ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.204-222

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.4

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К МОДЕЛИРОВАНИЮ

ИСПАРЕНИЯ КАПЛИ ВОДЫ

Рассматривается краевая задача для системы двух линейных уравнений в частных про-

изводных параболического типа, описывающей поведение температуры и плотности пара

в сферической капле и её окрестности при процессе испарения. Для её изучения построен

вариант ряда Фурье в сферической области для функций со сферической симметрией. С

помощью этого ряда доказываются существование и единственность решения рассматри-

ваемой задачи с характерным для испарения необычным условием связи уравнений.

DOI: 10.31857/S0374064122020078

Введение. Как хорошо известно (см., например, [1, пп. 180-182; 2, пп. 157, 158; 3, § 17]),

решение начально-краевых задач для уравнения теплопроводности в ограниченной области

можно представить, используя ряд Фурье, в виде ряда по ортонормированной системе функ-

ций, умноженных на подходящие коэффициенты. В частности, если уравнение рассматривает-

ся на отрезке или на сфере со сферической симметрией, то ортонормированными функциями

являются тригонометрические функции или функции типа r-1 sin(kr). Изучению уравнений

аналогичного типа и вариантов условий посвящены многочисленные статьи и монографии, в

том числе такие классические как [3-5].

В работе [6] мы рассматривали систему двух линейных уравнений в частных производных

параболического типа, описывающих поведение температуры в воде и в воздухе и плотности

пара в воздухе при наличии испарения, и, пользуясь соответствующим рядом Фурье, доказа-

ли существование и единственность решения граничной задачи для этой системы в области,

ограниченной двумя горизонтальными плоскостями.

В настоящей работе, используя идеи [6], изучается аналогичная задача в сферической об-

ласти. Эта задача соответствует описанию поведения температуры и плотности водяного пара

при испарении с поверхности капли воды (в фазе, когда изменение объёма капли достаточно

мало по сравнению с объёмом капли). Напомним, что явление испарения капли (не обязательно

водяной) интересует инженеров с точки зрения его промышленного применения. Теоретиче-

ские исследования в рамках математической физики проводились, например, в [7-11].

В данной работе будем предполагать, что водяная капля является сферической и заполняет

открытый шар Ω0,a радиуса a, а в качестве её воздушной окружающей среды рассматрива-

ется прилегающий к ней открытый сферический слой Ω_a,b, внутренний и внешний радиусы

которого a и b соответственно. В предположении сферической симметрии функций будем

рассматривать линейное параболическое уравнение для температуры T в занятом водой и

воздухом открытом шаре Ω0,b = Ω0,a

^⋃Ω_a,b и линейное параболическое уравнение для плот-

ности Π пара в занятой воздухом области Ω_a,b. Будем предполагать, что в уравнении для T

источник тепла сосредоточен на сфере {r = a} - границе раздела водной и воздушной сред -

и пропорционален величине ε-11[Π|r=a+ε1 - Π|r=a] с некоторым ε₁ > 0 (см. ниже (1.3)). Это

предположение соответствует скрытой теплоте испарения (см., например, [12]) и используе-

мому на практике приближению для количества испарившейся воды (см., например, [13, 14]).

Будем предполагать также, что функция Π удовлетворяет условию

Π|r=a = π₀ + α₁T |r=a,

где π0 и α1 - постоянные (см. ниже (1.7)). Это условие представляет собой линеаризацию

соотношения Π|r=a = π_vs(T ) между плотностью π_vs(T ) насыщенного пара и температурой T

(см., например, [12]).

204

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

205

Технически наши рассуждении основаны на использовании ряда Фурье, построенного по

системе собственных функций оператора диффузии. В частности, используются свойства этих

функций, полученные с помощью анализа их явного выражения. Отметим, что оператор диф-

фузии в нашем случае имеет кроме особенности в r = 0 различные коэффициенты в Ω0,a и

в Ω_a,b, что значительно усложняет исследование задачи.

Применяя этот вариант ряда Фурье к нашей системе уравнений, с помощью оценок мы

докажем существование и единственность решения нашей задачи.

1. Постановка задачи. Для вектора x = (x₁, x₂, x₃)^т ∈ R³ через r обозначим его евкли-

√

дову норму, т.е. r =

x²¹ + x²² + x²³. Зафиксируем положительные числа a < b и в областях

Ω0,b = {x ∈ R³ : 0 ≤ r < a} и Ω_a,b = {x ∈ R³ : a < r < b} рассмотрим систему уравнений

ν∂_tT = ∇ · (κ∇T) + ψδ(r - a) в Ω0,b,

(1.1)

∂_tΠ = γ₀ΔΠ в Ω_a,b,

(1.2)

где число ψ задаётся соотношением

Π|r=a+ε1 - Π|r=a

ψ=γ₁

(1.3)

ε₁

здесь γ₀, γ₁, ε₁ - положительные постоянные, причём 0 < ε₁ < b - a, а δ(·) - δ-функция

Дирака. Предположим, что

ν(x) = ν₁ при

0 < r < a, ν(x) = ν₂ при a < r < b,

(1.4)

κ(x) = κ₁ при

0 < r < a, κ(x) = κ₂ при a < r < b,

(1.5)

где ν₁, κ₁, ν₂, κ₂ - положительные постоянные. Для искомых функций T и Π будем рас-

сматривать граничные условия

T|r=b =T_b,

(1.6)

Π|r=a = π₀ + α₁T |r=a,

(1.7)

Π|r=b = Π_b,

(1.8)

где T_b, Π_b и π₀, α₁ - заданные постоянные.

Как сказано выше, функция T описывает температуру, а Π - плотность пара. В этой

интерпретации γ₀ - коэффициент диффузии пара в воздухе, κ_i (i = 1, 2) - коэффициент

теплопроводности в воде (i = 1) и в воздухе (i = 2), ν_i (i = 1, 2) - произведение cviϱi

удельной теплоёмкости cvi и плотности ϱ_i в воде (i = 1) и в воздухе (i = 2).

Напомним выражение оператора Лапласа для функций со сферической симметрией (в R³).

Лемма 1.1. Если функция u(x) принадлежит классам C²(Ω0,a) или C²(Ω_a,b) и зависит

√

только от r =

x²¹ + x²² + x²³, то оператор Лапласа от такой функции можно вычислять

по формуле

(

)

∑

∂²u(x)

Δu(x) =

r²

u(r)

∂x2i

r² dr

i=1

Доказательство следует непосредственно из правила вычисления производных.

Поэтому в предположении сферической симметрии функций T (t, · ) и Π(t, · ) уравнения

(1.1), (1.2) сводятся к уравнениям

ν∂_tT = ∂_r(r²κ(r)∂_rT) + ψδ(r - a) в R₊×]0,b[,

(1.9)

∂_tΠ = γ₀∂_r(r²∂_rΠ) в R₊×]a,b[.

(1.10)

Определения (1.3)-(1.5) функций ψ, ν, κ и граничные условия (1.6)-(1.8), поскольку все они

зависят только от r, остаются неизменными.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

206

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

В дальнейшем рассмотрим систему уравнений (1.9), (1.10), (1.3) с граничными условиями

(1.6)-(1.8) и начальными условиями

T |t=0= T₀(r) при

0 < r < b,

(1.11)

Π |t=0= Π₀(r) при a < r < b,

(1.12)

где T₀(r) и Π₀(r) - заданные функции. Требуется также выполнение условий согласования

T₀(b) = T_b, Π₀(a) = π₀ + α₁T₀(a), Π₀(b) = Π_b.

