ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.395-406

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

И ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.968.74+517.928.4

АЛГОРИТМ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЁННОГО

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С БЫСТРО ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ НЕОДНОРОДНОСТЯМИ

Метод регуляризации Ломова обобщён на нелинейные сингулярно возмущённые интегро-

дифференциальные уравнения с быстро осциллирующей правой частью. Установлено влия-

ние ядра интегрального оператора, нелинейности и быстро осциллирующей части на асимп-

тотику решения начальной задачи для указанных уравнений. Ранее изучались сингулярно

возмущённые линейные системы такого типа и нелинейные без осциллирующей неоднород-

ности системы.

DOI: 10.31857/S0374064122030098, EDN: BYQXIU

Светлой памяти нашего дорогого учителя

Сергея Александровича Ломова (12.10.1922-12.06.1993)

в связи со 100-летием со дня его рождения

посвящается эта работа

Введение. Исследование различных прикладных задач, связанных со свойствами сред с

периодической структурой, приводит к изучению дифференциальных уравнений с быстро ос-

циллирующими неоднородностями. Уравнения такого типа часто встречаются, например, в

электрических системах, находящихся под воздействием высокочастотных внешних сил. На-

личие указанных сил создаёт серьёзные проблемы при численном интегрировании соответ-

ствующих дифференциальных уравнений. Поэтому к таким уравнениям обычно применяют-

ся асимптотические методы, из которых наиболее известными являются метод расщепления

Фещенко-Шкиля-Николенко [1-3] и метод регуляризации Ломова [4-14]. Однако оба эти ме-

тода были разработаны в основном для сингулярно возмущённых дифференциальных урав-

нений, не содержащих интегрального оператора. Переход от дифференциальных уравнений к

интегро-дифференциальным требует существенной перестройки алгоритма метода регуляри-

зации. Интегральный член порождает в решениях новые типы сингулярностей, отличающиеся

от уже известных, что усложняет разработку алгоритма метода регуляризации. Ранее изуча-

лись в основном линейные задачи такого типа.

В настоящей работе рассматривается нелинейная задача вида

∫t

L_εy(t,ε) ≡ ε

- A(t)y - K(t, s)y(s, ε) ds - εf(y, t) =

= h₁(t) + h₂(t)eiβ(t)/ε, y(0,ε) = y⁰, t ∈ [0,T],

(1)

где y = y(t, ε) - неизвестная функция, A(t), K(t, s) h_j (t), f(y, t), j = 1, 2, β(t) - заданные

скалярные функции ( β^′(t) - частота быстро осциллирующей неоднородности), y⁰ - постоян-

ная, ε > 0 - малый параметр, число T задано.

Задачу (1) будем рассматривать при выполнении следующих условий:

1) имеют место включения A(t) ∈ C^∞([0, T ], R), h₁(t), h₂(t), β(t) ∈ C^∞([0, T ], R), K(t, s) ∈

∑_N

∈ C^∞({0 ≤ s ≤ t ≤ T},R); функция f(y,t) =

f_k(t)y^k - многочлен по переменной y c

k=0

коэффициентами f_k(t) ∈ C^∞([0, T ], R), k = 0, N , N ∈ N;

2) при всех t ∈ [0, T ] справедливы неравенства A(t) < 0 и β^′(t) > 0.

395

396

БОБОДЖАНОВ и др.

Цель работы состоит в обобщении алгоритма метода регуляризации Ломова на задачи

вида (1) и в анализе сингулярностей в решении y(t, ε), вносимых нелинейностью f(y, t) и

быстро осциллирующей неоднородностью h₂(t)eiβ(t)/ε. Ради упрощения изучается скалярный

вариант этой задачи. Предполагается, что исследование её в многомерном случае будет пред-

метом наших последующих работ.

1. Пространство решений и регуляризация задачи (1). Для удобства обозначим

λ₁(t) ≡ A(t), λ₂(t) ≡ β^′(t), σ = σ(ε) = eiβ(0)/ε, введём регуляризирующие переменные (см. [4])

∫

ψ_j(t)

τ_j =

λ_j(θ)dθ ≡

j = 1,2,

(2)

и рассмотрим следующую расширенную задачу:

∫

∑

∂y

L_εy(t,τ,σ,ε) ≡ ε

λ_j(t)

- λ₁(t)y -

K(t, s)y(s, ψ(s)/ε, ε) ds -

∂t

∂τ_j

j=1



- εf(y, t) = h₁(t) + h₂(t)eτ2 σ,

y(t, τ, σ, ε)t=0

=y⁰

(3)

τ=0

σ=eiβ(0)/ε

для функции y = y(t, τ, σ, ε), где, согласно (2), τ = (τ₁, τ₂), ψ = (ψ₁, ψ₂). Очевидно, что если

y = y(t,τ,σ,ε) - решение задачи (3), то функция y = y(t,ψ(t)/ε,σ,ε) является точным решени-

ем задачи (1), поэтому задача (3) является расширенной по отношению к задаче (1). Однако

её нельзя считать полностью регуляризованной, так как в ней не проведена регуляризация

интегрального члена

(



) ∫ t



Jy≡J

y(t, τ, σ, ε)

= K(t,s)y(s,ψ(s)/ε,σ,ε)ds.

t=s

τ=ψ(s)/ε

Для его регуляризации введём класс M_ε, асимптотически инвариантный относительно дей-

ствия оператора J (см. [4, с. 62]).

