ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.385-394

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.957

О КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ

ОБЩЕГО НАГРУЖЕННОГО УРАВНЕНИЯ

КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА С ИСТОЧНИКОМ

Методом обратной задачи рассеяния выводится эволюция данных рассеяния несамосопря-

жённого оператора Штурма-Лиувилля, потенциал которого является решением общего

нагруженного уравнения Кортевега-де Фриза с самосогласованным источником в клас-

се быстроубывающих комплекснозначных функций. Приведён пример, иллюстрирующий

применение полученных результатов.

DOI: 10.31857/S0374064122030086, EDN: BYMARS

Введение. Метод обратной задачи рассеяния ведёт своё начало с работы Гарднера, Грина,

Крускала и Миуры [1]. Им удалось найти глобальное решение задачи Коши для уравнения

Кортевега-де Фриза (KдФ) u_t - 6uu_x + u_xxx = 0 сведением её к обратной задаче рассеяния

для самосопряжённого оператора Штурма-Лиувилля на всей прямой. Эта обратная задача

рассеяния впервые была решена в работе Л.Д. Фаддеева [2] (подробное изложение см. также в

[3, гл. 3, § 5; 4, гл. 6, § 5]). Затем П. Лакс [5] заметил универсальность метода обратной задачи

рассеяния и обобщил уравнение KдФ, введя понятие высшего уравнения KдФ. В современной

научной литературе большое внимание привлекают интегрируемые нелинейные эволюционные

уравнения с самосогласованными источниками. Они имеют важные приложения в физике

плазмы, гидродинамике, физике твёрдого тела и т.д. [6-11].

Нагруженными дифференциальными уравнениями принято называть уравнения, содер-

жащие в коэффициентах или в правой части функционалы от решения, в частности, значения

решения или его производных на многообразиях меньшей размерности. Исследование таких

уравнений представляет интерес как с точки зрения построения общей теории дифференциаль-

ных уравнений, так и с точки зрения приложений. Среди работ, посвящённых нагруженным

уравнениям, следует особо отметить работы А.М. Нахушева [12, 13] и А.И. Кожанова [14].

Отметим, что обратная задача рассеяния для несамосопряжённого оператора Штурма-

Лувилля на всей оси изучалась в работах [15, 16]. Интегрирование уравнения КдФ с самосогла-

сованным источником в классе быстроубывающих комплекснозначных функций рассмотрено

в работе [17]. Интегрирование нагруженного уравнения КдФ в классе периодических функций

исследовалось в [18, 19].

Зададим оператор H равенством

1 d

H := -

+ 2u

+u^′,

2 dx³

здесь и далее u = u(x, t), а штрих обозначает частную производную по x, т.е. u^′ = u_x.

Согласно [4, гл. 12, § 2] существует последовательность (P_k), k ∈ {0}

⋃ N, полиномов (от u и

производных u по x ), для которой справедливы равенства HP_k = P′k+1. В частности, первые

четыре элемента этой последовательности следующие:

P₀ = -

P₁ = -

u, P₂ =

u_xx -

u², P₃ = -

u_xxxx +

uu_xx +

(u_x)² -

u³.

Положим

L(t) := -

+ u.

(1)

dx²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

386

ХАСАНОВ, ХОИТМЕТОВ

Оператор

)

∑

⁽1

B_q :=

P^′

-P_k

(2L)^q-k

k=0

удовлетворяет соотношению Лакса [B_q, L] = B_qL - LB_q = -P′q+1.

Пусть c₀, c₁, c₂, . . . , c_p - произвольные действительные числа. Введём следующие обо-

значения:

∑

X_q = -P′q+1, Y_p = c_qB_q, Z_p =

c_qX_q.

q=0

Тогда справедливо равенство [Y_p, L] = Z_p. Уравнение

u_t = Z_p(u)

называется общим уравнением КдФ. В частности, при p = 1, c₀ = 0, c₁ = 4 и p = 2, c₀ = 0,

c₁ = 0, c₂ = 8 соответственно имеем

u_t - 6uu_x + u_xxx = 0, u_t = u_xxxxx - 20u_xu_xx - 10uu_xx + 30u²u_x.

