ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.407-415

УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

УДК 517.962.2+517.521

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ: УСТОЙЧИВОСТЬ

ОТНОСИТЕЛЬНО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ

Для общей системы разностных (дискретных) уравнений с помощью метода функций Ля-

пунова получен ряд достаточных условий устойчивости и асимптотической устойчивости

относительно части переменных её решения.

DOI: 10.31857/S0374064122030104, EDN: BYTWWZ

Введение. Математическая теория устойчивости занимает важное место в теории обык-

новенных дифференциальных уравнений. Начиная с середины двадцатого века, активно раз-

вивается теория устойчивости относительно части переменных. К настоящему времени опуб-

ликован ряд монографий [1-6] и сотни работ по этой тематике, из которых можно выделить

[7-13]. В статьях [14-16] исследуется устойчивость относительно части переменных решений

функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием, а в [17-19] - устойчивость

относительно части переменных в системах стохастических дифференциальных уравнений.

Настоящая работа посвящена исследованию устойчивости решений разностных систем от-

носительно части переменных. Это направление исследования представляется интересным по

двум причинам: во-первых, ряд явлений и процессов в природе описываются разностными

уравнениями; во-вторых, при использовании вычислительных методов решений систем обык-

новенных дифференциальных уравнений их сводят к разностным уравнениям. Отметим, что

в работе [20] предлагается способ построения разностных схем для одного класса систем обык-

новенных дифференциальных уравнений, который обеспечивает согласованность между диф-

ференциальными и разностными уравнениями в смысле устойчивости нулевого решения.

Важным направлением качественного анализа дискретных (разностных) уравнений явля-

ется исследование устойчивости их решений. Это направление отражено во многих научных

публикациях (см., например, [21-24]). Одним из наиболее эффективных методов изучения

устойчивости дифференциальных и разностных уравнений является метод функций Ляпуно-

ва [25, 26]. Настоящая статья посвящена применению этого метода к изучению устойчивости

решений систем разностных уравнений относительно части переменных.

1. Основные обозначения и определения. Следуя [27], обозначим: N = {1,2,3,...} -

множество натуральных чисел, N₀ = {0}

⋃ N, N_q = {n ∈ N₀ : n ≥ q}, ∥ · ∥ - евклидова норма

вектора в Rk+m, B_r = {z ∈ Rk+m : ∥z∥ ≤ r} - замкнутый шар радиуса r с центром в нуле

в Rk+m.

Рассмотрим систему разностных уравнений

z(n + 1) = Z(n, z(n)), Z(n, 0) ≡ 0,

(1)

где n ∈ N₀ и z, Z ∈ Rk+m. Далее предполагаем, что при каждом фиксированном n ∈ N₀

функция Z(n, ·) : Rk+m → Rk+m является непрерывной. Для фиксированных n ∈ N₀ и z₀ ∈

∈ Rk+m через z(n,n₀,z₀) обозначим решение системы (1), совпадающее с вектором z₀ при

n = n₀. Исследуем устойчивость нулевого решения

z(n) = 0

(2)

(

)

системы (1) относительно первых k его компонент. Примем обозначения z =

∈Rk+m,

x = (x₁,...,x_k)^т = (z₁,...,z_k)^т ∈ R^k, y = (y₁,...,y_m)^т = (zk+1,...,zk+m)^т ∈ R^m.

407

408

ИГНАТЬЕВ

В соответствии с принятым обозначением любое решение z(n, n₀, z₀) системы (1) представля-

(

)

x(n, n₀, z₀)

ется в виде z(n, n₀, z₀) =

. По аналогии с обыкновенными дифференциальными

y(n, n₀, z₀)

уравнениями [28, гл. 1] введём следующие определения.

Определение 1. Решение (2) системы (1) называется устойчивым относительно x (или

x-устойчивым), если для любых ε > 0 и n₀ ∈ N₀ найдётся δ = δ(ε, n₀) > 0 такое, что для

любого z₀ ∈ B_δ имеет место неравенство ∥x(n, n₀, z₀)∥ < ε при всех n ∈ Nn0 .

Определение 2. Решение (2) системы (1) называется равномерно устойчивым относи-

тельно x (или равномерно x-устойчивым), если в определении 1 для каждого ε > 0 можно

выбрать δ = δ(ε) не зависящим от n₀.

