ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.319-345
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.928.2
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛОМОВА
ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫХ
ЗАДАЧИ КОШИ И КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ НА ПОЛУОСИ
ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
С “ПРОСТОЙ” РАЦИОНАЛЬНОЙ ТОЧКОЙ ПОВОРОТА
© 2022 г. А. Г. Елисеев, Т. А. Ратникова, Д. А. Шапошникова
Метод регуляризации Ломова развит для задачи Коши и смешанной задачи для сингу-
лярно возмущённого параболического уравнения в случае “простой” рациональной точки
поворота у предельного оператора. Для доказательства асимптотической сходимости воз-
никающих рядов используется принцип максимума.
DOI: 10.31857/S0374064122030049, EDN: BXTCBM
Светлой памяти нашего дорогого учителя
Сергея Александровича Ломова (12.10.1922-12.06.1993),
выдающегося математика и прекрасного человека,
в связи со 100-летием со дня его рождения
посвящается эта работа
Введение. Сингулярно возмущённые уравнения, начиная с работ академика А.Н. Тихоно-
ва [1, 2], привлекают внимание многих исследователей. Это объясняется большой прикладной
значимостью таких уравнений. С помощью сингулярно возмущённых уравнений описываются
задачи, возникающие в квантовой механике, гидродинамике, химической кинетике. Особое ме-
сто в этом перечне занимают задачи с нестабильным спектром предельного оператора (т.е. за-
дачи с точками поворота или задачи со спектральными особенностями). В качестве примеров
таких задач можно указать на уравнение Шрёдингера для туннельного перехода, задачу с
классическим осциллятором, задачи механики сплошной среды и др.
Методам решения задач со спектральными особенностями посвящены монографии [3-5] и
работа [6]. Настоящая статья развивает и дополняет исследования школы С.А. Ломова по ме-
тоду регуляризации, который разработан основателем этой школы в середине шестидесятых
годов прошлого столетия и схема которого в общих чертах состоит в следующем. Введением
регуляризирующих функций, содержащих в себе все нерегулярности решения, возникающие
из-за малого параметра, сингулярная задача сводится к регулярной в пространстве большей
размерности. Используя схему классической теории возмущений, строится теория разрешимо-
сти соответствующих итерационных задач в пространстве большей размерности, а затем после
построения асимптотического ряда по степеням малого параметра производится сужение на
регуляризирующие функции, которое и приводит к построению асимптотического решения
исходной сингулярно возмущённой задачи.
Одним из достоинств метода регуляризации Ломова является то, что он даёт возможность
строить регуляризованное асимптотическое решение во всей области интегрирования, а при
определённых условиях на коэффициенты даёт и точное решение задачи.
В работах С.А. Ломова и его учеников разработана, в частности, общая теория асимптоти-
ческого интегрирования для задач, в которых переменный предельный оператор A(t) дискрет-
но необратим, т.е. одна из точек его спектра при отдельных значениях tj ∈ [0, T ] обращается
в нуль (другие точки спектра в нуль не обращаются на всём отрезке [0, T ]), причём сам опе-
ратор A(t) является диагонализируемым при всех значениях t ∈ [0, T ] (включая и точки
необратимости t = tj). В этом случае точки tj называются “простыми” точками поворота.
319
320
ЕЛИСЕЕВ и др.
Случай “простой” точки поворота с натуральным показателем типа tna(t), n ∈ N, изучался в
работе [7], а cлучай негладкого спектра предельного оператора - в [8]. Случай аналитических
решений по параметру сингулярно возмущённого уравнения при наличии простейшей точки
поворота у предельного оператора рассмотрен в работе [9].
В данной работе изучаются сингулярно возмущённые задача Коши и смешанная задача на
полуоси для параболического уравнения в случае “простой” точки поворота с рациональным
показателем типа tra(t), r ∈ Q.
Возникающие из-за наличия рациональной точки поворота трудности в процессе построе-
ния асимптотики решения сингулярно возмущённых задач ранее с точки зрения метода регу-
ляризации не рассматривались. Исследование этих трудностей и разработка соответствующего
алгоритма метода регуляризации существенно дополнят теорию сингулярных возмущений.
1. Задача Коши для сингулярно возмущённого параболического уравнения с
простой рациональной точкой поворота. Рассматриваемая в работе задача возникла в
результате выступления одного из авторов на научно-исследовательском семинаре “Спектраль-
ная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики”,
руководимом академиком РАН Е.И. Моисеевым и профессором И.С. Ломовым.
На этом семинаре докладывалось о задаче Коши, у которой перед второй производной сто-
яла вторая степень ε2 малого параметра (модельное уравнение Шрёдингера) [10]. Естественно
возник вопрос, как изменились бы ответ и рассуждения в этой задаче, если бы в ней перед
второй производной стояла первая степень ε малого параметра, поскольку такое изменение
усложняет построение регуляризованного асимптотического решения. Ответ на этот вопрос и
даёт данная статья.
1.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу Коши
(
(
)))
(∂u
∂
∂u
ε
-
k(x)
+ tm/na(t)u = h(x,t),
∂t
∂x
∂x
u(x, 0) = f(x),
-∞ < x < +∞,
(1)
и пусть для неё выполнены следующие предположения:
1) h(x, t) ∈ C∞(R×[0, T ]), функция h(x, t) и все её производные ограничены на R×[0, T ];
2) k(x) ∈ C∞(R), существуют положительные постоянные k0, M такие, что k0 ≤ k(x) <
√
< M(x2 + 1), |k′(x)| < M
x2 + 1 при всех x ∈ R;
3) f(x) ∈ C∞(R), функция f(x) и все её производные ограничены на R;
4) a(t) ∈ C∞([0, T ]), для всех t ∈ [0, T ] справедливы соотношения a(t) = 0 и Re a(t) ≥ 0;
5) m, n ∈ N, m/n = r ∈ Q \ N (m/n - несократимая дробь, n ≥ 2).
Эти условия обеспечивают существование и единственность ограниченного решения и воз-
можность построения асимптотического ряда для решения задачи (1).
Сингулярно возмущённые задачи возникают в том случае, когда область определения ис-
ходного оператора, зависящего от ε, при ε = 0 не совпадает с областью определения пре-
дельного оператора при ε = 0.
При изучении задач с “простой” точкой поворота возникает ситуация, когда область зна-
чений исходного оператора не совпадает с областью значений предельного оператора.
Сингулярности задачи (1) имеют вид
∫
t
e-ϕ(t)/ε, σi(t,ε) = e-ϕ(t)/ε eϕ(s)/εs-1+(i+1)/n ds,
0
∫t
где ϕ(t) =
sm/na(s)ds, i = 0,(p - 1), p = m + n - 1. Обозначим σ := {σ0,σ1,... ,σp-1}.
0
Введём, согласно методу регуляризации, расширенную функцию u(x, t, τ, σ) такую, что её
сужение
u(x, t, τ, σ)
= u(x, t)
τ=ϕ(t)/ε
σi=σi(t,ε)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
321
даёт решение задачи (1). Используя формулу сложного дифференцирования, получаем
∑
∂u
q(t) ∂u
=
u-
+
(-q(t)σi + t-1+(i+1)/n)
∂u,
(2)
∂t
ε
∂τ
∂σi
i=0
где q(t) = tm/na(t). Подставив выражение (2) в уравнение (1), будем иметь
(
)
∑
∂u
∂u
∂
∂u
u - q(t)
+
(-q(t)σi + εt-1+(i+1)/n)
=ε
k(x)
- q(t)u + h(x,t).
∂τ
∂σi
∂x
∂x
i=0
В результате приходим к задаче для расширенной функции u(x, t, τ, σ, ε):
(
)
( p-1∑
(
))
∑
∂u
∂u
∂u
∂
∂u
- q(t)
+
-q(t) σi
+ q(t)u = -ε
u+
t-1+(i+1)/n
-
k(x)
+ h(x, t),
∂τ
∂σi
∂σi
∂x
∂x
i=0
i=0
u(x, 0, 0, 0, ε) = f(x).
(3)
В дальнейшем знак тильды ∼ над u будем опускать.
Для решения задачи (3) введём пространство E безрезонансных решений, элементы кото-
рого имеют вид
∑
u = X(x,t)eτ +
Zi(x,t)σi + W(x,t),
i=0
где X(x, t), Zi(x, t), W (x, t) ∈ C∞(R × (0, T ])
⋂C(R × [0,T]).
Зададим операторы, порождённые задачей (3):
(
)
∑
∂
∂
L0 := -q(t)
+
-q(t) σi
+ q(t)I,
∂τ
∂σi
i=0
(
)
(
)
(
)(
)
∑
∑
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
L1 := -
t-1+(i+1)/n
+
k(x)
+
k(x)
+
k(x)
σi
,
∂σi
∂x
∂x
∂x
∂x
∂τ
∂x
∂x
∂σi
i=0
i=0
Γu := u(x,0,0,0,ε)
(4)
(I - единичный оператор). Действия операторов системы (3) на элементы пространства E
записываются в виде
∑
∑
L0u = -q(t)X(x,t)eτ +
-q(t)Zi(x,t)σi + q(t)X(x,t)eτ +
q(t)Zi(x, t)σi + q(t)W (x, t),
i=0
i=0
(
)
(
) p-1∑
(
)
∑
∂
∂W
∂
∂X
∂
∂Zi
L1u = -
t-1+(i+1)/nZi(x,t) +
k(x)
+
k(x)
eτ +
k(x)
σi.
(5)
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
i=0
i=0
Используя операторы (4), (5), запишем задачу (3) в виде
L0u = ε(- u + L1u) + h(x,t),
Γu = f(x).
(6)
Её решение будем искать в виде ряда по ε:
∑
u=
εkuk(x,t,τ,σ),
(7)
k=-1
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
322
ЕЛИСЕЕВ и др.
