ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 3, с.416-424

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.58

О РЕКОНСТРУКЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

ПРИ ИЗМЕРЕНИИ ЧАСТИ ФАЗОВЫХ КООРДИНАТ

Рассматривается задача динамического восстановления неизвестных входных воздействий

системы нелинейных уравнений по неточным измерениям в дискретные моменты времени

части фазовых состояний системы. Предполагается, что система функционирует на за-

данном конечном временном интервале. Эволюция её фазового состояния системы опреде-

ляется неизвестным входом. Точное восстановление истинного, действующего на систему,

входа, вообще говоря, невозможно в силу погрешности измерений. Приводится алгоритм

приближённого восстановления входа, основанный на комбинации динамических вариан-

тов метода сглаживающего функционала и метода невязки и представляющий собой специ-

альный регуляризирующий алгоритм для одного из вариантов обратной задачи динамики.

DOI: 10.31857/S0374064122030116, EDN: BYWHZD

Введение. Постановка задачи. Рассматривается нелинейная система дифференциаль-

ных уравнений

x(t) = f₁(t, x(t), y(t)),

y(t) = f₂₁(t, x(t), y(t)) + B(t, x(t), y(t))u(t), t ∈ T = [0, ϑ]

(1)

с начальным условием

x(0) = x₀, y(0) = y₀.

Здесь 0 < ϑ < +∞, x ∈ Rⁿ, y ∈ R^N , u ∈ P, P ⊂ R^r, f₁ и f₂₁ - липшицевы функции

с константой Липшица L, u - возмущение, B - липшицева матрица соответствующей раз-

мерности, P - выпуклый компакт. Предполагается, что на систему (1) действует неизвестное

возмущение u(·) ∈ P (·) ≡ {u(·) ∈ L₂(T ; R^r) : u(t) ∈ P при п.в. t ∈ T }. В дискретные, до-

статочно частые, моменты времени τ_i,j ∈ Δ = {τ_i,j}i∈[0:m],j∈[0:m(1)_], где τ0,0 = 0, τ_m,m(1) = ϑ,

τi,j+1 = τ_i,j + δ₁, i ∈ [0 : m - 1], j ∈ [0 : m⁽¹⁾ - 1], τ_i,m(1) = τi+1,0, измеряется часть фазо-

вых состояний системы (1), а именно состояния x(τ_i,j) = x(τ_i,j; z₀, u(·)), где z₀ = {x₀, y₀} -

начальное состояние системы (1), z(· ; z₀, u(·)) = {x(· ; z₀, u(·)), y(· ; z₀, u(·))} - решение системы

(1), отвечающее этому начальному состоянию и возмущению u(·). Результаты измерений -

векторы ξ^hi,j ∈ Rⁿ, i ∈ [0 : m - 1], j ∈ [0 : m⁽¹⁾ - 1] - удовлетворяют неравенствам

|x(τ_i,j ) - ξ^hi,j|_n ≤ h.

(2)

Здесь h ∈ (0, 1) - уровень погрешности измерений, через | · |_k обозначается евклидова норма

в пространстве R^k, k ∈ N. Предполагаем, что начальное состояние системы (1) известно.

Обсуждаемая задача состоит в построении алгоритма приближённого восстановления (рекон-

струкции) неизвестного возмущения u(·) по результатам неточных измерений в дискретные

моменты времени части x(·) состояний z(·).

Сформулированная задача является задачей динамического восстановления (реконструк-

ции). Задачи такого типа в последние годы вызывают пристальное внимание исследователей

(см., например, монографии [1-3]). Один из подходов к их решению развит в работах [4-12].

Этот подход основан на комбинации методов теории позиционного управления и теории некор-

ректных задач. В работах [6-8, 10] приведены алгоритмы решения указанных задач, основан-

ные на динамической модели метода сглаживающего функционала (метод Тихонова). При

этом в работах [6, 10] изучалась линейная система и предполагалось отсутствие мгновенных

О РЕКОНСТРУКЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

417

ограничений на возмущения. Случай нелинейной системы рассматривался в работах [7, 8].

