых умеренно крупных аэрозольных частиц сфериче-

ской формы // Прикл. механика и техн. физика. 2019. Т. 60. № 3 (355). С. 136-145.

7. Малай Н.В., Лиманская А.В., Щукин Е.Р., Стукалов А.А. Термофорез нагретых крупных аэро-

зольных частиц сферической формы // Журн. техн. физики. 2012. Т. 82. № 10. С. 42-49.

8. Бретшнайдер С. Свойства газов и жидкостей. Инженерные методы расчета. М., 1966.

9. Найфэ А. Введение в методы возмущения. М., 1984.

10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 2003.

11. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1958.

Белгородский государственный национальный

Поступила в редакцию 29.05.2020 г.

исследовательский университет,

После доработки 21.01.2022 г.

Объединённый институт высоких температур РАН,

Принята к публикации 07.02.2022 г.

г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022