ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.435-455

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.929+519.216.8

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

РЕШЕНИЙ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ

СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

МЕТОДОМ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ

Изучается новый класс стохастических систем с запаздыванием, содержащий одновременно

как компоненты с непрерывным, так и компоненты с дискретным временем. Для анализа

различных видов устойчивости таких систем предложен и обоснован модифицированный

метод регуляризации, основанный на выборе вспомогательного уравнения и применении

теории положительно обратимых матриц. Разработка этого метода для детерминирован-

ных функционально-дифференциальных уравнений осуществлена Н.В. Азбелевым и его

учениками. Приводятся достаточные условия моментной устойчивости решений как в тер-

минах положительной обратимости матриц, построенных по параметрам этих систем, так

и в терминах коэффициентов. Проверяется выполнимость этих условий для конкретных

систем уравнений.

DOI: 10.31857/S037406412204001X, EDN: BZESBP

Светлой памяти нашего дорогого учителя

Николая Викторовича Азбелева (15.04.1922-03.11.2006),

выдающегося советского и российского математика,

в связи со 100-летием со дня его рождения

посвящают авторы эту работу

Введение. Непрерывно-дискретные системы уравнений, образующие важный подкласс

так называемых “гибридных систем”, характеризуются наличием двух составляющих в прост-

ранстве состояний, а именно, компонент с непрерывным временем и компонент с дискретным

временем. Интуитивно это означает, что динамика одной из компонент является чисто непре-

рывной, тогда как другая подвергается дополнительным воздействиям в определённые мо-

менты времени. Такие системы естественным образом возникают в приложениях, например,

в теории управления [1], экологических [2] или биологических [3] моделях.

Поведение многих реальных процессов в природе и технике определяется состоянием не

только в текущий, но и в предшествующие моменты времени. Примерами могут служить

динамические системы, управляемые на значительном расстоянии, а также системы с транс-

портным запаздыванием. Исследования показывают, что решения таких систем без учёта за-

паздывания, даже при малой его величине, могут существенно отличаться от решений тех

же систем с запаздывающим аргументом. Это обстоятельство подчёркивает необходимость и

принципиальную важность изучения систем с запаздыванием.

Одним из основных условий физической реализуемости процесса является его устойчи-

вость. Поэтому изучение непрерывно-дискретных систем и их приложений естественным об-

разом приводит к необходимости создания соответствующего направления в теории устойчиво-

сти. Систематическое изучение качественной теории детерминированных непрерывно-дискрет-

ных систем с запаздыванием, в том числе их устойчивости, начато в работах В.М. Марченко

и его соавторов [4, 5] и продолжено в статье [6]. В этих работах непрерывно-дискретные систе-

мы называются “гибридными”, но, как справедливо указано в [5], в англоязычной литературе

последний термин обычно используется в несколько ином контексте. Поэтому в данной статье

мы называем подобные системы непрерывно-дискретными, что согласуется с более поздними

публикациями по этой тематике, посвящёнными как общей теории таких систем, так и их

приложениям (см., например, статью [7] и приведённые в ней ссылки).

435

436

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

Наконец, учёт стохастических эффектов - важная часть любого реалистичного подхода к

моделированию. Например, в популяционной динамике демографическая и экологическая сто-

хастичность возникают из-за изменения во времени факторов, внешних по отношению к систе-

ме, но влияющих на выживание популяции, а в теории управления случайные коэффициенты

могут моделировать, например, неточности при измерениях. Поэтому изучение непрерывно-

дискретных (гибридных) стохастических систем привлекает в последнее время внимание мно-

гих специалистов (см., например, [8] и использованные в ней ссылки).

Исследования устойчивости систем со случайными параметрами часто проводятся методом

функционалов Ляпунова-Красовского-Разумихина [9, 10]. Однако, как отмечается в моногра-

фии [11], применение прямого метода Ляпунова и его стохастических аналогов для функ-

ционально-дифференциальных уравнений в многих случаях встречает серьёзные трудности.

В частности, эффективные признаки устойчивости обычно удаётся доказывать этими метода-

ми лишь для сравнительно простых классов уравнений.

В данной статье изучается задача, которая ранее, по-видимому, не исследовалась - зада-

ча устойчивости линейных непрерывно-дискретных (гибридных) стохастических уравнений

с запаздываниями. Главное отличие систем, рассматриваемых в статье, от стохастических

систем, изученных в работе [8], заключается в наличии в нашем случае взаимозависимости

компонент системы, что приводит к дополнительным трудностям в использовании функцио-

налов Ляпунова-Красовского-Разумихина. Учитывая сложности, связанные с обоснованием и

применением этой теории, алгоритм получения признаков устойчивости основан в настоящей

работе на методе регуляризации, также известном как метод модельных (вспомогательных)

уравнений или “ W -метод Азбелева” [11, 12]. Этот подход доказал свою эффективность как в

теории стохастических дифференциальных уравнений [13], так и при исследовании стохастиче-

ских разностных уравнений [14-16]. Суть метода заключается в том, что вместо функционала

на пространстве траекторий решений рассматривается ”модельное” уравнение, которое обла-

дает заданным свойством устойчивости и которое используется для регуляризации исходного

уравнения. Проверка устойчивости последнего состоит в оценке нормы некоторого интеграль-

ного оператора или проверки положительной обратимости некоторой матрицы. Последняя

версия W -метода разработана в публикациях [17, 18].

1. Постановка задачи. В статье систематически используются следующие обозначения:

(Ω, F, (F)t≥0, P ) - стохастический базис, где Ω - множество элементарных событий, F -

σ-алгебра событий на Ω, (F)t≥0 - непрерывный справа поток σ-алгебр на Ω, P - полная

вероятностная мера на F;

E - символ математического ожидания на этом пространстве;

kⁿ - линейное пространство n-мерных F₀-измеримых случайных величин;

B_i (i = 2,m) - независимые стандартные скалярные винеровские процессы;

Dⁿ - линейное пространство n-мерных прогрессивно измеримых случайных процессов на

[0, ∞), траектории которых почти наверное (п.н.) непрерывны справа и имеют пределы слева;

Lⁿ - линейное пространство n-мерных случайных процессов на (-∞,0), которые не за-

висят от винеровских процессов B_i (i = 2, m) и имеют п.н. ограниченные в существенном

траектории;

|·| - некоторая норма в Rn;

∥ · ∥ - норма m × n-матриц, согласованная с нормой в Rⁿ;

E - единичная матрица порядка m;

e - n-мерный вектор-столбец, все элементы которого равны единице;

N - множество натуральных чисел, N₊ = {0}

⋃ N;

∥ · ∥_X - норма в нормированном пространстве X;

μ - мера Лебега на [0,∞);

[t] - целая часть числа t;

γ : [0,∞) → R¹ - некоторая положительная непрерывная функция;

= sup(E|γ(t)x(t)|^q)1/q < ∞}, M1q = M_q

(1 ≤ q < ∞);

t≥0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

437

k^nq = {α : α ∈ kⁿ,

k^nq

= (E|α|^q)1/q < ∞}

(1 ≤ q < ∞);

L^nq = {ϕ : ϕ ∈ Lⁿ,

∥ϕ∥_Ln

^def= vrai sup(E|ϕ(ς)|^q )1/q < ∞}

(1 ≤ q < ∞).

ς<0

В дальнейшем для описания класса непрерывно-дискретных систем будет зафиксировано

натуральное число l

(1 ≤ l < n) такое, что x₁(t), . . . , x_l(t) (t ≥ 0) - компоненты вектора

состояний системы с непрерывным временем, тогда как xl+1(s), . . . , x_n(s) (s ∈ N₊) - его

компоненты с дискретным временем. В векторных обозначениях это будет записываться сле-

дующим образом: x(t) = col (x₁(t), . . . , x_l(t)) (t ≥ 0),

x(s) = col (xl+1(s), . . . , x_n(s)) (s ∈ N₊)

и x(t) = col (x(t), x([t])) = col (x₁(t),... ,x_l(t),xl+1([t]),... ,x_n([t])) (t ≥ 0).

В статье для решений системы линейных дифференциальных и разностных уравнений Ито

с последействием вида

∑

∑∑

dx(t) = - A1j(t)x(h1j(t))dt +

A_ij(t)x(h_ij(t))dB_i(t) (t ≥ 0),

j=1

i=2 j=1

∑

x(s + 1) = x(s) -

A₁(s,j)x(j)h+

A_i(s,j)x(j)(B_i((s+1)h)-B_i(sh)) (s ∈ N₊) (1)

j=-∞

i=2 j=-∞

исследуются вопросы моментной устойчивости по начальным данным

x(ς) = ϕ(ς) (ς < 0),

(1a)

x(0) = b.

(1b)

Здесь:

x(t) = col (x₁(t), . . . , x_l(t), xl+1([t]), . . . , x_n([t])) (t ≥ 0) - n-мерный неизвестный случайный

процесс;

A_ij(t) - l×n-матрицы (i = 1,m, j = 1,m_i), причём элементами матриц A1j(t), j = 1,m₁,

являются прогрессивно измеримые скалярные случайные процессы на интервале [0, ∞) с п.н.

локально суммируемыми траекториями, а элементами матриц A_ij(t), i = 2, m, j = 1, m_i, -

прогрессивно измеримые скалярные случайные процессы на [0, ∞), траектории которых п.н.

локально суммируемы с квадратом;

h_ij(t), i = 1,m, j = 1,m_i, - измеримые по Борелю функции, заданные на [0,∞) и такие,

что h_ij (t) ≤ t (t ≥ 0) μ-почти всюду (п.в.), i = 1, m, j = 1, m_i;

h - положительное действительное число;

A_i(s,j) - (n - l) × n-матрицы, элементами которых являются F_s-измеримые скалярные

случайные величины при i = 1, m, s ∈ N₊, j = -∞, s;

ϕ(ς) = col (ϕ₁(ς), . . . , ϕ_l(ς), ϕl+1([ς]), . . . , ϕ_n([ς])) (ς < 0) - F₀-измеримый n-мерный слу-

чайный процесс с п.н. ограниченными в существенном траекториями;

b = col(b₁,...,b_n) - F₀-измеримая n-мерная случайная величина, т.е. b ∈ kⁿ.

