ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.407-415
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ
УДК 517.962.2+517.521
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ: УСТОЙЧИВОСТЬ
ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ
© 2022 г. А. О. Игнатьев
Для общей системы разностных (дискретных) уравнений с помощью метода функций Ля-
пунова получен ряд достаточных условий устойчивости и асимптотической устойчивости
относительно части переменных её решения.
DOI: 10.31857/S0374064122030104, EDN: BYTWWZ
Введение. Математическая теория устойчивости занимает важное место в теории обык-
новенных дифференциальных уравнений. Начиная с середины двадцатого века, активно раз-
вивается теория устойчивости относительно части переменных. К настоящему времени опуб-
ликован ряд монографий [1-6] и сотни работ по этой тематике, из которых можно выделить
[7-13]. В статьях [14-16] исследуется устойчивость относительно части переменных решений
функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием, а в [17-19] - устойчивость
относительно части переменных в системах стохастических дифференциальных уравнений.
Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости решений разностных систем от-
носительно части переменных. Это направление исследования представляется интересным по
двум причинам: во-первых, ряд явлений и процессов в природе описываются разностными
уравнениями; во-вторых, при использовании вычислительных методов решений систем обык-
новенных дифференциальных уравнений их сводят к разностным уравнениям. Отметим, что
в работе [20] предлагается способ построения разностных схем для одного класса систем обык-
новенных дифференциальных уравнений, который обеспечивает согласованность между диф-
ференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости нулевого решения.
Важным направлением качественного анализа дискретных (разностных) уравнений явля-
ется исследование устойчивости их решений. Это направление отражено во многих научных
публикациях (см., например, [21-24]). Одним из наиболее эффективных методов изучения
устойчивости дифференциальных и разностных уравнений является метод функций Ляпуно-
ва [25, 26]. Настоящая статья посвящена применению этого метода к изучению устойчивости
решений систем разностных уравнений относительно части переменных.
1. Основные обозначения и определения. Следуя [27], обозначим: N = {1,2,3,...} -
множество натуральных чисел, N0 = {0}
⋃ N, Nq = {n ∈ N0 : n ≥ q}, ∥ · ∥ - евклидова норма
вектора в Rk+m, Br = {z ∈ Rk+m : ∥z∥ ≤ r} - замкнутый шар радиуса r с центром в нуле
в Rk+m.
Рассмотрим систему разностных уравнений
z(n + 1) = Z(n, z(n)), Z(n, 0) ≡ 0,
(1)
где n ∈ N0 и z, Z ∈ Rk+m. Далее предполагаем, что при каждом фиксированном n ∈ N0
функция Z(n, ·) : Rk+m → Rk+m является непрерывной. Для фиксированных n ∈ N0 и z0 ∈
∈ Rk+m через z(n,n0,z0) обозначим решение системы (1), совпадающее с вектором z0 при
n = n0. Исследуем устойчивость нулевого решения
z(n) = 0
(2)
(
)
x
системы (1) относительно первых k его компонент. Примем обозначения z =
∈Rk+m,
y
x = (x1,...,xk)т = (z1,...,zk)т ∈ Rk, y = (y1,...,ym)т = (zk+1,...,zk+m)т ∈ Rm.
407
408
ИГНАТЬЕВ
В соответствии с принятым обозначением любое решение z(n, n0, z0) системы (1) представля-
(
)
x(n, n0, z0)
ется в виде z(n, n0, z0) =
. По аналогии с обыкновенными дифференциальными
y(n, n0, z0)
уравнениями [28, гл. 1] введём следующие определения.
Определение 1. Решение (2) системы (1) называется устойчивым относительно x (или
x-устойчивым), если для любых ε > 0 и n0 ∈ N0 найдётся δ = δ(ε, n0) > 0 такое, что для
любого z0 ∈ Bδ имеет место неравенство ∥x(n, n0, z0)∥ < ε при всех n ∈ Nn0 .
Определение 2. Решение (2) системы (1) называется равномерно устойчивым относи-
тельно x (или равномерно x-устойчивым), если в определении 1 для каждого ε > 0 можно
выбрать δ = δ(ε) не зависящим от n0.