Рассмотрим пространство U функций y(t, τ, σ), представимых суммами∗)

∑

y(t, τ, σ) = y₀(t, σ) +

y_j(t,σ)eτj +

y(m)(t)e(m,τ),

j=1

|m|=2

y_j(t,σ),y(m)(t) ∈ C^∞([0,T],C), j = 0,2, m = (m₁,m₂),

2 ≤ |m| ≡ m₁ + m₂ ≤ N_y.

(4)

Отметим, что в (4) элементы пространства U зависят от ограниченной по ε > 0 постоянной

σ = σ(ε), которая не влияет на разработку излагаемого ниже алгоритма, поэтому в дальней-

шем в записи элемента (4) этого пространства, ради краткости зависимость от σ опускаем.

Кроме того, подчеркнём, что степень многочлена по экспонентам в (4) зависит от элемента

y(t, τ) ∈ U.

Покажем, что класс M_ε = U|τ=ψ(t)/ε асимптотически инвариантен относительно действия

оператора J. Образ оператора J на элементе (4) имеет вид

∫t

∫

∑

∫_s

Jy(t,τ) = K(t,s)y₀(s)ds +

K(t, s)y_j (s)eε-1

λ_j(θ) dθ ds +

j=1 0

∗) Здесь и далее верхний индекс m в скобках в y(m) означает y(m1,m2) и является номером коэффициен-

та y(m). Не следует путать его с номером производной.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

АЛГОРИТМ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

397

∫

∑

∫_s

K(t, s)y(m)(s)eε-1

(m,λ(θ)) dθ ds, (m, λ(t)) ≡ m₁λ₁(t) + m₂λ₂(t).

|m|=2 0

Интегрируя по частям, будем иметь

∫

∫_s

K(t, s)y_j(s)

K(t, s)y_j(s)eε-1

λ_j(θ) dθ ds = ε

deε-1

λ_j(θ) dθ =

λ_j(s)

]

∫

^[K(t,t)y_j(t)

∫t

K(t, 0)y_j (0)

⁽ ∂ K(t,s)y_j(s)⁾

∫_s

=ε

eε-1

λ_j(θ) dθ -

-ε

eε-1

λ_j(θ) dθ ds =

λ_j(t)

λ_j(0)

∂s λ_j(s)

∑

(-1)ν+1[(I^νj (K(t, s)y_j(s)))|s=teτj - (I^νj (K(t, s)y_j(s)))|s=0]|τ=ψ

(5)

j (t)/ε,

ν=0

где

∂

I0j =

I^νj =

Iν-1j, j = 1,2, ν ≥ 1.

λ_j(s)

λ_j(s) ∂s

И аналогично, учитывая, что (m, λ(t)) = 0 для любого t ∈ [0, T ],

|m| ≥ 2, получаем

∫

∫_s

K(t, s)y(m)(s)

K(t, s)y(m)(s)eε-1

(m,λ(θ)) dθ ds =

deε-1

(m,λ(θ)) dθ =

(m, λ(s))

]

∫

^[K(t,t)y(m)(t)

∫t

K(t, 0)y(m)(0)

⁽ ∂ K(t,s)y(m)(s)⁾

∫_s

=ε

eε-1

(m,λ(θ)) dθ -

-ε

eε-1

(m,λ(θ)) dθ ds =

(m, λ(t))

(m, λ(0))

∂s (m,λ(s))

∑

(-1)ν+1[(I^νm(K(t, s)y(m)(s)))|s=te(m,τ) - (I^νm(K(t, s)y(m)(s)))s=0]|τ=ψ

(6)

j (t)/ε,

ν=0

где введены операторы

∂

I0m =

I^νm =

Iν-1m,

|m| ≥ 2, ν ≥ 1.

(m, λ(s))

(m, λ(s))) ∂s

Нетрудно показать (см., например, [15, c. 291-294]), что ряды (5) и (6) сходятся асимптоти-

чески при ε → +0 (равномерно по t ∈ [0, T ]). Это означает, что класс M_ε асимптотически

инвариантен (при ε → +0) относительно действия оператора J.

Введём операторы R_ν : U → U, действующие на каждый элемент y(t, τ) ∈ U вида (4) по

правилу

∫t

R₀y(t,τ) = K(t,s)y₀(s)ds,

(7₀)

]

∑

^[K(t,t)y_j(t)

K(t, 0)y_j (0)

^[K(t,t)y(m)(t)

K(t, 0)y(m)(0)

R₁y(t,τ) =

eτj -

e(m,τ)-

(7₁)

λ_j(t)

λ_j(0)

(m, λ(t))

(m, λ(0))

j=1

|m|

R_νy(t,τ) = (-1)ν+1[(I^νj(K(t,s)y_j(s)))|s=teτj - (I^νj(K(t,s)y_j(s)))|s=0] +

∑

+ (-1)ν+1

[(I^νm(K(t, s)y(m)(s)))|s=te(m,τ) - (I^νm(K(t, s)y(m)(s)))|s=0].

(7_ν )

|m|=2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

398

БОБОДЖАНОВ и др.