Следующее определение является вспомогательным для введения в определении 4 различ-

ных модификаций понятия устойчивости.

Определение 3. Решение (2) системы (1) называется:

притягивающим относительно x (x-притягивающим), если для каждого n₀ ∈ N₀ су-

ществует η = η(n₀) > 0 и для любых ε > 0 и z₀ ∈ B_η найдётся σ = σ(ε, n₀, z₀) ∈ N такое,

что ∥x(n, n₀, z₀, )∥ < ε для всех n ≥ n₀ + σ;

эквипритягивающим относительно x (или x-эквипритягивающим), если для каждого

n₀ ∈ N₀ существует η = η(n₀) > 0 и для любого ε > 0 найдётся σ = σ(ε,n₀) ∈ N такие, что

∥x(n, n₀, z₀)∥ < ε для всех z₀ ∈ B_η и n ≥ n₀ + σ;

равномерно x-притягивающим, если для некоторого η > 0 и любого ε > 0 существует

σ = σ(ε) ∈ N такое, что ∥x(n,n₀,z₀)∥ < ε для всех z₀ ∈ B_η, n₀ ∈ N₀ и n ≥ n₀ + σ;

равномерно глобально x-притягивающим, если для любых η > 0 и ε > 0 найдётся σ =

= σ(ε,η) ∈ N такое, что ∥x(n,n₀,z₀)∥ < ε для всех z₀ ∈ B_η, n₀ ∈ N₀ и n ≥ n₀ + σ;

слабо x-притягивающим, если для каждого n₀ ∈ N₀ существует η = η(n₀) > 0 такое,

что для любого z₀ ∈ B_η найдётся возрастающая к +∞ последовательность натуральных

чисел {n_i}, своя, вообще говоря, для каждых n₀ и z₀, вдоль которой ∥x(n_i, n₀, z₀)∥ → 0 при

i → +∞;

l_p-притягивающим относительно x, где p > 0 - некоторое число, если для любого n₀ ∈ N₀

найдётся такое η = η(n₀), что для всех z₀ ∈ B_η выполняется соотношение

∑

∥x(j, n₀, z₀)∥^p < +∞.

j=n₀

Иными словами, решение z(n) = 0 системы (1) является:

x-притягивающим, если

lim

x(n, n₀, z₀) = 0 при всех n₀ ∈ N, z₀ ∈ Bη(n0);

(3)

n→+∞

x-эквипритягивающим, если предельное соотношение (3) выполняется равномерно отно-

сительно z₀;

равномерно x-притягивающим, если предельное соотношение (3) выполняется равномерно

относительно z₀ и n₀;

слабо x-притягивающим, если

lim inf

∥x(n, n₀, z₀)∥ = 0 при всех n₀ ∈ N, z₀ ∈ Bη(n0).

n→+∞

Областью x-притяжения решения z(n) = 0 системы (1) в дискретный момент времени

n₀ ∈ N называется множество

A(n₀) = {z₀ ∈ Rk+m : ∥x(n, n₀, z₀)∥ → 0 при n → +∞}.

Если множество A(n₀) не зависит от n₀, то будем говорить, что область x-притяжения рав-

номерная. Если для любого n₀ имеет место равенство A(n₀) = Rk+m, то говорят, что начало

глобально притягивающее относительно x. Если же для любых η > 0, n₀ ∈ N₀ и z₀ ∈

∈ B_η предельное соотношение (3) выполняется равномерно по n₀ и z₀, то начало называется

равномерно глобально x-притягивающим.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

409

Определение 4. Решение (2) системы (1) называется:

асимптотически устойчивым относительно x (или асимптотически x-устойчивым),

если оно x-устойчиво и x-притягивающее;

эквиасимптотически устойчивым относительно x (или эквиасимптотически x-устой-

чивым), если оно x-устойчиво и x-эквипритягивающее;

равномерно асимптотически устойчивым относительно x (или равномерно асимптоти-

чески x-устойчивым), если оно равномерно x-устойчиво и равномерно x-притягивающее;

равномерно глобально асимптотически устойчивым относительно x (или равномерно

глобально асимптотически x-устойчивым), если оно равномерно x-устойчиво и равномерно

глобально x-притягивающее;

слабо асимптотически x-устойчивым, если оно x-устойчиво и слабо x-притягивающее;

l_p-устойчивым относительно x, если оно x-устойчиво и l_p-притягивающее относитель-

но x.

