ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.470-476

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ МИЛЛИОНЩИКОВА

С НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТЬЮ

ОТ ВЕЩЕСТВЕННОГО ПАРАМЕТРА

В однопараметрических семействах линейных дифференциальных систем Миллионщикова

с непрерывной зависимостью от вещественного параметра, содержащих неправильные по

Ляпунову системы с квазипериодическими коэффициентами, доказано наличие неустой-

чивых систем.

DOI: 10.31857/S0374064122040033, EDN: BZILIN

Рассмотрим однопараметрическое семейство двумерных линейных дифференциальных

систем

x = A_μ(t)x, x ∈ R², t ≥ 0

(1_μ)

{

(

)

d_k(μ)diag [1,-1],

2k - 2 ≤ t < 2k - 1,

с матрицами A_μ(t) :=

где k ∈ N, J =

(μ + b_k)J,

2k - 1 ≤ t < 2k,

-1

и вещественным параметром μ; условия, которым удовлетворяют числа b_k ∈ R и функции

d_k(·): R → R, будут указаны ниже.

В работе [1] доказано, что старший показатель Ляпунова системы (1_μ), рассматриваемый

как функция параметра μ, положителен на множестве положительной меры Лебега в случае,

когда функции d_k(·) не зависят от μ, положительны и равномерно по k ∈ N отделены от нуля,

т.е. если выполнено условие d_k(μ) ≡ d_k ≥ d > 0, k ∈ N. В доказательстве этого результата

существенно используются комплексные матрицы специального вида. В [2] приводится другой

способ доказательства теоремы из [1], основанный на применении равенства Парсеваля для

тригонометрических сумм.

Пусть a_n ∈ R, n ∈ N, - произвольные числа. Положим

d_k(μ) ≡ d(μ) > 0, b₂n-1(2k-1) := a_n, k ∈ N, μ ∈ R.

(2)

Обозначим через XAμ (t, s), t, s ≥ 0, матрицу Коши системы (1_μ). Для любого ϕ ∈ R

(

)

cos ϕ sin ϕ

матрицу поворота на угол ϕ по часовой стрелке обозначим через U(ϕ) ≡

- sin ϕ cos ϕ

Несложно убедиться, что в случае, когда матрица A_μ(·) определяется условиями (2), для

любого k ∈ N справедливо равенство XAμ (2k+1, 0) = U(ak+1 - a_k)X² (2^k, 0)._A

Системы с коэффициентами, выбранными согласно (2), обладают рядом свойств, позволяю-

щих строить однопараметрические семейства с различными асимптотическими характеристи-

ками. В частности, если последовательность {an}∞n=1 сходится, то матрица Aμ(·) является

равномерным по t ≥ 0 пределом последовательности периодических матриц. В.М. Милли-

онщиков использовал такие системы в работах [3-5] (см. также [6]) для доказательства су-

ществования неправильных по Ляпунову линейных дифференциальных систем с предельно

периодическими и квазипериодическими коэффициентами.

Предложенные в этих работах методы требуют получения оценок собственных значений

и векторов матрицы Коши системы (1_μ). Критерий Барабанова [7] правильности линейной

системы, состоящий в точности её сингулярных показателей, инициировал другой подход, со-

стоящий в применении сингулярного представления матрицы Коши (см. формулу (5_n) ниже).

470

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

471

В работе [2] при выполнении условий (2), в которых d(μ) > 2²⁰, и в случае непрерывной

функции d(·) доказано существование такого значения параметра μ ∈ R, при котором соот-

ветствующая система (1_μ) неустойчива. В настоящей работе аналогичный результат получен

при любой непрерывной d(μ) > 0.

Положим η₁(μ) = ed(μ), ψ₁(μ) := 0. Для любых k ∈ N, μ ∈ R определим рекуррентно

вещественные числа η_k ≥ 1 и ψ_k следующим образом. Обозначим ξ_k := 2ψ_k + a_k + μ. Так

как η_k ≥ 1 и, следовательно, sh (2 ln η_k) ≥ 0, найдутся единственные 1 ≤ ηk+1 ∈ R и ϕ_k ∈

∈ [-2-1π, 2-1π) такие, что выполнены равенства

sh ln ηk+1 = (sh (2 ln η_k))| cos ξ_k|,

(3)

ctg ϕ_k = (ch (2 ln η_k))ctg ξ_k, если sin ξ_k = 0, и ϕ_k = 0, если sin ξ_k = 0.

