ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.252-259

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1

УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧ

СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Для управляемой системы со смешанными ограничениями типа равенств и неравенств и

геометрическим ограничением, представляющим собой непустое замкнутое выпуклое мно-

жество, получены достаточные условия существования допустимых позиционных управле-

ний в терминах производных первого порядка отображений, задающих смешанные ограни-

чения. Кроме того, в терминах производных первого и второго порядков этих отображений

найдены достаточные условия существования допустимых позиционных управлений, при-

менимые и в случае вырождения первых производных указанных отображений.

DOI: 10.31857/S0374064122020108

Введение. Пусть для управляемой системы

x = F(x,u,t), x(t₀) = x₀,

(1)

смешанные и геометрические ограничения имеют соответственно вид

G¹(x,u,t) = 0, G²(x,u,t) ≤ 0

(2)

u(x, t) ∈ U.

(3)

Здесь x ∈ Rⁿ - фазовая переменная, u ∈ R^m - вектор управления, t ≥ t₀ - время, отобра-

жение F : Rⁿ × R^m × R → Rⁿ задано и является непрерывным по первой и второй перемен-

ным, измеримым по третьей переменной и ограниченным в окрестности фиксированной точ-

ки (x₀, u₀, t₀); заданное множество U ⊂ R^m непусто, замкнуто и выпукло. Вектор-функции

Gl : Rⁿ × R^m × R → Rsl, l = 1, 2, непрерывны; соотношения (2) выполняются покоординатно.

Под управлением понимается непрерывная функция u переменных x и t, определённая

в некоторой окрестности точки (t₀, x₀) и такая, что u(x, t) ∈ U.

Будем говорить, что система (1)-(3) локально разрешима в точке (x₀, u₀, t₀), если суще-

ствует окрестность Ω точки (x₀, t₀), непрерывное отображение u : Ω → U, число τ > 0 и

абсолютно непрерывная функция x : [t0,t0 + τ) → Rn такие, что u(x0, t0) = u0, при всех

t ∈ [t₀,t₀ + τ) выполнены соотношения

G¹(x(t), u(x(t),t),t) = 0, G²(x(t), u(x(t),t),t) ≤ 0

и функция x(·) является решением задачи Коши

x=F(x,u(x,t),t),

x(t₀) = x₀,

(4)

т.е.

x(t)=F(x(t),u(x(t),t),t)прип.в.t∈[t0,t₀ + τ) и x(t0) = x0. Указанную функцию u(·)

принято называть допустимым позиционным управлением, а пару (x(·), u(·)) - допустимым

процессом.

Наша цель заключается в том, чтобы получить достаточные условия локальной разреши-

мости для системы (1)-(3) как в терминах первой производной отображений G¹ и G², так и

в терминах второй производной этих отображений.

1. Регулярность первого порядка. В этом пункте работы в терминах первой производ-

ной приведём условия регулярности смешанных ограничений. Предположим, что

G¹(x₀,u₀,t₀) = 0, G²(x₀,u₀,t₀) ≤ 0.

252

УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

253

Обозначим через I множество всех тех индексов i ∈ {1, . . . , s₂}, для которых i-я компонента

G2,i(x₀,u₀,t₀) вектора G²(x₀,u₀,t₀) равна нулю. Для вектор-функции G^l, l = 1,2, через G^lu

обозначим матрицу её первых частных производных по компонентам вектора u, а для произ-

вольного ξ ∈ R^m через (G2u(x₀, u₀, t₀)ξ)_i - i-ю компоненту вектора G2u(x₀, u₀, t₀)ξ ∈ Rs2 .

Теорема 1. Пусть отображения F и G^l, l = 1, 2, непрерывны, отображения G^l стро-

го дифференцируемы по u в точке (x₀,u₀,t₀) равномерно по x и выполняются следующие

предположения:

(R1) 0 ∈ int G1u(x₀, u₀, t₀)(U - {u₀});

(R2) существует вектор ξ ∈ U - {u₀} такой, что G1u(x₀, u₀, t₀)ξ = 0 и

(G2u(x₀, u₀, t₀)ξ)_i < 0 для всех i ∈ I.

