ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.238-251

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.72+517.984.5

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

ГУРТИНА-ПИПКИНА С ЯДРАМИ РЕЛАКСАЦИИ,

ПРЕДСТАВИМЫМИ В ВИДЕ ИНТЕГРАЛА СТИЛТЬЕСА

Для интегро-дифференциального уравнения Гуртина-Пипкина, ядро релаксации которого

представимо в виде интеграла Стилтьеса по положительной полуоси от убывающей экс-

поненты, описано представление асимптотики невещественного спектра в зависимости от

асимптотических характеристик меры Стилтьеса и поведения самого ядра релаксации в

нуле. Продемонстрировано применение полученных результатов к наиболее широко при-

меняемым на практике ядрам.

DOI: 10.31857/S0374064122020091

1. Введение. В работе исследуется уравнение Гуртина-Пипкина с ядром релаксации,

представимым в виде интеграла Стилтьеса

+∞

R(t) = e^-tx dσ(x), t ∈ R⁺ ≡ [0, +∞).

(1)

Здесь ядро релаксации - эмпирический функциональный параметр из линейной теории вязко-

упругости, используемый для описания релаксации напряжений при деформации тела. Урав-

нение Гуртина-Пипкина является абстрактным гиперболическим уравнением в сепарабель-

ном гильбертовом пространстве H, возмущённым слагаемым, содержащим вольтерровы ин-

тегральные операторы:

∫^t

u^′′(t) + A²u(t) - R(t - τ)A²u(τ)dτ = f(t),

(2)

где A - неограниченный самосопряжённый положительный оператор в H, имеющий компакт-

ный обратный, а u(t) и f(t) - векторные функции R⁺ → H. Данное уравнение используется

при изучении явлений, возникающих в теории вязкоупругости, в частности, при изучении

движения вязкоупругой пластины при отсутствии внешнего потока жидкости или газа (см.,

например, [1]), а также при описании распространения тепла в средах с памятью и в задачах

усреднения в многофазных средах (см. [2, 3]). Все известные в настоящее время модели, в

которых применяется уравнение Гуртина-Пипкина, таковы, что ядра релаксации этих инте-

гро-дифференциальных уравнений экспоненциально убывают на бесконечности и бесконечно

возрастают при стремлении переменной ядра к нулю. Для ядра (1) эти свойства можно обес-

печить, если использовать меру σ, которая не будет конечной.

Задаче Коши для уравнения (2) посвящено большое количество работ как отечествен-

ных, так и зарубежных авторов. Отметим здесь работы В.В. Власова и Н.А. Раутиан [4; 5,

§ 3.2], в них при некоторых предположениях установлена корректная разрешимость уравнения

Гуртина-Пипкина в весовых пространствах Соболева, проведён спектральный анализ символа

уравнения (2), получена асимптотика невещественных точек спектра для ядер, представимых

в виде ряда из экспонент, и локализация вещественных кластеров, на основе чего получено

238

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

239

представление решения в виде ряда из экспонент. Кроме того, получены результаты о коррект-

ной разрешимости данной задачи. Естественное продолжение этих исследований проведено в

работе [6], в которой исследуется классическое уравнение Гуртина-Пипкина с дробно-экспо-

ненциальными ядрами релаксации.

В работах [7] и [8] рассматривались задачи управления решениями уравнения Гуртина-

Пипкина посредством граничных воздействий. В [9] устанавливается зависимость скорости

убывания энергии от скорости убывания ядра в модели теплопроводности Гуртина-Пипкина.

Подход к решению задачи Коши для уравнения (2) с позиции теории полугрупп разрабо-

тан в монографии [10] и работах [11, 12], в которых для широкого класса ядер R(t) устанав-

ливается вид генератора полугруппы и доказывается, что полугруппа является сжимающей

и экспоненциально устойчивой. Полугрупповой подход к более общим задачам, в которых

интегральное ядро имеет компактный носитель, развивался в работах Н.Д. Копачевского и

Д.А. Закоры [13, 14]. В этих работах установлена экспоненциальная устойчивость соответ-

ствующих сжимающих полугрупп. Полугрупповой подход для исследования уравнений типа

Гуртина-Пипкина с двумя некоммутирующими операторами используется в статье [15]. В

ней описывается построение принципиально новой полугруппы, связанной с такими уравне-

ниями, использующейся для доказательства экспоненциальной устойчивости решений этих

уравнений, их классической разрешимости, а также для построения энергетического равен-

ства. Кроме того, в работе [16] даётся описание полугрупп, возникающих при исследовании

уравнений типа Гуртина-Пипкина с трением Кельвина-Фойгхта. Отметим также работу [17],

в которой исследуется обобщённая разрешимость уравнений типа Гуртина-Пипкина с двумя

некоммутирующими операторами.

В работе [18] доказано, что спектр символа интегро-дифференциального уравнения типа

Гуртина-Пипкина с ненулевым слагаемым трения Кельвина-Фойгхта содержит лишь конеч-

ное число невещественных точек в спектре. В статье [19] исследуется вопрос о наличии и лока-

лизации бесконечного невещественного спектра символа этого уравнения в случае ядра, пред-

ставимого бесконечной суммой экспонент, а в [20, 21] - вопросы асимптотической устойчивости

решений и асимптотики спектра для модификации уравнения (2) с относительно компактным

возмущением, описывающей колебание вязкоупругой пластины в сверхзвуковом потоке жид-

кости или газа.

