ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.361-370

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.226

ПСЕВДОГОЛОМОРФНЫЕ И ε-ПСЕВДОРЕГУЛЯРНЫЕ

РЕШЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННЫХ ЗАДАЧ

Для нелинейных эволюционных уравнений в банаховом пространстве, двояким образом за-

висящих от малого параметра - регулярно и сингулярно, построены ε-псевдорегулярные

решения задачи Коши, т.е. формальные её решения, представимые в виде рядов по степе-

ням малого параметра с коэффициентами, которые сингулярным образом от него зависят,

и сходящиеся в некоторой окрестности нулевого значения параметра равномерно на за-

данном временном интервале. Получены достаточные условия, при выполнении которых

сумма такого ряда является точным, а значит, псевдоголоморфным решением этой задачи.

DOI: 10.31857/S0374064122030062, EDN: BXZAME

Светлой памяти моего учителя

Сергея Александровича Ломова (12.10.1922-12.06.1993)

в связи со 100-летием со дня его рождения

с признательностью и благодарностью

посвящаю эту работу

Введение. Формализм большинства методов решения сингулярно возмущённых задач за-

ключается в построении решений таких задач в виде рядов по степеням малого параметра с

коэффициентами, сингулярно от него зависящими. Как правило, такие ряды сходятся асимп-

тотически к точному решению сингулярно возмущённой задачи [1-3].

Ряды, построенные по методу регуляризации Ломова, при определённых условиях на дан-

ные задачи могут сходиться к точному решению в обычном смысле, а само решение в этом

случае называется псевдоаналитическим (псевдоголоморфным) [4, гл. I, § 4; 5].

Однако если уравнение является нелинейным и содержит неограниченные операторы, то

помимо доказательства обычной сходимости формального (т.е. построенного в соответствии с

методом малого параметра) решения нужно ещё обосновывать, что сумма такого ряда явля-

ется точным решением. Задача такого обоснования исследуется в данной работе.

Отметим, что хотя метод малого параметра используется в математической физике доста-

точно давно [6, гл. XII, § 1-3; 7, гл. VII, § 1], систематического изучения характера сходимости

построенных рядов практически не проводилось.

Рассмотрим в банаховом пространстве E эволюционную задачу

ε∂_tu = F (u, ε), t ∈ (0, T ],

u|t=0 = u⁰,

(1)

где T > 0 - заданное число, а F - нелинейный неограниченный оператор, голоморфным об-

разом зависящий от малого параметра ε, причём разложение оператора F в ряд по степеням

ε имеет радиус сходимости, не зависящий от u ∈ D_F . Здесь D_F - область определения этого

оператора.

Также будем предполагать, что выполняется следующее свойство: каждому степенному

ряду v₀ + εv₁ + . . . + εⁿv_n + . . . с коэффициентами из D_F соответствует такой степенной ряд

f₀ + εf₁ + ...+ εⁿf_n + ... с коэффициентами из D_F , что для любого целого неотрицательного

n существует голоморфная в точке ε = 0 функция g_n(ε), при которой справедливо равенство

F (v₀ + εv₁ + . . . + εⁿv_n, ε) = f₀ + εf₁ + . . . + εⁿf_n + εn+1g_n(ε).

361

362

КАЧАЛОВ

Нетрудно показать, что любой оператор, представимый в виде суммы конечного числа линей-

ных и полилинейных операторов, обладает указанным свойством.

Применим к задаче (1) метод малого параметра, т.е. будем искать её решение в виде фор-

мального ряда по степеням ε с коэффициентами, сингулярным образом зависящими от ε (как

это будет следовать из дальнейшего):

u^f(t,1/ε,ε) = u₀(t,1/ε) + εu₁(t,1/ε) + ... + εⁿu_n(t,1/ε) + ...