где
∑
uk(x,t,τ,σ) = Xk(x,t)eτ +
Zi(x,t)σi + Wk(x,t).
i=0
Подставляя ряд (7) в уравнения задачи (6), получаем следующую серию задач:
L0uk = - ˙uk-1 + L1uk-1 + δk0h(x,t),
Γuk = f(x)δk0, k = -1,∞.
(8)
Примем соглашение: если k - 1 ≤ -2, k - 2 ≤ -2, то слагаемые с такими k опускаем. Далее
через [·] и {·} обозначаем целую и дробную части числа.
Для того чтобы решить итерационные задачи (8), сформулируем и докажем теоремы 1 и 2
о разрешимости уравнения
L0u = h(x,t)
(9)
в пространстве E. В теоремах 1 и 2 при выполнении разных исходных предположений (случаи
I и II) получены необходимые и достаточные условия разрешимости этого уравнения.
Теорема 1 (разрешимость, случай I). Пусть выполнены предположения 1)-5) задачи (1)
и функция h(x, t) ∈ E имеет вид
∑
h(x, t) = h1(x, t)eτ +
hi2(x,t)σi + h3(x,t).
i=0
Тогда уравнение (9) разрешимо в пространстве E, если и только если имеют место
тождества h1(x,t) ≡ h2(x,t) ≡ 0 и
∂k
(h3(x, 0)) = 0 для любого k = 0, [m/n].
∂tk
Доказательство. Необходимость. Пусть выполнены предположения теоремы и уравне-
ние (9) имеет решение в E, т.е. существует u ∈ E такое, что L0u = h(x, t). Так как ядро
оператора L0 имеет вид
{
}
∑
Ker (L0) = u ∈ E : u = X(x, t)eτ + Zi(x, t)σi
,
i=0
то
∑
L0u = q(t)W(x,t) = h1(x,t)eτ +
hi2(x,t)σi + h3(x,t).
(10)
i=0
Отсюда следует, что h1(x, t) ≡ 0, hi2(x, t) ≡ 0, i = 0, p - 1, и q(x, t)W (x, t) = h3(x, t).
Разложим функцию h3(x, t) по формуле Маклорена в точке t = 0 до порядка [m/n]:
∂h3(x,0)
1
∂[m/n]h3(x,0)
h3(x,t) = h3(x,0) + t
+...+
t[m/n]
+ t[m/n]+1h3(x,t),
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
где h3(x, 0) = 0. Тогда правая часть уравнения (10) принимает вид
∂h3(x,0)
1
∂[m/n]h3(x,0)
tm/na(t)W(x,t) = h3(x,0) + t
+...+
t[m/n]
+ t[m/n]+1h3(x,t).
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
Так как уравнение имеет решение, то необходимо
∂h3(x,0)
∂[m/n]h3(x,0)
h3(x,0) = 0,
= 0, . . . ,
= 0.
∂t
∂t[m/n]
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
323
Отсюда следует, что
h3(x,t)
W (x, t) = t1-{m/n}
,
a(t)
здесь h3(x, t)/a(t) ∈ C∞(R × [0, T ]).
Решение уравнения (9) в пространстве E записывается в виде
∑
h3(x,t)
u = X(x,t)eτ +
Zi(x,t)σi + t1-{m/n}
,
a(t)
i=0
где X(x, t), Zi(x, t) - произвольные функции.
Достаточность. Если выполнены тождества из заключения теоремы, то функция h(x, t)
имеет вид h(x, t) = t[m/n]+1h3(x, t), а решение уравнения (9) в этом случае запишется в виде
h3(x,t)
u(x, t) = Ker (L0) + t1-{m/n}
a(t)
Теорема доказана.
Теорема 2 (разрешимость, случай II). Пусть выполнены условия 2) и 3) задачи (1) и
h3(x,t) = t-s/nf(x,t), где f(x,t) ∈ C∞(R × [0,T]), 1 ≤ s ≤ n - 1.
Тогда уравнение (9) разрешимо в пространстве E, если и только если имеют место
тождества
h1(x,t) ≡ 0, hi2(x,t) ≡ 0, i = 0,p - 1,
}
s
{m
f(k)t(x,0) = 0 для любого k ∈ 0,[m/n], если
0<
+
≤ 1,
n
n
}
{m
f(k)t(x,0) = 0 для любого k ∈ 0,[m/n] + 1, еслиs
+
> 1.
n
n
Доказательство. Необходимость. При решении уравнения (9) могут представиться
только две возможности: а) или б).
а) Выполняется двойное неравенство 0 < s/n + {m/n} ≤ 1. Тогда возьмём k = [m/n] и
разложим функцию f(x, t) по формуле Маклорена в точке t = 0 до порядка [m/n]. Получим
(
)
∂f(x,0)
t[m/n] ∂[m/n]
f (x, 0)
tm/na(t)W(x,t) = t-s/n f(x,0) + t
+...+
+ t[m/n]+1f(x,t) ,
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
где f(x, 0) = 0. Отсюда следует, что
f (x, t)
W (x, t) = t1-(s/n+{m/n})
,
a(t)
здесь f(x, t)/a(t) ∈ C∞(R × [0, T ]).
Решение уравнения (9) в E записывается в виде
∑
f (x, t)
u = X(x,t)eτ +
Zi(x,t)σi + t1-(s/n+{m/n})
,
a(t)
i=0
где X(x, t), Zi(x, t) - произвольные функции.
б) Выполняется неравенство s/n + {m/n} > 1. Тогда возьмём k = [m/n] + 1 и разложим
функцию f(x, t) по формуле Маклорена в точке t = 0 до порядка [m/n] + 1. Получим
(
)
∂f(x,0)
t[m/n]+1
∂[m/n]+1f (x, 0)
tm/na(t)W(x,t) = t-s/n f(x,0) + t
+...+
+ t[m/n]+2f(x,t) ,
∂t
([m/n]+1)!
∂t[m/n]+1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
3∗
324
ЕЛИСЕЕВ и др.
где f(x, 0) = 0. Отсюда следует, что
f (x, t)
W (x, t) = t1-{s/n+{m/n}}
,
a(t)
здесь f(x, t)/a(t) ∈ C∞(R × [0, T ]).
Решение уравнения (9) в E записывается в виде
∑
f (x, t)
u = X(x,t)eτ +
Zi(x,t)σi + t1-{s/n+{m/n}}
,
a(t)
i=0
где X(x, t), Zi(x, t) - произвольные функции.
Замечание 1. Представления для функции W (x, t) в случаях а) и б) условий теоре-
мы 2 могут быть объединены, если записать их первый сомножитель в виде t{1-{s/n+{m/n}}}.
Действительно, если s/n + {m/n} < 1, то {1 - {s/n + {m/n}}} = 1 - (s/n + {m/n}), а если
s/n + {m/n} > 1, то выражение {1 - {s/n + {m/n}}} преобразовывать не будем. Если же
s/n + {m/n} = 1, то {1 - {s/n + {m/n}}} = 0. Отсюда и представлений функции W (x, t) в
случаях а) и б) вытекает, что
f (x, t)
W (x, t) = t{1-{s/n+{m/n}}}
,
a(t)
здесь f(x, t)/a(t) ∈ C∞(R × [0, T ]).
Решение уравнения (9) в E записывается в виде
∑
f (x, t)
u = X(x,t)eτ +
Zi(x,t)σi + t{1-{s/n+{m/n}}}
,
a(t)
i=0
где X(x, t), Zi(x, t) - произвольные функции.
Достаточность. Если выполнены тождества из заключения теоремы, то функция h(x, t)
имеет вид h(x, t) = t[m/n]+1-s/nh3(x, t), если s/n + {m/n} ≤ 1, и h(x, t) = t[m/n]+2-s/nh3(x, t),
если s/n + {m/n} > 1
Решение уравнения (9) в этом случае запишется в виде
h3(x,t)
u(x, t) = Ker (L0) + t{1-{s/n+{m/n}}}
a(t)
Теорема доказана.
Теорема 3 (единственность). Пусть в пространстве E дана система уравнений
L0u = 0, Γu = 0
(11)
и выполнены условия теоремы 1 или теоремы 2. Если, кроме этого, оператор L1 - ∂/∂t
удовлетворяет теореме о разрешимости, то система (11) имеет только нулевое решение.
Доказательство. На основании теоремы 1 или теоремы 2 запишем решение уравнения (9)
в виде
∑
u = u1(x,t)eτ +
ui2(x,t)σi,
i=0
где u1(x, t), ui2(x, t), i = 0, p - 1, - произвольные гладкие функции. Вычислим выражение
(
(
(
(
))p-1∑
))p-1∑
∂u
∂u1
∂
∂u1
∂u2
∂
∂u2
L1u -
=
-
+
k(x)
eτ +
-
+
k(x)
σi -
t-1+(i+1)/nui2.
∂t
∂t
∂x
∂x
∂t
∂x
∂x
i=0
i=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
325
Так как оператор L1 - ∂/∂t удовлетворяет теореме о разрешимости и решение u(x, t) должно
удовлетворять уравнению Gu = 0, то отсюда следует, что
(
)
∂u1(x,t)
∂
∂u1(x,t)
=
k(x)
,
u1(x,0) = 0,
∂t
∂x
∂x
(
)
∂ui2(x,t)
∂
∂ui2(x,t)
=
k(x)
,
ui2(x,0) = 0, i = 0,p - 1.
∂t
∂x
∂x
Как следствие решений задач Коши имеем тождества
u1(x,t) ≡ 0, ui2(x,t) ≡ 0, i = 0,p - 1.
Следовательно, u(x, t) ≡ 0 в E. Теорема доказана.
1.2. Построение формального регуляризованного асимптотического ряда. При-
меним теоремы 1 и 2 для решения итерационных задач (8). Для удобства запишем эти задачи
покомпонентно:
(
)
∂Xk(x,t)
∂
∂Xk(x,t)
=
k(x)
,
∂t
∂x
∂x
(
)
∂Zik(x,t)
∂
∂Zik(x,t)
=
k(x)
,
i = 0,(p - 1),
∂t
∂x
∂x
(
) p-1∑
∂Wk-1(x,t)
∂
∂Wk-1(x,t)
tm/na(t)Wk(x,t) = -
+
k(x)
- t-1+(i+1)/nZik-1(x,t) + δk0h(x,t),
∂t
∂x
∂x
i=0
Xk(x,0) + Wk(x,0) = δ0kf(x), k = -1,∞;
если индекс k - 1 ≤ -2, то слагаемые по определению равны нулю.
