ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.223-237
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.72
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ПРОСТРАНСТВАХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ,
ГОЛОМОРФНЫХ В УГЛЕ
© 2022 г. В. В. Власов, Н. А. Раутиан
Изучаются линейные пространства вектор-функций, голоморфных в угловой области ком-
плексной плоскости, со значениями в сепарабельном гильбертовом пространстве. Показано,
что снабжённые соответствующими нормами указанные пространства являются гильбер-
товыми. В этих пространствах исследуется начальная задача для интегро-дифференци-
альных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами и устанавливается
её корректная разрешимость.
DOI: 10.31857/S037406412202008X
Введение. В настоящей работе изучаются интегро-дифференциальные уравнения с неог-
раниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Главной частью
этих уравнений является абстрактное параболическое уравнение, возмущённое вольтерровым
интегральным оператором. Принципиальное отличие данной работы от имеющихся и посвя-
щённых исследованию интегро-дифференциальных уравнений состоит в том что мы рассмат-
риваем и изучаем интегро-дифференциальные уравнения для вектор-функций, аргументы ко-
торых принимают значения в угловой области комплексной плоскости.
Статья состоит из двух частей. В первой части вводятся необходимые в дальнейшем функ-
циональные пространства и устанавливаются основные их свойства. Во второй её части иссле-
дуется во введённых функциональных пространствах начальная задача для рассматриваемых
интегро-дифференциальных уравнений и устанавливается её корректная разрешимость. При
этом существенно используются результаты первой части работы.
1. Функциональные пространства и их основные свойства. Определения, обо-
значения и формулировка результатов. В работе М.М. Джрбашяна и В.М. Мартирося-
на [1], а также в монографии М.М. Джрбашяна [2, гл. VII] изучен класс ℜ2(Sθ) функций,
голоморфных в угловой области Sθ = {τ ∈ C : |arg τ| < θ} и таких, что
∫
}
sup
|f(teiϕ)|2 dt
< +∞.
ϕ:|ϕ|<θ
0
В [1, 2] установлено, что это линейное пространство, снабжённое соответствующей нормой
ℜ2[Sθ], является гильбертовым, и для него доказана теорема типа Пэли-Винера.
В данной работе исследуются классы ℜ2(Sθ, H) и Wn2(Sθ, An) функций со значениями в
сепарабельном гильбертовом пространстве H, голоморфных в области Sθ, которые опреде-
ляются следующим образом.
Обозначим через ℜ2(Sθ, H) класс вектор-функций, для которых конечна величина
∫
sup
∥f(teiϕ)∥2 dt,
ϕ:|ϕ|<θ
0
223
224
ВЛАСОВ, РАУТИАН
а через Wn2(Sθ, An) класс вектор-функций, для которых конечна величина
∫
(
)
∂n
2
sup
(teiϕ)
+ ∥Anu(teiϕ)∥2 dt,
∂tnu
ϕ:|ϕ|<θ
0
где A - самосопряжённый положительный оператор в пространстве H, имеющий компактный
обратный. Через (·, ·) и || · || обозначим скалярное произведение и норму в пространстве H
соответственно.
В работе доказано, что снабжённый соответствующей нормой класс ℜ2(Sθ, H) образует
гильбертово пространство, и для этого пространства установлен аналог теоремы Пэли-Винера.
Показано также, что снабжённый соответствующей нормой класс Wn2(Sθ, An) функций явля-
ется гильбертовым пространством, и установлен аналог теоремы о промежуточных производ-
ных и теоремы о следах.
Условимся в дальнейшем называть функцией (без добавления слова “вектор”) функцию со
значениями в пространстве H, а функцию со значениями в C будем называть скалярной или
числовой функцией.
Пусть R+ := (0, +∞). Обозначим через L2(R+, H) пространство (классов) функций R+ →
→ H, измеримых относительно меры Лебега dt на полуоси R+ и таких, что
∫
)1/2
∥f∥L2(R+,H) =
∥f(t)∥2 dt
< +∞.
0
Пусть A - самосопряжённый положительный оператор (т.е. A∗ = A ≥ κI, κ = const > 0),
действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный.
Превратим область определения Dom (Aβ) оператора Aβ, β > 0, в гильбертово прост-
ранство Hβ, введя норму ∥ · ∥β = ∥Aβ ·∥, эквивалентную норме графика оператора Aβ.
Через Wn2(R+, An) обозначим пространство Соболева функций R+ → H, снабжённое
нормой
∫
)1/2
∥u∥W n(R+,An) ≡
(∥u(n)(t)∥2 + ∥Anu(t)∥2) dt
2
0
Подробнее о пространствах Wn2(R+, An) см. монографию [3, гл. 1]. Для n = 0 полагаем
W02(R+,A0) ≡ L2(R+,H). Будем также полагать в дальнейшем, что ℜ2(S0,H) = L2(R+,H),
Wn2(S0,An) = Wn2(R+,An).
Укажем основные свойства пространства ℜ2(Sθ, H).
Предложение 1. У функции f(τ) ∈ ℜ2(Sθ, H) существуют граничные значения f(te±θ) ∈
∈ L2(R+,H) такие, что
lim
∥f(teiϕ) - f(te±iθ)∥L
(1)
2(R+,H) =0.
ϕ→±θ
Предложение 2. Для функции f(τ) ∈ ℜ2(Sθ, H) справедлива интегральная формула
Коши
∫
∫
1
f (ςe-iθ)
1
f (ςeiθ)
f (τ) =
e-iθ dς -
eiθ dς, τ ∈ Sθ.
(2)
2πi
ςe-iθ -τ
2πi
ςeiθ -τ
0
0
Предложение 3. Пусть функции f-θ и f+θ принадлежат пространству L2(R+, H).
