ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.346-360

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956:533.2

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГОМОГЕННОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ

С ОБЩЕЙ РЕГУЛЯРИЗУЮЩЕЙ СКОРОСТЬЮ

Изучается квазигидродинамическая система уравнений гомогенной (с общими скоростью

и температурой) многокомпонентной газовой смеси в отсутствие химических реакций с об-

щей регуляризующей скоростью. Для неё выводится уравнение баланса энтропии с неот-

рицательным производством энтропии при наличии потоков диффузии компонент смеси.

В отсутствие потоков диффузии новым способом строится линеаризованная на постоян-

ном решении система уравнений, выполняется её приведение к симметричному виду и

доказывается L²-диссипативность её решений, а также устанавливается вырождение (по

отношению к плотностям компонент смеси) свойства параболичности исходной системы.

Фактически изучаемая система имеет составной тип. Полученные свойства математически

строго отражают её физическую корректность и диссипативный характер квазигидроди-

намической регуляризации.

DOI: 10.31857/S0374064122030050, EDN: BXWSAS

Введение. Уравнения движения многокомпонентных смесей газов (или жидкостей) пред-

ставляют большой теоретический и прикладной интерес (см., в частности, [1-4]). В одноком-

понентном случае давно используются квазигазодинамическая (КГД) и более простая ква-

зигидродинамическая (КГидД) системы уравнений как регуляризованные системы уравнений

Эйлера и Навье-Стокса вязкого сжимаемого теплопроводного газа [5-7]. Для них справедливо

уравнение баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии. Дополнительными

важными математическими свойствами этих систем являются их равномерная по Петровскому

параболичность и устойчивость решений линеаризованных систем, доказанные в [8-11].

Обобщения КГД и КГидД систем на случай бинарных смесей газов с различными плотно-

стями, скоростями и температурами в отсутствие потоков диффузии и химических реакций

даны в [6, 12]. Недавно построены соответствующие обобщения на практически важный слу-

чай гомогенных (с общими скоростью и температурой) смесей с одной общей или несколькими

регуляризующими скоростями, в том числе с учётом межфазного взаимодействия между со-

бой компонент смеси [13, 14]. Применение разностных методов, основанных на КГидД и КГД

системах для бинарных смесей с общей регуляризующей скоростью, хорошо зарекомендовало

себя в ряде задач компьютерного моделирования (см. в том числе [14-18]).

В данной работе изучается КГидД система уравнений гомогенной многокомпонентной га-

зовой смеси с общей регуляризующей скоростью при наличии потоков диффузии заданного

типа и в отсутствие химических реакций. Для неё выводится уравнение баланса суммарной

энтропии с неотрицательным производством энтропии (для КГидД систем при наличии пото-

ков диффузии это реализуется впервые). В случае бинарной (двухкомпонентной) смеси потоки

диффузии эквивалентны указанным в [1, гл. VI], но записаны изначально несколько иначе и

полностью; вывод уравнения баланса энтропии также реализован более наглядно и подробно.

Кроме того, новая форма записи потоков диффузии позволила дать обобщение на многоком-

понентный случай.

В отсутствие потоков диффузии сначала указывается на то, что можно записать замкну-

тую систему уравнений относительно суммарных плотности, газовой “постоянной” и удельной

теплоёмкости при постоянном объёме (для смесей две последние величины являются функ-

циями), а также общих скорости и температуре. Это может быть полезно как при анализе

свойств КГидД системы, так и при построении методов её численного решения.

346

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

347

Затем, и это главное, выводится линеаризованная на постоянном решении КГидД систе-

ма уравнений, выполняется её приведение к симметричному виду и доказываются L²-дис-

сипативность решений соответствующей задачи Коши и их оценки. Строится также упрощён-

ная симметричная система уравнений для меньшего количества искомых функций с лучшими

свойствами и для неё доказываются L²-диссипативность решений соответствующей начально-

краевой задачи и их оценки. Устанавливается также вырождение (по отношению к плотностям

компонент смеси) свойства параболичности исходной КГидД системы. Оба свойства тесно свя-

заны и анализируются иным более компактным образом, чем это сделано в [8-10]. В этом

анализе существенную роль играет использование редуцированной КГидД системы, уравне-

ния которой разложены с точностью до квадрата модуля градиента решения, и новый способ

нормировки плотностей компонент. Оба свойства строго математически выражают физиче-

скую диссипативность КГидД регуляризации, играющую принципиальную роль в успехе её

применения.

Указанное вырождение свойства параболичности связано именно с использованием общей

регуляризующей скорости (точнее, суммарного давления) в уравнениях баланса плотности

компонент смеси. Более того, показывается, что фактически КГидД система уравнений в

отсутствие потоков диффузии, подобно системе уравнений Навье-Стокса сжимаемого газа,

имеет составной тип (а не параболический тип, как в однокомпонентном случае). Это обстоя-

тельство существенно для корректной постановки краевых условий для плотностей компонент

в начально-краевых задачах, а также для выбора способа дискретизации уравнений баланса

плотности компонент смеси.

1. Квазигидродинамическая система уравнений гомогенной газовой смеси с об-

щей регуляризующей скоростью и её следствия. Квазигидродинамическая система

уравнений гомогенной газовой смеси с общей регуляризующей скоростью состоит из уравнений

баланса массы компоненты, суммарного импульса и суммарной полной энергии:

∂_tρ_α + div [ρ_α(u - w) + d_α] = 0, α = 1,K,

(1)

∂_t(ρu) + div [ρ(u - w)

^⊗ u] + ∇p = div Π + ρf,

(2)

∂_tE + div [(E + p)(u - w)] = div (-q + Πu) + ρ(u - w) · f + Q.

(3)

Здесь основные искомые функции ρ_α > 0, u = (u₁, . . . , u_n), θ > 0 - соответственно плотность

компоненты α, общие скорость и абсолютная температура смеси; число компонент K ≥ 2.

Можно считать, что они зависят от x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ, где n = 1, 2, 3, и t ≥ 0. Операторы

⊗

div и ∇ = (∂₁, . . . , ∂_n) берутся по x, а ∂_t := ∂/∂t, ∂i := ∂/∂xi. Символы

и · обозначают

соответственно тензорное и скалярное произведения векторов, а дивергенция тензора берётся

по его первому индексу.

Компоненты смеси предполагаются совершенными политропными газами с уравнениями

состояния p_α = R_αρ_αθ и ε_α = c_Vαθ, где p_α и ε_α - давление и удельная внутренняя энергия

компоненты α, с постоянными R_α > 0 и c_Vα > 0, α = 1, K. Суммарные плотность, давление,

удельная внутренняя энергия и полная энергия смеси задаются соответственно формулами

∑

ρ_α

ρ = 〈ρ_α〉 :=

ρ_α, p = 〈p_α〉 = Rρθ, ε =

ε_α

=c_Vθ, E =

ρ|u|² + ρε

(4)

α=1

с коэффициентами

ρ_α

R :=

R_α

c_V :=

c_Vα

(5)

Здесь введена часто используемая в дальнейшем операция 〈 · 〉 суммирования по индексу α =

= 1, K. Вторая из формул (4) - это закон Дальтона для смесей. Подчеркнём, что R и c_V

являются функциями, а не постоянными, в отличие от однокомпонентного случая (K = 1).

