ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.456-469

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925+517.93

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ,

ПОРОЖДЁННОГО СИСТЕМОЙ ОБЫКНОВЕННЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С РЕЛЕЙНЫМ ГИСТЕРЕЗИСОМ

Рассматривается n-мерная система обыкновенных дифференциальных уравнений с релей-

ным гистерезисом в правой части. Решение системы при определённых условиях задаёт

отображение ограниченных множеств, принадлежащих поверхностям разрыва, в себя. По-

лучены условия существования неподвижных точек отображения, единственности непо-

движной точки, а также условия, при которых существуют одновременно неподвижные

точки у различных типов отображений. Одному типу отображения отвечает один вид пе-

риодических орбит: или с двумя точками переключения (так называемые унимодальные

орбиты), или с чётным числом точек переключения, большим двух. В случае унимодаль-

ных орбит приведены примеры существования орбит различных конфигураций.

DOI: 10.31857/S0374064122040021, EDN: BZFMBK

Введение. Постановка задачи. В теории нелинейных колебаний основными являются

задача о существовании периодических режимов в нелинейных системах и задача построе-

ния орбит решений таких систем, т.е. установление их свойств, параметров и конфигураций

в фазовом пространстве. Данная работа посвящена решению этих задач для многомерных

нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих гистерезисные

нелинейности.

Рассмотрим математические модели, которые описываются системами обыкновенных диф-

ференциальных уравнений

= AX + BF (σ) + Kf(t)

(1)

(модель неавтономной системы) и

= AX + BF (σ)

(2)

(модель автономной системы). Здесь X : [0, ∞) → Rn - вектор состояний системы (Rn -

n -мерное вещественное евклидово пространство), A - постоянная ненулевая n × n-матрица с

вещественными элементами, B и K - ненулевые векторы из Rⁿ, F (σ) - функция, описыва-

ющая нелинейность типа неидеального (гистерезисного) двухпозиционного реле с пороговыми

значениями l₁, l₂ (l₁ < l₂) и значениями выхода m₁, m₂ (m₁ < m₂), σ = (Γ, X) - скалярное

произведение векторов Γ и X, где Γ - заданный ненулевой вектор из Rⁿ. Функция F (σ(t))

определена при непрерывном входе σ(t) для t ≥ 0 в классе кусочно-непрерывных функций и

задаётся в соответствии с [1] следующим образом: из неравенства σ(t) ≤ l₁ следует равенство

F (σ) = m₁, из неравенства σ(t) ≥ l₂ - равенство F (σ) = m₂, а из неравенств l₁ < σ(t) < l₂

(t₁ < t ≤ t₂) - равенство F (σ(t₁)) = F (σ(t₂)).

Таким образом, функция F (σ(t)) принимает постоянное значение на отрезке [t₁, t₂], если

либо σ(t) < l₂ при t ∈ [t₁, t₂] (и тогда F (σ(t₁)) = m₁), либо σ(t) > l₁ при t ∈ [t₁, t₂] (и

тогда F (σ(t₁)) = m₂). В приложениях функцию F (σ) называют нелинейной характеристи-

кой системы [2, с. 43, 52]. Петля гистерезиса, описываемая в координатах (σ, F ) уравнениями

σ = σ(t), F = F(σ(t)), обегается против хода часовой стрелки (см., например, рисунок в [3]).

Функция f(t) описывает внешнее воздействие на систему и может быть как периодической

(т.е. f(t) = f(t + T ) для всех t ≥ 0 и некоторого T > 0), так и непериодической, но в лю-

бом случае полагаем, что она непрерывная и ограниченная, т.е. f ∈ C([0, ∞)) и существует

постоянная M > 0 такая, что |f(t)| ≤ M для любого t ≥ 0.

456

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ

457

Из последних работ по исследованию нелинейных систем, замкнутых обратной связью в

форме двухпозиционного реле с гистерезисом, отметим работы [4-15].

Уравнение (Γ, X) = l_i (i = 1, 2) определяет в пространстве Rⁿ гиперплоскость, кото-

рую называют поверхностью разрыва [16] или поверхностью переключения, так как на ней

происходит склеивание кусков фазовых траекторий в силу систем

= AX + Bm_i + Kf(t), i = 1, 2,

(3)

или

= AX + Bm_i, i = 1, 2.

(4)

Таким образом, в силу решения систем (1) или (2) происходит отображение поверхностей пере-

ключения в себя или, по крайней мере, некоторого подмножества поверхности переключения

в неё же. Обозначим поверхность переключения (Γ, X) = l_i через L_i (i = 1, 2).

Допустим нам удалось (аналитически или численно) найти хотя бы одну неподвижную

точку такого отображения, т.е. построить соответствующую ей замкнутую траекторию в фа-

зовом пространстве. Тогда возникают вопросы: является ли эта точка единственной или нет,

сколько неподвижных точек может иметь система (1) или (2), другими словами, сколько пери-

одических режимов существует у таких систем и при каких условиях на их параметры. Кроме

того, важно выяснить конфигурации этих периодических режимов. Будем считать, что две

орбиты имеют различные конфигурации, если одна орбита расположена в множестве

{X ∈ Rⁿ : l₁ ≤ (Γ, X) ≤ l₂},

т.е. не выходит из зоны неоднозначности релейного гистерезиса в фазовом пространстве, а

другая орбита имеет части, принадлежащие множествам

{X ∈ Rⁿ : (Γ, X) ≤ l₁} и/или

{X ∈ Rⁿ : (Γ, X) ≥ l₂}.

Если рассматривать u = F (σ) в качестве функции управления, то системы (1) или (2) опи-

сывают систему автоматического управления [17, с. 8-10], которая часто используется в при-

ложениях и для которой сфорулированные выше вопросы имеют первостепенное значение.

В силу сложной динамики, описываемой моделями (1) и (2), к настоящему времени оконча-

тельные ответы на поставленные вопросы не известны и исчерпывающие как аналитические,

так и численные методы исследования таких систем не разработаны.

Вопросы точности и достоверности математического моделирования всегда актуальны.

Практика требует применения таких моделей и методов решения, которые могут гарантиро-

вать надёжность результатов. Абсолютную надёжность обеспечивают аналитические методы.

Применение только численных методов к системам вида (1) и (2) выявило присущие таким ме-

тодам недостатки, к которым, в первую очередь, относится невозможность надёжной оценки

расчётных результатов.