Определение 1. Под решением задачи (1), (1a), (1b) понимается случайный процесс

x(t) = col (x₁(t), . . . , x_l(t), xl+1([t]), . . . , x_n([t])) (t ∈ R), являющийся прогрессивно измеримым

при t ≥ 0 и удовлетворяющий соотношениям

x(ς) = ϕ(ς) (ς < 0), x(0) = col (x(0), x(0)) = b,

а также P -п.в. системе

∫

∑

x(t) = x(0) -

A1j(ς)x(h1j(ς))dς +

A_ij(ς)x(h_ij(ς))dB_i(ς) (t ≥ 0),

j=1 0

i=2 j=1 0

∑

x(s + 1) = x(s) -

A₁(s,j)x(j)h +

A_i(s,j)x(j)(B_i((s + 1)h) - B_i(sh)) (s ∈ N₊),

j=-∞

i=2 j=-∞

в которой первый интеграл - это интеграл Лебега, а второй - интеграл Ито.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

438

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

Используя метод сжимающих отображений, можно убедиться (см., например, [19]), что при

сделанных предположениях задача (1), (1a), (1b) имеет единственное решение. В частности,

при нулевых начальных условиях эта задача имеет только тривиальное (т.е. нулевое) решение.

Обозначим решение задачи (1), (1a), (1b) через x(t, b, ϕ) (t ∈ R). Очевидно, на интервале

[0, +∞) выполнено соотношение x(·, b, ϕ) ∈ Dⁿ.

Пусть 1 ≤ q < ∞.

Определение 2. Систему (1) назовём:

q-устойчивой по начальным данным, если для любого ϵ > 0 найдётся такое δ(ϵ) > 0,

что при всех b ∈ k^nq и ϕ ∈ L^nq, для которых ∥b∥_kn

+ ∥ϕ∥_Ln

< δ(ϵ), выполняется неравенство

(E|x(t, b, ϕ)|^q )1/q ≤ ϵ для любого t ≥ 0;

асимптотически q-устойчивой относительно начальных данных, если оно q-устойчиво,

и, кроме того, для всех b ∈ k^nq и ϕ ∈ L^nq, для которых ∥b∥_kn

+ ∥ϕ∥_Ln

< δ(ϵ), выполняется

соотношение lim (E|x(t, b, ϕ)|^q )1/q = 0;

t→+∞

экспоненциально q-устойчивой относительно начальных данных, если существуют поло-

жительные числа c и λ такие, что для решения x(t, b, ϕ) (t ∈ R) задачи (1), (1a), (1b) при

всех b ∈ k^nq и ϕ ∈ L^nq выполняется неравенство

(E|x(t, b, ϕ)|^q )1/q ≤ c exp{-λt}(∥b∥_kn

+ ∥ϕ∥_Ln) (t ≥ 0).

В настоящей статье, в основном, изучается экспоненциальная q-устойчивость, однако ис-

пользуемый метод регуляризации применим в гораздо более общем контексте. Так как все

виды устойчивости из определения 2 представляют практический интерес, метод исследова-

ния будет ниже изложен в максимально общем виде.

2. Метод регуляризации в задачах устойчивости. В этом пункте излагается основ-

ной метод исследования, применяемый в настоящей статье и адаптированный к непрерывно-

дискретным стохастическим системам. Для этой цели свойства стохастической устойчивости

из определения 2 будут переформулированы в более удобном виде.

Следующее свойство объединяет все виды стохастической устойчивости из определения 2.

Пусть 1 ≤ q < ∞.

Определение 3. Систему (1) назовём

q -устойчивой, если при любых b ∈ k^q, ϕ ∈

∈ L^nq для решения x(t,b,ϕ) (t ∈ R) задачи (1), (1a), (1b) на интервале [0,∞) выполняются

соотношение x(·, b, ϕ) ∈

q и неравенство

∥x(·, b, ϕ)∥_Mγ

≤ c(∥b∥_kn

+ ∥ϕ∥_Ln) для некоторого

положительного числа c.

Непосредственное сравнение определений 2 и 3 приводит к следующим очевидным вы-

водам, на которых основан метод регуляризации (т.е. W -метод Азбелева) для непрерывно-

дискретных стохастических систем:

- из M_q-устойчивости системы (1) следует q-устойчивость этой же системы относительно

начальных данных;

- из

q -устойчивости системы (1) (где γ(t) ≥ δ > 0 (t ≥ 0) и lim γ(t) = +∞) вытекает

t→+∞

асимптотическая q-устойчивость этой же системы относительно начальных данных;

- из

q -устойчивости системы (1) (где γ(t) = exp{λt} (t ≥ 0), λ - некоторое поло-

жительное число) следует экспоненциальная q-устойчивость этой же системы по начальным

данным.

Для дальнейшего описания метода регуляризации рассмотрим следующую вспомогатель-

ную (”модельную”) непрерывно-дискретную систему линейных стохастических уравнений:

∑

dx(t) = (-B(t)x(t) + f₁(t))dt +

f_i(t)dB_i(t) (t ≥ 0),

i=2

∑

x(s + 1) = x(s) + (-B(s)x(s) + g₁(s))h +

g_i(s)(B_i((s + 1)h) - B_i((s + 1)h)) (s ∈ N₊),

(2)

i=2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

439

где B(t)- l × l-матрица, элементами которой являются прогрессивно измеримые случайные

процессы на интервале [0, ∞) с п.н. локально суммируемыми траекториями, f₁(t) - l-мерный

прогрессивно измеримый случайный процесс на [0, ∞) с п.н. локально суммируемыми траек-

ториями, f_i(t), i = 2, m, - l-мерные прогрессивно измеримые случайные процессы на [0, ∞) с

п.н. локально суммируемыми с квадратом траекториями,

^B(s) - (n - l) × (n - l)-матрица, эле-

ментами которой являются F_s-измеримые скалярные случайные величины (s ∈ N₊), g_i(s),

i = 1,m, - (n - l)-мерные F_s-измеримые случайные величины (s ∈ N₊), h > 0 - константа

из уравнения (1).

Справедливость следующей леммы непосредственно вытекает из известных формул, да-

ющих представления решений линейных обыкновенных неоднородных дифференциальных и

разностных уравнений. В случае обыкновенных линейных дифференциальных уравнений Ито

доказательства аналога этой леммы можно найти в диссертации [19].

Лемма 1. Для решения x(t) системы (2) имеет место представление

∫t

∫

∑

x(t) =^X(t, 0)x(0) +

^X(t, ς)f(ς) dς +

^X (t, ς)f_i(ς) dB_i(ς) (t ≥ 0),

i=2 0

∫

∑

∑∑

x(s) =^X(s, 0)x(0) +

^X(s, τ + 1)g₁(τ)h +

^X(s, τ + 1)g_i(τ)

dB_i(ς) (s ∈ N₊),

τ=0

i=2 τ=0

τh

где

^X (t, ς) (t ≥ 0, 0 ≤ ς ≤ t) - l × l-матрица, столбцы которой являются решениями сис-

темы dx(t) = -B(t)x(t) dt (t ≥ 0), причём

^X(t, t) (t ≥ 0) - единичная матрица порядка l,

^X (s, τ) (s, τ ∈ N+,

0 ≤ τ ≤ s) - (n - l) × (n - l)-матрица, столбцы которой являют-

ся решениями системы x(s + 1) = x(s) +^B(s)x(s)h (s ∈ N₊), причём

^X (s, s) (s ∈ N₊) -

единичная матрица порядка n - l.

Используя вспомогательную систему (2) и лемму 1, запишем задачу (1), (1a), (1b) в экви-

валентном виде

x(t) = X(t)b + (Θx)(t) + (Kϕ)(t) (t ≥ 0),

(3)

где X(t) - блочнo-диагональная матрица, у которой на главной диагонали стоят матрицы

^X (t, 0) и

^X ([t], 0), а вне неё - нулевые матрицы

0 и 0 размеров l × (n - l) и (n - l) × l

соответственно. Операторы Θ и K имеют следующее представление:

(∫t

(

)

∑

(Θx)(t) = col

^X(t, ς) B(ς)x(ς) -

A1j(ς)x(h1j(ς)) dς +

j=1

∫

(

)

∑

^X(t, ς)A_ij (ς)x(h_ij (ς)) dB_i(ς), -

^X ([t], τ + 1)

^B(τ)x(τ) -

A₁(τ,j)x(j) h +

τ=0

j=0

i=2 j=1 0

∫

)

∑

^X([t], τ + 1)

A_i(τ,j)x(j)

dB_i(ζ)

i=2 τ=0

j=0

τh

∫

∑

(Kϕ)(t) = col

^X (t, ς)A1j (ς)ϕ(h1j (ς)) dς +

^X(t, ς)A_ij (ς)ϕ(hij (ς)) dBi(ς) -

j=1 0

i=2 j=1 0

∫

)

[t]-1∑

∑

[t]-1∑

∑

−

^X ([t], τ + 1)

A₁(τ,j)ϕ(j)h +

^X ([t], τ + 1)

A_i(τ,j)ϕ(j)

dB_i(ζ)

τ=0

j=-∞

i=2 τ=0

j=-∞

τh

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

440

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

x(t) = col (x1(t), . . . , xl(t), xl+1([t]), . . . , xn([t])) - неизвестный n-мерный случайный процесс

на R такой, что x(t) = 0 при t < 0 и x(t) = x(t) при t ≥ 0,

x(t)=col(x1(t),... , x_l(t)),

x(t)=col(xl+1([t]),... , x_n([t])),

ϕ(t) - известные n-мерные случайные процессы на R, причём

ϕ(t) = ϕ(t) при t < 0 и

ϕ(t) = 0 при t ≥ 0. Этот способ представления решений систем с запаздыванием, заданных

на R в виде уравнений на полуоси [0, ∞), широко используется в теории функционально-

дифференциальных уравнений [12].