(12)
Для решения итерационных задач используется теорема о разрешимости. Рассмотрим сис-
тему (12) при k = -1:
⎧
(
)
∂X-1(x,t)
∂
∂X-1(x,t)
⎪
=
k(x)
,
⎪
⎪
∂t
∂x
∂x
(
)
⎨
∂Zi-1(x,t)
∂
∂Zi-1(x,t)
ε-1 :
=
k(x)
,
i = 0,(p - 1),
(13)
⎪
∂t
∂x
∂x
⎪
⎪tm/na(t)W-1(x,t) ≡ 0,
⎩
X-1(x,0) + W-1(x,0) = 0.
Из начальных условий системы (13) следует, что
X-1(x,t) ≡ 0,
Zi-1(x,t) на данном шаге - произвольные решения уравнений теплопроводности, частное ре-
шение W (x, t) ≡ 0.
Функции Zi-1(x) найдём из условия разрешимости системы (12) при k = 0:
⎧
(
)
∂X0(x,t)
∂
∂X0(x,t)
⎪
=
k(x)
,
⎪
⎪
∂t
∂x
∂x
(
)
⎪
∂tZi0(x)
∂
∂Zi-1(x,t)
⎨
=
k(x)
,
i = 0,(p - 1),
∂t
∂x
∂x
ε0 :
(14)
⎪
∑
⎪
⎪tm/na(t)W0(x,t) = h(x,t) -
t-1+(i+1)/nZi-1(x,t),
⎪
⎩
i=0
X0(x,0) + W0(x,0) = f(x).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
326
ЕЛИСЕЕВ и др.
Разложим функцию h(x, t) по формуле Маклорена в точке t = 0 до порядка [m/n]:
∂h(x, 0)
1
∂[m/n]h(x,0)
h(x, t) = h(x, 0) + t
+...+
t[m/n]
+ t[m/n]+1h0(x,t).
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
Из теоремы о разрешимости для W0(x, t) следует, что если i = n(j +1)-1, j = 0, [m/n], то
Zn(j+1)-1-1(x,0) =1∂jh(x,0)
j!
∂tj
Если i = n(j + 1) - 1, i = 0, (p - 1), то
Zi-1(x,0) = 0.
Таким образом, функции Z-1(x, t) являются решениями задач Коши
(
)
1
(x, t)
∂
1
(x, t)
=
k(x)
,
j = 0,[m/n],
∂t
∂x
∂x
Zn(j+1)-1-1(x,0) =1∂jh(x,0)
j!
∂tj
Остальные функции Zi-1(x, t) с индексами i = n(j + 1) - 1, i = 0, (p - 1) будут тождественно
равны Zi-1(x, t) ≡ 0, так как Zi-1(x, 0) = 0.
В результате после сужения на регуляризирующие функции получим решение на “-1”-м
шаге
[m/n]∑
u-1(x,t,ε) =
Zn(j+1)-1-1(x,t)σn(j+1)-1(t,ε).
j=0
Система (14) имеет решения:
a) X0(x, t) - решение задачи Коши
(
)
∂X0(x,t)
∂
∂X0(x,t)
=
k(x)
;
∂t
∂x
∂x
X0(x,0) = f(x);
b) Zi0(x, t) - на данном этапе произвольное решение уравнения теплопроводности
(
)
∂Zi0(x,t)
∂
∂Zi0(x,t)
=
k(x)
,
i = 0,p - 1;
∂t
∂x
∂x
(
)
[m/n]∑
1
c) W0(x, t) =
h(x, t) -
tjZn(j+1)-1-1(x,t)
= t1-{m/n}h0(x,t),
tm/na(t)
j=0
где h0(x, t) - гладкая функция.
Для определения начальных условий Zi0(x, 0) рассмотрим итерационную систему (12) на
шаге “1”:
(
)
∂X1(x,t)
∂
∂X1(x,t)
=
k(x)
,
∂t
∂x
∂x
(
)
∂Zi1(x,t)
∂
∂Zi1(x,t)
=
k(x)
,
i = 0,(p - 1),
∂t
∂x
∂x
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
327
(
) p-1∑
∂W0(x,t)
∂
∂W0(x,t)
tm/na(t)W1(x,t) = -
+
k(x)
- t-1+(i+1)/nZi0(x,t),
∂t
∂x
∂x
i=0
X1(x,0) + W1(x,0) = 0.
Чтобы найти Zi0(x, 0), подчиним уравнение относительно W1(x, t) условию разрешимости.
(
)
∂W0(x,t)
∂
∂W0(x,t)
Для этого разложим -
+
k(x)
по формуле Маклорена в точке t = 0.
∂t
∂x
∂x
Предварительно вычислим выражение
(
)
∂W0(x,t)
∂
∂W0(x,t)
∂h0(x,t)
-
k(x)
= (1 - {m/n})t-{m/n}h0(x, t) + t1-{m/n}
-
∂t
∂x
∂x
∂t
(
)
∂
∂h0(x,t)
-t1-{m/n}
k(x)
= -t-{m/n}h1(x,t).
∂x
∂x
Тогда получим
(
)
∂W0(x,t)
∂
∂W0(x,t)
∂h1(x,0)
-
+
k(x)
= t-{m/n}h1(x,0) + t1-{m/n}
+...
∂t
∂x
∂x
∂t
k-{m/n}
t
∂kh1(x,0)
...+
+ tk+1-{m/n}h1(x,t),
k!
∂tk
где k = [m/n + {m/n}],
{m/n} = s/n,
1 ≤ s ≤ n - 1. Если m/n + {m/n} - целое, то
k = m/n + {m/n} - 1.
Чтобы удовлетворить условиям разрешимости, нужно рассмотреть два случая:
а) если j - {m/n} = (i + 1)/n - 1, т.е. i = n(j + 1) - n{m/n} - 1, j = 0, k, то положим
1 ∂jh1(x,0)
Zi0(x,0) =
j!
∂tj
Поэтому функции Zi0(x, t) являются решениями задач Коши
(
)
∂Zi0(x,t)
∂
∂Zi0(x,t)
=
k(x)
,
∂t
∂x
∂x
1 ∂jh1(x,0)
Zi0(x,0) =
;
j!
∂tj
б) если i = n(j + 1) - n{m/n} - 1, j = 0, k, то положим Zi0(x, 0) = 0. Следовательно, в
этом случае Zi0(x, t) ≡ 0.
На данном шаге определено слагаемое u0(x, t), а значит, после сужения на регуляризиру-
ющие функции главный член асимптотики примет вид
∑
u0(x,t) = f(x)e-ϕ(t)/ε +
Zn(j+1)-n{m/n}-10(x,t)σn(j+1)-n{m/n}-1(t,ε) +
j=0
(
)
[m/n]∑
1
+
h(x, t) -
tjZn(j+1)-1-1(x,t)
tm/na(t)
j=0
Главный член uгл асимптотики запишется в виде суммы
∑
1
uгл(x,t) =
Zn(j+1)-1-1(x,t)σn(j+1)-1(t,ε) +
ε
j=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
328
ЕЛИСЕЕВ и др.
∑
+ Zn(j+1)-n{m/n}-10σn(j+1)-n{m/n}-1(t,ε) + f(x)e-ϕ(t)/ε + t1-{m/n}h0(x,t).
j=0
Решение на “1”-м шаге примет вид
(
)
∑
1
W1(x,t) =
t-{m/n}h1(x,t) -
t-1+(i+1)/nZi0(x,t)
= t{1-{2{m/n}}}h1(x,t),
tm/na(t)
i=0
Zi1(x,t) - общее решение уравнения теплопроводности
(
)
∂Zi1(x,t)
∂
∂Zi1(x,t)
=
k(x)
,
i = 0,(p - 1).
∂t
∂x
∂x
Отсюда следует, что если:
1) 2{m/n} = 1, то W1(x, 0) = 0 и X1(x, 0) = 0, следовательно, X1(x, t) ≡ 0;
2)
2{m/n} = 1, то W1(x, 0) = h1(x, 0) и X1(x, 0) = -h1(x, 0), следовательно, X1(x, t) -
решение задачи Коши
(
)
∂X1(x,t)
∂
∂X1(x,t)
=
k(x)
,
∂t
∂x
∂x
X1(x,0) = -h1(x,0).
Произвольные функции Zi1(x, t) находятся из условия разрешимости системы (12) при
k = 2. Согласно приведённой схеме можно определить любой член асимптотического регуля-
ризованного ряда.
1.3. Оценка остаточного члена асимптотического ряда. Пусть решены N + 1 ите-
рационных задач. Тогда решение задачи Коши после сужения на регуляризирующие функции
представляется в виде
∑
u(x, t, ε) =
uk(x,t,ε)εk + εN+1RN(x,t,ε),
(15)
k=-1
где
∑
uk(x,t,ε) = Xk(x,t)e-ϕ(t)/ε +
Zi(x,t)σi(t,ε) + Wk(x,t).
i=0
Подставляя представление (15) в уравнение (1) и учитывая, что uk(x, t, ε) являются реше-
ниями итерационных задач, получаем задачу Коши для определения остатка RN (x, t, ε):
(
))
(∂RN(x,t)
∂
∂RN(x,t)
L(R) ≡ ε
-
k(x)
+ tm/na(t)RN(x,t) = H(x,t,ε),
∂t
∂x
∂x
RN (x,0,ε) = 0,
-∞ < x < +∞,
(16)
где H(x, t, ε) = H1(x, t) + εH2(x, t, ε), а
(
) p-1∑
∂WN(x,t)
∂
∂WN(x,t)
H1(x,t) = -
+
k(x)
- t-1+(i+1)/nZiN(x,t) = -q(t)WN+1(x,t).