Алгоритмы решения задач динамической реконструкции при измерении части фазовых коор-

динат, основанные на других конструкциях, получены в [5, 9].

В настоящей работе найден алгоритм реконструкции, который основан на комбинации

динамических вариантов метода сглаживающего функционала и метода невязки. В связи с

неполнотой информации (а именно, с возможностью измерения в моменты τ_i,j не всего фа-

зового состояния системы {x(τ_i,j), y(τ_i,j )}, а лишь его части - x(τ_i,j)), указанный алгоритм

содержит два блока. Первый (вспомогательный) блок, основанный на методе сглаживающе-

го функционала, используется для восстановления неизвестной координаты y. Второй блок,

основанный на динамическом варианте метода невязки, применяется непосредственно к реше-

нию задачи восстановления неизвестного возмущения. При измерении всех координат анало-

гичный подход к решению задач реконструкции применялся в работах [4, 11, 12].

1. Метод решения задачи. Перейдём к описанию метода решения рассматриваемой

задачи. Как было отмечено выше, алгоритм будет состоять из двух блоков.

Пусть для каждого h ∈ (0, 1) фиксированы два семейства разбиений отрезка T : семейство

τi+1,h = τ_i,h + δ(h) с шагом δ(h) = ϑ/m_h,

(3)

Δmh = {τ_i,h}

а также семейство

= {τ_i,j,h}

τi,0,h = τ_i,h, i ∈ [0 : m_h],

m_h,m(1)h

i∈[0:m_h], j∈[0:m(1)h]

τi,j+1,h = τ_i,j,h + δ₁(h) с шагом δ₁(h) = δ(h)/m(1)h.

При этом для второго семейства выполняются равенства τ

= τi+1,0,h = τi+1,h. Ниже

i,m(1)h,h

используем обозначение ξ^hi = ξhi,0. Заметим, что

ξhi,0 = ξ^h

i-1,m⁽¹⁾

Первый (вспомогательный) блок содержит управляемую систему и закон формирования

управления v^h(·) для неё по принципу обратной связи V. Динамика системы описывается

векторным дифференциальным уравнением

wh1(t) = v^h(t) при t ∈ T (wh1,v^h ∈ Rⁿ)

(4)

с начальным условием wh1(0) = x₀. Здесь управление v^h(·) находится по формуле

v^h(t) = v^hi,j = V (τ_i,j,ξ^hi,j,wh1(τ_i,j)) при п.в. t ∈ [τ_i,j,τi,j+1), τ_ij = τ_i,j,h

(i ∈ [0 : m_h - 1], j ∈ [0 : m(1)h - 1]),

(5)

ξhi,j - результат измерения компоненты x(τi,j) (см. неравенство (2)). При i = j = 0 полагаем

ξh0,0 = x0. Закон V (·,·,·) : T × Rn × Rn → Rn конструируется таким образом, что при

соответствующем согласовании параметров h и δ₁(h) управление v^h(·), стоящее в правой

части системы (4), позволяет с помощью некоторого отображения U₁ : T × Rⁿ × Rⁿ → R^N

сконструировать функцию uh1(·), заданную правилом

uh1(t) = uh1i,j = U₁(τ_i,j,ξ^hi,j,v^hi,j) при п.в. t ∈ [τ_i,j,τi+1,j),

τ_ij = τ_i,j,h (i ∈ [0 : m_h - 1], j ∈ [0 : m(1)h - 1]),

(6)

являющуюся приближением (в метрике пространства непрерывных функций) неизмеряемой

части y(·) фазовой траектории.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

418

БЛИЗОРУКОВА

Второй (основной) блок - блок динамической реконструкции неизвестного возмущения -

состоит из функции u^h(·) и закона U( · , · , · ) : T × R^N × R^N → R^r, который конструируется

таким образом, что при соответствующем согласовании ряда параметров управление u^h(·)

вида

u^h(t) = u^hi = U(τ_i,ξ^hi,uh1i,0,uh1i-1,0,u^h

τi-1 = τi-1,h (i ∈ [0 : m_h - 1]),

1i-1,m(1)h-1

при п.в. t ∈ [τ_i, τi+1), τ_i = τ_i,h,

(7)

аппроксимирует неизвестный вход.