2. Некоторые предварительные замечания. Для изучения задачи (1.9), (1.10), (1.3),

(1.6)-(1.8), (1.11), (1.12) нам понадобятся некоторые гильбертовы пространства, которые вве-

дём в этом пункте работы и отметим их нужные в дальнейшем свойства. Именно, определим

следующие пространства:

{

∫

}

(0, b) = ϕ : (0, b) → R измеримы и

ν(r)r²|ϕ(r)|²dr < ∞

{

∫



}

 d

²



(0, b) = ϕ ∈L2ν(0, b) такие, что

κ(r)r²

(r)

r < ∞ и ϕ(b) = 0 ,

 d

^ drϕ

{

∫

}

L²(a,b) = ϕ : (a,b) → R измеримы и

r²|ϕ(r)|² dr < ∞

{

∫



}

 d

²

H¹(a,b) = ϕ ∈L2(a,b) такие, что

r²

(r)



r < ∞ и ϕ(a) = ϕ(b) = 0

 d

^ drϕ

со скалярным произведением

∫

du(r) dv(r)

〈u, v〉_̃

= ν(r)r²u(r)v(r)dr,

〈u, v〉_̃

= κ(r)r²

dr,

L2ν (0,b)

H1κ(0,b)

dr dr

∫b

∫

du(r) dv(r)

r²u(r)v(r)dr,

(2.1)

〈u, v〉̃L2(a,b)⁼

〈u, v〉̃H1 (a,b)=r2

dr dr

соответственно и нормой, порождённой указанным скалярным произведением.

Напомним элементарные свойства этих гильбертовых пространств.

Лемма 2.1. Вложение пространства

(0, b) в пространство

(0, b) компактно.

Доказательство. Зададим отображение J равенством

J (ϕ)(x) = ϕ(|x|), x ∈ Ω0,b,

для определённых на ]0, b[ функций ϕ. Тогда для любой измеримой функции ϕ, определён-

ной на ]0, b[, будем иметь

∫

J (ν)(x)|J(ϕ)(x)|² dx = 4π ν(r)r²|ϕ(r)|² dr,

(2.2)

Ω0,b

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

207

∫



 d

²



J (κ)(x)|∇J(ϕ)(x)|² dx = 4π κ(r)r²

(r)

(2.3)

 d

^ drϕ

Ω0,b

Пусть M - ограниченное множество в

(0, b). Из равенства (2.3) и оценок 0 < κ1 ≤

≤ J(κ)(x) ≤ κ₂ < ∞ следует, что множество

J (M) = {v = J(u) : u ∈ M}

ограниченно в обычном пространстве Соболева H¹⁰(Ω0,b). В силу компактности вложения

H¹⁰(Ω0,b) в L²(Ω0,b) существует сходящаяся в L²(Ω0,b) подпоследовательность {J(uk)}∞k=1.

Из равенства (2.2) и оценок 0 < ν₁ ≤ J(ν)(x) ≤ ν₂ < ∞ вытекает, что последовательность

{u_k}∞k=1 сходится вL2ν(0, b). Следовательно, вложение

(0, b) в

(0, b) компактно. Лемма

доказана.

Так как вложениеH1κ(0, b) вL2ν(0, b) компактно, существует ортонормальный базис {e_k}∞k=1

пространства

(0, b), который является ортогональной системой в

(0, b). Свойства этого

ортонормального базиса играют важную роль в наших рассуждениях в следующем пункте

работы.

С другой стороны, известно (см., например, [15, гл. 3, § 5.4]), что вложение

H¹(a,b) в

L²(a,b) компактно и существует ортонормальный базис {d_k}∞k=1 пространстваL2(a,b), кото-

рый является ортогональной системой в

H¹(a,b). Явное выражение для функций d_k указано

в следующей лемме.

Лемма 2.2. Пусть

√

(

)

kπ

d_k(r) =

√

sin

(r - a)

при a ≤ r ≤ b, k ∈ N.

(2.4)

b-ar

b-a

(A^′ ) Семейство {dk}∞k=1 является ортонормальным базисом пространства

L²(a,b) и

ортогональной системой в

H¹(a,b).

(B^′ ) Справедливо равенство

∥d_k∥2̃

= k²π²/(b - a)².

(2.5)

H¹(a,b)

Доказательство. Так как вложение

H¹(a,b) в

L²(a,b) компактно, существуют ортонор-

мальный базис {d_k}∞k=1 пространства

L²(a,b), который является ортогональной системой в

H¹(a,b), и последовательность положительных чисел {Λ_k}∞k=1, которые удовлетворяют соот-

ношению

〈d_k, ϕ〉̃H1(a,b)^=Λk^〈dk^,ϕ〉L2(a,b)длялюбойϕ∈H1(a,b).

Поэтому в силу определения в (2.1) получаем

∫^b

))

∫

⁽ d⁽

r²

d_k(r) ϕ(r)dr = Λ_k r²d_k(r)ϕ(r)dr для любой ϕ ∈H1(a,b),

откуда следует равенство

(

)

r²

d_k(r)

= Λ_kr²d_k(r).

(2.6)

Нетрудно видеть, что функции u(r) и значения Λ ∈ R, которые удовлетворяют уравнению

(

)

−

r²

u(r)

= Λr²u(r)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

208

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

и граничным условиям u(a) = u(b) = 0, имеют вид

(

)

kπ

k²π

u(r) =

sin

(r - a)

c ∈ R, и Λ =

k∈Z₊.

b-a

(b - a)²

Поэтому, принимая во внимание определение нормы ∥ · ∥_̃

(см. (2.1)), заключаем, что

L²(a,b)

функции d_k(r) и значения Λ_k, которые удовлетворяют уравнению (2.6) и условиям d_k(a) =

= d_k(b) = 0 и ∥d_k∥̃L2(a,b) = 1,имеют вид (2.4) (дляdk(r))иΛk ⁼k2π²/(b - a)2,k = 1,2,...

Кроме того, согласно определению (2.1) скалярного произведения 〈 · , · 〉_̃

, имеем

L²(a,b)

∫

(

)

(

)

kπ

mπ

〈d_k, d_m〉_̃

sin

(r - a) sin

(r - a) dr = δ_km.

L²(a,b)

b-a

Значит, {d_k}∞k=1 является ортонормальной системой вL2(a, b).

С другой стороны, из условия d_k(a) = d_k(b) = 0 и равенства

[

(

)

d sin(^kπb-a (r - a))^]

kπr

)₂ 1

kπ

r²

sin

(r - a)

b-a r

b-a

следует, что

∫

(

))(

(

))

⁽ d 1

kπ

d 1

mπ

〈d_k, d_m〉_̃

r²

sin

(r - a)

sin

(r - a) dr =

H¹(a,b)

b-a

dr r

b-a

dr r

b-a

∫

(

)])

(

)

(

)₂

⁽ d^[

d 1

kπ

mπ

kπ

r²

sin

(r - a)

sin

(r - a) dr =

δ_km,

b-a

dr r

b-a

где δ_km = 1, если k = m, и δ_km = 0, если k = m. Таким образом, {dk}∞k=1 является

ортогональной системой в

H¹(a,b) и выполняется равенство (2.5) Лемма доказана.