Следующее определение является вспомогательным для введения в определении 4 различ-
ных модификаций понятия устойчивости.
Определение 3. Решение (2) системы (1) называется:
притягивающим относительно x (x-притягивающим), если для каждого n0 ∈ N0 су-
ществует η = η(n0) > 0 и для любых ε > 0 и z0 ∈ Bη найдётся σ = σ(ε, n0, z0) ∈ N такое,
что ∥x(n, n0, z0, )∥ < ε для всех n ≥ n0 + σ;
эквипритягивающим относительно x (или x-эквипритягивающим), если для каждого
n0 ∈ N0 существует η = η(n0) > 0 и для любого ε > 0 найдётся σ = σ(ε,n0) ∈ N такие, что
∥x(n, n0, z0)∥ < ε для всех z0 ∈ Bη и n ≥ n0 + σ;
равномерно x-притягивающим, если для некоторого η > 0 и любого ε > 0 существует
σ = σ(ε) ∈ N такое, что ∥x(n,n0,z0)∥ < ε для всех z0 ∈ Bη, n0 ∈ N0 и n ≥ n0 + σ;
равномерно глобально x-притягивающим, если для любых η > 0 и ε > 0 найдётся σ =
= σ(ε,η) ∈ N такое, что ∥x(n,n0,z0)∥ < ε для всех z0 ∈ Bη, n0 ∈ N0 и n ≥ n0 + σ;
слабо x-притягивающим, если для каждого n0 ∈ N0 существует η = η(n0) > 0 такое,
что для любого z0 ∈ Bη найдётся возрастающая к +∞ последовательность натуральных
чисел {ni}, своя, вообще говоря, для каждых n0 и z0, вдоль которой ∥x(ni, n0, z0)∥ → 0 при
i → +∞;
lp-притягивающим относительно x, где p > 0 - некоторое число, если для любого n0 ∈ N0
найдётся такое η = η(n0), что для всех z0 ∈ Bη выполняется соотношение
∑
∥x(j, n0, z0)∥p < +∞.
j=n0
Иными словами, решение z(n) = 0 системы (1) является:
x-притягивающим, если
lim
x(n, n0, z0) = 0 при всех n0 ∈ N, z0 ∈ Bη(n0);
(3)
n→+∞
x-эквипритягивающим, если предельное соотношение (3) выполняется равномерно отно-
сительно z0;
равномерно x-притягивающим, если предельное соотношение (3) выполняется равномерно
относительно z0 и n0;
слабо x-притягивающим, если
lim inf
∥x(n, n0, z0)∥ = 0 при всех n0 ∈ N, z0 ∈ Bη(n0).
n→+∞
Областью x-притяжения решения z(n) = 0 системы (1) в дискретный момент времени
n0 ∈ N называется множество
A(n0) = {z0 ∈ Rk+m : ∥x(n, n0, z0)∥ → 0 при n → +∞}.
Если множество A(n0) не зависит от n0, то будем говорить, что область x-притяжения рав-
номерная. Если для любого n0 имеет место равенство A(n0) = Rk+m, то говорят, что начало
глобально притягивающее относительно x. Если же для любых η > 0, n0 ∈ N0 и z0 ∈
∈ Bη предельное соотношение (3) выполняется равномерно по n0 и z0, то начало называется
равномерно глобально x-притягивающим.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
409
Определение 4. Решение (2) системы (1) называется:
асимптотически устойчивым относительно x (или асимптотически x-устойчивым),
если оно x-устойчиво и x-притягивающее;
эквиасимптотически устойчивым относительно x (или эквиасимптотически x-устой-
чивым), если оно x-устойчиво и x-эквипритягивающее;
равномерно асимптотически устойчивым относительно x (или равномерно асимптоти-
чески x-устойчивым), если оно равномерно x-устойчиво и равномерно x-притягивающее;
равномерно глобально асимптотически устойчивым относительно x (или равномерно
глобально асимптотически x-устойчивым), если оно равномерно x-устойчиво и равномерно
глобально x-притягивающее;
слабо асимптотически x-устойчивым, если оно x-устойчиво и слабо x-притягивающее;
lp-устойчивым относительно x, если оно x-устойчиво и lp-притягивающее относитель-
но x.