Рассмотрим общее нагруженное уравнение КдФ с источником, имеющим вид

∑

m_j-1∑

u_t - Z_p(u) + γ(t)F(u(0,t))u_x = 2

C^l

(ϕ^lj ϕmj -1-lj),

(2)

m_j-1 dx

j=1

l=0

L(t)ϕ^lj = k2jϕ^lj + lϕl-1j (Im k_j > 0), j = 1, N , l = 0, m_j - 1,

(3)

где x ∈ R, t > 0, оператор L задан равенством (1), C^lm - биномиальные коэффициен-

ты, F (z) - некоторый полином от переменной z, а γ(t) - заданная непрерывная функция.

Функции ϕ^lj = ϕ^lj (x, t) при каждом неотрицательном t принадлежат пространству L²(R)

квадратично суммируемых на оси функций, а ϕ0j = ϕ0j(x, t) - собственная функция оператора

L(t), соответствующая собственному значению λ_j (t) = k2j(t) (Im k_j > 0) кратности m_j(t),

l = 0,m_j - 1, j = 1,N.

Система уравнений (2), (3) рассматривается при начальном условии

u(x, 0) = u₀(x), x ∈ R,

(4)

где начальная функция u₀(x) задана, комплекснозначна и обладает свойствами:

1) для некоторого ε > 0 выполняется соотношение

∞

∫

|u₀(x)|e^ε|x| dx < ∞;

(5)

−∞

2) несамосопряжённый оператор L(0) имеет ровно N комплексных собственных значений

λ₁(0), λ₂(0), ..., λ_N(0) с кратностями m₁(0), m₂(0), ..., m_N(0) соответственно и не имеет

спектральных особенностей.

Предполагается, что

∞

∫

m_j-1

(x, t)ϕmj -1-lj(x, t) dx = A^jm

(t), l = 0, m_j - 1, j = 1, N,

(6)

ϕj

j-1-l

(m_j - 1 - l)!

−∞

где A^jm

(t) - заданные непрерывные функции.

j-1-l

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ

387

Пусть функция u(x, t) = Re u(x, t) + i Im u(x, t) обладает необходимой гладкостью и доста-

точно быстро стремится к своим пределам при x → ±∞ так, чтобы

∫

∞

(



)

∑

_∂ju(x,t)



|u(x, t)|e^ε|x| +

x < ∞.

(7)



 d

∂x^j

j=1

−∞

В данной работе предлагается алгоритм построения решения u(x, t), ϕ^lj (x, t), j = 1, N ,

l = 0,m_j - 1, задачи (2)-(7) с помощью метода обратной задачи рассеяния для несамосопря-

жённого оператора L(t).

1. Необходимые сведения. Рассмотрим уравнение

L(0)y := -y^′′ + u₀(x)y = k²y, x ∈ R,

(8)

потенциал u₀(x) в котором предполагается комплекснозначным и удовлетворяющим усло-

вию (5). В этом пункте приводятся необходимые для дальнейшего изложения сведения о пря-

мой и обратной задачах рассеяния для уравнения (8). Обозначим через e₊(x, k) и e_-(x, k)

решения уравнения (8) с условиями на бесконечности при Im k > -ε/2:

e₊(x,k) = e^ikx + o(1) при x → ∞, e_-(x,k) = e^-ikx + o(1) при x → -∞.

(9)

Эти решения называются решениями Йоста, при выполнении условия (5) они существуют,

единственны и голоморфны по k в полуплоскости Im k > -ε/2 и имеют следующие пред-

ставления:

±∞

e_±(x,k) = e^±ikx ±

K_±(x,y)e^±iky dy,

(10)

где ядра K_±(x, y) связаны с потенциалом u₀(x) соотношением

dK_±(x, x)

u₀(x) = ∓2

(11)

Отметим также, что пары функций (e_±(x, k), e_±(x, -k)) образуют в полосе |Im k| < ε/2 фун-

даментальные системы решений, вронскианы W {e_±(x, k), e_±(x, -k)} которых равны ∓2ik.