Теорема 1. Пусть 1 ≤ q < ∞ и существует система (2) такая, что при любых b ∈ k^nq,

ϕ∈L^nq,

x∈

q для системы (3) на интервале [0,∞) справедливы оценки

∥Xb∥_Mγ

≤ c₁∥b∥_kn

∥Θx∥_Mγ

≤c₂∥x∥_Mγ

∥Kϕ∥_Mγ

≤ c₃∥ϕ∥_Ln

где c₁, c₂, c₃ - некоторые положительные постоянные, причём c₂ < 1. Тогда система (1)

является

q -устойчивой.

Доказательство. Из представления (3) следует неравенство

∥x∥_Mγ

≤ ∥Xb∥_Mγ

+ ∥Θx∥_Mγ

+ ∥Kϕ∥_Mγ ,

из которого в силу предположений теоремы получаем, что

∥x∥_Mγ

≤ c₁∥b∥_kn

+ c₂∥x∥_Mγ

+ c₃∥ϕ∥_Ln

Так как c₂ < 1 и x(t, b, ϕ) = x(t) при t ≥ 0, то из предыдущего неравенства вытекает, что

при любых b ∈ k^nq, ϕ ∈ L^nq для решения x(t, b, ϕ) (t ∈ R) задачи (1), (1a), (1b) на интервале

[0, ∞) выполняются соотношение x(·, b, ϕ) ∈

q и неравенство

∥x(·, b, ϕ)∥_Mγ

≤ c(∥b∥_kn

+ ∥ϕ∥_Ln),

где c - некоторая положительная постоянная. Значит, система (1) является

q -устойчивой,

и теорема доказана.

Теорему 1 можно использовать для получения достаточных условий устойчивости систе-

мы (1) в терминах параметров этой системы, как это делается в классической версии W -ме-

тода [11]. Однако, как показано в работах [17, 18], такие условия получаются более точными,

если использовать покомпонентные оценки решений. Поэтому ниже предлагается улучшенный

метод регуляризации для случая непрерывно-дискретных стохастических систем с последей-

ствием.

Определение 4. Обратимая матрица B = (b_ij)mi,j=1 называется положительно обрати-

мой, если все элементы матрицы B-1 положительны.

Согласно [20, гл. 16, с. 305] матрица B положительно обратима, если b_ij ≤ 0 при i, j =

= 1, m, i = j, и выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1) все диагональные миноры матрицы B положительны;

∑_m

2) существуют ξ_i > 0, i = 1, m, такие, что ξ_ib_ii >

ξ_j|b_ij|, i = 1,m;

j=1, i=j

∑

3) существуют ξ_i > 0, i = 1, m, такие, что ξ_j b_jj >

ξ_i|b_ij|, j = 1,m.

i=1, i=j

В частности, если положить ξ_i = 1, i = 1, m, то получим класс матриц со строгим диаго-

нальным преобладанием и неположительными внедиагональными элементами.

Для случайного процесса x(t) = col (x₁(t), . . . , x_l(t), xl+1([t]), . . . , x_n([t])) и константы 1 ≤

≤ q < ∞ введём обозначение x^γ(q) = col(xγ1(q),..., xⁿ(q)), где

x^γi(q) = sup(E|γ(t)x_i(t)|^q)1/q

t≥0

при i = 1, l и x^γi(q) = sup(E|γ(t)x_i([t])|^q)1/q при i = l + 1, n.

t≥0

Пусть для некоторых 1 ≤ q < ∞ и положительной непрерывной функции γ : [0, ∞) → R¹

нам удалось с помощью покомпонентных оценок решений системы (3) получить матричное

неравенство следующего вида:

Ex^γ(q) ≤ Cx^γ(q) + c∥b∥_kn

e + ĉ∥ϕ∥_Lne,

(4)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

441

где C - некоторая неотрицательная n × n-матрица, а c,

ĉ - некоторые неотрицательные

постоянные. Тогда справедлива следующая

Теорема 2. Пусть существует вспомогательная система (2) такая, что в неравенстве

(4) матрица

E-C являетсяположительнообратимой.Тогдасистема(1)

q -устойчивa.

Доказательство. Пользуясь положительной обратимостью матрицы

E - C, запишем

неравенство (4) в следующем виде:

x^γ(q) ≤ (E - C)-1(c∥b∥_kne + ĉ∥ϕ∥Lne),

откуда получаем, что

|x^γ(q)| ≤ c(∥b∥_kn

+ ∥ϕ∥_Ln),

(5)

где c = ∥

E -C)-1∥|e|max{c,ĉ}. Так как x(t,b,ϕ) = x(t) при t ≥ 0 и ∥x(·,b,ϕ)∥_Mγ ≤ |x^γ(q)|,

то из неравенства (5) следует, что при любых b ∈ k^nq, ϕ ∈ L^nq для решений x(t, b, ϕ) (t ∈

∈ R) задачи (1), (1a), (1b) на интервале [0,∞) выполняются соотношение x(·,b,ϕ) ∈

q и

неравенство

∥x(·, b, ϕ)∥_Mγ

≤ c(∥b∥_kn

+ ∥ϕ∥_Ln),

где c - некоторая положительная постоянная. Значит, система (1) является

q -устойчивой.

Теорема доказана.

На основании теоремы 2 в п. 3 будут получены достаточные условия моментной устойчи-

вости системы (1) по начальным данным в терминах параметров этой системы.

3. Достаточные условия M^γq -устойчивости. В этом пункте изучается задача устой-

чивости системы (1) в смысле определения 3. При этом пространства

q рассматриваются с

весом и без него (т.е. γ = 1). В последнем случае система (1) будет устойчива в смысле опреде-

ления 2, т.е. по начальным данным. Понятие

q -устойчивости с экспоненциальным весом γ

используется в п. 4 для доказательства признаков экспоненциальной моментной устойчивости

системы (1) по начальным данным. В дальнейшем считаем, что 1 ≤ p < ∞.

Сформулируем две леммы, которые понадобятся в дальнейшем.

Лемма 2. Пусть f(ς) - скалярный прогрессивно измеримый случайный процесс, инте-

грируемый по винеровскому процессу B(ς) на отрезке [0,t]. Тогда справедливо неравенство

(

 ∫



)1/(2p)

( (∫t

)_p)1/(2p)



2p



f (ς) dB(ς)

≤c_p E

|f(ς)|² dς

(6)



где c_p - некоторая постоянная, зависящая от p.

Справедливость неравенства (6) следует из неравенства, приведённого в монографии [21,

§ 65], где указаны и конкретные оценки для c_p.

Лемма 3. Пусть g(ς) - скалярная функция на [0, ∞), квадрат которой локально сум-

мируем, а f(ς) - скалярный случайный процесс такой, что sup(E|f(ς)|2p)1/2p < ∞. Тогда

ς≥0

справедливы неравенства

(

 ∫



)1/(2p)

(∫t

)



2p



sup

g(ς)f(ς) dς

≤ sup

|g(ς)| dς sup(E|f(ς)|2p)1/(2p),

(7)



t≥0

ς≥0

( ∫ t

)1/(2p)

(∫t

)1/2

sup E|

g(ς)²f(ς)² dς|^p

≤ sup

g(ς)² dς

sup(E|f(ς)|2p)1/(2p).

(8)

t≥0

ς≥0

Лемма 3 доказана в работе [13].

В дальнейшем используются обозначения, введённые в предыдущих пунктах. Кроме того,

элементы матрицы A_ij(t) из системы (1) обозначаются ниже a^ijkr(t), k = 1, l, r = 1, n, при

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

442

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

i = 1, m, j = 1, mi, t ≥ 0, а элементы матрицы Ai(s, j) из этой системы обозначаются

a^ikr(s,j), k = l + 1,n, r = 1,n, при i = 1,m, s ∈ N₊, j = -∞,s.

Для формулировки теоремы 3 предположим, что для системы (1) выполнены следующие

условия:

a₁) существуют суммируемые функции a1jkr(t) (t ≥ 0), j = 1,m₁, k = 1,l, r = 1,n, и

суммируемые с квадратом функции a^ijkr(t) (t ≥ 0), i = 2, m, j = 1, m_i, k = 1, l, r = 1, n,

такие, что |a^ijkr(t)| ≤ a^ijkr(t) (t ≥ 0) P × μ-п.в. при i = 1, m, j = 1, m_i, k = 1, l, r = 1, n;

a₂) существуют неотрицательные числа a^ikr(s,j), i = 1,m, k = l + 1,n, r = 1,n, s ∈ N₊,

j = -∞,s, такие, что |a^ikr(s,j)| ≤ a^ikr(s,j) P-п.в. при i = 1,m, k = l + 1,n, r = 1,n, s ∈ N₊,

j = -∞,s;

∑_∞ ∑_τ

a₃) имеет место соотношение

a^ikr(τ,j) < ∞ при i = 1,m, k = l + 1,n,

τ=0

j=-∞

r = 1,n.

Определим элементы n × n-матрицы C следующим образом:

∫

∞

∫

)1/2

∑

c_kr =

a1j(ς) dς + cp

a^ijkr(ς)² dς

k = 1,l, r = 1,n,

i=2 j=1

j=1 0

∑∑

∑

c_kr = h

a1kr(τ,j) + c_p

a^ikr(τ,j), k = l + 1,n, r = 1,n.

τ=0 j=0

i=2 τ=0 j=0

В этих обозначениях справедлива

Теорема 3. Если выполнены условия a₁)- a₃) и матрица

E-C является положительно

обратимой, то система (1) M2p-устойчивa.