Основная цель настоящей работы - найти асимптотику невещественного спектра символа

интегро-дифференциального уравнения (2). Эта асимптотика может быть использована при

исследовании высокочастотных колебаний, при определении скорости распространения волн,

а также при составлении базиса Рисса в рассматриваемых задачах.

Исследование спектра символа уравнения Гуртина-Пипкина ведётся достаточно давно для

различных видов ядер релаксации. Здесь прежде всего необходимо отметить результаты ра-

бот [18, 5, 6].

Результаты, посвящённые спектру символа L(z) = z²I + (1 - K(z))A² уравнения (2), пред-

ставлены в работе [18], в частности, при σ(t) = Mt^α + O(t^ρ),

0 < ρ < α < 1, в случае

совпадения спектра оператора A с множеством N натуральных чисел доказано

Предложение 1. Для достаточно больших n невещественный спектр σ_Im+ (L(z)) со-

держит точку z_n такую, что

z_n = in

C₁Mn^α(1 + o(1)) при n → +∞,

где

{

παeiπ(α-1)/2/ sin(πα), если α > 0,

C₁ =

(3)

-i,

если α > 0.

Теорема и следствие 1 настоящей работы обобщают результаты, представленные в [18], и

могут быть применены к другим описанным в [18] операторным функциям.

В монографии [5, гл. 3] исследован невещественный спектр символа L(z) уравнения (2)

∑_∞

при R(t) =

c_je-γjt в случае степенной зависимости величин c_j и γ_j от j. Следствие 5

j=1

дополняет этот результат из [5] и, в частности, исчерпывает случай степенного стремления c_j

к +∞ при j → +∞.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

240

ДАВЫДОВ

Отметим, что в работе [6] также обобщаются результаты монографии [5, гл. 3], но на урав-

нение (2) с дробно-экспоненциальным ядром

∑

(-β_j )ⁿt^nα

R(t) =

c_j

Γ((n + 1)α)

j=1

n=0

где Γ - гамма-функция Эйлера.

2. Постановка задачи. Обозначим через F[0, +∞) класс неотрицательных непрерывных

∫+∞

слева функций σ(t) на [0, +∞) таких, что интеграл Стилтьеса

t-1 dσ(t) существует и

конечен и σ(0) = 0.

Рассмотрим задачу Коши для интегро-дифференциального уравнения (2):

u^′′(t) + A²u(t) - R(t) ∗ A²u(t) = f(t),

(4)

u(0) = ϕ₀,

(5)

u^′(0) = ϕ₁.

(6)

Здесь u и f - векторные функции из R⁺ в сепарабельное гильбертово пространство H;

∗ - операция свёртки; A - неограниченный самосопряжённый положительный оператор в H,

имеющий компактный обратный; функция R(t) определяется равенством (1). Корректная

разрешимость данного уравнения обоснована, например, в монографиях [10] (в классическом

смысле) и [5] (в пространствах Соболева).

Как следует из теоремы Гильберта-Шмидта, в пространстве H имеется ортонормирован-

ный базис из собственных векторов e_n, n ∈ N, оператора A; собственные значения, отвеча-

ющие вектору e_n, обозначим через a_n, n ∈ N (a_n > 0), т.е Ae_n = a_ne_n.

Применение преобразования Лапласа к левой части уравнения (4) приводит к оператор-

функции

L(z) = z²I + (1 - K(z))A²,

которая называется символом исходного уравнения. Здесь K(z) - преобразование Лапласа

функции R(t) из (1), т.е.

∫∞

dσ(t)

K(z) =

z+t

Определение. Резольвентным множеством R(L) оператор-функции L(z) называется

множество всех значений z ∈ C, для которых оператор-функция L-1(z) существует и огра-

ничена. Дополнение σ(L) множества R(L) в комплексной плоскости, т.е. σ(L) = C \ R(L),

называется спектром оператор-функции L(z).

Необходимо найти асимптотику спектра σ(L) символа уравнения (4).

Рассмотрим проекции на одномерное собственное подпространство span e_n вектора L(z)e_n,

т.е. функцию

l_n(z) ≡ (L(z)e_n,e_n) = z² + (1 - K(z))a2n, z ∈ C.

(7)

Тогда спектр σ(L) оператор-функции L(z) представляет собой замыкание множества нулей

функций l_n(z), т.е.

⋃

σ(L) =

{z ∈ C : l_n(z) = 0}.

n∈N

Нас будет интересовать невещественный спектр уравнения (4):

⋃

σ_Im(L) =

{z ∈ C : Im z = 0, l_n(z) = 0} =

n∈N

⋃

⋃⋃

{z ∈ C : Im z > 0, l_n(z) = 0}

{z ∈ C : Im z < 0, l_n(z) = 0}.

n∈N

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

241

Заметим также, что из вещественности коэффициентов в (7) вытекает, что спектр σ(L) сим-

метричен относительно вещественной оси. Поэтому для нахождения невещественного спектра

достаточно найти только спектр в верхней полуплоскости:

⋃

σ_Im+ (L) =

{z ∈ C : Im z > 0, l_n(z) = 0}.

n∈N

3. Основные результаты.

Предложение 2.Функция l_n(z), определённая равенством (7), при любом n ∈ N имеет

в верхней полуплоскости {Im z > 0} только один нуль μ+n.

Доказательство сформулированного предложения приведено в работе [18].

