ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.371-384

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.952+517.956.226

ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОГО

УРАВНЕНИЯ КОШИ-РИМАНА

С ОСОБЕННОСТЬЮ В КОЭФФИЦИЕНТЕ

Для сингулярно возмущённой системы уравнений в частных производных типа Коши-

Римана рассматривается задача Римана-Гильберта. С помощью метода регуляризации

Ломова получены достаточные условия, при выполнении которых её асимптотические ре-

шения сходятся в обычном смысле.

DOI: 10.31857/S0374064122030074, EDN: BYBLNQ

Светлой памяти моего дорогого учителя

Сергея Александровича Ломова (12.10.1922-12.06.1993)

в связи со 100-летием со дня его рождения

посвящаю эту работу

1. Постановка задачи. Пусть область D содержит точку z = 0 и ограничена простым

гладким контуром Γ, ориентированным против часовой стрелки. Пусть контур Γ принад-

лежит классу Гёльдера C1,ν и функция ζ = α(z) осуществляет конформное отображение

области D на единичный круг |ζ| < 1, согласно теореме Келлога [1, с. 411] функция ζ при-

надлежит классу C1,ν(D). Удобно обозначить D_δ = D

^⋂ {|z| > δ} с малым δ > 0.

В области D рассмотрим следующую сингулярно возмущённую систему уравнений Коши-

Римана с сингулярными коэффициентами:

[

)

)]

⁽∂u₁

∂u₂

⁽∂u₂

∂u₁

ε x

- 2a(u₁ - u₂) = 0,

∂x

∂y

∂x

∂y

[

)

)]

⁽∂u₁

∂u₂

⁽∂u₂

∂u₁

ε y

-x

- 2a(u₁ + u₂) = 0,

(1.1₀)

∂x

∂y

∂x

∂y

где ε ≪ 1 - малый параметр, a - действительная положительная постоянная, т.е. a ∈ R⁺.

Используя оператор Коши-Римана 2∂_z = ∂_x+i∂_y, с учётом того, что u = u₁+iu₂, запишем

систему уравнений (1.1₀) в удобной для исследования комплексной форме

εzu_z - au = 0.

(1.1)

На важность исследования системы (1.1) указал В.Ф. Сафонов [2, гл. 3], на необходи-

мость её изучения обращали внимание также А.В. Бицадзе и А.Б. Васильева. Уравнения,

аналогичные (1.1), рассматривались в работе [3] и монографии [4, с. 215] при исследовании

обыкновенных дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой

εz²y^′′(z) + zp(z)y^′(z) + q(z)y(z) = 0

(здесь y = y(z) - функция комплексного переменного z). Некоторые сингулярно возмущён-

ные системы уравнений в частных производных с регулярной особой точкой, отличные от

систем вида (1.1₀), изучались И.С. Ломовым [5, 6]. В.Ф. Сафоновым предложено исследовать

классы уравнений, когда точка z = 0 является особой точкой множителя при производной

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

6^∗

372

ФЕДОРОВ

искомой функции по

z. Первый естественный класс таких уравнений содержит сингулярно

возмущённое уравнение Коши-Римана (1.1), эквивалентное системе (1.1₀).

Одной из основных граничных задач теории (обобщённых) аналитических функций явля-

ется краевая задача Римана-Гильберта. Её постановка для аналитических функций принад-

лежит Б. Риману [7]. В 1857 г. он впервые сформулировал задачу следующим образом: найти

аналитическую в области D функцию по известному соотношению между её действительной

и мнимой частями на границе области. Сам он не указал способов решения этой задачи. Её

полное решение дано Д. Гильбертом [8] в случае односвязной области, когда действительная

u и мнимая v части искомой функции удовлетворяют на границе следующему условию:

Re ((α + iβ)(u + iv)) = αu - βv = γ,

где α, β и γ - заданные действительные функции, причём α² + β² = 1. В связи с этим дан-

ную задачу стали называть задачей Римана-Гильберта. Дальнейшее развитие теория задач

Римана-Гильберта получила в трудах Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, А.П. Сол-

датова и их учеников. При рассмотрении задачи Римана-Гильберта важную роль играет её

индекс

κ=

arg (α + iβ)|_Γ.

Переходя к исследованию уравнения (1.1), уточним для него постановку соответствующей

задачи.

Задача типа Римана-Гильберта: найти решение u(z, ε) ∈ C(D)

^⋂C^∞(D) уравнения

(1.1), удовлетворяющее на контуре Γ граничному условию

Re ((α + iβ)u)(t) = e-c2/ε2 g(t), t ∈ Γ,

(1.2)

и в области D равенствами

u(z_j ) = 0, j = 1, -2κ + 1, z_j ∈ D, κ ≤ 0,

(1.3)

где g(t) ∈ C(Γ) - заданная функция, c - положительная постоянная, z_j - фиксированные

точки области D, а κ - индекс функции α + iβ на Γ.

Отметим, что в случае круговой области задача типа Дирихле для уравнения (1.1) иссле-

дована в работе [9].

