ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 2, с.275-279

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.968.72

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,

ВОЗНИКАЮЩИХ В ТЕПЛОФИЗИКЕ

Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение Гуртина-Пипкина в предположе-

нии, что его ядра представляют собой ряды из экспонент. Для оператор-функции, являю-

щейся его символом, найдена асимптотика невещественной части спектра.

DOI: 10.31857/S0374064122020133

Введение. Данная работа посвящена исследованию спектра оператор-функции, возника-

ющей при изучении абстрактного интегро-дифференциального уравнения второго порядка в

сепарабельном гильбертовом пространстве H :

∫

d²u(t)

du(s)

+ Q(t - s)

ds + A²u(t) - K(t - s)A²u(s) ds = f(t), t ∈ R₊ := (0, +∞),

(1)

dt²

с начальными условиями

u(+0) = ϕ₀, u^′(+0) = ϕ₁.

(2)

Здесь A - линейный оператор, действующий в H; A : Dom (A) → H - самосопряжённый

положительно определённый оператор, обратный к которому компактен. При этом предпола-

гается, что скалярные функции Q(t) и K(t) допускают представления

∑

Q(t) =

d_ke-γkt, K(t) =

c_ke-γkt,

k=1

где числа c_k, d_k, γ_k (k ∈ N) положительны и последовательность {γ_k}∞k=1 монотонно воз-

растает к +∞.

Задача (1), (2) является операторной моделью известного уравнения Гуртина-Пипкина [1],

возникающего в теории теплопроводности, изучению которого посвящено большое количество

работ. Отметим, что уравнение вида (1), (2), где Q ≡ 0, подробно изучено в работах [2-7].

В работе [8] рассматривались задачи управления решениями уравнения Гуртина-Пипкина

посредством граничных воздействий. Подход к решению задачи (1), (2) с позиции теории

полугрупп развит в [9] и [10].

В данной работе проводится спектральный анализ оператор-функции, возникающей в ре-

зультате применения преобразования Лапласа к левой части уравнения (1). В частности, по-

лучена локализация спектра этой оператор-функции.

1. Постановка задачи. Рассмотрим в сепарабельном гильбертовом пространстве H опе-

ратор-функцию

L(λ) := λ²I + λQ(λ) -K(λ)A² + A².

Функции

^Q(λ),

^K(λ) - преобразования Лапласа функций Q(t), K(t) соответственно, т.е.

∑

d_k

c_k

^Q(λ) =

^K(λ) =

(3)

λ+γ_k

k=1

275

9^∗

276

ПАНКРАТОВА

В дальнейшем предполагаем, что выполняется

Условие A. Пусть коэффициенты c_k, d_k и числа γ_k (k ∈ N) допускают следующие

представления:

c_k = Ak^-α + O(k-α-1), d_k = Ek^-μ + O(k-μ-1), γ_k = Bk^β + O(kβ-1) при k → +∞,

где A > 0, B > 0, E > 0,

0 < α ≤ 1,

0 < μ ≤ 1, α + β > 1, μ + β > 1, и выполнено

неравенство

∑

c_k

< 1.

k=1

2. Изучение спектра оператор-функции L(λ). При сделанных предположениях отно-

сительно оператора A в пространстве H имеется ортонормированный базис {e_n}n∈N, состав-

ленный из собственных векторов оператора A. Обозначим собственное значение оператора A,

отвечающее вектору e_n, через a_n, т.е. Ae_n = a_ne_n, n ∈ N. Числа a_n вещественны, положи-

тельны, не ограничены в совокупности и не имеют конечных предельных точек; без нарушения

общности считаем, что последовательность (a_n) не убывает. Для каждого n ∈ N рассмотрим

проекции на одномерное собственное подпространство span e_n вектора L(λ)e_n, т.е. функцию

l_n(λ) := (L(λ)e_n,e_n) = λ² + λQ(λ) - a2n K(λ) + a2n.

(4)

Тогда спектр σ(L(λ)) оператор-функции L(λ) совпадает с множеством {⋃λ : ln(λ) = 0} [2,

гл. 3, с. 196]. Обозначим r := (α + β - 1)/β. Из приведённых выше неравенств для чисел α и

β следует, что r ∈ (0, 1]. Введём последовательность {b_k(t)}∞k=0 функций равенством

(

)

r-1

∑

∏

b_k(t) = -

eiπ(k-r+1)/2

(r + s)

βt^r sin (πr)

2j+1(k - j)!

j=0

s=0

По построению b_k(a_n) = O(1/a^rn).