Пусть y(t, τ, ε) - произвольная непрерывная по (t, τ) ∈ [0, T ] × {τ : Re τ_j ≤ 0, j = 1, 2}

функция, имеющая асимптотическое разложение

∑

y(t, τ, ε) =

ε^ky_k(t,τ), y_k(t,τ) ∈ U,

(8)

k=0

сходящееся при ε → +0 (равномерно по (t, τ) ∈ [0, T ] × {τ : Re τ_j ≤ 0, j = 1, 2}). Тогда образ

J y(t, τ, ε) этой функции разлагается в асимптотический ряд

∑

J y(t, τ, ε) =

ε^kJy_k(t, τ) =

ε^r

R_r-sy_s(t,τ)|τ=ψ(t)/ε.

k=0

r=0

s=0

Это равенство является основанием для введения расширения

J оператора J на рядах

вида (8), именно, положим:

)

(_∞∑

∑

J y(t, τ, ε)

ε^ky_k

= ε^r R_r-sy_s(t,τ).

(9)

k=0

r=0

s=0

Хотя оператор

J определён формально, его полезность очевидна, так как на практике обычно

строят N -е приближение асимптотического решения задачи (2), в котором участвуют лишь

N -е частичные суммы ряда (8), имеющие не формальный, а содержательный смысл.

Теперь можно записать задачу, полностью регуляризованную по отношению к исходной

задаче (2):

∑

∂y

L_εy(t,τ,ε) ≡ ε

λ_j(t)

- A(t)y

Jy=

∂t

∂τ_j

j=1



= h₁(t) + h₂(t)eτ2σ,

y(t, τ, ε)t=0

= y⁰, t ∈ [0,T],

(10)

τ=0

σ=eiβ(0)/ε

где оператор

J задаётся равенством (9).

2. Итерационные задачи и их разрешимость в U. Подставляя ряд (8) в задачу (10) и

приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ε, получаем следующие итерационные

задачи:

∑

∂y₀

Ly₀(t,τ) ≡

λ_j(t)

- λ₁(t)y₀ - R₀y₀ = h₁(t) + h₂(t)eτ2σ, y₀(0,0) = y⁰;

(11₀)

∂τ_j

j=1

∂y₀

Ly₁(t,τ) = -

+ f(y₀,t) + R₁y₀, y₁(0,0) = 0;

(11₁)

∂t

∂y₁

∂f(y₀,t)

Ly₂(t,τ) = -

y₁ + R₁y₁ + R₂y₀, y₂(0,0) = 0;

(11₂)

∂t

∂y

···

∂yk-1

Ly_k(t,τ) = -

+ P_k(y₀,...,yk-1,t) + R_ky₀ + ... + R₁yk-1, y_k(0,0) = 0, k > 2,

(11_k)

∂t

где P_k(y₀, . . . , yk-1, t) - некоторый многочлен от y₀, . . . , yk-1, линейный относительно yk-1.

Запишем каждую из итерационных задач (11_k) в виде

∑

∂y

Ly(t,τ) ≡

λ_j(t)

- λ₁(t)y - R₀y = H(t,τ), y(0,0) = y_∗,

(12)

∂τ_j

j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

АЛГОРИТМ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

399

∑₂

∑NH

где H(t, τ) = H₀(t)+

H_j(t)eτj +

H(m)(t)e(m,τ) - известная функция из пространства

j=1

|m|=2

U, y_∗ ∈ C - постоянная, а оператор R₀ задаётся равенством (7₀).

Введём скалярное (при каждом t ∈ [0, T ]) произведение в пространстве U :

∑

〈z, w〉 ≡ z₀(t) +

z_j(t)eτj +

z(m)(t)e(m,τ),w₀(t) +

w_j(t)eτj +

j=1

|m|=2

j=1

|m|=2

∑

^def=(z₀(t), w₀(t)) +

(z_j (t), w_j (t)) +

(z(m)(t), w(m)(t)),

j=1

|m|=2

где через (·, ·) обозначено обычное скалярное произведение в C, т.е. (u(t), v(t)) = u(t) · v(t).

Докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1), 2) и правая часть H(t, τ) уравнения (12) при-

надлежит пространству U. Тогда для разрешимости этого уравнения в пространстве U

необходимо и достаточно, чтобы имело место тождество

〈H(t, τ), eτ1 〉 ≡ 0 для всех t ∈ [0, T ].

(13)

Доказательство. Будем искать решение уравнения (10) в виде элемента (4) пространст-

ва U (зависимость элемента (4) от σ по причине, объяснённой выше, опускаем):

∑

y(t, τ) = y₀(t) +

y_j(t)eτj +

y(m)(t)e(m,τ).

(14)

j=1

|m|=2

Подставляя представление (14) в уравнение (12), будем иметь

∑

[λ_j (t)I - λ₁(t)]y_j (t)eτj +

[(m, λ(t)) - λ₁(t)]e(m,τ) - λ₁(t)y₀(t) -

j=1

|m|=2

∫^t

∑

− K(t,s)y₀(s)ds = H₀(t) + H_j(t)eτj +

H(m)(t)e(m,τ).

j=1

|m|=2

Приравнивая здесь отдельно свободные члены и коэффициенты при одинаковых экспонентах,

получаем следующие уравнения:

∫t

- λ₁(t)y₀(t) - K(t,s)y₀(s)ds = H₀(t),

(14₀)

[λ_j (t)I - λ₁(t)]y_j (t) = H_j(t), j = 1, 2,

(14_j )

[(m, λ(t)) - λ₁(t)]y(m)(t) = H(m)(t),

2 ≤ |m| ≤ N_H.