Введём обозначение

σ(xv)

σ(x, v) =

(8)

σ(v)

Теорема. Пусть σ(t) ∈ F[0, +∞) и выполняется условие асимптотической равномерной

масштабируемости: существует r(x) ∈ F[0, +∞) такая, что

lim

σ(x, v) = r(x) для любого x > 0.

(9)

v→+∞

Пусть, кроме того, существуют v₀ > 0 и σ₁(x) ∈ F[0, +∞), при которых выполняется

неравенство

sup σ(x,v) < σ₁(x) для любого x > 0.

(10)

v≥v₀

Тогда имеет место асимптотическое представление

C₁

μ+n = ia_n +

σ(a_n)(1 + o(1)) при n → +∞,

∫+∞

где C₁ =

(i + q)-1 dr(q).

Следствие 1. Пусть σ(t) ∈ F[0, +∞) и

σ(x) = Mx^α(ln x)^β(1 + o(1)) при x → +∞,

(11)

где M > 0, а β ∈ R, если 0 < α < 1, и β ≥ 0, если α = 0.

Тогда

C₁

μ+n = ia_n +

M (a_n)^α(ln a_n)^β(1 + o(1)) при n → +∞,

где величина

C₁ определена равенством (3).

Следствие 2. Пусть σ(t) - неубывающая неотрицательная непрерывная слева функция

∫+∞

на R⁺ такая, что интеграл Стилтьеса

dσ(t) конечен. Тогда

σ(+∞)

μ+n = ia_n -

(1 + o(1)) при n → +∞,

где σ(+∞) = lim σ(x).

x→+∞

Следствия 1 и 2 можно также сформулировать в терминах ядра релаксации R(t).

Следствие 3. Пусть σ(t) - неубывающая неотрицательная непрерывная слева функция

∫+∞

на R⁺ такая, что интеграл Стилтьеса

t-1 dσ(t) конечен и

σ(x) = Mx^α(ln x)^β(1 + o(1)) при x → +∞,

где M > 0, а β ∈ R, если 0 < α < 1, и β ≥ 0, если α = 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

242

ДАВЫДОВ

Тогда

C₁

μ+n = ia_n +

R(1/a_n)(1 + o(1)) при n → +∞,

2iΓ(α + 1)

где Γ(t) - гамма-функция Эйлера, а величина

C₁ определена равенством (3).

Следствие 4. Пусть σ(t) - неубывающая неотрицательная непрерывная слева функция

∫+∞

на [0,+∞) такая, что интеграл Стилтьеса

dσ(t) конечен. Тогда

R(0)

μ+n = ia_n -

(1 + o(1)) при n → +∞.

∑+∞

∫+∞

Если K(z) =

(γ_j +z)-1c_j =

(z+t)-1 dσ(t), то функция σ(t) - кусочно-постоянная,

j=1

имеющая скачки в точках γ_j , равные c_j . Найдём асимптотическое представление функции

∑+∞

σ(t) при K(z) =

(γ_j + z)-1c_j для некоторых c_j, γ_j - его даёт

j=1

Утверждение 1. Пусть c_j = f(j), γ_j = g(j), где f(x) - монотонная непрерывная

положительная функция R⁺ → R⁺ и g(x) - возрастающая положительная функц∫я R+ →

→ R⁺, g(t) → +∞, t → +∞. Пусть, кроме того, для первообразной F(x) =

f (t) dt

функции f выполняются соотношения

F (t) → +∞ и f(t)/F (t) → 0 при t → ∞.

(12)

Тогда σ(t) = F (g-1(t))(1 + o(1)) (t → +∞). Здесь g-1 - обратная в функциональном

смысле к g функция.

Утверждение 1 позволяет сформулировать следствие 1 для степенных c_j, γ_j .

∑+∞

Следствие 5. Пусть K(z) =

(γ_j + z)-1c_j , где c_j = Mj^α, γ_j = Bj^β, а M, B > 0,

j=1

β > 0, α ≥ -1, α - β < -1.

Тогда при α > -1 справедливо асимптотическое представление

W M

μ+n = ia_n +

(a_n)^s(1 + o(1)) при n → +∞,

2i B^s(α + 1)

где s = (α + 1)/β и W = πseiπ(s-1)/2/ sin(πs), а при α = -1 - представление

μ+n = ia_n -

ln(a_n)(1 + o(1)) при n → +∞.

2 β

4. Доказательства. Имеет место

Утверждение 2. Если σ₀(t) ∈ F[0, +∞), то σ₀(t)/t → 0 при t → +∞.

Доказательство. Достаточно считать, что lim σ(t) = +∞, в противном случае утвер-

t→+∞

ждение очевидно.

Предположим, что lim t-1σ(t) = 0, т.е. существуют константа P > 0 и возрастающая

t→+∞

последовательность t_k → +∞ при k → +∞ такие, что σ₀(t_k) > P t_k.

∫+∞

Тогда, так как

t-1 dσ₀(t) < +∞, имеем

∫

∑

dσ₀(t)

< +∞.

(13)

k=1

Но в то же время

∫

dσ₀(t)

σ₀(tk+1) - σ₀(t_k)

≥

(14)

tk+1

σ₀(tk+1)/P

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

243

так как σ₀(tk+1) → +∞ при k → +∞. В силу неравенств (13) и (14) ряд

∑

σ₀(tk+1) - σ₀(t_k)

(15)

)

σ₀(tk+1

k=1

сходится; в частности, (σ₀(tk+1) - σ₀(t_k))/σ₀(tk+1) → 0 при k → +∞. Следовательно, ε_k =

= σ₀(t_k)/σ₀(tk+1) → 1 - 0 (так как σ₀(t) неубывает и σ₀(t_k)/σ₀(tk+1) ≤ 1).