∂t
∂x
∂x
i=0
(
)
(
) p-1∑
(
)
∂
∂Xn
∂
∂Wn
∂
∂Zin
H2(x,t,ε) = -e-ϕ(t)/ε
k(x)
-
k(x)
-
k(x)
σi(t,ε).
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
i=0
Оценка остаточного члена опирается на принцип максимума, распространённый на сингу-
лярно возмущённые параболические задачи [11]. Этот принцип используется в той общности,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
329
которая нам понадобится для оценки остаточного члена. Классическим решением задачи (16)
называется функция RN (x, t, ε), непрерывная в QT = R × [0, T ] × (0, ε0], имеющая непрерыв-
ные производные ∂RN /∂t, ∂RN /∂x, ∂2RN /∂x2 в QT и удовлетворяющая во всех точках QT
уравнению (16) и при t = 0 начальным условиям.
Теорема 4 (оценка остаточного члена). Пусть выполнены предположения 1)-5) задачи
Коши (1) и существует постоянная M0 такая, что при всех (x,t) ∈ R × [0,T] и любого
ε ∈ (0,ε0] справедливо неравенство |H(x,t,ε)| ≤ M0.
Тогда для некоторой постоянной C при всех (x, t) ∈ R × [0, T ] и любого ε ∈ (0, ε0] имеет
место неравенство |RN(x,t,ε)| ≤ C.
Доказательство теоремы приведём в два этапа.
Этап 1. Пусть для функции u(x,t,ε) в области DL = [-L,L] × [0,T] × (0,ε0] выполнены
неравенства
(
))
(∂u(x,t,ε)
∂
∂u(x, t, ε)
L(u) ≡ ε
-
k(x)
+ q(t)u(x,t,ε) ≥ 0,
∂t
∂x
∂x
u(x, 0, ε) ≥ 0, u(x, t, ε) > -m, где m > 0.
Напомним, что q(t) := tm/na(t). Введём функцию w = u + eαt/εmL-2(x2 + pt). Тогда
(
)
m
L(w) = L(u) + L eαt/ε
(x2 + pt)
=
L2
m
= [(α + q(t))(x2 + pt) + εp - 2εxk′(x) - 2εk(x)]eαt/ε
≥
L2
√
m
≥eαt/ε
[(α + q(t))(x2 + pt) + εp - 2εMx
x2 + 1 - 2εM(x2 + 1)].
L2
1) При |x| ≥ 1 справедливо неравенство
m
m
L(w) ≥ eαt/ε
[(α + q(t))(x2 + pt) + εp - ε8Mx2] ≥ eαt/ε
[α - ε8M]x2.
L2
L2
Возьмём α > ε08M, тогда L(w) ≥ 0.
2) При |x| < 1 выполняется неравенство
m
m
L(w) ≥ eαt/ε
[(α + q(t))(x2 + pt) + εp - ε8M] ≥ eαt/ε
[p - 8M]ε.
L2
L2
Возьмём p > 8M, тогда L(w) ≥ 0.
Кроме того,
m
w|t=0 = u|t=0 +
x2 ≥ 0,
L2
m
w|±L = u|±L + eαt/ε
(L2 + pt) ≥ -m + m = 0.
L2
Отсюда по принципу максимума в ограниченной области имеем w ≥ 0 в DL, т.е.
m
u+eαt/ε
(x2 + pt) ≥ 0.
L2
Устремляя L к +∞, получаем, что u ≥ 0 в D = R × [0, T ].
Этап 2. Рассмотрим неоднородную задачу Коши
L(RN ) = H(x, t, ε), RN (x, 0, ε) = 0.
Введём функцию w1 = ±RN + M0t/ε + m. Тогда
(
)
M0t
L(w1) = ±H + M0 + q(t)
+ m ≥ 0, w|t=0 = m ≥ 0.
ε
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
330
ЕЛИСЕЕВ и др.
Из результата этапа 1 следует, что w1 ≥ 0 в D = R × [0, T ] для любого ε ∈ (0, ε0], т.е.
±RN + ε-1M0t + m ≥ 0. Следовательно, |RN| ≤ ε-1M0t + m ≤ ε-1M1, M1 = const > 0.
Запишем остаточный член в виде RN = uN +εRN+1. Тогда |RN | ≤ |uN |+εM2, где ε ≤ M3,
M2,M3 = const > 0. Теорема доказана.
Замечание 2. Как показывает сравнение изложенных выше рассуждений с рассуждени-
ями работы [10], задача Коши, у которой перед второй производной стоит вторая степень
ε2 малого параметра (модельное уравнение Шрёдингера), технически оказалась сложнее рас-
сматриваемой в работе задачи.
2. Построение регуляризованной асимптотики решения смешанной задачи 1-го
рода для параболического уравнения с “простой” рациональной точкой поворота
на полуоси.
2.1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу
∂u
∂2u
ε
- ε2p(x)
+ q(t)u = f(x,t),
∂t
∂x2
u(x, 0) = ϕ(x), x ≥ 0,
u(0, t) = ψ(t),
(17)
и пусть для неё выполнены следующие предположения (ниже R+ = [0, +∞)):
1◦) f(x, t) ∈ C∞(R+ × [0, T ]), ψ(t) ∈ C∞([0, T ]), ϕ(x) ∈ C∞(R+);
2◦) p(x) ∈ C∞(R+) и существует постоянная p0 > 0 такая, что p(x) ≥ p0 при всех
x∈R+;
3◦) q(t) = tm/nb(t), где b(t) ∈ C∞([0, T ]) и b(t) = 0, Re b(t) ≥ 0 при любом t ∈ [0, T ], а
m,n ∈ N и дробь m/n несократима, m ≥ 2;
4◦) ϕ(0) = ψ(0);
5◦) существуют положительные постоянные C1 и C2 такие, что при всех x ∈ R+ и любом
k∈N
⋃{0} выполняются неравенства |ϕ(k)(x)| < C1 и |ψ(k)(x)| < C2;
6◦) при всех (x, t) ∈ R+ × [0, T ] и любом k ∈ N
⋃{0} верно неравенство |f(k)x(x, t)| < C,
где C > 0 - некоторая постоянная;
7◦) при всех x ∈ R+ справедливо неравенство p(x) < M2(x2 + 1), где M2 > 0 - некоторая
постоянная.
Для регуляризации задачи (17) введём дополнительную переменную Лиувилля
∫
x
1
ds
τ (x, ε) =
√
√ε
p(s)
0
и расширенную функцию u(x, t, τ), для сужения на τ которой выполняется тождество
u(x, t, τ)
≡ u(x, t),
∫
x
τ=ε-1/2
(p(s))-1/2 ds
0
где функция u(x, t) является решением задачи (17).
Вычислим производные для расширенной функции u(x, t, τ(x)):
∂u
∂u
1
=ut,
=ux +
√
uτ ,
∂t
∂x
εp(x)
∂2u
2
1
p′(x)
=uxx +
√
uxτ +
uττ -
∂x2
εp(x)
εp(x)
2√ε(√p(x))3uτ .
В дальнейшем знак тильды ∼ над u будем опускать. Тогда задача (17) примет вид
(
)
√
p′(x)
ε(ut - uττ ) = -q(t)u +
√ε3
2
p(x)uxτ -
√
uτ
+ ε2p(x)uxx
+ f(x,t),
2
p(x)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
331
u(x, 0, τ)|τ(x,ε) = ϕ(x),
u(0, t, 0) = ψ(t).
(18)
Здесь и далее штрих обозначает дифференцирование по x, а точка - дифференцирование
по t.
2.2. Формализм метода регуляризации в случае “простой” рациональной точ-
ки поворота. Для решения задачи (18), согласно методу регуляризации, кроме переменной
τ (x, ε) введём регуляризирующие функции
∫t
σ(t, ε) = eQ0/ε, σi(t, ε) = e-Qs/εs-1+(i+1)/n ds, i = 0, p - 1, p = m + n - 1,
0
∫t
где Qts =
q(s1) ds1. Дополнительные регуляризирующие функции σi(t, ε) учитывают тот
s
факт, что образ оператора A(t), u(x, t) → q(t)u(x, t), не совпадает со всем пространством
C∞(R × [0,T]), а лежит в его подподпространстве, образованном функциями, обращающими-
ся в нуль с порядком m/n при t = 0.
Кроме того, параболический пограничный слой вблизи границы x = 0 для краевой задачи
на полуоси порождает дополнительный сингулярный по ε регуляризирующий оператор G,
a(x, t) → G(a(x, t)), действующий по правилу
∫
∞
(
)
2
τ2
G(a(x, t)) = e-Q0/ε
a x,t -
e-ξ2 dξ ≡ e-Q0/εF(a(x,t)) ≡ σF(a(x,t)).
√π
4ξ2
√
τ /(2
t)
Ранее в методе регуляризации такой оператор для описания пограничного слоя не встречался.
Только с помощью этого оператора удалось адекватно описать параболический пограничный
слой вблизи границы x = 0. Отметим, что хотя указанный сингулярный оператор и каждая из
введённых ранее регуляризирующих функций призваны выделять нерегулярную зависимость
решения задачи (17) от малого параметра ε, главной в этом подходе остаётся идея метода
регуляризации - описание нерегулярной зависимости от ε через спектр предельного оператора
в виде функции e-Q0/ε.
Свойства оператора F (a(x, t)) описаны в приложении (см. п. 2.5). Оператор F (·) перево-
дит любую гладкую функцию a(x, t) в решение следующей задачи:
Ft(a(x, t)) - Fττ (a(x, t)) = 0,
F (a(x, t))|t=0 = 0, F (a(x, t))|τ=0 = a(x, t).
Заметим, что точка ε = 0 для функции F (a(x, t)) после сужения на её τ(x, ε) является
существенно особой.