(4)

Наконец, полагаем ψk+1 = ψ_k + ϕ_k/2 + π(1 - sgn cos ξ_k)/4. В дальнейшем вместо ξ_k, ϕ_k и η_k,

поскольку они зависят от μ, будем также писать ξ_k(μ), ϕ_k(μ) и η_k(μ) соответственно.

Лемма 1 [2]. Для любых n ∈ N, μ ∈ R при выполнении условий (2) имеет место пред-

ставление

(

)

η_n

Y_n := XAμ(2ⁿ - 1,0) = U(ψ_n)

U (ψ_n).

(5_n)

η-1n

Пусть E(a, b; c, d), где a < b и c < d, обозначает прямоугольник {(x, y) : a ≤ x ≤ b,

c ≤ y ≤ d} на плоскости R².

Лемма 2 [8]. Пусть h(t) = (h₁(t), h₂(t)) и u(t) = (u₁(t), u₂(t)) (-1 ≤ t ≤ 1) - непрерывные

пути в E(a,b;c,d), удовлетворяющие условиям

h₁(-1) = a, h₁(1) = b, u₂(-1) = c, u₂(1) = d.

Тогда эти два пути пересекаются, т.е. h(s) = u(t) для некоторых s, t из [-1, 1].

Для любого множества M ⊂ R обозначим через int M и cl M соответственно его внут-

ренность и замыкание в R, а через C(M) - множество всех непрерывных функций из M в

R (топология в M индуцирована из R).

Теорема. Для любых a_n ∈ R, n ∈ N, и любой непрерывной функции d(·) при выполнении

условий (2) найдётся μ ∈ R такое, что система (1_μ) неустойчива.

Доказательство. Обозначим α₁ := 0, β₁ := π, V₁ := [0, π],

V₁ := V₁, ω₁(μ) := μ, μ ∈ V₁;

ζ₁(ν) := ξ₁ ◦ ω-11(ν) - a₁, ν ∈ [0,π].

Зафиксируем какое-либо k ∈ N.

Очевидно, в случае k = 1 выполняются сравнение

ζ_k ◦ ω_k(μ) ≡ (ξ_k(μ) - a_k)(mod π), μ ∈ V_k,

(6_k)

равенство

ζ_k(α_k) = -π + ζ_k(β_k)

(7_k)

и включения

ζ_k ∈ C

V_k),

(8_k)

η_k ◦ ω-1k ∈ C

V_k).

(9_k)

Предположим, что существуют множество V_k ⊂ R, числа α_k < β_k ∈ R, биекция ω_k(·) :

V_k

V_k := [α_k,β_k] и функция ζ_k(·) :

V_k → R такие, что справедливы включения (8_k),

(9_k) и соотношения (6k),

(7_k). Предположим также, что для любого μ ∈ V_k справедливо

неравенство

√

sh ln η_k(μ) ≥ κ_k := (

2)k-1 min sh ed(μ).

(10_k)

μ∈[0,π]

Пусть n_k,μ ∈ Z таково, чт

ξ_k(μ) := ξ_k(μ) + n_k,μπ ∈ (-π/2,π/2].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

472

ЛИПНИЦКИЙ

Возьмём произвольное μ ∈ V_k, для которого выполняется условие

|ϕ_k(μ)

ξ_k(μ)| < π/2.

(11)

В силу соотношений (4) ϕ_k

ξ_k одного знака. Поэтому

|ϕ_k(μ)| +

ξ_k(μ)| = |ϕ_k(μ)

ξ_k(μ)|

⁽¹¹⁾< π/2.

(12)

Тогда вследствие монотонного возрастания функции tg (·) на промежутке [0, π/2) имеем

в случае

ξ_k(μ) = 0 оценки

|tg ϕ_k(μ)| = tg |ϕ_k(μ)|

⁽¹²⁾< tg (π/2 -

ξ_k(μ)|) = ctg

ξ_k(μ)| = |ct

ξ_k(μ)|.