Обозначим через ω(k) и v(k) вронскианы

ω(k) := e_-(x, k)e′+(x, k) - e^′-(x, k)e₊(x, k) и v(k) := e₊(x, -k)e^′-(x, k) - e_-(x, k)e′+(x, -k).

Функция ω(k) аналитически продолжается в полуплоскость Im k > -ε/2 и обладает асимпто-

тикой ω(k) = 2ik(1 + O(1/k)) при |k| → ∞, равномерной в каждой полуплоскости Im k ≥ η,

η > -ε/2. Отсюда следует, что в полуплоскости Imk ≥ 0 функция ω(k) имеет конечное

число нулей (в общем случае кратных). Требование отсутствия спектральных особенностей

оператора L(0) означает отсутствие действительных нулей у функции ω(k), т.е. ω(k) = 0,

k ∈ R. Обозначим через k₁, k₂, ..., k_N невещественные нули функции ω(k) (Imk_j > 0,

j = 1,N), тогда λ_j = k2j, j = 1,N, - собственные значения оператора L(0). Кратность корня

k_j уравнения ω(k) = 0 обозначим через m_j, j = 1,N.

Функция v(k) в отличие от ω(k) задана только в полосе |Im k| < ε/2. Функции ω(k) и

v(k) в полосе |Im k| < ε/2 связаны соотношением

ω(k)ω(-k) - v(k)v(-k) = 4k².

(12)

Кроме того, в полосе |Im k| < ε/2 справедливо равенство

v(k)

ω(k)

e_-(x,k) =

e₊(x,k) +

e₊(x,-k).

(13)

2ik

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

7^∗

388

ХАСАНОВ, ХОИТМЕТОВ

Существуют последовательности чисел {χj0, χj1, . . . , χ^jm

} и {θj0,θj1,...,θ^jm

}, j = 1, N ,

j-1

называемые нормировочными цепочками, такие, что имеют место соотношения

((

)

((

)

∑

)ν



e_-(x,k)

e₊(x,k)



^s-ν ν!

k=k_j ν=0

k=k_j

((

)

((

)

∑

)ν

√



√



e_-(x,

λ)



θ_s

e₊(x,

λ)



(14)



dλ

^−ν ν!

dλ

λ=k²

ν=0

где s = 0, m_j - 1, j = 1, N , при этом χj0 = 0, θj0 = 0. Здесь и далее ветвь квадратного корня

√

λ выбирается так, чтобы Im

λ > 0. Цепочки нормировочных чисел {χj0,χj1,...,χ^jm

}

j-1

и {θj0, θj1, . . . , θ^jm

}, j = 1, N, связаны между собой с помощью рекуррентных соотношений.

j-1

Известно (см. [15, 16]), что ядро K₊(x, y) оператора преобразования (10) удовлетворяет

интегральному уравнению Гельфанда-Левитана-Марченко

∫∞

K₊(x,y) + F₊(x + y) + K₊(x,s)F₊(s + y)ds = 0, x ≤ y,

где

∫

∞

)

∑

m_j-1∑

d^ν

⁽ 2k(k - k_j )^mj

F+(x) =

S(k)e^ikx dk +

χ^j

eikx ,

(15)

2π

m_j-ν-1 ν! dk^ν

w(k)

j=1 ν=0

−∞

v(k)

S(k) :=

(16)

w(k)

при этом потенциал u₀(x) находится по формуле (11).

Определение. Набор {S(k), λ_j , χj0, . . . , χ^jm

: j = 1,N} или {S(k),λ_j,θj0,...,θ^jm

: j =

j-1

= 1, N } называется данными рассеяния для оператора L(0).

Нахождение комплекснозначного потенциала u₀(x) по данным рассеяния называют об-

ратной задачей.

Справедлива [15]

Теорема 1. Данные рассеяния однозначно определяют оператор L.