2. Классическая задача Римана-Гильберта. Предварительно напомним хорошо из-

вестные результаты относительно классической задачи Римана-Гильберта (подробное их из-

ложение имеется в монографиях [10, 11]). Задача ставится следующим образом: найти анали-

тическую в области D функцию ϕ(z), которая на границе Γ = ∂D удовлетворяет условию

Re Gϕ|_Γ = g,

(2.1)

где функция G = α + iβ ∈ C^ν (Γ) всюду отлична от нуля (отметим, что здесь отсутствует

условие (1.3)). Если g(z) ≡ 0, то задача Римана-Гильберта называется однородной; в про-

тивном случае - неоднородной. Воспользуемся компактным изложением [12] решения задачи

Римана-Гильберта.

Рассмотрим эту задачу для односвязной области D, ограниченной простым контуром Γ.

Пусть D^′ = C \ D. Через C(D ∨ D^′) обозначим класс функций φ(z), которые определены

на C \ Γ, аналитичны в любой из открытых связных компонент областей D₀ ⊆ D и D^′, при

этом их сужение φ|D0 на D₀ продолжается по непрерывности на замыкание D₀, а сужение

φ|_D′ на D^′ - по непрерывности на замыкание D^′. Обозначение D ∨ D^′ можно трактовать

как замыкание множества D ∨ D^′ с помощью односторонних окрестностей контура Γ, так

что D ∨ D^′ = (D

^⋃Γ) ∨ (D^′ ⋃Γ) (здесь Γ ∨ Γ - дизъюнктное объединение двух экземпляров

контура).

Из определения класса C(D∨D^′) вытекает, что в точках t ∈ Γ существуют два граничных

значения lim φ(z) при стремлении z к t с каждой из двух сторон от Γ. Эти значения удобно

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

373

обозначать с помощью заданной ориентацией контура, понимая под φ⁺(t) (φ^-(t)) предел

lim φ(z) для точек z ∈ D, которые в малой окрестности t лежат слева (справа) от Γ, т.е.

находятся в соответствующих односторонних окрестностях точки t. В случае, когда область

D является единичным кругом, задача (2.1) легко сводится к задаче линейного сопряжения

и, следовательно, допускает эффективное решение. C этой целью функцию ϕ продолжим в

область D^′ = {|z| > 1}, полагая

ϕ(z) = ϕ(1/z),

|z| > 1.

Очевидно, что так продолженная функция является аналитической в C\Γ = D

^⋃D^′ и принад-

лежит классу Cμ0(D ∨D^′). Она удовлетворяет условию ϕ = ϕ_∗, где функция ϕ_∗ определяется

с помощью инверсии

ϕ∗(z) = ϕ(1/z).

(2.2)

Операция ϕ → ϕ_∗ является линейной над полем R и инволютивной, т.е. (ϕ_∗)_∗ = ϕ. Из опре-

деления (2.2) следует, что

ϕ±∗(t) = ϕ^∓, t ∈ Γ.

(2.3)

В частности, краевое условие (2.1) для так продолженной функции ϕ запишется в виде

Gϕ⁺ + Gϕ^- = 2g.

(2.4)

Верно и обратное: если ϕ ∈ Cμ0(D ∨ D^′) - решение задачи (2.4) линейного сопряжения, подчи-

нённое дополнительному требованию ϕ = ϕ_∗, то сужение функции ϕ на область D служит

решением задачи (2.1).

Очевидно, задачу (2.4) можно представить в форме (2.1) по отношению к коэффициенту

G₌ -G/G. Имеет место

Лемма 2.1. Пусть κ = Ind_Γ G, так что функция a(t) = arg G(t) - κ arg t принадлежит

классу C^μ(Γ), и пусть

{

∫

|z| < 1,

π - 2a(t)

R(z) =

H(z) =

dt.

(2.5)

z2κ,

|z| > 1,

2π

t-z

Тогда функция

X(z) = R(z)eH(z)-H(0)/2

является

G-канонической [11, c. 102] и обладает свойством

X_∗(z) = X(z)z-2κ.

(2.6)

На линейном пространстве P_n многочленов степени не выше n введём операцию

p^∧(z) = zⁿp_∗(z),

(2.7)

которая действует по правилу (c₀ + c₁z + . . . + c_nzⁿ)^∧ = c_n + cn-1z + . . . + c₀zⁿ и, очевидно,

инволютивна: (p^∧)^∧ = p.

Из тождества (2.6) и определения (2.7) непосредственно следует, что

(Xp)_∗ = Xp^∧, p ∈ P-2κ.

Утверждается, что на единичной окружности имеет место соотношение

[

]

tp(t)

tq^∧(t)

q ∈ P2κ-2, t ∈ Γ.

G(t)X⁺(t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

374

ФЕДОРОВ

Обратимся к исходной задаче (2.1) и рассмотрим класс P0n = {p ∈ P_n : p^∧ = p}. Очевидно,

что любой элемент p ∈ P_n единственным образом представим в виде p = p⁰ +ip¹, где p¹ ∈ P0n,

так что P0n - линейное подпространство в P_n размерности n + 1.