Тогда функция f(τ), представимая в виде
∫
∫
1
f-θ(ς)
1
f+θ(ς)
f (τ) =
e-iθ
dς -
eiθ
dς, τ ∈ Sθ,
2πi
ςe-iθ -τ
2πi
ςeiθ -τ
0
0
принадлежит классу ℜ2(Sθ,H).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
225
На основании предложений 1-3 доказывается
Теорема 1. 10. Класс функций ℜ2(Sθ, H) с нормой
∫
}1/2
∥f∥∗2,θ = sup
∥f(teiϕ)∥2 dt
ϕ:|ϕ|<θ
0
является банаховым пространством.
20. Класс функций ℜ2(Sθ,H) со скалярным произведением
+∞
∫
〈f, g〉2,θ =
(f(te-iθ), g(te-iθ )) dt +
(f(teiθ), g(teiθ )) dt
(3)
0
0
является гильбертовым пространством.
30. Если f(τ) - произвольная функция из класса ℜ2(Sθ,H) и ∥f∥2,θ = 〈f(τ),f(τ)〉1/22,θ, то
справедливы оценки
√
∥f∥∗2,θ ≤
2∥f∥2,θ ≤ 2∥f∥∗2,θ.
(4)
Приведём аналог теоремы Пэли-Винера для класса функций ℜ2(Sθ, H).
Теорема 2. Пусть θ ∈ (0, π/2). Справедливы следующие утверждения:
10. Класс функций ℜ2(Sθ+π/2,H) совпадает с множеством функций, допускающих пред-
ставление
+∞
1
F (λ) =
√ e-iϕ
e-λte-iϕ f(te-iϕ)dt,
|arg λ - ϕ| < π/2, ϕ ∈ (-θ, θ),
(5)
2π
0
f (τ) ∈ ℜ2(Sθ, H).
20. В представлении (5) для каждой фиксированной функции F(λ) ∈ ℜ2(Sθ+π/2,H) функ-
ция f(τ) ∈ ℜ2,θ(R+, H) единственна и справедлива формула обращения
∫
1
d
eity - 1
f (teiϕ) =
√
e-iϕ
F (ei(π/2·sgny-ϕ)|y|) dy.
(6)
2π
dt
iy
−∞
30. Если функция F(λ) ∈ ℜ2(Sθ+π/2,H) с помощью функции f(τ) ∈ ℜ2,θ(R+,H) пред-
ставима по формуле (5), то выполняются оценки
√
∥F ∥2,θ+π/2 ≤ 2∥f∥2,θ ≤ 2
2∥F ∥2,θ+π/2.
(7)
Отметим, что при θ = 0 теорема 2 переходит в хорошо известную теорему Пэли-Винера
для пространства L2(R+, H) и пространства Харди в правой полуплоскости ℜ2(Re λ > 0; H).
Соответствующий комментарий по этому поводу в скалярном случае приведён в статье [1].
Перейдём к рассмотрению и изучению аналогов пространств Соболева Wn2(Sθ, An) функ-
ций, голоморфных в угле Sθ.
du
Условимся в дальнейшем обозначать через
(τ) производную функции u(τ) в смысле
dτ
комплексного анализа. Поскольку
dk
∂k
u(τ) = e-ikϕ
u(teiϕ),
|eikϕ| = 1, k ∈ N,
dτk
∂tk
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
226
ВЛАСОВ, РАУТИАН
то класс функций Wn2(Sθ, An) совпадает с классом функций, голоморфных в угле Sθ и таких,
что конечна величина
∫
(
)
}1/2
dn
2
∥u∥W n
(teiϕ)
+ ∥Anu(teiϕ)∥2 dt
2
(Sθ,An) ≡ sup
ϕ:|ϕ|<θ
dτn u
0
В следующей лемме установлен аналог хорошо известной теоремы о промежуточных произ-
водных (см. [3, с. 29]).
Лемма. Пусть функция u(τ) принадлежит классу Wn2(Sθ, An). Тогда функции An-j ×
j
d
×
u(τ), j = 0, n, принадлежат классу ℜ2(Sθ, H) и справедливы неравенства
dτj
∥An-j u(j)∥ℜ
2(Sθ ,H) ≤Kj∥u∥W n2(Sθ,An)
с положительными постоянными Kj, j = 0,n.
Предложение 4. У функции u(τ)∈Wn2(Sθ, An) существуют граничные значения u±θ(t)=
= u(te±iθ) из класса Wn2 (R+, An) такие, что
∫
(
)
dn
dn
2
lim
(teiϕ) -
u(te±iθ)
+ ∥An(u(teiϕ) - u(te±iθ))∥2 dt = 0.
ϕ→±θ
dτn u
dτn
0
Теорема 3. 10. Класс функций Wn2(Sθ, An) с нормой
∫
(
)
}1/2
dn
2
∥u∥∗W n
= sup
(teiϕ)
+ ∥Anu(teiϕ)∥2 dt
(Sθ,An)
2
dτn u
ϕ:|ϕ|<θ
0
является банаховым пространством.
20. Класс функций Wn2(Sθ,An) со скалярным произведением
∫
{(
)
dn
dn
〈u, v〉W n
(Sθ,An) =
u(te-iθ),
v(te-iθ)
+ (Anu(te-iθ), Anv(te-iθ)) +
2
dτn
dτn
0
(
)
}
n
d
dn
+
u(teiθ),
v(teiθ)
+ (Anu(teiθ), Anv(teiθ)) dt
dτn
dτn
является гильбертовым пространством.
30. Для произвольной функции u(τ) ∈ Wn2(Sθ,An) справедливы неравенства
√
∥u∥∗W n
≤
2∥u∥W n
,
(Sθ ,An)
(Sθ ,An) ≤ 2∥u∥W n
(Sθ,An)
2
2
2
где ∥u∥W n(Sθ,An) = 〈u, u〉1/2Wn
2
2
(Sθ ,An)
Приведём вариант теоремы о следах для пространства Wn2(Sθ, An).