Необходимо отметить, что одно и тоже решение системы (1) может порождаться не един-

ственным возмущением. Пусть U(z(·)) - множество всех возмущений, порождающих решение

z(·) = {x(·), y(·)} системы (1), т.е.

U (z(·)) = {ũ(·) ∈ P (·) : y(t) - f₂₁(t, x(t), y(t)) = B(t, x(t), y(t))ũ(t) при п.в. t ∈ T }.

Через u_∗(·) обозначим минимальное по L₂(T ; R^r)-норме возмущение из U(z(·)), порождающее

решение z(·) системы (1), т.е.

u_∗(·) = arg min

|u(·)|L2 (T ;Rr).

u(·)∈U(z(·))

Нетрудно видеть, что такое возмущение существует и единственно. Следуя принятому в теории

некорректных задач подходу, будем восстанавливать возмущение u_∗(·).

2. Алгоритм решения. Укажем алгоритм решения рассматриваемой задачи. Возьмём

некоторые семейства Δmh и Δ

вида (3), а также функцию α(h) : (0, 1) → (0.1).

m_h,m⁽¹⁾

Пусть M₁ ⊂ Rⁿ и M₂ ⊂ R^N - области, в которых остаются соответственно первые n и

последние N фазовых координат (вместе с их единичными окрестностями) решения системы

(1), порождённого неизвестным возмущением u(·), т.е.

S₁(x(t)) ∈ M₁, S₁(y(t)) ∈ M₂ при всех t ∈ T.

Здесь через S₁(a) обозначен единичный шар с центром в точке a в соответствующем прост-

ранстве.

В дальнейшем полагаем, что выполнено следующее

Условие. В области T × M₁ функция y → F = f₁(t, x, y) имеет обратную функцию

y = f-11y(t,x,F), которая является липшицевой по совокупности переменных с постоянной

Липшица L_y. Кроме того, функция f₁ имеет производные по каждому аргументу и для

измеряемой части x(·) решения справедливо включение x(·) ∈ L₂(T ; Rⁿ).

Введём постоянные c⁰ > 0, d > 0, d_∗ > 0, при которых выполняются неравенства

|f₂₁(t, x, y) + B(t, x, y)u|_N ≤ c⁰ для всех t ∈ T, (x, y) ∈ M₁ × M₂,

|y(t)|_N ≤ d₀,

|x(t)|_n ≤ d_∗,

| x(t) - f₁(0,x₀,y₀)|_n ≤ d для всех t ∈ T.

(8)

Пусть d(P ) = sup |u|_r, c⁰¹ - постоянная Липшица функции B(t, x, y) в области T × M₁ × M₂.

u∈P

До начала работы алгоритма фиксируем величину h ∈ (0, 1), число α = α(h) и два

семейства Δmh и Δ

разбиений интервала T.

m_h,m⁽¹⁾

Работу алгоритма разобьём на однотипные шаги. Управления в системе (4) будем коррек-

тировать в узлах разбиения Δ

. В течение j-го шага, осуществляемого на временном

m_h,m⁽¹⁾

промежутке δ_i,j = [τ_i,j, τi,j+1) ⊂ [τ_i, τi+1), i ∈ [0 : m_h - 1], выполняются следующие операции.