Теорема 2.1. В условиях леммы 2.1 все решения задачи (2.1) в классе C^μ(D) описыва-

ются формулой

∫

X(z)

g(t)

ϕ(z) =

+ X(z)p(z), p ∈ P0-2κ,

πi

G(t)X⁺(t) t - z

где функция f удовлетворяет условиям ортогональности

∫

g(t)

q(t) dt = 0, q ∈ P02κ-2.

G(t)X⁺(t)

Очевидно, что при κ ≤ 0 размерность пространства P0-2κ над полем R равна -2κ + 1.

Аналогично, при κ ≥ 0 размерность пространства P02κ-2 на полем R равна 2κ - 1. Во всех

случаях задача (2.1) имеет индекс -2κ + 1, который, в частности, отличен от нуля.

Обратимся к общему случаю односвязной области D. Пусть простой контур Γ = ∂D

принадлежит классу C1,μ, тогда по теореме Келлога конформное отображение w = ω(z)

этой области на единичный круг D₀ принадлежит классу C1,μ(D) или, что равносильно, его

производная ω^′ ∈ C^μ(D). Зафиксируем точку z₀ ∈ D, удовлетворяющую условию ω(z₀) = 0.

Теорема 2.2. Пусть κ = Ind_Γ G, так что функция a(t) = arg G(t)-κ arg t принадлежит

классу C^μ(Γ), и пусть X(z) = eA(z), где функция A ∈ C^μ(D) определяется как решение

задачи Дирихле

∫

ImA⁺ =

- a, Re A(z₀) = -

a(t)|ω^′(t)| d₁t.

2π

Тогда все решения задачи (2.1) в классе C^μ(D) описываются формулой

∫

X(z)

f (t)

ω^′(t)dt

ϕ(z) =

+ X(z)p[ω(z)], p ∈ P0-2κ,

πi

G(t)X⁺(t) ω(t) - ω(z)

где функция g удовлетворяет условиям ортогональности

∫

f (t)

q[ω(t)]ω^′(t) dt = 0, q ∈ P02κ-2.

G(t)X⁺(t)

3. Построение формального решения уравнения (1.1) и основная теорема. В ис-

следовании обобщённых систем Коши-Римана ключевую роль играет интегральный оператор

Векуа-Помпейу [13, с. 31]:

∫

f (ζ) d₂ζ

(T f)(z) = -

(3.1)

ζ-z

здесь и всюду ниже d₂ζ означает элемент площади.

Если f ∈ L^p(D), p > 2, то функция U = T f принадлежит соболевскому пространст-

ву W1,p(D) и удовлетворяет уравнению U_z = f, причём оператор T : L^p(D) → W1,p(D)

ограничен. При этом имеет место следующее вложение [13, с. 39] в класс Гёльдера:

W1,p(D) ⊆ C^μ(D), μ = 1 - 2/p.

В частности, оператор T компактен в пространствах L^p(D) и C(D). Всюду в дальнейшем

предполагается, что p > 2. Если функция f принадлежит пространствам L^p(D_δ) при любом

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

375

δ > 0, но, вообще говоря, не суммируема во всей области D, то под правой частью в (3.1)

условимся понимать сингулярный интеграл

∫

f (ζ) d₂ζ

(T f)(z) = - lim

z = 0,

δ→0 π

ζ-z

D_δ

конечно, в предположении, что указанный предел существует. Вводя обозначение

∫

d₂ζ

Ω(z) = -

z = 0,

ζ(ζ - z)

воспользуемся для определения функции Ω следующим утверждением.

Лемма 3.1. Функция Ω(z) существует и представима в виде

Ω(z) = 2a ln |z| - h(z), z = 0,

где h(z) ∈ H(D) определяется равенством

∫

ln |ζ| dζ

h(z) =

πi

ζ-z

Здесь H - пространство аналитических в области D функций, удовлетворяющих на границе

Γ = ∂D условию Гёльдера с показателем ν = (p - 2)/p, p > 2.

Подставляя значение Ω(z) в формальное решение для u(z), решения уравнения (1.1) мо-

жем записать в виде u(z) = ϕ(z) exp{Ω(z)/ε}. Таким образом, получим следующую формулу:

u(z) = ϕ(z)|z|2a/εeh(z)/ε,

где ϕ - произвольная аналитическая в области D₀ функция.

Следуя работе [14], в которой описывается класс безрезонансных решений для итерацион-

ных задач, введём класс функций U₀, элементы которого (дополнительно к свойствам функ-

ций класса U) обладают ещё свойством ограниченности при ε → +0 и z → 0. Иначе говоря,

под решением задачи типа Римана-Гильберта (1.1)-(1.3) будем понимать функцию u, при-

надлежащую классу

U₀ = {u : u(z) = e^τ ((Ig) + XP-2κ)(z) и u = O(1) при ε → 0 и z → 0} .

Заметим, что элементы u ∈ U₀, обладают свойством: u ∈ C(D)

^⋂C^∞(D₀).