Доказательство. Применим теорему 2 при q = 2p и γ(t) ≡ 1 (t ≥ 0). В качестве

вспомогательной системы (2) возьмём систему, у которой элементы матриц B(t) и

^B(s) тож-

дественно нулевые. В этом случае матрицы

^X (t, ς) (t ≥ 0, 0 ≤ ς ≤ t) и

^X (s, τ) (s, τ ∈ N₊,

0 ≤ τ ≤ s) являются единичными матрицами порядков l и n - l соответственно. Представ-

ление (3) запишем в следующем виде:

)

(∑l

∫

∑

x_k(t) = b_k -

a1jkr(ς)x_r(h1j(ς))dς +

a1jkr(ς)x_r([h1j(ς)])dς

j=1

r=1 0

r=l+1 0

∫

)

∑

a^ijkr(ς)x_r(h_ij(ς))dB_i(ς) +

a^ijkr(ς)x_r([h_ij(ς)])dB_i(ς)

i=2 j=1

r=1 0

r=l+1 0

)

(∑l

∫

∑

a1jkr(ς

ϕr (h1j (ς)) dς +

a1jkr(ς

ϕr([h1j (ς)]) dς

j=1

r=1 0

r=l+1 0

∫

)

∑

a^ijkr(ς

ϕr(hij (ς)) dBi(ς) +

a^ijkr(ς

ϕr ([hij (ς)]) dBi(ς)

(t ≥ 0), k = 1, l,

i=2 j=1

r=1 0

r=l+1 0

∫

∑

x_k([t]) = b_k -

a1kr(τ,j)x_r(j)h +

a^ikr(τ,j)x_r(j)

dB_i(ς) -

τ=0 j=0 r=1

i=2 τ=0 j=0 r=1

τh

∫

[t]-1∑

∑

[t]-1∑

∑

a1kr(τ,j)ϕ_r(j)h+

a^ikr(τ,j)ϕ_r(j)

dB_i(ς) (t ≥ 0), k = l+1, n.

τ=0 j=-∞ r=1

i=2 τ=0 j=-∞ r=1

τh

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

443

Из этого представления, условий теоремы и неравенств (6)-(8), а также с учётом оценок

(E|b_k|2p)1/(2p) ≤ ∥b∥_kn (k = 1, n), vrai sup(E|ϕr(ς)|2p)1/(2p) < ∥ϕ∥Ln (r = 1, n)

ς<0

получаем

∑

x1k(2p) ≤ ∥b∥_kn +

c_kr x1k(2p) +

c_kr∥ϕ∥_Ln , k = 1,l,

r=1

∑

x1k(2p) ≤ ∥b∥_kn +

c_kr x1k(2p) +

ckr∥ϕ∥Lⁿ , k = l + 1, n,2p

r=1

∑_∞ ∑-1

√

∑_m ∑_∞ ∑-1

где c_kr = h

a1kr(τ,j) + c_p

a^ikr(τ,j), k = l + 1,n, r = 1,n.

τ=0

j=-∞

i=2

τ=0

j=-∞

Последнюю систему неравенств запишем в матричной форме

Ex¹(2p) ≤ Cx¹(2p) + ∥b∥_kne + ĉ∥ϕ∥Lne,

∑_n

где ĉ = max{

c_kr, k = 1,l,

ckr, k = l + 1, n}. Так как матрица

E-C положительно

r=1

обратима, то в силу теоремы 2 система (1) M2p-устойчивa. Теорема доказана.

Для формулировки теоремы 4 предположим, что для системы (1) выполнены условия:

b₁) справедливо равенство h₁₁(t) = t (t ≥ 0);

b₂) диагональные элементы матриц A₁₁(t) (t ≥ 0), A₁(s,s) (s ∈ N₊) имеют вид a11kk(t)+

+ λ_k (t ≥ 0), k = 1,l, и a1kk(s,s) + λ_k (s ∈ N₊), k = l + 1,n, соответственно, где λ_k,

k = 1,n, - некоторые положительные числа, причём 0 < λ_kh < 1, k = l + 1,n;

b₃) существуют неотрицательные числа a^ijkr, i = 2,m, j = 1,m_i, k = 1,l, r = 1,n, такие,

что |a^ijkr(t)| ≤ a^ijkr (t ≥ 0) P × μ-п.в. при всех этих индексах;

b₄) существуют неотрицательные числа a^ikr(s,j), i = 1,m, k = l + 1,n, r = 1,n, s ∈

∈ N₊, j = -∞,s, такие, что |a^ikr(s,j)| ≤ a^ikr(s,j) P-п.в. при всех этих индексах, причём

∑_τ

sup

a^ikr(τ,j) < ∞ при i = 1,m, k = l + 1,n, r = 1,n.

j=-∞

τ ∈N₊

Определим элементы n × n-матрицы C следующим образом:

∑

c_kr =

a1jkr

√

a^ijkr, k = 1,l, r = 1,n,

λ_k

2λ_k

j=1

i=2 j=1

∑

c_p

c_kr =

sup

a1kr(τ,j) +

√

sup

a^ikr(τ,j), k = l + 1,n, r = 1,n.

λkτ∈N+

λ_k

ς≥0

j=0

i=2

j=0

Тогда справедлива

Теорема 4. Если выполнены условия b₁)- b₄) и матрица

E -C является положительно

обратимой, то система (1) M2p-устойчивa.

Доказательство. Снова воспользуемся теоремой 2 при q = 2p и γ(t) ≡ 1 (t ≥ 0).

В качестве вспомогательной системы (2) возьмём систему, у которой B(t) и

^B(s) являют-

ся постоянными диагональными матрицами с диагональными элементами λ_k, k = 1, l, и λ_k,

k = l + 1,n, соответственно. В этом случае

^X (t, ς) (t ≥ 0, 0 ≤ ς ≤ t) и

^X (s, τ) (s, τ ∈

∈N₊,

0 ≤ τ ≤ s) также являются диагональными матрицами с диагональными элементами

x_k(t,ς) = exp{-λ_k(t - ς)} (t ≥ 0,

0 ≤ ς ≤ t), k = 1,l, и xk(s,τ) = (1 - λkh)s-τ (s,τ ∈ N+,

0 ≤ τ ≤ s), k = l + 1,n, соответственно. Тогда систему (3) можно записать в следующем виде:

(∑l

∫

)

∑

x_k(t) = x_k(t,0)b_k -

x_k(t,ς)a1jkr(ς)x_r(h1j(ς))dς +

x_k(t,ς)a1jkr(ς)x_r([h1j(ς)])dς

j=1

r=1 0

r=l+1 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

444

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

∫

)

∑

x_k(t,ς)a^ijkr(ς)x_r(h_ij(ς))dB_i(ς) +

x_k(t,ς)a^ijkr(ς)x_r([h_ij(ς)])dB_i(ς)

i=2 j=1

r=1 0

r=l+1 0

(∑l

∫

)

∑

x_k(t,ς)a1jkr(ς

ϕr (h1j (ς)) dς +

x_k(t,ς)a1jkr(ς

ϕr([h1j (ς)]) dς

j=1

r=1 0

r=l+1 0

∫

)

∑

x_k(t,ς)a^ijkr(ς

ϕr (hij (ς)) dBi(ς) +

x_k(t,ς)a^ijkr(ς

ϕr([hij (ς)]) dBi(ς)

i=2 j=1

r=1 0

r=l+1 0

если t ≥ 0, k = 1, l, и

[t]-1∑

∑

x_k([t]) = x_k([t],0)b_k -

x_k([t],τ + 1)

a1kr(τ,j)x_r(j)h +

τ=0

j=0 r=1

∫

∑

[t]-1∑

∑∑

[t]-1∑

∑

x_k([t],τ +1)

a^ikr(τ,j)x_r(j)

dB_i(ς)-

x_k([t],τ +1)

a1kr(τ,j)ϕ_r(j)h+

i=2 τ=0

j=0 r=1

τ=0

j=-∞ r=1

τh

∫

∑

x_k([t],τ + 1)

a^ikr(τ,j)ϕ_r(j)

dB_i(ς),

i=2 τ=0

j=-∞ r=1

τh

если t ≥ 0, k = l + 1, n. Из этой системы, условий теоремы и неравенств (6)-(8), а также

учитывая оценки

(E|b_k|2p)1/(2p) ≤ ∥b∥_kn (k = 1, n), vrai sup(E|ϕr(ς)|2p)1/(2p) < ∥ϕ∥Ln (r = 1, n)

ς<0

и равенства

∫

(∫t

)1/2

sup

x_k(t,ς)dς =

sup

x_k(t,ς)² dς

√

(k = 1, l),

t≥0

λ_k

t≥0

2λ_k

[t]-1∑

sup

x_k([t],τ + 1) = sup(1 + (1 - λ_kh) + ... + (1 - λ_kh)[t]-1 =

t≥0

t≥0 τ=0

∑

(1 - λ_kh)^τ =

(k = l + 1, n),

1 - (1 - λ_kh)

λ_kh

τ=0

получаем, что

∑

x1k(2p) ≤ ∥b∥_kn +

c_kr x1k(2p) +

c_kr∥ϕ∥_Ln , k = 1,l,

r=1

∑

x1k(2p) ≤ ∥b∥_kn +

c_kr x1k(2p) +

ckr∥ϕ∥Lⁿ , k = l + 1, n,2p

r=1

где

∑

c_p

ckr =

sup

a1kr(τ,j) +

√

sup

a^ikr(τ,j), k = l + 1,n, r = 1,n.

λkτ∈N+

λ_k

j=-∞

i=2

τ ∈N₊ j=-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

445

Последнюю систему неравенств запишем в матричной форме

Ex¹(2p) ≤ Cx¹(2p) + ∥b∥_kne + ĉ∥ϕ∥Lne,

∑_n

где ĉ = max{

c_kr, k = 1,l;

E-C положительно

r=1

ckr, k = l + 1, n}. Так как матрица

обратима, то система (1) будет M2p-устойчивой в силу теоремы 2. Теорема доказана.