Определение 5. Будем говорить, что функция a(r) принадлежит классу K и записы-
вать как a ∈ K, если она определена на некотором отрезке [0, H] или полуинтервале [0, +∞),
является непрерывной и строго возрастающей и такой, что a(0) = 0.
Подкласс класса K, состоящий из функций возрастающих к +∞, обозначим через K∞.
2. Исследование устойчивости относительно части переменных с помощью
функций Ляпунова.
Определение 6. Вариацией ΔV функции V (n, z) в силу системы разностных уравнений
(1) назовём выражение
ΔV (n,z) = V (n + 1,Z(n,z)) - V (n,z).
Теорема 1. Если для системы разностных уравнений (1) существует функция V (n, z),
которая определена и непрерывна по z на множестве
n∈N0,
∥x∥ ≤ H,
∥y∥ < +∞
(4)
и удовлетворяет условиям
V (n, 0) ≡ 0, V (n, z) ≥ a(∥x∥), a ∈ K, ΔV = V (n + 1, Z(n, z)) - V (n, z) ≤ 0
(
)
x
для значений n и z =
, удовлетворяющих условиям (4), то решение (2) системы (1)
y
устойчиво относительно x.
Более того, если для некоторой функции b ∈ K и любых n, z из области (4) справедливо
условие
V (n, z) ≤ b(∥z∥),
(5)
то нулевое решение системы (1) равномерно устойчиво относительно x.
Доказательство. Пусть заданы n0 ∈ N0 и ε > 0. Так как функция V непрерывна по
z и V (n0,0) = 0, то найдётся δ = δ(n0,ε) > 0 такое, что V (n0,z0) < a(ε) при всех z0 ∈ Bδ.
Для любых n ∈ Nn0, z0 ∈ Bδ получаем
a(∥x(n, n0, z0)∥) ≤ V (n, z(n, n0, z0)) ≤ V (n - 1, z(n - 1, z(n - 1, n0, z0))) ≤ . . . ≤ V (n0, z0) < a(ε).
Но так как a ∈ K, то из полученных неравенств следует, что ∥x(n, n0, z0)∥ < ε. Устойчивость
решения (2) относительно x доказана.
При выполнении условия (5) значение δ можно выбрать не зависящим от n0. Действи-
тельно, полагая δ = b-1(a(ε)), где b-1 - функция, обратная по отношению к функции b, при
z0 ∈ Bδ получаем
a(∥x(n, n0, z0)∥) ≤ V (n, z(n, n0, z0)) ≤ V (n0, zo) ≤ b(∥z0∥) < b(b-1(a(ε))) = a(ε),
откуда вытекает неравенство ∥x(n, n0, z0)∥ < ε при n ≥ n0. Теорема доказана.
Замечание. Доказанная теорема представляет собой аналог теоремы Румянцева [7] для
обыкновенных дифференциальных уравнений.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
410
ИГНАТЬЕВ
Пример 1. Рассмотрим систему разностных уравнений
x(n + 1) = y1(n) - y2(n), y1(n + 1) = y1(n)y2(n)enx(n) + x(n), y2(n + 1) = y1(n)y2(n)enx(n).
Очевидно, что эта система имеет нулевое решение. В качестве функции V выберем V =
= x2 + (y1 - y2)2. Её вариация ΔV в силу рассматриваемой системы равна нулю. Учитывая,
что x2 < V < 2(x2 + y21 + y22), на основании теоремы 1 заключаем, что нулевое решение этой
системы равномерно x-устойчиво.
Теорема 2. Если для системы разностных уравнений (1) существует функция V (n, z),
которая определена и непрерывна по z на множестве (4) и удовлетворяет условиям
V (n, z) ≥ a(∥x∥), a ∈ K, V (n, 0) = 0,
(6)
ΔV (n,z) ≤ -c(∥x∥), c ∈ K,
(7)
то нулевое решение системы (1) слабо асимптотически x-устойчиво.