Отметим также, что справедливо свойство:

√

(C^′ ) для всех r ∈ [a, b] и каждого k ∈ N верна оценка |d_k(r)| ≤

√

, которая следует

b-a

непосредственно из определения (2.4).

3. Ортонормальный базис в

(0, b) и свойства его элементов. Для того чтобы

построить ортонормальный базис {e_k}∞k=1 пространства

(0, b), который является ортого-

нальной системой в

(0, b), построим сначала при каждом λ > 0 функцию y(λ; r), удовле-

творяющую уравнению

(

)

r²κ(r)

y(r)

= -λν(r)r²y(r)

(3.1)

и начальному условию

y(b) = 0, y^′(b) = 0.

(3.2)

Для удобства вычислений положим

s = b - r,

ν(s) = ν(b - s),

κ(s) = κ(b - s)

и рассмотрим уравнение

(

)

(b - s)²κ(s)

z(λ; s)

= -λν(s)(b - s)²z(λ;s)

(3.3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

209

с начальным условием



z(λ; 0) = 0,

z(λ; s)

= 1.

(3.4)



s=0

Несложно видеть, что существует единственное решение z(λ; s) задачи Коши (3.3), (3.4) в

полуинтервале [0, b[. Укажем в лемме 3.1 явный вид решения z(λ; s), а в лемме 3.2 условие его

принадлежности к классуL2ν(0, b)⋂ H1κ(0, b). Для упрощения в дальнейшем записи обозначим

√

ω_i(λ) =

λν_i/κ_i, i = 1, 2.

Лемма 3.1. Решение z(λ; s) задачи Коши (3.3), (3.4) в полуинтервале [0, b[ имеет вид

⎧

⎪

⎨

sin(ω₂(λ)s)

при

0 ≤ s ≤ b - a,

ω₂(λ) b - s

z(λ; s) =

(3.5)

⎪

γ(λ)

⎩

sin(β(λ) + ω₁(λ)(s - b + a)) при b - a ≤ s < b,

b-s

где

β(λ) и γ(λ) определяются следующими соотношениями:

i) если

b-a

2m <

ω₂(λ) < 2m + 1, m ∈ Z₊,

то

)

^(√ν₂κ₂

κ₂ - κ₁

β(λ) = arcctg

ctg (ω₂(λ)(b - a)) +

√

(3.6)

ν₁κ₁

λκ₁ν₁

γ(λ) =

sin(ω₂(λ)(b - a)),

(3.7)

ω₂(λ) sinβ(λ)

ii) если

b-a

2m + 1 <

ω₂(λ) < 2(m + 1), m ∈ Z₊,

то

β(λ) такая же, как в случае i) , γ(λ) = -

sin(ω₂(λ)(b - a)),

ω₂(λ) sin β(λ)

iii) если

b-a

ω₂(λ) = 2m, m ∈ N,

то

κ₂b

β(λ) = 0, γ(λ) =

√

(3.8)

λν₁κ₁

iv) если

b-a

ω₂(λ) = 2m + 1, m ∈ Z₊,

то

-κ₂b

β(λ) = 0, γ(λ) =

√

(3.9)

λν₁κ₁

Доказательство. Вычисления показывают, что определённая равенством (3.5) функция

z(λ; s) удовлетворяет на интервале ]0, b - a[ уравнению (3.3).

С другой стороны, каков бы ни был вектор (β, γ)^т ∈ R², функция

z(s) =

sin(β + ω₁(λ)(s - b + a))

b-s

удовлетворяет на интервале ]b - a, b[ уравнению (3.3). Однако непрерывность функций z(λ; s)

и κ(s)dz(λ;s)/ds в точке s = b - a требует, чтобы функции β и γ удовлетворяли соотно-

шениям

sin β

sin(ω₂(λ)(b - a)),

(3.10)

ω₂(λ) a

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

210

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

cos β

sin β

κ₁γω₁(λ)

+κ₁γ

=κ₂

cos(ω₂(λ)(b - a)) + κ₂

sin(ω₂(λ)(b - a)).

(3.11)

a²

ω₂(λ) a²

Для того чтобы определить функции β = β(λ), γ = γ(λ) для каждого λ > 0, нужно

различать те же четыре случая, что и в формулировке леммы 3.1:

i) sin(ω₂(λ)(b - a)) > 0,

ii) sin(ω₂(λ)(b - a)) < 0,

iii) sin(ω₂(λ)(b - a)) = 0 и cos(ω₂(λ)(b - a)) = 1,

iv) sin(ω₂(λ)(b - a)) = 0 и cos(ω₂(λ)(b - a)) = -1.

В случаях i) и ii), разделив обе части равенства (3.11) на

sin β

√κ₁κ₂ν₁

κ₁γω₁(λ)

√

sin(ω₂(λ)(b - a)),

ν₂

получим

^√ν₂κ₂

κ₂ - κ₁

ctg (β(λ)) =

ctg (ω₂(λ)(b - a)) +

√

(3.12)

ν₁κ₁

λκ₁ν₁

откуда вытекают представления (3.6), (3.7) и представления в случае ii). В случаях iii) и iv),

подставив в (3.10), (3.11) значения sin(ω₂(λ)(b - a)) и cos(ω₂(λ)(b - a)), придём к представ-

лениям (3.8) и (3.9). Лемма доказана.

Лемма 3.2. Решение z(λ; s) задачи Коши (3.3), (3.4) тогда и только тогда принадлежит

⋂ H1

классу

(0, b)

(0, b), когда выполняется включение

(β(λ) + ω₁(λ)a) ∈ Z₊.

(3.13)

Кроме того, соотношения

lim

|z(λ; s)| < ∞,

s→b-0



z(λ; s)



s=b

справедливы тогда и только тогда, когда выполняется условие (3.13).

Доказательство. Так как sin(mπ - r^′) = ± sin r^′ при m ∈ Z₊ (здесь знак “ + ” или “- ”

определяется в соответствии с чётностью m), то, если включение (3.13) выполняется, положив

r = b - s, получим

γ(λ)

z(λ; s) = ±

sin(ω₁(λ)r) при

0 < r ≤ a.

(3.14)

Таким образом,

|γ(λ)|

lim

|z(λ; s)| = lim

|sin(ω₁(λ)r)| = |γ(λ)|ω₁(λ) < ∞.

s→b-0

r→0+0

Кроме того,



d 1



z(λ; s)

= ±γ(λ)

sin(ω₁(λ)r)

= 0.



dr r

s=b

r=0

Из последнего соотношения вытекает, что производная κ(s)dz(λ; s)/ds ограничена. Следова-

тельно, справедливо включение z(λ; ·) ∈H1κ(0, b).

С другой стороны, если π-1(β(λ) + ω₁(λ)a) ∈ Z₊, то существует такое число ε ∈]0, π[, что

sin(ε + ω₁(λ)r)

z(λ; s) = ±γ(λ)

при

0 < r ≤ a (b - a ≤ s < b).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

211

В этом случае имеем

[

]

z(λ; s) = ±γ(λ) ω₁(λ)

cos(ε + ω₁(λ)r) -

sin(ε + ω₁(λ)r) .

r²

Таким образом, существует такое число δ > 0, при котором выполняется оценка



 d



sin ε



(λ; b - r)

|γ(λ)|

для любого r ∈]0, δ[.