Для наглядного и компактного изложения сформулируем основную теорему для области

D = {z : |z| ≤ R}. Эта теорема имеет место также для содержащей сингулярную точку z = 0

конечной области с границей Γ ∈ C1,α.

Теорема 3.1. Пусть в задаче (1.1)-(1.3) a ∈ R⁺, ε > 0 и g(t) ∈ C(Γ). Тогда эта задача

в классе U₀ однозначно разрешима и u(0) = 0. Более точно, её решение представимо в виде

∑

u(z, τ, ε) =

u_k(z,τ)ε^k = eτ-c2/ε2 ×

k=0

{

∫

]

}

∂uk-1

[(Ig)(z) + X(z)P-2κ (z)] +

e^-t

dt ε^k

(3.2)

∂z

где коэффициенты u_k(τ,z) определяются рекуррентной формулой

[

∫

]

∂uk-1

u_k(τ,z) = eτ-c2/ε2 -

e^-t

dt , k ≥ 1.

∂z

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

376

ФЕДОРОВ

Коэффициенты u_k, k ∈ N, являются однородными функциями первой степени по τ, в част-

ности, u_k(τ,z) = 0 при z ∈ Γ, и решение (3.2) при z ∈ Γ совпадает с точным решением

задачи (1.1)-(1.3). При |z| < R ряд в интегральном представлении (3.2) при достаточно

малом ε сходится в обычном смысле абсолютно и равномерно по переменному z во всей

области D к точному решению задачи (1.1)-(1.3).

Доказательство. Для наглядности и упрощения изложения доказательство теоремы про-

водим в предположении, что граница Γ области D является окружностью, т.е. Γ : |z| = R

(отметим, что теорема 3 справедлива и для произвольной области с границей Γ ∈ C1,ν ).

Тогда функция h(z), приведённая в лемме 3.1, примет более простой вид:

∫

ln |ζ| dζ

h(z) =

= 2a ln R.

πi

ζ-z

В этом случае решение уравнения (1.1) принимает вид

{

}

u(z) = ϕ(z) exp

2a ln(|z|R-1) ,

(3.3)

где ϕ(z) - произвольная аналитическая в области D₀ функция. Чтобы получить решение

исходной задачи (1.1)-(1.3), нужно подчинить функцию (3.3) условиям (1.2), (1.3). При этом

функция ϕ(z) будет сложным образом зависеть от z и ε, и её описание при стремлении

(z, ε) → (0, +0) будет весьма затруднительным. Поэтому, вместо того чтобы использовать

точное решение уравнения (1.1), попробуем построить разложение решения задачи (1.1)-(1.3)

в виде ряда по степеням параметра ε, применив метод регуляризации Ломова [4].

Согласно методу Ломова, исходя из представления (3.3), вводим новую дополнительную

переменную

|z|

τ (ε, z) =

2a ln

|z| ≤ R,

производная которой равна

∂τ

∂z

εz

Для расширенной неизвестной функции u = u(z, τ, ε) (вместо исходного уравнения (1.1)) с

учётом того, что

∂u

∂u ∂τ

∂u

a ∂u

∂z

∂τ ∂z

∂z

εz ∂τ

получаем расширенное уравнение

εzu_z + a(u_τ - u) = 0.

(3.4)

Сформулируем соответствующую задачу типа Римана-Гильберта: найти решение u урав-

нения (3.4) из класса C(D)

^⋂C^∞(D₀), удовлетворяющее на контуре Γ граничному условию

Re ((α + iβ)ũ)(t) = e-c2/ε2 g(t), t ∈ Γ,

(3.5)

где g(t) ∈ C(Γ), и в области D равенствам

ũ(z_j , ε) = 0, j = 1, -2κ + 1, z_j ∈ D.

(3.6)

Согласно теории Пуанкаре решение расширенной задачи (3.4)-(3.6) будем искать в виде

∑

u(z, τ, ε) =

u_k(z,τ)ε^k.

(3.7)

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

377

Подставляя представление (3.7) в уравнение (3.4), получаем равенство

z(εu0z + ε²u1z + . . . + εk+1u_kz + . . .) + a((u0τ - u₀) + ε(u1τ - u₁) + . . . + ε^k(u_kτ - u_k) + . . .) = 0.

Приравнивая здесь коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра ε, приходим

к следующим итерационным задачам:

⎧

⎨u0τ - u0 = 0,

ε⁰ :

Re(α + iβ)u₀(t) = e-c2/ε2g(t), t ∈ Γ,

(3.8₀)

⎩

u₀(z_j) = 0, j = 1,-2κ + 1, z_j ∈ D,

⎧

z∂u₀

⎪

⎨u1τ - u1 =

a ∂z

ε:

(3.8₁)

⎪Re ((α + iβ)u1)(t) = 0, t ∈ Γ,

⎩

u₁(z_j) = 0, j = 1,-2κ + 1, z_j ∈ D,

⎧

∂uk-1

⎪

⎨ukτ - uk =

∂z

ε^k :

(3.8_k)

⎪Re ((α + iβ)uk)(t) = 0, t ∈ Γ,

⎩

u_k(z_j) = 0, j = 1,-2κ + 1, z_j ∈ D,

4. Решение итерационных задач. Рассмотрим первую итерационную задачу (3.8₀).