(2)

Если подставить ряд (2) в уравнение (1) и воспользоваться указанным выше свойством опе-

ратора F, то получится следующая серия начальных сингулярно возмущённых задач:

ε∂_tu₀ = f₀, u₀|t=0 = u⁰,

ε∂_tu₁ = f₁, u₁|t=0 = 0,

ε∂_tu_n = f_n, u_n|t=0 = 0,

(3)

решив которую, построим u^f(t, 1/ε, ε).

Замечание. Сингулярная зависимость коэффициентов ряда (2) от ε обусловлена тем, что

задачи серии (3) являются сингулярно возмущёнными.

Определение. Если ряд (2) с коэффициентами, являющимися решениями серии задач (3),

сходится в некоторой окрестности значения ε = 0 равномерно на отрезке [0, T ], то его сумма

u^pr(t,1/ε,ε) называется ε-псевдорегулярным решением задачи (1).

Далее в работе будет доказано существование ε-псевдорегулярных решений для некоторых

классов сингулярно возмущённых задач и установлены условия совпадения таких решений с

точными. Согласно [4, 8-11] точные решения, представимые в виде сходящихся в обычном

смысле рядов вида (2), называются псевдоголоморфными.

Будем изучать при малых положительных ε сингулярно возмущённую задачу

ε∂_tu = Au + ε²B(u, Hu), t ∈ (0, T ],

u|t=0 = u⁰,

(4)

где A - замкнутый линейный неограниченный оператор с плотной в банаховом пространстве

E областью определения D_A; B(u, v) - ограниченный билинейный оператор, действующий

из E × E в E; линейный оператор H может быть как ограниченным, так и неограниченным.

Относительно оператора A будем предполагать выполненным следующее

Условие (A). Оператор A является инфинитезимальным генератором сильно непрерыв-

ной сжимающей полугруппы [12, гл. I, § 1; 13, гл. VII, § 31].

Эту полугруппу обозначим через U_A(t) .

1. Случай ограниченного оператора H. Пусть оператор H принадлежит векторному

пространству линейных L(E) непрерывных операторов, действующих в банаховом простран-

стве E. Формальное решение u^f(t, 1/ε, ε) задачи Коши (4) будем искать в виде ряда (2) с

коэффициентами, определяемыми из серии начальных сингулярно возмущённых задач:

ε∂_tu₀ = Au₀, u₀|t=0 = u⁰,

ε∂_tu₁ = Au₁ + εB(u₀, Hu₀), u₁|t=0 = 0,

∑

ε∂_tu_n = Au_n + ε B(u_k, Hun-k-1), u_n|t=0 = 0,

k=0

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ПСЕВДОГОЛОМОРФНЫЕ И ε-ПСЕВДОРЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ

363

Здесь мы воспользовались билинейностью оператора B и правилом Коши произведения рядов:

∑ n∑

B(u, Hu) = εⁿ B(u_k, Hu_n-k).

n=0

k=0

В соответствии с условием (A) и формулой решения линейного неоднородного уравнения в

банаховом пространстве [12, гл. I, § 6; 13, гл. VII, § 31] найдём решения задач серии (5):

u₀(t,1/ε) = U_A(t/ε)u⁰,

∫t

⁽t-τ⁾

u₁(t,1/ε) = U_A

B(u₀(τ, 1/ε), Hu₀(τ, 1/ε)) dτ,

∫t

]

∑

u_n(t,1/ε) =

U_A

B(u_k(τ, 1/ε), Hun-k-1(τ, 1/ε)) dτ,

k=0

(6)

Пусть ∥B(u, v)∥ ≤ b∥u∥∥v∥ при некотором b > 0 и ∥H∥ = h. Методом математической

индукции докажем неравенство

∥u_n(t, 1/ε)∥ ≤ tⁿbⁿhⁿ∥u⁰∥n+1.