Далее, в некоторой левой окрестности точки 1 (пусть в окрестности (r, 1]) выполняется

неравенство 1 - x ≥ -(ln x)/2. Выберем k₀ таким, чтобы при k > k₀ имело место включение

ε_k ∈ (r,1]. Естественно, сходимость ряда (15) влечёт за собой сходимость ряда

∑

σ₀(tk+1) - σ₀(t_k)

(1 - ε_k).

(16)

σ₀(tk+1

)

k=k₀+1

Так как ε_k ∈ (r, 1] и на (r, 1] выполняется неравенство 1 - x ≥ -(ln x)/2, то из равенства

(16) следует сходимость ряда

(

)

∑

σ₀(t_k)

(- ln ε_k) =

- ln

σ₀(tk+1)

k=k₀+1

∑

(ln σ₀(tk+1) - ln σ₀(t_k)) = lim

ln σ₀(t_k) - ln σ₀(tk0+1).

k→∞

k=k₀+1

Так как t_k → +∞, то σ₀(t_k) → +∞ и, значит, ln σ₀(t_k) → +∞. Противоречие. Следовательно,

σ₀(t)/t → 0 при t → +∞, что и требовалось доказать. Утверждение доказано.

Доказательство теоремы. Докажем сначала, что справедлива

Лемма 1. Пусть выполняется условие (11). Тогда

σ(a_n)

K(ia_n) = C₁

(1 + o(1)) при n → +∞.

(17)

a_n

Кроме того, если D = {z : |z - ia_n| < |C₁|σ(a_n)}, то

max |K^′(z)| ≤ C₂σ(a_n)/a2n

(18)

для некоторой константы C₂ при достаточно большом n.

Для доказательства леммы 1 нам понадобятся два утверждения.

Утверждение 3. Пусть заданы конечные последовательность M_i, i = 1, n, неотри-

цательных чисел и возрастающая последовательность t_i, i = 1, n, положительных чисел.

Пусть также числа v₁ ≤ v₂ ≤ . . . ≤ v_n удовлетворяют неравенствам 0 ≤ v_i ≤ M_i, i =

∑n-1

= 1, n. Тогда максимум суммы s(v₁, . . . , v_n) =

t-1i(vi+1 - v_i) достигается при v₁ = 0 и

i=1

v_i = M_i, i = 2,n.

Доказательство. Так как

∂s

> 0, i = 1, n - 1, и

< 0,

∂vi+1

t_i

ti+1

∂v₁

t₁

то функция s(v₁, . . . , v_n) возрастает по каждой из переменных, начиная со второй, и убывает

по первой, а значит, достигает своего максимума при v_i = M_i, i = 2, n, и v₁ = 0. Утверждение

доказано.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

7^∗

244

ДАВЫДОВ

Утверждение 4. Пусть σ₁(t), σ₂(t) ∈ F[0, +∞) и при t > N выполняется неравенство

σ₂(t) < σ₁(t). Тогда справедлива оценка

∫

dσ₂(t)

σ₁(N)

dσ₁(t)

≤

(19)

Доказательство. При M > N имеем

∫M

∑

dσ₂(t)

σ₂(ti+1) - σ₂(t_i)

= lim

n→∞

t_i

i=1

где t_i = N +i(M -N)/n - положительная неубывающая последовательность. Тогда, применяя

утверждение 3 при v_i = σ₂(t_i) и M_i = σ₁(t_i), получаем

∑

σ₂(ti+1) - σ₂(t_i)

vi+1 - v_i

M₂

Mi+1 - M_i

σ₁(t₂)

σ₁(ti+1) - σ₁(t_i)

≤

t_i

t₁

t_i

t₁

t_i

i=1

i=2

Устремляя n к +∞, будем иметь t₂ → N, t₁ → N, а значит,

∫

∑

dσ₂(t)

σ₂(ti+1) - σ₂(t_i)

σ₁(N)

dσ₁(t)

= lim

≤

n→∞

t_i

i=1

поэтому, устремляя M к +∞, приходим к неравенству (19). Утверждение доказано.

Доказательство леммы 1. Проводя замену t = qa_n, получаем

+∞

∫

dσ(t)

dσ(qa_n)

σ(a_n)

⁽σ(qa_n)⁾

K(ia_n) =

(20)

t + ia_n

a_n(i + q)

a_n

i+q

a_n

i+q

σ(a_n)

Для того чтобы получить представление (17), необходимо доказать, что

∫

⁽σ(qa_n)⁾

dσ(q,a_n)

dr(q)

lim

= lim

=C₁,

(21)

n→∞

i+q

σ(a_n)

n→∞

i+q

где функция σ определена равенством (8).

Зафиксируем ε > 0. Для него выберем N и n достаточно большими - такими, что вы-

полняются следующие три неравенства:

+∞

∫

∫



∫

σ₁(N)

dσ₁(t)



dσ(q,a_n)

dr(q)

dr(q)

< ε;



ε;

< ε.



^<

i+q

Возможность осуществить неравенство 1) следует из утверждения 2 и предположения (10).