В данной статье для аналитического исследования нелинейных динамических систем ви-

да (1) и (2) применяются топологические методы и результаты, связанные с понятием алгеб-

раического числа неподвижных точек отображения [18-23].

1. Общая характеристика решений. В фазовом пространстве траектория любого ре-

шения систем (1) или (2) составлена из кусков траекторий систем (3) или (4) соответственно,

склеивание которых происходит по непрерывности в точках, лежащих на поверхностях пере-

ключения. Периодическому решению систем (1) или (2) соответствует замкнутая ограниченная

фазовая траектория. Очевидно, что точка переключения X^∗ ∈ L_i периодического решения

удовлетворяет равенствам

X^∗ = X(t₀) = X(t₀ + T_r), (Γ,X^∗) = l_i,

где t₀ - начальный момент времени, T_r - период времени, за который изображающая точка

решения возвращается в начальную точку X^∗.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

458

КАМАЧКИН и др.

Пусть система (1) или (2) не имеет положений равновесия. Тогда “рабочими” режимами

системы будем считать её стационарные колебания, которым соответствуют в фазовом прост-

ранстве периодические траектории, составленные из конечного числа кусков траекторий в

силу разных систем вида (3) или (4) соответственно. Число кусков траекторий совпадает с

числом точек переключения за период T_r.

Рассмотрим условия на параметры системы, при которых стационарные колебания суще-

ствуют, и дадим геометрическую интерпретацию этим условиям. Пусть все собственные числа

матрицы A имеют отрицательные вещественные части. Тогда на поверхностях переключения

можно выделить два выпуклых компактных множества, которые в силу решения системы (1)

или (2) отображаются в себя (подробнее см. [15]). Это нетрудно показать с помощью некото-

рой положительно определённой квадратичной функции V (X), поскольку нулевое решение

системы

= AX является асимптотически устойчивым. Пусть выполняется неравенство

(

)

∥X∥ > ∥A∥-1 max|mi| · ∥B∥ + M∥K∥

(5)

i=1,2

(константа M из неравенства |f(t)| ≤ M). Тогда

(V (X))^′t < 0.

(6)

Уравнение вида

V (X) = C,

где C - постоянная, определяет в фазовом пространстве замкнутую поверхность. Очевид-

но, что существует минимальное значение C (обозначим min C), для которого выполняются

неравенства (5) и (6). Для того чтобы поверхность V (X) = min C пересекала поверхности

переключения, необходимо, чтобы для системы (4) выполнялось равенство

= 0 в точках

X₁ = -A-1Bm₁ и X₂ = -A-1Bm₂, лежащих в фазовом пространстве вне зоны неодно-

значности функции F (σ). Пересечение множества, заданного неравенством V (X) ≤ min C,

с каждой поверхностью переключения даёт два выпуклых компактных множества S₁ и S₂

(S_i ⊂ L_i, i = 1, 2), которые описываются следующей системой:

(Γ, X) = l_i, i = 1, 2,

(

)

∥X∥ ≤ ∥A∥-1 max|mi| · ∥B∥ + M∥K∥

(7)

i=1,2

Множество S_i является пересечением ограниченного замкнутого множества из Rⁿ с гипер-

плоскостью L_i (i = 1, 2). Следовательно, множество S_i лежит в пространстве Rn-1. В таком

пространстве ограниченные замкнутые множества компактны. Установлено [15], что изобра-

жающая точка любого решения системы (1) или (2) за конечное время попадает и остаётся

в ограниченной области фазового пространства. Более того, при (Γ, B) = 0 получены доста-

точные условия, при выполнении которых в случае существования периодического решения с

2k (k ∈ N) изолированными точками переключения эти точки локально непрерывно зависят

от параметров A, B, K, Γ, l₁, l₂, m₁, m₂ и параметров функции f(t). Условие изолиро-

ванности точек переключения периодического решения является необходимым условием этих

результатов и существенно зависит от свойств функции f(t). Общие результаты, относящиеся

к свойству изолированности точек переключения, в случае неавтономной системы (1) пока не

получены, но таковые имеются для автономной системы (2) (см. [24, 25]).

Орбита изолирована на множестве S_i (i = 1, 2) в том смысле, что в любой окрестности её

точек переключения не существует точек переключения других орбит. Условие изолированно-

сти орбит на множестве S_i (i = 1, 2) тесно связано со свойством трансверсальности, согласно

которому траектории систем вида (4) не касаются поверхностей переключения. Условия каса-

ния можно представить равенством

(Γ, AX + Bm_i) = 0 или (Γ, AX) = -m_i(Γ, B), i = 1, 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ

459

Если (Γ, B) = 0, то в точках на поверхностях переключения нет одновременного касания

в силу систем (4). Таким образом, получаем систему уравнений, которая определяет на L_i

множество точек, удовлетворяющих равенству (Γ, AX) = -m_i(Γ, B), а именно:

(Γ, X) = l_i, i = 1, 2,

(Γ, AX) = -m_i(Γ, B), (Γ, B) = 0.

(8)

Следовательно, точки переключения орбиты не должны принадлежать множеству, описывае-

мому системой (8). Последнее утверждение и есть условие трансверсальности для системы (2).

Далее везде будем считать, что точки переключения не удовлетворяют системе (8).

В самом общем виде непрерывный оператор P, отображающий в силу решений системы (1)

множество S_i (i = 1, 2) в себя, можно представить следующим образом:

(

∫

)

P (X₀, T (X₀)) = eA(T(X0)-t0) X₀ +

e-A(τ-t0)(BF(σ) + Kf(τ))dτ

(9)

t₀

где X₀ = X(t₀) - начальная точка отображения, X₀ ∈ S_i; T (X₀) - время возврата изобража-

ющей точки по траектории, задаваемой системой (1), в множество S_i. Отметим, что точка X₀

может как принадлежать периодическому решению, так и не принадлежать ему.

В дальнейшем будем рассматривать только систему (2). Допустим, что существует хотя

бы одно периодическое решение системы (2) с 2k (k ∈ N) точками переключения. Пусть

изображающая точка этого решения начинает своё движение в точке X¹ ∈ L₁ в момент t₀ =

= 0 и достигает L₂ в точке X² в момент t₁ в силу системы (2) при m_i = m₁. Затем она

переходит на L₁ в точку X³ в момент t₂ в силу системы (2) при m_i = m₂. Далее она

достигает L₂ в точке X⁴ в момент t₃ в силу (2) при m_i = m₁ и так далее. В момент времени

t2k изображающая точка возвращается на L₁ в начальную точку X¹ = X2k+1 в силу (2) при

m_i = m₂. Следовательно, t2k = T_r, где T_r - период стационарных колебаний.