Теорема 4. Для функции u(τ) ∈ Wn2(Sθ, An) существуют пределы
p
d
lim
An-p-1/2
u(τ), p = 0, n - 1,
τ ∈Sθ,
dτp
|τ|→0
в смысле нормы пространства H равномерно относительно arg τ,
|arg τ| < θ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
227
Отметим, что теоремы 3 и 4, а также предложение 4 приведены в статье [4]; полные подроб-
ные доказательства сформулированных утверждений о пространствах ℜ2(Sθ, H) и Wn2(Sθ, An)
приведены в депонированной работе [5].
2. Доказательства некоторых сформулированных утверждений о свойствах
функциональных пространств ℜ2(Sθ, H) и Wn2(Sθ, An).
Доказательство предложения 1. Пусть {ej }∞j=1 - ортонормированный базис сепара-
бельного гильбертова пространства H. Для функции f(τ) ∈ ℜ2,θ(R+, H) положим fj(τ) =
= (f(τ), ej ), j ∈ N, τ ∈ Sθ. Тогда справедливы представление
∑
f (τ) =
fj(τ)ej
(8)
j=1
и следующая цепочка равенств:
∫
∫
∑
∑
∥f(teiϕ)∥2L
=
∥f(teiϕ)∥2 dt =
|fj(teiϕ)|2 dt =
∥fj(teiϕ)∥2L
2(R+
,H)
2(R+)
j=1
0
j=1 0
Согласно лемме А [1, с. 871] числовая функция fj(τ), j ∈ N, имеет граничные значе-
ния fj(te±iθ) ∈ L2(R+), т.е. существуют такие функции fj(te±iθ), для которых справедливо
соотношение
∫
lim
|fj (teiϕ) - fj(te±iθ)|2 dt = 0.
(9)
ϕ→±θ
0
∑∞
Положим f(te±iθ) =
fj(te±iθ)ej и покажем, что f(te±iθ) ∈ L2(R+,H), т.е. что
j=1
∑
∥fj (te±iθ)∥2L
< +∞.
(10)
2(R+)
j=1
Доказательство проведём для +θ; рассуждения для -θ совершенно аналогичны. Обозначим
через M величину
∑
M := sup
∥f(teiϕ)∥2L
= sup
∥fj(teiϕ)∥2L
2(R+,H)
2(R+)
|ϕ|<θ
|ϕ|<θ j=1
Предположим противное. Тогда найдётся такое N ∈ N, что
∑
∥fj(teiθ)∥2L
> 4M.
(11)
2(R+)
j=1
В силу соотношения (9) для любого ε > 0 можно указать такое ϕ0 < θ, что при всех ϕ,
удовлетворяющих неравенствам ϕ0 < ϕ < θ, выполняются оценки
∑
∑
∑
∥fj(teiθ)∥2L
<2
∥fj (teiϕ)∥2L
+ ε ≤ 2sup
∥fj (teiϕ)∥2L
≤ 2M + ε.
2(R+
)
2(R+)
2(R+)
j=1
j=1
|ϕ|<θ j=1
Но тогда получаем противоречие с неравенством (11).
Таким образом, неравенство (10) установлено. Согласно лемме 1.1 [1, с. 873] для числовых
функций fj(τ) справедливо неравенство
sup
∥fj (teiϕ)∥2L
≤ 2(∥fj (te-iθ)∥2L
+ ∥fj(teiθ)∥2L
),
2(R+)
2(R+)
2(R+)
ϕ:|ϕ|<θ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
6∗
228
ВЛАСОВ, РАУТИАН
откуда вытекает, что
∑
∑
sup
∥fj(teiϕ)∥2L
≤2
(∥fj (te-iθ)∥2L
+ ∥fj(teiθ)∥2L
).
(12)
2(R+
)
2(R+)
2(R+)
j=1ϕ:|ϕ|<θ
j=1
Установим теперь справедливость соотношения (1). Рассмотрим случай ϕ → +θ; случай
ϕ → -θ рассматривается аналогично.
Зафиксируем ε > 0. По ε выберем такое N ∈ N, чтобы выполнялись неравенства
∑
∑
ε
ε
sup
∥fj (teiϕ)∥2L
<
и
∥fj(teiθ)∥2L
<
(13)
2(R+
)
2(R+)
8
8
j=N+1ϕ:|ϕ|<θ
j=N+1
В силу (10), (12) такой выбор N возможен. По N выберем такое δ > 0, чтобы при любом ϕ,
для которого θ - ϕ < δ, выполнялись неравенства
ε
∥fj (teiϕ) - fj(teiθ)∥2L
<
,
j = 1,N.
(14)
2(R+)
2N
Существование такого δ вытекает из соотношения (9). Тогда будем иметь
∑
ε
∥fj(teiϕ) - fj(teiθ)∥2L
<
,
θ - ϕ < δ.
(15)
2(R+)
2
j=1
Наконец, из неравенств (13), (15) следует, что
∑
∥f(teiϕ) - f(teiθ)∥2L
≤
∥fj (teiϕ) - fj(teiθ)∥2L
+
2(R+,H)
2(R+)
j=1
∑
∑
+2
sup
∥fj(teiϕ)∥2L
+2
∥fj(teiθ)∥2L
< ε.
2(R+
)
2(R+)
j=N+1ϕ:|ϕ|<θ
j=N+1
Таким образом, соотношение (1) установлено. Предложение 1 доказано.
Доказательство предложения 2. Сходимость интегралов в правой части формул (2)
при τ ∈ Sθ вытекает из оценок
∫
∫
f (ςe±iθ)
∥f(ςe±iθ)∥
e±iθ dς
dς ≤
≤
ςe±iθ -τ
|ςe±iθ - τ|
0
0
∫
∫
)1/2
≤
∥f(ςe±iθ)∥2 dς
|ςe±iθ - τ|-2 dς
< ∞.