Если r ∈ (0, 1), то обозначим M := ⌈1/r⌉-1. С помощью последовательности {b_k(a_n)}∞k=0

рекуррентно определим последовательность {t_k(a_n)}Mk=1, положив t₁(a_n) = b₀(a_n), t₂(a_n) =

= b₁(a_n)t₁(a_n), t₃(a_n) = b₁(a_n)t₂(a_n) + b₂(a_n)t²¹(a_n) и далее

t_k(a_n) = b₁(a_n)tk-1(a_n) + b₂(a_n)(t₁(a_n)tk-2(a_n) + t₂(a_n)tk-3(a_n) + ... + tk-2(a_n)t₁(a_n)) +

+b₃(a_n){t₁(a_n)[t₁(a_n)tk-3(a_n)+t₂(a_n)tk-4(a_n)+...+tk-3(a_n)t₁(a_n)]+t₂(a_n)[t₁(a_n)tk-4(a_n)+

... + tk-4(a_n)t₁(a_n)] + ... + tk-3(a_n)t₁(a_n)t₁(a_n)} + ... + bk-1(a_n)tk-11(a_n).

Здесь t_k(a_n), k ≥ 2, является суммой произведений b_l(a_n), где l = 1, k - 1, на сумму всевоз-

можных произведений из l множителей, выбранных из набора {t_s(a_n)}k-1s=1, таких, что сумма

индексов в каждом таком произведении из l множителей равна k - 1.

Предложение. При n → +∞ имеет место асимптотическое равенство

t_k(a_n) = O(1/a^rkn).

Основной результат работы содержит следующая

Теорема. Пусть выполнено условие A. Тогда функция l_n(λ) имеет ровно два невеще-

ственных корня λ^±n, эти корни комплексно сопряжены, т.е. λ+n = λⁿ, и асимптотически

представимы в виде

∑

λ+n = ia_n + a_n t_k(a_n) + O(1), если

0 < r < 1, M = ⌈1/r⌉ - 1,

(5)

k=1

λ+n = ia_n -

ln a_n + O(1), если r = 1

(6)

2β

при n → +∞ .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

277

Отметим, что сформулированная теорема является обобщением соответствующих резуль-

татов из [2, гл. 3; 6]. В указанных работах рассматривался случай Q(t) ≡ 0.

Доказательство теоремы разобьём на несколько этапов.

1. Сначала докажем, что все функции l_n(λ) имеют не более двух невещественных нулей.

Обозначим: C₊ := {z ∈ C : Im z > 0} - верхняя полуплоскость и C_- := {z ∈ C : Im z < 0} -

нижняя полуплоскость. Для z₁, z₂ ∈ C₊ определено неевклидово расстояние [11, с. 30]

|z₁ - z₂| + |z₁ - z₂|

D(z₁, z₂) =

|z₁ - z₂| - |z₁ - z₂|

В дальнейшем нам понадобится

Теорема Шварца-Пика [11, гл. 4, теорема 3]. Пусть f(z) - голоморфная функция, от-

личная от константы, отображающая верхнюю полуплоскость в себя. Тогда для любых двух

внутренних точек z₁ и z₂ верхней полуплоскости выполнено неравенство D(f(z₁), f(z₂)) ≤

≤ D(z₁,z₂), причём равенство достигается только в случае, если f(z) - дробно-линейное

отображение, переводящее верхнюю полуплоскость на себя.

Лемма 1. Функция l_n(λ), определённая равенством (4), для любого n ∈ N имеет не более

двух невещественных корней, причём эти корни комплексно сопряжены.

Доказательство леммы. Запишем уравнение l_n(λ) = λ² + λQ(λ) - a2n K(λ) + a2n = 0 в

виде равенства λ = ψ(f_n(λ)), где f_n(λ) = -a2n + a2n K(λ) - λQ(λ) и ψ(z) = |z|1/2e(iargz)/2.

Несложно видеть, что f_n(λ) : C₊ → C_-. Поэтому ψ(f_n(λ)) : C₊ → C₊.

Если z₁ = ψ(f_n(z₁)), z₂ = ψ(f_n(z₂)), z₁, z₂ ∈ C₊, z₁ = z₂, то по теореме Шварца-

Пика D(z₁, z₂) = D(ψ(f_n(z₁)), ψ(f_n(z₂))) < D(z₁, z₂). Последнее неравенство верно, поскольку

ψ(f_n(z)) не является дробно-линейным отображением. Единственность доказана.