(14_m)

Уравнение (140) в силу того, что λ1(t) = 0 для всех t ∈ [0, T ], и включения K(t, s) ∈

∈ C^∞({0 ≤ s ≤ t ≤ T},R) имеет единственное решение y₀(t) ∈ C^∞([0,T],C). Уравнение

(14₁) имеет вид 0 · y₁(t) = H₁(t). Оно разрешимо в пространстве C^∞([0, T ], C) тогда и только

тогда, когда H₁(t) ≡ 0, т.е. когда 〈H(t, τ), eτ1 〉 ≡ 0 для всех t ∈ [0, T ]. Уравнение (14₂) имеет

единственное решение y₂(t) = [λ₂(t) - λ₁(t)]-1H₂(t) в классе C^∞([0, T ], C).

Рассмотрим уравнение (14_m) более подробно:

[(m₁ - 1)λ₁(t) + im₂β^′(t)]y(m)(t) = H(m)(t),

2≤m₁ +m₂ ≤N_H.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

400

БОБОДЖАНОВ и др.

Покажем, что коэффициент (m₁ - 1)λ₁(t) + im₂β^′(t) отличен от нуля для любого t ∈ [0, T ],

2 ≤ m₁+m₂ ≤ N_H. Действительно, предположим противное, т.е. что (m₁-1)λ₁(t)+im₂β^′(t) =

= 0 при некотором t. Отделяя в этом равенстве мнимую и действительную части, получаем

(m₁ - 1)λ₁(t) = 0, m₂β^′(t) = 0.

Второе равенство этой системы возможно, лишь когда m₂ = 0. Но тогда m₁ ≥ 2, и первое

равенство не выполняется, так как λ₁(t) < 0. Значит, (m₁ -1)λ₁(t)+im₂β^′(t) = 0 для всех t ∈

∈ [0, T ], 2 ≤ m1+m2 ≤ NH. Отсюда следует, что каждое уравнение (14m) имеет единственное

решение и это решение записывается в виде

y(m)(t) = [(m,λ(t)) - λ₁(t)]-1H(m)(t),

2 ≤ |m| ≤ N_H.

Таким образом, для разрешимости уравнения (12) необходимо и достаточно выполнения

тождества (13). Теорема доказана.

Замечание. При выполнении условий теоремы 1 и условия (13) уравнение (12) имеет

следующее решение в пространстве U :

y(t, τ) = y₀(t) + α₁(t)eτ1 + [λ₂(t) - λ₁(t)]-1H₂(t)eτ2 +

∑

[(m, λ(t)) - λ₁(t)]-1H(m)(t)e(m,τ),

(15)

|m|=2

где α₁(t) ∈ C^∞([0, T ], C) - произвольная функция.

3. Однозначная разрешимость общей итерационной задачи в пространстве U.

Теорема об остаточном члене. Как видно из (15), решение уравнения (12) определяется

неоднозначно. Однако если его подчинить дополнительным условиям:

∂y

y(0, 0) = y_∗,

+ R₁y + Q(t,τ),eτ1

≡0

для всех t ∈ [0, T ],

(16)

∂t

∑₂

∑NQ

где Q(t, τ) = Q₀(t) +

Q_i(t)eτj +

Q(m)(t)e(m,τ) - известная функция пространства

j=1

|m|=2

U, а y_∗ - постоянная из C, то задача (12) будет однозначно разрешимой в пространстве U.

Заметим, что условия (16) являются естественными для всей серии итерационных задач (11_k)

и возникают как условия разрешимости (13) при переходе от задачи (11_k) к задаче (11k+1).

Имеет место следующий результат.

Теорема 2. Пусть выполнены условия 1) и 2), правая часть H(t, τ) уравнения (12) при-

надлежит пространству U и удовлетворяет условию ортогональности (13). Тогда уравне-

ние (12) при дополнительных условиях (16) однозначно разрешимо в U.

Доказательство. При выполнении условия (13) уравнение (12) имеет решение (15) в

пространстве U, где α₁(t) ∈ C^∞([0, T ], C) - пока произвольная функция. Подчиним реше-

ние (15) первому условию (16), т.е. потребуем, чтобы y(0, 0) = y_∗. Получим, что α₁(0) = y^∗,

где обозначено

∑

y^∗ = y_∗ + λ-11(0)H₀(0) - [λ₂(0) - λ₁(0)]-1H₂(0) -

[(m, λ(0)) - λ₁(0)]-1H(m)(0).

(17)

|m|=2

Подчиним теперь решение (15) второму условию (16). Предварительно вычислим∗) выра-

жение

(

)•

∂y₀

H₂(t)

+ R₁y₀ + Q(t,τ) = - y₀(t) - α₁(t)eτ1 -

eτ2 -

∂t

λ₂(t) - λ₁(t)

∗) Здесь и далее жирная точка справа над скобкой означает дифференцирование по t выражения, стоящего

в этих скобках.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

АЛГОРИТМ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

401

(

∑

)•

H(m)(t)

K(t, t)α₁(t)

K(t, 0)α₁(0)

e(m,τ) +

eτ1 -

(m, λ(t)) - λ₁(t)

λ₁(t)

λ₁(0)

|m|=2

N_Q

∑

K(t, t)H₂(t)

K(t, 0)H₂(0)

eτ2 -

+ Q₀(t) + Q_i(t)eτj +

Q(m)(t)e(m,τ).

λ₁(t)[λ₂(t) - λ₁(t)]

λ₁(0)[λ₂(0) - λ₁(0)]

j=1

|m|=2

Поэтому второе условие (16) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению

K(t, t)α₁(t)

- ˙α₁(t) +

= Q₁(t).