Отметим, что здесь функции C_α := ρ_α/ρ - массовые концентрации компонент смеси, которые

будут возникать и ниже.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

348

ЗЛОТНИК, ФЕДЧЕНКО

Тензор вязкости имеет вид Π = Π^NS + Π^τ , а поток тепла - вид q = q^F + q^d. При этом

тензор вязкости Навье-Стокса и поток тепла Фурье задаются стандартными формулами

[

]

Π^NS = μ ∇u + (∇u)^т -

(div u)I

+ λ(div u)I,

-q^F = κ∇θ,

где ∇u = {∂iuj}ni,j=1, I - единичный тензор порядка n, а μ > 0, λ ≥ 0 - коэффициенты

динамической и объёмной вязкости, κ > 0 - коэффициент теплопроводности (которые могут

зависеть от искомых функций). Общая регуляризующая скорость и регуляризующий тензор

вязкости в КГидД случае имеют вид

[

]

w = τ (u · ∇)u +

∇p - f , Π^τ = ρu

^⊗ w,

(6)

где τ > 0 - параметр регуляризации, который может зависеть от искомых функций. Плотность

массовой силы f и мощность тепловых источников Q ≥ 0 - заданные функции.

Представленная модель является регуляризованной системой уравнений Навье-Стокса

смеси вязких теплопроводных сжимаемых газов. Случай регуляризованных уравнений Эйле-

ра, когда физические коэффициенты вязкости и теплопроводности равны нулю, также допус-

кается: тогда подразумевается использование искусственных коэффициентов μ, λ, κ, про-

порциональных τ (см. [5-7]). Ниже их конкретный вид несуществен.

В этой модели d_α - поток диффузии между компонентой α и остальными компонентами,

а q^d - соответствующий дополнительный поток тепла. В случае бинарной смеси (K = 2) при

d_α = 0 и q^d = 0 приведённые выше уравнения были записаны (среди прочих) в [16]. В данной

работе зададим указанные потоки следующими формулами:

[∑

]

−d_α := a₀

∇(G_α - G_β ) + b_α∇θ

= a₀[∇(KG_α - G) + b_α∇θ] с G := 〈G_α〉,

(7)

β:β=α

q^d = 〈(G_α + K-1b_αθ)d_α〉,

(8)

p_α

ρ_α

Gα := εα - sαθ +

= (c_pα - s_α)θ, s_α := s_α - R_α ln

+ cVα ln

(9)

θ,

ρ_α

ρα

где G_α и s_α - потенциал Гиббса и удельная энтропия (см., например, [19]), а c_Vα и c_pα =

= R_α+c_Vα - удельные теплоёмкости при постоянном объёме и давлении компоненты α = 1,K.

Величины a₀ ≥ 0 и b_α не конкретизируются; они могут зависеть от искомых функций и

предполагается, что 〈b_α〉 = 0, а s_α,

ρα > 0,

θ > 0 - постоянные (референсные значения s_α,

ρ_α, θ). Величина c_pαθ - удельная энтальпия компоненты α.

Важную роль играет свойство 〈d_α〉 = 0, непосредственно вытекающее из (7) и сделанного

предположения 〈b_α〉 =0.

Так как имеют место равенства

∇G_α = (c_pα - s_α)∇θ - θ∇s_α,

∇s_α = -R_α

∇ρ_α + c_Vα

∇θ,

ρ_α

то заменойbα := b_α - (Ks_α - 〈s_α〉) введённые выражения для потоков можно сделать, как

обычно, не зависящими явно от s_α :

-d_α = a₀{[Kc_pα - 〈c_pα〉 - (Ks_α - 〈s_α〉 - b_α)]∇θ - θ∇(Ks_α - 〈s_α〉)} =

[ (

)

]

=a₀ θ KR_α

∇ρ_α - R_α

∇ρ_α

+ (KR_α - 〈R_α〉 +bα)∇θ ,

ρ_α

q^d = 〈(G_α + s_αθ - K-1〈s_α〉θ + K-1b_αθ)d_α〉 = 〈(c_pα + K-1b_α)θd_α〉

(10)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

349

с учётом свойства 〈d_α〉 = 0. При этом 〈bα〉 = 0. Кроме того, поскольку ρ_α = pC_α/(Rθ), то

ln ρ_α = ln C_α - ln R + ln p - ln θ, R = 〈R_αC_α〉, и верна также формула

{ [

]

-d_α = a₀

θ KR_α

∇C_α - R_α

∇C_α

- (KR_α - 〈R_α〉)

〈R_α∇C_α〉

C_α

}

+ (KR_α - 〈R_α〉)

∇p +bα∇θ .

(11)

Rρ

В случае K = 2 формулы (7), (8) для потоков принимают вид, эквивалентный известно-

му [1, гл. VI]:

- d₁ = d₂ = a₀[∇(G₁ - G₂) + b₁∇θ], q^d = (G₁ - G₂ + b₁θ)d₁.

Кроме того, поскольку KR₁ - 〈R_α〉 = R₁ - R₂ и

)

⁽R₁

R₂

(R₁ - R₂)²

KR₁

∇C₁ - R_α

∇C_α

- (KR₁ - 〈R_α〉)

〈R_α∇C_α〉 =

∇C₁ -

∇C₁,

C₁

C_α

C₁

C₂

то после несложных алгебраических преобразований формулы (11) и (10) приводят к форму-

лам более стандартного вида для бинарных смесей

[

]

R₁R₂θ

R₁ - R₂

-d₁ =d₂ =a₀

∇C₁ -

∇p +b1∇θ , q^d = (cp1 - cp2 +b1)θd₁.

RC₁(1 - C₁)

Rρ

В частном случаеb1 = 0 (т.е. при отсутствии термодиффузии) их вид упрощается.

Выведем необходимый ниже набор следствий из уравнений (1)-(3), включая уравнения

баланса суммарной массы, кинетической энергии, суммарной внутренней энергии, а также

уравнения баланса скорости и температуры.

Применение операции 〈·〉 к уравнению (1) (т.е. суммирование по α = 1, K) с учётом

свойства 〈d_α〉 = 0 приводит к важному уравнению баланса суммарной массы

∂_tρ + div [ρ(u - w)] = 0.

(12)

Нередко уравнения (1) заменяют на уравнение (12) с добавлением уравнения для K - 1 кон-

центраций

∂_t(ρC_α) + div [ρC_α(u - w) + d_α] = 0, α = 1,K - 1;

в том числе так сделано в [15-17], но ниже это не используется. Последние уравнения в си-

лу (12) можно также записать в недивергентном виде

ρ∂_tC_α + ρ∇C_α · (u - w) + div d_α = 0.

(13)

Уравнение баланса импульса (2) скалярно умножим на u и воспользуемся однотипными

формулами

[∂_t(ρu)] · u =

∂_t(ρ|u|²) +

(∂_tρ)|u|²,

div [ρ(u - w)

^⊗ u] · u =1

div [ρ(u - w)|u|²] +

{div [ρ(u - w)]}|u|²

и уравнением баланса суммарной массы (12), в результате получим уравнение баланса кине-

тической энергии

∂_t(ρ|u|²) +

div [ρ(u - w)|u|²] + (∇p) · u = (div Π) · u + ρf · u.

Вычитая его из уравнения баланса суммарной полной энергии (3) и пользуясь формулами

div (pu) = (∇p) · u + p div u, div (Πu) = (div Π) · u + Π : ∇u,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

350

ЗЛОТНИК, ФЕДЧЕНКО

придём к уравнению баланса суммарной внутренней энергии

∂_t(ρε) + div [ρε(u - w)] + p div u - div (pw) = div (-q) + Π : ∇u - ρw · f + Q,

(14)

здесь и далее через : обозначается скалярное произведение тензоров.

Уравнения типа (12)-(14) в несколько иных ситуациях хорошо известны; здесь их вывод

приведён для полноты и замкнутости изложения.

Продифференцировав первые два слагаемые в левой части уравнения баланса импульса (2),

получим

(∂_tρ)u + ρ∂_tu + div [ρ(u - w)]u + ρ[(u - w) · ∇]u + ∇p =

= div Π^NS + (div u)ρw + (u · ∇)(ρw) + ρf.