Доказательство. Согласно теореме 1 решение z = 0 системы (1) x-устойчиво. Поэтому
для H > 0 и n0 ∈ N0 существует δ = δ(n0, H) > 0 такое, что ∥x(n, n0, z0)∥ < H, если
z0 ∈ Bδ.
Для завершения доказательства достаточно установить, что для любых ε ∈ (0, H) и n0 ∈
∈ N0 существует N = N(ε,n0) ∈ N такое, что при всяком z0 ∈ Bδ можно указать натуральное
число n1, расположенное между n0 и n0 + N (включая эти числа), такое, что
∥x(n1, n0, z0)∥ ≤ ε.
(8)
Обозначим λ(n0) = sup V (n0, z), N(n0, ε) = [λ(n0)/c(ε)] + 1, где [·] - целая часть числа.
z∈Bδ
Предположим противное: n1, для которого выполняется неравенство (8), не существует. Зна-
чит, ε < ∥x(n, n0, z0)∥ < H при всех n из множества чисел {n0, n0 + 1, . . . , n0 + N}. Тогда из
условий теоремы следует, что
0 < a(ε) ≤ V (n0 + N,z(n0 + N,z(n0 + N,n0,z0))) ≤ V (n0,z0) - c(ε)N ≤ 0.
Полученное противоречие доказывает теорему.
Теорема 3. Если для системы (1) существует непрерывная по z на множестве (4)
функция V (n, z) такая, что выполнены условия (6), (7) и
V (n, z) ≤ b(∥z∥), b ∈ K,
(9)
то нулевое решение системы (1) равномерно асимптотически x-устойчиво.
Если дополнительно выполнены условия
a ∈ K∞, b ∈ K∞, c ∈ K∞, H = ∞, lim V (n,z) = +∞,
(10)
∥z∥→∞
то нулевое решение системы (1) равномерно глобально асимптотически x-устойчиво.
Доказательство. Согласно теореме 1 решение z = 0 системы (1) равномерно x-устойчи-
во. Поэтому для числа H найдётся такое δ, не зависящее от n0, что для дискретной траек-
тории z(n, n0, z0) из включений n0 ∈ N0, z0 ∈ Bδ следует неравенство ∥x(n, n0, z0)∥ < H для
всех n ≥ n0. Выберем произвольно ε (0 < ε < H). Покажем, что существует σ = σ(ε) > 0
такое, что
∥x(n, n0, z0)∥ < ε при n > n0 + σ.
(11)
Выясним, при каких n может выполняться двойное неравенство
ε ≤ ∥x(n,n0,z0)∥ < H.
(12)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
411
Для этого рассмотрим дискретную траекторию z(n, n0, z0) с вектором z0 ∈ Bδ. Из условий
(6), (7), (9) и из предположения (12) следует, что
0 < a(ε) ≤ V (n,z(n,n0,z0)) ≤ V (n0,z0) - (n - n0)c(ε) ≤ b(δ) - (n - n0)c(ε).
Таким образом, при n > n0 + σ(ε), где σ(ε) = [b(δ)/c(ε)] + 1, предположение (12) перестаёт
выполняться, т.е. справедливо неравенство (11). Это означает, что решение z = 0 системы (1)
является равномерно притягивающим относительно x.
В случае, когда дополнительно выполнены условия (10), в приведённом доказательстве ве-
личины H и ε выбираются произвольно (0 < ε < H), δ = δ(H), σ = σ(ε, H) = [δ(H)/c(ε)]+1.
Теорема доказана.
Пример 2. Рассмотрим систему разностных уравнений
1
1
1
x(n + 1) =
x(n) -
y1(n) +
√
y2(n),
2
2
2n
2
y1(n + 1) = 2-ny2(n), y2(n + 1) = 2nx(n) + 2ny1(n).
(13)
Эта система допускает нулевое решение. Покажем, что оно равномерно асимптотически
x-устойчиво. Для этого рассмотрим функцию
V (n, x, y1, y2) = x2 + (2-1/2y1 - 2-ny2)2.