Тогда система (1)-(3) локально разрешима в точке (x₀, u₀, t₀).

Доказательство. Предположим сначала, что G²(x₀, u₀, t₀) = 0. Для произвольных x ∈

∈ Rⁿ, v = (λ,ν,y)^т ∈ (0,+∞) × R^m × Rs2 и t ∈ R положим

(

)

G¹(x,u₀ + ν/λ,t)

G(x, t, v) :=

(5)

G²(x,u₀ + ν/λ,t) + y

Определим множество K формулой

(6)

K := {(λ, λν, y)^т : λ ≥ 0, ν ∈ U - {u₀}, y ∈ Rs2+},

где Rs2+ - конус в Rs2 , образованный векторами с неотрицательными компонентами.

Покажем, что множество K является выпуклым замкнутым конусом.

Для произвольных μ ≥ 0 и (λ, λν, y)^т ∈ K имеем μ(λ, λν, y)^т = (μλ, μλν, μy)^т ∈ K, по-

скольку, во-первых, μλ ≥ 0, во-вторых, ν ∈ U - {u₀} и, в-третьих, μy ∈ Rs2+. Значит, множе-

ство K является конусом.

Для произвольных μ ∈ [0, 1], (λ, λν, y)^т ∈ K, (λ^′, λ^′ν^′, y^′)^т ∈ K имеем

μ(λ, λν, y)^т + (1 - μ)(λ^′, λ^′ν^′, y^′)^т =

(

)

)т

μλ

(1 - μ)λ^′

= μλ + (1 - μ)λ^′,μλ + (1 - μ)λ^′

ν+

ν′ ,μy + (1 - μ)y′

∈ K.

μλ + (1 - μ)λ^′

Здесь включение следует из неравенства μλ + (1 - μ)λ^′ ≥ 0 и включений

μλ

(1 - μ)λ^′

u^′ ∈ U - {u₀} и μy + (1 - μ)y^′ ∈ Rs2+,

μλ + (1 - μ)λ^′

вытекающих из выпуклости множеств U - {u₀} и Rs2+ соответственно. Таким образом, ко-

нус K является выпуклым.

Возьмём произвольную последовательность {(λ_j , λ_j ν_j, y_j )^т} ⊂ K, сходящуюся к некоторой

точке (λ, z, y)^т. Так как {y_j} ⊂ Rs2+ и {yj } → y, то y ∈ R+2 . Рассмотрим два случая: λ = 0

и λ > 0. Пусть λ = 0. Тогда, z = λ lim

ν_j = 0 и, значит, (λ,z,y)^т ∈ K. Пусть λ > 0. Тогда

j→∞

поскольку {ν_j } → z/λ, {νj } ⊂ U - {u0} и множество U - {u0} замкнуто, то z/λ ∈ U - {u0}

и, значит, (λ, z, y)^т = (λ, λz/λ, y)^т ∈ K. Следовательно, множество K замкнуто.

Через G_v обозначим матрицу первых частных производных вектор-функции G по ком-

понентам вектора v. Обозначим также v₀ := (1, 0, 0)^т ∈ R × R^m × Rs2 и

K := K + span{v₀} и C := G_v(x₀, t₀, v₀)K.

(7)

Покажем, что для отображения G и конуса K в точке v₀ выполнено условие регулярности

Робинсона по переменной v, т.е. C = Rs1 × Rs2 . Обозначим A_l = G^lu(x₀, u₀, t₀), l = 1, 2.

Имеем

(

)

A₁

Gv(x0, t0, v0) =

(8)

A₂

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

254

АРУТЮНОВ, ЖУКОВСКИЙ

(здесь E : Rs2 → Rs2 - тождественный оператор),

K = {(μ,λν,y)^т : μ ∈ R, λ ≥ 0, ν ∈ U - {u₀}, y ∈ Rs2+}.