(7)

Как следует из второго равенства серии (6), неравенство (7) верно при n = 1, поскольку полу-

группа U_A(t) - сжимающая. Предположим его справедливость при всех n = 1, m и выведем

отсюда его истинность при n = m + 1. C учётом того, что ∥U_A(t)∥ ≤ 1 при всех t ≥ 0, имеем

∫t

∑

∥um+1(t, 1/ε)∥ ≤ bh (τ^kb^kh^k∥u⁰∥k+1τ^m-kb^m-kh^m-k∥u⁰∥m-k+1) dτ =

k=0

∫t

= bm+1hm+1∥u⁰∥m+2 (m + 1)τm dτ = bm+1hm+1tm+1∥u⁰∥m+2,

что и требовалось доказать.

Из оценки (7) следует равномерная на отрезке [0, T ] сходимость ряда

u₀(t,1/ε) + εu₁(t,1/ε) + ... + εⁿu_n(t,1/ε) + ...

(8)

при всех 0 < ε < (Tbh∥u0∥)-1. Обозначим его сумму через upr(t,1/ε,ε). Таким образом,

справедлива

Теорема 1. При выполнении условия (А) и ограниченности операторов B и H задача

Коши (4) имеет ε-псевдорегулярное решение.

2. Точные решения эволюционных задач с ограниченным билинейным опера-

тором. Как обычно, под точным решением задачи Коши (4) понимаем функцию u(t, 1/ε, ε),

принадлежащую классу D_A

^⋂D_H при всех t ∈ (0,T] и любом ε ∈ (0,ε₀) (ε₀ > 0 - некоторое

фиксированное число), обращающую уравнение (4) в тождество по t ∈ (0, T ] и удовлетворяю-

щую начальному условию u(0, 1/ε, ε) = u⁰. Производная ∂_tu понимается в сильном смысле.

Как и выше, рассмотрим случай ограниченного оператора H (в частности, D_H = E ).

Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 задача Коши (4) имеет при каждом

достаточно малом положительном ε единственное точное решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

364

КАЧАЛОВ

Доказательство. Так как A - инфинитезимальный генератор сжимающей полугруппы

U_A(t), то при положительных ε задача (4) эквивалентна интегральному уравнению

∫t

⁽t-τ⁾

u(t, 1/ε, ε) = U_A(t/ε)u⁰

+ε U_A

B(u(τ, 1/ε, ε), Hu(τ, 1/ε, ε)) dτ.

(9)

Из предыдущего следует, что U_A(t/ε)u⁰ = u₀(t, 1/ε). Через C_E обозначим банахово прост-

ранство C([0, T ]; E) непрерывных на отрезке [0, T ] функций со значениями в E и с нормой

равномерной сходимости.

Пусть S1ε = {v(t) ∈ C_E : ∥v(t)-u₀(t, 1/ε)∥CE ≤ 1} - замкнутый единичный шар в C_E с цен-

тром в u₀(t, 1/ε), при этом ε > 0 мало и фиксировано (насколько мало, будет в дальнейшем

указано). Рассмотрим оператор

∫t

⁽t-τ⁾

Φ[w(t)] = u₀(t, 1/ε) + ε U_A

B(w(τ), Hw(τ)) dτ,

действующий в C_E . При достаточно малых ε он отображает шар S1ε в себя ввиду ограни-

ченности операторов B и H.

Докажем, что при малых ε оператор Φ является сжатием (именно такие ε мы и будем

иметь в виду далее). При ε > 0 имеем

∫

)



⁽t-τ



∥Φ[w₁(t)] - Φ[w₂(t)]∥ = ε^

[B(w₁(τ), Hw₁(τ)) - B(w₂(τ), Hw₂(τ))] dτ

 UA_ε

⁼

∫

)



⁽t-τ

=ε^

[B(w₁(τ), Hw₁(τ)) - B(w₁(τ), Hw₂(τ)) +

 UA_ε



+ B(w₁(τ),Hw₂(τ)) - B(w₂(τ),Hw₂(τ))]dτ

⁼

∫

)



⁽t-τ

=ε^

 UAεB(w1(τ),H(w1(τ)-w2(τ)))dτ+

∫t



⁽t-τ⁾



+ U_A

B(w₁(τ) - w₂(τ), Hw₂(τ)) dτ

≤

∫t



)



⁽t-τ



≤ε



B(w₁(τ), H(w₁(τ) - w₂(τ)))∥ dτ +

U

^∥

^A ε

∫t



)



⁽t-τ



+ε

B(w₁(τ) - w₂(τ), Hw₂(τ))∥ dτ ≤

^U

∥

^A ε

≤ εT bh(∥w₁∥CE + ∥w₂∥CE )∥w₂ - w₁∥CE .