Её уравнение

u0τ - u₀ = 0

можно рассматривать как обыкновенное дифференциальное уравнение; его решение даётся

формулой

u₀(τ,z) = e^τ ϕ₀(z),

(4.1)

где ϕ₀(z) - произвольная аналитическая функция комплексного переменного z.

Теперь, используя краевые условия задачи (3.8₀), для вычисления аналитической функции

ϕ(z) приходим к следующей задаче:

Re (α + iβ)ϕ₀(t) = e-c2/ε2g(t), t ∈ Γ,

ϕ₀(z_j) = 0, j = 1,-2κ + 1, z_j ∈ D.

(4.2)

Сначала рассмотрим первое краевое условие:

Re (α + iβ)ϕ₀(t) = e-c2/ε2g(t), t ∈ Γ.

(4.3)

Согласно теореме 2.1 при κ ≤ 0 и Γ ∈ C1,ν, G ∈ C^ν(Γ) однородная задача Римана-Гильберта

имеет ровно -2κ + 1 линейно независимых решений; совокупность всех решений даётся фор-

мулой

ϕ₀(z,ε) = X(z)(c₀z-2κ + c₁z-2κ-1 + ... + c-2κ),

(4.4)

где c₀, c₁, . . . , c-2κ - произвольные постоянные. Неоднородная задача с граничным условием

(4.3) безусловно разрешима, причём все её решения в классе C^μ(D) описываются формулой

ϕ₀(z) = e-c2/ε2 (Ig)(z) + X(z)p(z), p ∈ P0-2κ,

(4.5)

где

∫

X(z)

g(t)

(Ig)(z) =

πi

G(t)X⁺(t) t - z

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

378

ФЕДОРОВ

При κ ≥ 0 (см. теорему 2.1) однородная задача Римана-Гильберта не имеет решений,

отличных от нуля, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо и достаточно выпол-

нения условий ортогональности

∫

g(t)

q(t) dt = 0, q ∈ P02κ-2.

(4.6)

G(t)X⁺(t)

При этом единственное решение задачи Римана-Гильберта для уравнения u0τ -u₀ = 0 даётся

формулой

ϕ₀(z) = e-c2/ε2 (Ig)(z).

(4.7)

Теперь подчиним решение (4.5) задачи (3.80) второму условию. При κ ≤ 0 равенства

ϕ₀(z_j) = 0, j = 1,-2κ + 1, z_j ∈ D (см. (4.4), (4.5)) приводят к следующей системе алгебраи-

ческих уравнений:

-c²/ε²

P-2κ(z_j) = -

(Ig)(z_j ), j = 1, -2κ + 1, z_j ∈ D,

(4.8)

X(z_j )

где P-2κ(z_j ) = c₀z-2κj + c₁z-2κ-1j + . . . + c-2κ, а числа c₀, c₁, . . . , c-2κ пока не известны.

Введя обозначения

-c²/ε²

C = (c₀,c₁,...,c-2κ)^т, f_j = -

(Ig)(z_j ), F = (f₀, f₁, . . . , f-2κ)^т,

X(z_j )

⎛

⎞

z₁

z₂

z₃

... z-2κ+1⎟

A^т =^⎝

⎠,

z-2κ1

z-2κ2

z-2κ3

... z-2κ

-2κ+1

систему уравнений (4.8) запишем в матричной форме

AC = F.

(4.9)

Матрица A^т имеет определитель Δ = |A^т| = |A| = 0, так как он является определителем

Вандермонда. Следовательно, система уравнений (4.8) или (4.9) имеет единственное решение

C =A-1F.

Подставляя найденные значения чисел c_j в многочлен P-2κ, найдём окончательно функцию

ϕ₀(z) в (4.1) и, значит, построим однозначно решение первой итерационной задачи (3.8₀).

Лемма 4.1. Пусть κ = Ind (α(t) + iβ(t)) и a ∈ R⁺.

Если κ ≤ 0, то первая итерационная задача (3.8₀) имеет единственное решение в классе

U₀, это решение представляется в виде (4.1), где аналитическая функция ϕ₀ вычисляется

по формуле (4.4), в которой постоянные c₀, c₁, . . . , c-2κ являются решениями алгебраи-

ческой системы (4.9).

Если κ ≥ 0, то однородная итерационная задача (3.8₀) не имеет решений, отличных

от нуля, а для разрешимости неоднородной задачи необходимо и достаточно, чтобы имели

место условия ортогональности (4.6); при этом единственное решение задачи (3.8₀) вычис-

ляется по формуле (4.1), где аналитическая функция ϕ₀ имеет вид (4.7).

Аналогичным образом находим решения следующих итерационных задач. Рассмотрим

уравнение (3.8_k):

e-c2/ε2 z∂uk-1

u_kτ - u_k =

∂z

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

379

Решение этого уравнения даётся формулой

[

∫τ

]

e-c2/ε2 z

∂uk-1

u_k(τ,z) = e^τ ϕ_k(z) -

e^-t

dt .

