ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.477-488

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.22

ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ

СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ БИВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассматриваются краевые задачи для бикватернионных волновых (биволновых ) уравне-

ний. Такие уравнения представляют собой бикватернионные обобщения уравнений Макс-

велла и Дирака. Исследуются монохроматические решения с фиксированной частотой

колебаний. Построены фундаментальные и обобщённые решения для бикватернионных ам-

плитуд колебаний на пространстве обобщённых бикватернионов, компоненты которых яв-

ляются обобщёнными функциями медленного роста. С использованием метода обобщённых

функций найдены решения биволнового уравнения в ограниченной области по известным

значениям решения на границе области, даны их регулярные интегральные представления

для внутренних точек и интегральное представление характеристической функции облас-

ти через фундаментальное решение уравнения. На основании последней из перечислен-

ных формул, представляющей собой бикватернионные аналоги известных формул Грина

и Гаусса для эллиптических уравнений, построены разрешающие сингулярные граничные

интегральные уравнения для решения стационарных краевых задач.

DOI: 10.31857/S0374064122040045, EDN: BZLLWX

Настоящая работа связана с построением решений краевых задач для бикватернионных

волновых (биволновых) уравнений, которые являются бикватернионными обобщениями урав-

нений Максвелла и Дирака. Отметим, что кватернионное представление уравнений Максвелла

началось с работы самого Максвелла и имеет довольно обширную библиографию ([1-10] и др.),

в отличие от работ по построению решения краевых задач для кватернионных и бикватерни-

онных обобщений этих уравнений. Бикватернионные волновые уравнения относятся к классу

гиперболических и описывают решения гиперболических систем из восьми дифференциаль-

ных уравнений первого порядка. Фундаментальные решения таких уравнений и их свойства

рассмотрены автором в статье [11]. Основы дифференциальной алгебры бикватернионов из-

ложены в работе [12], обозначения из которой здесь используем.

Особый класс решений биволнового уравнения составляют монохроматические решения,

которые описывают гармонические (синусоидальные) колебания с фиксированной частотой.

Уравнение для бикватернионных амплитуд колебаний - стационарное биволновое уравнение -

в этом случае становится эллиптическим. В настоящей работе развивается теория краевых

задач для таких уравнений с использованием методов теории обобщённых функций. Постро-

ены фундаментальные и обобщённые решения этих уравнений на пространстве обобщённых

бикватернионов, компоненты которых являются обобщёнными функциями медленного роста.

Даны интегральные представления решений биволнового уравнения в ограниченной области

по известным значениям решения на границе области. Построено интегральное представление

характеристической функции множества через фундаментальное решение стационарного би-

волнового уравнения. Эти формулы являются аналогами известных формул Грина и Гаусса

для уравнения Лапласа и вообще эллиптических уравнений и систем, их бикватернионным

обобщением. На их основе построены сингулярные граничные интегральные уравнения для

решения стационарных краевых задач.

1. Бикватернионы и их биградиенты. Рассмотрим бикватернионное волновое уравне-

ние вида

▽^±B(τ,x) + F ◦ B(τ,x) = G(τ,x), (τ,x) ∈ M,

(1)

в котором бикватернионы B(τ, x) и G(τ, x) имеют вид

B(τ, x) = b(τ, x) + B(τ, x), G = g(τ, x) + G(τ, x),

477

478

АЛЕКСЕЕВА

структурный коэффициент F = f + F является постоянным бикватернионом, а M = {(τ, x) :

τ ∈ R¹, x ∈ R³} - пространство Минковского, где τ = ct, t - время, c - скорость света. Здесь и

далее используем гамильтонову скалярно-векторную запись бикватернионов, употребляя для

их скалярных и векторных величин одноимённые с обозначением бикватерниона (для которо-

го мы используем заглавные латинские буквы жирного шрифта) соответственно строчные и

заглавные одинарные буквы курсивного шрифта, т.е., например, в бикватеорионе F = f + F,

∑₃

величина f - скаляр, а F =

Fj ej - вектор. Согласно кватернионному умножению

j=1

F ◦ B = (f + F) ◦ (b + B) = {fb - (F,B)} + {fB + bF + [F,B]},

(2)

где справа в скобках стоят скалярное и векторное произведения указанных векторов и век-

торных функций

∑

(F, B) =

Fj Bj,

[F, B] =

ε_klmF_kB_le_m,

j=1

k,l,m=1

ε_klm - псевдотензор Леви-Чивиты, e_m - базисные элементы алгебры бикватернионов (m =

= 0, 1, 2, 3). Предполагается, что B(τ, x), G(τ, x) принадлежат функциональному простран-

ству B^′(M) на M. Под таковым понимаем бикватернионы, компоненты которых принадлежат

классу обобщённых комплексных функций медленного роста [13, с. 149].