В силу уравнения баланса суммарной массы (12) после деления на ρ выведем уравнение

баланса скорости

∂_tu + [(u - w) · ∇]u +

∇p =

div Π^NS + (div u) w +

(u · ∇)(ρ w) + f.

(15)

Обратимся к уравнению (14). Так как ρε = 〈c_Vαρ_α〉θ, то верны однотипные формулы

дифференцирования

∂_t(ρε) = 〈c_Vα∂_tρ_α〉θ + 〈ρ_αc_Vα〉∂_tθ,

div [ρε(u - w)] = 〈c_Vα div [ρ_α(u - w)]〉θ + 〈ρ_αc_Vα〉(u - w) · ∇θ.

Воспользуемся уравнением баланса массы компоненты (1) и после деления на 〈ρ_αc_Vα〉 = c_V ρ

придём к уравнению баланса температуры

∂_tθ + (u - w) · ∇θ +

θ div u =

[〈c_Vα div d_α〉θ + div (-q + p w) + Π : ∇u - ρ w · f + Q]. (16)

c_V

c_V ρ

2. Уравнение баланса энтропии при наличии потоков диффузии. Введём суммар-

ную удельную энтропию s := 〈C_αs_α〉 и выведем уравнение баланса суммарной энтропии ρs.

Пусть a₀ > 0 в (7).

Теорема 1. Для КГидД системы уравнений справедливо уравнение баланса суммарной

энтропии с неотрицательным производством энтропии

[

]

∂_t(ρs) + div ρs(u - w) -

κ∇θ +

〈b_αd_α〉

[

(

)

]

κ|∇θ|² +

|∇u + ∇u^т|² + λ -

μ (div u)2 +

〈|d_α|²〉 +

|w|² +

≥ 0.

(17)

θ²

Ka₀θ

τθ

Доказательство. Преобразуем в силу уравнения баланса массы компоненты (1) и задания

энтропии s_α (9) с последующей записью слагаемых в дивергентном виде следующую величину:

∂_t(ρs) + div [ρs(u - w) + 〈s_αd_α〉] = 〈∂_t(ρ_αs_α) + div [ρ_αs_α(u - w) + s_αd_α]〉 =

= 〈{∂_tρ_α + div [ρ_α(u - w) + d_α]}s_α〉 + 〈ρ_α[∂_ts_α + ∇s_α · (u - w)] + ∇s_α · d_α〉 =

- R_α[∂_tρ_α + ∇ρ_α · (u - w)] +

[ρ_α∂_tε_α + ρ_α∇ε_α · (u - w)]

+ 〈∇s_α · d_α〉 =

- R_α{∂_tρ_α + div [ρ_α(u - w)] - ρα div (u - w)} +

{[∂_t(ρ_αε_α) + div [ρ_αε_α(u - w)] - ε_α[∂_tρ_α + div [ρ_α(u - w)]]}

+ 〈∇s_α · d_α〉.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

351

Далее воспользуемся равенством ρε = 〈ρ_αε_α〉 и уравнениями баланса массы компоненты (1)

и суммарной внутренней энергии (14), в результате получим

∂_t(ρs) + div [ρs(u - w) + 〈s_αd_α〉] = 〈(R_α + c_Vα)div d_α + R_αρ_α div (u - w)〉 +

[-p div u + div (p w) + div (-q) + Π : ∇u - ρ w · f + Q] + 〈∇s_α · d_α〉.

Так как верны равенства

Gα

(R_α + c_Vα) - s_α =

〈R_αρ_α〉 =

div (p w) = ∇p · w + p div w, Π^τ : ∇u = ρ(u · ∇)u · w,

(

)

⁽1

div (-q) = div

∇θ · (-q^F - q^d),

∇s_α = -∇

Gα ,

θ²

то

[

]

∂_t(ρs) + div ρs(u - w) -

〈G_αd_α〉

[∇p + ρ(u · ∇)u - ρf] · w +

(Π^NS : ∇u + Q) -

− div

∇θ · 〈(G_α + K-1b_αθ)d_α〉 +

∇θ · 〈G_αd_α〉 -

〈∇G_α · d_α〉.

θ²

Последние три слагаемых правой части с учётом свойства 〈d_α〉 = 0 можно записать в виде

〈[∇(KG_α) + b_α∇θ] · d_α〉 = -

〈[∇(KG_α - G) + b_α∇θ] · d_α〉 =

〈|d_α|²〉.

Kθ

Ka₀θ

Кроме того, q - 〈G_αd_α〉 = -κ∇θ + K-1θ〈b_αd_α〉. Уравнение (17) выведено.

Обратим внимание на то, что уравнение баланса энтропии (17) сохраняет силу, во-первых,

при d_α = 0, α = 1, K (если угодно, при a₀ = 0; при K = 2 такой результат указан в конце

раздела 2 в [14]), во-вторых, при τ = 0 - в этих более простых случаях нужно отбросить

слагаемые соответственно с d_α и w в его левой и правой частях.

3. Разложение КГидД системы уравнений относительно градиента искомых

функций. Изучаемые ниже свойства связаны с диссипативными свойствами КГидД системы

уравнений. При этом ограничимся упрощённым случаем d_α = 0, α = 1, K, который также

оказывается достаточно нетривиальным.

Сначала обратим внимание на то, что в этом случае умножение уравнений баланса массы

компоненты (1) на R_α и c_Vα и суммирование по α = 1, K в силу (5) приводит к следующим

одинаковым уравнениям для R и c_V :

∂_t(ρR) + div [ρR(u - w)] = 0,

∂_t(ρc_V ) + div [ρc_V (u - w)] = 0.

(18)

Так как в выражения для w, p, ε, а значит, и в уравнения баланса импульса (2) и полной

энергии (3), входят именно суммарные величины ρ, R и c_V (а не сами ρ_α, см. (4)), то

уравнения (12), (18) вместе с (2), (3) образуют замкнутую систему уравнений для искомых

функций ρ > 0, R > 0, c_V > 0, u, θ > 0, количество которых не зависит от K (и при

K > 3 меньше исходного). Это обстоятельство можно применить в том числе при построении

численных методов решения исходной КГидД системы уравнений; ниже в данной статье оно не

используется. Отметим также, что в силу уравнения баланса суммарной массы (12) уравнения

для R и c_V можно записать в недивергентном виде

∂_tR + ∇R · (u - w) = 0,

∂_tc_V + ∇c_V · (u - w) = 0.

Пусть далее f = 0, Q = 0. Введём вектор искомых функций z = (ρ₁, . . . , ρ_K , u, θ) и

выполним вспомогательную редукцию уравнений (1), (15) и (16) с точностью O(|∇z|²).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

352

ЗЛОТНИК, ФЕДЧЕНКО

Запишем уравнение баланса массы компоненты (1) в виде ∂_tρ_α + div (ρ_αu) = div (ρ_α w),

α = 1,K, и разложим его правую часть:

div (ρ_α w) = ρ_α div w + O(|∇z|²),

[

]

div w = τ (u · ∇) div u +

div ∇(〈R_αρ_α〉θ)

+ O(|∇z|²) =

[

]

=τ

〈R_αΔρ_α〉 + (u · ∇) div u + RΔθ

+ O(|∇z|²).

(19)

Разложим также слагаемые правой части уравнения (15):

(

)

div Π^NS = μ div (∇u + (∇u)^т) + λ -

μ ∇divu + O(|∇z|²) =

(

)

= μΔu +

μ + λ ∇divu + O(|∇z|²),

[

]

(u · ∇)(ρ w) = τ(u · ∇) (u · ∇)u +

∇p + O(|∇z|²) =

[

]

= τ (u · ∇)(u · ∇)u +

(u · ∇)〈R_α∇ρ_α〉 + R(u · ∇)∇θ

+ O(|∇z|²),

и слагаемые правой части уравнения (16):

div (-q) = κΔθ + O(|∇z|²), div (p w) = p div w + O(|∇z|²),

далее см. разложение в (19).

