ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.270-274
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.956.32
ДВУМЕРНЫЕ АНАЛОГИ КЛАССИЧЕСКОЙ
ВОЛНЫ БЕЙТМЕНА - РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
С ДВИЖУЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ
© 2022 г. А. С. Благовещенский, Е. А. Злобина, А. П. Киселев
Показано, что естественные обобщения решения волнового уравнения с тремя простран-
ственными переменными, предложенного Г. Бейтменом, на случай двух пространственных
переменных являются решениями задач с точечными источниками.
DOI: 10.31857/S0374064122020121
Введение. Г. Бейтмен [1] предложил в качестве решения волнового уравнения с тремя
пространственными переменными
Uxx + Uyy + Uzz - c-2Utt = 0, c = const > 0,
(1)
сингулярное выражение - волну Бейтмана
(
)
1
x2 + y2
U =
f α+
(2)
β
β
Здесь форма волны f - произвольная функция одного переменного, а
α = z - ct, β = z + ct.
(3)
Нетрудно непосредственно проверить, что для гладкой функции f функция (2) удовлетворяет
уравнению (1) при z = -ct. Не интересовавший Бейтмена вопрос о том, является ли функ-
ция (2) решением уравнения (1) во всём пространстве-времени R3 × R, решён положительно
лишь недавно (см. [2, 3]) и только для гладких финитных функций f.
Выражение (2) принадлежит к классу относительно неискажающихся волн. Так в клас-
сических руководствах по математической физике (см., например, [4, с. 617]) названы функ-
ции вида
U = gf(Θ),
(4)
где функции g = g(x, y, z, t) и Θ = Θ(x, y, z, t) фиксированы, а форма волны f произвольна.
При этом не уточняется, допустимо ли локальное нарушение равенства (1) и какими свой-
ствами должны обладать g, f и Θ. Чтобы это определение охватывало важные примеры,
следует потребовать, чтобы уравнение (1) выполнялось всюду, кроме, быть может, многообра-
зия меньшей размерности∗). Функции, удовлетворяющие однородному волновому уравнению
(1) в R3×R за исключением, быть может, многообразия меньшей размерности, будем называть
волнами (независимо от того, имеют ли они вид (4) или нет).
C 90-х годов прошлого столетия внимание исследователей привлекают комплексифици-
рованные версии волны Бейтмена, простейшая из которых получается сдвигом на мнимую
постоянную:
β → β∗ = β - ib = z + ct - ib,
(5)
∗) Для классических сферических волн такое многообразие состоит из одной пространственной точки, а для
привлекающих большое внимание с 70-х годов прошлого века комплексифицированных сферических волн оно
представляет собой двумерное многообразие с краем в R3 (см., например, [5]).
270
ДВУМЕРНЫЕ АНАЛОГИ КЛАССИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ БЕЙТМЕНА
271
b > 0, а от функции f требуется аналитичность в верхней полуплоскости. Такие волны имеют
приложения в оптике, поскольку при удачно подобранных f описывают сильно локализован-
ные волновые пучки и пакеты (см., например, [6-8]). И исходная (2), и комлексифицированные
версии волны Бейтмена доставляют простые примеры [2, 3] решений уравнения (1) во всём
R3 × R, имеющих сингулярность в бегущей пространственной точке. Внимание к таким реше-
ниям привлечено открытиями Хёрмандера [9, с. 324].
Комплексифицированная волна Бейтмена (2), (5) удовлетворяет однородному волновому
уравнению во всём пространстве-времени и легко обобщается с сохранением этого свойства на
произвольную пространственную размерность, большую единицы [10]. Некомплексифициро-
ванные волны Бейтмена в произвольной размерности введены К. Шимомурой [11], который не
интересовался вопросом о том, являются ли они решениями однородного волнового уравнения
во всём пространстве-времени.
В настоящей заметке показано, что в случае двух пространственных переменных при ис-
чезновении комплексифицирующей добавки волна Бейтмена перестаёт быть решением одно-
родного волнового уравнения и становится решением задачи с бегущим точечным источником.
Соответствующую функцию источника мы вычисляем явно.
1. Постановка задачи. Двумерная версия волны Бейтмена, предложенная в [11], име-
ет вид
2
1
x
u :=
,
(6)
√βf(θ),θ=α+
β
где линейные функции α и β определены в (3). Квадратный корень понимается обычным
образом: если p ≥ 0, то
√p ≥ 0 и√-p = i√p. Форма волны f предполагается достаточно
гладкой.
Результат применения оператора Даламбера, отвечающего двум пространственным пере-
менными (x, z), к функции (6) обозначим через F :
□u = uxx + uzz - c-2utt = uxx + 4uαβ = F.