(13)

Таким образом, для любого μ ∈ V_k, удовлетворяющего условию (11) и неравенству ϕ_k(μ) = 0,

справедливы неравенства

|tg ξ_k(μ)|

= (ch (2 ln η_k(μ)))|ctg ξ_k(μ)|,

(14)

откуда следуют соотношения

cos-2 ξ_k = 1 + tg²ξ_k

⁽¹⁴⁾< 1 + ch (2 ln η_k) = 2ch² ln η_k.

(15)

Тогда выполняются оценки

sh (2 ln η_k)

√

sh ln ηk+1

√

2sh ln η_k, если ϕ_k(μ) = 0.

(16_k)

2|ch ln η_k|

Если ж

ξ_k(μ) = 0, то cos ξ_k = 1, поэтому в силу равенства (3) справедливы соотноше-

ния sh ln ηk+1

⁽³⁾=(sh (2 ln η_k))| cos ξ_k| = 2 sh ln η_k ch ln η_k >√2 sh ln η_k. Отсюда и из неравенства

(16_k), применяя оценку (10_k), получаем для всех μ ∈ V_k, удовлетворяющих условию (11),

неравенства

(16_k )

√

(10_k )

√

sh ln ηk+1(μ)

2 sh ln η_k(μ)

≥ (

2)^k shδ = κk+1.

(17)

Обозначим Ω₁ := {ν

V_k : ζ_k(ν) ≡ 2-1π - a_k(mod π)}. Из непрерывности функции ζ_k(·)

на отрезке

V_k в силу равенства (7_k) следует существование γ₀ := inf Ω₁ и γ₁ := supΩ₁. В

случае, когда ζ_k(γ₀) = ζ_k(γ₁), положим W_k := [α_k, γ₀]

^⋃ [γ₁, β_k).

Определим функцию ωk+1 : ω-1k(W_k) → R равенствами ωk+1(μ) := ω_k(μ) для всех μ =

= ω-1k([α_k,γ₀]), ωk+1(μ) := ω_k(μ) + α_k - β_k в случае, если μ ∈ ω-1k([γ₁,β_k)).

Обозначим γ₀ := γ₁ + α_k - β_k,

γ₁ := γ₀,

W_k := [γ₀, γ₁] = ωk+1 ◦ ω-1k(W_k). Очевидно, что

функция ωk+1 : ω-1k(W_k) →

W_k биективна, поэтому на отрезке

W_k определено обратное к

ней отображение ω-1k+1(·).

Определим функци

ζ_k :

W_k → R равенствам

ζ_k(ν) := ζ_k ◦ω_k ◦ω-1k+1(ν)-ζ_k(γ₀)-a_k +2-1π,

если ν ∈ [α_k, γ₀],

ζ_k(ν) := ζ_k ◦ ω_k ◦ ω-1k+1(ν) - ζ_k(γ₁) - a_k - 2-1π, если ν ∈ [γ₁,β_k). В силу

равенств

= ζ_k(β_k) - ζ_k(γ₁) - a_k - 2-1π = lim

ζ_k(ν)

W_k∋ν→β_k

функци

ζ_k(·) непрерывна на отрезке

W_k.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

473

Если имеет место оценка ζ_k(γ₀) ≥ π + ζ_k(α_k), то из непрерывности функции ζ_k(·) на от-

резке

V_k следует существование v₀ ∈ [α_k,γ₀), для которого выполняется равенство ζ_k(v₀) =

= ζ_k(γ₀) - π. Из него следует сравнение ζ_k(v₀) ≡ 2-1π - a_k(mod π), т.е. ζ_k(v₀) ∈ Ω₁, что в

совокупности с неравенством v₀ < γ₀ противоречит определению числа γ₀. Поэтому справед-

лива оценка ζ_k(γ₀) < π + ζ_k(α_k).

Аналогично доказывается неравенство ζ_k(β_k) < π + ζ_k(γ₁). Тогда имеют место соотно-

(7_k )

шения ζ_k(γ₀) < π + ζ_k(α_k)

= ζ_k(β_k) < π + ζ_k(γ₁). Поэтому в случае, когда ζ_k(γ₀) = ζ_k(γ₁),

выполняется неравенство ζ_k(γ₀) ≤ ζ_k(γ₁) - π. Следовательно, существует γ₁ := inf{γ₀ < ν ∈

∈

V_k : ζ_k(γ₀) = ζ_k(ν) - π}.