λ₁(t)

Присоединяя к нему начальное условие (17), однозначно найдём функцию

(∫t

)(

∫

( ∫x

)

K(s, s)

K(θ, θ)

α₁(t) = exp

ds y^∗ + exp -

dθ Q₁(x)dx

λ₁(s)

λ₁(θ)

а значит, построим решение (15) задачи (12) в пространстве U однозначным образом. Теорема

доказана.

Применяя теоремы 1 и 2 к итерационным задачам (11_k), найдём однозначно их решения в

∑_n

пространстве U и построим ряд (8). Составим частичную сумму S_n(t, τ, ε) =

ε^ky_k(t,τ)

k=0

этого ряда и обозначим её сужение при τ = ψ(t)/ε через y_εn(t). Имеет место

Лемма. Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда функция y_εn(t) удовлетворяет задаче

(1) с точностью до членов, содержащих εn+1, т.е.

∫t

dy_εn(t)

- A(t)y_εn(t) - K(t, s)y_εn(s, ε) ds - εf(y_εn, t) =

= h₁(t) + h₂(t)eiβ(t)/ε + εn+1F(t,ε), y_εn(0,ε) = y⁰, t ∈ [0,T],

где ∥F (t, ε)∥C[0,T] ≤ F , F > 0 - постоянная, не зависящая от ε ∈ (0, ε₀], ε₀ > 0 достаточно

мало.

Доказательство. Обозначим через L₀ следующий оператор:

∑

∂

L₀ ≡

λ_j(t)

- A(t).

∂τ_j

j=1

Подставив y₀(t, τ), . . . , y_n(t, τ) в первые n уравнений системы (11k), получим тождества.

Умножим их на 1, ε, . . . , εⁿ соответственно и сложим. В результате получим

L₀(y₀ + εy₁ + ··· + εⁿy_n) - R₀(y₀ + εy₁ + ··· + εⁿy_n) ≡ h₁(t) + h₂(t)eτ2 σ -

)

⁽∂y₀

∂y₁

∂yn-1

-ε

+ε

+···+εn-1

+ εR₁y₀ + ε²(R₁y₁ + R₂y₀) +

∂t

[

)

]

⁽∂f(y₀,t)

+ εⁿ(R₁yn-1 + ··· + R_ny₀) + εf(y₀,t) + ε²

y₁

+ ··· + ε^NP_n(y₀,...,yn-1,t)

∂y

Произведём здесь сужение при τ = ψ(t)/ε; при этом учтём, что выполняются тождества

∑

eτ2 σ|τ=ψ(t)/ε ≡ eiβ(t)/ε,

z(m)(t)e(m,τ)|τ=ψ(t)/ε ≡

z(m)(t)e(m,ψ(t)/ε),

0≤|m|≤k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

402

БОБОДЖАНОВ и др.

dv(t, ψ(t)/ε, ε)

∂v(t,ψ(t)/ε,ε)

L₀v(t,τ,ε)|τ=ψ(t)/ε ≡ ε

- A(t)v(t, ψ(t)/ε, ε) - ε

∂t

Будем иметь

∑

dy_εn

∂y_n(t,ψ)

- A(t)y_εn(t) = εn+1

+ h₁(t) + h₂(t)eiβ(t)/ε +

ε^r

R_r-sy_s(t,ψ) +

∂t

r=0

s=0

[

]

∂f(y₀,t)

+ ε f(y₀,t) + ε

y₁ + ... + εn-1P_n(y₀,... ,yn-1,t) ,

∂y

или

∫t

dy_εn

∂y_n(t,ψ)

= A(t)y_εn(t) + K(t, s)y_εn(s) ds + h₁(t) + h₂(t)eiβ(t)/ε + εn+1

∂t

[∫ t

]

∑

+ εf(y_εn(t), t) -

K(t, s)y_εn(s) ds -

ε^r

R_r-sy_s(t,ψ)

r=0

s=0

[

]

∂f(y₀,t)

− ε f(y_εn(t),t) - f(y₀,t) -

y₁ - ... - εn-1P_n(y₀,... ,yn-1,t) .

∂y

Согласно определению операторов R_k выражение в первой квадратной скобке последнего

тождества представляется в виде εn+1M₁(t, ε), а по построению задач (11₀), . . . , (11_n) вы-

ражение во второй квадратной скобке - в виде εn+1M₂(t, ε), где ∥Mi∥C[0,T] ≤ const (для

всех ε ∈ (0, ε₀]), i = 1, 2. Обозначая F (t, ε) ≡ -M₁(t, ε) - M₂(t, ε) + ∂y_N (t, ψ)/∂t, получаем

утверждение леммы.

При обосновании асимптотической сходимости формального решения y_εn(t) к точному

y(t, ε) используется следующее утверждение о разрешимости операторного уравнения P_ε(u) =

= 0 (см., например, [16, с. 187-188]).

Теорема (Срубщик-Юдович). Пусть оператор P_ε действует из банахова пространства

B₁ в банахово пространство B₂ и имеет в некотором шаре {∥u- u₀∥ ≤ r} ⊂ B₁ первые две

непрерывные производные. Пусть также существует оператор Γ_ε ≡ [P^′ε(u₀)]-1 и выполнены

условия

1a) ∥Γ_ε∥ ≤ c₁ε^-k;

2a) ∥P_ε(u₀)∥ ≤ c₂ε^m (m > 2k);

3a) ∥P^′′ε(u)∥ ≤ c₃.