(7)
Наша цель состоит в вычислении обобщённой функции F, которую мы называем функцией ис-
точника. В отличие от случая трёх пространственных переменных, она оказывается отличной
от нуля.
Кроме того, аналогичный вопрос решается для двух других относительно неискажающихся
волн, получающихся из комплексифицированного решения вида (6), в котором сделана замена
(5), в результате перехода к пределу b → 0:
1
u :=
√ f(θ)
(8)
|β|
и
sgnβ
u :=
√ f(θ).
(9)
|β|
Справедлива
Теорема 1. Пусть в выражении (6) функция f принадлежит классу C20(R). Тогда пра-
вая часть равенства (7) имеет вид
F = δ(x)δ(β)(F+(α) + iF-(α)),
(10)
где
α
+∞
∫
f′(s) ds
f′(s)ds
F+(α) = 4
(11)
√s - α,F-(α)=4
√α - s.
α
-∞
Функция источника (10) сосредоточена в пространственной точке {x = 0, z = -ct}, бе-
гущей вдоль пространственной прямой x = 0 со скоростью c, и имеет амплитуду, завися-
щую от α.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
272
БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ и др.
2. Доказательство теоремы 1. Нетрудно показать, что функция (6) локально интегриру-
ема на R3. В стандартных для теории обобщённых функций обозначениях (см., например, [9])
равенство (7) записывается следующим образом:
∫
(□ u, ϕ) = (u, □ ϕ) := u □ ϕ dx dy dt = (F, □ ϕ),
(12)
R3
где ϕ ∈ C∞0(R3) - произвольная основная функция.
Пусть ε > 0. Очевидно, что □ u = 0 в областях Ωε = {(x, α, β) ∈ R3 : β ≥ ε} и Ω-ε =
= {(x, α, β) ∈ R3 : β ≤ -ε}, а интеграл в (12) представим в виде
∫
(∫
∫ )
1
u□ϕdxdy dt =
lim
+
u□ϕdxdαdβ.
(13)
2c
ε→0
R3
Ωε Ω-ε
Рассмотрим в (13) интеграл по области Ωε. Интегрируя по частям по переменным x и β
и пользуясь финитностью функции ϕ, получаем
∫
∫
∫
u□ϕdxdαdβ = ϕ□udxdαdβ + 4 (uαϕ)(x,α,ε)dxdα.
(14)
Ωε
Ωε
R2
Так как u удовлетворяет уравнению (1) в области Ωε, то первое слагаемое в правой части
этого равенства равно нулю.
Исследуем второе слагаемое в правой части (14). Заметим, что
(
)
1
x2
uα(x,α,ε)|β=ε =
,
√εf′ α+
ε
где f′(s) := df(s)/ds. В интеграле перейдём от переменной x к переменной ξ = x2/ε, тогда
∫
∫
∫
√
√
f′(α + ξ)
4
(uαϕ)(x, α, ε) dx dα = 2
dα
εξ, α, ε) + ϕ(-
εξ, α, ε)) dξ =
√ξ(ϕ(
R2
-∞
0
+∞
∫
√
√
f′(s)
=2
dα
ε(s - α), α, ε) + ϕ(-
ε(s - α), α, ε)) ds.
√s - α(ϕ(
−∞
α
Устремим ε → 0. Воспользовавшись финитностью ϕ, получим
∫
∫
∫
f′(s)
lim
ϕ□udαdβ dx = 4 dα
ε→0
√s - αϕ(0,α,0)ds.
Ωϵ
-∞
α
Заметим, что
+∞
∫
∫
f′(s)
4
dα
(15)
√s - αϕ(0,α,0)ds=δ(x)δ(β)F+(α)ϕ(x,α,β)dxdαdβ,
−∞
α
R3
где функция F+ определена в (11).
Совершенно аналогично, учитывая, что
(
)
i
x2
uα(x,α,β)|β=-ε = -
,
√εf′ α-
ε
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
ДВУМЕРНЫЕ АНАЛОГИ КЛАССИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ БЕЙТМЕНА
273
находим предел интеграла по Ω-ε при ε → 0:
∫
∫
∫
α
f′(s)
lim
ϕ□udαdβ dx = 4i dα
ε→0
√α - sϕ(0,α,0)=
Ω-ε
-∞
-∞
∫
= i δ(x)δ(β)F-(α)ϕ(x,α,β)dxdα dβ
(16)
R3
(функция F- определена в (11)). Подставляя (15) и (16) в представление (13), получаем для
функции F выражение (10). Теорема 1 доказана.