Положим γ₀ := sup{γ₁ > ν

Vk : ζk(γ0) = ζk(ν)}. В этом случае обозначим

W_k

= W_k := [γ₀, γ₁] и определим функции ωk+1 : ω-1k(W_k) → R,

ζk : Wk → R равенствами

ωk+1(μ) := ω_k(μ),

ζ_k(ν) := ζ_k(ν) - ζ_k(γ₀) - a_k - 2-1π для всех μ ∈ ω-1k(W_k), ν ∈ W_k.

Очевидно, имеют место включения

ζ_k ∈ C(Wk)

(18)

и вследствие соотношения (8_k)

ζ_k(intWk) ∈ (-a_k - 2-1π,-a_k + 2-1π).

(19)

Определим функцию ηk+1(·) :

W_k → [1,+∞) равенством

ηk+1(·) := sh ln ηk+1 ◦ ωk+1(·).

В силу верных для любого μ ∈ ω-1k+1(Wk) сравнений

(6_k )

ζ_k ◦ ωk+1(μ) ≡ ζ_k ◦ ω_k(μ)

≡ (ξ_k(μ) - a_k)(mod π)

(20)

получаем, что

(3),(20)

ηk+1(ν)

= sh (2ln η_k(ν))|cos

ζ_k(ν) + a_k)|, ν ∈

W_k.

(21)

Так как co

ζ_k(ν) = 0, ν ∈ intWk, согласно (19), то справедливо равенство

= arctg ((ch-1(2 ln η_k(ν))) tg

ζ_k + a_k)), ν ∈ intWk.

(22)

Из соотношений (9_k), (18) и (21) следует включение

ηk+1 ∈ C

W_k),

(23)

а из соотношений (9_k), (18) и (22) - включение

ϕk ◦ ωk+1 ∈ C (in

W_k).

(24)

В силу включения (19) и непрерывности на отрезке

W_k функци

ζ_k(·) существуют числа

γ₂, γ₂ ∈

W_k, определяемые соотношениями γ₂ := inf{ν ∈

W_k

ζ_k(ν) = -a_k},

γ₂ := sup{ν ∈

∈ W_k

ζ_k(ν) = -a_k}.

Согласно неравенству (17) выполняются оценки

ηk+1(γ2) > κk+1,

ηk+1(γ2) > κk+1, а

согласно формуле (3) - равенства ηk+1(γ0) = ηk+1(γ1) = 0. Отсюда вследствие вытекающей

из включения (23) непрерывности функции ηk+1(·) на отрезках [γ₀, γ₂] и [γ₂, γ₁] заключаем,

что существуют v₁ ∈ (γ₀, γ₂), v₂ ∈ (γ₂, γ₁), для которых ηk+1(v_i) = κk+1, i = 1, 2.

Обозначим Ω₂ := {ν ∈

W_k :

ζ_k(ν) ∈ [-a_k - 2-1π,-a_k],

ηk+1(ν) = κk+1}, Ω3 := {ν ∈

∈ W_k

ζ_k(ν) ∈ [-a_k,-a_k + 2-1π],

ηk+1(ν) = κk+1}.

Из включений (18), (19) и равенств

ζ_k(γ₀) = -a_k - 2-1π,

ζ_k(γ₁) = -a_k + 2-1π вытекают

соотношения

ζ_k([γ₀,γ₂]) = [-a_k - 2-1π,-a_k],

(25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

474

ЛИПНИЦКИЙ

ζ_k([γ₂, γ₁]) = [-a_k,-a_k + 2-1π].

(26)

Отсюда следует включение v₁

⁽²⁵⁾∈ Ω₂.

Тогда найдётся γ₃ := sup(Ω₂

^⋂ [v₁, v₂]). В силу очевидного неравенства γ₃ ≤ v₂ и, как

следствие, непустоты множества [γ₃, v₂] получаем включение v₂

⁽²⁶⁾∈ Ω₃ ⋂ [γ₃, v₂]. Поэтому су-

ществует γ₄ := inf(Ω₃

^⋂ [γ₃, v₂]).

Из непрерывности функци

ζ_k(·) на отрезке

Ŵ_k := [γ₃,γ₄] ⊂ [v₁,v₂] ⊂ intWk и вытекаю-

щих из соотношения (19) включений

ζ_k(γ₃) ∈ (-a_k - 2-1π,-a_k],

ζ_k(γ₄) ∈ [-a_k,-a_k + 2-1π)

(27)

следует, чт

ζ_k(Ŵk) ⊃

ζ_k(γ₃)

ζ_k(γ₄)] ∋ -a_k. Поэтому множество Ω₄ := {ν ∈Ŵk

ζ_k(ν) = -a_k}

не пусто. Следовательно, найдутся γ₅ := inf Ω₄ и γ₆ := sup Ω₄.