≥

^ drz

r²

Следовательно,

∫



 d

²



∥z(λ; ·)∥2̃

= κ(r)r²

(λ; b - r)

r = ∞.

H1κ(0,b)

 d

^ drz

Лемма доказана.

Теперь установим характеристики тех значений λ, при которых функция z(λ; ·) принад-

⋂

лежит классуL2ν(0, b)

(0, b), и докажем полезные свойства функции y(λ; r) = z(λ; b - r).

Для этого напомним, что при 0 < r < a функция y(λ; r) = z(λ; b - r) имеет вид (выраже-

ние (3.14))

γ(λ)

y(λ; r) = z(λ; b - r) = ±

sin(ω₁(λ)r),

0 < r < a.

Начнём со следующей леммы, которая доказывается непосредственным вычислением.

Лемма 3.3. Пусть ε > 0. Функция

1-ε

ϕ₀(x) = ctg x -

x∈R₊,

∈Z₊,

(3.15)

строго убывает на каждом интервале ]kπ,(k + 1)π[, k ∈ Z₊, причём

lim

ϕ₀(x) = +∞,

lim

ϕ₀(x) = -∞ для любого k ∈ Z₊.

(3.16)

x→kπ+0

x→(k+1)π-0

Доказательство. Так как

1-ε

-1

1-ε

ϕ₀(x) = -1 - ctg²x +

x²

sin² x

x²

и sin x < x для всех x > 0, то

-1

ϕ₀(x) ≤

для всех x ∈ R₊,

∈Z₊.

sin² x

x²

Следовательно, функция ϕ₀(x) строго убывает на каждом интервале ]kπ, (k + 1)π[, k ∈ Z₊.

Соотношения (3.16) очевидны. Лемма доказана.

′′

положительных веще-

Рассмотрим теперь две последовательности {p∗k′ }∞k′=1и{pk

}∞k′′=1

ственных чисел, определяемые соотношениями

√κ₁

√κ₂

p^∗k′ = k^′π

′′

=k^′′π

√

(3.17)

√ν₁ ,pk

(b - a)

ν₂

Определим множества

E∗ = {p∗k′ }∞k′=1, E∗∗ = {p∗∗k′′ }^∞k′′₌₁.

(3.18)

Занумеровав в порядке неубывания все элементы объединения E^∗

^⋃E^∗∗ натуральными чис-

′′

, и добавив p₀ = 0, определим последовательность

{p_k}∞k=0. Тогда

{p_k}∞k=0 = {0}

^⋃E^∗⋃E^∗∗,

(3.19)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

5^∗

212

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

pk-1 < p_k < pk+1, если p_k = p^∗k′ ∈ E^∗\E^∗∗,

′′

∈ E^∗∗\E^∗,

′′

∈E^∗

^⋂E^∗∗.

В случае pk-1 < p_k положим

(

)

(

)

^√ν₁

^√κ₂ν₂

^√ν₂

κ₂ - κ₁

Φ(q) = ctg a

ctg (b - a)

(3.20)

κ₁

κ₁ν₁

κ₂

a√κ1ν1qприpk-1 <q<pk.

Лемма 3.4. Для каждого k ∈ N такого, что pk-1 < p_k, существует единственное

значение q = q_k, принадлежащее интервалу ]pk-1, p_k[ и удовлетворяющее уравнению

Φ(q) = 0.

√

Доказательство. Положив x = a

ν₁/κ₁q, представим функцию Φ(q) в виде

Φ(q) = ϕ₀(x) + ctg (Ax),

где ϕ₀(x) - определённая в (3.15) функция с ε = κ₂/κ₁, а

(b - a)

√ν₂κ₁

√

ν₁κ₂

′′

= k^′′π/A. Напомним, что

lim ctg (Ax) = +∞,

x→0+0

lim

ctg (Ax) = +∞,

lim ctg (Ax) = -∞ при любом k^′′ = 1, 2, 3, . . .

x→x^∗∗

-0

k′′

Кроме того, функция ctg (Ax) непрерывна и строго убывает в интервале

′′

[ при

^′′+1

каждом k^′′ ∈ Z₊. Из этих соотношений и леммы 3.3 следует, что функция Φ(q) непрерывна,

строго убывает на интервале ]pk-1, p_k[ и удовлетворяет соотношениям

lim

Φ(q) = +∞, lim

Φ(q) = +∞, lim Φ(q) = -∞.

q→0+0

q→p_k+0

q→p_k-0

Отсюда следует утверждение леммы. Лемма доказана.

Далее, используя лемму 3.4, определим числовую последовательность {q_k}∞k=1 соотноше-

ниями

pk-1 < q_k < p_k, Φ(q_k) = 0, если pk-1 < p_k,

pk-1 = q_k = p_k, если pk-1 = p_k.

Отметим, что согласно определению чисел p_k, k ∈ Z₊ (см. (3.17)-(3.19)), имеем

0 < q₁ < ... < q_k < qk+1 < ... и q_k → ∞ при k → ∞.

Положим

λ_k = q2k.

(3.21)

Лемма 3.5. Для заданной равенством (3.5) функции z(λ; s) соотношение

lim |z(λ; s)| < ∞

(3.22)

s→b-0

имеет место тогда и только тогда, когда λ = λ_k, где числа λ_k (k ∈ N) определены в (3.21).

Функция z(λ_k; s) имеет ровно k - 1 нулей в интервале ]0, b[.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

213

Доказательство. Согласно лемме 3.2 (см. также (3.14)), если lim |z(λ; s)|

< ∞, то

s→b-0

функция z(λ; s) = z(λ; b - r) имеет вид

z(λ; b - r) = ±

sin(ω₁(λ)r) при

0 < r ≤ a.

Так как функции z(λ; s) и κdz(λ; s)/ds непрерывны на полуинтервале [0, b[, то соотношение

(3.22) выполняется тогда и только тогда, когда существует такое γ ∈ R, что

sin(ω₁(λ)a) =

sin(ω₂(λ)(b - a)),

(3.23)

ω₂(λ) a

)

(

)

⁽1



κ₁γ

sin(ω₁(λ)r)

= -κ₂b

sin(ω₂(λ)s)

(3.24)



dr r

ω₂(λ) ds b - s

r=a

s=b-a

Если sin(ω₁(λ)a) = 0 и sin(ω₂(λ)(b - a)) = 0, то очевидно, что ни при каком γ равенство

(3.23) не выполняется.

Если sin(ω₂(λ)(b - a)) = 0 и sin(ω₁(λ)a) = 0, то из (3.23) следует, что γ = 0, но при γ = 0

не выполняется (3.24). Поэтому нет γ, при котором справедливы равенства (3.23), (3.24).

С другой стороны, если sin(ω₁(λ)a) = sin(ω₂(λ)(b - a)) = 0, то равенство (3.23) выполнено

автоматически, а (3.24) сводится к равенству

κ₁ω₁(λ)

cos(ω₁(λ)a) = κ₂

cos(ω₂(λ)(b - a)),

из которого можно найти значение γ, при котором справедливы равенства (3.23) и (3.24).

Если sin(ω₁(λ)a) = 0 и sin(ω₂(λ)(b - a)) = 0, то аналогично выводу соотношения (3.12) из

равенств (3.10), (3.11) заключаем, что γ ∈ R, при котором выполняются равенства (3.23) и

√

(3.24), существует тогда и только тогда, когда Φ(

λ) = 0, где Φ(·) - функция, определённая

в (3.20).