В этом случае условие, что для системы (4) выполняется равенство

= 0 в точке X_i =

= -A-1Bm_i (i = 1,2), лежащей в фазовом пространстве вне зоны неоднозначности функ-

ции F (σ), принимает вид неравенств

-(Γ, A-1Bm₂) < l₁,

-(Γ, A-1Bm₁) > l₂.

(10)

Описанный процесс может быть формализован в виде системы равенств относительно то-

чек и моментов переключения:

∫t1

X² = eAt1 X¹ + eA(t1-τ)Bm₁ dτ, (Γ,X¹) = l₁,

∫t2

X³ = eA(t2-t1)X² + eA(t2-τ)Bm₂ dτ, (Γ,X²) = l₂,

t₁

∫t3

X⁴ = eA(t3-t2)X³ + eA(t3-τ)Bm₁ dτ, (Γ,X³) = l₁,

t₂

∫

X2k+1 = X¹ = eA(t2k-t2k-1)X2k +

eA(t2k-τ)Bm₂ dτ, (Γ,X2k) = l₂.

(11)

t2k-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

460

КАМАЧКИН и др.

Аналогично можно описать процесс отображения множества S_i (i = 1, 2) в себя в силу сис-

тем (4) для любого k ∈ N, не полагая, что точка X^j , j = 1, 2k + 1, принадлежит пери-

одическому решению. Тогда в системе (11) моменты переключения t₁, t₂, . . . , t2k можно

рассматривать как функции начальных точек X¹, X², . . . , X2k соответственно. Таким об-

разом, для любого k ∈ N получаем отображение с оператором вида (9). Если отображение S_i

в себя имеет два перехода в силу систем (4), то обозначим оператор P через P₂, если четыре

перехода, то через P₄ и т.д. В результате приходим к семейству операторов P = {P2k}∞k=1,

каждый из которых соответствует отображению множества S_i в себя.

Для того чтобы воспользоваться топологическими результатами, покажем, что семейство

P - это семейство определённых на некотором пространстве непрерывных вещественных функ-

ций, которое решает задачу топологического вложения пространства в куб [19, с. 157]. Кубы

играют роль стандартных пространств, и мы хотим описать топологическое пространство,

гомеоморфное подпространствам кубов. Далее понадобится лемма о вложении [19, с. 158],

приведём её формулировку в обозначениях данной статьи.

Лемма. Пусть P - семейство, произвольный элемент которого P2k есть непрерывное

отображение топологического пространства Y в некоторое топологическое пространст-

во YP2k . Тогда

1) отображение вычисления e является непрерывным отображением пространства Y

в пространство произведения Π{YP2k : P2k ∈ P};

2) если семейство P различает точки и замкнутые множества, то отображение e

является открытым отображением пространства Y на пространство e[Y ];

3) отображение e взаимно однозначно в том и только в том случае, когда семейство P

различает точки.

Имеет место

Теорема 1. Пусть система (2) удовлетворяет предположениям, сделанным относитель-

но её правой части, собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные

части, (Γ, B) = 0 и выполнены неравенства (10). Тогда семейство операторов P удовлетво-

ряет лемме.

Доказательство. Семейство P - это семейство отображений, определённых на одном и

том же ограниченном замкнутом множестве S_i, i = 1, 2, из пространства Rn-1 со значения-

ми в этом же множестве. Пространство значений отображения P2k ∈ P обозначим через YP2k .

Тогда множество S_i отображается в произведение Π{YP2k : P2k ∈ P}, т.е. точка X ∈ S_i

переходит при этом отображении в элемент произведения, P2k -я координата которого и есть

значение функции P2k (это так называемое отображение вычисления e). Если k = 1, то P₂ -

отображение множества S_i в себя с двумя переходами. При k ≥ 2 получаем последователь-

ность отображений {P2k}∞k=2, являющихся последовательными суперпозициями непрерывных

отображений вида P₂(X). Следовательно, функция e(X) является непрерывным отображе-

нием S_i в пространство произведения Π{YP2k : P2k ∈ P}. Утверждение 1) леммы справедливо.

Семейство P отображений множества S_i различает точки, т.е. для каждой пары различ-

ных точек X^′ и X^′′ найдётся элемент P2k ∈ P такой, что P2k(X^′) = P2k(X^′′). Это очевидно,

например, при k = 1. Каждое отображение из семейства P обладает тем свойством, что

для любого замкнутого подмножества S ⊂ S_i и каждой точки X ∈ S_i \ S значение P2k(X)

не принадлежит замыканию множества P2k(S). Действительно, отображение P2k переводит

каждое замкнутое подмножество S ⊂ S_i в замкнутое ограниченное множество P2k(S). Меж-

ду множествами S и P2k(S) имеет место взаимно однозначное соответствие. Пусть X ∈ S_i \S.

Если P2k(X) ∈ P2k(S), то точка X должна принадлежать множеству S, что противоречит

включению X ∈ S_i \S. Следовательно, семейство P различает точки и замкнутые множества.

Утверждение 2) леммы выполнено. Из утверждения 2) леммы следует, что отображение e(X)

взаимно однозначное (см. утверждение 3) леммы). Теорема доказана.

Замечание 1. Лемма о вложении утверждает, что отображение вычисления e(X) явля-

ется гомеоморфизмом.

2. Неподвижные точки отображения. Как и в работе [23], исходная задача свелась

к задаче существования неподвижных точек соответствующего отображения. Далее перей-

дём к нахождению условий существования неподвижных точек отображения e(X). Снача-

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ

461

ла рассмотрим примеры исследования фазового пространства систем вида (2) для отображе-

ния P₂(X). Исследования в следующих далее примерах проведены численно.

Система уравнений (11) при k = 1 принимает вид

∫t1

∫

t₂

X² = eAt1 X¹ + eA(t1-τ)Bm₁ dτ, X³ = X¹ = eA(t2-t1)X² + eA(t2-τ)Bm₂ dτ,

t₁

(Γ, Xⁱ) = l_i, i = 1, 2.

(12)

Пример 1. Пусть

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

-1

-2/3

A = ^⎝-10

-1

⎠, B = ⎝2⎠, Γ = ⎝-2/3⎠,

-1

-4/3

l₁ = -1, l₂ = 1, m₁ = -1, m₂ = 1.