Сначала, в момент τ_i,j, вычисляются векторы v^hi,j и uh1i,j по формулам (5) и (6), в которых

V (τ_i,j, ξ^hi,j, wh1(τ_i,j)) = -α-1[wh1(τ_i,j ) - ξ^hi,j + τ_i,jf₁(0, x₀, y₀)],

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О РЕКОНСТРУКЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

419

U₁(τ_i,j,ξ^hi,j,v^hi,j) = f-11y(τ_i,j,ξ^hi,j,v^hi,j + f₁(0,x₀,y₀)).

(9)

Затем на вход системы (4) при всех t ∈ δ_i,j, j ∈ [0 : m(1)h - 1], подаётся управление v^h(t) вида

(5), (9). Под действием этого управления решение системы (4) переходит из состояния wh1(τ_i,j )

в состояние wh1(τi+1,j ). В моменты τ_i = τ

вычисляем управление u^hi по формуле (7),

i-1,m(1)h

полагая

U (τ_i, ξ^hi, uh1i,0, uh1i-1,0, u^h

) = argmin{|u|r : u ∈ Ωh,i}.

(10)

1i-1,m(1)h-1

u∈P

Здесь

Ω_h,i = {v ∈ P : |(uh1i,0 - uh1i-1,0)δ-1 - [f₂₁(τ_i,ξ^hi,u^h

) + B(τ_i,ξhi ,u^h

)v]|_N ≤ σ_h},

1i-1,m(1)h-1

σ_h = 2C₀ν(h,α(h),δ₁(h))δ-1(h) +

+ (L + c⁰¹d(P )){h + (1 + d + d₀ + |f₁(0, x₀, y₀)|_n)δ(h) + C₀ν(h, α(h), δ₁(h))}.

Оказывается, что при определённом согласовании величин h, δ(h), δ₁(h) и α(h) функция

u^h(·) представляет собой аппроксимацию возмущения u_∗(·). Именно, справедлива

Теорема 1. Пусть α(h) → 0, α(h)m_h → 0, hα-1(h)m_h → 0, m(1)hα(h) → ∞ при h → 0.

Тогда имеет место сходимость

u^h(·) → u_∗(·) в L₂(T;R^r) при h → 0.

Доказательство. Сначала покажем, что если α(h) → 0, δ₁(h) → 0, (h + δ₁(h))α-1(h) →

→ 0 при h → 0, то существует такое число h₀ ∈ (0,1), что при всех h ∈ (0,h₀) верна

оценка

sup|uh1(t) - y(t)|_N ≤ C₀ν(h,α(h),δ₁(h)),

(11)

t∈T

здесь ν(h, α, δ₁) = α + (h + δ₁)α-1, C₀ = L_y(c_∗ + c_∗∗), где c_∗ = max{15 + 24d + 2 max{1, d}; d_∗},

c_∗∗ = L_y{1 + d + |f₁(0,x₀,y₀)|_n}. Действительно, пусть

^X(t) = x(t) - f₁(0, x₀, y₀), X(0) = x₀.

(12)

Функция, стоящая в правой части (12), является дифференцируемой, её производная сумми-

руема с квадратом евклидовой нормы. В нуле эта функция обращается в нуль. Кроме того,

X(τ_i,j) = x(τ_i,j) - τ_i,jf₁(0, x₀, y₀).

Согласно [13, теорема 5] найдётся h⁽¹⁾ ∈ (0, 1) такое, что при всех h ∈ (0, h⁽¹⁾) выполняется

неравенство

vrai max|vh(t) -

^X (t)|_n ≤ c_∗ν(h, α(h), δ₁(h)).

t∈T

В свою очередь в силу условия 1 имеем

y(t) = f-11y(t, x(t), x(t)),

(13)

|f-11y(t, x(t), v^h(t) + f₁(0, x₀, y₀)) - f-11y(t, x(t), x(t))|_N ≤ L_yc_∗ν(h, α(h), δ₁(h)).

(14)

Заметим, что

vraimax|x(t)|n ≤ d + |f1(0,x0,y0)|n.