(9)

Следовательно,

{(

)

}

λA₁ν

C =

: λ ≥ 0, ν ∈ U - {u₀}, y ∈ Rs2

=Rs1 ×Rs2.

y + λA₂ν

Для доказательства последнего равенства возьмём произвольные (y₁, y₂)^т ∈ Rs1 × Rs2 и пока-

жем, что система

λA₁ν = y₁, y + λA₂ν = y₂

(10)

имеет решение (λ, ν, y)^т ∈ R×(U -{u₀})×Rs2+ . В силу предположения (R1) существуют γ > 0

и ν ∈ U - {u₀} такие, что γA₁ν = y₁. Следовательно,

γA₁(τ ν)/τ = y₁ для всех τ ∈ (0,1).

В силу предположения (R2) существует вектор

ξ ∈ U такой, что A

ξ = 0 и каждая

компонента вектора A₂

ξ отрицательна. Тогда существует τ ∈ (0, 1), при котором

γA₂(1 - τ

ξ/τ ≤ y₂ - γA₂ ν

покомпонентно. Следовательно, существует y ∈ Rs2+ такой, что

y+γA₂(τν+(1-τ

ξ)/τ = y₂.

Положим λ := γ/τ, ν := τ ν+(1-τ

ξ. Тогда λ ≥ 0, ν ∈ U -{u₀}, y ∈ Rs2+ и соотношения (10)

выполняются.

Таким образом, для отображения G имеют место предположения классической теоремы о

неявной функции (см., например, [1, 5]). Поэтому существует окрестность Ω ⊂ Rⁿ × R точки

(x₀, t₀) и непрерывные отображения^λ : Ω → (0, +∞),

ν : Ω → R^m и y : Ω → Rs2+ такие, что

G¹(x,u₀ + ν(x,t)/λ(x,t),t) = 0, G²(x,u₀ + ν(x,t)/λ(x,t),t) = -y(x,t),

где (^λ(x, t), ν(x, t), y(x, t)) ∈ K, (x, t) ∈ Ω. Положим

u(x, t) := u₀ + ν(x, t)/λ(x, t), (x, t) ∈ Ω.

Тогда

G¹(x, u(x,t),t) = 0, G²(x, u(x,t),t) ≤ 0,

u(x, t) ∈ U для всех (x, t) ∈ Ω

и функция u непрерывна. Следовательно, функция (x, t) → F (x, u(x, t), t), (x, t) ∈ Ω, непре-

рывна по x, измерима по t и ограничена в некоторой окрестности точки (x₀, t₀). Значит (см.,

например, [2, с. 214]), существует решение x(·) задачи Коши (4), определённое на [t0, t0 + τ)

при некотором τ > 0.

В случае G²(x₀, u₀, t₀) = 0 доказательство проводится аналогично с заменой G² на отобра-

жение, полученное вычёркиванием i-х компонент G2,i, i ∈ I, вектор-функции G². Теорема

доказана.

Замечание 1. Если в задаче (1)-(3) смешанные ограничения типа равенств отсутствуют,

то предположения (R1) и (R2) принимают вид

(R2^′) существует вектор ξ ∈ U - {u₀} такой, что

(G2u(x₀, u₀, t₀)ξ)_i < 0 для всех i ∈ I.

Отметим также, что достаточным условием для (R2^′) (но не необходимым) является усло-

вие линейной независимости векторов (G2u(x₀, u₀, t₀))_i, i ∈ I.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

255

Рассмотрим управляемую систему (1), (2) с управлением

u(t) ∈ U.

(11)

Эта система называется локально разрешимой в точке (t₀, x₀), если существуют τ > 0, аб-

солютно непрерывная функция x : [t₀, t₀ + τ) → Rⁿ и измеримая существенно ограниченная

функция u : [t₀, t₀ + τ) → R^m такие, что

G¹(x(t), u(t),t) = 0, G²(x(t), u(t),t) ≤ 0

при п.в. t и функция x = x(·) является решением задачи Коши

x = F(x, u(t),t), x(t₀) = x₀.