Петля гистерезиса симметричная.

Проверим выполнение условий теоремы 1. Матрица A имеет собственные числа λ₁ =

= -1 и λ2,3 = -1 ± 10i (i - мнимая единица) с отрицательными вещественными частями,

(Γ, B) = -16/3 = 0. Точка X_j = -A-1Bm_j (j = 1, 2) лежит в фазовом пространстве вне

зоны неоднозначности функции F (σ), так как выполняются неравенства (10). Действитель-

но, -(Γ, A-1Bm₂) = -272/101 < -1 = l₁ и -(Γ, A-1Bm₁) = 272/101 > 1 = l₂. Значит,

изображающая точка решения за конечное время попадёт в ограниченную область фазового

пространства и останется в ней.

Чтобы найти моменты и точки переключения орбит с двумя переходами, решаем систе-

му (12). Получаем моменты t₁ ≈ 0.7027, t₂ = 2t₁ и точки переключения первой орбиты (да-

лее - орбиты I) X^1I = -X^2I ≈ (0.1438, 0.0059, 0.6752)^т , а также моменты t₁ ≈ 0.2452, t₂ = 2t₁ и

точки переключения второй орбиты (далее - орбиты II) X^1II = -X^2II ≈ (0.6469, 0.3651, 0.2440)^т .

Здесь и ниже символом^т обозначается операция транспонирования.

Обе унимодальные орбиты симметричные, орбита I асимптотически устойчивая, орбита II

неустойчивая. Действительно, если взять начальную точку из окрестности орбиты II, то при

t → ∞ решение, соответствующее орбите II, стремится к решению, соответствующему орби-

те I. Обе орбиты являются изолированными (выполняется условие трансверсальности) и не

выходят за пределы зоны неоднозначности. На множестве S_i (i = 1, 2) в некоторых окрест-

ностях точек XiI, XiII меняется направление поля касательных.

Отметим, что пример 1 рассматривался в [25], но в данной работе исследование проведено

полнее, с большей степенью детализации.

В следующих примерах условия теоремы 1 также выполняются, упоминание о них далее

опускаем.

Пример 2. Пусть

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

-1

A = ^⎝-1 0

⎠, B = ⎝-1⎠, Γ = ⎝-0.13⎠,

-2

2.9

l₁ = -3.5, l₂ = 3.5, m₁ = -1.4024, m₂ = 1.4024.

Петля гистерезиса симметричная. Для орбиты I находим точки переключения

X^1I = -X^2I ≈ (1.798912,-1.951576,-1.294381)^т,

а для орбиты II ими будут точки

X^1II = -X^2II ≈ (-1.992098,-4.359154,-1.402307)^т.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

462

КАМАЧКИН и др.

Точки переключения каждой из двух периодических орбит являются симметричными в фазо-

вом пространстве. В окрестностях этих точек на поверхностях переключения поле касатель-

ных не перпендикулярно вектору Γ, т.е. условие трансверсальности выполняется. Орбиты

асимптотически устойчивые, не выходят из зоны неоднозначности и на каждом множестве S_i

(i = 1, 2) в некоторых окрестностях точек XiI, XiII меняется направление поля касательных.

Пример 3. Пусть

⎞

^⎛1

-1

^⎛-1

^⎛ 1.15

⎜4

-3

⎟

⎜

⎟

⎜-0.6⎟

⎝

⎠, B =

⎝

⎠, Γ =

⎝

⎠,

-1

0.5

-0.5

-1.5

l₁ = -1, l₂ = 2, m₁ = -2, m₂ = 1.

Петля гистерезиса несимметричная. Орбита - с двумя несимметричными точками пере-

ключения

X¹ ≈ (-0.1724,1.3361,0.4502,0.4722)^т и X² ≈ (1.8114,0.1384,-0.9452, -0.7440)^т.

Орбита не выходит из зоны неоднозначности и является асимптотически устойчивой. На мно-

жестве S_i (i = 1, 2) в некоторой окрестности точки Xⁱ меняется направление поля каса-

тельных.

Пример 4. Пусть

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

-1

1.5

A = ^⎝-1.5

-1

⎠, B = ⎝ 1

⎠, Γ = ⎝1⎠,

-2

0.1

l₁ = -1.5, l₂ = 1.5, m₁ = -10, m₂ = 10.

Петля гистерезиса симметричная. Орбита содержит симметричные точки переключения

X¹ = -X² ≈ (10.2201,-1.5000,0.4810)^т.

Орбита симметричная, асимптотически устойчивая и с симметричным выходом из зоны неод-

нозначности. При этом на множестве S_i (i = 1, 2) в некоторой окрестности точки Xⁱ не

меняется направление поля касательных. Именно, оба вектора AX¹ + Bm₂ и AX¹ + Bm₁

направлены в противоположную сторону по сравнению с вектором Γ относительно S₁, а

векторы AX² + Bm₂ и AX² + Bm₁, наоборот, направлены в одну сторону с вектором Γ

относительно S₂.

Пример 5. Пусть

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

-1

0.1

-0.1

A = ^⎝-1 -1

⎠, B = ⎝0.1⎠, Γ = ⎝-0.1⎠,

-3

-2

l₁ = -1, l₂ = 1, m₁ = -2, m₂ = 2.

Петля гистерезиса симметричная. Орбита - с двумя точками переключения

X¹ = -X² ≈ (0.0673,0.0589,0.4937)^т.

Орбита симметричная, без выхода из зоны неоднозначности и асимптотически устойчивая, т.е.

эта орбита имеет такие же свойства, что и орбиты в примере 2.

Аналогичные исследования проводились авторами и других работ. Например, в работе [24]

рассматривались системы с симметричной петлёй гистерезиса: в одном примере указаны две

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ

463

изолированные симметричные орбиты с разными периодами, а в другом - две орбиты с рав-

ными периодами и перестановочными точками переключения.