Обозначим M-1 := [γ₃, γ₅], M₁ := [γ₆, γ₄]. В силу непрерывности функции ηk+1 на отрез-

ках M-1 и M₁ найдутся j ∈ {-1, 1} и γ₇ ∈ M_j такие, что ηk+1(γ₇) = sup

ηk+1(ν).

⋃

ν∈M-1

M₁

Обозначим

M-1 := [γ₃,γ₇],

M₁ := [γ₇,γ₄],

L-1 := [-2-1π,2-1π + ζk+1(γ₃)) × {κk+1}, L₁ := (-2-1π + ζk+1(γ₄),2-1π] × {κk+1},

ζk+1(ν) :

ζ_k(ν) + ϕ_k ◦ ω-1k+1(ν) + a_k,

h^ik(ν) := (ζ_k(ν) - i2-1π,sh ln η_k(ν))^т ∈ R², i ∈ {-1,1}, ν ∈Ŵk,

C^jk := {hjk+1(ν) : ν ∈

M_j}, C3-jk := {h3-jk+1(ν) : ν ∈ M3-j}.

Вследствие неравенства (17) выполняется оценка ηk+1(γ5) > κk+1. Отсюда, поскольку для

любого γ ∈ (γ₃, γ₄) имеет место неравенство ηk+1(γ) = κk+1, в силу непрерывности на отрезке

[γ₃, γ₄] функции ηk+1(·) верна оценка

ηk+1(ν) > κk+1, ν ∈ (γ3, γ4).

(28)

Положим h := C^jk, u := C3-jk

^⋃L3-j, a := κk+1, b := sh ln η_k(γ₇), c := -π/2, d := π/2.

Из включений (19) и (27) следуют соотношения

ζ_k(M-1) ⊂ (-a_k - 2-1π,-a_k],

ζ_k(M₁) ⊂ [-a_k,-a_k + 2-1π).

(29)

Отсюда в силу сравнения (20) вытекает равенство

ζ_k(ν) = -a_k

ξ_k ◦ ω-1k+1(ν), ν ∈ M-1

^⋃M₁.

(30)

Тогда вследствие включений (29) и равенства (22) получаем соотношения

ϕk ◦ ωk+1(M-1) ⊂ (-2-1π, 0], ϕk ◦ ωk+1(M1) ⊂ [0, 2-1π).

(31)

Включения (29) и (31) в свою очередь влекут за собой соотношения ζk+1(M-1) ⊂ [-π, 0],

ζk+1(M₁) ⊂ [0,π]. Отсюда имеем включения C^jk,C3-jk ⊂ [-2-1π,2-1π] × R. Из них в силу

неравенства (27) получаем, что h, u ⊂ E(a, b; c, d). При этом вследствие включений (18), (23)

и (24) h и u - непрерывные кривые. Кроме того, очевидно, выполняются все равенства в

условиях леммы 2. Тогда в силу неё существует вектор r = (r₁, r₂)^т ∈ h

^⋂ u.

Для любого l ∈ {3, 4} из непрерывности на отрезке

W_k функци

ζ_k(·) и ηk+1(·) следует

замкнутость множеств Ω₂ и Ω₃. Поэтому верны включения γ_l ∈ Ωl-1, откуда вытекает

равенство ηk+1(γ_l) = κk+1. Таким образом, в случае, если μ = ω-1k+1(γ_l), оценка (17) не верна.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

475

Следовательно, для таких μ не выполняется неравенство (11). Отсюда в силу равенства (30)

имеем соотношения

|ζk+1(γ_l)|

⁽³⁰⁾= |ϕ_k ◦ ω-1k+1(γ_l) +

ξ_k ◦ ω-1k+1(γ_l)| ≥ π/2, l ∈ {3,4}.

(32)

Из них вытекают включения

L-1 ⊂ [-2-1π,0) × R, L₁ ⊂ (0,2-1π] × R.