∂z

Используя первое условие задачи (3.8_k ), приходим к следующей задаче:

Re (α + iβ)ϕ_k(t) =

g_k(t), t ∈ Γ,

где

∫



∂uk-1



g_k(t) = -Re

e^-t

= 0.



∂z

Следовательно,

Re(α + iβ)ϕ_k(z) = 0, k ≥ 1, z ∈ D.

(4.10)

При κ > 0 (согласно теореме 2.1) однородная задача (4.10) Римана-Гильберта не имеет ре-

шений, отличных от нуля, и ϕ_k(z) = 0, k ≥ 1, z ∈ D.

В результате для коэффициентов u_k(τ, z) получим следующие выражения:

[

∫

]

∂uk-1

u_k(τ,z) = eτ-c2/ε2 -

e^-t

dt , k ≥ 1.

(4.11)

∂z

Тем самым, будут решены все итерационные задачи в классе U₀.

Подставляя найденные коэффициенты u₀(τ, z), u_k(τ, z), k ≥ 1, в ряд (3.7), получаем

единственное формальное решение задачи (3.4)-(3.6) в виде ряда

∑

u(z, τ, ε) =

u_k(z,τ)ε^k =

k=0

{

[∫τ

]

}

∑

∂uk-1

=eτ-c2/ε2

[(Ig)(z) + X(z)P-2κ (z)] +

e^-t

dt ε^k

(4.12)

∂z

k=1

где коэффициенты u_k(τ, z) определяются по рекуррентной формуле (4.11), функции X(z) и

(Ig)(z) вычисляются по формулам (2.3) и (2.5), а P_κ(z) является полиномом степени κ с

известными коэффициентами.

5. Обоснование обычной сходимости формальных решений к точному. Согласно

формуле (4.1) коэффициент u₀ определяется равенством

u₀(τ,z) = e^τ e-c2/ε2 ϕ₀(z), ϕ₀(z) = e-c2/ε2 ϕ∗0(z),

где a ∈ R⁺, τ → -∞ при ε → +0, z = 0, аналитическая функция ϕ₀, являясь решением

задачи типа Римана-Гильберта (4.2), вычисляется по формуле (4.4) или (4.7) в зависимости от

значения индекса задачи κ, а ϕ∗0(z) - аналитическая функция комплексного переменного z.

Для коэффициента u₁(τ, z) с учётом того, что

∂u₀

e^τ e-c2/ε2ϕ∗0(z),

∂z

εz

используя соотношение (4.11), приходим к формуле

-c²/ε²

u₁(τ,z) =

ϕ∗₀(z)e^τ τ.

ε²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

380

ФЕДОРОВ

Так как

∂u₁

e-c2/ε2 a

ϕ∗₀(z)e^τ (τ + 1),

∂z

ε²

то для коэффициента u₂(τ, z) из соотношения (4.11) получим формулу

)

-c²/ε²

⁽τ²

e-c2/ε2

⁽1

u₂(τ,z) =

ϕ∗₀(z)e^τ

+τ

ϕ∗₀(z)e^τ τ²

ε²

Аналогично находим формулы для коэффициентов u₃(τ, z) и u₄(τ, z):

)

-c²/ε²

⁽τ³

e-c2/ε2

⁽1

u₃(τ,z) =

ϕ∗₀(z)e^τ

+τ² +τ

ϕ∗₀(z)e^τ τ³

ε³

τ²

)

−c²/ε²

⁽τ⁴

τ³

τ²

u₄(τ,z) =

ϕ∗₀(z)e^τ

+τ² +τ

ε⁴

)

−c²/ε²

⁽ 1

ϕ∗₀(z)e^τ τ⁴

ε⁴

6τ

2τ²

3τ

τ²

τ³

Заметив закономерность образования этих формул, несложно методом математической ин-

дукции доказать для коэффициента u_k(τ, ε), k ≥ 0, представления

)

-c²/ε²

⁽τ^k

u_k(τ,z) =

ϕ∗₀(z)e^τ

+mk-1τk-1 + ... + m₁τ

ε^k

−c²/ε²

⁽1

⁽1)k-1)

ϕ∗₀(z)e^τ τ^k

+mk-1

+...+m₁

ε^k

)

−c²/ε²

e^τ

⁽1

ϕ∗₀(z)

+mk-1θ + ... + m₁θk-1 ,

(5.1)

ε^k

θ^k k!

где m_j - некоторые положительные рациональные числа,

k-1

-ε

m₁ = 1, m_j ≤

θ=

2a ln(R/|z|)

Заметим, что θ < 0, |θ| → +0 при ε → +0, если 0 < r0 ≤ |z| < R. Введём обозначение

P_k = P_k(θ) =

+mk-1θ + ... + m₁θk-1.