Здесь учтено то, что U_A - сжимающая полугруппа.

Если w₁, w₂ ∈ S1ε, то ∥w_i∥CE ≤ 1 + ∥u₀∥CE , i = 1, 2, и поэтому при

0 < ε < (2Tbh(1 + ∥u₀∥CE))-1

(10)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ПСЕВДОГОЛОМОРФНЫЕ И ε-ПСЕВДОРЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ

365

оператор Φ является сжатием, отображающим шар S1ε в себя. В соответствии с принципом

сжимающих отображений [13, гл. VIII, § 33] в шаре S1ε существует и единственно решение

интегрального уравнения (9), что ввиду его эквивалентности задаче (4) доказывает суще-

ствование и единственность точного решения u(t, 1/ε, ε) у этой начальной задачи. Теорема

доказана.

Перейдём к изложению основного результата данного пункта работы.

Теорема 3. При выполнении условий теоремы 1 ε-псевдорегулярное решение задачи Ко-

ши (4) является её точным решением.

Доказательство. Введём обозначение для частичной суммы ряда (8), представляющего

ε-псевдорегулярное решение u(t, 1/ε, ε) задачи (4):

uprnε(t,1/ε) = u₀(t,1/ε) + εu₁(t,1/ε) + ... + εⁿu_n(t,1/ε).

(11)

Также обозначим ∥u₀∥CE = a (см. неравенство (10)). Заметим, что в силу сжимаемости полу-

группы a ≤ ∥u⁰∥. Из свойства билинейности оператора B следует, что функция u^nε(t, 1/ε)

удовлетворяет уравнению

∑

ε∂_tuprnε = Auprnε + ε²B(uprnε, Huprnε) - εn+2

B(u_m, Hu_n-m) -

m=0

∑

-εn+3

B(u_m, Hun-m+1

)-εn+4

B(u_m, Hun-m+2) - . . .

m=1

m=2

... - ε2n+1[B(u_n,Hun-1) + B(un-1,Hu_n)] - ε2n+2B(u_n,Hu_n),

(12)

в котором коэффициенты псевдомногочлена (11) по степеням ε записаны без аргументов.

Вычтя уравнение (12) из уравнения (4), получим

∑

∂_t(u - uprnε) = A(u - uprnε) + ε²[B(u,Hu) - B(uprnε,Huprnε)] + εn+2

B(u_m, Hu_n-m) +

m=0

∑

+εn+3

B(u_m, Hun-m+1

)+εn+4

B(u_m, Hun-m+2) + . . .

m=1

m=2

... + ε2n+1[B(u_n,Hun-1) + B(un-1,Hu_n)] + ε2n+2B(u_n,Hu_n).

(13)

Поставим к уравнению (13) начальное условие

(u - uprnε)|t=0 = 0.

Здесь u = u(t, 1/ε, ε) - точное решение поставленной задачи (которое по теореме 2 существует

и единственно).