Подставляя все эти разложения в правые части соответствующих уравнений и учитывая,

что

|w · ∇u| + |(divu)ρw| + |w · ∇θ| + |Π : ∇u| = O(|∇z|²)

и p = Rρθ, выведем в итоге редуцированную систему уравнений с производной

∂_t отдельно

для каждой из искомых функций:

∂_tρ_α + u · ∇ρ_α + ρ_α div u =

[

]

ρ_αθ

=τ

〈R_β Δρ_β〉 + ρ_α(u · ∇) div u + Rρ_αΔθ

+ O(|∇z|²), α = 1,K,

(20)

∂_tu +

〈R_α∇ρ_α〉 + (u · ∇)u + R∇θ = τ

(u · ∇)〈R_α∇ρ_α〉 +

Δu +

∇div u + τ(u · ∇)(u · ∇)u + τR(u · ∇)∇θ + O(|∇z|²),

(21)

∂_tθ +

R θ divu + u · ∇θ =

c_V

(

)

Rθ

R²θ

=τ

〈R_αΔρ_α〉 + τ

(u · ∇) div u + τ

Δθ + O(|∇z|²),

(22)

c_V ρ

c_V

c_V ρ

где χ := μ/3 + λ. Выражения типа 〈R_β Δρ_β〉 подразумевают суммирование по β = 1, K.

Ниже полученная редуцированная система уравнений служит очень удобной основой как

для линеаризации исходной КГидД системы, так и при анализе её параболичности.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

353

4. Линеаризованная на постоянном решении КГидД система уравнений и её

L²-диссипативность. При f = 0 и Q = 0 система уравнений (1)-(3) имеет постоянные

решения (ρ₁, . . . , ρ_K , u, θ)(x, t) ≡ z₀, где z₀ = (ρ₁₀, . . . , ρK0, u₀, θ₀) с ρ₁₀ > 0, . . . , ρK0 > 0,

θ₀ > 0. Линеаризуем систему на этом фоновом решении. Для этого запишем решение в виде

ρ_α = ρα0 + ρ_α∗ρ_α (α = 1,K), u = u₀ + u_∗u, θ = θ₀ + θ_∗θ,

(23)

где ρα∗ > 0, u∗ > 0, θ∗ > 0 - нормировочные обезразмеривающие параметры, а z :=

:= (ρ, u,θ) - вектор безразмерных возмущений с ρ := (ρ1, . . . , ρK ). В дальнейшем важно,

что, в отличие от [8-10], множители ρ_α∗ могут быть выбраны не равными фоновым значени-

ям ρα0 .

Введём нормированные фоновые плотности компонент и скорость, а также фоновые зна-

чения суммарной плотности и коэффициентов R и c_V :

ρα0

u₀

ρα0

ρα0 :=

u₀ :=

ρ₀ := 〈ρα0〉, R₀ :=

R_α

cV0 :=

c_Vα

ρ_α∗

u_∗

ρ₀

В отличие от работ [8-10] решение в виде (23) подставим не в исходную КГидД систему или

в систему уравнений (1), (15), (16), а в редуцированную систему (20)-(22). Так как ∂_kz =

= (ρ1∗∂_k ρ₁, . . . , ρ_K∗∂_k ρ_K , u_∗∂_k u, θ_∗∂_k θ), k = 1, n, и O(|∇z|²) = O(|∇z|²), то после отбрасы-

вания членов 2-го порядка малости относительно вектора z и его производных 1-го и 2-го

порядков и деления уравнений соответственно на ρ_α∗, u_∗, θ_∗, несложными преобразования-

ми получаем линеаризованную систему уравнений

∂_tρ_α + u_∗(u₀ · ∇ρ_α + ρα0 div u) =

]

^[ρα0θ₀

R₀ρα0θ_∗

=τ₀u²

〈R_βρ_β∗Δρ_β〉 + ρα0(u₀ · ∇) div u +

Δθ , α = 1,K,

(24)

^∗ ρ₀u2∗

u2∗

(

)

[

θ₀

R₀θ_∗

θ₀

∂_tu + u_∗

〈R_αρ_α∗∇ρ_α〉 + (u₀ · ∇)u +

∇θ

=u²

τ₀

(u₀ · ∇)〈R_αρ_α∗∇ρ_α〉 +

∗

ρ₀u2∗

u2∗

ρ₀u2∗

]

μ₀

χ₀

R₀θ_∗

Δu +

∇div u + τ₀(u₀ · ∇)(u₀ · ∇)u + τ₀

(u₀ · ∇)∇θ ,

(25)

ρ₀u2∗

u2∗

(

)

R₀θ₀

∂_tθ+ u_∗

div u + u₀ · ∇θ

cV0θ_∗

[

(

)

]

R₀θ²⁰

R₀θ₀

R²⁰θ₀

κ₀

=u²

∗

〈R_αρ_α∗Δρ_α〉 + τ₀

(u₀ · ∇)div u + τ₀

Δθ .

(26)

τ₀ cV0ρ₀u2_∗θ_∗

cV0θ_∗

cV0u2∗

cV0ρ₀u2∗

Здесь τ₀, μ₀, χ₀, κ₀ - фоновые значения τ, μ, χ, κ, т.е. их значения на фоновом решении,

и из конвективных слагаемых (т.е. с первыми производными по x) вынесен общий множи-

тель u_∗, а из диссипативных слагаемых (т.е. со вторыми производными) - множитель u2∗.

Для упрощения анализа полученной системы уравнений существенна возможность одно-

временной симметризации как конвективных, так и диссипативных слагаемых. Симметрич-

ность конвективных слагаемых достигается наложением условий

θ₀

u2∗

R_αθ₀

R₀θ_∗

R₀θ₀

θ2∗

θ₀

ρα0 =

R_αρ_α∗

⇔

α = 1,K, и

⇔

(27)

ρ₀u2∗

ρ2α∗

ρα0ρ₀

u2∗

cV0θ_∗

u2∗

cV0

Симметричность диссипативных слагаемых имеет место при выполнении условий

θ₀

R₀ρα0θ_∗

R₀θ²⁰

R₀θ_∗

R₀θ₀

ρα0 =

R_αρ_α∗,

R_αρ_α∗, α = 1,K, и

ρ₀u2∗

u2∗

cV0ρ₀u2∗θ_∗

u2∗

cV0θ_∗

Первое и третье из них совпадают с условиями (27), а второе следует из условий (27), что

обеспечивает одновременную симметризацию конвективных и диссипативных слагаемых.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

354

ЗЛОТНИК, ФЕДЧЕНКО

Отметим, что при ρ_α∗ = ρα0 условиям (27) можно удовлетворить только в очень частном

случае: когда pα0 = R_αρα0θ₀ не зависит от α. С другой стороны, условия (27) фактически

содержат свободный параметр (выбором которого будет удобно распорядиться ниже) - им

удовлетворяет выбор

√

ρ_α∗ = b

ρα0cV0ρ₀/R_α, α = 1,K, u_∗ = b

cV0θ₀, θ_∗ = bθ₀ при любом b > 0.