Определение 5. Будем говорить, что функция a(r) принадлежит классу K и записы-

вать как a ∈ K, если она определена на некотором отрезке [0, H] или полуинтервале [0, +∞),

является непрерывной и строго возрастающей и такой, что a(0) = 0.

Подкласс класса K, состоящий из функций возрастающих к +∞, обозначим через K_∞.

2. Исследование устойчивости относительно части переменных с помощью

функций Ляпунова.

Определение 6. Вариацией ΔV функции V (n, z) в силу системы разностных уравнений

(1) назовём выражение

ΔV (n,z) = V (n + 1,Z(n,z)) - V (n,z).

Теорема 1. Если для системы разностных уравнений (1) существует функция V (n, z),

которая определена и непрерывна по z на множестве

n∈N₀,

∥x∥ ≤ H,

∥y∥ < +∞

(4)

и удовлетворяет условиям

V (n, 0) ≡ 0, V (n, z) ≥ a(∥x∥), a ∈ K, ΔV = V (n + 1, Z(n, z)) - V (n, z) ≤ 0

(

)

для значений n и z =

, удовлетворяющих условиям (4), то решение (2) системы (1)

устойчиво относительно x.

Более того, если для некоторой функции b ∈ K и любых n, z из области (4) справедливо

условие

V (n, z) ≤ b(∥z∥),

(5)

то нулевое решение системы (1) равномерно устойчиво относительно x.

Доказательство. Пусть заданы n₀ ∈ N₀ и ε > 0. Так как функция V непрерывна по

z и V (n₀,0) = 0, то найдётся δ = δ(n₀,ε) > 0 такое, что V (n₀,z₀) < a(ε) при всех z₀ ∈ B_δ.

Для любых n ∈ Nn0, z₀ ∈ B_δ получаем

a(∥x(n, n₀, z₀)∥) ≤ V (n, z(n, n₀, z₀)) ≤ V (n - 1, z(n - 1, z(n - 1, n₀, z₀))) ≤ . . . ≤ V (n₀, z₀) < a(ε).

Но так как a ∈ K, то из полученных неравенств следует, что ∥x(n, n₀, z₀)∥ < ε. Устойчивость

решения (2) относительно x доказана.

При выполнении условия (5) значение δ можно выбрать не зависящим от n₀. Действи-

тельно, полагая δ = b-1(a(ε)), где b-1 - функция, обратная по отношению к функции b, при

z₀ ∈ B_δ получаем

a(∥x(n, n₀, z₀)∥) ≤ V (n, z(n, n₀, z₀)) ≤ V (n₀, z_o) ≤ b(∥z₀∥) < b(b-1(a(ε))) = a(ε),

откуда вытекает неравенство ∥x(n, n₀, z₀)∥ < ε при n ≥ n₀. Теорема доказана.

Замечание. Доказанная теорема представляет собой аналог теоремы Румянцева [7] для

обыкновенных дифференциальных уравнений.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

410

ИГНАТЬЕВ

Пример 1. Рассмотрим систему разностных уравнений

x(n + 1) = y₁(n) - y₂(n), y₁(n + 1) = y₁(n)y₂(n)enx(n) + x(n), y₂(n + 1) = y₁(n)y₂(n)enx(n).

Очевидно, что эта система имеет нулевое решение. В качестве функции V выберем V =

= x² + (y₁ - y₂)². Её вариация ΔV в силу рассматриваемой системы равна нулю. Учитывая,

что x² < V < 2(x² + y²¹ + y²²), на основании теоремы 1 заключаем, что нулевое решение этой

системы равномерно x-устойчиво.

Теорема 2. Если для системы разностных уравнений (1) существует функция V (n, z),

которая определена и непрерывна по z на множестве (4) и удовлетворяет условиям

V (n, z) ≥ a(∥x∥), a ∈ K, V (n, 0) = 0,

(6)

ΔV (n,z) ≤ -c(∥x∥), c ∈ K,

(7)

то нулевое решение системы (1) слабо асимптотически x-устойчиво.

Доказательство. Согласно теореме 1 решение z = 0 системы (1) x-устойчиво. Поэтому

для H > 0 и n₀ ∈ N₀ существует δ = δ(n₀, H) > 0 такое, что ∥x(n, n₀, z₀)∥ < H, если

z₀ ∈ B_δ.