Уравнение (13) эквивалентно интегральному уравнению

∫t

⁽t-τ⁾

u-u^pr

=ε U_A

[B(u, H(u - uprnε)) + B(u - uprnε, Huprnε)] dτ +

nε

∫t

∑

+εn+1

B(u_m, Hu_n-m) + ε

B(u_m, Hun-m+1) +

^A ε

m=0

m=1

]

∑

+ε²

B(u_m, Hun-m+2) + . . . + εn-1(B(u_n, Hun-1) + B(un-1, Hu_n)) + εⁿB(u_n, Hu_n) dτ, (14)

m=2

причём в подынтегральные выражения входят функции переменной τ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

366

КАЧАЛОВ

С учётом оценки (7) и сжимаемости полугруппы из уравнения (14) при ε > 0 вытекают

неравенства (ниже аргумент τ не пишем):

∫t

∥u(t, 1/ε, ε) - uprnε(t, 1/ε)∥ ≤ ε bh(∥u∥ + ∥uprnε∥)∥u - uprnε∥ dτ +

∑

+εn+1T

∥B(u_m, Hu_n-m)∥CE +ε

∥B(u_m, Hun-m+1)∥CE

+ε²

∥B(u_m, Hun-m+2)∥CE +. . .

m=0

m=1

m=2

]

... + εn-1(∥B(u_n,Hun-1)∥_C

+ ∥B(un-1, Hu_n)∥CE ) + εⁿ∥B(un, Hun)∥CE

≤

∫^t

≤ εbh

(∥u(τ, 1/ε, ε)∥ + ∥uprnε(τ, 1/ε)∥)(∥u(τ, 1/ε, ε) - uprnε(τ, 1/ε)∥ dτ +

+ εn+1Th[(n + 1)a²brⁿ + εna²brn+1 + ε²(n - 1)a²brn+2 + ... + 2εn-1a²br2n-1 + εⁿa²br2n], (15)

где r = T bha.

Если 0 < ε < (2T bh(1 + a))-1, то ρ = εr = a/(2(1 + a)) < 1/2, и из неравенства (15)

следует, что

∫^t

∥u(t, 1/ε, ε) - uprnε(t, 1/ε)∥ ≤ εbh

(∥u(τ, 1/ε, ε)∥ + ∥uprnε(τ, 1/ε)∥)∥u(τ, 1/ε, ε) - uprnε(τ, 1/ε)∥ dτ +

+ εn+1Tbha²rⁿ[n + 1 + nρ(1 + ρ + ... + ρn-1)] ≤

∫t

(

)

nρ

≤ εbh

(∥u(τ, 1/ε, ε)∥ + ∥uprnε (τ, 1/ε)∥)∥u(τ, 1/ε, ε) - uprnε(τ, 1/ε)∥ dτ + εT bha2ρn n + 1 +

≤

1-ρ

∫t

≤ εbh

(∥u(τ, 1/ε, ε)∥ + ∥uprnε(τ, 1/ε)∥)∥u(τ, 1/ε, ε) - uprnε(τ, 1/ε)∥ dτ + εT bha²ρⁿ(2n + 1),

(16)

так как ρ(1 - ρ)-1 < 1 при 0 < ρ < 1/2.

Пусть K(t, τ, ε) = εbh(∥u(τ, 1/ε, ε)∥ + ∥u^nε(τ, 1/ε)∥). Очевидно, что эта функция является

ограниченной при 0 ≤ t, τ ≤ T ввиду ограниченности при ε → +0 функций u(τ, 1/ε, ε) и

u^nε(τ,1/ε) равномерно по n ∈ N.

Согласно неравенству Гронуолла-Беллмана из неравенства (16) следует, что

∫t

∥u(t, 1/ε, ε) - uprnε(t, 1/ε)∥ ≤ ερⁿT bha²(2n + 1)e

K(t,τ,ε) dτ ,

(17)

а поскольку (2n + 1)ρⁿ → 0 при n → ∞, то и ∥u(t, 1/ε, ε) - u^nε(t, 1/ε)∥_C

→ 0 при n → ∞.

Таким образом, u(t, 1/ε, ε) = u^pr(t, 1/ε, ε). Теорема доказана.

3. Приближённые решения эволюционных уравнений в случае неограниченного

оператора H. Рассмотрим задачу Коши (4) в случае, когда H - замкнутый неограниченный

оператор с областью определения D_H ⊃ D_A.