0
0
Чтобы убедиться в справедливости равенства
∞
∞
∫
∫
1
f (ςe-iθ)
1
f (ςeiθ)
f (τ) =
e-iθ dς -
eiθ dς,
2πi
ςe-iθ -τ
2πi
ςeiθ -τ
0
0
достаточно проверить его покоординатно:
∞
∞
∫
∫
1
(f(ςe-iθ), ej )
1
(f(ςeiθ), ej )
(f(τ), ej ) =
e-iθ dς -
eiθ dς.
2πi
ςe-iθ -τ
2πi
ςeiθ -τ
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
229
Для числовых функций (f(τ), ej ) справедлива интегральная формула Коши [2, теорема 7.5,
с. 414], откуда и вытекает интегральная формула Коши для f(τ) ∈ ℜ2,θ(R+, H).
Доказательство предложения 3. Для числовых функций известен следующий аналог
теоремы М. Рисса об интегралах типа Коши [6, с. 471, теорема 2.2].
Теорема. Пусть функции h-θ(ς) и h+θ(ς) принадлежат пространству L2(R+). Тогда
для функции h(τ), представимой в виде
∞
∞
∫
∫
1
h-θ (ς)
1
h+θ(ς)
h(τ) =
e-iθ dς -
eiθ dς,
2πi
ςe-iθ -τ
2πi
ςeiθ -τ
0
0
справедливо неравенство
∫
∞
{∫∞
∫
∞
}
sup
|h(teiϕ)|2 dt ≤ const
|h-θ(ς)|2 dς +
|h+θ(ς)|2 dς
,
ϕ:|ϕ|<θ
0
0
0
где постоянная const не зависит от функций h-θ(ς), h+θ(ς). Кроме того, функция h(τ)
голоморфна в секторе Sθ.
Используя разложение функции f(τ) по ортонормированному базису {ej }∞j=1 :
∑
f (τ) =
(f(τ), ej )ej ,
j=1
а также то, что
∞
∫
∑
∥f(teiϕ)∥2L
=
∥f(teiϕ)∥2 dt =
∥(f(teiϕ), ej )∥2L
,
2(R+
,H)
2(R+)
j=1
0
получаем векторный аналог приведённого утверждения. В самом деле, для любого ϕ ∈ (-θ, θ)
имеет место следующая цепочка неравенств:
∑
∥f(teiϕ)∥2L
=
∥(f(teiϕ), ej )∥2L
≤
2(R+,H)
2(R+)
j=1
∑
≤C
(∥(f-θ(t), ej )∥2L
+ ∥(f+θ(t), ej )∥2L
) = C(∥f-θ(t)∥2L
+ ∥f+θ(t)∥2L
),
2(R+)
2(R+)
2(R+,H)
2(R+,H)
j=1
где C - некоторая постоянная, откуда вытекает, что
∞
∫
sup
∥f(teiϕ)∥2L
≤C
(∥f-θ(t)∥2 + ∥f+θ(t)∥2) dt.
2(R+,H)
ϕ:|ϕ|<θ
0
Голоморфность функции f(τ) при τ ∈ Sθ очевидным образом следует из свойств интегралов
типа Коши.
Доказательство теоремы 1. Вначале докажем п. 30. Установим оценки (4). Оценка
√
∥f∥∗2,θ ≤
2∥f∥2,θ вытекает из более сильного неравенства (12).
Докажем правую оценку в (4). Для этого воспользуемся соотношением (1) из предложе-
ния 1, согласно которому для любого ε > 0 можно указать такое δ > 0, что при всех ϕ,
для которых θ - ϕ < δ, выполняется неравенство ∥f(teiϕ) - f(teiθ)∥L2(R+,H) < ε. Отсюда из
неравенства
|∥f(teiϕ)∥L
- ∥f(teiθ)∥L
| ≤ ∥f(teiϕ) - f(teiθ)∥L
2(R+,H)
2(R+,H)
2(R+,H)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
230
ВЛАСОВ, РАУТИАН
следует, в частности, что ∥f(teiθ)∥L2(R+,H) ≤ ∥f(teiϕ)∥ + ε и тем более
∥f(teiθ)∥L
∥f(teiϕ)∥L
2(R+,H) ≤sup
2(R+,H) +ε.
ϕ:|ϕ|<θ
Отсюда в силу произвольности ε вытекает, что
∥f(teiθ)∥L
∥f(teiϕ)∥L
2(R+,H) ≤sup
2(R+,H) =∥f(τ)∥2,θ.
ϕ:|ϕ|<θ
Дословно повторяя проведённые рассуждения для -θ, получаем
∥f(te-iθ)∥L
2(R+,H) ≤∥f(τ)∥2,θ.
√
Из последних двух неравенств и следует, что ∥f(τ)∥2,θ ≤
2∥f(τ)∥∗2,θ.
10. В доказательстве нуждается лишь утверждение о полноте, так как проверка того, что
числовая функция ∥ · ∥∗2,θ обладает свойствами нормы, вытекает из соответствующих свойств
нормы ∥ · ∥L2(R+,H).
Итак, пусть имеется фундаментальная по норме ∥ · ∥∗2,θ последовательность {fk(τ)}∞k=1
функций, т.е. ∥fk(τ) - fl(τ)∥∗2,θ → 0 при k, l → ∞. Покажем, что существует функция f(τ) ∈
∈ ℜ2,θ(R+,H) такая, что ∥fk(τ) - f(τ)∥∗2,θ → 0 при k → ∞.