В уравнении (1) дифференциальные бикватернионные операторы ∇⁺ и ∇^- - взаимные

биградиенты - имеют вид

∇⁺ = ∂_τ + i∇,

∇^- = ∂_τ - i∇,

∇ = grad. Их действие на B(τ,x) определяется алгеброй бикватернионов

∇^±B = (∂_τ ± i∇) ◦ (b + B) = (∂_τ b ∓ i(∇,B) + ∂_τ B ± i(∇b + [∇,B])) =

= (∂_τ b ∓ i div B) + ∂_τ B ± i grad b ± i rot B

(соответственно верхнему и нижнему знакам).

Уравнение (1) относится к классу биволновых уравнений общего вида

A ◦ ∇^±B + C ◦ B = H,

которые приводятся к (1), если существует обратный бикватернион A-1, т.е.

A-1 =

A◦A^-

где A^- = a - A - взаимный с A = a + A бикватернион. В этом случае, умножая (2) слева на

A-1, получаем уравнение (1), в котором F = A-1 ◦ C, G = A-1 ◦ H.

Введём также сопряжённый к A бикватернион A^∗ равенством A^∗ =A-. Здесь чертой

над символом обозначается комплексное сопряжение скалярной и векторной частей бикватер-

ниона (подробнее о дифференциальной алгебре бикватернионов см. [12]).

2. Свойства взаимных биградиентов и МД-операторов. Введём дифференциальные

бикватернионные операторы

D^+F = ∇⁺ + F = ∇⁺ + f + F, D-F = ∇^- + F^- = ∇^- + f - F,

свойствами которых будем пользоваться далее для решения поставленной задачи. В соответ-

ствии с использованной выше терминологией назовём их взаимными МД-операторами (опера-

торами Максвелла-Дирака). Используем далее обозначения для классических волновых опе-

раторов - даламбертиана и лаплассиана соответственно:

∂

□=

- Δ, Δ = ∂²¹ + ∂²² + ∂²³.

∂τ²

Взаимные биградиенты и МД-операторы обладают очень полезными для приложений свой-

ствами.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

479

Лемма 1. Взаимные биградиенты коммутируют между собой, и для их композиции

имеет место равенство

∇⁺ ◦ ∇^- = ∇^- ◦ ∇⁺ = □.

МД-операторы коммутируют между собой, и для их композиции справедливо равенство

D^+F ◦ D-F = D-F ◦ D^+F = □ + 2f∂_τ + f² + (F,F) - 2i(F,∇).

(3)

Доказательство. Действительно,

∇⁺ ◦ ∇^- = (∂_τ + i∇) ◦ (∂_τ - i∇) =

= ∂_τ∂_τ - (∇,∇) - i∂_τ∇ + i∂_τ∇ - [∇,∇] = ∇^- ◦ ∇⁺ = □.

Аналогично получим равенства (3):

D^+F ◦ D-F = D-F ◦ D^+F = (∇⁺ + f + F) ◦ (∇^- + f - F) = □ + 2f∂_τ + f² + (F,F) - 2i(F,∇).

Лемма доказана.

Далее значок кватернионного умножения (композиции) между операторами опускаем.

3. Стационарные МД-операторы и их свойства. В работах [14, 15] построены фунда-

ментальные и обобщённые решения уравнения (1) при произвольной правой части с носителем

на положительной полуоси времени (нестационарные решения). Здесь построим и исследуем

свойства периодических решений биволновых уравнений. В частности, рассмотрим случай

гармонических колебаний с частотой ω, т.е. когда правая часть уравнения (1) имеет вид

G(τ, x) = G(x)exp(-iωτ).