(33)

Если r₂ = κk+1, то, поскольку r ∈ C^jk, из включений (27) следует соотношение r ∈

∈ {h-1k+1(γ₃), h1k+1(γ₄)}. Поэтому в силу неравенств (32) выполняются оценки

jr₁ = jζ_k(γ(7+j)/2) - 2-1π ≤ 0.

Отсюда вследствие включений (33) получаем, что r ∈ L3-j . Это же соотношение верно и в

случае, когда r₂ = κk+1.

Таким образом, в обоих случаях справедливо включение r ∈ C3-jk. Поэтому найдутся

такие γ₈ ∈ [γ₃, γ₅] и γ₉ ∈ [γ₆, γ₄] , для которых справедливо равенство

h-1k+1(γ₈) = h1k+1(γ₉).

(34)

Положи

Vk+1 := [γ₈,γ₉], Vk+1 := ω-1k+1

Vk+1).

Тогда вследствие включений (18) и (24) функция ζk+1 непрерывна на

Vk+1. Кроме того,

из равенства (30) вытекает сравнение (6k+1), а в силу равенства (34) справедливо сравне-

ние (7k+1). При этом из оценки (28) следует неравенство (10k+1).

По индукции с учётом вытекающего из включения (23) соотношения (9k+1) получаем, что

оценка (10_k) справедлива при всех k ∈ N.

Предположим, что для некоторого k ∈ N и любого отрезка M

V_k найдутся отрезки

f_k,i(M)

V₁, i = 1,2k-1, такие, что

⋃

ω₁ ◦ ω-1k(M) =

f_k,i(M).

(35_k)

i=1

Для любого отрезка M

Vk+1 существуют отрезки g_k,i(M)

V_k, i = 1,2, для которых

⋃

ω_k ◦ ω-1k+1(M) = g_k,i(M).

(36)

i=1

Положим fk+1,i(M) := f_k,i(gk,1(M)), fk+1,2k-1+i(M) := f_k,i(gk,2(M)), i = 1, 2k-1.

Тогда из равенств (35_k) и (36) следуют соотношения

⋃

fk+1,i(M).

i=1

Таким образом, равенство (35k+1) выполняется. По индукции, учитывая очевидное равенство

(35₁), получаем, что равенство (35_k) справедливо для любого k ∈ N.

Поэтому, поскольку Vk+1 ⊂ V_k, k ∈ N, имеют место соотношения

(₂k-1_⋃

)

⋂

(35_k )

V_∞ :=

V_k = Lim

V_k

= Lim

ω-1

f_k,i

V_k)

k→+∞

k∈N

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

476

ЛИПНИЦКИЙ

Следовательно, ω₁(V_∞) является пределом последовательности вложенных друг в друга за-

мкнутых множеств, что влечёт за собой его не пустоту.

Тогда в силу леммы 1 для любого μ ∈ V_∞ справедливы оценки

(10n)

= η_n

> exp(2n/2-1) → +∞ при n → ∞.

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Липницкий А.В. Оценки снизу старшего характеристического показателя в однопараметрических

семействах систем Миллионщикова // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. Вып. 30. М., 2014. С. 171-177.

2. Липницкий А.В. О неустойчивости линейных дифференциальных систем Миллионщикова, завися-

щих от вещественного параметра // Докл. НАН Беларуси. 2019. Т. 63. № 3. С. 270-277.

3. Миллионщиков В.М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференци-

альных уравнений с почти-периодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1968. Т. 4.

№ 3. С. 391-396.

4. Миллионщиков В.М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференци-

альных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5.

№ 11. С. 1979-1983.

5. Миллионщиков В.М. Доказательство существования неправильных систем линейных дифференци-

альных уравнений с квазипериодическими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1974. T. 10.

№ 3. C. 569.

6. Липницкий А.В. О решении В.М. Миллионщиковым проблемы Еругина // Дифференц. уравнения.

2000. Т. 36. № 12. С. 1615-1620.

7. Барабанов Е.А. Сингулярные показатели и критерии правильности линейных дифференциальных

систем // Дифференц. уравнения. 2005. Т. 41. № 2. С. 147-157.

8. Maehara R. The Jordan curve theorem via the Brouwer fixed point theorem // The American Math.

Monthly. 1984. V. 91. № 10. P. 641-643.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 13.12.2021 г.

г. Минск

После доработки 07.03.2022 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022