Пусть также имеется начальная задача

ε∂_tv = Av + ε²B(v, Gv), t ∈ (0, T ],

v|t=0 = u⁰,

(18)

где G ∈ L(E).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ПСЕВДОГОЛОМОРФНЫЕ И ε-ПСЕВДОРЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ

367

Теорема 4. Пусть выполнено условие (A) и оператор B ограничен, а оператор H неогра-

ничен. Если u(t,1/ε,ε) - точное решение задачи Коши (4), ограниченное на отрезке [0,T] при

ε → +0, то при некоторой константе C_ε такой, что C_ε → 0 при ε → +0, справедливо

неравенство

∥u(t, 1/ε, ε) - v(t, 1/ε, ε)∥ ≤ C_ε∥(H - G)u(t, 1/ε, ε)∥.

(19)

Доказательство. Представим уравнение (4) в виде

ε∂_tu = Au + ε²B(u, Gu) + ε²B(u, (H - G)u)

и вычтем из него уравнение (18):

ε∂_t(u - v) = A(u - v) + ε²[B(u - v, Gu) + B(v, G(u - v))] + ε²B(u, (H - G)u),

(20)

причём если u и v - решение задачи Коши (4), то

(u - v)|t=0 = 0.

Пользуясь тем, что U_A(t) - сильно непрерывная полугруппа с генератором A, запишем

интегральное уравнение, эквивалентное уравнению (20):

∫^t

∫t

⁽t-τ⁾

u-v=ε U_A

[B(u - v, Gu) + B(v, G(u - v))] dτ + ε U_A

B(u, (H - G)u) dτ.

Здесь аргументы у функций u и v опущены. Так как полугруппа U_A(t) - сжимающая и

ε > 0, имеем оценку

∫t

∥u - v∥ ≤ εb

(∥Gu∥ + ∥v∥∥G∥)∥u - v∥ dτ + εT b∥u∥∥(H - G)u∥,

откуда в соответствии с неравенством Гронуолла-Беллмана (см. также (17)) получаем оценку

∥u - v∥ ≤ εT b∥u∥ exp{εT b(∥Gu∥CE + ∥v∥CE ∥G∥)}∥(H - G)u∥,

(21)

совпадающую с неравенством (19), если

C_ε = εTb∥u∥CE exp{εTb(∥Gu∥CE + ∥v∥CE ∥G∥)}.

Как следует из неравенства (21), для последовательности ограниченных операторов G_m,

сильно сходящейся к H, можно указать такую последовательность ε_m → +0, что для решения

V_m(t,1/ε_m,ε_m) начальных задач (18) будет иметь место равномерная по t ∈ [0,T] сходимость

lim

∥u(t, 1/ε_m, ε_m) - V_m(t, 1/ε_m, ε_m)∥ = 0.

(22)

m→∞

Теорема доказана.

Пример 1. Рассмотрим начальную задачу

ε∂_tu = ∂2xu - ε²u(∂_xu), t ∈ (0, T ], x ∈ [0, 1],

u|t=0 = ϕ(x).

Здесь E = C[0, 1]; D(∂2x) = {w(x) ∈ C[0, 1] : ∂2xw ∈ C[0, 1], w(0) = w(1) = 0}; D^μ(∂_x) =

= {w(x) ∈ C[0, 1] : ∂_xw ∈ C[0, 1], μw(0) - w(1) = 0}, μ ∈ (0, 1) и фиксирован билинейный

оператор B(u, v) = -uv, очевидно, ограниченный как оператор, действующий из C[0, 1] ×

× C[0,1] в C[0,1]; ϕ(x) ∈ D(∂2x).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

368

КАЧАЛОВ

Резольвента оператора H = ∂_x с областью определения D^μ(∂_x) задаётся формулой [14,

с. 144]

( ∫x

∫

)

R_H(λ) =

μ eλ(x-ξ)f(ξ)dξ + e^λ eλ(x-ξ)f(ξ)dξ

μ-e^λ

и при всех λ > 0 (и заданном μ ∈ (0, 1)) подчинена оценке ∥RH (λ)∥ ≤ 1/λ. Тогда, как

известно [12, с. 66], последовательность ограниченных операторов

H_m = -mI - m²R_H(m),

где I - тождественный оператор, при m → ∞ сильно сходится к оператору H = ∂_x.