В следующей теореме рассматривается Mγ2p-устойчивость системы (1) с экспоненциальным

весом γ(t) = exp{λt} (t ≥ 0), где λ - некоторое положительное число. Эта теорема является

главным источником признаков экспоненциальной 2p-устойчивости системы (1) по начальным

данным, которые будут установлены в следующем пункте работы. Как отмечается в [11], при-

меры показывают, что экспоненциальная устойчивость решений систем детерминированных

линейных функционально-дифференциальных уравнений, как правило, наблюдается только

в случае ограниченных запаздываний. Это объясняет, в частности, первое из условий c₁),

накладываемых на систему (1) в приводимой ниже теореме 5. Предположим, что:

c₁) существуют неотрицательные числа τ_ij, i = 1,m, j = 1,m_i, такие, что 0 ≤ t-

− h_ij(t) ≤ τ_ij (t ≥ 0) μ-п.в. при всех этих индексах;

c₂) существуют неотрицательные числа a^ijkr, i = 1,m, j = 1,m_i, k = 1,l, r = 1,n, такие,

что |a^ijkr(t)| ≤ a^ijkr (t ≥ 0) P × μ-п.в. при всех этих индексах; кроме того, пусть существуют

положительные числа λ_k, k = 1, n, для которых

c₃) диагональные элементы матрицы A₁(s,s) (s ∈ N₊) имеют вид a1kk(s,s)+λ_k (s ∈ N₊),

k = l + 1,n;

∑

c₄) справедливо неравенство

a1jkk(t) ≥ λk (t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1,l для

j∈I_k

некоторых подмножеств I_k ⊂ {1, . . . , m₁}, k = 1, l;

c₅) выполняются оценки 0 < λ_kh < 1 при k = l + 1,n;

c₆) существуют d_i ∈ N₊, i = 1,m, для которых:

элементы матриц A_i(s, j) равны нулю P -п.в. при s ∈ N₊, j = -∞, s - d_i - 1, i = 1, m;

|a^ikr(s, j)| ≤ a^ikr(s, j) P -п.в. при i = 1, m, k = l + 1, n, r = 1, n, s ∈ N₊, j = s - d_i, s,

причём для всех i = 1, m, k = l + 1, n, r = 1, n

∑

sup

a1kr(τ,j) < ∞,

τ ∈N₊

j=ν_i(τ)

где ν_i(τ) = 0 при 0 ≤ τ ≤ d_i и ν_i(τ) = τ - d_i при τ > d_i.

Элементы n × n-матрицы C определим следующим образом:

)

(∑

(m1∑

∑∑

∑

c_p

c_kk =

a1j

a1ντ1j + cp

a^iνkr√τ1j

a1j

√

a^ijkk, k = 1,l,

λ_k

2λ_k

j∈I_k

ν=1

i=2 ν=1

j=1

i=2 j=1

j∈{1,...,m₁}/I_k

)

(∑

(m1∑

∑∑

∑

c_kr =

a1j

a1ντ1j + cp

a^iνkr√τ1j

a1j

λ_k

j∈I_k

ν=1

i=2 ν=1

j=1

∑∑

c_p

√

a^ijkr, k = 1,l, r = 1,n, k = r,

2λ_k

i=2 j=1

(

)

∑

c_kr =

h sup

a1kr(τ,j) + c_p

sup

a^ikr(τ,j) ,

k = 1,l, r = 1,n.

λ_kh

τ ∈N₊

j=ν₁(τ)

i=2

j=ν_i(τ)

Тогда справедлива

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

446

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

Теорема 5. Если выполнены условия c₁)- c₆) и матрица

E- C является положитель-

но обратимой, то система (1) Mγ2p-устойчивa с экспоненциальным весом γ(t) = exp{λt}

(t ≥ 0), где

0 < λ < min{λ_i, i = 1,l; -ln(1 - λ_ih), i = l + 1,n}.

(9)

Доказательство. Положим q = 2p и воспользуемся схемой доказательства двух преды-

дущих теорем. В качестве вспомогательной системы (2) возьмём систему, где B(t) и

^B(s)

∑

являются диагональными матрицами с диагональными элементамиj∈Ik a1jkk(t), k = 1, l,

и λ_k, k = l + 1,n, соответственно. В этом случае

^X (t, ς) (t ≥ 0, 0 ≤ ς ≤ t) и

^X(s, τ) (s, τ ∈

∈N₊,

0 ≤ τ ≤ s) также являются диагональными матрицами с диагональными элементами

∫t∑

x_k(t,ς) = exp{-

a1jkk(ς)dς} (t ≥ 0, 0 ≤ ς ≤ t), k = 1,l, и xk(s,τ) = (1 - λkh)s-τ

j∈I_k

(s, τ ∈ N+,

0 ≤ τ ≤ s), k = l + 1,n, соответственно. Тогда систему (3) можно записать в

следующем виде:

∫

∑

x_k(t) = x_k(t,0)b_k +

x_k(t,ς)a1jkk(ς)

dx_k(ζ) -

a1jkk(t)x_k(h1j(t)) -

j∈{1,...,m₁}/I_k

j∈I_k 0

h1j (ς)

∫

)

(∑l

∑

x_k(t,ς)a1jkr(ς)x_r(h1j(ς))dς +

x_k(t,ς)a1jkr(ς)x_r([h1j(ς)])dς

j=1

r=1

r=l+1 0

r=k

∫

)

∑

x_k(t,ς)a^ijkr(ς)x_r(h_ij(ς))dB_i(ς) +

x_k(t,ς)a^ijkr(ς)x_r([h_ij(ς)])dB_i(ς)

i=2 j=1

r=1 0

r=l+1 0

(∑l

∫

)

∑

x_k(t,ς)a1jkr(ς)χ1j(ς

ϕr (h1j (ς)) dς +

x_k(t,ς)a1jkr(ς)χ1j(ς

ϕr ([h1j (ς)]) dς

j=1

r=1 0

r=l+1 0

∫

)

∑

x_k(t,ς)a^ijkr(ς)χ_ij(ς

ϕr(hij (ς)) dBi(ς)+

x_k(t,ς)a^ijkr(ς)χ_ij(ς

ϕr ([hij (ς)]) dBi(ς)

i=2 j=1

r=1 0

r=l+1 0

если t ≥ 0, k = 1, l, и

[t]-1∑

∑

x_k([t]) = x_k([t],0)b_k -

x_k([t],τ + 1)

a1kr(τ,j)x_r(j)h +

τ=0 j=ν₁(τ)

r=1

∫

∑

[t]-1∑

∑

x_k([t],τ + 1)

a^ikr(τ,j)x_r(j)

dB_i(ς) -

i=2 τ=0

j=ν_i(τ) r=1

τh

[t]-1∑

∑

−

x_k([t],τ + 1)

χ₁(τ)a1kr(τ,j)ϕ_r(j)h +

τ=0

j=-d₁ r=1

∫

∑

[t]-1∑

∑

x_k([t],τ + 1)

χ_i(τ)a^ikr(τ,j)ϕ_r(j)

dB_i(ς),

i=2 τ=0

j=-d_i r=1

τh

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

447

если t ≥ 0, k = l + 1, n. Здесь χ_ij (ς) - характеристическая функция отрезка [0, τ_ij ] при ς ≥ 0

для i = 1, m, j = 1, m_i, а χ_i(τ) - характеристическая функция множества 0 ≤ τ ≤ d_i при

τ ∈ N₊ для i = 1,m, ν_i(τ) = 0 при 0 ≤ τ ≤ d_i, ν_i(τ) = τ - d_i при τ > d_i для i = 1,m.

Пустьhij - измеримая по Борелю функция, заданная на R и такая, чтоhij (t) = h_ij (t)

при t ≥ 0 иhij (t) = 0 при t < 0 для i = 1, m, j = 1, m_i. Из предыдущей системы, условий

теоремы и неравенств (6)-(8), а также учитывая, что

∑∑

dx_k(ζ) = -

a1νkr(ζ)(x_r(h1ν(ζ)) + χ1j(ζ

ϕr(h1ν (ζ)))dζ +

ν=1 r=1

∑

a^iνkr(ζ)(x_r(h_iν(ζ)) + χ_iν(ζ

ϕr(hiν (ζ))) dBi(ζ),

i=2 ν=1 r=1

(E|b_k|2p)1/(2p) ≤ ∥b∥_kn (k = 1, n),

vraisup(E|ϕr(ς)|2p)1/(2p) ≤ ∥ϕ∥Ln (r = 1, n),

ς<0

∫

sup

x_k(t,ς)γ(t)γ(ς)-1 dς ≤

t≥0

λ_k - λ

(∫t

)1/2

sup

(x_k(t,ς)γ(t)γ(ς)-1)2 dς

≤

√

(k = 1, l),

t≥0

2(λ_k - λ)

χ_ij(ς)γ(ς) ≤ γ(τ_ij) (ς ≥ 0, i = 1,m, j = 1,m_i),

χ_i(τ)γ(τ + 1) ≤ γ(d_i + 1) (τ ∈ N₊, i = 1,m),

λ < max{λ_i, i = 1,l; -ln(1 - λ_ih), i = l + 1,n},

(

)

[t]-1∑

sup γ(t)

x_k([t], τ + 1)γ(τ + 1)-1

t≥0

τ=0

= sup(1 + exp{ln(1 - λ_kh) + λ} + ... + exp{[t](ln(1 - λ_kh) + λ)}) =

t≥0

∑

exp{τ(ln(1 - λ_kh) + λ)} =

k = l + 1,n,

1 - exp{ln(1 - λ_kh) + λ}

τ=0

γ(t)γ(hij (t))-1 ≤ γ(τ_ij ) (t ≥ 0), i = 1, m, j = 1, m_i,

∑

sup

γ(τ + 1)γ(j)-1â^ikr(τ, j) ≤ γ(d_i + 1) sup

â^ikr(τ,j),

τ ∈N₊

j=ν_i(τ)

где i = 1, m, k = l + 1, n, r = 1, n, и, наконец,

(



∫



)1/(2p)

(



∫



2p



∑∑



sup

(ς)

dx_k(ζ)

= sup

(ς)

a1νkr(ζ)(x_r(h1ν(ζ)) +

^γ



^γ

ς≥0

h1j

ν=1 r=1

h1j (ς)

(ς)

)

)1/(2p)

∑

2p



+χ1ν(ζ

ϕr(h1ν (ζ)))dζ +

a^iνkr(ζ)(x_r(h_iν(ζ)) + χ_iν(ζ

ϕr(hiν (ζ))) dBi(ζ)

≤



i=2 ν=1 r=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

448

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

(



∫



)1/(2p)