(15)

t∈T

В таком случае при п.в. t ∈ [τ_i,j, τi,j+1] получаем

|f-11y(t, x(t), v^h(t) + f₁(0, x₀, y₀)) - uh1(t)|_N =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

9^∗

420

БЛИЗОРУКОВА

= |f-11y (t, x(t), v^h(t) + f₁(0, x₀, y₀))| - f-11y (τ_i,j , ξ^hi,j, v^hi,j + f₁(0, x₀, y₀))|_N ≤

(

∫

)

≤L_y

|t - τ_i,j| + |x(τ_i,j) - ξ^hi,j|_n +

| x(t)|_n dt

≤ c_∗∗(h + δ₁(h)).

(16)

τ_i,j

Из соотношений (13)-(16) вытекает, что

sup|uh1(t) - y(t)|_N ≤ L_y{c_∗ν(h,α₁(h),δ₁(h)) + c_∗∗(h + δ₁(h))}.

(17)

t∈T

В силу равенства uh1ij = f-11y (τ_i,j, ξ^hi,j, v^hi,j + f₁(0, x₀, y₀)) из (16), (17) следует оценка (11), спра-

ведливая при всех h ∈ (0, h₀), h₀ = h⁽¹⁾.

Далее, имеет место оценка

J₁(t) ≡ |f₂₁(t,x(t),y(t)) - f₂₁(τ_i,ξ^hi,u^h

)| ≤ L(|t - τ_i| + I₁ + I₂), t ∈ [τi-1, τ_i],

(18)

1i-1,m(1)h-1

в которой I₁ = |x(t) - ξ^hi|_n, I₂ = |y(t) - u^h

|_N .

1i-1,m(1)h-1

Вследствие неравенства (15) имеем

∫

I₁ ≤ h +

| x(t)|_n dt ≤ h + (d + |f₁(0,x₀,y₀)|_n)δ(h).

(19)

τ_i

В свою очередь при t ∈ [τi-1, τ_i], h ∈ (0, h₀) в силу оценки (11) получаем

I₂ ≤ |y(τ

)-u^h

|_N + |y(τ

) - y(t)|_N ≤

i-1,m(1)h-1

1i-1,m(1)h-1

i-1,m(1)h-1

∫τi

≤ C₀ν(h,α(h),δ₁(h)) +

|y(t)|_N dt ≤ C₀ν(h,α(h),δ₁(h)) + δ(h)d₀.

(20)

τi-1

Из соотношений (18)-(20) вытекает справедливое при t ∈ [τi-1, τ_i] неравенство

J₁(t) ≤ L{C₀ν(h,α(h),δ₁(h)) + h + (d + 1 + d₀ + |f₁(0,x₀,y₀)|_n)δ(h)}.

(21)

Кроме того, при этих же t для всех u ∈ P имеет место неравенство

J₂(t) ≡ |B(t,x(t),y(t))u - B(τ_i,ξ^hi,u^h

)u|_N ≤ c⁰¹(|t - τ_i| + I₁ + I₂)d(P ).

1i-1,m(1)-1

Аналогично (21) при t ∈ [τi-1, τ_i] получаем

J₂(t) ≤ c⁰¹{C₀ν(h,α(h),δ₁(h)) + h + (d + 1 + d₀ + |f₁(0,x₀,y₀)|_n)δ(h)}d(P).

(22)

Из соотношений (21), (22) следует оценка

J₃(t) ≡ |[f₂₁(t,x(t),y(t))+B(t,x(t),y(t))u]-[f₂₁(τ_i,ξ^hi,u^h

)+B(τ_i,ξ^hi,u^h

)u]|_N ≤

1i-1,m(1)h-1

≤ (L + c⁰¹d(P )){h + (1 + d + d₀ + |f₁(0, x₀, y₀)|_n)δ(h) + C₀ν(h, α(h), δ₁(h))}, t ∈ [τi-1, τ_i], (23)

из которой вытекает, что



∫

τ_i



−1

[f₂₁(t, x(t), y(t)) + B(t, x(t), y(t))u_∗(t)] dt -

^δ

τi-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О РЕКОНСТРУКЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

421

∫

τ_i



- δ-1[f₂₁(τ_i,ξhi ,u^h

) + B(τ_i,ξhi ,u^h

)]

u_∗(t)dt

≤

1i-1,m(1)h -1

1i-1,m(1)h-1



τi-1

≤ (L + c⁰¹d(P )){h + (1 + d + d₀ + |f₁(0, x₀, y₀)|_n)δ(h) + C₀ν(h, α(h), δ₁(h))}.