Указанную функцию u(·) принято называть допустимым программным управлением.

Из локальной разрешимости системы (1)-(3) в точке (x₀, u₀, t₀) следует, что существует

допустимое программное управление u(·) системы (1), (2), (11). Действительно, если u(·) - до-

пустимое позиционное управление, а x(·) - соответствующая траектория, то u(t) ≡ u(t, x(t)) -

допустимое программное управление. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно. Про-

иллюстрируем сказанное примером.

Пример 1. Зададим отображение Ψ : R² → R² формулой

(

)

u²¹ - u²²

Ψ(u) :=

u = (u₁,u₂)^т ∈ R², u = 0, Ψ(0) = 0.

|u|

2u₁u₂

Положим x₀ := 0, t₀ := 0, u₀ := 0. Рассмотрим управляемую систему

x = u, x(0) = 0, Ψ(u) = x,

т.е. n = m = 2, G¹(x, u, t) = Ψ(u) - x, G(x, u, t) ≡ 0.

Эта система имеет допустимое программное управление u(t) ≡ 0. Однако допустимого по-

зиционного управления u для рассматриваемой системы не существует. Действительно, если

некоторая функция u является допустимым позиционным управлением, то она непрерывна,

u(0, 0) = 0 и Ψ(u(x, t)) ≡ x, т.е. u( · , 0) является непрерывным правым обратным отображени-

ем к Ψ в окрестности нуля. Последнее противоречит примеру 2 в [3], в котором было показано,

что непрерывного правого обратного отображения к Ψ в окрестности нуля не существует.

В заключение отметим, что для управляемой системы в примере 1 выполняются пред-

положения теоремы о существовании программных допустимых управлений [4, теорема 2].

Предположения [4, теорема 2] слабее предположений теоремы 1. Пример 1 показывает, что

в предположениях [4, теорема 2] допустимого программного управления системы (1)-(3) в

окрестности заданной точки может не существовать.

2. Регулярность второго порядка. Исследуем вопрос о разрешимости управляемой сис-

темы (1)-(3) в случае, когда условия (R1) и (R2) нарушаются.

Положим

V := ker G1u(x₀, u₀, t₀)

^⋂ {v ∈ R^m : G2u(x₀, u₀, t₀)v ≤ 0}.

Через G^luu, l = 1, 2, обозначим матрицу вторых частных производных вектор-функции G^l

по компонентам вектора u.

Теорема 2. Пусть отображения F и G^l, l = 1, 2, непрерывны, отображения G^l, l =

= 1, 2, дважды непрерывно дифференцируемы по u в окрестности точки (x₀, u₀, t₀). Если

выполняются предположения

(R3) существует вектор h ∈ V

^⋂ (U - {u₀}) такой, что

-G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,h] ∈ G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀}),

(12)

G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀}) + G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,cone (U - {u₀})

^⋂V] = R^s1;

(13)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

256

АРУТЮНОВ, ЖУКОВСКИЙ

(R4) существует вектор ξ ∈ V

^⋂ (U - {u₀}), для которого

(G2u(x₀, u₀, t₀)ξ)_i < 0 при всех i ∈ I таких, что (G2u(x₀, u₀, t₀)h)_i = 0.

Тогда система локально разрешима в точке (x₀, u₀, t₀).

Доказательство. Будем предполагать, что G²(x₀, u₀, t₀) = 0. Если G²(x₀, u₀, t₀) = 0, то

доказательство проводится аналогично, но с заменой G² на вектор-функцию, полученную

вычёркиванием i-х компонент G2,i, i ∈ I, вектор-функции G².

I. Для произвольных x ∈ Rⁿ, v = (λ,ν,y)^т ∈ (0,+∞) × R^m × Rs2, t ∈ R, определим

функцию G(x, t, v) равенством (5). Пусть A_l, l = 1, 2, - те же матрицы, что и в доказатель-

стве теоремы 1, а Q_l := G^luu(x₀, u₀, t₀), l = 1, 2. Определим множество K формулой (6). В

доказательстве теоремы 1 показано, что K является выпуклым замкнутым конусом.