(28)

Пусть ниже условия (27) выполнены. Тогда вид коэффициентов линеаризованной системы

уравнений (24)-(26) существенно упрощается:

∂_tρ_α + u_∗(u₀ · ∇ρ_α + ρα0 div u) =

= τ₀u2∗[ρα0〈ρβ0Δρ_β〉 + ρα0(u₀ · ∇)div u + aρα0Δ^θ], α = 1,K,

(29)

∂_tu + u_∗(〈ρα0∇ρ_α〉 + (u₀ · ∇)u + a∇θ) =

= u2∗[τ₀(u₀ · ∇)〈ρα0∇ρ_α〉 + μ₀Δu + χ₀∇ div u + τ₀(u₀ · ∇)(u₀ · ∇)u + τ₀a(u₀ · ∇)∇θ],

(30)

∂_tθ+ u_∗(adiv u + u₀ · ∇θ) = u2∗[τ₀a〈ρα0Δρ_α〉 + τ₀a(u₀ · ∇)div u + (τ₀a² + κ₀)Δ^θ],

(31)

где введены обозначения

R₀θ_∗

μ₀

χ₀

κ₀

a :=

μ₀ :=

χ₀ :=

κ₀ :=

(32)

u2∗

ρ₀u2∗

cV0ρ₀u2∗

Вид правых частей уравнений (24)-(26) и (29)-(31) наводит на мысль о том, что можно

вывести замкнутую симметричную систему уравнений для функций r := 〈R_αρ_α∗ ρ_α〉/(R₀ρ₀),

θ. Чтобы реализовать это предположение, применим операцию 〈R_αρ_α∗(·)〉/(R₀ρ₀) к урав-

нению (24) и в силу равенств 〈R_αρ_α∗ ρα0〉 = 〈R_αρα0〉 = R₀ρ₀ получим уравнение

]

^[R₀θ₀

R₀θ_∗

∂_tr+ u_∗(u₀ · ∇r+ div u) = τ₀u²

Δr+ (u₀ · ∇)div u +

Δθ .

^∗ u2∗

u2∗

Симметризуем систему из этого уравнения и уравнений (25), (26) c 〈R_αρ_α∗∇ρ_α〉

= R₀ρ₀∇r

и 〈R_αρ_α∗Δρ_α〉 = R₀ρ₀Δr. Симметричность конвективных слагаемых обеспечивается выпол-

нением условий

√

R₀θ₀

R₀θ_∗

R₀θ₀

θ₀

R₀

⇔ u_∗ =

R₀θ₀

⇔ θ_∗ =

u_∗, т.е. θ_∗ = θ₀

(33)

u2∗

cV0θ_∗

cV0

Симметричность диссипативных слагаемых обеспечивается выполнением тех же условий и

условия R₀θ_∗/u2∗ = R²⁰θ²⁰/(cV0u2∗θ_∗), которое следует из предыдущих. Таким образом, при

указанном в (33) выборе u_∗ и θ_∗ приходим к следующей упрощённой системе уравнений:

∂_tr+ u_∗(u₀ · ∇r+ div u) = τ₀u2∗[Δr+ (u₀ · ∇)div u + aΔ^θ],

(34)

∂_tu + u_∗(∇r+ (u₀ · ∇)u + a∇θ) =

= u2∗[τ₀(u₀ · ∇)∇r+ μ₀Δu + χ₀∇ div u + τ₀(u₀ · ∇)(u₀ · ∇)u + τ₀a(u₀ · ∇)∇θ],

(35)

∂_tθ+ u_∗(a div u + u₀ · ∇θ) = u2∗[τ₀aΔr+ τ₀a(u₀ · ∇)div u + (τ₀a² + κ₀)Δ^θ],

(36)

√

где a :=

R₀/cV0 и для μ₀,

χ₀,

κ₀ использованы прежние обозначения (32) с u_∗ =

√R₀θ₀.

Если функции r,

θ найдены, то в силу уравнения (29) для ρ_α получается простейшее

неоднородное уравнение переноса

∂_tρ_α + u_∗u₀ · ∇ρ_α = g_α := -ρα0 div u + τ₀u2∗[ρα0Δr+ ρα0(u₀ · ∇)div u + aρα0Δ^θ], α = 1,K,

поскольку можно считать, что u_∗ =

√R₀θ₀ в (28). Оно допускает решение в явном виде.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

355

Для анализа задачи Коши для системы (29)-(31) умножим её уравнения на соответствую-

щие компоненты непрерывно дифференцируемой финитной вектор-функции

z = (ρ₁,...,ρ_n,u,θ)(x)

(её не следует путать с решением КГидД системы, которое выше обозначалось аналогично) и

проинтегрируем по Rⁿ. Результаты сложим, проинтегрируем по частям и получим интеграль-

ное тождество

(∂_tz( · , t), z)_L2(Rn₎ + u_∗B_Rn (z( · , t), z) + u2∗A_Rn (z( · , t), z) = 0, t > 0.

(37)

В нём участвуют скалярное произведение в пространстве Лебега вектор-функций L²(Rⁿ) и

формы

B_Rn (z,z) := 〈(u₀ · ∇ρ_α + ρα0 div u,ρ_α)〉 + (〈ρα0∇ρ_α〉 + (u₀ · ∇)u + a∇θ,u) + (adiv u + u₀ · ∇θ,θ),

A_Rn(z,z) := μ₀(∇u,∇u) + χ₀(div u,div u) + κ₀(∇θ,∇θ) + τ₀[(〈ρα0∇ρ_α〉,〈ρα0∇ρ_α〉) +

+ ((u₀ · ∇)u, 〈ρα0∇ρ_α〉) + (a∇θ, 〈ρα0∇ρ_α〉) + (〈ρα0∇ρ_α〉, (u₀ · ∇)u) + ((u₀ · ∇)u, (u₀ · ∇)u) +

+ (a∇θ, (u₀ · ∇)u) + (〈ρα0∇ρ_α〉, a∇θ) + ((u₀ · ∇)u, a∇θ) + (a∇θ, a∇θ)].

Здесь для краткости (·,·) - скалярное произведение в L2(Rn) или L2(Rn) - пространст-

ве Лебега скалярных функций (тензоры ∇u и ∇u рассматриваем как векторы длины n²).

Эти формулы годятся для пространств как вещественных, так и комплекснозначных функций

z, z; в первом случае обе формы являются билинейными, а во втором - полуторалинейными.

Ниже ограничимся вещественным случаем, в отличие от [8, 9]. Тогда с помощью интегри-

рования по частям приходим к равенству

B_Rn(z,z) = (u₀,〈(∇ρ_α)ρ_α〉 + (∇u)u + (∇θ)θ) -

- (u,〈ρα0∇ρ_α〉) + (〈ρα0∇ρ_α〉,u) - a(θ,div u) + a(div u,θ),

и, поскольку (∇w)w = 0.5∇(w²), (∇u)u = 0.5∇(|u|2) и u0 = const, получаем

B_Rn (z,z) = 0, A_Rn(z,z) = A(z,z) для всех z,z ∈ H¹(Rⁿ),

(38)

где H¹(Rⁿ) - пространство Соболева вектор-функций z ∈ L²(Rⁿ), имеющих обобщённые по

Соболеву производные ∂_iz ∈ L²(Rⁿ), i = 1, n. Далее, для любой вектор-функции z ∈ H¹(Rⁿ)

непосредственно выводим

A_Rn(z,z) = μ₀∥∇u∥² + χ₀∥div u∥² + κ₀∥∇θ∥² + τ₀[∥〈ρα0∇ρ_α〉∥² + ∥(u₀ · ∇)u∥² + ∥a∇θ∥² +

+ 2((u₀ · ∇)u, 〈ρα0∇ρ_α〉) + 2(a∇θ, 〈ρα0∇ρ_α〉) + 2(a∇θ, (u₀ · ∇)u)] =

= μ₀∥∇u∥² + χ₀∥div u∥² + κ₀∥∇θ∥² + τ₀∥〈ρα0∇ρ_α〉 + (u₀ · ∇)u + a∇θ∥² ≥ 0.