Выполнимость неравенства 2) вытекает из теоремы Хелли, которую содержит

Предложение 3 (первая теорема Хелли). Пусть функции Φ_n, n ∈ N, с ограниченным

изменением на отрезке [a, b] поточечно на этом отрезке сходятся к некоторой функции Φ,

причём полные изменения функций ограниченны в совокупности∗)

V ba[Φ_n] ≤ C, n = 1,2,...

(22)

∗) Через V^ba здесь и далее обозначается вариация функции на отрезке [a, b].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

245

Тогда предельная функция Φ тоже имеет ограниченное изменение и для любой непрерывной

функции f справедливо равенство

∫

∫b

lim

f (x) dΦ_n(x) = f(x) dΦ(x).

n→∞

Доказательство этой теоремы Хелли см. в [22, гл. VI, § 6.5].

Действительно, положив Φ_n(q) = σ(q, a_n), Φ(q) = r(q), a = 0, b = N, в силу усло-

вия (9) будем иметь поточечную сходимость. Кроме того, последовательность d_n = VN0 [Φ_n] =

= σ(Na_n)/σ(a_n) сходится к g(N), а значит, ограничена, что и влечёт за собой неравен-

ства (22). Неравенство 3) можно осуществить в силу условия (9).

Окончательно получаем



∫



∫



∫



dσ(q,a_n)

dr(q)



dσ(q,a_n)

dr(q)

dr(q)

dσ(q,a_n)



≤



≤



⁺

i+q

|i + q|

∫

∫



∫



dσ(q,a_n)

dr(q)

dr(q)

dσ(q,a_n)



≤

< 3ε

(23)

⁺

i+q

согласно условиям 1)-3), а также результату (19) утверждения 4 при σ₂(q) = σ(q, a_n). Из этого

и следует соотношение (21).

Докажем теперь оценку (18). Выберем n настолько большим, чтобы выполнялось нера-

венство σ(a_n)/a_n < 1/(2|C₁|). Тогда круг D из условия леммы 1 содержится в круге D₀ =

= {z : |z - ia_n| < a_n/2)}. Далее, проведём при t = a_nq ∈ R⁺ следующие оценки:

a_n

|z + t|² ≥ |Im (z + t)||z + t| ≥ |Im z||z + t| ≥

|z + t| ≥

(|t + ia_n| - |ia_n - z|) ≥

(

)

(

)

a_n

|ia_n - z|

a_n

|ia_n - z|

≥

|t + ia_n|

≥

|t + ia_n|

|Im (t + ia_n)|

(

)

(

)

a_n

|ia_n - z|

a_n

a_n/2

a_n

a2n

|t + ia_n|

|t + ia_n| =

|i + q|.

a_n

Таким образом, при z ∈ D₀ имеем



∫



∫



dσ(t)



dσ(t)

dσ(qa_n)



|K^′(z)| =^

≤

(24)

≤

(t + z)²

|t + z|²

a2n|i + q|/4

a2n

|i + q|

Проведя рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых устанавливались соотноше-

ния (20)-(23), но заменяя в них i + q на модуль |i + q|, несложно получить, что

∫

dσ(qa_n)

dr(q)

= σ(a_n)(C₃ + o(1)), где C₃ =

(25)

|i + q|

Из (24), (25) следует, что оценка (18) выполняется при достаточно большом n, если положить

в ней C₂ = 8C₃, что и требовалось доказать.

Утверждение 5. Пусть h(z) - некоторая комплексная функция, a, b, z₀ ∈ C и функция

h₁(z) определена равенством h₁(z) = h(z) - a - b(z - z₀). Если найдётся c ∈ (|b|,+∞), при

котором выполнены следующие условия:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

246

ДАВЫДОВ



a

1) круг B = {z ∈ C : |z - z₁| ≤ r}, где r = z₀ -

и r=



, целиком содержится

|b| - c

в области определения функции h₁(z) ,

2) при всех z ∈ B справедливо неравенство |h₁(z)| < c|z - z₀|,

то в круге B функция h(z) имеет единственный нуль.

Доказательство. Верно равенство h(z) = f₁(z)+h₁(z), где f₁(z) = a+b(z-z₀). Линейная

функция f₁(z) имеет единственный нуль (в точке z₁ ), а её модуль на границе ∂B постоянен:

|f₁(z)| = |b|r. Кроме того, на границе ∂B справедлива оценка

(



)



(

)

_a



|g₁(z)| < c|z - z₀| = c|z₁ + re^iϕ - z₀| = c|re^iϕ - a/b| ≤ c r +



^b

|b| - c



_a

|b|

_a



=c^

|b|

|b|r = |f₁(z)|.

b |b| - c=

^b |b| - c=

Значит, по теореме Руше в области B \ ∂B существует и единственен нуль функции h(z).

Утверждение доказано.

Лемма 2. Пусть f(z), g(z) - голоморфные функции в области D ⊂ C и выполнены

следующие условия:

1) в области D функция f(z) имеет единственный нуль в точке z₀ (пусть g(z₀) = g₀);

2) справедливо представление f^′(z) = C + v(z), где C - константа и |v(z)| < V при

z∈D;

3) выполняется оценка |g^′(z)| ≤ G в области D;

4) имеет место неравенство G + V < |C|;



g0

G+V

g₀



5) круг B = {z ∈ C : |z - z₁| ≤ r}, где r =

z₁ = z₀ -

, содержится в

_C

^ |C| - V - Gи

области D.

Тогда функция f(z) + g(z) в круге B имеет единственный нуль.