Рассмотрим серию начальных задач

ε∂_tv = ∂2xv - ε²v(H_mv), t ∈ (0, T ], x ∈ [0, 1],

v|t=0 = ϕ(x).

(23)

С помощью функции Грина первой краевой задачи для уравнения теплопроводности [15, c. 187]

∑

G(t/ε, x; s) = 2

sin(πks)sin(πkx)e-π2k²t/ε

k=1

строим ε-регулярные решения задач (23) (они являются псевдоголоморфными по теореме 3):

V_m(t,x,1/ε,ε) = v₀(t,x,1/ε) + εv₁(t,x,1/ε) + ... ,

где

∫1

v₀(t,x,1/ε) = G(t/ε,x;s)ϕ(s)ds;

∫t

[∫

(

)

]

t-τ

v₁(t,x,1/ε) = -

,x;s (v₀(τ,s,1/ε)H_m[v₀(τ,s,1/ε)])ds dτ;

и т.д. Как следует из выражения для C_ε, предел (22) будет иметь место, если ε_m = m-2.

4. Существование ε-псевдорегулярных решений уравнений с неограниченным

билинейным оператором. Дополнительно к условию (А) наложим на билинейный оператор

B(u, Hv) из уравнения (4) специальное условие.

Условие (В). Для некоторого a ≥ 0 существует неубывающая последовательность мно-

жеств W1a ⊂ W2a ⊂ . . . ⊂ W^ka ⊂ . . . ⊂ D_A такая, что при каждом n ∈ N для любого w ∈ W^na

выполняется оценка ∥w∥ ≤ e^an, и если u ∈

a, v ∈

a, то B(u,Hv)∈q

(p, q ∈ N).

Кроме того, при каждом n ∈ N множество W^na инвариантно относительно действия

полугруппы, т.е. U_A(t)W^na ⊂ W^na при всех t ≥ 0.

Введём следующее обозначение:

⋃

exp_a E =

W^na.

n∈N

Отметим, что множество exp_a E обобщает пространство целых функций экспоненциального

типа [16, гл. VIII, § 2].

Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4, условие (В) и включение u⁰ ∈ exp_a E.

Тогда задача Коши (4) имеет единственное ε-псевдорегулярное решение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ПСЕВДОГОЛОМОРФНЫЕ И ε-ПСЕВДОРЕГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ

369

Доказательство. Обратимся к серии решений (6). Пусть для определённости u⁰ ∈ W1a,

тогда вследствие инвариантности множества W^na относительно действия полугруппы U_A(t)

верно включение u₀(t, 1/ε) ∈ W1a, а значит, ∥u₀(t, 1/ε)∥ ≤ e^a при всех t ≥ 0 и любом ε > 0.

С помощью метода математической индукции установим неравенство

n-1

(n + 1)

∥u_n(t, 1/ε)∥ ≤

tⁿea(n+1), n ∈ N.

(24)

Для этого воспользуемся следующим утверждением [17].

Лемма. При любом натуральном n справедливо равенство

(n + 1)

nn-1

3¹

(n - 1)n-2

4²

(n - 2)n-3

(n + 1)n-1

(n + 2)ⁿ

1·

+1·

+...+

·1=

(n - 1)!

(n - 2)!

(n - 3)!

Учтём также тот факт, что из включения B(u, Hv) ∈ q

(u ∈

a, v ∈

a) следует,

что ∥B(u, Hv)∥ ≤ qea(p+q).

Проверим справедливость неравенства (24) при n = 1. C учётом сжимаемости полугруппы

имеем

∫^t

∫

∥u₁(t, 1/ε)∥ ≤

∥B(u₀(τ, 1/ε), Hu₀(τ, 1/ε))∥ dτ ≤ e2a dτ = te2a.