В дальнейшем часто будем пользоваться результатами следующих лемм, которые доказы-

ваются непосредственной проверкой.

Лемма 1. Если функции y(x, ζ) и z(x, η) являются решениями уравнений Ly = ζ²y и

Lz = η²z, то справедливо соотношение

W {y, z} = (ζ² - η²)yz.

Лемма 2. Пусть функции e_- и ϕ^lj , l = 0, m_j - 1, являются решениями уравнений

Le_- = λe_- и Lϕ^lj = λ_jϕ^lj + lϕl-1j, l = 0,m_j - 1, λ = k²,

(17)

соответственно. Тогда справедливо соотношение

W {ϕ^lj , e_-} = (λ_j - λ)ϕ^lj e_- + lϕl-1je_-.

Придавая в равенстве (17) l последовательно значения 0, 1, . . . , получаем

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ

389

Следствие 1. При выполнении условий леммы 2 и λ = λ_j справедливы соотношения

∑

ϕlj e_- =

W {e_-, ϕ^l-rj},

(λ - λ_j )r+1 (l - r)! dx

r=0

m_j-1-l∑

(m_j - 1 - l)!

ϕm^j -1-lje_- =

W {e_-, ϕmj -1-l-rj}.

(18)

(λ - λ_j)^mj^-r(m_j - 1 - l - r)! dx

r=0

Дифференцируя равенство (18) n раз по λ и полагая λ = λ_j, докажем

Следствие 2. Справедливы соотношения

ϕl-1je(n)-(x, k_j ) =nϕlj e(n-1)-(x, kj ) -1d

W {e(n)-(x, k_j ), ϕ^lj (x, k_j )}, l = 1, m_j - 1.

l dx

2. Эволюция данных рассеяния. Введём обозначение

∑

m_j-1∑

∂

G(x, t) := -γ(t)F (u(0, t))u_x + 2

C^l

(ϕ^lj ϕmj -1-lj)

(19)

m_j-1 ∂x

j=1

l=0

и будем рассматривать более общую задачу, а именно, рассмотрим уравнение

u_t - Z_p(u) = G(x,t).

(20)

Будем искать пару Лакса для уравнения (20) в виде

∂²e_-(x,t)

+ (u - λ)e_-(x, , t) = 0,

∂x²

√ ∑p

∂e_-(x,t)

= Y_pe_-(x,t) +

λ c_l(2λ)^le_-(x,t) + Φ(x,t),

(21)

∂t

l=0

√

где e_-(x, t) = e_-(x,

λ, t) - решение Йоста уравнения L(t)y = λy с асимптотикой (9). Исполь-

зуя тождество

√

∂³e_-(x,

λ, t)

∂³e_-(x,

λ, t)

∂x²∂t

∂t∂x²

на основании равенств (19)-(21) придём к уравнению

√

-Φ_xx + (u - λ)Φ = -G(x,t)e_-(x,

λ, t).

Будем искать его решения в виде

√

Φ(x, t) = C(x)e_-(x,

λ,t) + B(x)e_-(x,-

λ, t).

Тогда для определения функций C(x) и B(x) выводим систему уравнений

√

C^′(x)e_-(x,

λ, t) + B^′(x)e_-(x, -

λ, t) = 0,

√

C^′(x)e^′-(x,

λ, t) + B^′(x)e^′-(x, -

λ, t) = G(x, t)e_-(x,

λ, t),

решение которой имеет представление

∫

√

C(x) = -

√

e_-(x,

λ, t)e_-(x, -

λ, t)G(x, t) dx, B(x) =

√

e2-(x,

λ, t)G(x, t) dx.

-∞

−∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

390

ХАСАНОВ, ХОИТМЕТОВ

Следовательно, в этом случае второе уравнение системы (21) примет следующий вид:

√

∂e_-(x,

λ, t)

√

√ ∑p

√

= Y_pe_-(x,

λ, t) +

λ c_l(2λ)^le_-(x,

λ, t) -

∂t

l=0

∫

√

e_-(x,

λ, t)

e_-(x,

λ, t)e_-(x, -

λ, t)G(x, t) dx +

−∞

∫

√

e_-(x,-

λ, t)

e2-(x,

λ, t)G(x, t) dx.