Её вариация в силу рассматриваемой системы имеет вид ΔV = -x2/2. Учитывая, что функ-
ция V является определённо-положительной относительно x и удовлетворяет неравенствам
x2 ≤ V (n,x,y1,y2) < 2(x2 + y21 + y22),
а её вариация ΔV в силу системы (13) является определённо-отрицательной относительно x,
на основании теоремы 3 заключаем, что нулевое решение системы (13) равномерно асимпто-
тически устойчиво относительно x.
Теорема 4. Если для системы разностных уравнений (1) существует непрерывная по
z функция V (n, z), удовлетворяющая условию (6), и для любого n0 ∈ N0 можно указать
Θ = Θ(n0) такое, что при z0 ∈ BΘ функция V (n,z(n,n0,z0)) не возрастает и стремится
к нулю при n → +∞, то нулевое решение системы (1) эквиасимптотически устойчиво
относительно x.
Доказательство. Пусть n0 ∈ N0. Выберем произвольно δ = δ(n0) ∈ (0, Θ(n0)). Для
любого z0 ∈ Bδ функция V (n, z(n, n0, z0)) не возрастает. Покажем, что
lim
V (n, z(n, n0, z0)) = 0
(14)
n→∞
равномерно по z0 ∈ Bδ.
Пусть ε - произвольное положительное число. Для любых n0 ∈ N0 и z0 ∈ Bδ по условию
теоремы найдётся N = N(ε, n0, z0) такое, что V (n0+N, z(n0+N, n0, z0)) < ε. Это неравенство,
поскольку функции V и Z непрерывны по z, выполняется в некоторой открытой окрестности
Q(z0) точки z0, т.е. V (n0 + N, z(n0 + N, n0, z′0)) < ε при z′0 ∈ Q(z0). Так как V монотонно
не возрастает вдоль решений системы (1), то отсюда следует, что
V (n, z(n, n0, z′0)) < ε при n ≥ n0 + N(ε, n0, z′0), z′0 ∈ Q(z0).
Компактное множество ∥z0∥ ≤ δ оказалось покрытым системой открытых окрестностей
{Q(z0)}, из которой по теореме Гейне-Бореля можно выделить конечное подпокрытие Q1,
..., Qr с соответствующими числами N1, ..., Nr. Обозначим N(ε,n0) = max{N1,...,Nr}.
Тогда V (n, z(n, n0, z0)) < ε для любого n ∈ Nn0+N(ε,n0) при z0 ∈ Bδ(n0). Таким образом,
предельное соотношение (14) выполняется равномерно по z0, что завершает доказательство
теоремы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
412
ИГНАТЬЕВ
Теорема 5. Пусть для системы (1) существует функция V (n, z), непрерывная по z, удо-
влетворяющая в области (4) неравенству (6) и такая, что выполняются следующие условия:
i) вариация функции V в силу системы (1) неположительна;
ii) существуют n0 ∈ N0 и η0 > 0 такие, что для любых n и η, удовлетворяющих
неравенствам n ≥ n0,
0 < η ≤ η0, множество L = {(n,z) ∈ N0 × Rn+m : V (n,z) ≥ η,
∥x∥ ≤ H} непусто;
iii) найдутся неотрицательные числа mη(n), для которых выполняются соотношения
ΔV (n,z) ≤ -mη(n) при (n,z) ∈ L
(15)
и
∑
mη(n) = +∞.
(16)
n=n0
Тогда нулевое решение системы (1) эквиасимптотически x-устойчиво.
Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 1, то для любого n0 ∈ N0 суще-
ствует такое δ = δ(n0) > 0, что из включения z0 ∈ Bδ вытекает неравенство ∥x(n, n0, z0)∥ < H
при всех n ∈ Nn0 . Обозначим V∗(n0) := sup V (n0, z0). Покажем, что
∥z0∥<δ
lim
V (n, z(n, n0, z0)) = 0 равномерно по z0 ∈ Bδ.
n→+∞
Предположим противное. Тогда вследствие неположительности вариации ΔV в силу сис-
темы (1) можно указать такие η > 0 и z0 ∈ Bδ, для которых при всех n ∈ Nn0 верно
неравенство V (n, z(n, n0, z0)) ≥ η > 0. Воспользовавшись условием (15), получаем
0 ≤ V (n,z(n,n0,z0)) ≤ V (n0,z0) - mη(n0 + 1) - mη(n0 + 2) - ... - mη(n) ≤
≤ V∗(n0) - mη(n0 + 1) - mη(n0 + 2) - ... - mη(n),
что в силу условия (16) невозможно при достаточно больших значениях n. Полученное про-
тиворечие завершает доказательство теоремы.