Тогда u_k(τ, z) = ε^-ke-c2/ε2 ϕ∗0(z)θ^-ke1/θP_k(θ). Имеем

|P_k| ≤

+ |θ|(mk-1 + mk-2|θ| . . . + m₁|θ|k-2) ≤

[

]

k-1

≤ max{m₁,m₂,... ,mk-1} =

≤

|θ|(1 + |θ| + . . . + |θ|k-2) ≤

k-1

≤

|θ|(1 + |θ| + . . . + |θ|k-2 + . . .) =

|θ|

≤1+

|θ|

(5.2)

1 - |θ|

Продолжая далее оценки сомножителей последнего выражения в (5.1), получаем

e-c2/ε2

e-c2/ε2 (2aln(R/|z|))^k

ε⁴(2aln(R/r₀))^k

ε^k θ^k

ε^k

c2k+4

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

381

где c = 2a ln(R/r₀) > 1, при 0 < r₀ ≤ |z| < R. Здесь мы воспользовались известным неравен-

ством

n^k

eⁿ

n²

при n > N₀(k). Значение числа c = 2a ln(R/r₀) подобрано, исходя из неравенства 0 < r₀ ≤

≤ |z| ≤ R. Значит, для каждого фиксированного r₀ ∈ (0, R) имеем

|u_k(τ, z, ε)|τ=τ(z,ε)| <

|ϕ∗0(z)|e1/θ|P_k|,

0 < r₀ ≤ |z| < R.

(5.3)

ck+4

Следовательно, учитывая, что |ϕ₀(z)| ≤ M₀ = const (при всех z, для которых |z| ≤ R), и

принимая во внимание неравенства e1/θ < 1, P_k < k + 4, для сужения частичной суммы ряда

(4.12) получаем оценку

∑

M₀(k + 4)

k+4

|S_N (τ, z, ε)|τ=τ(ε,z)| ≤

εk+4

<M₀

εk+4

= const,

ck+4

k=1

так как последний числовой ряд сходится, что легко проверяется согласно признаку Коши.

∑_∞

Поэтому частичные суммы ряда

|u_k(τ, z, ε)|τ=τ(ε,z)|ε^k ограничены. Отсюда вытекает, что

k=1

ряд (4.12) сходится абсолютно в указанной точке z для любого ε ∈ (0, ε₀], где ε₀ > 0 -

достаточно малое число.

Аналогичными рассуждениями показывается, что ряд для производной



∑



εz

u_kz(τ,z,ε)



τ=τ(ε,z)

k=1

также сходится абсолютно в указанной точке z. Следовательно, сумма ряда (4.12) является

точным решением исходной задачи (1.1)-(1.3).

6. Обоснование асимптотической сходимости. Так как ряд (4.12) сходится абсолютно

в указанной точке z для любого ε ∈ (0,ε₀], где ε₀ > 0 - достаточно малое число, то должна

иметь место его асимптотическая сходимость.

Решения уравнения (3.4) представим в виде

∑

u(z, τ, ε) =

ε^ku_k(z,τ) + εN+1R_N (z,τ,ε).

k=0

Подставим решения u₀(z, τ), . . . , u_N (z, τ) в системы (3.8₀), . . . , (3.8_k) (k = N) соответствен-

но. Полученные тождества умножим на 1, ε, . . . , ε^N соответственно и просуммируем, в

результате получим тождество

∑

∂u_N

εz

ε^ku_kz(z,τ) - a

ε^k(u_kτ (z,τ) - u_k(z,τ)) = -zεN+1

∂z

k=0

Вводя обозначение R_N = u - S_N , относительно остатка ряда R_N (z, τ, ε) получим уравнение

∂u_N

εzR_Nz(z, τ, ε) - a(R_Nτ (z, τ, ε) - R_N (z, τ, ε)) = -zεN+1

(6.1)

∂z

Производя сужение в (6.1) при

|z|

ψ(z)

τ (ε, z) =

2a ln

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

382

ФЕДОРОВ

получаем

∂u_N

εzR_Nz - aR_N = -zεN+1

≡ f(z,ε),

(6.2)

∂z

где правая часть уравнения (6.2) выражается формулой

)

-c²/ε²

⁽1

|z|

-f(z,ε) ≡ εN+1zu_Nz(τ,z,ε)|τ=τ(ε,z) = aε^N u_N + aε^N

ϕ∗₀(z) exp

2a ln

εN-1

[

]

)N-1

)N-2

⁽1

|z|

mN-1

⁽1

|z|

2a ln

+...+m₁

(N - 1)! ε

(N - 2)! ε

(

)

e-c2/ε2

e^τ

= aε^N u_N +

ϕ∗₀(z)

P^′

(6.3)

εN-1

θN-1

в которой u_N , согласно (5.3), определятся равенством

)

-c²/ε²

⁽1

|z|

u_N (τ,z,ε)|τ=τ(ε,z) =

ϕ∗₀(z) exp

2a ln

ε^N

[

]

)N-1

⁽1

|z|

cN-1

⁽1

|z|

2a ln

+...+c₁

2a ln

N! ε

(N - 1)! ε

)

−c²/ε²

⁽τ^N

ϕ∗₀(z)e^τ

+mN-1τN-1 + ... + m₁τ

ε^N

Таким образом, из формулы (6.3) вытекает, что функция f(z, ε) представима в виде

(

)

e-c2/ε2

e^τ

-f(z,ε) ≡ εN+1zu_Nz(τ,z,ε)|τ=τ(ε,z) = aε^N u_N +

ϕ∗₀(z)

P^′

εN-1

θN-1

Вследствие уравнения (6.2) и условий задачи Римана-Гильберта для нахождения R_N

полу-

чаем следующую задачу:

R_Nz - R_N = f(z,ε),

Re ((α + iβ)R_N )(z) = 0, t ∈ Γ,

R_N(z_j) = 0, j = 1,κ + 1, z_j ∈ D.