2. Покажем, что для достаточно больших натуральных n невещественные нули функции

l_n(λ) асимптотически представимы в виде λ+n = ia_n + τ_na_n, λ^-n = λⁿ, где {τ_n} - некоторая

числовая последовательность. Для этого достаточно показать, что асимптотическое представ-

ление λ+n удовлетворяет уравнению l_n(λ+n) = 0, т.е. τ_n = g_n(τ_n), где

(

)

g_n(τ) =

^K(ia_n + τa_n) -ian +τan Q(ia_n + τa_n) ,

z_n = ia_n + τa_n.

(7)

τ + 2i

a2n

Таким образом, для достаточно больших n число τ_n является неподвижной точкой отображе-

ния τ → g_n(τ). Следовательно, достаточно показать, что для всех n, начиная с некоторого,

отображение τ → g_n(τ) является сжимающим. Тогда искомое решение τ_n ∈ R может быть

найдено как предел последовательности

n , k→∞, где

=g_n(

= 0.

В дальнейшем в доказательстве мы будем заменять суммы рядов интегралами и проводить

оценки полученных интегралов. Для этого нужны леммы 2-5, носящие технический характер.

Лемма 2. Пусть z ∈ C, а функцииK(z),

^Q(z) определены равенством (3). Если |arg z| <

< π - δ, где δ > 0 и |z| > 1, то справедливы следующие утверждения:

∫∞

A dx

| K(k)(z) - h_k(z)| ≲

где h_k(z) = (-1)^kk!

k∈N

^⋃ {0};

(8)

|z|k+1

x^α(z + Bx^β)k+1

∞

∫

r-1

K (k)(z)=(-1)kk!AB

+ O(1/|z|k+1) при

0 < r < 1, k ∈ N

^⋃ {0};

β|z|r+k

t^r(e^iϕ + t)k+1



z



K (k)(z)=(-1)kk!A



O(1/|z|k+1) при r = 1, k ∈ N

^⋃ {0};

⁺

βzk+1

^B⁺

|z^k K(k)(z)| → 0,

|z^k Q(k)(z)| → 0 при

|z| → +∞, k ∈ N

^⋃ {0}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

278

ПАНКРАТОВА

Отношение ≲ в (8) означает, что если a_k ≲ b_k при k ∈ N, то найдётся постоянная c > 0

такая, что a_k ≤ cb_k при k ∈ N.

Лемма 3. Отображение τ → g_n(τ), определённое равенством (7), является сжимаю-

щим. При этом функция g_n(τ) аналитична в круге |τ| < 1/2.

Лемма 4. Пусть отображение

^K(λ) определено равенством (3). Тогда

r-1

∏

K (k)(ian) =^AB

(r + j)eiπ(k-r)/2 + O(1/ak+1n) при

0 < r < 1, k ∈ N

^⋃ {0},

βan+k

sin (πr)

j=0

(-1)^kk!A

K (k)(ian) =

ln a_n + O(1/ak+1n) при r = 1, k ∈ N

^⋃ {0}.

ik+1βan+1

Лемма 5. Пусть отображение g_n(τ) определено равенством (7). Тогда верны следующие

соотношения:

(

)

r-1

∑

∏

g(k)n(0) = -k!

eiπ(k-r+1)/2

(r + s)

+ O(1/a_n) =

βa^rn sin (πr)

2j+1(k - j)!

j=0

s=0

= k!b_k + O(1/a_n) при r ∈ (0,1), k ∈ N

^⋃ {0},

2k⁺¹ - 1 A

g(k)n(0) = -k!eiπk/2

ln(a_n) + O(1/a_n) при r = 1, k ∈ N

^⋃ {0}.

2k⁺¹

βa_n

∑_∞

Представим функцию g_n(τ) в круге |τ| < 1/2 степенным рядом g_n(τ)=

(gnk)(0)τ^k/k!)

k=0

и будем искать для каждого n предел последовательности

n , k → ∞, где, как и выше,

= g_n(

= 0. Рассмотрим сначала случай r ∈ (0, 1). Для каждого n имеем

равенство gnk)(0)/k! = b_k + θnk], где θnk] = O(1/an) при n → +∞. Группируя члены по

степеням a_n до степени 1/a_n, получаем

τ[0]n = 0,

τ[1]n = g_n(τ[0]n) = b₀(a_n) + θ[0]n = t₁(a_n) + ϕ[1]n,

τ[2]n = g_n(τ[1]n) = (b₀(a_n) + θ[0]n) + (b₁(a_n) + θ[1]n)(t₁(a_n) + ϕ[1]n) + (b₂(a_n) + θ[2]n)(t₁(a_n) + ϕ[1]n)² +