Проиллюстрируем доказанную теорему следующим примером.
Пример 3. Рассмотрим систему разностных уравнений
x(n + 1) = d11(n)x(n) + d12(n)y(n), y(n + 1) = d21(n)x(n) + d22(n)y(n),
(17)
где
√
√
√
4
2
(n + 15)(n + 16) - 1
d11(n) =
1-
,
d12(n) =
√
,
4
4
√n
+ 16
√n
+ 16( 4
n + 16 - 1)
1
d21(n) =
,
d22(n) = -d11(n)d12(n).
4
√n
+ 16
Очевидно, что система (17) допускает нулевое решение. Для доказательства его эквиа-
симптотической x-устойчив√сти воспользуемся теоремой 5. В качестве функции Ляпунова
выбираем V (n, x, y) = x2 +4
n + 15 y2. Несложно видеть, что она удовлетворяет условию (6)
на множестве (4). Вариация этой функции в силу системы (1) имеет вид
1
ΔV = -√
(x2 + y2).
4
n + 16
Она неположительна. Выберем произвольно η, удовлетворяющее неравенствам 0 < η < H, и
оценим сверху вариацию ΔV в области V (n, x, y) ≥ η. Геометрически эта область при любом
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
413
n ∈ N0 ограничена прямыми |x| = -H, |x| = H, эллипсом x2/η+ 4
√n + 15 y2/η = 1 с центром
в начале координат и полуосями
√n + 15. Любая точка (x,y) из множества
{
}
4
x2
√n
+ 15 y2
(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ H,
+
≥1
η
η
удовлетворяет хотя бы одному из условий |x| >
√n + 15), или, что то
же самое, x2 > η/4, y2 > η/(44
√n + 15). Подставляя эти значения в ΔV, получаем
}
1
1
{1
η
η
ΔV = -
(x2 + y2) < -
min
η,
=-
√
4
4
√n
+ 16
√n
+ 16
4
44
√n + 15
44
(n + 15)(n + 16)
√
Итак, если в качестве mη(n) взять mη(n) = η/(44
(n + 15)(n + 16)), то, как показано, выпол-
няется условие (15). Нетрудно убедиться, что справедливо и условие (16).
Таким образом, все условия теоремы 5 выполнены; следовательно, нулевое решение систе-
мы разностных уравнений (17) эквиасимптотически x-устойчиво.
Теорема 6. Если для системы (1) существует функция V (n, z), непрерывная по z, удо-
влетворяющая в области (4) условию
V (n, z) ≥ ϑ(n)a(∥x∥), a ∈ K,
(18)
с некоторой монотонно возрастающей к бесконечности последовательностью {ϑ(n)}, ϑ(0) =
= 1, а вариация ΔV в силу системы (1) неположительна, то нулевое решение системы (1)
эквиасимптотически устойчиво относительно x.
Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 1, то для любого n0 ∈ N0 можно
указать δ(n0) такое, что из включения z0 ∈ Bδ следует неравенство ∥x(n, n0, z0)∥ < H при
всех n ∈ Nn0 . Обозначим μ(n0) = sup V (n0, z0). Так как ΔV ≤ 0, то V (n, z(n, n0, z0)) ≤
z0∈Bδ
≤ V (n0,z0), и из оценки (18) следует, что
V (n, z(n, n0, z0))
V (n0, z0)
a(∥x(n, n0, z0)∥) ≤
≤
(19)
ϑ(n)
ϑ(n)
Пусть θ(t) - монотонно возрастающая функция такая, что θ(n) = ϑ(n), а ε - произвольное
положительное число (ε < H; число H - из задания области (4)). Обозначим N(ε, n0) =
= θ-1(μ(n0)/a(ε)), где θ-1 - функция, обратная к функции θ. Так как θ-1 монотонно воз-
растает, то при n > N(ε, n0) выполняется неравенство θ(n) ≥ μ(n0)/a(ε), и в силу оценки
(19) имеем
V (n0, z0)
a(∥x(n, n0, z0)∥) ≤
a(ε) < a(ε).