Из этих рассмотрений и леммы 3.4 следует, что соотношение

lim

|z(λ; b - r)| < ∞

r→0+0

имеет место тогда и только тогда, когда λ = λ_k при k ∈ N. Кроме того, как нетрудно ви-

деть, из определения последовательностей {p_k}∞k=0 и {q_k}∞k=1 следует, что функция y(λ_k; r) =

= z(λ_k;b - r) имеет ровно k - 1 нулей в интервале ]0,b[. Лемма доказана.

Теорема 3.1. Положим

y_k(r)

e_k(r) =

(3.25)

∥y_k(r)∥̃L2

(0,b)

где

y_k(r) = z(λ_k;s),

(3.26)

а z(λ;s) - функция, определённая равенством (3.5).

Тогда справедливы следующие утверждения:

(A) семейство {e_k}∞k=1 является ортонормальным базисом вL2ν(0,b);

(B) семейство {e_k}∞k=1 является ортогональной системой в

(0, b);

∥e_k∥2̃

=λ_k;

H1κ(0,b)

(D) функции e_k(r) и r²κ(r)de_k(r)/dr непрерывны;

(E) имеют место равенства de_k(r)/dr|r=0 = 0 и e_k(b) = 0;

(F) выполняется соотношение

(

)

−

r²κ(r)

e_k(r)

= λ_kν(r)r²e_k(r) для всех r ∈]0,a[

^⋃ ]a, b[;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

214

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

(G) существует такая постоянная C₁ < ∞, что

|e_k(a)| ≤ C₁ для любого k ∈ N,

(3.27)

(H) функция e_k(r) имеет ровно k - 1 нулей в интервале ]0, b[;

(I) имеет место двойное неравенство

(

)₂

√κ₁κ₂

M₀(k - 1)² ≤ λ_k ≤ M₀(k + 1)², где M₀ =

π(a√ν1κ2 + (b - a)√ν2κ1)

4. Доказательство теоремы 3.1. Доказательство теоремы 3.1 проводится в несколько

этапов. Докажем сначала нужные леммы, а затем теорему.

Лемма 4.1. Существует линейный оператор A, действующий из

(0, b) в

(0, b),

который каждому u ∈L2ν(0, b) ставит в соответствие элемент Au ∈H1κ(0, b), удовлетво-

ряющий соотношению

〈Au, ϕ〉̃H1

= 〈u, ϕ〉̃L2

для любой ϕ ∈H1κ(0, b).

(4.1)

(0,b)

Оператор A, переводящий

(0, b) в себя, является самосопряжённым компактным опе-

ратором вL2ν (0, b), а его собственные единичные векторы e_k составляют ортонормальный

базис {e_k}∞k=1 вL2ν(0, b). При этом если μ_k - собственное значение, отвечающее вектору e_k,

Ae_k = μ_ke_k,

(4.2)

то μ_k → 0 при k → ∞ и без нарушения общности μ_k ≥ μk+1 при k = 1,2,...

Доказательство. Так как

∫

ν(r)r²|ϕ(r)|² dr = ν(r)r²

2ϕ(r^′)

ϕ(r^′)dr^′ dr ≤

dr^′

(∫b

)1/2(∫b



)1/2

 d

²

≤ C ν(r)r²|ϕ(r)|²

κ(r)r²

(r)



^ drϕ

где

(

))1/2(

))1/2

⁽ν₁

ν₁

ν₂

C = b max

max

ν₂

κ₁

κ₂

то

∥ϕ∥_̃

≤ C∥ϕ∥_̃

для любой ϕ ∈H1κ(0, b).

L2ν (0,b)

H1κ(0,b)

Итак, скалярное произведение 〈u, ϕ〉̃L2

является непрерывным линейным функциона-

(0,b)

лом, определённым на функциях ϕ ∈H1κ(0, b). Следовательно, в силу теоремы Рисса суще-

ствует единственный элемент U ∈H1κ(0, b) такой, что выполняется соотношение

〈U, ϕ〉_̃

= 〈u, ϕ〉_̃

для любой ϕ ∈H1κ(0, b).

(4.3)

H1κ(0,b)

L2ν (0,b)

Положив Au = U, зададим оператор A изL2ν(0, b) в

(0, b).

Таким образом, лемма следует из теории самосопряжённых компактных операторов и опре-

деления пространств

(0, b) и

(0, b) (см., например, [15, гл. IV, § 1, лемма 1]). Лемма

доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

215

Лемма 4.2. Пусть {e_k}∞k=1 - ортонормальный базис вL2ν(0, b), определённый в лемме 4.1.

Тогда для каждого k ∈ N справедливо равенство

(

)

= -νr²e_k в L²(0,b).

(4.4)

μ_k drκr2dr

Доказательство. Так как Ae_k = μ_ke_k, то, положив U = Ae_k, будем согласно (4.3) иметь

∫

)

∫

⁽ d

μ_kκ(r)r²

ek(r)

ϕ(r) dr = ν(r)r²e_k(r)ϕ(r) dr.

Это равенство с учётом того, что

(0, b) плотно в

(0, b), определяет обобщённую произ-

(

)

водную

κ(r)r²

ek(r) , для которой выполняется равенство (4.4). Лемма доказана.

Лемма 4.3. Пусть {e_k}∞k=1 - ортонормальный базис вL2ν(0, b), определённый в лемме 4.1.

Тогда для каждого k ∈ N функция e_k(r) имеет вид

y_k(r)

ek(r) =

(4.5)

∥y_k(r)∥̃L2

(0,b)

где y_k(r) - функция, определённая равенством (3.26).

Доказательство. В силу леммы 4.2 функция e_k(r) должна удовлетворять уравнению

(4.4), которое совпадает с уравнением (3.1) при λ = 1/μ_k, и граничным условиям (3.2). Сле-

довательно, e_k(r) должна иметь вид функции y(λ; r) = z(λ; b - r) (определённой равенством

(3.5)) с λ = 1/μ_k. С другой стороны, e_k(r) должна принадлежать классуL2ν(0, b)⋂ H1κ(0, b),

поэтому, согласно лемме 3.5, λ = 1/μ_k должно быть одним из значений {λ_k}∞k=1. Так как

{μ_k}∞k=1 - убывающая последовательность, а {λ_k}∞k=1 - возрастающая, то λ_k = 1/μ_k. Значит,

справедлива формула (4.5). Лемма доказана.

Перейдём к доказательству теоремы 3.1. Так как в силу леммы 4.3 справедливы равенства

e_k = e_k, λ_k = 1/μ_k, то утверждение (A) доказано. Утверждение (B) вытекает непосредственно

из леммы 4.1. Чтобы проверить (C), достаточно подставить u = ϕ = e_k в соотношение (4.1)

и учесть равенство (4.2). Утверждения (D) и (F) следуют непосредственно из равенства (4.4).

Утверждения (E) и (H) вытекают из определения функции e_k(r) и леммы 3.2.

√

Для упрощения в дальнейшем записи обозначим ω^ki =

λ_kν_i/κ_i, i = 1,2 (т.е. в преды-

дущих обозначениях ω^ki = ω_i(λ_k), i = 1, 2). Чтобы доказать неравенство (3.27), нам удобно

рассмотреть функцию

z(λ_k; s) =

sin(ωk2s) при

0 ≤ s ≤ b - a.