Для завершения доказательства достаточно установить, что для любых ε ∈ (0, H) и n₀ ∈

∈ N₀ существует N = N(ε,n₀) ∈ N такое, что при всяком z₀ ∈ B_δ можно указать натуральное

число n₁, расположенное между n₀ и n₀ + N (включая эти числа), такое, что

∥x(n₁, n₀, z₀)∥ ≤ ε.

(8)

Обозначим λ(n₀) = sup V (n₀, z), N(n₀, ε) = [λ(n₀)/c(ε)] + 1, где [·] - целая часть числа.

z∈B_δ

Предположим противное: n₁, для которого выполняется неравенство (8), не существует. Зна-

чит, ε < ∥x(n, n₀, z₀)∥ < H при всех n из множества чисел {n₀, n₀ + 1, . . . , n₀ + N}. Тогда из

условий теоремы следует, что

0 < a(ε) ≤ V (n₀ + N,z(n₀ + N,z(n₀ + N,n₀,z₀))) ≤ V (n₀,z₀) - c(ε)N ≤ 0.

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 3. Если для системы (1) существует непрерывная по z на множестве (4)

функция V (n, z) такая, что выполнены условия (6), (7) и

V (n, z) ≤ b(∥z∥), b ∈ K,

(9)

то нулевое решение системы (1) равномерно асимптотически x-устойчиво.

Если дополнительно выполнены условия

a ∈ K_∞, b ∈ K_∞, c ∈ K_∞, H = ∞, lim V (n,z) = +∞,

(10)

∥z∥→∞

то нулевое решение системы (1) равномерно глобально асимптотически x-устойчиво.

Доказательство. Согласно теореме 1 решение z = 0 системы (1) равномерно x-устойчи-

во. Поэтому для числа H найдётся такое δ, не зависящее от n₀, что для дискретной траек-

тории z(n, n₀, z₀) из включений n₀ ∈ N₀, z₀ ∈ B_δ следует неравенство ∥x(n, n₀, z₀)∥ < H для

всех n ≥ n₀. Выберем произвольно ε (0 < ε < H). Покажем, что существует σ = σ(ε) > 0

такое, что

∥x(n, n₀, z₀)∥ < ε при n > n₀ + σ.

(11)

Выясним, при каких n может выполняться двойное неравенство

ε ≤ ∥x(n,n₀,z₀)∥ < H.

(12)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

411

Для этого рассмотрим дискретную траекторию z(n, n₀, z₀) с вектором z₀ ∈ B_δ. Из условий

(6), (7), (9) и из предположения (12) следует, что

0 < a(ε) ≤ V (n,z(n,n₀,z₀)) ≤ V (n₀,z₀) - (n - n₀)c(ε) ≤ b(δ) - (n - n₀)c(ε).

Таким образом, при n > n₀ + σ(ε), где σ(ε) = [b(δ)/c(ε)] + 1, предположение (12) перестаёт

выполняться, т.е. справедливо неравенство (11). Это означает, что решение z = 0 системы (1)

является равномерно притягивающим относительно x.

В случае, когда дополнительно выполнены условия (10), в приведённом доказательстве ве-

личины H и ε выбираются произвольно (0 < ε < H), δ = δ(H), σ = σ(ε, H) = [δ(H)/c(ε)]+1.

Теорема доказана.

Пример 2. Рассмотрим систему разностных уравнений

x(n + 1) =

x(n) -

y₁(n) +

√

y₂(n),

y₁(n + 1) = 2^-ny₂(n), y₂(n + 1) = 2ⁿx(n) + 2ⁿy₁(n).

(13)

Эта система допускает нулевое решение. Покажем, что оно равномерно асимптотически

x-устойчиво. Для этого рассмотрим функцию

V (n, x, y₁, y₂) = x² + (2-1/2y₁ - 2^-ny₂)².

Её вариация в силу рассматриваемой системы имеет вид ΔV = -x²/2. Учитывая, что функ-

ция V является определённо-положительной относительно x и удовлетворяет неравенствам

x² ≤ V (n,x,y₁,y₂) < 2(x² + y²¹ + y²²),

а её вариация ΔV в силу системы (13) является определённо-отрицательной относительно x,

на основании теоремы 3 заключаем, что нулевое решение системы (13) равномерно асимпто-

тически устойчиво относительно x.