Естественно возникают вопросы: во-первых, если по крайней мере одно периодическое ре-

шение найдено, то как искать другое решение; во-вторых, если другое периодическое решение

существует, будет ли отличаться его конфигурация от конфигурации первого решения. Далее

дадим ответы на поставленные вопросы. Справедлива

Теорема 2. Пусть для системы (2) выполнены условия теоремы 1. Тогда отображе-

ние P₂(X) имеет хотя бы одну неподвижную точку X_fp. Если, кроме того, n ≥ 3 и для

отображения P₂(X) отлично от нуля число Λ(P₂), определяемое равенством

Λ(P₂) = 1 + (-1)n-2sign JP2 (X_fp),

где JP2 (X_fp) - якобиан отображения P₂(X), вычисленный в точке X_fp, то существует

по крайней мере ещё одна неподвижная точка X, отличная от X_fp. В противном случае,

когда Λ(P₂) = 0, точка X_fp единственная.

Доказательство. При выполнении условий теоремы 1 получаем два выпуклых компакт-

ных множества S₁ и S₂ [15]. Каждое множество S_i лежит на гиперплоскости L_i, которая,

напомним, определяется уравнением (Γ, X) = l_i, i = 1, 2. Эти множества описываются сис-

темой (7). Каждое множество S_i в силу фазовых траекторий непрерывно отображается в

себя. Следовательно, выполнены условия теоремы Шаудера [26] о существовании хотя бы од-

ной неподвижной точки. Таким образом, отображение P₂(X) имеет на множестве S_i непо-

движную точку, если множество S_i имеет пустое пересечение со всеми множествами, которые

определяются системой уравнений (8).

Если это не так, то рассмотрим непрерывное поле касательных к фазовым траекториям в

точках множества S_i. Множеству S_i принадлежат точки, которые удовлетворяют одному из

условий:

(Γ, AX + Bm_i) < 0, (Γ, AX + Bm_i) = 0, (Γ, AX + Bm_i) > 0.

Однако (Γ, B) = 0, поэтому равенства (Γ, AX + Bm₁) = 0 и (Γ, AX + Bm₂) = 0 не могут

иметь место одновременно в какой-либо точке на одном множестве S_i ⊂ L_i. Предположим для

определённости, что если фазовая траектория системы (4) с i = 1 пересекает последовательно

поверхности L₁ и L₂, то выполняется неравенство (Γ, AX +Bm₁) > 0. Тогда для траектории

системы (4) с i = 2, которая пересекает последовательно поверхности L₂ и L₁, имеет место

неравенство (Γ, AX + Bm₂) < 0. Рассмотрим, например, множество S₂. Ему обязательно

принадлежат точки X, в которых (Γ, AX + Bm₂) < 0, а также могут принадлежать точки,

в которых (Γ, AX + Bm₂) ≥ 0. Пересечение множества точек X, для которых (Γ, AX +

+ Bm₂) < 0, с поверхностью L₂ и множеством S₂ также является выпуклым множеством.

Обозначим его S-2. Аналогично, при условиях (Γ, AX + Bm₂) > 0 и (Γ, AX + Bm₂) = 0

определим соответственно выпуклые множества S⁺² и S⁰². Очевидно, что для множества S₁

можно построить множества S-1, S⁺¹ и S⁰¹ с аналогичными свойствами.

Решение X(t) системы (2) отображает замкнутое выпуклое множество

S₂ = S-2

^⋃S⁰² в

себя и является функцией, непрерывной по X₀

S₂, где X₀ = X(t₀). Точно так же функция

X(t) ведёт себя и на множестве

S₁ = S⁺¹

^⋃S⁰¹, которое является выпуклым замкнутым мно-

жеством. Это решение X(t) является конкретной реализацией оператора (9) в случае, когда

фазовая траектория состоит только из двух кусков траекторий систем (4). Ранее такое отобра-

жение мы обозначили через P₂(X). Отсюда по теореме Шаудера следует существование по

крайней мере одной неподвижной точки отображения P₂(X) и, следовательно, периодического

решения системы (2) с двумя точками переключения, расположенными на гиперплоскостях L₁

и L₂. Первое утверждение доказано.

Итак, мы установили, что в любом случае отображение P₂(X) имеет по крайней мере одну

неподвижную точку X_fp. Выясним, когда на указанных выше множествах могут существо-

вать другие неподвижные точки отображения P₂(X).

Например, множества S₂ и

S₂ обладают одинаковыми свойствами, а именно, являются

ограниченными замкнутыми выпуклыми множествами из пространства Rn-1. Эти множе-

ства можно рассматривать как полные метрические пространства размерности n - 1 (см. [27,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

464

КАМАЧКИН и др.

с. 64]). Воспользуемся известным из топологии [20, с. 252] фактом: пространство Rn-1 с вы-

колотой точкой гомотопически эквивалентно сфере Sn-2. Здесь размерности соответствуют

поставленной задаче. Рассмотрим случай n ≥ 3. Пусть известна неподвижная точка X_fp ∈

∈ S₂ (или

S₂). Тогда множество с выколотой точкой S₂ \ {X_fp} является гомотопически

эквивалентным сфере Sn-2. Теперь продолжим рассмотрение отображения на сфере Sn-2.

Согласно теореме Лефшеца о неподвижной точке (см., например, [18, с. 419] или [21, с. 257]),

если отображение f : X → X, где X - некоторое пространство, имеет ненулевое число Лефше-

ца Λ(f), то f имеет неподвижную точку. Другими словами, неравенство Λ(f) = 0 является

достаточным условием существования неподвижной точки. По теореме Лефшеца для всякого

отображения f : Sⁿ → Sⁿ имеет место равенство

Λ(f) = 1 + (-1)ⁿ deg f,

(13)

где deg f - топологическая степень непрерывного отображения f. Как известно, целое чис-

ло deg f однозначно определено. Следовательно, применительно к поставленной задаче из

формулы (13) следует, что

Λ(P₂) = 1 + (-1)n-2deg P₂(X)

и, если Λ(P₂) = 0, то существует ещё одна неподвижная точка отображения P₂(X) на мно-

жестве S₂ \ {X_fp} (или

S₂ \ {X_fp}).

Известно [22, с. 94-95], что степень отображения определяется знаком якобиана отображе-

ния. В нашем случае якобиан JP2 (X) отображения P₂(X) отличен от нуля в каждой точке S_i.

Множество S_i (как и

S_i) не только замкнуто, но и связно. Следовательно, степень отобра-

жения P₂(X) будет одинаковой на всём множестве. Тогда достаточно вычислить JP2 (X_fp).

Окончательно получаем, что число Лефшеца вычисляется по формуле

Λ(P₂) = 1 + (-1)n-2sign JP2 (X_fp)

(14)

и, если оно не равно нулю, то существует по крайней мере ещё одна неподвижная точка X

отображения P₂ и X = X_fp. Теорема доказана.