Пусть h - вектор из предположения (R3). Так как -Q₁[h, h] ∈ A₁ cone (U - {u₀}), то

существуют число γ > 0 и вектор ν ∈ U - {u₀}, для которых

-Q₁[h,h] = γA₁ν.

(14)

В силу предположения (R4) существует вектор ξ ∈ U - {u₀} такой, что

A₁ξ = 0, A₂ξ ≤ 0 и (A₂ξ)_i < 0 при всех i ∈ I, для которых (A₂h)_i = 0.

(15)

Следовательно, существуют числа θ > 0, τ ∈ (0, 1) и вектор y ∈ Rs2+ такие, что

1-τ

Q₂[h,h] - γA₂ν = y + 2θA₂h +

A₂ξ.

(16)

Как и выше, положим v₀ := (1, 0, 0)^т ∈ R × R^m × Rs2 и определим множества K и C

равенствами (7). Тогда имеют место представления (8) и (9) и

{(

)

}

λA₁ν

C =

: λ ≥ 0, ν ∈ U - {u₀}, y ∈ Rs2

y + λA₂ν

II. Покажем, что отображение G является 2-регулярным в точке (x₀,t₀,v₀) относительно

конуса K по направлению вектора h₀ := (θ, h, -A₂h)^т, т.е. что

h₀ ∈ K, G_v(x₀,t₀,v₀)h₀ = 0,

-G_vv(x₀,t₀,v₀)[h₀,h₀] ∈ C,

(17)

Gv(x0, t0, v0)K + Gvv (x0, t0, v0)[h0, K

^⋂ ker G_v(x₀, t₀, v₀)] = R^s1 × R^s2 .

(18)

Включение h₀ ∈ K следует из (9) и определений множества K и вектора h₀. Из равенства

(8) и предположения (R3) вытекает, что

⎛

⎞

(

)

(

)

A₁

A₁h

⎝ h

⎠₌

= 0.

Gv(x0, t0, v0)h0 =

A₂

A₂h - A₂h

-A₂h

Докажем включение (17). Имеем

(

)

-2δ_λA₁δ_ν + Q₁[δ_ν , δ_ν ]

Gvv(x0, t0, v0)[δ, δ] =

для любого δ = (δ_λ, δ_u, δ_y ),

(19)

-2δ_λA₂δ_ν + Q₂[δ_ν , δ_ν ]

(

)

Q₁[h,h]

Gvv(x0, t0, v0)[h0, h0] =

-2θA₂h + Q₂[h, h]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

257

Поэтому

(

)

(

)

Q₁[h,h]

γA₁(τ ν + (1 - τ)ξ)/τ

-G_vv(x₀,t₀,v₀)[h₀,h₀] = -

∈ C.

-2θA₂h + Q₂[h, h]

y + γA₂(τν + (1 - τ)ξ)/τ

Здесь второе равенство вытекает из равенств (14), A₁ξ = 0 и (16). Включение (17) доказано.

Докажем соотношение (18). Для этого возьмём произвольную пару (y₁, y₂) ∈ Rs1 × Rs2 и

покажем, что уравнение

Gv(x0, t0, v0)ζ + Gvv(x0, t0, v0)[h0, ζ^′] = (y1, y2)^т

(20)

имеет решение (ζ, ζ^′) такое, что ζ ∈ K, ζ^′ ∈ K

^⋂ ker G_v(x₀, t₀, v₀).

Согласно предположению (R3) существуют γ > 0, ν ∈ U - {u₀}, λ^′ > 0, ν^′ ∈ U - {u₀},

для которых

A₁ν^′ = 0, A₂ν^′ ≤ 0, γA₁ν + Q₁[h,λ^′ν^′] = y₁.