ω^k

b-s

Таким образом,

e_k(a) =

sin(ωk2(b - a))

ω^k

∥z(λ_k ; ·)∥_̃

L2ν (0,b)

Из последнего выражения непосредственно следует, что

|e_k(a)| ≤

ω^k

a ∥z(λ_k; ·)∥̃L2

(0,b)

Рассмотрим сначала случай, когда

π²κ₂

λ_k ≥

т.е. ωk2(b - a) ≥ π.

(b - a)²ν₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

216

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

Здесь имеем

∫

∥z(λ_k; ·)∥2̃

ν(s)(b - s)²(z(λ_k; ·))² ds ≥ ν₂b

sin²(ωk2s) ds =

L2ν (0,b)

ω^k

∫

ν₂b 1

=ν₂b

(1 - cos(2ωk2s)) ds ≥

(1 - cos(2ωk2)) ds =

ωk2

ω^k

π/(4ωk2 )

[

]_b-a

[

]

ν₂b 1

π 1

sin(2ωk2s)

b-a-

sin(2ωk2(b - a)) -

≥

ωk2

2ωk2

4ω^k

π/(4ωk2 )

[

)

]

)

ν₂b 1

⁽1

⁽3

ν₂b 1

≥

b-a-

≥

π-

(b - a)

ωk2

ω^k

Отсюда вытекает, что

)

)-1

⁽1⁽3

π²κ₂

|e_k(a)| ≤

π-

(b - a)ν₂b

≡C^[+]1

при λ_k ≥

(4.6)

b π

(b - a)²ν₂

С другой стороны, так как множество чисел λ_k таких, что λ_k < π²κ₂/((b-a)²ν₂), конечно,

а функция e_k(r) непрерывна, то

sup |e_k(a)| ≡ C[-]1 < ∞,

(4.7)

k∈Λ₀

где

{

}

π²κ₂

Λ₀ = k ∈ N : λ_k <

(b - a)²ν₂

Из (4.6), (4.7) следует утверждение (G):

sup|e_k(a)| ≤ max{C^[+]1,C[-]1} ≡ C₁ < ∞.

k∈N

Из представления для функции e_k(r) (см. (3.25), (3.26), (3.5)) вытекает, что число её ну-

лей в полуинтервалах ]0, a] и [a, b[ равно [aωk1π] и [(b - a)ωk2π] соответственно (здесь [·]

обозначает целую часть числа). Так как число нулей функции e_k(r) в интервале ]0, b[ равно

k - 1, имеем: k = [aωk1π] + [(b - a)ωk2π], если aωk1π = [aωk1π] (и (b - a)ωk2π = [(b - a)ωk2π]), и

k = [aωk1π] + [(b - a)ωk2π] + 1 в противном случае.

Так как для любого (α, β) ∈ R₊ × R₊ верно неравенство

α + β - 2 < [α] + [β] ≤ α + β,

то

√

a√ν1κ2 + (b - a)√ν2κ1

λ_kπ

-2≤k-1≤

λ_kπ

√

√κ₁κ₂

κ₁κ₂

откуда находим, что

√κ₁κ₂(k - 1)

√

√κ₁κ₂

λ_k ≤

π(a√ν1κ2 + (b - a)√ν2κ1)≤

π(a√ν1κ2 + (b - a)√ν2κ1)(k+1).

Таким образом, утверждение (I), а с ним и теорема 3.1 доказаны.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

217

5. Стационарное решение. Найдём стационарное решение задачи (1.9), (1.10) (с (1.3)),

(1.6)-(1.8). В следующем пункте работы воспользуемся им для решения эволюционной задачи.

Рассмотрим следующую задачу: найти функции T (r) и Π(r), удовлетворяющие уравне-

ниям

(

)

r²κ(r)

T (r)

= ψδ(r - a) при

0 < r < b,

(5.1)

(

)

−γ₀

r²

Π(r)

при a < r < b,

(5.2)

где число ψ задаётся соотношением

Π(a + ε₁) - Π(a)

ψ=γ₁

(5.3)

ε₁

и граничным условиям

T (b) = T_b,

(5.4)

Π(a) = π₀ + α₁T (a),

(5.5)

Π(b) = Π_b.

(5.6)

В (5.2)-(5.6), как и выше, γ₀ > 0, γ₁ > 0, ε ∈ (0, b - a), π₀, α₁,

T_b, Πb - заданные

постоянные.

Определим величину Θ_a соотношением

γ₁bA_a

Θ_a =

(Π_b - (π₀ + α₁(T_b + Θ_a))),

(5.7)

(b - a)(a + ε₁)

т.е.

γ₁bA_a

Θ_a =

(Π_b - π₀ - α₁T_b),

(b - a)(a + ε₁) + γ₁bA_aα₁

где

∑

(e_k(a))²

A_a =

λ_k

k=1

Докажем, что справедлива

Теорема 5.1. Решение (T (r), Π(r)) задачи (5.1)-(5.6) определяется соотношениями

∑

Π_b - (π₀ + α₁(T_b + Θ_a)) e_k(a)

T (r) = T_b +

cΘke_k(r), c^Θ

=γ₁

(5.8)

λ_k

k=1

bΠ_b - a(π₀ + α₁(T_b + Θ_a))

ab(Π_b - (π₀ + α₁(T_b + Θ_a)))

Π(r) =

(5.9)

(b - a)

(b - a)r

Доказательство. Очевидно, что решением задачи (5.2), (5.5), (5.6) является функция

bΠ_b - a(π₀ + α₁T (a))

ab(Π_b - (π₀ + α₁T (a)))

Π(r) =

(5.10)

(b - a)

(b - a)r

Подставив её в соотношение (5.3), получим

Π|r=a+ε1 - Π|r=a

b(Π_b - (π₀ + α₁T (a)))

ψ=γ₁

=γ₁

≡ ψ_a(T(a)).

(5.11)

ε₁

(b - a)(a + ε₁)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

218

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

Положим также Θ(r) = T (r) - T_b. Тогда задача (5.1), (5.4) сводится к следующей задаче:

(

)

−

r²κ(r)

Θ(r)

= ψ_a(T(a))δ(r - a),

(5.12)

Θ(b) = 0.

(5.13)

Положив

∑

Θ(r) = cΘke_k(r)

k=1

и проинтегрировав по полуинтервалу ]0, b] обе части уравнения (5.12), умноженные на e_k(r),

получим с помощью утверждений (B), (C), (D), (F) теоремы 3.1 равенства

∫b

(

))

λ_kcΘk = e_k(r) -

r²κ(r)

Θ(r) dr = ψ_a(T (a))e_k(a).

Поэтому решением задачи (5.12)-(5.13) является функция

∑

e_k(a)

Θ(r) =

cΘke_k(r), где cΘk = ψ_a(T(a))

;

(5.14)

λ_k

k=1

тогда

∑

(e_k(a))²

Θ(a) = ψ_a(T (a))A_a, A_a =

(5.15)

λ_k

k=1

Поэтому из равенств (5.11) и (5.15) следует, что

γ₁bA_a

Θ(a) =

(Π_b - (π₀ + α₁(T_b + Θ(a)))).