Доказательство. Рассмотрим функцию

∫z

h(z) = f(z) + g(z) = f(z₀) + f^′(z) dz + g(z₀) + g^′(z) dz =

z₀

∫z

∫

= 0 + (C + v(z))dz + g₀ + g^′(z)dz = g₀ + C(z - z₀) + (v(z) + g^′(z))dz.

z₀

Тогда можно применить предыдущее утверждение, так как



∫z



(v(z) + g^′(z)) dz

max |v(z) + g^′(z)||z - z₀| ≤ sup |v(z) + g^′(z)||z - z₀| ≤ (V + G)|z - z₀|



≤

z₀

при a = g₀, b = C, c = G + V. Лемма доказана.

Перейдём непосредственно к доказательству теоремы. Выберем при достаточно большом n

(т.е. при n > n₀, где n₀ будет указано ниже) z₀ = ia_n, и пусть D = {z : |z - z₀| < |C₁|σ(a_n)}.

С помощью леммы 2 оценим местоположение нуля функции l_n(z). Положим f(z) = z² + a2n,

g(z) = -a2nK(z). В области D можно записать f^′(z) = 2z = 2ia_n + 2(z - ia_n).

В обозначениях леммы 2 очевидно, что C = 2ia_n, V = 2|C₁|σ(a_n). Кроме того, согласно

лемме 1 выполнено g₀ = -a2nC₁a-1nσ(a_n)(1 + o(1)) = C₁a_nσ(a_n)(1 + o(1)). Положим далее n

достаточно большим - таким, что выполняется оценка (18) с некоторой константой C₂. В этом

случае константу G можно положить равной C₂σ(a_n).

Положим, следуя условию 5) леммы 2,

|g₀|

G+V

|C₁|a_nσ(a_n)(1 + o(1))

2|C₁|σ(a_n) + C₂σ(a_n)

r_n = 2

|C| - V - G

|C|

2a_n - 2|C₁|σ(a_n) - C₂σ(a_n)

2a_n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

247

|C₁|σ(a_n)(1 + o(1))

2|C₁| + C₂ σ(a_n)

(σ(a_n))

|C₁|(1 + o(1))

2|C₁| + C₂

2 - (2|C₁| + C₂)σ(a_n)/a_n

a_n

2 - (2|C₁| + C₂)σ(a_n)/a_n

Так как, согласно утверждению 2, lim

(σ(a_n)/a_n) = 0, то при n → ∞ последовательности r_n

n→∞

и a-1n(σ(a_n))² эквивалентны. Значит, r_n = o(σ(a_n)). Вспоминая, что

C₁a_nσ(a_n)(1 + o(1))

C₁

z₁ = z₀ - g₀/C = ia_n +

= ia_n +

σ(a_n)(1 + o(1)),

(26)

2ia_n

видим, что круг B = {z ∈ C : |z - z₁| < r_n} при достаточно большом n содержится в области

D. Действительно, если |z-z₁| < r_n, то при достаточно большом n выполняется неравенство



C1



|z - z₀| ≤ |z - z₁| + |z₁ - z₀| < r_n +^

σ(a_n)(1 + o(1))

⁼

|1 + o(1)|

= |C₁|σ(a_n)

+ o(σ(a_n)) < |C₁|σ(a_n).

(27)

Таким образом, при достаточно большом n выполнено условие 4) леммы 2 (здесь мы берём

n достаточно большим, чтобы выполнялись оценки (18) и (27)). Тогда применима лемма 2 и

в круге B находится ровно один нуль функции l_n(z).

В итоге имеет место (с учётом (26)) представление

C₁

μ+n = z₁ + o(σ(a_n)) = ia_n +

σ(a_n)(1 + o(1)) + o(σ(a_n)) = ia_n +

σ(a_n)(1 + o(1)),

так как r_n = o(σ(a_n)). Теорема доказана.

Доказательство следствия 1. Запишем представление (11) в эквивалентной форме

σ(x) = Mx^α(ln x)^β (1 + d(x)),

lim d(x) = 0.

(28)

x→+∞

Докажем, что для σ(x) имеет место

Утверждение 6. Справедливы следующие свойства:

1) lim

σ(x, v) = x^α, x > 0;

v→+∞

2) для некоторых констант v₀ > 0, S > 0 и для любых θ ∈ (α,1), x > e, v > v₀

выполняется оценка σ(x, v) ≤ Sx^θ;

σ(0, v) = 0.

Доказательство. Сначала отметим следующее свойство: если σ(x) = σ₁(x)σ₂(x), то

σ(xv)

σ₁(xv) σ₂(xv)

σ(x, v) =

= σ₁(x,v)σ₂(x,v).

(29)

σ(v)

σ₁(v) σ₂(v)

Далее,

(Mxv)^α/(Mv)^α = x^α,

(30)

(

)_β

(ln(xv))^β

ln x

→1

при v → +∞,

(31)

(ln v)^β

ln v

1 + d(xv)

→ 1, так как d(v) → 0, d(xv) → 0 при v → +∞.

(32)

1 + d(v)

Учитывая полученные выше соотношения (11)-(32), несложно показывается, что свойство 1)

утверждения выполняется.

Заметим, что так как для функции y(x) = x^τ /τ - ln x справедливы неравенства

x^τ - 1

y(1) = 1/τ > 0 и y^′(x) = xτ-1 - x-1 =

> 0, где x > 1, τ > 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

248

ДАВЫДОВ

то функция y(x) положительна, x > 1, τ > 0, а значит,

ln x < x^τ /τ, x > 1, τ > 0.