Замечание 2. Процесс поиска неподвижных точек способом, изложенным в доказатель-

стве теоремы 2, может быть продолжен.

Замечание 3. Из формулы (14) вытекает, что если deg P₂(X) = sign JP2 (X_fp) = 1 и n =

= 3, то Λ(P₂) = 0 и не существует других неподвижных точек, отличных от X_fp. Однако

если deg P₂(X) = 1 и n = 4, то Λ(P₂) = 2 = 0, а это означает, что существует неподвижная

точка X, отличная от X_fp.

Замечание 4. Ниже в формулировке следствия 1 под автоколебанием понимается орби-

тально асимптотически устойчивая замкнутая фазовая траектория, состоящая из двух кусков

в силу разных систем (4).

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 2 и равенство A^тΓ = αΓ, где постоян-_∑

ная α = 0, Γ =_k Γ_k (k ≤ n), Γ_k - собственный вектор матрицы A^т, который отвечает

вещественному собственному значению α матрицы A. Тогда отображение P₂(X) име-

ет единственную неподвижную точку, которой соответствует автоколебание с областью

притяжения, совпадающей со всем фазовым пространством.

Доказательство. Умножим уравнение (2) слева на вектор Γ. Получим

σ = (Γ,AX) + (Γ,B)F(σ) = (A^тΓ,X) + (Γ,B)F(σ).

Если A^тΓ = αΓ, то приходим к уравнению

σ = ασ(t) + (Γ,B)F(σ)

(15)

относительно функции σ(t). Так как α < 0 (по предположению теоремы 1 все собствен-

ные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части), то уравнение (15) имеет

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ

465

периодическое решение. Отсюда следует, что периодическое решение системы (2) имеет тра-

екторию, не выходящую из зоны неоднозначности функции F (σ). При этом единственность

такого решения не гарантирована.

Возьмём две точки X¹⁰ и X²⁰ в множестве

S₁ (или

S₂), и пусть X¹⁰ принадлежит периоди-

ческой траектории. Поскольку траектории, определяемые уравнениями (4), имеют ограничен-

ную кривизну, построим гиперплоскость (Γ, X) = l для l ∈ (l₁, l₂) так, что точки пересечения

выходящих из X¹⁰ и X²⁰ траекторий с (Γ, X) = l можно представить следующим образом:

¹ = X¹⁰ + t₁AX¹⁰ + o(t₁) и

² = X²⁰ + t₂AX²⁰ + o(t₂).

Примем t₂ за текущее время t. Тогда величина t₁ зависит от t, т.е.

t₁ = (Γ,AX²⁰)(Γ,AX¹⁰)-1t = ωt.

Введём расстояние между точками

¹ и

² равенством

X¹

X²) =

X¹(ωt)

X²(t))^тV

X¹(ωt)

X²(t)),

где V - некоторая симметричная положительно определённая матрица.

Рассмотрим на S₁ (или S₂), т.е. при t = 0, производную

dρ

ρ=

= (ΔX)^т(W +^V )ΔX + 2(ω - 1)(X¹⁰)^тA^тV ΔX,

(16)

где ΔX = X¹⁰ - X²⁰, W = A^тV + V A. Аналогично ρ можно найти на любой гиперплоскости

(Γ, X) = l, где l ∈ (l₁, l₂). Если в качестве текущего времени взять t₁, то в равенстве (16)

следует ω-1 заменить на 1-ω-1, а X¹⁰ на вектор X²⁰. При условии, что A^тΓ = αΓ, получаем

ρ = (ΔX)^т(W + V )ΔX.

Так как все собственные числа матрицы A имеют отрицательные вещественные части, то су-

ществует постоянная положительно определённая матрица V такая, что

ρ < 0. Геометриче-

ски это означает, что по любому направлению, ортогональному вектору Γ, решение исходной

системы осуществляет сжатие относительно траектории периодического решения. Следствие

доказано.

3. Степень и якобиан отображения. В доказательстве теоремы 2 мы использовали

понятие степени отображения. Степень отображения зависит от знака якобиана отображения.

Имеет место

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для вычисления степени отобра-

жения P₂(X) достаточно определить знак якобиана этого отображения хотя бы в одной

точке множества

S₁ (или

S₂).

Доказательство. При выполнении условий теоремы 2 для X

S₁ (или X

S₂) иссле-

дуем якобиан JP2 (X). Рассмотрим отображение P₂(X) в виде (12). Время t₁ перехода с L₁

на L₂ зависит от выбранной начальной точки X¹. В свою очередь, время t₂ возврата на L₁

зависит от точки X² = X(t₁). Таким образом, время t₁ является функцией точки X¹.

Первое уравнение системы (11) представим в виде

∫t1

X² = X¹ + (AX(τ) + Bm₁)dτ,

(17)

где t₁ = t₁(X¹). Из равенства (17) следует, что

t₁

∫t1

∫

l₂ = l₁ + (Γ,AX(τ) + Bm₁)dτ = l₁ + (Γ,B)m₁t₁ + (Γ,AX(τ))dτ.

(18)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

466

КАМАЧКИН и др.

Продифференцируем (18) по параметру X. Получим

∫t1

0 = (Γ,B)m₁(t₁)^′X + A^тΓdτ + (t₁)^′X · (Γ,AX(t₁)).

При этом X(t₁) = X² ∈ L₂, т.е.

0 = (Γ,B)m₁(t₁)^′X + A^тΓt₁ + (t₁)^′X(Γ,AX²).

Отсюда выражаем вектор-строку (t₁)^′X . Имеем

(A^тΓ)^тt₁

(t₁)^′X = -

(19)

(Γ, B)m₁ + (Γ, AX²)

Эта производная существует, если

(Γ, B)m₁ + (Γ, AX²) = 0 для любых X² ∈ L₂.

Последнее выражение равно нулю, когда либо X² = -A-1Bm₁, либо (Γ, AX² + Bm₁) = 0, но

эти условия мы ранее исключили.

Теперь второе уравнение системы (11) представим в виде

∫t2

X¹ = X² + (AX(τ) + Bm₂)dτ.

t₁

Тогда

t₂

∫t2

∫

l₁ = l₂ +

((Γ, AX(τ)) + (Γ, B)m₂) dτ = l₂ + (Γ, B)m₂(t₂ - t₁) + (Γ, AX(τ)) dτ.