Согласно предложению 1 каждая из функций fk(τ) имеет граничные значения fk(te±iθ) ∈
∈ L2(R+,H), а значит, в соответствии с неравенством (4) из сходимости последовательности
функций {fk(τ)}∞k=1 по норме ∥·∥∗2,θ вытекает сходимость последовательностей {fk(te±iθ)}∞k=1
по норме пространства L2(R+, H). Но так как пространство L2(R+, H) является полным, то
существуют функции f±θ(t) ∈ L2(R+, H) такие, что
lim
∥fk(te±iθ) - f±θ(t)∥L
2(R+,H) =0.
k→∞
По функциям f±θ(t) образуем интеграл типа Коши
∞
∞
∫
∫
1
f-θ(t)
1
fθ(t)
f (τ) =
e-iθ
dt -
eiθ
dt.
2πi
te-iθ - τ
2πi
teiθ - τ
0
0
Тогда в соответствии с предложением 3 функция f(τ) принадлежит классу ℜ2(Sθ, H), поэто-
му последовательность {fk(τ)}∞k=1 сходится к функции f(τ) по норме ∥ · ∥∗2,θ.
20. Полнота пространства ℜ2(Sθ,H) с нормой ∥ · ∥2,θ, порождаемой скалярным произве-
дением (3), вытекает из неравенства (4) и утверждения п. 10. Проверка остальных аксиом
гильбертова пространства со скалярным произведением (4) проводится непосредственно. Тео-
рема 1 доказана.
Доказательство теоремы 2. 10. Пусть F (λ) ∈ ℜ2(Sθ, H). Положим Fj (λ) = (F (λ), ej ).
Тогда Fj (λ) ∈ ℜ2(Sθ+π/2) и, согласно [1, теорема 1], существует скалярная функция fj(τ) ∈
∈ ℜ2(Sθ) такая, что
∞
∫
1
Fj (λ) =
√ e-iϕ
e-λte-iϕ fj(te-iϕ)dt.
2π
o
Причём функция fj (τ) определяется единственным образом по функции Fj (λ) и, согласно
теореме Пэли-Винера (см. [1]), имеют место неравенства
√
|Fj (λ)|2,θ+π/2 ≤ 2|fj (τ)|2,θ ≤ 2
2|Fj (λ)|2,θ+π/2.
(16)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
231
Здесь и в дальнейшем приняты обозначения
+∞
∫
|f|22,κ :=
|f(te-iκ)|2 dt +
|f(te+iκ)|2 dt,
0
0
∫
)1/2
|f|∗2,κ := sup
|f(teiϕ)|2 dt
,
0≤κ<π.
ϕ:|ϕ|<κ
0
По набору скалярных функций {fj (τ)}∞j=1 определим функцию f(τ) равенством (8). По-
кажем, что f(τ) ∈ ℜ2(Sθ, H). Так как для числовых функций fj (τ) справедлива оценка
∫
1
|fj(τ)|22,θ ≤ sup
|fj(teiϕ)|2 dt ≤ 2|fj (τ)|22,θ,
(17)
2
ϕ:|ϕ|<θ
0
то в силу оценок (16), (17) получаем следующую цепочку неравенств:
∫
∑
∑
∑
∥F (λ)∥22,θ+π/2 =
|Fj (λ)|22,θ+π/2 ≥
|fj(τ)|22,θ ≥
sup
|fj(teiϕ)|2 dt ≥
2
4
j=1
j=1
j=1ϕ:|ϕ|<θ
0
∫
2
∫
∑
1
1
≥
sup
|fj(teiϕ)| dt =
sup
∥f(teiϕ)∥2 dt.
4
4
ϕ:|ϕ|<θ
ϕ:|ϕ|<θ
j=1
0
0
Искомое утверждение вытекает теперь из того, что слабая голоморфность в банаховых прост-
ранствах влечёт за собой сильную голоморфность (см. [7, теорема 3.10.1]), и, значит, из голо-
морфности скалярных функций fj(τ) следует голоморфность вектор-функции f(τ).
20. Так как интеграл в правой части формулы (6) существует при всех ϕ таких, что |ϕ| <
< θ, то достаточно установить равенство (6) покоординатно. Но покоординатное равенство
справедливо в силу [1, теорема 1] (см. п. 20).
30. Неравенство (7) вытекает из того, что для числовых функций Fj(λ) и fj(τ), согласно
[1, теорема 1] (см. п. 30), справедливы оценки |Fj (λ)|22,θ+π/2 ≤ 4|fj (τ)|22,θ ≤ 8|Fj (λ)|22,θ+π/2, и,
кроме того, имеют место очевидные равенства
∑
∑
∥F (λ)∥22,θ+π/2 =
|Fj (λ)|22,θ+π/2,
∥f(τ)∥22,θ =
|fj (τ)|22,θ.
j=1
j=1
Теорема 2 доказана.
Ограничения по объёму статьи не позволяют нам привести полные доказательства лем-
мы, предложения 4, теорем 3 и 4. Как уже отмечалось, полные подробные доказательства
указанных утверждений приведены в работе [5]. Ограничимся здесь только указанием схем
доказательства некоторых из указанных утверждений.
Доказательство леммы существенно опирается на теорему о промежуточных производных
для пространства Wn2(R+, A) (см. [3, с. 29]), из которой вытекают неравенства
∫
2
∂j
sup
∥An-j u(j)(teiϕ)∥2L
= sup
∥An-j
u(teiϕ)∥ dt ≤
2(R+,H)
ϕ:|ϕ|<θ
ϕ:|ϕ|<θ
∂tj
0
∫
(
)
∂n
2
≤ K2j sup
(teiϕ)
+ ∥Anu(teiϕ)∥2 dt.
ϕ:|ϕ|<θ
∂tnu
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
232
ВЛАСОВ, РАУТИАН
В свою очередь доказательство предложения 4 опирается на лемму, а также на предложе-
ние применительно к функциям
dju
An-j
(τ) ∈ ℜ2(Sθ, H), j = 0, n.
dτj
Доказательство теоремы 3 проводится аналогично доказательству теоремы 1. Доказатель-
ство теоремы 4 опирается на теорему о следах (см. [3, теорема 3.1]), подробнее см. [5].