Решение задачи (18) будем искать в пространстве E безрезонансных решений. Элементы
из E имеют вид
∑
u(x, t, σ, σi) = X(x, t)σ +
Zi(x,t)σi + σF(a(x,t)) + W(x,t),
i=0
где функции X(x, t), Zi(x, t), a(x, t), W (x, t) принадлежат классу C∞(R × (0, T ])
⋂C(R ×
× [0, T ]).
Учитывая распределение параметра ε в задаче (18), её решение будем искать в виде ряда
по ε:
(
)
∑
∑
∑
u(x, t, σ, σi, ε) =
εk Xk(x,t)σ +
Zik(x,t)σi + Wk(x,t)
+ ε(k-1)/2G(a(k-1)/2(x,t)).
k=-1
i=0
k=-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
332
ЕЛИСЕЕВ и др.
Подставив это представление в задачу (18) и выделив слагаемые при регуляризирующих
функциях и степенях ε, получим серию итерационных задач относительно функций Xk(x, t),
Zik(x,t,), ak(x,t), Wk(x,t) в виде систем:
Żi
Xk = p(x)X′′k-1,
k
= p(x)Zi′′k-1, i = 0,p - 1,
∑
q(t)Wk = f(x, t)δ0k -
Wk-1 -
Zik-1t-1+(i+1)/n + p(x)W′′k-2,
i=0
Ft(a(k-1)/2(x, t)) - Fττ (a(k-1)/2(x, t)) =
√
p′(x)
=2
p(x)Fτ (a′(k-2)/2(x, t)) -
√
Fτ (a(k-2)/2(x, t)) + p(x)F (a(′k-3)/2(x, t)),
2
p(x)
uk(x,0,τ)|τ=τ(x,ε) = ϕ(x)δ0k, uk(0,t,0) = ψ(t)δ0k, k = -1,0,1,...
(19)
Если k - 1 < -1, (k - i)/2 < -1, i = 2, 3, то член с этим индексом равен нулю.
Чтобы решить итерационные задачи (19), докажем теоремы 5 и 6 о нормальной разреши-
мости системы
Xt(x,t) = h1(x,t),
Zit = hi2(x,t), i = 0,p - 1,
Ft(a(x, t)) - Fττ (a(x, t)) = F (h3(x, t)),
q(t)W = h4(x, t)
(20)
в пространстве E. В теоремах 5 и 6 при выполнении разных исходных предположений (слу-
чаи 1 и 2) получены необходимые и достаточные условия разрешимости системы (20).
Теорема 5 (разрешимость, случай 1). Пусть у системы (20) функции h1(x, t), hi2(x, t),
i = 0,p - 1, и h3(x,t) принадлежат классу C∞(R×(0,T])
⋂C(R×[0,T]), а функция h4(x,t)
принадлежит классу C∞(R × [0,T]).
Тогда система (20) разрешима в пространстве E, если и только если имеют место
тождества h3(x,t) ≡ 0 и
∂kh4(x,0)
=0
при всех k = 0,[m/n].
(21)
∂tk
Доказательство. Необходимость. Решения первых двух уравнений системы (20) запи-
шутся в виде
∫t
X(x, t) = h1(x, s) ds + X(x, 0),
0
∫t
Zi(x,t) = hi2(x,s)ds + Zi(x,0), i = 0,p - 1.
0
Так как T F (a(x, t)) = Ft(a(x, t)) - Fττ (a(x, t)) ≡ 0 для любой гладкой функции a(x, t), то
∫
∞
(
)
2
τ2
F (h3(x, t)) =
h3
x,t -
e-ξ2 ds ≡ 0 для всех τ ∈ R+.
(22)
√π
4ξ2
√
τ /(2
t)
Положив τ = 0, по свойству оператора F получим, что h3(x, t) ≡ 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
333
Рассмотрим последнее уравнение
q(t)W (x, t) = h4(x, t)
(23)
системы (20). Разложим функцию h4(x, t) по формуле Маклорена в точке t = 0:
∂h4(x,0)
1
∂[m/n]h4(x,0)
h4(x,t) = h4(x,0) + t
+...+
t[m/n]
+ t[m/n]+1h4(x,t),
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
где h4(x, 0) = 0. Тогда уравнение (23) принимает вид
∂h4(x,0)
1
∂[m/n]h4(x,0)
q(t)W (x, t) = h4(x, 0) + t
+...+
t[m/n]
+ t[m/n]+1h4(x,t).
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
Так как оно имеет решение, то необходимо
∂h4(x,0)
∂[m/n]h4(x,0)
h4(x,0) = 0,
= 0, . . . ,
= 0.
∂t
∂t[m/n]
Отсюда следует, что
h4(x,t)
W (x, t) = t1-{m/n}
,
b(t)
здесь h4(x, t)/b(t) ∈ C∞(R × [0, T ]).
Достаточность. Пусть выполнены тождества из заключения теоремы.
В силу первого из них уравнение Ft(a(x, t)) - Fττ (a(x, t)) = 0 имеет решение при любой
гладкой функции a(x, t) вследствие свойств оператора F (·).
Уравнение q(t)W (x, t) = h4(x, t) в силу тождеств (21) принимает вид
q(t)W (x, t) = t[m/n]+1h4(x, t).
Отсюда W (x, t) = t1-{m/n}h4(x, t)/b(t).
Решение системы (20) в пространстве E запишется в виде
(∫t
) p-1∑
(∫t
)
u(x, t) =
h1(x,s)ds + X(x,0) σ +
hi2(x,s)ds + Zi(x,0) σi +
i=0
0
0
+ G(a(x, t)) + t1-{m/n}h0(x, t),
где h0(x, t) = h4(x, t)/b(t), а a(x, t) - произвольная гладкая функция. Теорема доказана.
Теорема 6 (разрешимость, случай 2). Пусть у системы (20) функции h1(x, t), hi2(x, t),
i = 0, p - 1, и h3(x, t) принадлежат классу C∞(R × (0, T ])
⋂C(R × [0,T]) и выполняется
равенство h4(x, t) = t-s/nf(x, t), где f(x, t) ∈ C∞(R × [0, T ]), 1 ≤ s ≤ n - 1.
Тогда система (20) разрешима в пространстве E, если и только если имеют место
тождества h3(x,t) ≡ 0 и
∂kf(x,0)
s
{m}
=0
для любого k = 0, [m/n], если
0≤
+
≤ 1,
∂tk
n
n
∂kf(x,0)
s
{m}
=0
для любого k = 0, [m/n] + 1, если
+
> 1.
∂tk
n
n
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
334
ЕЛИСЕЕВ и др.
Доказательство. Необходимость. Решения первых двух уравнений системы (20) запи-
шутся в виде
∫t
X(x, t) = h1(x, s) ds + X(x, 0),
0
∫t
Zi(x,t) = hi2(x,s)ds + Zi(x,0), i = 0,p - 1.
0
По той же причине, что и в доказательстве теоремы 5, имеет место тождество (22). Положив
в нём τ = 0, по свойству оператора F получим h3(x, t) ≡ 0.
Рассмотрим уравнение (23). При решении этого уравнения могут представиться только две
возможности: а) и б).
a) Выполняется двойное неравенство 0 < s/n + {m/n} ≤ 1. Тогда возьмём k = [m/n] и
разложим функцию f(x, t) по формуле Маклорена в точке t = 0 до порядка [m/n]. Получим
(
)
∂f(x,0)
t[m/n] ∂[m/n]
f (x, 0)
tm/nb(t)W(x,t) = t-s/n f(x,0) + t
+...+
+ t[m/n]+1f(x,t) ,
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
где f(x, 0) = 0. Отсюда следует, что
f (x, t)
W (x, t) = t1-(s/n+{m/n})
,
b(t)
где f(x, t)/b(t) ∈ C∞(R × [0, T ]).
б) Выполняется неравенство s/n + {m/n} > 1. Тогда возьмём k = [m/n] + 1 и разложим
функцию f(x, t) по формуле Маклорена в точке t = 0 до порядка [m/n] + 1. Получим
(
)
∂f(x,0)
t[m/n]+1
∂[m/n]+1f (x, 0)
tm/nb(t)W(x,t) = t-s/n f(x,0)+t
+...+
+t[m/n]+2f(x,t) ,
∂t
([m/n] + 1)!
∂t[m/n]+1
где f(x, 0) = 0. Отсюда следует, что
f (x, t)
W (x, t) = t1-{s/n+{m/n}}
,
b(t)
здесь f(x, t)/b(t) ∈ C∞(R × [0, T ]).
Достаточность. Решение системы (20) в пространстве E запишется в виде
(∫t
) p-1∑
(∫t
)
u(x, t) =
h1(x,s)ds + X(x,0) σ +
hi2(x,s)ds + Zi(x,0) σi +
i=0
0
0
+ G(a(x, t)) + t1-{s/n+{m/n}}h0(x, t),
где h0(x, t) = h4(x, t)/b(t), а a(x, t) - произвольная гладкая функция. Теорема доказана.
Согласно приведённому выше замечанию представления для функции W (x, t) в случаях
а) и б) можно записать одной формулой, если воспользоваться приведённым там выражением
для их первого сомножителя.
Теорема 7 (единственность). Пусть выполнены условия теоремы 5 или теоремы 6. Тогда
задача
Xt(x,t) = 0,
Zit(x,t) = 0, i = 0,p - 1,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
335
TF(a(x,t)) ≡ Ft(a(x,t)) - Fττ(a(x,t)) = 0,
q(t)W (x, t) = 0,
u(x, 0, τ)|τ=τ(x,ε) = 0, u(0, t, 0) = 0
(24)
имеет только нулевое решение, если выполнены условия
√
p′(x)
2
p(x)Fτ (ax(x, t)) -
√
Fτ (a(x, t)) = 0 и Zi(0, t) = 0, i = 0, p - 1.