Тогда уравнение P_ε(u) = 0 имеет при достаточно малых ε > 0 (ε ∈ (0, ε₀]) решение u_∗ ∈

∈ B₁, удовлетворяющее неравенству ∥u_∗ - u₀∥B1 ≤ cε^m-k. Здесь c, c₁, c₂, c₃ - некоторые

положительные постоянные, не зависящие от ε ∈ (0, ε₀].

Применяя эту теорему к уравнению

∫t

P_ε(u) ≡ ε

- A(t)u - K(t, s)u(s, ε) ds -

∫t

- εf(u + y⁰, ε) - A(t)y⁰ - K(t, s)y⁰ ds - h₁(t) - h₂(t)eiβ(t)/ε = 0,

приходим к следующему результату (см. [16, с. 190-192]).

Теорема 3. Пусть для уравнения (1) выполнены условия 1) и 2). Тогда при ε ∈ (0, ε₀]

(ε₀ > 0 достаточно мало) задача (1) имеет единственное решение y(t, ε) ∈ C¹([0, T ], C); при

этом имеет место оценка

∥y(t, ε) - y_εn(t)∥C[0,T] ≤ c_nεn+1, n = 0, 1, 2, . . . ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

АЛГОРИТМ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

403

где y_εn(t)- сужение (при τ = ψ(t)/ε) n-й частичной суммы ряда (8) (с коэффициентами

y_k(t,τ) ∈ U, удовлетворяющими итерационным задачам (11k)), а постоянная cn > 0 не

зависит от ε при ε ∈ (0, ε₀].

4. Построение решения первой итерационной задачи. Используя теорему 1, найдём

решение первой итерационной задачи (110). Так как правая часть h1(t) + h2(t)eτ2 σ урав-

нения (14₀) удовлетворяют условию (13), то это уравнение имеет (согласно (15)) решение в

пространстве U вида

y₀(t,τ) = y⁽⁰⁾⁰(t) + α⁽⁰⁾¹(t)eτ1 + y₂(t)eτ2 ,

(18)

где α⁽⁰⁾¹(t) ∈ C^∞([0, T ], C) - пока произвольная функция, y⁽⁰⁾⁰(t) - решение интегрального

∫t

уравнения -λ₁(t)y⁽⁰⁾⁰(t) -

K(t, s)y⁽⁰⁾⁰(s) ds = h₁(t), y₂(t) = [λ₂(t) - λ₁(t)]-1h₂(t)σ. Подчиняя

семейство (18) начальному условию y₀(0, 0) = y⁰, будем иметь y⁽⁰⁾⁰(0) + α₁(0) + y⁽⁰⁾²(0) = y⁰, т.е.

α₁(0) = y⁰ + λ-11(0)h₁(0) - [λ₂(0) - λ₁(0)]-1h₂(0)σ.

(19)

Для полного вычисления функции α⁽⁰⁾¹(t) перейдём к следующей итерационной задаче (11₁).

Подставляя в неё решение (18) уравнения (14₀), получаем следующее уравнение:

Ly₁(t,τ) = -

y⁽⁰⁾⁰(t) - α⁽⁰⁾¹(t)eτ1 - y₂(t)eτ2 +

+ f(y⁽⁰⁾⁰(t) + α⁽⁰⁾¹(t)eτ1 + y₂(t)eτ2,t) + R₁(y⁽⁰⁾⁰(t) + α⁽⁰⁾¹(t)eτ1 + y₂(t)eτ2).

Выделяя в правой части этого уравнения члены с экспонентой eτ1 и подчиняя их условию

ортогональности (13), придём к уравнению

(0)

)

⁽∂f(y₀

(t), t)

K(t, t)

- ˙α⁽⁰⁾¹(t) +

α⁽⁰⁾¹(t) = 0,

∂y

λ₁(t)

присоединяя к которому начальное условие (19), найдём α⁽⁰⁾¹(t):

(∫t

)

∂f(y⁽⁰⁾⁰(θ),θ)

K(θ, θ)

α⁽⁰⁾¹(t) = (y⁰ + λ-11(0)h₁(0) - [λ₂(0) - λ₁(0)]-1h₂(0)σ)exp

dθ,

∂y

λ₁(θ)

а значит, решение (18) задачи (11₀) в пространстве U находится однозначно. При этом глав-

ный член асимптотики имеет следующий вид:

(

))

yε0(t) = y⁽⁰⁾⁰(t) + y⁰ + λ-11(0)h₁(0) - [λ₂(0) - λ₁(0)]-1h₂(0)exp

β(0)

(∫t

)

∫

)

∂f(y⁽⁰⁾⁰(θ),θ)

K(θ, θ)

⁽1

× exp

dθ exp

λ₁(θ)dθ

∂y

λ₁(θ)

(

)

+ [λ₂(t) - λ₁(t)]-1h₂(t) exp

β(t)

(20)

Проанализируем его.

Из выражения (20) для yε0(t) видно, что на построение главного члена асимптотики реше-

ния задачи (1) существенно влияют быстро осциллирующая неоднородность h₂(t)ei/εβ(t), ядро

K(t, s) интегрального оператора и нелинейность f(y, t). Точное решение y(t, ε) задачи (1),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

8^∗

404

БОБОДЖАНОВ и др.