(20)

t₁

Продифференцируем (20) по параметру X. Получим

0 = (Γ,B)m₂((t₂)^′X - (t₁)^′X) + A^тΓ(t₂ - t₁) + (t₂)^′X(Γ,AX¹) - (t₁)^′X(Γ,AX²),

где X¹ = X(t₂), X² = X(t₁). Откуда, учитывая равенство (19), находим

(Γ, B)m₂ + (Γ, AX²)

(A^тΓ)^тt₁

(A^тΓ)^т(t₂ - t₁)

(t₂)^′X = -

(21)

(Γ, B)m₂ + (Γ, AX¹) (Γ, B)m₁ + (Γ, AX²)

(Γ, B)m₂ + (Γ, AX¹)

Выражения (Γ, B)m₂+(Γ, AX¹) и (Γ, B)m₁+(Γ, AX²) в формуле (21) не могут обращаться

в нуль в силу сделанных ранее предположений, в том числе предположения о трансверсаль-

ности траекторий. Функции t₁(X) и t₂(X) являются непрерывными как для X ∈

S₁, так

и для X

S₂. Следовательно, функции (t₁)^′X и (t₂)^′X также являются непрерывными на

этих множествах. Действительно, мы рассматривали пространственные окрестности точек из

множества

S_i (i = 1,2), но всё остаётся в силе, если начальный вектор X меняется только

на множестве

S_i (i = 1,2).

Найдём якобиан отображения P₂(X), заданного системой уравнений (11). Подставим пер-

вое уравнение во второе. Получим

(

∫

t₁

) ∫t2

X¹ = eA(t2-t1) eAt1 X¹ + eA(t1-τ)Bm₁ dτ

+ eA(t2-τ)Bm2 dτ.

(22)

t₁

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ

467

Обозначим X¹ через X. После интегрирования выражений в представлении (22) приходим

к равенству

X = eAt2X + eA(t2-t1)(-A-1Bm₁ + A-1eAt1Bm₁) + (-A-1Bm₂ + A-1eA(t2-t1)Bm₂),

откуда

X = -A-1Bm₂ + eAt2(X + A-1Bm₁) + eA(t2-t1)A-1B(m₂ - m₁).

(23)

Обозначим правую часть равенства (23) через G(X) (это вектор-функция) и найдём её

якобиан. Полная производная функции G(X) имеет вид

G′(X) = (eAt2 )^′X (X + A-1Bm₁) + eAt2 + (eA(t2-t1))^′X A-1B(m₂ - m₁).

(24)

Воспользуемся формулами (19) и (21) для (t₁)^′X и (t₂)^′X соответственно. После подстановки

их в (24) будем иметь

(Γ, B)(m₂ - m₁)t₁ + ((Γ, B)m₁ + (Γ, AX²))t₂

G′(X) = eAt2 - AeAt2

(A^тΓ)^т(X + A-1Bm₁) +

((Γ, B)m₂ + (Γ, AX¹))((Γ, B)m₁ + (Γ, AX²))

((Γ, B)m₁ + (Γ, AX¹))t₁ - ((Γ, B)m₁ + (Γ, AX²))t₂

+ AeA(t2-t1)

(A^тΓ)^тA-1B(m₂ - m₁).

(25)

((Γ, B)m₂ + (Γ, AX¹))((Γ, B)m₁ + (Γ, AX²))

Следовательно,

JP2 (X) = det G^′(X).

Виртуальные особые точки системы (2) находятся вне зоны неоднозначности и условие транс-

версальности выполняется, поэтому JP2 (X) = 0 в каждой точке множества

S₁ (аналогично

для

S₂).

Как отмечалось выше, степень отображения зависит от знака якобиана JP2 (X). Тогда в

силу связности и замкнутости

S₁ (или

S₂) заключаем, что степень отображения одинакова на

всём множестве. Значит, чтобы найти степень deg P₂(X) отображения достаточно определить

знак JP2 (X) хотя бы в одной точке множества

S₁ (или

S₂). Это мы и сделали в доказатель-

стве теоремы 2, вычислив sign JP2 (X) в неподвижной точке X_fp. Теорема доказана.

Замечание 5. Чтобы вычислить sign JP2 (X_fp), следует в представление (25) вместо X

и X¹ подставить X_fp, а X² заменить согласно первой формуле в (11). Это означает, что

нам должны быть известны точки переключения X¹ и X² периодической орбиты, а также

моменты переключения t₁ и t₂.

Следствие 2. Достаточным условием отсутствия неподвижных точек отображения

P₂(X) является условие (X,G(X)) = 0 для любого X

S_i (i = 1,2).

Доказательство. Если в некоторой точке X ∈

S_i (i = 1, 2) выполняется равенство

(X, G(X)) = 0, то G(X) = X. Отсюда следует отсутствие неподвижной точки X. Докажем

это утверждение от противного. Пусть X - неподвижная точка. Тогда G(X) = X. Отсюда

вытекает, что (X, G(X)) = (X, X) = 0 при любом X = 0. Пришли к противоречию. Следствие

доказано.

Рассмотрим вопрос о существовании неподвижных точек отображения P2k(X) при k > 1.

Справедлива

Теорема 4. Пусть для системы (2) с n ≥ 3 выполнены условия теоремы 1, отобра-

жение P₂(X) имеет единственную неподвижную точку X_fp и для отображения P₄(X)

отлично от нуля выражение

Λ(P₄) = 1 + (-1)n-2 sign JP4 (X_fp),

где JP4 (X_fp) - якобиан отображения P₄(X), вычисленный в точке X_fp. Тогда существует

по крайней мере одна неподвижная точка X = X_fp отображения P₄(X). Более того, если

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

3^∗

468

КАМАЧКИН и др.

Λ(P₄) = 0, то отображение P₄(X) не имеет неподвижных точек, отличных от X_fp, и

следует рассматривать отображение P₆(X) и т.д.

Доказательство. Пусть X = X_fp - единственная неподвижная точка отображения P₂(X)

и число Λ(P₄) не равно нулю. Тогда с точностью до обозначений можно повторить ту часть

доказательства теоремы 2, в которой установлено достаточное условие существования второй

неподвижной точки отображения P₂(X), если заменить в доказательстве отображение P₂(X)

на отображение P₄(X).