∑∑



2p



≤

sup

(ς)

a1νkr(ζ)(x_r(h1ν(ζ)) + χ1ν(ζ

ϕr(h1ν (ζ)))dζ

^γ



ς≥0

ν=1 r=1

h1j(ς)

(



∫



)1/(2p)

∑



2p



sup

(ς)

a^iνkr(ζ)(x_r(h_iν(ζ)) + χ_iν(ζ

ϕr(hiν (ζ))) dBi(ζ)

≤

^γ



ς≥0

i=2 ν=1 r=1

h1j (ς)

(

∫

)

∑∑

≤

a1νkr sup

γ(ς)

γ(ζ)-1γ(ζ)γ(h1ν (ζ))-1dζ

x^γr(2p) +

ς≥0

ν=1 r=1

h1j (ς)

(

∫

)

∑∑

a1νkr sup

γ(ς)

γ(ζ)-1γ(ζ)χ1ν (ζ)dζ

∥ϕ∥_Ln +

ς≥0

ν=1 r=1

h1j (ς)

(

∫

)1/2

∑

+c_p

a^iνkr sup

γ(ς)²

γ(ζ)-2γ(ζ)²γ(hiν (ζ))-2dζ

x^γr(2p) +

ς≥0

i=2 ν=1 r=1

h1j(ς)

(

∫

)1/2

∑

+c_p

a^iνkr sup

γ(ς)²

γ(ζ)-2γ(ζ)²χ_iν (ζ)-2dζ

∥ϕ∥_Ln ≤

ς≥0

i=2 ν=1 r=1

h1j(ς)

)

(m1∑∑

∑

≤

a1νγ(τ1j )γ(τ1ν )τ1j + cp

a^iνkr x^γr(2p)γ(τ1j)γ(τ_iν)√τ1j

(x^γr(2p) + ∥ϕ∥_Ln ) =

ν=1 r=1

i=2 ν=1 r=1

)

∑

(m1∑

∑∑

= γ(τ1j)

a1νγ(τ1ν )τ1j + cp

a^iνkrγ(τ_iν)√τ1j

(x^γr(2p) + ∥ϕ∥_Ln ),

r=1

ν=1

i=2 ν=1

где k = 1, l, j ∈ I_k, получаем

)

∑

(m1∑

∑∑

x^γk(2p) ≤ ∥b∥_kn

a1j

γ(τ1j )

a1νγ(τ1ν )τ1j + cp

a^iνkrγ(τ_iν)√τ1j

x^γr(2p) +

λ_k - λ

j∈I_k

r=1

ν=1

i=2 ν=1

∑

a1jkkγ(τ1j)x^γk(2p) +

a1jkrγ(τ1j)x^γr(2p) +

λ_k - λ

j∈{1,...,m₁}/I_k

j=1 r=1,r=k

∑

c_p

√

a^ijkrγ(τ_ij)x^γr(2p) +

2(λ_k - λ)

i=2 j=1 r=1

)

∑

(m1∑

∑∑

a1j

γ(τ1j )

a1νγ(τ1ν )τ1j + cp

a^iνkrγ(τ_iν)√τ1j

∥ϕ∥_Ln +

λ_k - λ

j∈I_k

r=1

ν=1

i=2 ν=1

(

)

∑

c_p

a1jkrγ(τ1j) +

√

a^ijkrγ(τ_ij)

∥ϕ∥_Ln

k = 1,l,

λ_k - λ

2(λ_k - λ)

r=1

j=1

i=2 j=1

(

)

∑

x^γk(2p) ≤ ∥b∥_kn + sup γ(t)

x_k([t], τ + 1)γ(τ + 1)-1

t≥0

τ=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

449

(

))

∑

h sup

γ(τ +1)γ(j)-1a1kr(τ, j)+c_p

sup

γ(τ +1)γ(j)-1a^ikr(τ, j)

x^γr(2p)+

τ ∈N₊

r=1

j=ν₁(τ)

i=2

j=ν_i(τ)

(

)

∑

+ sup γ(t)

x_k([t], τ + 1)γ(τ + 1)-1

t≥0

τ=0

(

))

∑

h sup

γ(d₁ + 1)a1kr(τ, j) + c_p

sup

γ(d_i + 1)a^ikr(τ, j)

∥ϕ∥_Ln

≤

τ ∈N₊

r=1

j=ν₁(τ)

i=2

j=ν_i(τ)

(

∑

≤ ∥b∥_kn

hγ(d₁ + 1) sup

a1kr(τ,j) +

1 - exp{ln(1 - λ_kh) + λ}

τ ∈N₊

r=1

j=ν₁(τ)

))

√

∑

+c_p

γ(d_i + 1) sup

a^ikr(τ,j)

x^γr(2p) +

τ ∈N₊

i=2

j=ν_i(τ)

(

∑

hγ(d₁ + 1) sup

a1kr(τ,j) +

1 - exp{ln(1 - λ_kh) + λ}

τ ∈N₊

r=1

j=ν₁(τ)

))

√

∑

+c_p

γ(d_i + 1) sup

a^ikr(τ,j)

∥ϕ∥_Ln , k = l + 1, n.

τ ∈N₊

i=2

j=ν_i(τ)

В матричной форме последняя система неравенств принимает вид

Ex^γ(2p) ≤ C(λ)x^γ(2p) + ∥b∥_kn

e + ĉ(λ)∥ϕ∥_Ln ,

где C(λ) = (c_ij (λ))ni,j=1 - n × n-матрица, элементы которой определены следующим образом:

)

(∑

(m1∑

∑∑

c_kk(λ) =

a1jkkγ(τ1j)

a1νγ(τ1ν )τ1j + cp

a^iνkrγ(τ_iν)√τ1j

λ_k

−λ

j∈I_k

ν=1

i=2 ν=1

)

∑

c_p

a1jkkγ(τ1j)

√

a^ijkkγ(τ_ij), k = 1,l,

2(λ_k - λ)

j=1,j∈{1,...,m₁}/I_k

i=2 j=1

)

(∑

(m1∑

∑∑

∑

c_kr(λ) =

a1jkkγ(τ1j)

a1νγ(τ1ν )τ1j + cp

a^iνkrγ(τ_iν)√τ1j

a1jkkγ(τ1j)

λ_k

−λ

j∈I_k

ν=1

i=2 ν=1

j=1

∑∑

c_p

√

a^ijkkγ(τ_ij), k = 1,l, r = 1,n, k = r,

2(λ_k - λ)

i=2 j=1

(

∑

c_kr(λ) =

hγ(d₁ + 1) sup

a1kr(τ,j) +

1 - exp{ln(1 - λ_kh) + λ}

τ ∈N₊

j=ν₁(τ)

)

√

∑

+c_p

γ(d_i + 1) sup

a^ikr(τ,j) ,

k = 1 + 1,l, r = 1,n,

τ ∈N₊

i=2

j=ν_i(τ)

а компоненты зависящего от параметра λ вектора ĉ(λ) = col {v₁(λ), . . . , v_n(λ)} задаются ра-

венствами

)

∑

(m1∑

∑∑

v_k(λ) =

a1j

γ(τ1j )

a1νγ(τ1ν )τ1j + cp

a^iνkrγ(τ_iν)√τ1j

λ_k - λ

j∈I_k

r=1

ν=1

i=2 ν=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

450

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

(

)

∑

c_p

a1jkrγ(τ1j) +

√

a^ijkrγ(τ_ij) ,

k = 1,l,

λ_k - λ

2(λ_k - λ)

r=1

j=1

i=2 j=1

(

∑

v_k(λ) =

hγ(d₁ + 1) sup

a1kr(τ,j) +

1 - exp{ln(1 - λ_kh) + λ}

τ ∈N₊

r=1

j=ν₁(τ)

))

√

∑

+c_p

γ(d_i + 1) sup

a^ikr(τ,j)

k = l + 1,n.

τ ∈N₊

i=2

j=ν_i(τ)

В силу условий теоремы матрица

E- C является положительно обратимой, причём C(0) =

= C . Следовательно, при достаточно малых λ матрица

E -C(λ) также будет положительно

обратимой, а значит, в силу теоремы 2, система (1) Mγ2p-устойчива с показателем λ, удовле-

творяющим оценкам 0 < λ < min{λ_i, i = 1, l; - ln(1 - λih), i = l + 1, n}. Теорема доказана.

4. Признаки экспоненциальной моментной устойчивости. В этом пункте предпола-

гается, что γ(t) = exp{λt} (t ≥ 0), где λ - некоторое положительное число.

Для формулировки предложения 1 предположим, что для системы (1) выполняются сле-

дующие условия:

d₁) элементы матриц A_ij(t) (t ≥ 0), i = 2,m, j = 1,m_i, равны нулю P × μ-п.в.;

d₂) элементы матриц A_i(s,j) (s ∈ N₊,j = -∞,s), i = 2,m, равны нулю P-п.в.;

d₃) существуют неотрицательные числа τ1j, j = 1,m₁, такие, что 0 ≤ t - h1j(t) ≤ τ1j

(t ≥ 0) μ-п.в. при j = 1, m₁;

d₄) существуют неотрицательные числа a1jkr, j = 1,m₁, k = 1,l, r = 1,n, такие, что

|a1jkr(t)| ≤ a1jkr (t ≥ 0) P × μ-п.в. при j = 1, m₁, k = 1, l, r = 1, n;

d₅) существуют положительные числа λ_k, k = 1,n, для которых:

диагональные элементы матрицы A₁(s, s) (s ∈ N₊) имеют вид a1kk(s, s) + λ_k (s ∈ N₊),

k = l + 1,n;

∑

справедливо неравенствоj∈Ik a1jkk(t) ≥ λ_k (t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1, l для некоторых

подмножеств I_k ⊂ {1, . . . , m₁}, k = 1, l;

выполняются оценки 0 < λ_kh < 1 при k = l + 1, n;

d₆) существует d₁ ∈ N₊, для которого:

элементы матрицы A₁(s, j) равны нулю P -п.в. при s ∈ N₊, j = -∞, s - d₁ - 1;

имеет место неравенство |a1kr(s, j)| ≤ a1kr P-п.в. при k = l + 1,n, r = 1,n, s ∈ N+,

j = s - d₁,s, для некоторых неотрицательных чисел a1kr, k = l + 1,n, r = 1,n.