(6.4)

Решение уравнения (6.2), т.е. первого уравнения в (6.4), даётся формулой

[

∫

]

e^-τ f(ζ,ε)d₂ζ

R_N(τ,z,ε)|τ=τ(ε,z) = e^τ ϕ₀(z) -

ζ-z

τ=τ(ε,z)

R_N(τ,z,ε)|τ=τ(ε,z) = (e^τ ϕ₀(z) + e^τ T(e^-τ f)) ≡ R_Na + R_Nb.

Аналогично оценке (5.2) величины P_k для P^′N получаем, что

(N - 1)

|P^′N | ≤ 1 +

|θ|

(6.5)

1 - |θ|

Далее имеем

e-c2/ε2

e-c2/ε2 (2aln(R/|z|))N-1

ε⁴cN-1

ε⁴

εN-1 θN-1

ε2N-2

c2N-2

cN-1

где c = 2a ln(R/r₀) > 1, при 0 < r₀ ≤ |z| < R.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

ЗАДАЧА ТИПА РИМАНА-ГИЛЬБЕРТА

383

Следовательно, для функции f(z, ε) верна оценка

[

]

ε⁴

|f(z, ε)| ≤ aεN |uN | +

|ϕ∗0(z)|e^τ |P^′N |

cN-1

Тогда с учётом неравенств (5.2), (5.3) и (6.5) получаем

]

^[N+4

(N - 1)

|f(z, ε)| ≤ aεN+1M₀e1/θ

cN+4

cN-1

[

]

∑

k²

< aεN+1M₀e1/θ

< εN+1M₀e1/θ[s₁ + s₂] < aC₁M₀e1/θεN+1,

c^k

k=N+4

k=N-1

т.е.

|f(z, ε)| ≤ aC₁e1/θεN+1.

Заметим, что согласно неравенству Гёльдера при 1/p + 1/q = 1, p > 2, справедливы

неравенства



∫



(∫

)1/p(∫

)1/q



f (ζ, ε) d₂ζ

|T f| =^ -¹



|f(ζ, ε)|^p d₂ζ

|(ζ - z)|^-q d₂ζ

≤

ζ-z

Оценим величину R_Nb :

|R_Nb| = e^τ |T (e^-τ f)| ≤

aC₁M₀e1/θM_pεN+1 ≤

aC₁M₀M_pεN+1,

где

(∫

)1/q

(

)1/q

2π

M_p =

|(ζ - z)|^-q d₂ζ

(R2-q - r2-q0)

D = {z : r₀ ≤ |z| ≤ R}.

2-q

Аналогичным образом для R_Na, воспользовавшись решением задачи Римана-Гильберта (6.4),

получаем оценку

|R_Na| <

aC₁M₁M_pεN+1.

Следовательно,

|R_N (τ, z, ε)|τ=τ(ε,z)| < |R_Na| + |R_Nb| = C_N εN+1,

где C_N = π-1aC₁(M₀ + M₁)M_p, причём постоянная C_N не зависит от ε.

Автор выражает искреннюю благодарность А.П. Солдатову и В.Ф. Сафонову за ценные

советы и обсуждение результатов работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М., 1966.

2. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущённые задачи и

метод регуляризации. М., 2012.

3. Рабинович Ю.Л., Хапаев М.М. Линейные уравнения с малым параметром в окрестности регулярной

особой точки // Докл. АН СССР. 1959. Т. 129. № 2. С. 268-271.

4. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.

5. Ломов И.С. Необходимые и достаточные условия существования целых аналитических решений

сингулярно возмущенных уравнений // Докл. АН СССР. 1988. Т. 299. № 4. С. 811-815.

6. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

384

ФЕДОРОВ

7. Риман Б. Сочинения. М., 1948.

8. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen. Leipzig; Berlin, 1924.

9. Расулов А.Б.,Федоров Ю.С. Cингулярно возмущенное уравнение Коши-Римана с особенностью в

младшем коэффициенте // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2020. Т. 60. № 10. С. 1757-

1763.

10. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

11. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М, 1977.

12. Солдатов А.П. Кpаевая задача линейного сопpяжения теоpии функций // Изв. АH СССР. Сеp.

мат. 1979. Т. 43. № 1. С. 184-202.

13. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1988.

14. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Обобщение метода регуляризации на сингулярно возмущённые

интегродифференциальные уравнения в частных производных // Изв. вузов. 2018. № 3. С. 9-22.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 27.11.2021 г.

“Московский энергетический институт”

После доработки 27.11.2021 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022