...+(bM-1(a_n)+θ[M-1]n)(t₁(a_n)+ϕ[1]n )M-1+ψ[2]n = b₀(a_n)+b₁(a_n)t₁(a_n)+b₂(a_n)t²¹(a_n)+...+ϕ[2]n =

= t₁(a_n) + t₂(a_n) + b₂(a_n)t²¹(a_n) + ... + bM-1(a_n)tM-11(a_n) + ϕ[2]n ,

...,

τ[k]n = t₁(a_n) + ... + t_M (a_n) + ϕ[k]n для k ≥ M.

Отметим, что для каждого k справедливы равенства θnk] = O(1/a_n), ψnk] = O(1/a_n) и ϕnk] =

= O(1/a_n) при n → +∞. lim

= τ_n, поэтому для ε = 1/a_n существует^k такое, что для

k→∞

любого k >k выполняется неравенство |τ_n -

n | < 1/an, т.е.

τ_n = τ[k]n + δ[k]n, где δ[k]n = O(1/a_n), при n → +∞.

Таким образом, выбрав k большим, чем max(M,k), будем иметь τ_n =

+ δnk] = t₁(a_n) +

+ ... + t_M(a_n) + ϕnk] + δnk]. Следовательно, τ_n = t₁(a_n) + ... + t_M(a_n) + O(1/a_n).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

279

Рассмотрим теперь случай r = 1. Проводя рассуждения, аналогичные предыдущему слу-

чаю, получаем, что

=g_n(0)+ϕnk] при k ≥ 1, где ϕnk] = O(1/a_n) при n → +∞, lim

k→∞

= τ_n. Поэтому для ε = 1/a_n существует^k такое, что для любого k > k выполняется нера-

венство |τ_n -

n | < 1/an, т.е. τn =

+ δnk], где δnk] = O(1/a_n) при n → +∞. Фиксируя

k > k и учитывая, что ϕnk] + δnk] = O(1/a_n) при n → +∞, получаем

τ_n = τ[k]n + δ[k]n = g_n(0) + ϕ[k]n + δ[k]n = -

ln a_n + O(1/a_n) при n → +∞.

2 βa_n

Таким образом, при r ∈ (0, 1) справедливо асимптотическое равенство (5), а при r = 1 -

равенство (6). Теорема доказана.

Автор выражает благодарность проф. В.В. Власову за постановку задачи и внимание к

работе, а также всем участникам семинара под его руководством за полезные указания и

обсуждения полученных результатов.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Междисциплинарной научно-образо-

вательной школы МГУ “Математические методы анализа сложных систем”, а также Москов-

ского центра фундаментальной и прикладной математики.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Pipkin A.C., Gurtin M.E. A General theory of heat conduction with finite wave speeds"// Arch. for

Rational Mech. and Anal. 1968. V. 31. P. 113-126.

2. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.

М., 2016.

3. Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Исследование операторных моделей, возникающих в

задачах наследственной механики // Совр. математика. Фунд. направления. 2012. Т. 45. С. 43-61.

4. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ интегро-дифференциальных уравнений в гиль-

бертовом пространстве // Совр. математика. Фунд. направления. 2016. Т. 62. С. 53-71.

5. Eremenko A., Ivanov S. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations // SIAM J. Math. Anal. 2011.

V. 43. № 5. P. 2296-2306.

6. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гипер-

болических интегродифференциальных уравнений // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2011. Вып. 28.

С. 75-113.

7. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ и представление решений интегро-дифференци-

альных уравнений с дробно-экспоненциальными ядрами // Тр. Моск. мат. о-ва. 2019. Т. 80. № 2.

С. 197-220.

8. Pandolfi L., Ivanov S. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest // J. of Math. and

Appl. 2009. V. 355. P. 1-11.

9. Раутиан Н.А. О свойствах полугрупп, порождаемых вольтерровыми интегро-дифференциальными

уравнениями с ядрами, представимыми интегралами Стилтьеса // Дифференц. уравнения. 2021.

Т. 57. № 9. С. 1255-1272.

10. Закора Д.А. Модель сжимаемой жидкости Олдройта // Тр. Крымской осенней мат. школы-симпо-

зиума. М., 2016. С. 41-66.

11. Каратеодори К. Конформное отображение. М., 1934.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 20.12.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 02.02.2022 г.

Принята к публикации 24.02.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№2

2022