Элементы n × n-матрицы C определим следующим образом:

)

(∑

∑

c_kk =

a1j

a1νkkτ1j +

a1j

k = 1,l,

λ_k

j∈I_k

ν=1

j=1

j∈{1,...,m₁}/I_k

)

(∑

∑

c_kr =

a1j

a1νkrτ1j +

a1j

k = 1,l, r = 1,n, k = r,

λ_k

j∈I_k

ν=1

j=1

(d₁ + 1)a1kr

c_kr =

k = 1 + 1,l, r = 1,n.

λ_k

Тогда справедливо следующее следствие из теоремы 5.

Предложение 1. Если выполнены условия d₁)- d₆) и матрица

E -C является положи-

тельно обратимой, то система (1) экспоненциально 2p-устойчива по начальным данным

(т.е. в смысле определения 2), причём для показателя λ справедлива оценка (9).

Замечание. Если при выполнении условий предложения 1 элементы матриц A1j (t)

(t ≥ 0, j = 1, m₁) являются измеримыми локально суммируемыми функциями, а элементы

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

451

матрицы A₁(s, j) (s ∈ N₊, j = s - d₁, s) - действительные числа, то система (1) является де-

терминированной гибридной системой линейных дифференциальных и разностных уравнений

с ограниченными запаздываниями в смысле статьи [5], и эта система будет экспоненциально

устойчива по начальным данным.

Для формулировки предложения 2 предположим, что для системы (1) выполнены следу-

ющие условия:

e₁) элементы матриц A1j(t) (t ≥ 0), j = 2,m₁, и A_ij(t) (t ≥ 0), i = 2,m, j = 1,m_i,

равны нулю P × μ-п.в., а элементы матриц A_i(s, j) (s ∈ N₊, j = -∞, s), i = 2, m, равны

нулю P -п.в.;

e₂) существует неотрицательное число τ₁₁ такое, что 0 ≤ t - h₁₁(t) ≤ τ₁₁ (t ≥ 0) μ-п.в.;

e₃) существуют неотрицательные числа a11kr, k = 1,l, r = 1,n, такие, что |a11kr(t)| ≤ a11kr

(t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1, l, r = 1, n;

e₄) существуют положительные числа λ_k, k = 1,n, для которых:

диагональные элементы матрицы A₁(s, s) (s ∈ N₊) имеют вид a1kk(s, s) + λ_k (s ∈ N₊),

k = l + 1,n;

e₅) справедливо неравенство a11kk(t) ≥ λ_k (t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1,l;

e₆) выполняются оценки 0 < λ_kh < 1 при k = l + 1,n;

e₇) существует d₁ ∈ N₊, для которого:

элементы матрицы A₁(s, j) равны нулю P -п.в. при s ∈ N₊, j = -∞, s - d₁ - 1;

для некоторых неотрицательных чисел a1kr, k = l + 1, n, r = 1, n, имеют место оценки

|a1kr(s, j)| ≤ a1kr P -п.в. при k = l + 1, n, r = 1, n, s ∈ N₊, j = s - d₁, s.

Элементы n × n-матрицы C определим следующим образом:

(a11kk)²τ₁₁

a11kka11krτ₁₁ + a11kR

c_kk =

k = 1,l, c_kr =

k = 1,l, r = 1,n, k = r,

λ_k

(d₁ + 1)a1kr

c_kr =

k = 1 + 1,l, r = 1,n.

λ_k

Тогда в силу предложения 1 справедливо

Предложение 2. Если выполняются условия e₁)- e₇) и матрица

E- C является по-

ложительно обратимой, то система (1) экспоненциально 2p-устойчива по начальным дан-

ным, причём для показателя λ справедлива оценка (9).

Для формулировки предложений 3 и 4 предположим, что для системы (1) выполнены

следующие условия:

f₁) m₁ = 1;

f₂) существуют неотрицательные числа τ₁₁ и τ_ij, i = 2,m, j = 1,m_i, такие, что 0 ≤ t -

- h₁₁(t) ≤ τ₁₁ (t ≥ 0) μ-п.в., 0 ≤ t - h_ij(t) ≤ τ_ij (t ≥ 0) μ-п.в. при i = 2,m, j = 1,m_i;

f₃) существуют неотрицательные числа a11kr, k = 1,l, r = 1,n,

a^ijkr, i = 2,m, j = 1,m_i,

k = 1,l, r = 1,n, для которых |a11kr(t)| ≤ a11kr (t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1,l, r = 1,n,

|a^ijkr(t)| ≤ a^ijkr (t ≥ 0) P × μ-п.в. при i = 2, m, j = 1, m_i, k = 1, l, r = 1, n;

f₄) существуют положительные числа λ_k, k = 1,n, для которых:

диагональные элементы матрицы A₁(s, s) (s ∈ N₊) имеют вид a1kk(s, s) + λ_k (s ∈ N₊),

k = l + 1,n;

∑

справедливо неравенствоj∈Ik a1jkk(t) ≥ λ_k (t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1, l;

выполняются оценки 0 < λ_kh < 1 при k = l + 1, n;

f₅) существуют числа d_i ∈ N₊, i = 1,m, для которых:

элементы матрицы A_i(s, j) равны нулю P -п.в. при s ∈ N₊, j = -∞, s - d_i - 1, i = 1, m;

для некоторых неотрицательных чисел a^ikr, i = 1, m, k = l + 1, n, r = 1, n, выполняются

оценки |a^ikr(s, j)| ≤ a^ikr P -п.в. при i = 1, m, k = l + 1, n, r = 1, n, s ∈ N₊, j = s - d_i, s;

∑_τ

имеет место соотношение sup

a1kr(τ,j)

< ∞, где ν_i(τ) = 0 при 0 ≤ τ ≤ d_i,

j=ν_i(τ)

τ ∈N₊

ν_i(τ) = τ - d_i при τ > d_i для i = 1,m.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

2^∗

452

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

Определим элементы n × n-матрицы C следующим образом:

(

)

∑∑

∑

a11kk

√

c_p

c_kk =

a¹¹τ11 + cp

a^iνkr

τ₁₁

√

a^ijkk, k = 1,l,

2λ_k

i=2 ν=1

i=2 j=1

(

)

∑∑

∑

√

c_p

c_kr =

a¹¹

a¹¹τ11+cp

a^iνkr

τ₁₁

+a¹¹

+√

a^ijkr, k = 1,l, r = 1,n, k=r,

2λ_k

i=2 ν=1

i=2 j=1

∑

(d₁ + 1)a1kr

c_p

c_kr =

√ (d_i + 1)a^ikr, k = 1 + 1, l, r = 1, n.

λ_k

i=2

Тогда имеют место

Предложение 3. Если выполнены условия f₁)- f₅) и матрица

E -C является положи-

тельно обратимой, то система (1) экспоненциально 2p-устойчива по начальным данным,

причём для показателя λ справедлива оценка (9).

Предложение 4. Пусть в системе (1) n = 2, l = 1 и для этих значений выполнены все

условия предложения 3. Пусть, далее, для c_ij , i, j = 1, 2, справедливы неравенства 1 - c₁₁ >

> 0 и (1-c₁₁)(1-c₂₂) > c₁₂c₂₁. Тогда система (1) является экспоненциально 2p-устойчивой

по начальным данным, причём для показателя λ имеет место оценка (9), где n = 2, l = 1.

Справедливость предложения 4 следует из предложения 3 и из того, что при данных пред-

положениях 2×2-матрица

E-C будет положительно обратимой, поскольку её диагональные

миноры положительны.

Для формулировки двух последних предложений предположим, что для системы (1) вы-

полнены следующие условия:

g₁) m₁ = 1;

g₂) справедливо равенство h₁₁(t) = t (t ≥ 0) μ-п.в.;

g₃) существуют неотрицательные числа τ_ij, i = 2,m, j = 1,m_i, такие, что 0 ≤ t-

− h_ij(t) ≤ τ_ij (t ≥ 0) μ-п.в. при i = 2,m, j = 1,m_i;

g₄) существуют неотрицательные числа a11kr, k = 1,l, r = 1,n,

a^ijkr, i = 2,m, j = 1,m_i,

k = 1,l, r = 1,n, такие, что |a11kr(t)| ≤ a11kr (t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1,l, r = 1,n,

|a^ijkr(t)| ≤ a^ijkr (t ≥ 0) P × μ-п.в. при i = 2, m, j = 1, m_i, k = 1, l, r = 1, n;

g₅) существуют положительные числа λ_k, k = 1,n, для которых:

диагональные элементы матрицы A₁(s, s) (s ∈ N₊) имеют вид a1kk(s, s) + λ_k (s ∈ N₊),

k = l + 1,n;

справедливо неравенство a11kk(t) ≥ λ_k (t ≥ 0) P × μ-п.в. при k = 1, l;

выполняются оценки 0 < λ_kh < 1 при k = l + 1, n;

g₆) существуют числа d_i ∈ N₊, i = 1,m, для которых:

элементы матрицы A_i(s, j) равны нулю P -п.в. при s ∈ N₊, j = -∞, s - d_i - 1, i = 1, m;

для некоторых чисел a^ikr, i = 1, m, k = l + 1, n, r = 1, n, выполняются оценки |a^ikr(s, j)| ≤

≤ a^ikr P-п.в. при i = 1,m, k = l + 1,n, r = 1,n, s ∈ N₊, j = s - d_i,s;

∑_τ

имеет место соотношение sup

a1kr(τ,j) < ∞, где ν_i(τ) = 0 при

0 ≤ τ ≤ d_i и

j=ν_i(τ)

τ ∈N₊

ν_i(τ) = τ - d_i при τ > d_i для i = 1,m.