(22)

−∞

Переходя в равенстве (22) к пределу x → ∞ и учитывая (5), (9), (12), (13), получаем

√

∫

∞

√

∂ω(

λ, t)

ω(

λ, t)

√

e_-(x,

λ, t)e_-(x, -

λ, t)G(x, t) dx -

∂t

−∞

√

∫

∞

√

v(-

λ, t)

√

e2-(x,

λ, t)G(x, t) dx,

(23)

−∞

√

∫

∞

∂v(

λ, t)

√ ∑p

√

λ,t)

√

c_l(2λ)^lv(

λ, t) -

√

e_-(x,

λ, t)e_-(x, -

λ, t)G(x, t) dx -

∂t

l=0

−∞

√

∫

∞

√

ω(-

λ, t)

√

e2-(x,

λ, t)G(x, t) dx.

(24)

−∞

√

Умножая равенство (24) на ω(

λ, t) и вычитая из него равенство (23), умноженное на v(

λ, t),

а также используя (13) и (16), найдём, что

√

∫

∞

∂S(

λ, t)

√ ∑p

√

c_l(2λ)^lS(

λ, t) +

√

e2-(x,

λ, t)G(x, t) dx.

∂t

ω²(

λ, t)

l=0

−∞

Лемма 3. Справедливы тождества

∞

∫

√

G(x, t)e2-(x,

λ, t) dx = -γ(t)F (u(0, t))v(

λ, t)ω(

λ, t),

(25)

−∞

∞

∫

√

G(x, t)e_-(x,

λ, t)e_-(x, -

λ, t) dx = γ(t)F (u(0, t))v(

λ, t)v(-

λ,t),

(26)

−∞

где функция G(x, t) определена равенством (19).

Доказательство. Действительно, используя определение (19), имеем

∫

∞

∫

∞

√

G(x, t)e2-(x,

λ, t) dx = -γ(t)F (u(0, t))

e2-(x,

λ, t)u_x(x, t) dx +

−∞

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ

391

∫∞

∑

√

∂

C^l

(ϕ^lj ϕmj -1-lj)e2-(x,

λ, t) dx =

m_j-1 ∂x

j=1

l=0

−∞

∫∞

√

= 2γ(t)F (u(0, t)) (e^′′-(x,

λ, t) + λe_-(x,

λ, t))e^′-(x,

λ, t) dx +

−∞

∫∞

[

∑

√

∂

m_j-1-l

C^l

ϕlj e2-(x,

λ, t)

m_j-1

ϕj

∂x

j=1

l=0

−∞

])

√

∂

√

+ ϕmj-1-lje2-(x,

λ, t)

ϕm^j -1-ljϕ^lj - 2ϕ^lj ϕmj -1-l ∂_j

e_-(x,

λ, t) dx =

∂x

∫∞

√

= γ(t)F(u(0,t))

[((e^′-(x,

λ, t))²)^′ + k²(e2-(x,

λ, t))^′] dx =

−∞

∫∞

)

∑

C^lm

[ϕ^lj e_-W {e_-, ϕmj -1-lj} + ϕmj -1-lje_-W {e_-, ϕ^lj }] dx.

-1

j=1

l=0

−∞

Отсюда, воспользовавшись следствием 1, получаем

∫

∞

√

G(x, t)e2-(x,

λ, t) dx = γ(t)F (u(0, t)) lim

[λe2-(s,

λ, t) + (e^′-(s,

λ, t))²]|^R-R +

R→∞

−∞

∫∞

∑

C^l

(W {e_-, ϕ^l-rj}) +

m_j-1

(l - r)!(λ - λ_j)r+1 dx

j=1

l=0

r=0

-∞

]

m_j-1-l∑

(m_j - 1 - l)!