выходя в момент t = 0 из точки y = y⁰, совершает при t > 0 быстрые осцилляции около

решения y⁽⁰⁾⁰(t) интегрального уравнения

∫t

- λ₁(t)y⁽⁰⁾⁰(t) - K(t,s)y⁽⁰⁾⁰(s)ds = h₁(t),

не стремясь ни к какому пределу при ε → +0. Нетрудно видеть, что это уравнение получено

из вырожденного (ε = 0) по отношению к (1) уравнения после отбрасывания в (1) быстро

осциллирующей неоднородности. Если h₂(t) ≡ 0, т.е. быстро осциллирующая неоднородность

отсутствует, то решение y(t, ε) задачи (1), выходя в момент t = 0 из точки y = y⁰, быстро

(с экспоненциальной скоростью) стремится при ε → +0 к решению вырожденного уравнения

∫t

-A(t)y -

K(t, s)y(s) ds = h₁(t).

5. Дополнение: краткий очерк развития метода регуляризации Ломова для син-

гулярно возмущённых интегро-дифференциальных уравнений. В конце пятидеся-

тых - начале шестидесятых годов прошлого столетия С.А. Ломов, изучая модельное уравнение

Лайтхилла, приходит к идее регуляризации сингулярных возмущений с помощью перехода в

пространство большей размерности. Эта идея глубоко развивается им в последующих рабо-

тах и приводит к созданию метода регуляризации сингулярных возмущений, наиболее полно

изложенному в его монографии [4]. Метод регуляризации позволяет строить асимптотические

решения сингулярно возмущённых задач в виде рядов по степеням малого параметра, сумма

которых при некоторых дополнительных ограничениях на исходные данные задачи псевдо-

аналитична. Последнее означает, что регуляризованные ряды сходятся не только асимпто-

тически, но и в обычном смысле в некоторой кольцевой окрестности 0 < |ε| < ε0 точки

ε = 0. В теории дифференциальных уравнений сформировалось новое направление - ана-

литическая теория сингулярных возмущений. Результаты С.А. Ломова по псевдоаналитично-

сти были обобщены на нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения

с частными производными и уравнения в банаховом пространстве его учениками В.Ф. Сафо-

новым, В.И. Прохоренко, А.А. Бободжановым, В.И. Качаловым. В настоящее время аналити-

ческая теория сингулярных возмущений благодаря исследованиям В.И. Качалова находится

в весьма удовлетворительном состоянии.

Однако оставалась практически не изученной проблема регуляризации сингулярно возму-

щённых интегро-дифференциальных уравнений. Первое применение метода регуляризации к

таким уравнениям дано в работе С.А. Ломова (1970 г.) и подробно изложено в монографии [4,

гл. 4]. В этой работе рассматривается сингулярно возмущённая система типа Вольтерры

∫t

= A(t)y + K(t, s)y(s, ε) ds + h(t), y(0, ε) = y⁰, t ∈ [0, T ],

(D.1)

в условиях стабильности спектра {λ_j (t)} оператора A(t):

λ_i(t) = 0, λ_j(t) = λ_i(t), i = j, i,j = 1,n, для всех t ∈ [0,T]

(D.2)

(в отличие от работ школы Васильевой-Бутузова-Иманалиева здесь предполагается, что вы-

полняются неравенства Re λ_j (t) ≤ 0, т.е., в частности, допускаются и чисто мнимые точки

спектра). Основная трудность, которую необходимо преодолеть в уравнениях типа (D.1), за-

ключается в регуляризации интегрального оператора

∫^t

Jy = K(t,s)y(s,ε)ds.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

АЛГОРИТМ МЕТОДА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

405

Если дифференциальная часть задачи (D.1) допускает довольно очевидное расширение

∂y

∑

∂y

λ_j(t)

- A(t)y

∂t

∂τ_j

j=1

при введении регуляризирующих переменных

∫

ψ(t)

τ_j =

λ_j(θ)dθ ≡

j = 1,n,

(D.3)

то интегральный оператор при указанных переменных принимает вид

∫t

(

)

ψ(s)

Jy = K(t,s)y s,

,ε ds,

и его расширение по независимым переменным τ_j становится проблематичным.

Решение этой проблемы дал сам С.А. Ломов. Для простейшего случая интегро-дифферен-

циальных уравнений типа (D.1) он предложил ввести пространство, инвариантное относи-

тельно действия интегрального оператора J, которое получается естественным образом из

пространства безрезонасных решений интегрированием по частям его элементов (см. [4]). Эта

идея принципиальной важности позволила сдвинуть с “мертвой точки” процесс обобщения на

интегро-дифференциальные системы метода регуляризации. Тем не менее в течение десяти

лет (1979-1989 гг.) не вышло ни одной работы, посвящённой этой тематике. И только в 1990 г.

вследствие изучения связи методом регуляризации Ломова и методом эквивалентного диффе-

ренциального соответствия Ларионова [17] интерес к интегро-дифференциальным уравнениям

возобновился. В методе Ларионова рассматриваются интегро-дифференциальные уравнения

∫t

)

⁽t

= Ay + K

y(s, ε) ds + h(t), y(0, ε) = y⁰, t ∈ [0, T ],

с постоянной матрицей A и с быстро изменяющимися ядрами типа K(t/ε - s/ε) ≡ e-ν(t/ε-s/ε)

(ν = const). Такие уравнения часто встречаются в приложениях (см., например, [17]). Однако

для них метод регуляризации разработан не был.