Определим элементы n × n-матрицы C следующим образом:

∑∑

c_p

c_kk =

√

a^ijkk, k = 1,l,

2λ_k

i=2 j=1

∑∑

a11kr

c_p

c_kr =

√

a^ijkr, k = 1,l, r = 1,n, k = r,

λ_k

2λ_k

i=2 j=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

453

∑

(d₁ + 1)a1kr

c_p

c_kr =

√ (d_i + 1)a^ikr, k = 1 + 1, l, r = 1, n.

λ_k

i=2

Тогда в силу предложения 3 справедливы следующие

Предложение 5. Если выполнены условия g₁)- g₆) и матрица

E -C является положи-

тельно обратимой, то система (1) экспоненциально 2p-устойчива по начальным данным,

причём для показателя λ справедлива оценка (9).

Предложение 6. Пусть в системе (1) n = 2, l = 1 и для этих значений выполнены все

условия предложения 5. Пусть, далее, для c_ij , i, j = 1, 2, справедливы неравенства 1 - c₁₁ >

> 0 и (1-c₁₁)(1-c₂₂) > c₁₂c₂₁. Тогда система (1) является экспоненциально 2p-устойчивой

по начальным данным, причём для показателя λ имеет место оценка (9), где n = 2, l = 1.

Справедливость предложения 6 следует из предложения 5 и из того, что в этих предпо-

ложениях 2 × 2-матрица

E- C будет положительно обратимой, поскольку её диагональные

миноры положительны.

5. Примеры. Рассмотрим непрерывно-дискретную систему стохастических уравнений с

постоянными коэффициентами и ограниченными запаздываниями

∑

∑∑

dx(t) = - A1jx(t - h1j)dt +

A_ijx(t - h_ij)dB_i(t) (t ≥ 0),

j=1

i=2 j=1

∑

x(s + 1) = x(s) - A₁

x(j)h +

A_i

x(j)(B_i((s + 1)h) - B_i(sh)) (s ∈ N₊),

(10)

j=s-d₁

i=2

j=s-d_i

где A_ij = (a^ijkr)l,nk,r=1, i = 1, m, j = 1, m_i, - l × n-матрицы и A_i = (a^ikr)nk=l+1,r=1, i = 1, m, -

(n - l) × n-матрицы, элементами которых являются действительные числа, h_ij , i = 1, m,

j = 1,m_i, - неотрицательные действительные числа, h - достаточно малое положительное

∑m1

действительное число. Положим также

a1jkk = a_k, k = 1,l, и определим элементы n×n-

j=1

матрицы C следующим образом:

)

∑

∑∑

√

∑

c_p

c_kk =

|a1jkk|

|a1ν|h1j + cp

|a^iνkr|

h1j

√

|a^ijkk|, k = 1, l,

2a_k

k j=1

ν=1

i=2 ν=1

i=2 j=1

)

∑

∑∑

√

∑

c_kr =

|a1jkr|

|a1ν|h1j + cp

|a^iνkr|

h1j

|a1jkr|

k j=1

ν=1

i=2 ν=1

j=1

∑∑

c_p

√

|a^ijkr|, k = 1, l, r = 1, n, k = r,

2a_k

i=2 j=1

∑

c_p(d_i + 1)

c_kk =

√

|a^ikk|, k = 1 + 1, l,

a1kk

i=2

∑

(d₁ + 1)|a1kr|

c_p(d_i + 1)

c_kr =

√

|a^ikr|, k = 1 + 1, l, r = 1, n, k = r.

a1kk

i=2

Тогда имеет место

Предложение 7. Если a_k > 0, k = 1, l, a1kk > 0, k = l + 1, n, а матрицаE-C является

положительно обратимой, то система (10) экспоненциально 2p-устойчивa по начальным

данным.

Справедливость утверждения следует из теоремы 5, в которой в данном случае I_k =

= {1, . . . , m₁} для всех k = 1, l.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

454

КАДИЕВ, ПОНОСОВ

Следствие 1. Пусть в системе (10) n = 2, l = 1 и для этих значений выполнены все

условия предложения 7. Пусть, далее, для c_ij , i, j = 1, 2, выполнены неравенства: 1-c₁₁ > 0

и (1-c₁₁)(1-c₂₂) > c₁₂c₂₁. Тогда система (10) экспоненциально 2p-устойчивa по начальным

данным.

Справедливость следствия вытекает из предложения 7 и из того, что при предположениях

следствия 2 × 2-матрица

E- C будет положительно обратимой, поскольку её диагональные

миноры положительны.

Определим теперь элементы n × n-матрицы C следующим образом:

∑

c_kk =

|a1jkk|

√

|a^ijkk|, k = 1, l,

a11kk

2a_k

j=2

i=2 j=1

∑

c_kr =

|a1jkr|

√

|a^ijkr|, k = 1, l, r = 1, n, k = r,

a¹¹

2a_k

j=1

i=2 j=1

∑

c_p(d_i + 1)

c_kk =

√

|a^ikk|, k = 1 + 1, l,

a1kk

i=2

∑

(d₁ + 1)|a1kr|

c_p(d_i + 1)

c_kr =

√

|a^ikr|, k = 1 + 1, l, r = 1, n, k = r.

a1kk

i=2

Тогда справедливо

Предложение 8. Если h₁₁ = 0, a11kk > 0, k = 1, l, a1kk > 0, k = l + 1, n, а матрица

E-C является положительно обратимой, то система (10) экспоненциально 2p-устойчивa

по начальным данным.

Справедливость утверждения следует из теоремы 5, в которой в данном случае I_k = {1}

для всех k = 1, l.

Следствие 2. Пусть в системе (10) n = 2, l = 1 и для этих значений выполнены все

условия предложения 8. Пусть, далее, для c_ij , i, j = 1, 2, выполнены неравенства: 1-c₁₁ > 0

и (1-c₁₁)(1-c₂₂) > c₁₂c₂₁. Тогда система (10) экспоненциально 2p-устойчивa по начальным

данным.

Справедливость следствия вытекает из предложения 8 и из того, что при предположениях

следствия 2 × 2-матрица

E- C будет положительно обратимой, поскольку её диагональные

миноры положительны.

Заключение. В статье изложен метод регуляризации для анализа вопросов моментной

устойчивости систем стохастических уравнений, содержащих компоненты как с непрерывным,

так и с дискретным временем. В качестве вспомогательной, т.е. регуляризирующей, системы

используется сравнительно простая система линейных дифференциальных и разностных урав-

нений, для которой легко проверяются необходимые для применения метода свойства устой-

чивости. Отметим, однако, что для получения более тонких признаков устойчивости необхо-

димо выбирать более сложные регуляризирующие системы линейных дифференциальных и

разностных уравнений с последействием, так как в этом случае также имеют место аналоги

леммы 1 и теорем 1 и 2 настоящей статьи. Эти исследования планируется провести в будущем.

Авторы выражают благодарность рецензенту работы, предложения которого способство-

вали существенному улучшению её изложения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Марченко B.M. Вполне регулярные системы с последействием // Тр. Ин-та математики НAH Бе-

ларуси. 2001. Т. 7. С. 97-104.

2. Singh A., Nisbet R.M. Semi-discrete host-parasitoid models // J. of Theor. Biology. 2007. V. 247. P. 733-

742.

3. Mailleret L., Lemsle V. A note on semi-discrete modeling in the life sciences // Phil. Trans. R. Soc. A.

2009. V. 367. P. 4779-4799.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ

455

4. Марченко В.М., Поддубная О.Н. Представление решений гибридных дифференциально-разностных

систем // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 6. С. 741-755.

5. Марченко В.М., Луазо Ж.Ж. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем

// Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 5. С. 728-740.

6. Ларионов А.С., Симонов П.М. Устойчивость гибридных функционально-дифференциальных сис-

тем с последействием (ГФДСП) // Вестн. РАЕН. Дифференц. уравнения. 2013. Т. 13. № 4. С. 34-37.

7. Chudov A., Maksimov V. Linear boundary value problems and control problems for a class of functional

differential equations with continuous and discrete times // Funct. Differ. Equat. 2012. V. 19. № 1-2.

C. 49-62.

8. Li X., Mao X. Stabilization of highly nonlinear hybrid stochastic differential delay equations by delay

feedback control // Automatica. 2020. V. 12. № 108657.

9. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с

последействием. М., 1981.

10. Mao X.R. Stochastic Differential Equations and Applications. Oxford; Cambridge; Philadelphia; New

Delhi, 1997.

11. Azbelev N.V., Simonov P.M. Stability of Differential Equations With Aftereffect. London, 2002.

12. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatulina L.F. Introduction to the Theory of Functional Differential

Equations. Methods and Applications. Hindawi; New York, 2007.

13. Kadiev R., Ponosov A. The W-transform in stability analysis for stochastic linear functional difference

equations // J. Math. Anal. and Appl. 2012. V. 389. № 2. P. 1239-1250.

14. Кадиев Р.И. Устойчивость решений линейных разностных уравнений Ито с последействием // Диф-

ференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 3. С. 293-301.

15. Кадиев Р.И. Устойчивость решений систем линейных разностных уравнений Ито с последействием

относительно начальных данных // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 842-850.

16. Kadiev R., Ponosov A. Exponential stability of Ito-type linear functional difference equations // Comput.

and Math. with Appl. 2013. V. 66. № 11. P. 2295-2306.

17. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Положительная обратимость матриц и устойчивость дифференциальных

уравнений Ито с запаздываниями // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 53. № 5. С. 579-590.

18. Кадиев Р.И., Поносов А.В. Положительная обратимость матриц и экспоненциальная устойчивость

импульсных систем линейных дифференциальных уравнений Ито с ограниченными запаздывани-

ями // Изв. вузов. Математика. 2020. № 8. C. 18-35.

19. Кадиев Р.И. Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений:

автореф. дис

д-ра физ.-мат. наук. Махачкала, 2000.

20. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., 1969.

21. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Теория мартингалов. М., 1986.

Дагестанский федеральный исследовательский

Поступила в редакцию 24.03.2021 г.

центр РАН, г. Махачкала,

После доработки 07.02.2022 г.

Дагестанский государственный университет,

Принята к публикации 09.03.2022 г.

г. Махачкала,

Норвежский университет естественных наук,

г. Ос, Норвегия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022