W {e_-, ϕ^lj }

(W {e_-, ϕmj -1-l-rj}) dx =

(m_j - 1 - l - r)!(λ - λ_j)r+1

r=0

[

√

)₂

√

⁽v(√λ,t)

λ, t)

λR

= γ(t)F(u(0,t)) lim

√

eⁱ

^λR +

√ e^-i

R→∞

√

)₂

]

√

⁽v(√λ,t)

λ, t)

λR

- λe2i

^λR +

eⁱ

^λR -

e^-i

+ λe2i

∫

∞

√

∑

= -γ(t)F(u(0,t))v(

λ, t)ω(

λ, t) +

C^lm

j-1

j=1

l=0

−∞

m_j-1-l∑

(m_j - 1 - l)!

(W {e_-, ϕ^lj })W {e_-, ϕmj -1-l-rj} dx =

(m_j - 1 - l - r)!(λ - λ_j)r+1 dx

r=0

√

= -γ(t)F(u(0,t))v(

λ, t)w(

λ, t).

Аналогично доказывается равенство (26). Лемма доказана.

√

Согласно лемме 1 и равенствам (25) и (26) имеем ω_t(

λ, t) = 0. Следовательно, учитывая

определение (16), заключаем, что

dλ_j (t)

= 0,

(27)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

392

ХАСАНОВ, ХОИТМЕТОВ

√

(

)

√ ∑p

√

∂S(

λ, t)

= i

λ c_l(2λ)^l + 2i

λγ(t)F (u(0, t)) S(

λ, t).

(28)

∂t

l=0

Теперь перейдём к нахождению эволюции нормировочной цепочки {θn0, θn1, . . . , θnmj -1}, со-

ответствующей собственному значению λ_n, n = 1, N . Для этого запишем равенство (22) в

следующем виде:

√

√ ∑p

√

∂e_-(x,

λ, t)

= Y_pe_-(x,

λ, t) +

λ c_l(2λ)^le_-(x,

λ, t) -

∂t

l=0

[

∫

]

√

e_-(x,

λ, t)

e_-(x,

λ, t)e_-(x, -

λ, t)G dx - e_-(x, -

λ,t)

e2-(x,

λ, t)Gdx

−∞

-∞

√

∑

√

= Y_pe_-(x,

λ, t) +

λ c_l(2λ)^le_-(x,

λ, t) +

l=0

√

[

√

γ(t)F (u(0, t))e_-(x,

λ, t)

√

e_-(x,

λ, t)e_-(x, -

λ, t)u(x, t) -

∫x

]

√

- u(s, t)(e^′-(s,

λ, t)e_-(s, -

λ, t) + e_-(s,

λ, t)e^′-(s, -

λ, t))ds

−∞

√

[

∫

]

γ(t)F (u(0, t))e_-(x, -

λ, t)

√

e2-(x,

λ, t)u(x, t) -

2e^′-(s,

λ, t)e_-(s,

λ, t)u(s, t)ds

−∞

∫x

∑

m_j-1-l∑

√

(m_j - 1 - l)!

C^l

(W {e_-(x,

λ, t), ϕmj -1-l-rj}) dx ϕ^lj ,

m_j-1

(m_j - 1 - l - r)! (λ - λ_j )r+1 dx

j=1

l=0

r=0

-∞

и, продолжив преобразования, окончательно получим

√

∑

√

∂e_-(x,

λ, t)

= Y_pe_-(x,

λ, t) +

c_l(2λ)^le_-(x,

λ, t) - γ(t)F (u(0, t))e^′-(x, k, t) -

∂t

l=0

∫

√

∑

√

-i

λγ(t)F (u(0, t))e_- (x,

λ, t) + ϕ^lj

C^lm

ϕm^j -1-lje_-(x,

λ, t) dx.

j-1

j=1

l=0

−∞

Дифференцируя это равенство m_n -1 раз по λ, полагая λ = λ_n, устремляя x к бесконеч-

ности, используя следствие 2, равенства (14) и приравнивая коэффициенты при (ix)^leⁱ