3. Начальная задача для интегро-дифференциального уравнения. Постановка
задачи и формулировка основного результата. Рассмотрим для интегро-дифференци-
ального уравнения
τ
∫
du
(τ) + Au(τ) - K(τ - s)Au(s) ds = f(τ), τ ∈ Sθ,
(18)
dτ
0
начальную задачу
u(+0) = ϕ0.
(19)
Здесь, как и выше, A - самосопряжённый положительный оператор, действующий в сепара-
бельном гильбертовом пространстве H, имеющий компактный обратный. Ядро K(τ) принад-
лежит пространству Харди ℜ1(Sθ), правая часть f(τ) - пространству ℜ2(Sθ, H), а вектор
ϕ0 - пространству H1/2.
Напомним, что пространства Харди ℜp(Sθ),
1 ≤ p < ∞, состоят из функций, голоморф-
ных в угловой области Sθ и удовлетворяющих неравенству
∫
}1/p
sup
|f(reiϕ)|p dr
< +∞.
ϕ:|ϕ|<θ
0
Подробнее см., например, [6, с. 463].
Отметим, что в интегро-дифференциальном уравнении (18) в интегральном слагаемом ин-
тегрирование проводится по отрезку, соединяющему начало координат и точку τ ∈ Sθ. Однако
в силу регулярности функций K(τ) и u(τ) интеграл можно брать по любому спрямляемому
кусочно-гладкому контуру, соединяющему эти точки.
Основным результатом второй части работы является теорема 5 о разрешимости задачи
(18), (19) в пространстве W12(Sθ, A). Для упрощения в дальнейшем записи удобно обозначить
c(α, r, θ) := (α2 + r2)-1/2(1 - sin θ)-1/2, где α ∈ R+, r > 0, θ ∈ [0, π/2).
Теорема 5. Пусть в задаче (18), (19) ядро K(τ) принадлежит пространству Харди
ℜ1(Sθ), вектор-функция f(τ) - пространству ℜ2(Sθ,H), а вектор ϕ0 - пространству H1/2
и для преобразования Лапласа
K(λ) ядра K(τ) выполняется неравенство
sup
| K(reiϕ)| sup ac(α,r,θ) < 1,
(20)
ϕ∈(-π-θ,π+θ)
α≥α0
2
2
где a ∈ (α0, +∞), α0 =
inf
(Ax, x). Тогда существует единственное решение
∥x∥=1,x∈Dom (A)
u(τ) ∈ W12(Sθ, A) этой задачи, и это решение удовлетворяет оценке
∥u(τ)∥W 1
≤ d(∥f(τ)∥2ℜ
+ ∥ϕ0∥21/2)1/2
(21)
2
(Sθ ,A)
2(Sθ ,H)
с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f(τ) и вектора ϕ0.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай ϕ0 = 0. Тогда преобразование Лапласа
û(λ) решения u(τ) уравнения (18) имеет вид
û(λ) = L-1(λ
f (λ),
(22)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
233
при этом оператор-функция L(λ), являющаяся символом уравнения (18), представима в виде
L(λ) = λI + A -K(λ)A. Для доказательства этой теоремы достаточно, как следует из теоре-
мы Пэли-Винера, показать, что вектор-функции λû(λ) и Aû(λ) принадлежат пространству
ℜ2(Sθ+π/2,H), а также получить их оценки.
С этой целью покажем, что оператор-функция L-1(λ) в области Gθ+π/2 = {λ ∈ C :
|arg λ| < θ + π/2} является голоморфной и допускает оценки
∥AL-1(λ)∥ < +∞,
∥λL-1(λ)∥ < +∞.
(23)
Запишем оператор-функцию L-1(λ) следующим образом:
L-1(λ) = (λI + A)-1(I -K(λ)A(λI + A)-1)-1,
(24)
где I - тождественный в H оператор. После перехода к полярным координатам λ = r cos ϕ +
+ ir sin ϕ получаем неравенство
a/|λ + a| ≤ a(r2 - 2ar sin θ + a2)-1/2 ≤ ac(a, r, θ), λ ∈ Gθ+π/2, a ∈ (α0, +∞).
Отсюда и из спектральной теоремы (см. [8, с. 446]) вытекает, что справедлива оценка
∥A(λI + A)-1∥ ≤ sup ac(a, r, θ), λ ∈ Gθ+π/2, a ∈ (α0, +∞),
(25)
α≥α0
из которой и неравенств (20) и (25) следует, что ∥K(λ)A(λI + A)-1∥ < 1, λ ∈ Gθ+π/2. Поэто-
му в области Gθ+π/2 существует и аналитична оператор-функция (I -K(λ)A(A + λI)-1)-1,
являющаяся ограниченной в этой области, т.е.
∥(I -K(λ)A(A + λI)-1)-1∥ ≤ const, λ ∈ Gθ+π/2.