Теорема 4. Если для системы разностных уравнений (1) существует непрерывная по

z функция V (n, z), удовлетворяющая условию (6), и для любого n₀ ∈ N₀ можно указать

Θ = Θ(n₀) такое, что при z₀ ∈ B_Θ функция V (n,z(n,n₀,z₀)) не возрастает и стремится

к нулю при n → +∞, то нулевое решение системы (1) эквиасимптотически устойчиво

относительно x.

Доказательство. Пусть n₀ ∈ N₀. Выберем произвольно δ = δ(n₀) ∈ (0, Θ(n₀)). Для

любого z₀ ∈ B_δ функция V (n, z(n, n₀, z₀)) не возрастает. Покажем, что

lim

V (n, z(n, n₀, z₀)) = 0

(14)

n→∞

равномерно по z₀ ∈ B_δ.

Пусть ε - произвольное положительное число. Для любых n₀ ∈ N₀ и z₀ ∈ B_δ по условию

теоремы найдётся N = N(ε, n₀, z₀) такое, что V (n₀+N, z(n₀+N, n₀, z₀)) < ε. Это неравенство,

поскольку функции V и Z непрерывны по z, выполняется в некоторой открытой окрестности

Q(z₀) точки z₀, т.е. V (n₀ + N, z(n₀ + N, n₀, z′0)) < ε при z′0 ∈ Q(z₀). Так как V монотонно

не возрастает вдоль решений системы (1), то отсюда следует, что

V (n, z(n, n₀, z′0)) < ε при n ≥ n₀ + N(ε, n₀, z′0), z′0 ∈ Q(z₀).

Компактное множество ∥z₀∥ ≤ δ оказалось покрытым системой открытых окрестностей

{Q(z₀)}, из которой по теореме Гейне-Бореля можно выделить конечное подпокрытие Q₁,

..., Q_r с соответствующими числами N₁, ..., N_r. Обозначим N(ε,n₀) = max{N₁,...,N_r}.

Тогда V (n, z(n, n₀, z₀)) < ε для любого n ∈ Nn0+N(ε,n₀) при z0 ∈ Bδ(n₀). Таким образом,

предельное соотношение (14) выполняется равномерно по z₀, что завершает доказательство

теоремы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

412

ИГНАТЬЕВ

Теорема 5. Пусть для системы (1) существует функция V (n, z), непрерывная по z, удо-

влетворяющая в области (4) неравенству (6) и такая, что выполняются следующие условия:

i) вариация функции V в силу системы (1) неположительна;

ii) существуют n₀ ∈ N₀ и η₀ > 0 такие, что для любых n и η, удовлетворяющих

неравенствам n ≥ n₀,

0 < η ≤ η₀, множество L = {(n,z) ∈ N₀ × Rn+m : V (n,z) ≥ η,

∥x∥ ≤ H} непусто;

iii) найдутся неотрицательные числа m_η(n), для которых выполняются соотношения

ΔV (n,z) ≤ -m_η(n) при (n,z) ∈ L

(15)

∑

m_η(n) = +∞.

(16)

n=n₀

Тогда нулевое решение системы (1) эквиасимптотически x-устойчиво.

Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 1, то для любого n₀ ∈ N₀ суще-

ствует такое δ = δ(n₀) > 0, что из включения z₀ ∈ B_δ вытекает неравенство ∥x(n, n₀, z₀)∥ < H

при всех n ∈ Nn0 . Обозначим V_∗(n₀) := sup V (n₀, z₀). Покажем, что

∥z₀∥<δ

lim

V (n, z(n, n₀, z₀)) = 0 равномерно по z₀ ∈ B_δ.

n→+∞

Предположим противное. Тогда вследствие неположительности вариации ΔV в силу сис-

темы (1) можно указать такие η > 0 и z₀ ∈ B_δ, для которых при всех n ∈ Nn0 верно

неравенство V (n, z(n, n₀, z₀)) ≥ η > 0. Воспользовавшись условием (15), получаем

0 ≤ V (n,z(n,n₀,z₀)) ≤ V (n₀,z₀) - m_η(n₀ + 1) - m_η(n₀ + 2) - ... - m_η(n) ≤

≤ V_∗(n₀) - m_η(n₀ + 1) - m_η(n₀ + 2) - ... - m_η(n),

что в силу условия (16) невозможно при достаточно больших значениях n. Полученное про-

тиворечие завершает доказательство теоремы.