2
p(x)
Доказательство. Согласно теоремам 5 или 6 решение задачи (24) имеет вид
∑
u(x, t) = X(x)σ +
Zi(x)σi + G(a(x,t)).
i=0
Подчиним его краевому и начальному условиям, предварительно произведя сужение на регу-
ляризирующие функции
u(x, 0) = X(x) ≡ 0,
∑
u(0, t, 0) =
Zi(0)σi(t,ε) + e-Q0/εa(0,t) = 0.
i=0
Отсюда вытекает, что
∫
t
∑
a(0, t) = -
Zi(0) eQ0/εs-1+(i+1)/n ds.
(25)
i=0
0
Используя представление оператора F (·) из условия теоремы, получаем уравнение относи-
тельно функции a(x, t):
∫
∞
[
(
)
(
)]
∂
√
τ2
p′(x)
τ2
2
p(x)ax x, t -
-
√
a x,t -
e-ξ2 dξ = 0.
∂τ
4ξ2
2
p(x)
4ξ2
√
τ /(2
t)
Отсюда следует, что
∫
∞
[
(
)
(
)]
√
τ2
p′(x)
τ2
2
p(x)ax x, t -
-
√
a x,t -
e-ξ2 dξ = C(x,t)
4ξ2
2
p(x)
4ξ2
√
τ /(2
t)
для любых τ. Устремив τ к ∞, видим, что C(x, t) ≡ 0. Положив τ = 0, получим уравнение
√
p′(x)
2
p(x)ax(x, t) -
√ a(x, t) = 0,
2
p(x)
из которого найдём
√
p(x)
a(x, t) = a(0, t)4
p(0)
Учитывая равенство (25), будем иметь
√
−1
∫
t
p
p(x)
a(x, t) = -4
Zi(0) eQ0/εs-1+(i+1)/n ds.
p(0)
i=0
0
Так как Zi(0) = 0, i = 0, p - 1, то a(0, t) = 0, а значит, a(x, t) ≡ 0. Следовательно, u(x, t) ≡ 0.
Теорема доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
336
ЕЛИСЕЕВ и др.
2.3. Решение итерационных задач. Используя теоремы 5-7, решим итерационные за-
дачи (19). Напомним, что функции X(x, t, ε), Zi(x, t, ε), W (x, t, ε) разлагаются по целым
степеням εk, а a(x, t, ε) - по степеням (√ε)k. Так как функция f(x,t) не удовлетворяет
теореме о точечной разрешимости уравнения q(t)W (x, t) = f(x, t), то разложение решения
начинается с ε-1.
Система (19) в этом случае принимает вид
⎧
⎪
X-1 = 0,
Żi
= 0, i = 0, p - 1,
-1
⎨
q(t)W-1 = 0,
(ε-1) :
˙
⎪F
(a-1(x, t)) - Fττ (a-1(x, t)) = 0,
⎩
u-1(x,0,τ) = 0, u-1(0,t,0) = 0.
Следовательно, X-1(x, t) = X-1(x), W-1(x, t) ≡ 0, Zi-1(x, t) = Zi-1(x), a-1(x, t) - произволь-
ные функции.
В силу начальных и краевых условий находим
u-1(x,0,τ) ≡ X-1(x) ≡ 0,
∑
u-1(0,t,0) =
Zi-1(0)σi(t,ε) + e-Q0/εa-1(0,t) = 0.
i=0
Отсюда вытекает, что
t
∫
∑
a-1(0,t) = -
Zi-1(0) eQ0/εs-1+(i+1)/n ds.
i=0
0
Чтобы определить неизвестные функции Zi-1(x) и a-1(x, t), рассмотрим следующую ите-
рационную задачу на шаге k = -1/2.
Система (19) в этом случае имеет вид
(√ε-1) : T(F(a-1/2(x,t))) = 2√p(x)Fτ (a′-1(x,t)) -√(x)
Fτ (a-1(x, t)),
2
p(x)
где T = ∂/∂t - ∂2/∂τ2. Отсюда, так как T (F (a-1/2(x, t))) ≡ 0, получаем уравнение относи-
тельно a-1(x, t), т.е.
(
)
∂
√
p′(x)
F
2
p(x)a′-1(x, t) -
√
a-1(x,t)
= 0,
∂τ
2
p(x)
а значит,
(
)
√
p′(x)
F
2
p(x)a′-1(x, t) -
√
a-1(x,t)
= C(x,t),
2
p(x)
где C(x, t) - произвольная функция.
Из свойств оператора F (·) следует, что F (·) → 0 при τ → ∞. Поэтому C(x, t) ≡ 0.
Положив τ = 0, получим уравнение
√
p′(x)
2
p(x)a′-1(x, t) -
√
a-1(x,t) = 0,
2
p(x)
из которого найдём, что
√
p(x)
4
a-1(x, t) =
a-1(0,t).
p(0)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
337
Таким образом,
√
t
∫
∑
p(x)
a-1(x, t) = -4
Zi-1(0) eQ0/εs-1+(i+1)/n ds.
p(0)
i=0
0
Функция a-1/2(x, t) на данном итерационном шаге произвольная. Для определения Zi-1(0)
рассмотрим систему (19) на нулевом шаге (ε0). В этом случае система (19) имеет вид
⎧
Żi
⎪
X0 = 0,
= p(x)(Zi-1)′′, i = 0,p - 1,
0
⎪
⎪
∑
⎪
q(t)W0 = f(x, t) -
Zi-1(x)t-1+(i+1)/n,
⎪
⎪
⎪
(
)
⎪
√
p′(x)
⎪T (F (a0(x, t))) = Fτ
2
p(x)a′-1/2(x, t) -
√
a-1/2(x,t)
+
⎨
2
p(x)
(ε0) :
(26)
+ p(x)F(a′′-1(x,t)),
⎪
⎪
⎪
u0(x,0,τ) = X0(x) + W0(x,0) = ϕ(x),
⎪
⎪
⎪
∑
⎪
u0(0,t,0) = e-Q0/εX0(0) +
Zi0(0,t)σi(t,ε) +
⎪
⎪
i=0
⎩
+ W0(0,t) + e-Q0/εa0(0,t) = ψ(t).
Подчиним правую часть уравнения для W0(x, t) условиям теоремы о точечной разреши-
мости. Для этого разложим функцию f(x, t) из его правой части по формуле Маклорена в
точке t = 0 до порядка [m/n] + 1:
[m/n]
∂f(x,0)
t
∂[m/n]f(x,0)
q(t)W0(x, t) = f(x, 0) + t
+...+
+
∂t
[m/n]!
∂t[m/n]
∑
+ t[m/n]+1f0(x,t) -
Zi-1(x)t-1+(i+1)/n,
i=0
где f0(x, 0) = 0. Положим
1 ∂jf(x,0)
Zi-1(x) =
,
если i = n(j + 1) - 1, j = 0, [m/n];
j!
∂tj
Zi-1(x) ≡ 0, если i = n(j + 1) - 1, i = 0,p - 1.
Тогда
(
)
[m/n]∑
1
1 ∂jf(x,0)
W0(x,t) =
f (x, t) -
tj
= t1-{m/n}f0(x,t).
q(t)
j!
∂tj
j=0
После определения функций Zi-1(x) решение u-1(x, t, τ) находится на “-1”-м итерацион-
ном шаге и после сужения имеет вид
[m/n]∑
1 ∂jf(x,0)
u-1(x,t) =
σn(j+1)-1(t,ε) + G(a-1(x,t)),
j!
∂tj
j=0
или
√
(∫t
[m/n]∑
1
[∂jf(x,0)
p(x)
)∂jf(0,0)]
u-1(x,t) =
σn(j+1)-1(t, ε) -4
e-Q0/εF
eQ0/εsn(j+1)-1 ds
j!
∂tj
p(0)
∂tj
j=0
0
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
338
ЕЛИСЕЕВ и др.
Используя свойство оператора F (·), представим решение u-1(x, t) в виде
√
)]
[m/n]∑
1
[∂jf(x,0)
p(x) ∂j f(0, 0)
(τ(x,ε)
u-1(x,t) =
-4
erfc
√
σn(j+1)-1(t,ε) + O(ε∞),
j!
∂tj
p(0)
∂tj
2
t
j=0
где O(ε∞) - асимптотический нуль (функция, которая при ε → +0 убывает быстрее, чем
любая натуральная степень ε).
Решения уравнений системы (26) имеют вид
X0(x,t) = X0(x),
1 ∂jfxx(x,0)
Zi0(x,t) = p(x)
t + Zi0(x,0), i = n(j + 1) - 1, j = 0,[m/n],
j!
∂tj
Zi0(x,t) = Zi0(x), i = n(j + 1) - 1, j = 0,[m/n],
W0(x,t) = t1-{m/n}f0(x,t).
Функции Zi0(x, 0), i = n(j + 1) - 1, j = 0, [m/n], на данный момент не известны.
Решим уравнение относительно a-1/2(x, t). Так как T (F (a0(x, t))) ≡ 0, то
∫
∞
(
)(
)
√
∂
p′(x)
τ2
2
p(x)a′-1/2 -
√
a-1/2
x,t -
e-ξ2 dξ =
∂τ
2
p(x)
4ξ2
√
τ /(2
t)
∫∞
(
)
τ2
= -p(x)
a′′
-1
x,t -
e-ξ2 dξ.
4ξ2
√
τ /(2
t)
Отсюда следует, что
∫
∞
(
)(
)
√
p′(x)
τ2
2
p(x)a′-1/2 -
√
a-1/2
x,t -
e-ξ2 dξ =
2
p(x)
4ξ2
√
τ /(2
t)
∞
ξ
∫
∫
(
)
√
s2t
=2
tp(x)
e-ξ2
a′′
x,t -
ds dξ.
-1
ξ2
√
√
τ /(2
t)
τ /(2
t)
Положив τ = 0, получим уравнение
∫
∞
∫
ξ
(
)
√
p′(x)
√
s2t
2
p(x)a′-1/2(x, t) -
√
a-1/2(x, t) = 2
tp(x) e-ξ2 a′′
x,t -
ds dξ,
-1
2
p(x)
ξ2
0
0
решение которого имеет вид
∫
x
∫
∞
∫
ξ
(
)
√
√
√
4
3
s2t
a-1/2(x,t) =
t4
p(x)
p(s1)
e-ξ2
a′′
s1,t -
ds dξ ds1,
-1
ξ2
0
0
0
так как G(a-1/2(x, t))
= e-Q0/εa-1/2(0,t) = 0.