(21)

В силу (15) существуют τ > 0, μ^′ < 0 и y ∈ Rs2+ такие, что

1-τ

A₂ξ - μ^′A₂h + y = y₂ - γA₂ν + θλ^′A₂ν^′ - Q₂[h,λ^′ν^′].

(22)

Положим

ζ := (0, γ(τν + (1 - τ)ξ)/τ, y)^т, ζ^′ = (μ^′, λ^′ν^′, -λ^′A₂ν^′)^т.

(23)

Покажем, что ζ ∈ K, ζ^′ ∈ K

^⋂ ker G_v(x₀, t₀, v₀) и пара (ζ, ζ^′) является решением уравнения

(20). Включение ζ ∈ K вытекает из выпуклости множества U - {u₀}, соотношений γ > 0,

τ > 0, y ∈ Rs2+ и определения множества K. Включение ζ^′ ∈ K^′ следует из соотношений

λ^′ > 0, ν^′ ∈ U - {u₀}, A₂ν^′ ≤ 0. Кроме того,

(

)

′

λ^′A₁ν

Gv(x0, t0, v0)ζ^′ =

= 0,

λ^′A₂ν^′ - λ^′A₂ν^′

поскольку A₁ν^′ = 0. Следовательно, ζ^′ ∈ K

^⋂ ker G_v(x₀, t₀, v₀). Наконец,

Gv(x0, t0, v0)ζ + Gvv (x0, t0, v0)[h0, ζ^′] =

(

)

(

)

γA₁(τν + (1 - τ)ξ)/τ

-θλ^′A₁ν^′ - μ^′A₁h + λ^′Q₁[h,ν^′]

γA₂(τν + (1 - τ)ξ)/τ + y

-θλ^′A₂ν^′ - μ^′A₂h + λ^′Q₂[h,ν^′]

(

)

(

)

γA₁ν + λ^′Q₁[h,ν^′]

y₁

γA₂(τν + (1 - τ)ξ)/τ + y - θλ^′A₂ν^′ - μ^′A₂h + λ^′Q₂[h,ν^′]

y₂

Здесь первое равенство следует из соотношений (9), (19) и (23), второе - из того, что A₁ξ = 0,

A₁ν^′ = 0 и A₁h = 0, а третье - из равенств в (21) и (22). Следовательно, пара (ζ,ζ^′) является

решением уравнения (20). Соотношение (18) доказано.

III. Отображение G является 2-регулярным в точке (x₀,t₀,v₀) относительно конуса K

по направлению h₀. Следовательно, для G выполнены предположения теоремы о неявной

функции в окрестности анормальной точки [1, теорема 3]. Поэтому существуют окрестность

Ω ⊂ Rⁿ × R точки (x₀,t₀) и непрерывные отображения^λ : Ω → (0,+∞),

ν : Ω → R^m и

y : Ω → Rs2+ такие, что

G¹(x,u₀ + ν(x,t)/λ(x,t),t) = 0, G²(x,u₀ + ν(x,t)/λ(x,t),t) = -y(x,t),

где (^λ(x, t), ν(x, t), y(x, t)) ∈ K, (x, t) ∈ Ω. Положим

u(x, t) := u₀ + ν(x, t)/λ(x, t), (x, t) ∈ Ω.

Тогда

G¹(x, u(x,t),t) = 0, G²(x, u(x,t),t) ≤ 0,

u(x, t) ∈ U для всех (x, t) ∈ Ω

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

258

АРУТЮНОВ, ЖУКОВСКИЙ

и функция u непрерывна. Следовательно, функция (x, t) → F (x, u(x, t), t), (x, t) ∈ Ω, непре-

рывна. Значит (см., например, [2, с. 214]), существует решение x(·) задачи Коши (4), опреде-

лённое на [t₀, t₀ + τ) при некотором τ > 0. Теорема доказана.

Замечание 2. Если в задаче (1)-(3) смешанные ограничения типа неравенств отсутствуют,

то предположение (R3) является достаточным для локальной разрешимости системы (1)-(3)

в точке (x₀, u₀, t₀).