Проиллюстрируем доказанную теорему следующим примером.

Пример 3. Рассмотрим систему разностных уравнений

x(n + 1) = d₁₁(n)x(n) + d₁₂(n)y(n), y(n + 1) = d₂₁(n)x(n) + d₂₂(n)y(n),

(17)

где

√

(n + 15)(n + 16) - 1

d₁₁(n) =

d₁₂(n) =

√

√n

+ 16

√n

+ 16( ⁴

n + 16 - 1)

d₂₁(n) =

d₂₂(n) = -d₁₁(n)d₁₂(n).

√n

+ 16

Очевидно, что система (17) допускает нулевое решение. Для доказательства его эквиа-

симптотической x-устойчив√сти воспользуемся теоремой 5. В качестве функции Ляпунова

выбираем V (n, x, y) = x² +⁴

n + 15 y². Несложно видеть, что она удовлетворяет условию (6)

на множестве (4). Вариация этой функции в силу системы (1) имеет вид

ΔV = -√

(x² + y²).

n + 16

Она неположительна. Выберем произвольно η, удовлетворяющее неравенствам 0 < η < H, и

оценим сверху вариацию ΔV в области V (n, x, y) ≥ η. Геометрически эта область при любом

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

413

n ∈ N₀ ограничена прямыми |x| = -H, |x| = H, эллипсом x²/η+ ⁴

√n + 15 y²/η = 1 с центром

в начале координат и полуосями

√n + 15. Любая точка (x,y) из множества

{

}

x²

√n

+ 15 y²

(x, y) ∈ R² : |x| ≤ H,

≥1

удовлетворяет хотя бы одному из условий |x| >

√n + 15), или, что то

же самое, x² > η/4, y² > η/(4⁴

√n + 15). Подставляя эти значения в ΔV, получаем

}

^{1

ΔV = -

(x² + y²) < -

min

η,

√

√n

+ 16

√n

+ 16

4⁴

√n + 15

4⁴

(n + 15)(n + 16)

√

Итак, если в качестве m_η(n) взять m_η(n) = η/(4⁴

(n + 15)(n + 16)), то, как показано, выпол-

няется условие (15). Нетрудно убедиться, что справедливо и условие (16).

Таким образом, все условия теоремы 5 выполнены; следовательно, нулевое решение систе-

мы разностных уравнений (17) эквиасимптотически x-устойчиво.

Теорема 6. Если для системы (1) существует функция V (n, z), непрерывная по z, удо-

влетворяющая в области (4) условию

V (n, z) ≥ ϑ(n)a(∥x∥), a ∈ K,

(18)

с некоторой монотонно возрастающей к бесконечности последовательностью {ϑ(n)}, ϑ(0) =

= 1, а вариация ΔV в силу системы (1) неположительна, то нулевое решение системы (1)

эквиасимптотически устойчиво относительно x.

Доказательство. Так как выполнены условия теоремы 1, то для любого n₀ ∈ N₀ можно

указать δ(n₀) такое, что из включения z₀ ∈ B_δ следует неравенство ∥x(n, n₀, z₀)∥ < H при

всех n ∈ Nn0 . Обозначим μ(n₀) = sup V (n₀, z₀). Так как ΔV ≤ 0, то V (n, z(n, n₀, z₀)) ≤

z₀∈B_δ

≤ V (n₀,z₀), и из оценки (18) следует, что

V (n, z(n, n₀, z₀))

V (n₀, z₀)

a(∥x(n, n₀, z₀)∥) ≤

≤

(19)

ϑ(n)

Пусть θ(t) - монотонно возрастающая функция такая, что θ(n) = ϑ(n), а ε - произвольное

положительное число (ε < H; число H - из задания области (4)). Обозначим N(ε, n₀) =

= θ-1(μ(n₀)/a(ε)), где θ-1 - функция, обратная к функции θ. Так как θ-1 монотонно воз-

растает, то при n > N(ε, n₀) выполняется неравенство θ(n) ≥ μ(n₀)/a(ε), и в силу оценки

(19) имеем

V (n₀, z₀)

a(∥x(n, n₀, z₀)∥) ≤

a(ε) < a(ε).

μ(n₀)

Так как a ∈ K, то отсюда следует, что ∥x(n, n₀, z₀)∥ < ε при всех z₀ ∈ B_δ, n > n₀ + N(ε, n₀).