(b - a)(a + ε₁)

Таким образом, согласно определению величины Θ_a (см. (5.7)), имеем Θ(a) = Θ_a и, следо-

вательно, T (a) = T_b +Θ_a. Подставив это выражение в (5.11), (5.14), (5.10), получим равенства

(5.8) и (5.9). Теорема доказана.

6. Существование и единственность решения эволюционной задачи. Обозначим

через (T_st(r), Π_st(r)) решение стационарной задачи, которое мы определили формулами (5.8)-

(5.9) в теореме 5.1. Положим

ϑ = ϑ(t,r) = T(t,r) - T_st(r),

(6.1)

η = η(t,r) = Π(t,r) - Π_st(r) - α₁ϑ(t,r).

(6.2)

Так как ∂_r(r²∂_rΠ) = 0 (см. (5.2)), то из (1.10) вытекает, что

∂_tη - γ₀∂_r(r²∂_rη) = -α₁(∂_tϑ - γ₀∂_r(r²∂_rϑ)) при a < r < b.

Отметим, что в силу (1.9), (1.4), (1.5) и (6.1) выполняется также равенство

)

⁽κ₂

-α₁(∂_tϑ - γ₀∂_r(r²∂rϑ)) = -α1

-γ₀

∂_r(r²∂_rϑ) при a < r < b.

ν₂

Эти соотношения позволяют свести систему (1.9), (1.10) (с (1.3)) к следующей системе:

ν∂_tϑ - ∂_r(r²κ∂_rϑ) = qδ(r - a) в

]0, b[,

(6.3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

219

∂_tη - γ₀∂_r(r²∂_rη) = f в

]a, b[,

(6.4)

где

η(t, ε₁)

q = q(t) = γ₁

(6.5)

ε₁

)

⁽κ₂

f = -α₁

-γ₀

∂_r(r²∂_rϑ).

(6.6)

ν₂

Тогда граничные условия преобразуются в условия

ϑ(t, b) = 0, η(t, a) = η(t, b) = 0 для всех t ≥ 0,

(6.7)

а начальные условия примут вид

ϑ(0, r) = T₀(r) - T_st(r) ≡ ϑ₀(r) при

0 < r < b,

(6.8)

η(0, r) = Π₀(r) - Π_st(r) - α₁ϑ₀(r) ≡ η₀(r) при a < r < b.

(6.9)

Для определённых на полуинтервале ]0, b] функций u, используя функции e_k, заданные

равенствами (3.25), (3.26), определим коэффициенты Фурье u(k) и норму ∥u∥_Hσ соотноше-

(0,b)

ниями

(

)1/2

∑

u(k) = 〈u, e_k〉_̃

∥u∥_Hσ

λ^σk|u(k)|2

(6.10)

L2ν(0,b)

(0,b)

k=1

Аналогично, для определённых на отрезке [a, b] функций u, используя функции d_k(r), за-

данные равенством (2.4), определим коэффициенты Фурье u(k) и норму ∥u∥_Hσ следующим

(a,b)

образом:

)1/2

(_∞∑

u(k) = 〈u, d_k〉_̃

∥u∥_Hσ

k2σ|u(k)|²

(6.11)

L²(a,b)

(a,b)

k=1

Имеем следующий результат.

Теорема 6.1. Пусть 1 < σ < 3/2. Если ϑ₀ ∈ Hσ-1(0,b) и η₀ ∈ Hσ-1(a,b), то, каково бы ни было

число t > 0, существует единственное решение (ϑ, η) задачи (6.3)-(6.9) в классе

ϑ ∈ L^∞(0,t;Hσ-1(0,b))

^⋂L²(0,t;Hσ(0,b)), η ∈ L^∞(0,t;Hσ-1(a,b))^⋂ L²(0,t;Hσ(a,b)).

(6.12)

Доказательство. Используя коэффициенты Фурье, определённые в (6.10), (6.11) (даже

если используем один и тот же символ u(k) для двух разных значений, их нетрудно отличить

в зависимости от контекста), преобразуем уравнения (6.3), (6.4) соответственно в уравнения

^ϑ(t, k) + λ_k ϑ(t, k) = q(t)e_k(a),

(6.13)

π²

η(t, k) + γ₀

k²η(t,k)

f (t, k).

(6.14)

(b - a)²

Умножив обе части уравнения (6.13) на функцию λσ-1k ϑ(t, k), получим

∂_tλσ-1k ϑ²(t,k) + λ^σk ϑ²(t,k) = λσ-1k ϑ(t,k)q(t)e_k(a).

В силу оценки (3.27) имеем

λσ-1k ϑ(t,k)q(t)e_k(a) ≤¹λσk|ϑ(t,k)|2 +C1λσ-2k|q(t)|2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

220

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

Учитывая, что σ - 2 < -1/2, вследствие утверждения (I) теоремы 3.1 получаем

∑

λσ-2k ≡ C_λ < ∞.

k=1

Отсюда следует, что

∥ϑ∥²

+ ∥ϑ∥2Hσ

≤ C²¹C_λ|q(t)|².

Hσ-1

(0,b)

Далее, нетрудно получить неравенство



γ²¹

γ²∑

²

∑



|q(t)|² =

|η(t, ε₁)|² =

η(t, k)d_k(ε₁)

≤C_q

k2σ-1|η(t,k)|² = C_q∥η(t,·)∥²



Hσ-1/2

ε²¹

ε²

(a,b)

k=1

где

∑

γ²¹

C_q =

< ∞.

ε²

a²(b - a)

k2σ-1

k=1

Из двух последних неравенств следует, что

∥ϑ∥²

+ ∥ϑ∥2Hσ

≤ C²¹C_λC_q∥η∥²

(6.15)

Hσ-1

(0,b)

Hσ-1/2

(0,b)

(a,b)

С другой стороны, если умножим обе части уравнения (6.14) на функцию k2σ-2 η(t, k) и

просуммируем получившиеся уравнения по k, то получим

π²

∥η∥²

+γ₀

∥η∥2Hσ

≤ C₂∥f(t,·)∥²

(6.16)

Hσ-1

(a,b)

Hσ-2

(a,b)

(b - a)²

(a,b)

где C₂ = (b - a)²/(γ₀π²).

Пусть ω - положительное число, которое выберем в дальнейшем. Если положить

ϑ = e^-ωtϑ,

η=e^-ωtη,

q=e^-ωtq,

f =e^-ωtf,

то из уравнений (6.3), (6.4) вытекает соответственно, что

ν∂_tϑ- ∂_r(r²κ∂_rϑ) + ωνϑ = qδ(r) в

]0, b[,

(6.17)

∂_tη- γ₀∂_r(r²∂_r η) + ωη

f в

[a, b[.

(6.18)

Действуя аналогично тому, как получены неравенства (6.15), (6.16), из уравнений (6.17), (6.18)

получим неравенства

∥ϑ∥²

+ ∥ϑ∥2Hσ

+ 2ω∥ϑ∥²

≤ C²¹C_λC_q∥η∥²

(6.19)

Hσ-1

(0,b)

Hσ-1

Hσ-1/2

(0,b)

(a,b)

π²

∥η∥²

+γ₀

∥η∥2Hσ

+ 2ω∥η∥²

≤C₂

f∥²

(6.20)

Hσ-1

(a,b)

Hσ-1

Hσ-2

(a,b)

(b - a)²

(a,b)

Введём банахово пространство

Y_ϑ = L^∞(0,t;Hσ-1(0,b))

⋂ L²(0,t;Hσ(0,b)).