(24)

Теперь учтём, что первое слагаемое в неравенстве (24) под знаком нормы | · |_N , равное, оче-

видно, (y(τ_i) - y(τi-1))δ-1, отклоняется от величины (uh1i,0 - uh1i-1,0)δ-1 не более, чем на

2C₀(h, α(h), δ₁(h))δ-1(h). Отсюда в силу оценки (23) заключаем, что

∫τi

δ-1(h)

u_∗(t)dt ∈ Ω_h,i при h ∈ (0,h₀), i ∈ [1 : m_h].

(25)

τi-1

Введём вспомогательную систему

wh2(t) = f₂₁(τ_i,ξ^hi,u^h

) + B(τ_i,ξhi ,u^h

)u^hi

1i-1,m(1)h -1

1i-1,m(1)h-1

при п.в. t ∈ [τ_i, τi+1) (i ∈ [1 : m_h - 1])

(26)

с начальным состоянием

wh2(τ₁) = y₀.

Проверим равномерную сходимость решений wh2(·) системы (26) к функции y(·) при выпол-

нении условий (7), (10). Очевидно, что для этого достаточно установить оценку

|y(τ_i) - wh2(τ_i)|_N ≤ ν(h), i ∈ [1 : m_h],

(27)

где ν(h) → 0 при h → 0.

При i = 1 с учётом соотношений (5) и (8) имеем

|y(τ₁) - wh2(τ₁)|_N = |y(τ₁) - y₀|_N ≤ d₀δ.

(28)

Пусть i ∈ [2 : m_h - 1]. Тогда справедливы неравенства

|y(τ_i) - wh2(τ_i)|_N ≤ |y(τ₁) - wh2(τ₁)|_N +



 ∑i



+^

{(y(τ_j ) - y(τj-1)) - (wh2(τ_j) - wh2(τj-1))}

≤d₀h + I(1)i + I(2)i,

(29)



j=2

где



∑



I(1)i =

{(uh1j,0 - uh1j-1,0) - (wh2(τ_j ) - wh2(τj-1))}



j=2

∑

I(2)i =

{|uh1j,0 - y(τ_j)|_N + |uh1j-1,0 - y(τj-1)|_N }.

j=2

Вследствие условий (7), (10) имеет место неравенство

∑

I(1)i ≤

δσ_h = ϑσ_h.

(30)

j=2

В свою очередь в силу оценки (11) получаем

|uh1j,0 - y(τ_j )|_N ≤ C₀ν(h, α(h), δ₁(h)),

|uh1j-1,0 - y(τj-1)|_N ≤ C₀ν(h, α(h), δ₁(h)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

422

БЛИЗОРУКОВА

Поэтому

I(2)i ≤ 2ϑC₀δ-1(h)ν(h,α(h),δ₁(h)).

(31)

Из неравенств (28)-(31) следует, что

|y(τ_i) - wh2(τ_i)|_N ≤ ν(h) = d₀δ(h) + ϑσ_h + 2ϑC₀δ-1(h)ν(h, α(h), δ₁ (h)).

(32)

Утверждение теоремы вытекает из включения (25) и неравенства (27) и проверяется анало-

гично [2, с. 34, 35]. Теорема доказана.