3. Функции источника для волн (8) и (9). Аналогично доказывается
Теорема 2. При f ∈ C20(R) в случае (8) правая часть равенства (7) имеет вид
F = δ(x)δ(β)(F+(α) - F-(α)),
а в случае (9) - вид
F = δ(x)δ(β)(F+(α) + F-(α)).
Функции F± определены в (11).
Замечание 1. Условие финитности формы волны f ∈ C2(R) в условиях теорем 1 и 2
может быть ослаблено. Достаточно потребовать следующей скорости убывания f′(s) при
|s| → ∞:
|f′(s)| ≤ const|s|-γ-1/2, γ > 0, const > 0.
Замечание 2. Результаты, аналогичные теоремам 1 и 2, справедливы для всех чётных
пространственных размерностей.
Заключительные замечания. Мы показали, что введённая К. Шимомурой [11, 12]
некомплексифицированная волна Бейтмена (6) не является для пространственной размерно-
сти 2 при гладких формах волны f решением однородного волнового уравнения □ u = 0 в
R2 × R.
Применение классического метода спуска [4, с. 682] к волне Бейтмена (2) даёт решение
однородного волнового уравнения для пространственной размерности 2 (см. [13]). Это решение
не является относительно неискажающейся волной.
Отметим, что одно из фундаментальных решений двумерного волновог√уравнения можно
трактовать как функцию вида (6) c сингулярной формой волны f(θ) = 1/
-θ (для которой
интегралы (11) расходятся, см. [14]). Выражение для соответствующей функции источника
качественно отличается от найденного выше для гладких функций f.
Исследования Злобиной Е.А. выполнены при финансовой поддержке Министерства обра-
зования и науки Российской Федерации (соглашение между МОН РФ и ПОМИ РАН о предо-
ставлении гранта в форме субсидий из федерального бюджета на создание и развитие между-
народных математических центров мирового уровня № 075-15-2019-1620 от 8 ноября 2019 г.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Bateman H. The conformal transformations of space of four dimensions and their applications to
geometrical optics // Proc. London Math. Soc. 1909. V. 7. P. 70-89.
2. Благовещенский А.С. Плоские волны, решения Бейтмена и источники на бесконечности // Зап.
науч. семинаров ПОМИ. 2014. Т. 426. С. 23-33.
3. Blagoveshchensky A.S., Tagirdzhanov A.M., Kiselev A.P. On the Bateman-Hörmander solution of the
wave equation, having a singularity at a running point // Зап. науч. семинаров ПОМИ. 2018. Т. 471.
С. 76-85.
4. Курант Р. Уравнения с частными производными. М., 1964.
5. Tagirdzhanov A.M., Blagoveshchensky A.S., Kiselev A.P. “Complex source” wavefields: sources in real
space // J. Phys. A: Math. Theor. 2011. V. 44. № 42. P. 425203.
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
274
БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ и др.
6. Hillion P. Courant-Hilbert solutions of the wave equation // J. Math. Phys. 1992. V. 33. № 8. P. 2749-
2753.
7. Kiselev A.P., Perel M.V. Highly localized solutions of the wave equation // J. Math. Phys. 2000. V. 41.
№ 4. P. 1934-1955.
8. Киселев А.П. Локализованные световые волны: параксиальные и точные решения волнового урав-
нения. Обзор // Оптика и cпектроскопия. 2007. Т. 102. № 4. С. 697-717.
9. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. T. 1.
М., 1986.
10. Киселев А.П., Перель М.В. Относительно неискажающиеся волны для m-мерного волнового урав-
нения // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 8. C. 1128-1129.
11. Shimomura K. Liouville type theorem associated with the wave equation // Math. J. Ibaraki Univ. 2011.
V. 43. P. 51-64.
12. Shimomura K. Generalizations of Bateman’s transformation for general indefinite metrics // Math. J.
Ibaraki Univ. 2013. V. 45. P. 7-13.
13. Благовещенский А.С., Киселев А.П. Двумерные волны Бейтмена-Хёрмандера с сингулярностью в
бегущей точке // Мат. заметки. 2019. Т. 106. Вып. 5. С. 793-796.
14. Злобина Е.А., Киселев А.П. Двумерные сингулярные сплэш моды // Зап. науч. семинаров ПОМИ.
2019. Т. 483. С. 79-84.
Санкт-Петербургский государственный университет,
Поступила в редакцию 22.02.2021 г.
Санкт-Петербургское отделение
После доработки 22.12.2021 г.
Математического института им. В.А. Стеклова РАН,
Принята к публикации 07.02.2022 г.
Институт проблем машиноведения РАН,
г. Санкт-Петербург
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№2
2022