(26)
Переходя к полярным координатам λ = r cos ϕ + ir sin ϕ, в силу легко проверяемого неравен-
ства |λ|/|a + λ| ≤ c(a, r, θ), λ ∈ Gθ+π/2, и спектральной теоремы (см. [8, с. 446]) приходим к
неравенству
∥λ(λI + A)-1∥ ≤ sup rc(α, r, θ), λ ∈ Gθ+π/2,
(27)
α≥α0
На основании неравенств (25)-(27) и представления (24) получаем, что справедливы нера-
венства (23). Вследствие того, что умножение функции из пространства Харди на голоморф-
ную и ограниченную оператор-функцию не выводит её из этого пространства, заключаем, что
функции λû(λ) и Aû(λ) принадлежат пространству ℜ2(Sθ+π/2, H). Отсюда и из теоремы 2
du
(Пэли-Винера) вытекает, что функции
(τ) и Au(τ) принадлежат пространству ℜ2(Sθ, H).
dτ
Более того, согласно представлениям (22), (24), неравенствам (23), (25)-(27) справедливы
следующие оценки:
∥λû(λ)∥ℜ2(Sθ+π/2,H) ≤ d1
f (λ)∥ℜ2(Sθ+π/2,H) и
∥Aû(λ)∥ℜ2(Sθ+π/2,H) ≤ d2
f (λ)∥ℜ2(Sθ+π/2,H),
в силу которых и теоремы 2 получаем, что
du
τ)
≤ d3∥f(τ)∥ℜ2(Sθ,H) и
∥Au(τ)∥ℜ2(Sθ ,H) ≤ d4∥f(τ)∥ℜ2(Sθ ,H).
dτ(
ℜ2(Sθ,H)
Откуда и вытекает искомая оценка
∥u(τ)∥W 1
(28)
(Sθ,A)
≤ d0∥f(τ)∥ℜ2(Sθ,H).
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
234
ВЛАСОВ, РАУТИАН
Перейдём к случаю ненулевого вектора ϕ0 в начальном условии (19). Будем искать реше-
ние задачи (18), (19) в виде суммы
u(τ) = exp(-Aτ)ϕ0 + v(τ),
где v(τ) - решение задачи вида (18), (19), для которого v(+0) = 0. Таким образом, для
функции v(τ) получаем следующую задачу:
τ
∫
dv
(τ) + Av(τ) - K(τ - ζ)v(ζ) dζ = f1(τ),
(29)
dτ
0
v(+0) = 0,
(30)
где
∫τ
f1(τ) = f(τ) + K(τ - ζ)Aexp(-ζA)ϕ0 dζ.
0
Для доказательства разрешимости задачи (29), (30) достаточно установить, что функция
∫τ
h(τ) = K(τ - ζ)A exp(-ζA)ϕ0 dζ
0
принадлежит пространству ℜ2(Sθ, H) и найти её оценку. В силу теоремы 2 (Пэли-Винера)
включение h(τ) ∈ ℜ2(Sθ, H) равносильно тому, что преобразование Лапласаĥ(λ) функции
h(τ) принадлежит пространству ℜ2(Sθ+π/2, H). Очевидно, чтоĥ(λ) =K(λ)A(A - λI)-1ϕ0.
Покажем, что функцияĥ(λ) принадлежит пространству ℜ2(Sθ+π/2, H) и установим её
оценку. Разложим функциюĥ(λ) по ортонормированному базису {ej }∞j=1 из собственных
векторов оператора A. Обозначим через aj собственное значение, отвечающее вектору ej ,
т.е. Aej = aj ej (в силу сделанных предположений об операторе A числа aj вещественны и
положительны; без нарушения общности считаем их упорядоченными по неубыванию с учётом
кратности: a1 ≤ . . . ≤ aj ≤ aj+1 ≤ . . .). Имеем
∑
∑
∑
ĥ(λ) =
hj(λ)ej =
K(λ)aj (aj + λ)-1(ϕ0, ej )ej =
K(λ)a1/2j(aj + λ)-1(a1/2jϕ0, ej )ej .
j=1
j=1
j=1
Заметим, что
∑
an
∥ĥ(λ)∥2 =
| K(λ)|2
|(a1/2nϕ0, en)|2.
|an + λ|2
n=1
Справедливо равенство
∞
∞
∫
∫
∑
an
sup
∥ĥ(reiϕ)∥2 dr = sup
| K(reiϕ)|2
|(a1/2nϕ0, en)|2 dr.
(31)
|ϕ|<θ+π/2
|ϕ|<θ+π/2
|an + reiϕ|2
n=1
0
0
Поменяем в правой части равенства (31) порядок интегрирования и суммирования и оценим
следующий интеграл:
∞
∞
∫
∫
a
n
an
| K(reiϕ)|2
dr ≤
| K(reiϕ)|2
dr ≤
a2n + r2 + 2ran
cos ϕ
a2n + r2 - 2anr sin θ
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
235
∫∞
∫
∞
an
1
dr
≤
| K(reiϕ)|2
dr =
|K(reiϕ)|2
(32)
(a2n + r2)(1 - sin θ)
(1 - sin θ)
an.(1 + r2/a2n)
0
0
Сделаем замену переменных ζ = r/an, dζ = dr/an. Тогда последний интеграл в соотношениях
(32) примет вид
∞
∫
1
| K(anζeiϕ)|2 dζ
(1 - sin θ)
(1 + ζ2)
0
Таким образом, получаем оценку
∫
an
π
1
| K(reiϕ)|2
dr ≤
sup
| K(anζeiϕ)|2
=: d1.
a2n + r2 + 2anr cos ϕ
2
ϕ:|ϕ|<θ+π/2
1 - sinθ
0
ζ∈R+
Отсюда вытекает, что выражение в правой части равенства (31) допускает оценку
∫
)
∑
a
n
sup
| K(reiϕ)|2
dr
|(a1/2nϕ0, en)|2 ≤
2
ϕ:|ϕ|<θ+π/2n=1
|an + reiϕ|
0
∑
≤d1
|(a1/2nϕ0, en)|2 = d1∥A1/2ϕ0∥2,
n=1
из которой и равенства (31) следует, что
∫
sup
∥ĥ(reiϕ)∥2 dr ≤ d1∥A1/2ϕ0∥2.
(33)
ϕ:|ϕ|<θ+π/2
0
Объединяя неравенства (28) и (33), приходим к доказываемому неравенству (21) с постоянной
d = d0 max(1,d1). Теорема 5 доказана.
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 5 и ядро K(τ) тождественно нулевое.