(39)

Здесь для краткости ∥ · ∥ - норма в L²(Rⁿ) или L²(Rⁿ).

Таким образом, билинейная форма A_Rn (z, z) - симметричная и неотрицательно опреде-

лённая. Однако в отличие от однокомпонентного случая она не является положительно опре-

делённой, поскольку A_Rn (z, z) = τ₀∥〈ρα0∇ρ_α〉∥² при u = const, θ = const, а тождество

〈ρα0∇ρ_α〉 ≡ 0 означает только то, что 〈ρα0ρ_α〉 ≡ const. (Для z ∈ H¹(Rⁿ) все три const равны

нулю.) Это обстоятельство является прямым следствием использования общей регуляризую-

щей скорости w (точнее, суммарного давления p) в уравнениях (1).

Пусть V (S_T ) - гильбертово пространство вектор-функций z ∈ L²((0, T ); H¹(Rⁿ)), име-

ющих обобщённую производную ∂_tz ∈ L²((0, T ); H-1(Rⁿ)), где S_T = Rⁿ × (0, T ) - слой и

H-1(Rⁿ) = (H¹(Rⁿ))^∗ (см. используемые здесь понятия, например, в [20]). Введём слабое

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

5^∗

356

ЗЛОТНИК, ФЕДЧЕНКО

решение z ∈ V (S_T ) задачи Коши для системы уравнений (29)-(31), удовлетворяющее инте-

гральному тождеству

∫

〈∂_tz( · , t), z〉_Rn dt + u_∗BST (z, z) + u2∗A_S

(z, z) = 0 для любой z ∈ L²((0, T ); H¹⁰(Ω))

(40)

при всех T > 0 и начальному условию z|t=0 = z⁽⁰⁾ ∈ L²(Rⁿ). Здесь 〈 · , · 〉_Rn - отношение

двойственности на H-1(Rⁿ) × H¹(Rⁿ), а в используемых билинейных формах скалярные

произведения берутся по S_T вместо Rⁿ.

Теорема 2. Для решения z ∈ V (S_T ) (T > 0 - любое) линеаризованной системы уравне-

ний (29)-(31) при всех t ≥ 0 верно энергетическое равенство

0.5∥z( · , t)∥2L2 (Rn)+u∗[^μ0∥∇u∥L2(St)+χ0∥divu∥L2(St)+κ0∥∇θ∥L2(St)⁺

(41)

+ τ₀∥〈ρα0∇ρ_α〉 + (u₀ · ∇)u + a∇θ∥2L2(St)] = 0.5∥z(0)∥L 2(Rn)^.

Как следствие, функция ∥z( · , t)∥_L2(Rn₎ не возрастает при t ≥ 0 (это свойство L²(Rⁿ)-

диссипативности), введённое решение единственно и верна энергетическая оценка

√

max{sup

∥z( · , t)∥_L2(Rn₎,

2u_∗[μ₀∥∇u∥2L2(S)+χ0∥divu∥L2(S)+κ0∥∇θ∥L2(S)⁺

t≥0

(42)

+ τ₀∥〈ρα0∇ρ_α〉 + (u₀ · ∇)u + a∇θ∥2L2(S)]1/2} ≤ ∥z(0)∥L2(Rn),

где S := Rⁿ × (0, +∞).

Доказательство. Положив z = z( · , t) в тождестве (40) и применив затем первое свойство

в (38) и формулу в (39), приходим к указанному энергетическому равенству (с t вместо T ).

При этом свойство z ∈ C([0, T ]; L²(Rⁿ)) и формула

∫

〈∂_tz( · , t), z〉_Rn dt = 0.5∥z( · , T )∥2L2 (Rn)-0.5∥z(0)∥^L2(Rn)

при всех T > 0 вытекают из [20, гл. IV, теорема 1.17 и замечание 1.22]. Свойство L²(Rⁿ)-

диссипативности очевидно (поскольку в (41) нормы по S_t не убывают по t ≥ 0), а энерге-

тическая оценка легко получается стандартным образом. Единственность решения следует из

(41) или (42). Теорема доказана.

В силу энергетических равенства (41) и оценки (42) справедливо

Следствие. Существует производная ∂_t(∥z( · , t)∥2L2(Rn))∈L1(0,+∞)ивернадругаяфор-

ма энергетического равенства

0.5∂_t(∥z∥2L2(Rn))+u∗[^μ0∥∇u∥L2(Rn)+χ0∥divu∥L2(Rn)+κ0∥∇θ∥^L2(Rn) +

+ τ₀∥〈ρα0∇ρ_α〉 + (u₀ · ∇)u + a∇θ∥2L2(Rn)] = 0

при почти всех t > 0.

Равенство из формулировки следствия формально получается подстановкой в тождест-

во (37) z = z( · , t).

Замечание. Так как коэффициенты системы уравнений (29)-(31) постоянны, то производ-

ные ∂_tz = (∂_t

ρ,∂_tu,∂_tθ) и ∂_iz = (∂_i ρ,∂_iu,∂_iθ), i = 1,n, удовлетворяют той же системе урав-

нений. Поэтому априорная оценка (42) сохраняет силу при замене z на ∂_tz и ∂_iz (на самом

деле, и на производную z любого порядка по t, x₁, . . . , x_n). Такие следствия из априорной

оценки позволяют доказать существование введённого выше обобщённого решения системы

при надлежащих условиях регулярности z⁽⁰⁾. Его существование также следует из указанной

выше связи данной системы уравнений с системой (34)-(36), анализ которой более стандартен

(см. ниже). Здесь подробнее на этом останавливаться не будем.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

357

5. L²-диссипативность упрощённой линеаризованной КГидД системы уравне-

ний. Выполним анализ начально-краевой задачи для упрощённой системы уравнений (34)-

(36). Для этого введём вектор-функции

y := (r, u,θ) и y := (r, u, θ) и формы, аналогичные

определённым выше:

B_Ω(y,y) := (u₀ · ∇r+ ρα0 div u,r)_Ω + (∇r+ (u₀ · ∇)u + a∇θ,u)_Ω + (a div u + u₀ · ∇θ,θ)_Ω,

A_Ω(y,y) := μ₀(∇u,∇u)_Ω + χ₀(div u,div u)_Ω + κ₀(∇θ,∇θ)_Ω + τ₀[(∇r,∇r)_Ω + ((u₀ · ∇)u,∇r)_Ω +

+ (a∇θ,∇r)_Ω + (∇r,(u₀ · ∇)u)_Ω + ((u₀ · ∇)u,(u₀ · ∇)u)_Ω + (a∇θ,(u₀ · ∇)u)_Ω +

+ (∇r, a∇θ)_Ω + ((u₀ · ∇)u, a∇θ)_Ω + (a∇θ, a∇θ)_Ω].

Здесь для краткости ( · , · )_Ω - скалярное произведение в L²(Ω) или L²(Ω), а Ω - ограниченная

область в Rⁿ. Как и выше, эти формулы годятся для пространств как вещественных, так и

комплекснозначных функций y, y; в первом случае обе формы являются билинейными, а во

втором - полуторалинейными.