μ(n0)
Так как a ∈ K, то отсюда следует, что ∥x(n, n0, z0)∥ < ε при всех z0 ∈ Bδ, n > n0 + N(ε, n0).
Теорема доказана.
Теорема 7. Пусть для системы (1) существует функция V (n, z), непрерывная по z, удо-
влетворяющая в области (4) условию (6), такая, что ΔV (n, z) ≤ -c∥x∥p, где p и c - поло-
жительные константы. Тогда нулевое решение системы (1) lp-устойчиво относительно x.
Доказательство. Согласно теореме 2 решение (2) системы (1) слабо асимптотически
устойчиво. В частности, из его устойчивости следует, что при любых n0 ∈ N0, ε > 0 су-
ществует δ = δ(ε, n0) > 0 такое, что ∥x(n, n0, z0)∥ < ε, если z0 ∈ Bδ. Рассмотрим функцию
⎧
∑
⎨
V (n, z(n)) + c
∥x(j, n0, z0)∥p при n > n0,
G(n) =
⎩
j=n0
V (n0, z0)
при n = n0,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
414
ИГНАТЬЕВ
где z(n) = z(n, n0, z0). Тогда ΔG(n) = G(n + 1) - G(n) = ΔV (n, z(n)) + c∥x(n, n0, z0)∥p ≤ 0.
Следовательно, G(n) ≤ G(n0) = V (n0, z0) и
∑
0 ≤ G(n) = V (n,z(n,n0,z0)) + c
∥x(j, n0, z0)∥p ≤ V (n0, z0),
j=n0
откуда вытекает неравенство
∑
1
∥x(j, n0, z0)∥p ≤
V (n0, z0),
c
j=n0
и устремляя n к бесконечности, получаем
∑
∥x(j, n0, z0)∥p < +∞,
j=n0
что и требовалось доказать.
Теорема 8. Пусть для системы разностных уравнений (1) существуют две функции
V : N0 × BH → R и W : N0 × BH → R, непрерывные по второму аргументу, такие, что для
некоторых функций a,b,c ∈ K и любых (n,z) ∈ N0 ×BH выполняются условия (6) и условия
W (n, z) ≥ b(∥x∥), W (n, 0) = 0,
(20)
ΔV ≤ -c(W(n,z)).
(21)
Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически x-устойчиво.
Доказательство. Согласно теореме 1 нулевое решение системы (1) x-устойчиво. Следова-
тельно, для H > 0 и n0 ∈ N0 существует δ = δ(n0, H) > 0 такое, что ∥x(n, n0, z0)∥ < H, если
z0 ∈ Bδ. Покажем, что нулевое решение системы (1) x-притягивающее. Для этого докажем,
что W (n, z(n, n0, z0)) → 0 при n → +∞. Предположим противное. Это возможно только в
том случае, если существуют σ > 0 и последовательность натуральных чисел {ni} такие,
что lim
ni = +∞ и W(ni,z(ni,n0,z0)) ≥ σ. В силу оценки (21) это означает выполнение
i→∞
неравенств
ΔV (ni,z(ni,n0,z0)) ≤ -c(σ) < 0, V (ni + 1,z(ni + 1,n0,z0)) ≤ V (n0,z0) - ic(σ),
т.е. lim
V (ni + 1, z(ni + 1, n0, z0)) = -∞, что противоречит условию (6). Полученное про-
n→+∞
тиворечие доказывает, что lim
W (n, z(n, n0, z0)) = 0, откуда в силу оценки (20) имеем
n→+∞
lim
∥x(n, n0, z0)∥ = 0. Это доказывает x-притяжение решения (2) системы (1).
n→+∞
Полагая в доказанной теореме W (n, z) = ∥x∥, получаем
Следствие. Если для системы разностных уравнений (1) существует такая функция
V : N0×BH → R, что для некоторых функций a,c ∈ K и любых (n,z) ∈ N0×BH выполняют-
ся условия (6) и неравенство ΔV (n, z) ≤ -c(∥x∥), то её нулевое решение асимптотически
x-устойчиво.