Теорема доказана.

Теорема 7. Пусть для системы (1) существует функция V (n, z), непрерывная по z, удо-

влетворяющая в области (4) условию (6), такая, что ΔV (n, z) ≤ -c∥x∥^p, где p и c - поло-

жительные константы. Тогда нулевое решение системы (1) l_p-устойчиво относительно x.

Доказательство. Согласно теореме 2 решение (2) системы (1) слабо асимптотически

устойчиво. В частности, из его устойчивости следует, что при любых n₀ ∈ N₀, ε > 0 су-

ществует δ = δ(ε, n₀) > 0 такое, что ∥x(n, n₀, z₀)∥ < ε, если z₀ ∈ B_δ. Рассмотрим функцию

⎧

∑

⎨

V (n, z(n)) + c

∥x(j, n₀, z₀)∥^p при n > n₀,

G(n) =

⎩

j=n₀

V (n₀, z₀)

при n = n₀,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

414

ИГНАТЬЕВ

где z(n) = z(n, n₀, z₀). Тогда ΔG(n) = G(n + 1) - G(n) = ΔV (n, z(n)) + c∥x(n, n₀, z₀)∥^p ≤ 0.

Следовательно, G(n) ≤ G(n₀) = V (n₀, z₀) и

∑

0 ≤ G(n) = V (n,z(n,n₀,z₀)) + c

∥x(j, n₀, z₀)∥^p ≤ V (n₀, z₀),

j=n₀

откуда вытекает неравенство

∑

∥x(j, n₀, z₀)∥^p ≤

V (n₀, z₀),

j=n₀

и устремляя n к бесконечности, получаем

∑

∥x(j, n₀, z₀)∥^p < +∞,

j=n₀

что и требовалось доказать.

Теорема 8. Пусть для системы разностных уравнений (1) существуют две функции

V : N₀ × B_H → R и W : N₀ × B_H → R, непрерывные по второму аргументу, такие, что для

некоторых функций a,b,c ∈ K и любых (n,z) ∈ N₀ ×B_H выполняются условия (6) и условия

W (n, z) ≥ b(∥x∥), W (n, 0) = 0,

(20)

ΔV ≤ -c(W(n,z)).

(21)

Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически x-устойчиво.

Доказательство. Согласно теореме 1 нулевое решение системы (1) x-устойчиво. Следова-

тельно, для H > 0 и n₀ ∈ N₀ существует δ = δ(n₀, H) > 0 такое, что ∥x(n, n₀, z₀)∥ < H, если

z₀ ∈ B_δ. Покажем, что нулевое решение системы (1) x-притягивающее. Для этого докажем,

что W (n, z(n, n₀, z₀)) → 0 при n → +∞. Предположим противное. Это возможно только в

том случае, если существуют σ > 0 и последовательность натуральных чисел {n_i} такие,

что lim

n_i = +∞ и W(n_i,z(n_i,n₀,z₀)) ≥ σ. В силу оценки (21) это означает выполнение

i→∞

неравенств

ΔV (n_i,z(n_i,n₀,z₀)) ≤ -c(σ) < 0, V (n_i + 1,z(n_i + 1,n₀,z₀)) ≤ V (n₀,z₀) - ic(σ),

т.е. lim

V (n_i + 1, z(n_i + 1, n₀, z₀)) = -∞, что противоречит условию (6). Полученное про-

n→+∞

тиворечие доказывает, что lim

W (n, z(n, n₀, z₀)) = 0, откуда в силу оценки (20) имеем

n→+∞

lim

∥x(n, n₀, z₀)∥ = 0. Это доказывает x-притяжение решения (2) системы (1).

n→+∞

Полагая в доказанной теореме W (n, z) = ∥x∥, получаем

Следствие. Если для системы разностных уравнений (1) существует такая функция

V : N₀×B_H → R, что для некоторых функций a,c ∈ K и любых (n,z) ∈ N₀×B_H выполняют-

ся условия (6) и неравенство ΔV (n, z) ≤ -c(∥x∥), то её нулевое решение асимптотически

x-устойчиво.

Заключение. В работе для общей системы разностных (дискретных) уравнений полу-

чен ряд достаточных условий, при выполнении которых её нулевое решение обладает свой-

ством устойчивости относительно части переменных или некоторыми модификациями этого

свойства.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА В СИСТЕМАХ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

415

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части

переменных. М., 1990.

2. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных динамических сис-

тем. Киев, 1989.

3. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. М., 1991.

4. Vorotnikov V.I. Partial Stability and Control. New York, 1998.

5. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора

динамических систем: теория, методы и приложения. М., 2001.

6. Мартышенко Ю.Г., Воротников В.И. Частичная устойчивость, детектируемость и управление:

некоторые задачи. Нижний Тагил, 2016.

7. Румянцев В.В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестн. Моск. гос.

ун-та. Сер. мат., механ., физ., астрон., хим. 1957. Т. 4. С. 9-16.

8. Румянцев В.В. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости движения по отношению к

части переменных // Прикл. математика и механика. 1971. Т. 35. № 1. С. 147-152.

9. Озиранер А.С., Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в задаче об устойчивости движения от-

носительно части переменных // Прикл. математика и механика. 1972. Т. 36. № 2. С. 364-384.

10. Игнатьев А.О. Устойчивость относительно части переменных при постоянно действующих возму-

щениях // Изв. вузов. Математика. 1991. Т. 345. № 2. С. 55-60.

11. Воротников В.И. Частичная устойчивость и управление: состояние проблемы и перспективы раз-

вития // Автоматика и телемеханика. 2005. № 4. С. 3-59.

12. Aндреев А.С. Об исследовании частичной асимптотической устойчивости и неустойчивости на ос-

нове предельных уравнений // Прикл. математика и механика. 1987. Т. 51. № 2. С. 253-259.

13. Ignatyev O.A. On the partial asymptotic stability in nonautonomous differential equations // Differ. and

Integral Equat. 2006. V. 19. P. 831-839.

14. Aндреев А.С., Павликов С.В. Об устойчивости по части переменных неавтономного функционально-

дифференциального уравнения // Прикл. математика и механика. 1999. Т. 63. № 1. С. 3-12.

15. Bernfeld S.R, Corduneanu C., Ignatyev A.O. On the stability of invariant sets of functional differential

equations // Nonlin. Anal. 2003. V. 55. P. 641-656.

16. Corduneanu C., Ignatyev A.O. Stability of invariant sets of functional differential equations with delay

// Nonlin. Funct. Anal. & Appl. 2005. V. 10. № 1. P. 11-24.

17. Шаров В.Ф. Устойчивость и стабилизация стохастических систем по отношению к части перемен-

ных // Автоматика и телемеханика. 1978. № 11. С. 63-71.

18. Кадиев Р.И. Достаточные условия устойчивости по части переменных линейных стохастических

систем с последействием // Изв. вузов. Математика. 2000. V. 44. № 6. С. 75-79.

19. Ignatyev O.A. Partial asymptotic stability in probability of stochastic differential equations // Statistics

& Prob. Letters. 2009. V. 79. № 5. P. 597-601.

20. Aлександров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных разностных

систем // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44. С. 1217-1225.

21. Elaydi S. An Introduction to Difference Equations. Springer, New York, 2005.

22. Elaydi S., Sacker R.J. Global stability of periodic orbits of non-autonomous difference equations and

population biology // J. Differ. Equat. 2005. V. 208. P. 258-273.

23. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. On the stability in periodic and almost periodic difference systems // J.

of Math. Anal. and Appl. 2006. V. 313. № 2. P. 678-688.

24. Lakshmikantham V., Trigiante D. Theory of Difference Equations: Numerical Methods and Applications.

New York, 2002.

25. Kalman R.E., Bertram J.E. Control System Analysis and Design Via the “Second Method” of Lyapunov.

II Discrete-Time Systems // Transact. of the ASME. Ser. D. J. Basic Engrg. 1960. V. 82. P. 394-400.

26. Игнатьев А.О. Об устойчивости нулевого решения почти периодической системы разностных урав-

нений // Дифференц. уравнения. 2004. Т. 40. № 1. С. 98-103.

27. Ignatyev A.O., Ignatyev O.A. Quadratic forms as Lyapunov functions in the study of stability of solutions

to difference equations // Electr. J. Differ. Equat. 2011. V. 19. P. 1-21.

28. Руш Н., Абетс П., Лалуа M. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М., 1980.

Институт прикладной математики и механики,

Поступила в редакцию 06.08.2021 г.

г. Донецк

После доработки 23.02.2022 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022