Ниже ограничимся вещественным случаем. Тогда снова имеем

B_Ω(y,y) = 0,

A_Ω(y,y)

A(y, y) для всех y, y ∈ H¹⁰(Ω),

(43)

где H¹⁰(Ω) - пространство Соболева вектор-функций y ∈ L²(Ω) c ∂_iy ∈ L²(Ω), i = 1, n,

и таких, что y|∂Ω = 0 (напомним, что для общей области Ω на самом деле это простран-

ство строится как замыкание в норме H¹(Ω) пространства бесконечно дифференцируемых

финитных в Ω функций). Далее, для любой y ∈ H¹⁰(Ω) непосредственно получаем

A_Ω(y,y) = μ₀∥∇u∥^2Ω + χ₀∥div u∥^2Ω + κ₀∥∇θ∥^2Ω + τ₀[∥∇r∥^2Ω + ∥(u₀ · ∇)u∥^2Ω + ∥a∇θ∥^2Ω +

+ 2((u₀ · ∇)u, ∇r)_Ω + 2(a∇θ, ∇r)_Ω + 2(a∇θ, (u₀ · ∇)u)_Ω] =

= μ₀∥∇u∥^2Ω + χ₀∥div u∥^2Ω + κ₀∥∇θ∥^2Ω + τ₀∥∇r + (u₀ · ∇)u + a∇θ∥^2Ω ≥ 0,

(44)

где для краткости ∥ · ∥_Ω - норма в L²(Ω) или в L²(Ω). Так как справедливо неравенство

∥∇r∥_Ω ≤ |u₀|∥∇u∥_Ω + a∥∇θ∥_Ω + ∥∇r + (u₀ · ∇)u + a∇θ∥_Ω,

то билинейная форма

A_Ω(y,y) является уже не только симметричной, но и положительно

определённой для y, y ∈ H¹⁰(Ω).

Пусть V (Q_T ) - пространство вектор-функций y ∈ L²((0, T ); H¹⁰(Ω)), имеющих обобщён-

ную производную ∂_ty ∈ L²((0, T ); H-1(Ω)), где Q_T = Ω × (0, T ) - цилиндр и H-1(Ω) =

= (H¹⁰(Ω))^∗. Введём слабое решение y ∈ V (Q_T ) начально-краевой задачи для системы урав-

нений (34)-(36) при краевом условии

y|∂Ω×(0,T) = 0, удовлетворяющее интегральному тож-

деству

∫

〈∂_ty( · , t), y〉_Ω dt + u_∗B˜_Q

(y,y) + u2∗A˜_Q

(y,y) = 0 для любой y ∈ L²((0,T);H¹⁰(Ω))

(45)

при всех T > 0 и начальному условию

y|t=0 = y(0) ∈ L2(Ω). Здесь 〈·,·〉Ω - отношение

двойственности на H-1(Ω) × H¹⁰(Ω), а в используемых билинейных формах скалярные про-

изведения берутся по Q_T вместо Ω.

Следующая теорема аналогична теореме 2 (вместе с её доказательством на основе опреде-

ления (45) и свойств (43), (44), включая свойство y ∈ C([0, T ]; L²(Ω)) при всех T > 0).

Теорема 3. Введённое слабое решение

y ∈ V (Q_T) (T > 0 - любое) линеаризованной

системы уравнений (34)-(36) существует и единственно, и для него при всех t ≥ 0 верно

энергетическое равенство

0.5∥y( · , t)∥2L2 (Ω)+u∗[^μ0∥∇u∥L2(Qt)+χ0∥divu∥L2(Qt)+κ0∥∇θ∥L2(Qt)⁺

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

358

ЗЛОТНИК, ФЕДЧЕНКО

+ τ₀∥∇r+ (u₀ · ∇)u + a∇θ∥2L2(Qt)] = 0.5∥y(0)∥L 2(Ω)^.

Как следствие, функция ∥y( · , t)∥_L2_(Ω) не возрастает при t ≥ 0 (свойство L²(Ω)-диссипа-

тивности), и верна энергетическая оценка

{

√

max sup

∥y(·,t)∥_L2_(Ω),

2u_∗[μ₀∥∇u∥2L2(Q)+χ0∥divu∥L2(Q)+κ0∥∇θ∥^L2(Q) +

t≥0

}

≤ ∥y⁽⁰⁾∥_L2_(Ω),

+ τ₀∥∇r+ (u₀ · ∇)u + a∇θ∥2L2(Q)]1/2

где Q := Ω × (0, +∞).

Справедлив также аналог следствия 1: верны свойство ∂_t(∥y( · , t)∥2L2 (Ω))∈L1(0,+∞)и

другая форма энергетического равенства

0.5∂_t(∥y∥2L2(Ω))+u∗[^μ0∥∇u∥L2(Ω)+χ0∥divu∥L2(Ω)+κ0∥∇θ∥^L2(Ω) +

+ τ₀∥∇r+ (u₀ · ∇)u + a∇θ∥2L2(Qt)] = 0

при почти всех t > 0. Из этого равенства вытекает, что ∥y( · , t)∥_L2_(Ω) экспоненциально быстро

убывает по t ≥ 0.

Отметим, что введённое слабое решение не только единственно, но и существует в соот-

ветствии с [20, гл. VI, теорема 1.1 и § 1.3]. Его регулярность можно изучить стандартными

методами теории параболических уравнений [21]. Кроме того, последняя теорема переносится

с начально-краевой задачи на задачу Коши.

6. Анализ параболичности исходной КГидД системы уравнений гомогенной га-

зовой смеси. Анализ параболичности по Петровскому КГД и КГидД систем уравнений в од-

нокомпонентном случае выполнен в работах [8-10]. Чтобы выполнить его для системы (1)-(3),

в редуцированной системе (20)-(22) необходимо отбросить конвективные слагаемые в левых

частях и остаточные члены O(|∇z|²) в правых частях уравнений. В такой упрощённой одно-

родной системе уравнений, содержащей только производные ∂_t и ∂_i∂_j , следует “заморозить”

зависящие от решения z коэффициенты перед ∂_i∂_j и выполнить преобразование Фурье по x:

∫

F z(ζ, t) =

z(x, t)e-ix·ζ dx, ζ ∈ Rⁿ,

(2π)n/2

Rⁿ

где i - мнимая единица. “Замороженные” коэффициенты будем брать в некоторой точке z₀ =

= (ρ₁₀, . . . , ρK0, u₀, θ₀), уже использовавшейся выше в качестве фонового решения. Сказанное

приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида

∂_tFz(ζ,t) + u2∗|ζ|²A₀(ξ)Fz(ζ,t) = 0, t > 0,

(46)

с параметром ζ ∈ Rⁿ\{0} и вещественной матрицей A₀(ξ) порядка K + n + 1 с ξ = ζ/|ζ|.

Свойство параболичности определяется в терминах собственных значений λ[A₀(ξ)] вве-

дённой матрицы. Как и в [8-10], под неравномерной параболичностью в некоторой подобласти

D ⊂ (0,+∞)^K × Rⁿ × (0,+∞) области значений решения удобно понимать свойство

inf

u2∗Re λ[A₀(ξ)] > 0 для всех z₀ ∈ D,

(47)

|ξ|=1

где Re λ - вещественная часть λ.

Выполним замену z = Dz с диагональной матрицей D := diag {ρ1∗, . . . , ρ_K∗, u_∗, . . . , u_∗, θ_∗}

порядка K +n+1 с элементами, удовлетворяющими условиям (27). Тогда Fz = DFz и после

умножения системы (46) слева на D-1 приходим к эквивалентной системе

∂_tFz(ζ,t) + u2∗|ζ|²Aˆ₀(ξ)Fz(ζ,t) = 0, t > 0,

с матрицей

A₀(ξ) = D-1A₀(ξ)D, подобной матрице A₀(ξ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О СВОЙСТВАХ КВАЗИГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

359

Нетрудно видеть, что матрица

-u2∗Aˆ₀(ξ) непосредственно возникает в результате при-

менения преобразования Фурье не к редуцированной системе (20)-(22), как выше, а к правой

части симметризованной линеаризованной системы (29)-(31). Поэтому

A₀(ξ) =

A₀(ξ)]^т, а соб-

ственные значения λ

A₀(ξ)] = λ[A₀(ξ)] вещественны и (с учётом непрерывности

A₀(ξ) по ξ)

условие (47) принимает вид

A₀(ξ)] > 0 для любых единичного ξ и z₀ ∈ D .