3. Оценка скорости сходимости алгоритма. При некоторых дополнительных условиях

может быть записана оценка скорости сходимости алгоритма. Для этого нам понадобится

следующая доказанная в [2, с. 29]

Лемма. Пусть u(·) ∈ L_∞(T_∗; Rⁿ), v(·) ∈ W (T_∗; Rⁿ), T_∗ = [a, b], -∞ < a < b < +∞,

 ∫



u(τ) dτ

≤ ε,

|v(t)|_n ≤ K для всех t ∈ T_∗.



Тогда при любом t ∈ T_∗ верно неравенство

 ∫



(u(τ), v(τ)) dτ

ε(K + var (T_∗; v(·))).



≤

Здесь ε, K = const ∈ (0, +∞), через var(T_∗; v(·)) обозначается вариация функции v(·) на

отрезке T_∗, а через W (T_∗; Rⁿ) - множество функций y(·) : T_∗ → Rⁿ с ограниченной вариацией.

Теорема 2. Пусть u_∗(·) - функция ограниченной вариации, B(t, x, y) = B - постоянная

матрица, N ≥ r, rank B = r. Пусть также выполнены условия теоремы 1. Тогда при всех

h ∈ (0,h₀) верно неравенство

∫

|u^h(τ) - u_∗(τ)|2r dτ ≤ C_∗(h + δ(h) + ν(h)),

где C_∗ - положительная постоянная, не зависящая от h, m_h, m(1)h и α. Число h₀ таково,

что при всех h ∈ (0, h₀) выполнена оценка (11), величина ν(h) определена в (32).

Доказательство. Учитывая липшицевость функции f₂₁, а также теорему 1, заключаем,

что для любых t₁, t₂ ∈ T, t₁ < t₂, справедливо неравенство

 ∫

t₂



∫

t₂



B{u^h(t) - u_∗(t)} dt

wh2(τ) - y(τ) - f∗21(τ,ξ^h(τ),uh1(τ)) + f₂₁(τ,x(τ),y(τ))]dτ

≤



t₁

{∫t2

}

≤ |μ_h(t₂) - μ_h(t₁)|_N + c₁

{|ξ^h(τ) - x(τ)|_n + |ũh1(τ) - y(τ)|_N } dτ + δ(h) ,

(33)

t₁

где μ_h(t) = wh2(t) - y(t), f∗21(τ, ξ^h(τ), ũh1(τ)) = f₂₁(τ_i, ξ^hi, u^h

), ξ^h(τ) = ξhi,

ũh1(τ) =

1i-1,m(1)h-1

=u^h

при п.в. τ ∈ [τ_i, τi+1). При t ∈ [τ_i, τi+1] имеем

1i-1,m(1)h-1

|ξ^h(t) - x(t)|_n = |ξ^hi - x(t)|_n ≤ |ξ^hi - x(τ_i)|_n + |x(τ_i) - x(t)|_n ≤

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

О РЕКОНСТРУКЦИИ НЕИЗВЕСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

423

∫

≤h+

| x(t)|_n dt ≤ c₂(h + δ(h)),

(34)

τi-1

|ũ^h(t) - y(t)|_N ≤ |u^h

- y(τ_i - δ₁(h))|_N + |y(τ_i - δ₁(h)) - y(t)|_N ≤

1i-1,m(1)h-1

≤ C₀ν(h,α(h),δ₁(h)) + c₃(δ(h) + δ₁(h)) ≤ C₀ν(h,α(h),δ₁(h)) + c₄δ(h).

(35)

Здесь и далее через c₁, c₂, . . . обозначаются постоянные, которые можно записать явно. Из

неравенств (33)-(35) следует, что

 ∫

t₂



B{u^h(t) - u_∗(t)} dt

≤ |μ_h(t₂) - μ_h(t₁)|_N + c₅(t₂ - t₁)(h + δ(h) + ν(h, α(h), δ₁(h))).