Пусть ϑ ∈ Y_ϑ. Подставляя ϑ вместо ϑ в правую часть равенства (6.6), определим функцию

f = f(ϑ), т.е.

)

⁽κ₂

f = f(ϑ) = -α₁

-γ₀

∂_r(r²∂_rϑ).

ν₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ВАРИАНТ РЯДА ФУРЬЕ В СФЕРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

221

Затем, подставив f в правую часть уравнения (6.4), получим

∂_tη - γ₀∂_r(r²∂_rη) = f в

]a, b[.

Разрешив это уравнение, найдём η, причём согласно (6.16) справедливо включение

η ∈ L^∞(0,t;Hσ-1(a,b))

^⋂L²(0,t;Hσ(a,b)).

Затем, определив q соотношением (6.5), получим решение ϑ уравнения (6.3). Это решение в

силу (6.15) принадлежит пространству Y_ϑ. Таким образом, определён оператор G₁, который

каждому ϑ ∈ Y_ϑ ставит в соответствие решение ϑ ∈ Y_ϑ уравнения (6.3), полученное так, как

сказано выше.

Если положить^f = e^-ωtf, то из определения функции f следует, что существует такая

постоянная C_f , для которой

∥f∥²

≤ C_f∥ϑ∥2Hσ

(6.21)

Hσ-2

(a,b)

Теперь рассмотрим две функции ϑ₁ и ϑ₂ из Y_ϑ. Определимϑ1,

ϑ₂,

ϑ₁,

ϑ₂, η1,

η₂ так,

как сказано выше (ϑ1 = e^-ωtϑ₁ и т.д.), и положим

Θ= ϑ₁ -ϑ2,

H₌ η₁ - η₂,

Θ=^ϑ

1 -ϑ2.

Поскольку уравнения (6.17), (6.18) линейны, то так же, как и для (6.19)-(6.21), получаем

∥^Θ∥²

+∥^Θ∥2Hσ

+ 2ω∥^Θ∥²

≤C²¹C_λC_q∥H∥²

(6.22)

Hσ-1

(0,b)

Hσ-1

Hσ-1/2

(0,b)

(a,b)

π²

∥H∥²

+γ₀

∥H∥2Hσ

+ 2ω∥ H∥²

≤ C₂C_f ∥^Θ∥2Hσ

Hσ-1

(a,b)

Hσ-1

(a,b)

(b - a)²

(a,b)

Так как λ2σ-1 ≤ δλ2σ + λ2σ-2/(4δ) и поэтому ∥H∥²

≤ δ∥ H∥2Hσ

+∥H∥²

/(4δ) для

Hσ-1/2

(a,b)

Hσ-1

(a,b)

любого δ > 0, то, умножив обе части (6.22) на постоянную Λ, которая будет определена ниже,

получим

π²

(Λ∥^Θ∥²

+∥H∥²

) + Λ∥^Θ∥2Hσ

+γ₀

∥H∥2Hσ

+ 2Λω∥^Θ∥²

+ 2ω∥ H∥²

≤

Hσ-1

(0,b)

(a,b)

Hσ-1

(0,b)

(a,b)

(b - a)²

(0,b)

(a,b)

≤ δΛC²¹C_λC_q∥ H∥2Hσ

C²¹C_λC_q∥H∥²

+ C₂C_f∥^Θ∥2Hσ

(6.23)

(a,b)

Hσ-1

(0,b)

4δ

(a,b)

Если возьмём

γ₀π

Λ = 2C₂C_f, δ =

ω=

C²¹C_λC_q,

2Λ(b - a)²C²¹C_λC_q

4δ

то неравенство (6.23) примет вид

π²

(Λ∥^Θ∥²

+∥H∥²

) + Λ∥^Θ∥2Hσ

+γ₀

∥H∥2Hσ

Hσ-1

(0,b)

(a,b)

(0,b)

(a,b)

2(b - a)²

+ 2Λω∥^Θ∥²

+ ω∥ H∥²

≤

∥^Θ∥2Hσ

(6.24)

Hσ-1

(0,b)

(a,b)

(0,b)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

222

ХАЛЛАСИ, ФУДЖИТА-ЯШИМА

Из неравенства (6.24) вытекает, что последовательные приближения

(n), n = 1, 2, . . . ,

для задачи (6.17), (6.18) (с начальными условиями (6.8), (6.9) для всякого n с ϑ₀ ∈ Hσ-1(0,b) и

η₀ ∈ Hσ-1(a,b)) сходятся в банаховом пространстве

Y_ϑ с нормой

∥ϑ∥̃Y

= (∥ϑ∥²

+ 2ω∥ϑ∥²

)1/2.

L^∞(0,t;Hσ-1)

+ ∥ϑ∥2L2(0,t;Hσ

)

L²(0,t;Hσ-1)

(0,b)

Так как уравнения линейны, предел^ϑ последовательных приближений

(n) будет реше-

нием задачи (6.17), (6.18), причём с ним определяется также и η. Итак, положив

ϑ = e^ωtϑ, η = e^ωtη,

видим, что пара (ϑ, η) является решением задачи (6.3)-(6.9). Включения (6.12) следуют из

полученных выше оценок. Теорема доказана.

Отметим, что, используя представления (6.1), (6.2) и найденное решение (ϑ, η) задачи

(6.3)-(6.9), можно определить функции T (t, r) и Π(t, r), удовлетворяющие уравнениям (1.9),

(1.10) (с (1.3)) и условиям (1.6)-(1.8).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М., 1974.

2. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. М., 1981.

3. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967.

4. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.

5. Крылов Н.В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. М., 1985.

6. Hallaci Kh., Fujita Yashima H. Système d’équations paraboliques linéaires du type: température et

densité de vapeur avec l’effet de l’évaporation // Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 2020. V. 65. P. 45-

73.

7. Fuchs N.A. Evaporation and Droplet Growth in Gaseous Media. London, 1959.

8. Pustovalov V.K., Romanov G.S. The theory of heating and evaporation of a spherical particle exposed

to optical radiation // Int. J. Heat Mass Transfer. 1985. V. 28. P. 277-289.

9. Козырев А.В., Ситников А.Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления // Успехи

физ. наук. 2001. Т. 171. С. 765-774.

10. Sazhin S.S. Droplets and Sprays. Heidelberg, 2014.

11. Zubkov V.S., Cossali G.E., Tonini S., Rybdylova O., Crua C., Sazhin S.S. Mathematical modelling of

heating and evaporation of a spheroidal droplet // Int. J. Heat Mass Transfer. 2017. V. 108. P. 2181-2190.

12. Матвеев Л.Т. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы. СПб, 2000.

13. Albertson M.L. La mécanique de l’évaporation // La Houille Blanche. 1995. V. 5. P. 704-717.

14. Гета Р.И. Моделирование испарения с водной поверхности на основе теории подобия // Вестн.

Восточно-Казахстан. гос. техн. ун-та. 2012. № 4. С. 5-12.

15. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1976.

Высшая национальная школа гидравлики,

Поступила в редакцию 11.06.2020 г.

г. Блида, Алжир,

После доработки 18.07.2021 г.

Высшая нормальная школа,

Принята к публикации 24.02.2022 г.

г. Константина, Алжир

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022