Замечание 3. Теорема 2 даёт достаточные условия локальной разрешимости управляемой

системы также и в случае, когда условия регулярности (R1) и (R2) нарушаются. Если же

условия (R1) и (R2) выполняются, то выполняются и условия (R3) и (R4). Покажем это.

Пусть выполнены предположения (R1) и (R2). Положим h := 0. Тогда

-G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,h] = 0, G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,v] = 0 для любого v ∈ R^m.

Кроме того, из предположения (R1) следует, что

G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀}) = Rs1.

Поэтому

-G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,h] = 0 ∈ G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀});

G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀}) + G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,cone (U - {u₀})

^⋂V]=

= G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀}) + {0} = Rs1.

Таким образом, предположение (R3) выполняется.

В силу предположения (R2) существует вектор ξ ∈ U -{u₀} такой, что G1u(x₀, u₀, t₀)ξ = 0

(G2u(x₀, u₀, t₀)ξ)_i < 0 для всех i ∈ I.

Значит, ξ ∈ V

^⋂ (U - {u₀}) и, следовательно, предположение (R4) также выполняется.

Приведём пример управляемой системы, к которой применима теорема 2 и неприменима

теорема 1.

Пример 2. Положим G¹(x, u, t) := u²¹ -u²² -t|x|, F (x, u, t) = u, x ∈ R², u = (u₁, u₂)^т ∈ R²,

t ∈ R, U := R², x₀ = 0, u₀ = 0, t₀ = 0. Тогда система (1)-(3) примет вид

x = u, x(0) = 0, u²¹ - u²² - t|x| = 0.

Для этой системы предположение (R1) нарушается, поскольку

G1u(x₀,u₀,t₀) = 0.

Покажем, что предположение (R3) выполняется.

Положим h := (1, 1)^т. Имеем V = R², cone (U - {u₀}) = R²,

G1uu(x₀,u₀,t₀)[u,v] = 2u₁v₁ - 2u₂v₂ для всех u = (u₁,u₂)^т ∈ R² и v = (v₁,v₂)^т ∈ R².

Следовательно,

-G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,h] = 0 ∈ {0} = G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀}),

G1u(x₀,u₀,t₀)cone (U - {u₀}) + G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,cone (U - {u₀})

^⋂V]=

= G1uu(x₀,u₀,t₀)[h,R²] = {2v₁ - 2v₂ : (v₁,v₂)^т ∈ R²} = R.

Значит, в рассматриваемом примере предположение (R3) выполняется. Поэтому в силу тео-

ремы 2 (см. замечание 2) система разрешима в точке (x₀, u₀, t₀).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

УПРАВЛЯЕМОСТЬ ДЛЯ ЗАДАЧ СО СМЕШАННЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

259

В заключение приведём простой пример, иллюстрирующий существенность условий регу-

лярности (R3) и (R4). Рассмотрим управляемую систему

x = u, x(0) = 0, u² + t² ≤ 0.

Очевидно, что эта система не разрешима в точке (0, 0, 0) и предположения (R3) и (R4) для

этой системы нарушаются.

Результаты п. 1 получены Арутюновым А.В. при финансовой поддержке Российского на-

учного фонда (проект 22-11-00042), результаты п. 2 - Жуковским С.Е. при финансовой под-

держке гранта Президента Российской Федерации (проект МД-2658.2021.1.1).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнов А.В. Теорема о неявной функции без априорных предположений нормальности // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2006. Т. 46. № 2. C. 205-215.

2. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.,

1977.

3. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Существование обратных отображений и их свойства // Тр.

МИАН. 2010. Т. 271. C. 18-28.

4. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Локальная разрешимость управляемых систем со смешанными

ограничениями // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1561-1570.

5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М., 1979.

Институт проблем управления

Поступила в редакцию 04.11.2021 г.

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва

После доработки 04.11.2021 г.

Принята к публикации 07.02.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

8^∗