τ=0
x=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
339
Из начальных условий для u0(x, t, τ) вытекают равенства
u0(x,0,τ) = X0(x) = ϕ(x).
Таким образом, на шаге k = 0 функция u-1/2(x, t, τ) определена. С учётом свойств оператора
F (·) решение u-1/2(x, t, τ) после сужения может быть представлено в виде
)
(τ(x,ε)
u-1/2(x,t,τ(x,ε)) = e-Q0/εF(a-1/2(x,t)) = e-Q0/εa-1/2(x,t)erfc
√
+ O(ε∞).
2
t
Функция a0(x, t) на данном итерационном шаге произвольная.
Для определения функций Zi0(x, t) необходимо рассмотреть систему на итерационном шаге
“ k = 1”, а для определения функций a0(x,t) - систему на шаге “ k = 1/2”.
На нулевом итерационном шаге решение u0(x, t, τ) после сужения имеет вид
∑
u0(x,t,τ(x,ε)) = e-Q0/εϕ(x) +
Zi0(x,t)σi(t,ε) + G(a0(x,t)) + t1-{m/n}f0(x,t).
i=0
Подчиним u0(x, t, τ) краевому условию
∑
u0(0,t,0) = e-Q0/εϕ(0) +
Zi0(0,t)σi(t,ε) + t1-{m/n}f0(0,t) + e-Q0/εa0(0,t) = ψ(t).
i=0
Отсюда следует, что
t
∫
∑
a0(0,t) = eQ0/ε(ψ(t) - t1-{m/n}f0(0,t)) - ϕ(0) -
Zi0(0,t) eQ0/εs-1+(i+1)/n ds.
i=0
0
На шаге “ k = 1/2 ”, так как T (F (a1/2(x, t))) ≡ 0, получаем уравнение
∫
∞
(
)(
)
∫
∞
(
)
√
∂
p′(x)
τ2
τ2
2
p(x)a′0 -
√
a0
x,t-
e-ξ2 dξ+p(x)
a′′
x,t-
e-ξ2 dξ = 0,
-1/2
∂τ
2
p(x)
4ξ2
4ξ2
√
√
τ /(2
t)
τ /(2
t)
решение которого имеет вид
x
∞
ξ
√
∫
∫
∫
(
)
√
√
√
s2t
p(x)
4
a0(x,t) =
t4
p(x)
p(s1) e-ξ2 a′′
s1,t -
ds dξ ds1
+4
a0(0,t).
-1/2
ξ2
p(0)
0
0
0
Чтобы найти функции Zi0(x, t), рассмотрим уравнение для W1(x, t) на шаге “ k = 1 ”:
∑
q(t)W1(x, t) = -t-{m/n}f0(x, t) -
Zi0(x,t)t-1+(i+1)/n,
(27)
i=0
где f0(x, t) определяется из соотношения
∂(t1-{m/n}f0(x, t))
∂f0(x,t)
= t-{m/n}f0(x,t) + t1-{m/n}
= t-{m/n}f0(x,t).
∂t
∂t
Регуляризируем правую часть уравнения (27). Для этого разложим функцию f0(x, t) в
точке t = 0 по формуле Маклорена до порядка k. Значение k зависит от того, какое из
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
4∗
340
ЕЛИСЕЕВ и др.
неравенств выполняется: 2{m/n} ≤ 1 или 2{m/n} > 1. Величину k можно выразить одной
формулой k = [m/n + {m/n}] = [[m/n] + 2{m/n}]. Тогда уравнение примет вид
(
)
∂f0(x,0)
tk ∂kf0(x,0)
q(t)W1(x, t) = -t-{m/n} f0(x, 0) + t
+···+
+ tk+1f1(x,t)
-
∂t
k!
∂tk
∑
- Zi0(x,t)t-1+(i+1)/n.
i=0
Положим
1 ∂jf0(x,0)
Zi0(x,0) = -
,
i = n(j + 1) - 1 - n{m/n}, j = 1,[m/n + {m/n}];
j!
∂tj
Zi0(x,0) = 0, i = n(j + 1) - 1 - n{m/n}, i = 0,p - 1.
Поэтому
(
)
∑
1
W1(x,t) = -
t-{m/n}f0(x,t) +
Zi0(x, t)t-1+(i+1)/n
= t{1-{2{m/n}}}f1(x,t).
q(t)
i=0
Таким образом, окончательно найдены слагаемые для решения на нулевом итерацион-
ном шаге:
1 ∂jfxx(x,0)
Zi0(x,t) = p(x)
t,
i = (j + 1)n - 1, j = 0,[m/n];
j!
∂tj
1 ∂jf0(x,0)
Zi0(x) = -
,
i = n(j + 1) - 1 - n{m/n}, j = 1,[m/n + {m/n}];
j!
∂tj
Zi0(x) = 0 в остальных случаях.
На этом шаге итерации после ограничения решения на τ(x, ε) получаем главный член ре-
гуляризованной асимптотики решения краевой задачи на полуоси для параболического урав-
нения
[m/n]∑
1
[ 1 (∂jfxx(x,0)
uгл =
σn(j+1)-1(t,ε) -
ε
j!
∂tj
j=0
√
(∫t
p(x)
)∂jfxx(0,0))]
−4
e-Q0/εF
eQ0/εsn(j+1)-1 ds
+
p(0)
∂tj
0
(
)
[m/n]∑
1
1
∂jfxx(x,0)
+
p(x)
t σn(j+1)-1(t,ε) -
√εe-Q0/εF(a-1/2(x,t))+e-Q0/εϕ(x)+
j!
∂tj
j=0
∑
1 ∂jf0(x,0)
-
σn(j+1)-1-n{m/n}(t,ε) + e-Q0/εF(a0(x,t)) + t1-{m/n}f0(x,t).
j!
∂tj
j=0
Используя свойства оператора F (·) (см. лемму 3), главный член uгл регуляризованной асимп-
тотики представим в виде
√
))
]
∑
1
[ 1 (∂jfxx(x,0)
p(x) ∂j fxx(0, 0)
(τ(x,ε)
uгл =
-4
erfc
√
σn(j+1)-1(t,ε)
+
ε
j!
∂tj
p(0)
∂tj
2
t
j=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
341
)
1
(τ(x,ε)
+
√
+ e-Q0/εϕ(x) +
√εe-Q0/εa-1/2(x,t)erfc
2
t
(
)
[m/n]∑
[m/n+{m/n}]∑
1
∂jfxx(x,0)
1 ∂jf0(x,0)
+
p(x)
t σn(j+1)-1(t,ε) -
σn(j+1)-1-n{m/n}(t,ε) +
j!
∂tj
j!
∂tj
j=0
j=0
)
(τ(x,ε)
+ e-Q0/εa0(x,t)erfc
√
+ t1-{m/n}f0(x,t) + O(ε∞).
2
t
Здесь
∫
∞
√
2
erfc (τ(x, ε)/(2
t)) =
e-ξ2 dξ.
√π
√
τ (x,ε)/(2
t)
По данной схеме можно определить любой член асимптотического регуляризованного ряда.
2.4. Оценка остаточного члена. Пусть
∑
∑
∑
u(x, t, ε) = e-Q0/ε
εkXk(x,t) +
σi(t,ε)
εkZik(x,t) +
k=0
i=0
k=-1
∑
√
∑
+
εk-1G(a(k-1)/2(x,t)) +
εkWk(x,t) + εN+1RN (x,t,ε).
(28)
k=-1
k=0
Подставив представление (28) в задачу (18), получим задачу для остаточного члена:
∂Rn(x,t)
∂2RN(x,t)
ε
- ε2p(x)
+ q(t)RN = H(x,t,ε),
∂t
∂x2
RN(x,0,ε) = 0, RN(0,t,ε) = 0,
(29)
здесь H(x, t, ε) = -H1(x, t) + εH2(x, t, ε), где
∑
H1(x,t,ε) =
WN - p(x)W′′N-1 +
t-1+(i+1)/nZiN = -q(t)WN+1(x,t),
i=0
∑
H2(x,t,ε) = e-Q0/εp(x)X′′N + p(x)
ZiN′′σi(t,ε) + p(x)W′′N + p(x)G(a′′N ).
i=0
В силу оценок сингулярных интегралов и условий задачи (17) для правой части уравне-
ния (29) имеет место оценка
|H(x, t, ε)| = | - H2(x, t) + εH1(x, t, ε)| < C = const.
Оценка остатка основана на принципе максимума для параболических задач [11]. Этот
принцип используется в той форме общности, которой нам будет достаточно для оценки оста-
точного члена. Классическое решение задачи (29) - это функция RN (x, t, ε), непрерывная в
QT = R+ × [0,T] × (0,ε0], имеющая непрерывные производные ∂RN /∂t, ∂RN/∂x, ∂2Rn/∂x2
во внутренних точках QT и удовлетворяющая уравнению (29) всюду в QT и при t = 0 на-
чальным условиям в R+ × (0, ε0].
Теорема 8. Пусть для задачи (29) выполнены предположения 1◦)- 3◦) и 7◦) задачи (17),
тождество RN(x,0,ε) = 0 и неравенство |H(x,t,ε)| < C с некоторой постоянной C.
Тогда существует постоянная M такая, что |RN (x, t, ε)| ≤ M при всех (x, t, ε) ∈ R+ ×
× [0, T ] × (0, ε0].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
342
ЕЛИСЕЕВ и др.
Доказательство проведём в два этапа.
Этап 1. Пусть для функции u(x,t,ε) в области DL = [0,L] × [0,T] × (0,ε0] выполнены
неравенства
∂u
∂2u
L(u) ≡ ε
- ε2p(x)
+ q(t)u ≥ 0,
∂t
∂t2
u(0, t, ε) ≥ 0, u(x, 0, ε) ≥ 0,
u(x, t, ε) > -μ(xr + 1), μ > 0.