Заключение. В работе для общей системы разностных (дискретных) уравнений полу-
чен ряд достаточных условий, при выполнении которых её нулевое решение обладает свой-
ством устойчивости относительно части переменных или некоторыми модификациями этого
свойства.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
415
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части
переменных. М., 1990.
2. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических сис-
тем. Киев, 1989.
3. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М., 1991.
4. Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. New York, 1998.
5. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора
динамических систем: теория, методы и приложения. М., 2001.
6. Мартышенко Ю.Г., Воротников В.И. Частичная устойчивость, детектируемость и управление:
некоторые задачи. Нижний Тагил, 2016.
7. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн. Моск. гос.
ун-та. Сер. мат., механ., физ., астрон., хим. 1957. Т. 4. С. 9-16.
8. Румянцев В.В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отношению к
части переменных // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35. № 1. С. 147-152.
9. Озиранер А.С., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения от-
носительно части переменных // Прикл. математика и механика. 1972. Т. 36. № 2. С. 364-384.
10. Игнатьев А.О. Устойчивость относительно части переменных при постоянно действующих возму-
щениях // Изв. вузов. Математика. 1991. Т. 345. № 2. С. 55-60.
11. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы раз-
вития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3-59.
12. Aндреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на ос-
нове предельных уравнений // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51. № 2. С. 253-259.
13. Ignatyev O.A. On the partial asymptotic stability in nonautonomous differential equations // Differ. and
Integral Equat. 2006. V. 19. P. 831-839.
14. Aндреев А.С., Павликов С.В. Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально-
дифференциального уравнения // Прикл. математика и механика. 1999. Т. 63. № 1. С. 3-12.
15. Bernfeld S.R, Corduneanu C., Ignatyev A.O. On the stability of invariant sets of functional differential
equations // Nonlin. Anal. 2003. V. 55. P. 641-656.
16. Corduneanu C., Ignatyev A.O. Stability of invariant sets of functional differential equations with delay
// Nonlin. Funct. Anal. & Appl. 2005. V. 10. № 1. P. 11-24.
17. Шаров В.Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению к части перемен-
ных // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11. С. 63-71.
18. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости по части переменных линейных стохастических
систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 2000. V. 44. № 6. С. 75-79.
19. Ignatyev O.A. Partial asymptotic stability in probability of stochastic differential equations // Statistics
& Prob. Letters. 2009. V. 79. № 5. P. 597-601.
20. Aлександров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных
систем // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. С. 1217-1225.
21. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. Springer, New York, 2005.
22. Elaydi S., Sacker R.J. Global stability of periodic orbits of non-autonomous difference equations and
population biology // J. Differ. Equat. 2005. V. 208. P. 258-273.
23. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. On the stability in periodic and almost periodic difference systems // J.
of Math. Anal. and Appl. 2006. V. 313. № 2. P. 678-688.
24. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications.
New York, 2002.
25. Kalman R.E., Bertram J.E. Control System Analysis and Design Via the “Second Method” of Lyapunov.
II Discrete-Time Systems // Transact. of the ASME. Ser. D. J. Basic Engrg. 1960. V. 82. P. 394-400.
26. Игнатьев А.О. Об устойчивости нулевого решения почти периодической системы разностных урав-
нений // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 1. С. 98-103.
27. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. Quadratic forms as Lyapunov functions in the study of stability of solutions
to difference equations // Electr. J. Differ. Equat. 2011. V. 19. P. 1-21.
28. Руш Н., Абетс П., Лалуа M. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., 1980.
Институт прикладной математики и механики,
Поступила в редакцию 06.08.2021 г.
г. Донецк
После доработки 23.02.2022 г.
Принята к публикации 09.03.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№3
2022