При обобщении идеи С.А. Ломова на интегро-дифференциальные уравнения с быстро изме-

няющимися ядрами В.Ф. Сафонов предложил рассмотреть системы сингулярно возмущённых

интегро-дифференциальных уравнений вида

∫^t

∫t

= A(t)y + eε-1

μ(θ) dθK(t, s)y(s, ε) ds + h(t),

y(0, ε) = y⁰, t ∈ [0, T ], ε > 0,

(D.4)

с переменной матрицей A(t) и со скалярной функцией μ(t), называемой спектральным зна-

чением ядра интегрального оператора. В работе [18] рассмотрен случай нестабильности спек-

трального значения (μ(t) = t^rl(t), l(t) < 0) при условиях (D.2) на спектр матрицы A(t) и

показано, что в регуляризации задачи (D.4) участвуют не только регуляризирующие функ-

ции (D.3), но и спецфункции

∫

∫t

∫_s

s^k

μ(θ) dθ

σ_k = eε-1

eε-1

ds (k = 0, r - 1),

(D.5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

406

БОБОДЖАНОВ и др.

индуцируемые точкой t = 0 нестабильности спектрального значения μ(t) ядра интегрального

оператора, а также сама функция μ(t). Отсюда вытекает, что если μ(t) < 0 (для всех t ∈

[0, T ]), то для регуляризации задачи (D.4), кроме регуляризирующих функций (D.3), нужно

ввести регуляризирующие переменные (D.5) и ещё одну дополнительную переменную τn+1 =

∫t

=ε-1

μ(θ) dθ.

Перспектива дальнейших исследований связана с рассмотрением интегро-дифференциаль-

ных уравнений в частных производных, нелинейных интегро-дифференциальных уравнений

типа Вольтерры и Фредгольма, а также нелинейных интегро-дифференциальных уравнений

с быстро осциллирующими коэффициентами и неоднородностями. К последнему типу урав-

нений относится уравнение в рассмотренной в работе задаче (1), а также уравнения задач в

работах [10-12, 14].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шкиль Н.И. Асимптотические методы в дифференциальных уравнениях. Киев, 1971.

2. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Николенко Л.Д. Асимптотические методы в теории линейных диффе-

ренциальных уравнений. Киев, 1966.

3. Далецкий Ю.Л. Асимптотический метод для некоторых дифференциальных уравнений с осцилли-

рующими коэффициентами // Докл. АН СССР. 1962. T. 143. № 5. C. 1026-1029.

4. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.

5. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.

6. Рыжих А.Д. Асимптотическое решение линейного дифференциального уравнения с быстро осцил-

лирующим коэффициентом // Тр. Моск. энерг. ин-та. 1978. Т. 357. C. 92-94.

7. Kalimbetov B.T., Temirbekov M.A., Khabibullaev Zh.O. Asymptotic solution of singular perturbed

problems with an instable spectrum of the limiting operator// Abstr. and Appl. Analysis.

2012.

Art. 120192.

8. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F. Asymptotic analysis of integro-differential systems with an unstable

spectral value of the integral operator’s kernel // Comput. Math. and Math. Phys. 2007. V. 47. № 1.

P. 65-79.

9. Bobodzhanov A.A., Safonov V.F., Kachalov V.I. Asymptotic and pseudoholomorphic solutions of

singularly perturbed differential and integral equations in the Lomov’s regularization method // Axioms.

2019. V. 8. № 27. doi:10.3390/axioms8010027.

10. Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Integro-differentiated singularly perturbed equations with fast oscillating

coefficients // Bull. of KarSU. Ser. Math. 2019. V. 94. № 2. P. 33-47.

11. Bobodzhanov A.A., Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Integro-differential problem about parametric

amplification and its asymptotical integration // Int. J. Appl. Math. 2020. V. 33. № 2. P. 331-353.

12. Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Regularization method for singularly perturbed integro-differential

equations with rapidly oscillating coefficients and with rapidly changing kernels // Axioms. 2020. V. 9.

№ 4 (131). https://doi.org/10.3390/axioms9040131.

13. Kalimbetov B.T., Temirbekov A.N., Tulep A.S. Asymptotic solutions of scalar integro-diferential

equations with partial derivatives and with fast oscillating coefcients // European J. Pure Appl. Math.

2020. V. 13. № 2. P. 287-302.

14. Калимбетов Б.Т., Сафонов В.Ф., Туйчиев О.Д. Сингулярно возмущенные интегральные уравнения

с быстро осциллирующими коэффициентами // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. C. 2068-2083.

15. Сафонов В.Ф., Бободжанов А.А. Курс высшей математики. Сингулярно возмущенные задачи и

метод регуляризации. М., 2012.

16. Бободжанов А.А., Сафонов В.Ф. Сингулярно возмущенные интегральные и интегродифференци-

альные уравнения с быстро изменяющимися ядрами и уравнения с диагональным вырождением

ядра. М., 2017.

17. Ларионов Г.С. Колебания осциллятора со слабо нелинейной упруго-наследственной характеристи-

кой // Изв. АН УзССР. Механика твердого тела. 1972. Т. 1. C. 64-68.

18. Сафонов В.Ф., Калимбетов Б.Т. Метод регуляризации для систем с нестабильным значением ядра

интегрального оператора // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31. № 4. С. 696-706.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 12.10.2021 г.

“Московский энергетический институт”,

После доработки 23.12.2021 г.

Международный казахско-турецкий университет

Принята к публикации 09.03.2022 г.

им. Х.А. Ясави, г. Туркестан, Казахстан

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022