√λnx,

l = m_n - 1,0, найдём аналог уравнений Гарднера-Грина-Крускала-Миуры

]

dθⁿ

[^p∑

2lic_lλl+1/2n + An0(t) - 2iλ1/2nγ(t)F (u(0, t)) θ^nr +

l=0

(

)

(

)

]

[^p∑

ic_l l +

λl-1/2n + An1(t) - i

λ-1/2n + 1 γ(t)F(u(0,t)) θnr-1 +

l=0

)

∑[ p∑

∏(

- μ λl-ν+1/2n + A^nν(t) +

c_l ν!

ν=2

l=0

μ=0

]

i(-1)^ν(2ν - 3)!

λ-(2ν-1)/2nγ(t)F(u(0,t)) θ^nr-ν, r = 0,m_n - 1, n = 1,N.

(29)

22ν-2ν!(ν - 2)!

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ РЕШЕНИЯХ

393

Таким образом, нами доказана

Теорема 2. Если система функций u(x, t), ϕ^lj (x, t), l = 0, m_j - 1, j = 1, N, является

√

решением задачи (2)-(7), то данные рассеяния {S(

λ, t), λ_n(t), θn0(t), θn1(t), . . . , θnmn-1(t), n =

= 1, N } несамосопряжённого оператора L(t) с потенциалом u(x, t) удовлетворяют диффе-

ренциальным уравнениям (27)-(29).

Замечание. Полученные соотношения полностью определяют эволюцию данных рассея-

ния для оператора L(t) и тем самым позволяют применить метод обратной задачи рассеяния

для решения задачи (2)-(7).

Пусть задана функция u₀(x), удовлетворяющая условию (5). Тогда решение задачи (2)-(7)

находится по следующему алгоритму.

Шаг 1. Решая прямую задачу рассеяния с начальной функцией u₀(x), получаем данные

рассеяния {S(k), λ_j , θj0, θj1, . . . , θ^jm

: j = 1,N} для оператора L(0).

j-1

Шаг 2. Находим, согласно теореме 2, данные рассеяния при t > 0:

{S(k, t), λ_j (t), θj0(t), θj1(t), . . . , θ^jm

(t) : j = 1, N }.

j-1

Шаг 3. Используя метод, основанный на интегральном уравнении Гельфанда-Левитана-

Марченко, решаем обратную задачу рассеяния, т.е. получаем единственную (согласно теоре-

ме 1) функцию u(x, t) по данным рассеяния при t > 0, найденным на предыдущем шаге.

Шаг 4. После этого решаем прямую задачу для несамосопряжённого оператора L(t) с

потенциалом u(x, t) и находим функции ϕ^lj (x, t), l = 0, mj-1, j = 1, N .

Пример. В заключение приведём пример, иллюстрирующий применение теоремы 2.

Рассмотрим следующую задачу:

∂

u_t + 20u_xu_xx - 30u²u_x + 10uu_xx - u_xxxxx = -γ(t)u(0,t)u_x + 2

(ϕ²(x, t)),

(30)

∂x

L(0)ϕ := -ϕ^′′ + u₀(x)ϕ = k²ϕ,

(31)

2iax

8a²e

u(x, 0) = u₀(x) =

Im a > 0, x ∈ R.

(32)

(1 + e2iax)²

Здесь

∞

√

∫

(t² + 1)e-2arcsht

t² + 1

ϕ²(x,t)dx = A(t) =

e-2arcsht, γ(t) = 8a²(t² + 1) +

8a⁴

2ia³

−∞

Нетрудно найти данные рассеяния оператора L(0): λ(0) = k² = a², v(k, 0) = 0, S(k, 0) = 0,

θ₀(0) = 1. В силу теоремы 2 имеем λ(t) = λ(0) = a², S(k,t) = 0, θ₀(t) = eβ(t), где

∫^t

∫

β(t) = 32ia⁵t + A(τ) dτ - 2ia γ(τ)u(0, τ) dτ.