Рассмотрим функцию w = u + eαt/ε2μLr-2β(x2 + kt)β , 2β > r. Тогда
2μ
2μ
L(w) = L(u) +
L(eαt/ε(x2 + kt)β ) =
L(eαt/ε(x2 + kt)β).
L2β-r
L2β-r
Вычислим и оценим L(eαt/ε(x2 + kt)β). Имеем
L(eαt/ε(x2 + kt)β) = eαt/ε(x2 + kt)β-2[(α + q(t))(x2 + kt)2 +
+ εβk(x2 + kt) - ε2p(x)(2β(x2 + kt) + 4x2β(β - 1))] ≥
≥ eαt/ε(x2 + kt)β-2[(α + q(t))(x2 + kt)2 + εβk(x2 + kt) -
- ε2M2(x2 + 1)(2β(x2 + kt) + 4x2β(β - 1))] ≥
≥ eαt/ε(x2 + kt)β-1[α(x2 + kt) + εβk - ε2M2(x2 + 1)2β(2β - 1)],
где M2 - постоянная из предположения 7◦) в постановке задачи (17).
i) При |x| ≥ 1 справедливо неравенство
2μ
L(w) ≥
eαt/ε(x2 + kt)β-1[α(x2 + kt) + εβk - ε2M2(x2 + 1)2β(2β -
1)] ≥
L2β-r
2μ
≥
eαt/ε(x2 + kt)β[α - ε28M2β2] ≥ 0,
L2β-r
если α > ε208M2β2.
ii) При 0 < |x| < 1 выполняется неравенство
2μ
L(w) ≥
eαt/ε(x2 + kt)β-1[α(x2 + kt) + εβk - ε2M2(x2 + 1)2β(2β -
1)] ≥
L2β-r
2μ
≥
eαt/ε(x2 + kt)β-1(εβk - 8ε2M2β2) ≥ 0,
L2β-r
если k > ε08M2β.
Оценим функцию w(x, t, ε) на границе области DL :
2β
x
w(x, 0, ε) = 2μ
≥ 0,
L2β-r
2μ
w(0, t, ε) =
eαt/ε(kt)β ≥ 0,
L2β-r
2μ
2μ
w(L, t, ε) = u +
eαt/ε(L2 + kt)β ≥ -μ(Lr + 1) +
eαt/ε(L2 + kt)β ≥
L2β-r
L2β-r
≥ -μ(Lr + 1) + 2μLr = μ(Lr - 1) ≥ 0.
Следовательно, если L(w) ≥ 0, то w ≥ 0 в DL. Другими словами,
2μ
w=u+eαt/ε
(x2 + kt)β ≥ 0.
L2β-r
Устремляя L к бесконечности, получаем, что u ≥ 0 для всех x ∈ R+.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
343
Этап 2. Рассмотрим функцию u = ±RN + Ct/ε:
q(t)Ct
L(u) = ±H + C +
≥ 0.
ε
Отсюда получаем u = ±RN + Ct/ε ≥ 0, а значит,
Ct
|RN | ≤
ε
Запишем остаток в виде RN = uN+1 + εRN+1. Тогда |RN | ≤ |uN+1| + εCt/ε ≤ M. Следова-
тельно,
∑
− uk
εN+1M.
u
≤
k=-1
Теорема доказана.
2.5. Приложение.
Лемма 1. Для всех z > 0 справедливо неравенство
∞
∫
erfc (z) = (2/
√π) e-ξ2 dξ <√2e-z2/2.
z
Действительно,
∫
∞
∫
∞
∫
∞
2
2
2
√
erfc (z) =
e-z2/2
e-ξ2/2 dξ ≤ e-z2/2
2e-z2/2.
√πe-ξ2/2-ξ2/2 dξ≤
√π
√πe-s2/2 ds=
z
z
0
Лемма 2. Для любой функции ψ(t) ∈ C[0, T ] верна оценка
∫
∞
(
)
2
x2
|F (ψ(t))| =
t-
−ξ2 dξ ≤ M,
ψ
e
√π
4ε2ξ2
√
x/(2ε
t)
где M = ∥ψ∥C .
√
Если x/(2ε
t) ≤ ξ < +∞, то t - x2/(4ε2ξ2) ∈ [0,t] ⊆ [0,T]. Так как функция ψ(t)
непрерывна по условию, то |ψ(t)| ≤ M = ∥ψ∥C при всех t ∈ [0, T ]. Поэтому
∫
∞
(
)
∫
∞
2
x2
2
|F (ψ(t))| ≤
t-
−ξ2 dξ ≤ M
ψ
e
√π
4ε2ξ2
√πe-ξ2 dξ=M.
√
x/(2ε
t)
0
Лемма 3. Для любой функции ψ(t) ∈ C[0, T ] верна оценка
∞
∫
2
F (ψ(t)) = ψ(t)
e-ξ2 dξ + O(ε∞)
√π
√
x/(2ε
t)
при ε → 0 для всех x ∈ [δ,+∞), где δ > 0.
Примем во внимание результаты лемм 1 и 2 и представление
∫
∞
∫
∞
( (
)
)
2
2
x2
F (ψ(t)) = ψ(t)
e-ξ2 dξ +
ψ t-
- ψ(t) e-ξ2 dξ.
√π
√π
4ε2ξ2
√
√
x/(2ε
t)
x/(2ε
t)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
344
ЕЛИСЕЕВ и др.
Оценим модуль второго слагаемого в правой части этого равенства:
∫
∞
( (
)
)
∫
∞
2
x2
2
√
ψ t-
- ψ(t) e-ξ2 dξ
2M
e-ξ2/2 dξ ≤ 2
2Me-x2/(8ε2t),
≤
√π
4ε2ξ2
√π
√
√
x/(2ε
t)
x/(2ε
t)
где M = ∥ψ∥C . Отсюда при ε → 0 следует нужная оценка для всех x ∈ [δ, +∞), где δ > 0.
Лемма 4. Пусть оператор A(t) имеет собственное значение λ(t) = tra(t), Re a(t) < 0.
Тогда имеют место оценки
σk(t,ε) = O(ε) при ε → 0, t ∈ [δ,T], δ > 0.
Так как Re a(t) < 0, то найдётся α > 0 такое, что Re a(t) ≤ -α < 0. Поэтому
∫
t
(
∫
t
)
∫
t
(
∫
t
)
1
1
exp
-
λ(s1) ds1 s-1+(i+1)/n ds
exp
-
αsr
ds1
s-1+(i+1)/n ds =
≤
1
ε
ε
0
s
0
s
∫t
(
)
1 α(tr+1 - sr+1)
= exp -
s-1+(i+1)/n ds =
ε
r+1
0
(
)∫ t
1 α(tr+1)
(1 α(sr+1))
= exp
-
exp
s-1+(i+1)/n ds =
ε r+1
ε r+1
0
(
)∫ t
1 α(tr+1)
(1 α(sr+1))
= exp
-
exp
s-1+(i+1)/n ds =
ε r+1
ε r+1
0
(
∫
1 α(tr+1)
( α(ξr+1))
= ε(i+1)/(n(r+1)) exp -
exp
ξ-1+(i+1)/n dξ.
ε r+1
r+1
0
Для асимптотической оценки получившегося выражения обозначим τ = t/ε1/(r+1), и пусть
τ → ∞. Для двух последних сомножителей оцениваемого выражения имеем
(
)∫τ
α(τr+1)
( α(ξr+1))
exp
-
exp
ξ-1+(i+1)/n dξ ∼
r+1
r+1
0
(
)
1
α(τr+1)
( α(τr+1))
τ-1+(i+1)/n
1
ε(p-i)/(n(r+1))
∼
exp
-
exp
τ-1+(i+1)/n =
=
=
ατr
r+1
r+1
ατr
ατ(p-i)/n
αt(p-i)/n
Учитывая первый сомножитель ε(i+1)/(n(r+1)), получаем ε(i+1)/(n(r+1))ε(p-i)/(n(r+1)) = ε.
Отсюда следует, что
(
)∫ t
1 α(tr+1)
(1 α(sr+1))
exp
-
exp
s-1+(i+1)/n ds = O(ε) при ε → 0, t ∈ [δ,T], δ > 0.
ε r+1
ε r+1
0
Теоремы 1 и 2 получены Ратниковой Т.А. в рамках выполнения государственного задания
Министерства образования и науки Российской Федерации (проект FSWF-2020-0022).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
РАЗВИТИЕ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
345
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Мат.
сб. 1948. Т. 22 (64). № 2. С. 193-204.
2. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при произ-
водных // Мат. сб. 1952. Т. 31 (73). № 3. С. 575-586.
3. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М., 1965.
4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных
уравнений. М., 1973.
5. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.
6. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed problems in case of exchange of
stabilities // J. of Math. Sci. 2004. V. 121. № 1. P. 1973-2079.
7. Елисеев А.Г., Ломов С.А. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей
предельного оператора // Мат. сб. 1986. Т. 131. № 4. С. 544-557.
8. Елисеев А.Г. Теория сингулярных возмущений в случае негладкого спектра предельного оператора
// Мат. сб. 1995. Т. 186. № 7. С. 25-40.
9. Елисеев А.Г. Об аналитических решениях по параметру сингулярно возмущенного уравнения при
наличии простейшей точки поворота у предельного оператора // Вестн. Моск. энерг. ин-та. 1995.
№ 6. С. 41-47.
10. Ratnikova Т. Singularly perturbed Cauchy problem for a parabolic equation with a rational “simple”
turning point // Axioms. 2020. V. 9. № 4. Art. 138.
11. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболиче-
ского типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3 (105). С. 3-116.
Национальный исследовательский университет
Поступила в редакцию 03.08.2021 г.
“Московский энергетический институт”
После доработки 22.12.2021 г.
Принята к публикации 09.03.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