(36)



t₁

Кроме того, в силу оценки (27) при всех t ∈ [τ_i, τi+1], i ∈ [1 : m_h - 1], верно неравенство

|μ_h(t)|_N ≤ |μ_h(τ_i)|_N + c₆δ(h) ≤ ν(h) + c₆δ(h),

учитывая которое и неравенство (36), получаем, что

∫

t₂



∫

t₂



{u^h(t) - u(t)} dt

≤c₇

B{u^h(t) - u(t)} dt

≤ c₈(h + ν(h) + δ(h)).

(37)



t₁

Вследствие включения (25) имеем

∫

τ_i



∫

τ_i



²



|u^h(t)|2r dt = δ(h)|u^hi|2r ≤

−1(h)

u_∗(t)dt

(h) ≤

^δ

 δ

τi-1

(∫τi

)

∫

τ_i

≤ δ-2(h)

|u_∗(t)|2r dt δ²(h) =

|u_∗(t)|2r dt.

(38)

τi-1

Тогда, учитывая (38), выводим оценку

∫

|u^h(τ) - u_∗(τ)|2r dτ =

|u^h(τ)|2r dτ - 2 (u^h(τ), u_∗(τ)) dτ +

|u_∗(τ)|2r dτ ≤

∫ϑ

∫

≤2

|u_∗(τ)|2r dτ - 2 (u^h(τ), u(τ)) dτ = 2 (u_∗(τ) - u^h(τ), u_∗(τ)) dτ, t ∈ T.

В силу леммы 1 и оценки (37) получаем

∫



sup^

(u_∗(τ) - u^h(τ), u_∗(τ)) dτ

c₉(h + δ(h) + ν(h)).

≤

t∈T

Таким образом, при всех h ∈ (0, h₀) и t ∈ T верно неравенство

∫

|u^h(τ) - u(τ)|2N dτ ≤ c₁₀(h + δ(h) + ν(h)),

из которого и следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022

424

БЛИЗОРУКОВА

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.,

1999.

2. Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов

управляемых систем. Екатеринбург, 2011.

3. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problems for Ordinary Differential Equations: Dynamical

Solutions. London, 1995.

4. Близорукова М.С. О моделировании входа в системе с запаздыванием // Прикл. математика и

информатика. 2000. № 5. С. 105-115.

5. Близорукова М.С., Максимов В.И. О одном алгоритме динамической реконструкции входных воз-

действий при измерении части координат // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2011.

Т. 51. № 6. С. 1007-1017.

6. Blizorukova M., Maksimov V. On one algorithm for reconstruction of a disturbance in a linear system of

ordinary differential equations // Arch. of Contr. Sci. 2020. V. 30. № 4. P. 757-773.

7. Кряжимский А.В., Осипов Ю.С. Устойчивое решение обратных задач динамики управляемых сис-

тем. Оптимальное управление и дифференциальные игры // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1988.

Т. 185. С. 126-146.

8. Kryazimskii A.V., Osipov Yu.S. On positional calculation of normal controls in dynamical systems

// Probl. Control and Inform. Theory. 1984. V. 13. № 6. P. 425-436.

9. Мартьянов А.С. О реконструкции управлений по измерению части координат нелинейной динами-

ческой системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2004. Т. 4. С. 52-60.

10. Maksimov V.I. On dynamical reconstruction of an input in a linear system under measuring a part of

coordinates // J. of Inverse and Ill-Posed Problems. 2018. V. 26. № 3. P. 395-410.

11. Maksimov V.I. Some dynamical inverse problems for hyperbolic systems // Control and Cybernetics.

1996. V. 25. № 3. P. 465-481.

12. Сурков П.Г. Применение метода невязки в задаче восстановления правой части для системы дроб-

ного порядка // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 11. С. 1846-1855.

13. Максимов В.И. О вычислении производной функции, заданной неточно, с помощью законов обрат-

ной связи // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 2015. Т. 291. С. 231-243.

Институт математики и механики

Поступила в редакцию 02.09.2021 г.

им. Н.Н. Красовского УрО РАН,

После доработки 02.09.2021 г.

г. Екатеринбург

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№3

2022