Подставляя эти данные в формулу (15), найдём ядро F₊(x, t) = -2iaeiax+β(t) интегрального

уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко.

Далее, решая интегральное уравнение

∞

∫

K₊(x,y;t) - 2iaeβ(t)eia(x+y) - 2iaeβ(t)e^iay K₊(x,s;t)e^iasds = 0,

получаем

ia(x+y)

2iaeβ(t)e

K₊(x,y;t) =

1+eβ(t)e2iax

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

394

ХАСАНОВ, ХОИТМЕТОВ

Отсюда находим решение задачи Коши (30)-(32)

2iax+2 arcsh t

8a²e

e^iax

u(x, t) =

ϕ(x, t) =

(1 + e2iax+2arcsht)²

1+e2iax+2arcsht

Заключение. Разработана процедура построения решения задачи Коши для общего на-

груженного уравнения КдФ с источником в классе быстроубывающих комплекснозначных

функций с помощью метода обратной задачи рассеяния для несамосопряжённого оператора

Штурма-Лиувилля. Приведён пример, иллюстрирующий применение полученных результа-

тов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Gardner C.S., Greene I.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteweg-de Vries

equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P. 1095-1097.

2. Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредингера // Тр. Мат. Ин-та

им. В.А. Стеклова АН СССР. 1964. Т. 73. C. 314-336.

3. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.

4. Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. M., 1984.

5. Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Pure and Appl. Math. 1968.

V. 21. № 5. P. 467-490.

6. Mel’nikov V.K. A direct method for deriving a multi-soliton solution for the problem of interaction of

waves on the x, y plane // Commun. Math. Phys. 1987. V. 112. P. 639-652.

7. Mel’nikov V.K. Integration method of the Korteweg-de Vries equation with a self-consistent source

// Phys. Lett. A. 1988. V. 133. № 9. P. 493-496.

8. Mel’nikov V.K. Integration of the Korteweg-de Vries equation with a source // Inv. Probl. 1990. V. 6.

№ 2. P. 233-246.

9. Leon J., Latifi A. Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear // J. Phys. A:

Math. Gen. 1990. V. 23. P. 1385-1403.

10. Claude C., Leon J., Latifi A. Nonlinear resonant scattering and plasma instability: an integrable model

// J. Math. Phys. 1991. V. 32. P. 3321-3330.

11. Shchesnovich S.V., Doktorov E.V. Modified Manakov system with self-consistent source // Phys. Lett.

A. 1996. V. 213. № 1-2. P. 23-31.

12. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19.

№ 1. С. 86-94.

13. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995.

14. Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит. мате-

матики и мат. физики. 2004. T. 44. № 4. С. 694-716.

15. Блащак В.А. Аналог обратной задачи теории рассеяния для несамосопряжённого оператора. I

// Дифференц. уравнения. 1968. T. 4. № 8. С. 1519-1533.

16. Блащак В.А. Аналог обратной задачи теории рассеяния для несамосопряжённого оператора. II

// Дифференц. уравнения. 1968. T. 4. № 10. С. 1915-1924.

17. Хасанов А.Б., Хоитметов У.А. Об интегрировании уравнения Кортевега-де Фриза в классе быст-

роубывающих комплекснозначных функций // Изв. вузов. Математика. 2018. № 3. C. 79-90.

18. Хасанов А.Б., Матякубов М.М. Интегрирование нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза с

дополнительным членом // Теор. и мат. физика. 2020. Т. 203. № 2. С. 192-204.

19. Яхшимуратов А.Б., Матёкубов М.М. Интегрирование нагруженного уравнения Кортевега-де Фри-

за в классе периодических функций // Изв. вузов. Математика. 2016. № 2. C. 87-92.

Самаркандский государственный университет,

Поступила в редакцию 28.08.2020 г.

Узбекистан,

После доработки 01.02.2022 г.

Хорезмское отделение института математики

Принята к публикации 09.03.2022 г.

им. В.И. Романовского, Узбекистан,

Ургенчский государственный университет,

Узбекистан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022