Далее рассмотрим отображение P2k(X) для k = 3. Ранее мы установили, что существуют

единственные неподвижные точки для отображений P₂(X) и P₄(X), поэтому для P₆(X)

строим новое множество, которое не содержит эти точки, но является связным замкнутым

выпуклым и лежит в

S_i (i = 1,2). Для k > 3 построения следует продолжить по аналогии.

Теорема доказана.

В доказательстве теоремы 4 описан процесс последовательного поиска неподвижных точек

отображения P2k(X), где k > 1. Ниже приведём численный пример, иллюстрирующий, что

отображение P2k(X) при k > 1 может иметь несовпадающие неподвижные точки, которые

также не совпадают с неподвижными точками отображения P₂(X).

Пример 6. Пусть

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

-1.000

0.999

-0.045

2.000

A = ^⎝-0.999

-0.004

-0.089⎠, B = ⎝-1.087⎠,Γ= ⎝

⎠_,

−0.045

-0.089

-1.996

-1.953

2.9029

l₁ = -2, l₂ = 5, m₁ = -2, m₂ = 4.

Петля гистерезиса несимметричная. Система имеет по крайней мере три несимметричные ор-

биты: орбита I - с 2-мя, орбита II - с 4-мя, а орбита III - с 6-ю точками переключения. При

этом точки переключения орбиты II и орбиты III не совпадают между собой и с точками пере-

ключения орбиты I. Дальнейший численный поиск затруднён из-за невозможности отделить

области притяжения различных периодических решений.

Заключение. Доказана теорема существования периодических решений (и соответствен-

но периодических орбит в фазовом пространстве) n-мерной системы обыкновенных диффе-

ренциальных уравнений с релейным гистерезисом в правой части. Установлены условия, при

выполнении которых периодическое решение является единственным, и условия, при которых

существует второе решение с подобной конфигурацией. Наряду с унимодальными орбитами

рассмотрены решения с большим чётным числом точек переключения и приведён пример су-

ществования таких решений. В доказательствах применялась известная из алгебраической

топологии теорема Лефшеца о неподвижной точке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Покровский А.В. Существование и расчет устойчивых режимов в релейных системах // Автоматика

и телемеханика. 1986. № 4. C. 16-23.

2. Петров В.В., Гордеев А.А. Нелинейные сервомеханизмы. М., 1979.

3. Leonov G.A., Shumafov M.M., Teshev V.A., Aleksandrov K.D. Differential equations with hysteresis

operators. Existence of solutions, stability, and oscillations // Differ. Equat. 2017. V. 53. № 13. P. 1764-

1816.

4. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of periodic solutions to automatic control

system with relay nonlinearity and sinusoidal external influence // Int. J. Robust Nonlin. Contr. 2017.

V. 27. № 2. P. 204-211.

5. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Existence of subharmonic solutions to a hysteresis

system with sinusoidal external influence // Electron. J. Differ. Equat. 2017. № 140. P. 1-10.

6. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. On uniqueness and properties of periodic solution of

second-order nonautonomous system with discontinuous nonlinearity // J. Dyn. Contr. Syst. 2017. V. 23.

№ 4. P. 825-837.

7. Solovyov A.M., Semenov M.E., Meleshenko P.A., Reshetova O.O, Popov M.A., Kabulova E.G. Hysteretic

nonlinearity and unbounded solutions in oscillating systems // Proc. Engin. 2017. V. 201. P. 578-583.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ ОТОБРАЖЕНИЯ

469

8. Евстафьева В.В. Периодические решения системы дифференциальных уравнений с гистерезисной

нелинейностью при наличии нулевого собственного числа // Укр. мат. журн. 2018. Т. 70. № 8.

С. 1085-1096.

9. Камачкин А.М., Потапов Д.К., Евстафьева В.В. Динамика и синхронизация циклических струк-

тур осцилляторов с гистерезисной обратной связью // Вестн. Санкт-Петербург. ун-та. Прикл. ма-

тематика. Информ. Проц. управ. 2020. Т. 16. Вып. 2. С. 186-199.

10. Фурсов А.С., Тодоров Т.С., Крылов П.А., Митрев Р.П. О существовании колебательных режимов в

одной нелинейной системе с гистерезисами // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 8. С. 1103-1121.

11. Евстафьева В.В. О существовании двухточечно-колебательных решений возмущённой релейной

системы с гистерезисом // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 2. С. 169-178.

12. Евстафьева В.В. Существование T/k-периодических решений нелинейной неавтономной системы

с кратным собственным числом матрицы // Мат. заметки. 2021. Т. 109. № 4. С. 529-543.

13. Євстаф’єва В.В. Iснування двоточково-коливних розв’язкiв релейноı неавтономно¨ı системи з крат-

ним власним числом дiйсноı симетрично¨ı матрицi // Укр. мат. журн. 2021. Т. 73. № 5. С. 640-650.

14. Фурсов А.С., Митрев Р.П., Крылов П.А., Тодоров Т.С. О существовании периодического режима

в одной нелинейной системе // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 8. С. 1104-1115.

15. Kamachkin A.M., Potapov D.K., Yevstafyeva V.V. Continuous dependence on parameters and bound-

edness of solutions to a hysteresis system // Appl. Math. 2022. V. 67. № 1. P. 65-80.

16. Уткин В.И., Орлов Ю.В. Системы управления с векторным реле // Автоматика и телемеханика.

2019. № 9. С. 143-155.

17. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М., 1974.

18. Лефшец С. Алгебраическая топология. М., 1949.

19. Келли Дж.Л. Общая топология. М., 1968.

20. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М., 1971.

21. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии. М., 1976.

22. Понтрягин Л.С. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий. М., 1976.

23. Павленко В.Н., Потапов Д.К. Положительные решения суперлинейных эллиптических задач с

разрывными нелинейностями // Изв. РАН. Сер. мат. 2021. Т. 85. № 2. С. 95-112.

24. Varigonda S., Georgiou T.T. Dynamics of relay relaxation oscillators // IEEE Trans. Automat. Contr.

2001. V. 46. № 1. P. 65-77.

25. Камачкин А.М. Периодические орбиты одного класса релейных свободных осцилляторов // Уч.

зап. Петрозавод. гос. ун-та. Сер.: Естеств. и техн. науки. 2014. № 2 (139). С. 113-117.

26. Schauder J. Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen // Stud. Math. 1930. V. 2. № 1. P. 171-180.

27. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1968.

Санкт-Петербургский государственный университет

Поступила в редакцию 21.02.2022 г.

После доработки 26.03.2022 г.

Принята к публикации 21.04.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022