Пусть неравенство (24) верно при данном натуральном n, тогда

∫t

∑

∥un+1(t, 1/ε)∥ ≤

∥B(u_k(τ, 1/ε), Hu_n-k (τ, 1/ε))∥ dτ ≤

k=0

[∫ t

]

(n + 1)ⁿ

nn-1

3¹

(n - 1)n-2

(n + 1)n-1

≤

(1 ·

+1·

+...+

· 1)τⁿ dτ ea(n+2) =

(n - 1)!

(n - 2)!

(n + 2)

(n + 2)ⁿ

tn+1ea(n+2) =

tn+1ea(n+2).

n!(n + 1)

(n + 1)!

Сходимость ряда

u₀(t,1/ε) + εu₁(t,1/ε) + ... + εⁿu_n(t,1/ε) + ...

равномерно по t ∈ [0, T ] при 0 < ε < ε^∗ (ε^∗ находится с помощью признака Даламбера)

таким образом установлена. Его сумма и будет ε-псевдорегулярным решением задачи (4).

Пример 2. Рассмотрим смешанную задачу

ε∂_tu = ∂2xu - ε²u(∂_xu), t ∈ (0, T ], x ∈ (0, π),

u(t, 0, 1/ε) = u(t, π, 1/ε) = 0, t ∈ (0, T ],

u(0, x, 1/ε) = sin x, x ∈ [0, π].

По формулам (6) строим её ε-псевдорегулярное решение:

u^pr(t,x,1/ε,ε) = e^-t/ε sinx -

(e-2t/ε - e-4t/ε) sin 2x +

[(2e-3t/ε - 3e-5t/ε + e-9t/ε) sin 3x - (e-5t/ε - 2e-3t/ε + e^-t/ε) sin x] - . . .

Здесь E = C[0, π], a = 0, Wn0 состоит из тригонометрических многочленов вида a₁ sin x +

+a2 sin2x+...+an sinnx, коэффициенты которых удовлетворяют неравенству |a₁|+|a₂|+

... + |a_n| ≤ 1. Несложно доказать, что exp0 E - мультипликативный моноид.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

370

КАЧАЛОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных

задач. М., 1973.

3. Маслов В.П. Асимптотические методы в теории возмущений. М., 1988.

4. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.

5. Качалов В.И., Ломов С.А. Гладкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно вхо-

дящему параметру // Докл. АН СССР. 1988. Т. 37. № 2. С. 465-467.

6. Рид М., Саймон В. Методы современной математической физики. Т. 4. М., 1982.

7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.

8. Качалов В.И., Ломов С.А. Псевдоаналитические решения сингулярно возмущенных задач // Докл.

АН СССР. 1982. Т. 334. № 8. С. 694-695.

9. Kachalov V.I. Poincare decomposition theorems and the Lomov regularization method // J. of Phys.:

Conf. Ser. 2019. V. 1391. № 1. P. 012134.

10. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F., Kachalov V.I. Asymptotic and pseudoholomorphic solutions of

singularly perturbed differential and integral equations in the Lomov’s regularization method // Axioms.

2019. V. 8. № 27. doi:10.3390/axioms8010027.

11. Качалов В.И. О методе голоморфной регуляризации сингулярно возмущенных задач // Изв. вузов.

Математика. 2017. № 6. С. 52-59.

12. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М., 1967.

13. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., 1980.

14. Дезин А.А. Воспоминания и избранные труды по математике. М., 2011.

15. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М., 1976.

16. Титчмарш Е. Теория функций. М., 1980.

17. Бесова М.И., Качалов В.И. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении в банаховом прост-

ранстве // Сиб. электрон. мат. изв. 2021. Т. 18. № 1. С. 332-337.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 21.05.2021 г.

“Московский энергетический институт”

После доработки 21.12.2021 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022