(33)

Тогда, используя (31), (33), получаем, что при v > e, x > e, β ≥ 0 имеют место неравенства

(

)_β

(ln(xv))^β

ln x

x^ββ

< (1 + ln x)^β < (2 ln x)^β < 2^β

(34)

(ln v)^β

ln v

ββ1

для любого β₁ > 0, а при β < 0 - неравенство

(

)_β

(ln(xv))^β

ln x

< 1.

(35)

(ln v)^β

ln v

Кроме того, если взять v₀ таким, чтобы при v > v₀ выполнялась оценка |d(v)| < 1/2, то при

таких v и при x > e > 1 будем иметь

1 + d(xv)

1 + 1/2

= 3,

(36)

1 + d(v)

1 - 1/2

так как xv > v > v₀. В итоге на основании (28)-(30), (35), (36) получаем при v > v₀, x > e,

β < 0, что справедлива оценка

σ(x, v) < 3x^α < 3x^θ,

а при v > v₀, x > e, β ≥ 0, β₁ = (θ - α)/β - оценка

ββ₁+α

3·2^β

σ(x, v) < 3

x^θ.

ββ1

β^β

Свойство 2) утверждения установлено.

Свойство 3) утверждения следует из того, что

σ(0, v) = σ(0)/σ(v) = 0. Утверждение

доказано.

В обозначениях теоремы работы с помощью утверждения 6 заключаем, что

{

q^α,

q > 0,

Sx^θ, x > e,

r(q) =

σ₁(x) =

(37)

q = 0,

Se^θ, x ≤ e.

Равенство (21) при α > 0 вытекает из того, что (см., например, [23, задача 28.22])

∫

dq^α

πα

zα-1,

z+q

sin πα

а при α = 0 - из того, что

∫

dr(q)

(r(0+) - r(0)) +

+0=

(38)

i+q

i+0

i+q

Доказательство следствия 2. Следствие 2 представляет собой частный случай след-

ствия 1 при α = β = 0, M = σ(+∞), т.е. случай конечной меры Стилтьеса σ(t). В данном

случае функция

{

1, q > 0,

r(q) =

0, q = 0,

является функцией Хевисайда на R⁺, значение которой в нуле заменено нулём.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

249

Доказательство следствий 3, 4. Докажем вначале следствие 3. Используя вместо функ-

ции i + q функцию e^q и проводя рассуждения, аналогичные тем, с помощью которых уста-

навливались соотношения (20)-(23), получаем

+∞

∫

dσ(t)

dσ(qa_n)

⁽ dσ(qa_n)⁾

R(1/a_n) = e-t/an dσ(t) =

= σ(a_n)

et/an

e^q

σ(a_n)

= Γ(α + 1)σ(a_n)(1 + o(1)) при n → ∞,

(39)

так как аналогично (21) имеем при α > 0 равенство

∫

⁽σ(qa_n)⁾

lim

= e^-qdr(q) = αΓ(α) = Γ(α + 1)

n→∞

e^q σ(a_n)

вследствие того, что функция r(q) задаётся так же, как и в (37). При α = 0 по аналогии с

(38) получаем

∫

⁽σ(qa_n)⁾

lim

= e⁰(r(0+) - r(0)) = 1 = Γ(α + 1).

n→∞

e^q σ(a_n)

Тогда, заменяя асимптотику σ(a_n) согласно соотношению (39), приходим к утверждению след-

ствия 3.

Следствие 4 - частный случай следствия 3 для конечной меры σ(x).

Доказательство утверждения 1. Очевидны равенства

∫t

∑

[g-1(t)]∑

σ(t) = dσ =

c_j =

f (j) =

f (j).

j:γ_j<t

j:g(j)<t

j:j<g-1(t)

j=1

Допустим, что функция f(y) убывает. Тогда при y ∈ [j, j + 1] выполняются неравенства

f (y - 1) ≥ f(j) ≥ f(y), а значит, верны неравенства

∫2

f (1) ≥ f(1) ≥ f(y) dy,

∫

f (y) dy =

f (y - 1) dy ≥ f(j) ≥

f (y) dy, j = 2, [g-1(t)],

j-1

∫

[g-1(t)]∑

f (1) +

f (y) dy ≥

f (j) ≥

f (y) dy.

j=1

Итак,

f (1) + F ([g-1(t)]) ≥ σ(t) ≥ F ([g-1(t)] + 1).

(40)

Так как f положительна и непрерывна, то F возрастает и дифференцируема, кроме того,

по условию F (t) → +∞ при t → +∞. Следовательно, при некотором |θ| < 1 будем иметь

|σ(t) - F (g-1(t))| ≤ F ([g-1(t)]) + f(1) - F ([g-1(t)]) = f(1) + f(g-1(t) + θ) = o(F (g-1(t))),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

250

ДАВЫДОВ

так как согласно условию f(t) = o(F (t)). Это следует из соотношений (12), (40), так как

f (1) = o(F (g-1(t))). Поэтому

σ(t) = F (g-1(t))(1 + o(1)) при t → ∞.