(48)

Явный 3 × 3-блочный вид матрицы

A₀(ξ) следующий:

⎞

^⎛τ₀ ρ₀ ⊗ ρ₀

τ₀sρ₀

^⊗ξ

τ₀aρ₀

⎜

⎟

A₀(ξ) =

⎝τ0sξ

^⊗ρ₀

(μ₀ + τ₀s²)I_n + χ₀ξξ^т

τ₀asξ

⎠,

τ₀aρT0

τ₀asξ^т

κ₀ + τ₀a²

где ρ₀ := (ρ₁, . . . , ρ_K )^т, s = s(ξ) := u₀ ·ξ, вектор ξ считаем столбцом, I_n - единичная матрица

порядка n. Очевидно, что у блока τ₀ ρ₀

⊗ ρ₀, имеющего порядок K, ранг равен 1. При этом

квадратичная форма с матрицей

A₀(ξ) имеет вид

A₀(ξ)b · b = τ₀(ρ₀ · r)² + 2τ₀s(ρ₀ · r)(ξ · v) + 2τ₀a(ρ₀ · r)q +

+ (μ₀ + τ₀s²)|v|² + χ₀(ξ · v)² + 2τ₀as(ξ · v)q + (κ₀ + τ₀a²)q² =

= μ₀|v|² + χ₀(ξ · v)² + κ₀q² + τ₀[s²(|v|² - (ξ · v)²) + (ρ₀ · r + sξ · v + aq)²] ≥ 0

(49)

для любого блочного вектора-столбца b := (r, v, q)^т с r ∈ R^K , v ∈ Rⁿ, q ∈ R. Отметим, что

выражение в квадратных скобках можно также записать в виде |(ρ₀ · r)ξ + sv + aqξ|².

Формула (49), особенно с указанной альтернативной записью выражения в квадратных

скобках, является прямым матричным аналогом для (39). Из неё следует, что вместо нера-

венства (48) выполнено только более слабое свойство λ

A₀(ξ)] ≥ 0 для любых единичного

ξ и z₀ ∈ D, причём собственное значение λ

A₀(ξ)] = 0 имеет кратность K - 1, поскольку

равенство

A₀(ξ)b · b = 0 означает, что v = 0, q = 0,

ρ₀ · r = 0. Таким образом, происходит

вырождение размерности K - 1 свойства неравномерной параболичности в D. Поэтому для

исходной КГидД системы нельзя дать столь элементарное доказательство локальной класси-

ческой корректности задачи Коши как в [8].

Уравнение баланса массы компонент (1) при d_α = 0 после приведения к недивергентному

виду и деления на ρ_α запишем в виде

∂_t ln ρ_α + ∇ lnρ_α · (u - w) + div (u - w) = 0.

(50)

Как следствие, при всех α, β = 1, K имеем

ρ_α

∂_t ln

+ ∇ln

· (u - w) = 0.

(51)

ρ_β

Это дифференциальные уравнения первого порядка (они вытекают также из (13)). Все K

уравнений (1) можно эквивалентным образом заменить на одно из них (или одно из уравне-

ний (50)) с фиксированным α = β и K - 1 уравнений (51) с остальными α = β. Отсюда

очевидно, что КГидД система уравнений (1)-(3) (при d_α = 0) является системой уравнений

составного типа. Это существенно для корректной постановки краевых условий для плот-

ностей компонент (или их концентраций) в начально-краевых задачах, а также для выбора

способа дискретизации уравнений баланса плотности компонент смеси (или их концентраций).

Таким образом, КГидД система уравнений (1)-(3) гомогенной смеси в отсутствие потоков

диффузии имеет составной тип, как и система уравнений Навье-Стокса сжимаемого одноком-

понентного газа. В противоположность этому система уравнений Эйлера однокомпонентной

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

360

ЗЛОТНИК, ФЕДЧЕНКО

газовой динамики имеет гиперболический тип, а КГидД система уравнений однокомпонент-

ного газа - параболический по Петровскому тип. Вместе с тем для всех этих систем разных

типов, включая КГидД систему (1)-(3) при наличии потоков диффузии, справедливы урав-

нения баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 19-01-00262).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика М., 1986.

2. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М., 1987.

3. Пилюгин Н.Н., Тирский Г.А. Динамика ионизированного излучающего газа. М., 1989.

4. Giovangigli V. Multicomponent Flow Modeling. Boston, 1999.

5. Четверушкин Б.Н. Кинетические схемы и квазигазодинамическая система уравнений. М., 2004.

6. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчёта вязких течений. М., 2007.

7. Шеретов Ю.В. Динамика сплошных сред при пространственно-временном осреднении. М.; Ижевск,

2009.

8. Злотник А.А., Четверушкин Б.Н. О параболичности квазигазодинамической системы уравне-

ний, ее гиперболической 2-го порядка модификации и устойчивости малых возмущений для них

// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2008. Т. 48. № 3. С. 445-472.

9. Злотник А.А. О параболичности квазигидродинамической системы уравнений и устойчивости ма-

лых возмущений для нее // Мат. заметки. 2008. Т. 83. № 5. С. 667-682.

10. Злотник А.А. Квазигазодинамическая система уравнений с общими уравнениями состояния

// Докл. РАН. 2010. Т. 431. № 5. С. 605-609.

11. Злотник А.А. Линеаризованная устойчивость равновесных решений квазигазодинамической сис-

темы уравнений // Докл. РАН. 2010. Т. 433. № 6. С. 599-603.

12. Елизарова Т.Г., Злотник А.А., Четверушкин Б.Н. О квазигазо- и гидродинамических уравнениях

бинарных смесей газов // Докл. РАН. 2014. Т. 459. № 4. С. 395-399.

13. Балашов В.А., Савенков Е.В. Многокомпонентная квазигидродинамическая модель для описания

течений многофазной жидкости с учетом межфазного взаимодействия // Прикл. механика и техн.

физика. 2018. Т. 59. № 3. C. 57-68.

14. Елизарова Т.Г., Злотник А.А., Шильников Е.В. Регуляризованные уравнения для численного мо-

делирования течений гомогенных бинарных смесей вязких сжимаемых газов // Журн. вычислит.

математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 11. С. 1899-1914.

15. Balashov V., Zlotnik A., Savenkov E. Analysis of a regularized model for the isothermal two-component

mixture with the diffuse interface // Russ. J. Numer. Anal. Math. Model. 2017. V. 32. № 6. P. 347-358.

16. Balashov V., Zlotnik A. An energy dissipative semi-discrete finite-difference method on staggered meshes

for the 3D compressible isothermal Navier-Stokes-Cahn-Hilliard equations // J. Comput. Dynamics.

2020. V. 7. № 2. P. 291-312.

17. Balashov V., Zlotnik A. On a new spatial discretization for a regularized 3D compressible isothermal

Navier-Stokes-Cahn-Hilliard system of equations with boundary conditions // J. Sci. Comput. 2021.

V. 86. Art. 33.

18. Елизарова Т.Г., Шильников Е.В. Численное моделирование газовых смесей в рамках квазигазо-

динамического подхода на примере взаимодействия ударной волны с пузырьком газа // Журн.

вычислит. математики и мат. физики. 2021. Т. 61. № 1. С. 124-135.

19. Квасников И.А. Термодинамика и статистическая физика. Т. 1. Теория равновесных систем. М.,

2002.

20. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные диффе-

ренциальные уравнения. М., 1978.

21. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 24.03.2021 г.

“Высшая школа экономики”, г. Москва

После доработки 24.03.2021 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022