Тогда существует единственное решение u(τ) ∈ W12(Sθ, A) задачи (18), (19), и это решение
удовлетворяет неравенству (21).
Замечание. Хорошо известно, что решение начально-краевой задачи для однородного
уравнения теплопроводности при естественных предположениях о начальных данных допус-
кает аналитическое продолжение по временной переменной t в угловую область комплексной
плоскости. С этим тесно связана теория аналитических полугрупп операторов (см., например,
монографии [7-10]).
В утверждении следствия из теоремы 5 установлена не только аналитичность решения
абстрактного параболического уравнения, но и получена оценка (21) в гильбертовых прост-
ранствах W12(Sθ, A), ℜ2(Sθ, H), что является более глубоким результатом, чем результат об
аналитичности (голоморфности) решения.
Из теоремы 5 также вытекает соответствующее утверждение при θ = 0, т.е. для случая,
когда задача (18), (19) рассматривается на полуоси R+, а не в угловой области Sθ. При этом
пространство ℜ2(Sθ, H) переходит в пространство L2(R+, H), а пространство W12(Sθ, A) - в
пространство Соболева W12(R+, A).
Таким образом, задача принимает следующий вид:
t
∫
du
(t) + Au(t) - K(t - s)Au(s) ds = f(t), t ∈ R+,
(34)
dt
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
236
ВЛАСОВ, РАУТИАН
u(+0) = ϕ0.
(35)
Теорема 6. Пусть в задаче (34), (35) ядро K(t) принадлежит пространству L1(R+),
вектор-функция f(t) - пространству L2(R+, H), а вектор ϕ0 - пространству H1/2 и для
преобразования Лапласа
K(λ) ядра K(τ) выполняется неравенство
| K(re±iπ/2)| sup a(a2 + r2)-1/2 < 1,
α≥α0
где a ∈ (α0, +∞), α0 =
inf
(Ax, x), r > 0. Тогда эта задача имеет единственное
∥x∥=1
x∈Dom (A)
решение u(t) ∈ W12(R+,A) и это решение удовлетворяет оценке
∥u∥W 1
≤ d(∥f∥2L
+ ∥ϕ0∥21/2)1/2
2
(R+,A)
2(R+,H)
с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f(t) и вектора ϕ0.
Отметим, что теорема 6 тесно связана с теоремой 2.1 из работы [11], а также теоремой 3.2.3
из монографии [12]. В указанных теоремах установлена корректная разрешимость начальной
задачи для интегро-дифференциального уравнения, близкого к уравнению (34), в весовых
пространствах Соболева W12,γ(R+, A), снабжённых нормой
∫
)1/2
∥u∥W 1
≡
e-2γt(∥u(1)(t)∥2 + ∥Au(t)∥2)dt
2,γ
(R+,A)
0
Таким образом, теорема 6 относится к случаю γ = 0. При этом в упомянутых теоремах из
[11, 12] ядро интегрального оператора K(t) допускает представление
+∞
e-ts
K(t) =
dμ(s),
(36)
s
0
где dμ - положительная мера, которой соответствует возрастающая, непрерывная справа
функция распределения μ, а его преобразование Лапласа имеет вид
+∞
dμ(s)
K(λ) =
(37)
s(s + λ)
0
Из представления (37) вытекает, что при некоторых предположениях относительно меры dμ(s)
функция
K(λ) допускает аналитическое продолжение из правой полуплоскости в угловую
область {λ : |arg λ| < θ + π/2},
0 < θ < π/2. Вопрос о том, когда функция
K(λ), заданная
равенством (37), удовлетворяет неравенству (20), будет рассмотрен в другой работе авторов.
Отметим также, что весьма популярные в механике и, в частности, в теории вязкоупругости,
ядра Работного допускают интегральное представление (36) с помощью интегралов Стилтьеса
(подробнее см. [13, 14]).
Утверждения п. 2 работы, а также теоремы 1 и 2 получены при финансовой поддержке
Междисциплинарной научно-образовательной школы Московского университета “Математи-
ческие методы анализа сложных систем”, теоремы 5 и 6 - при финансовой поддержке Россий-
ского фонда фундаментальных исследований (проект 20-01-00288A).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Джрбашян М.М., Мартиросян В.М. Теоремы Винера-Пэли и Мюнца-Саса // Изв. АН СССР. 1977.
Сер. Мат. Т. 41. № 4. С. 868-894.
2. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области.
М., 1966.
3. Лионс Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М., 1971.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
237
4. Власов В.В. Кратная минимальность части системы корневых векторов пучка М.В. Келдыша
// Докл. АН СССР. 1982. Т. 263. № 6. С. 1289-1293.
5. Власов В.В. О некоторых пространствах вектор-функций, голоморфных в угле // Деп. в ВИНИТИ
20.08.1981 г. № 4177-81..
6. Григорян Ш.А. О базисности неполных систем рациональных функций в угловых областях // Изв.
АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. 13. № 5-6. С. 461-489.
7. Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М., 1962.
8. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.
9. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М., 1967.
10. Engel K.J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York, 2000.
11. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Исследование операторных моделей, возникающих в
задачах наследственной механики // Совр. математика. Фунд. направления. 2012. Т. 45. С. 43-61.
12. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.
М., 2016.
13. Власов В.В., Раутиан Н.А. О вольтерровых интегро-дифференциальных уравнениях с ядрами,
представимыми интегралами Стилтьеса // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 4. С. 536-551.
14. Власов В.В., Раутиан Н.А. Полугруппы операторов, порождаемые интегро-дифференциальными
уравнениями с ядрами, представимыми интегралами Стилтьеса // Совр. математика. Фунд. на-
правления. 2021. Т. 67. № 4. С. 507-525.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 13.01.2022 г.
им. М.В. Ломоносова,
После доработки 13.01.2022 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 07.02.2022 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