(41)

Допустим, что функция f(y) возрастает. Тогда при y ∈ [j, j +1] выполняются неравенства

f (y - 1) ≤ f(j) ≤ f(y), а значит, верны неравенства

∫2

f (1) ≤ f(1) ≤ f(y) dy,

∫

f (y) dy =

f (y - 1) dy ≤ f(j) ≤

f (y) dy, j = 2, [g-1(t)],

j-1

∫

[g-1(t)]∑

f (1) +

f (y) dy ≤

f (j) ≤

f (y) dy.

j=1

Итак,

F ([g-1(t)]) ≤ f(1) + F ([g-1(t)]) ≤ σ(t) ≤ F ([g-1(t)] + 1).

(42)

Так как f положительна, возрастает и непрерывна, то F возрастает и дифференцируема,

кроме того, F (t) → +∞ при t → +∞. Следовательно, при некотором |θ| < 1 будем иметь

|σ(t) - F (g-1(t))| ≤ F ([g-1(t)] + 1) - F ([g-1(t)]) = f(g-1(t) + θ) = o(F (g-1(t))),

так как согласно условию f(t) = o(F (t)). Это следует из соотношений (12), (42). Поэтому

верно представление (41). Утверждение доказано.

Доказательство следствия 5. Согласно предположению следствия g-1(t) = (t/B)1/β , а

{

Mtα+1/(α + 1), α > -1,

F (t) =

M ln t,

α = -1.

Значит,

{

MB^-st^s/(α + 1), α > -1,

F (g-1(t)) =

(ln t - ln B)/β,

α = -1.

Для завершения доказательства остаётся применить утверждение 2 и следствие 1. След-

ствие доказано.

Автор выражает глубокую благодарность профессору В.В. Власову за постановку задачи,

научное руководство и активную поддержку, а также участникам научного семинара “Функ-

ционально-дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения и их спектральный

анализ”, в особенности Н.А. Раутиан, за поддержку и ценные советы.

Автор признателен рецензенту за конструктивные замечания, способствовавшие улучше-

нию текста статьи.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Московского государственного уни-

верситета им. М.В. Ломоносова научной школе “Математические методы анализ сложных сис-

тем”, руководимой акад. В.А. Садовничим, а также при финансовой поддержке фонда разви-

тия теоретической физики и математики “Базис”.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. М., 2006.

2. Pipkin A.C., Gurtin M.E. A General theory of heat conduction with finite wave speeds // Arch. Ration.

Mech. and Anal. 1968. V. 31. P. 113-126.

3. Жиков В.В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости // Мат. сб.

2000. Т. 191. № 7. С. 31-72.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

ОБ АСИМПТОТИКЕ НЕВЕЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА

251

4. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гипер-

болических интегро-дифференциальных уравнений // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2011. Вып. 28.

С. 75-113.

5. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.

М., 2016.

6. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ и представление решений интегро-дифференци-

альных уравнений с дробно-экспоненциальными ядрами // Тр. Моск. мат. о-ва. 2019. Т. 80. № 2.

С. 197-220.

7. Pandolfi L., Ivanov S. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest // J. of Math. and

Appl. 2009. V. 355. P. 1-11.

8. Pandolfi L. The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach // Appl.

Math. and Optim. 2005. V. 52. P. 143-165.

9. Rivera J.E.M., Naso M.G. On the decay of the energy for systems with memory and indefinite dissipation

// Asympt. Anal. 2006. V. 49. P. 189-204.

10. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of Materials with Memory, Theory and

Applications. New York; Dordrecht; Heidelberg; London, 2012.

11. Dafermos C.M. Asymptotic stability in viscoelasticity // Arch. for Rat. Mech. and Anal. 1970. V. 37.

P. 297-308.

12. Fabrizio M., Giorgi C., Pata V. A New approach to equations with memory // Arch. for Rat. Mech. and

Anal. 2010. V. 198. P. 189-232.

13. Азизов Т.Я., Копачевский Н.Д., Орлова Л.Д. Операторный подход к исследованию гидродинами-

ческой модели Олдройта // Мат. заметки. 1999. Т. 65. Вып. 6. С. 924-928.

14. Закора Д.А. Экспоненциальная устойчивость одной полугруппы и приложения // Мат. заметки.

2018. Т. 103. Вып. 5. С. 702-719.

15. Власов В.В., Раутиан Н.А. О свойствах полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-диффе-

ренциальными уравнениями // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 8. С. 1122-1126.

16. Тихонов Ю.А. Об аналитичности полугруппы операторов, возникающих в задачах теории вязко-

упругости // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 808-822.

17. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ интегро-дифферен-

циальных уравнений наследственной механики // Журн. вычислит. математики и мат. физики.

2020. Т. 60. № 8. С. 78-87.

18. Eremenko A., Ivanov S. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations // SIAM J. Math. Anal. 2011.

№ 43. P. 2296-2306.

19. Давыдов А.В., Тихонов Ю.А. Исследование операторных моделей Кельвина-Фойгта, возникающих

в теории вязкоупругости // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 12. С. 1663-1677.

20. Давыдов А.В. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов, возникающих при

изучении флаттера вязкоупругой пластины // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 2020. № 2.

С. 15-22.

21. Davydov A.V. Asymptotics of the spectrum of an integro-differential equation arising in the study of the

flutter of a viscoelastic plate // Rus. J. of Math. Phys. 2021. Т. 28. № 2. С. 188-197.

22. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 2012.

23. Евграфов М.А. Сборник задач по теории аналитических функций. М., 1972.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 03.10.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 27.12.2021 г.

Принята к публикации 24.02.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022