Здесь комплексная биамплитуда принадлежит классу обобщённых бикватернионов, компо-

ненты которых являются обобщёнными функциями медленного роста. Решение уравнения (1)

будем искать в аналогичном виде:

B(τ, x) = B(x) exp(-iωτ).

В этом случае биволновое уравнение (1) для верхнего знака (+) биградиента приобретает вид

∇^-ωB(x) + iF ◦ B(x) = iG(x).

Здесь операторы ∇^±ω = ω ± ∇ назовём ω-градиентами, а оператор ∇ - градиентом:

∇G(x) = -div G(x) + grad g(x) + rot G(x).

Таким образом, для определения комплексных амплитуд (не вводя новые обозначения) мы

приходим к уравнениям типа

∇^±ωB + F ◦ B = G.

(4)

Назовём такие уравнения стационарными МД-уравнениями. Соответственно введём стацио-

нарные взаимные МД-операторы равенствами

D+ω = ∇+ω + F, D^-ω = ∇^-ω + F^-.

Аналогично лемме 1 доказывается

Лемма 2. Взаимные стационарные МД-операторы коммутируют между собой, и для их

композиции справедливо равенство

D+ωD^-ω = D^-ωD+ω = Δ + (ω + f)² + (F,F) + 2(F,∇).

(5)

Это свойство используем далее при построении решений уравнения (4).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

480

АЛЕКСЕЕВА

4. Стационарное МД-уравнение и его обобщённые решения. Далее решения по-

строим для верхнего знака (+) уравнения (4). Для нижнего знака оно строится аналогично.

Для этого используем свойство МД-операторов (5). В результате получаем

D^-ωD+ωB = {Δ + (ω + f)² + (F,F) + 2(F,∇)}B = D^-ωG = Q,

т.е. каждая компонента бикватерниона B удовлетворяет скалярному уравнению

Δu + (ω + f)²u + (F,F)u + 2(F,∇u) = q

(6)

с соответствующей компонентой q в правой части.

Обозначим через ψ(x) фундаментальное решение уравнения (6) (при q(x) = δ(x)), а через

ψ⁰(x) решения однородного уравнения (при q = 0).

Далее построим решения (4) для верхнего знака (+).

Теорема 1. Решение уравнения (4) можно представить в виде

B=D^-ωψ∗G+B⁰ =ψ∗D^-ωG+B⁰,

(7)

если свёртка в первом слагаемом существует. Здесь B⁰(x) - решение однородного уравне-

ния (4).

Доказательство. В силу линейности уравнения достаточно доказать утверждение для

каждого слагаемого в формуле (7). Подставим первое слагаемое в уравнение (4) и, исполь-

зуя (3), свойство дифференцирования свёртки и свойство дельта-функции, будем иметь

D+ωD^-ω(ψ ∗ G) = {Δψ + (ω + f)²ψ + (F,F)ψ + 2(F,∇ψ)} ∗ G = δ ∗ G = G,

D^-ωB⁰ = 0.

Если B₁ - любое решение уравнения (4), то (B₁ - B) = B₂ - решение однородного урав-

нения (4), следовательно, B₁ = B + B₂. Лемма доказана.

Заметим, что свёртку в первом слагаемом, согласно правилам дифференцирования свёрток

обобщённых функций [13, с.126] можно брать разными способами, что удобно при вычислении.

Теорема 2. Бикватернион вида

∑

B⁰ =

D^-ωψ⁰ ∗ C⁰ =

ψ⁰ ∗ D^-ωC⁰ =

D^-ω(ψ⁰ ∗ C⁰)

{ψ⁰(x)}

является решением однородного уравнения (4) (G ≡ 0). Здесь {ψ⁰(x)} - конечное множество

произвольных решений однородного уравнения (6), C⁰ ∈ B^′(R³) - произвольные бикватернио-

ны, допускающие такую свёртку.

Доказательство следует из равенства

D+ωD^-ω(ψ⁰ ∗ C⁰) = {Δψ⁰ + (ω + f)²ψ⁰ + (F,F)ψ⁰ + 2(F,∇ψ⁰)} ∗ C⁰ = 0.

Следовательно, класс решений уравнения (4) определяется скалярными функциями ψ(x)

и ψ⁰(x) - решениями уравнения (6), которые будем называть скалярными МД-потенциалами

решений стационарного МД-уравнения.

5. Фундаментальные решения МД-уравнения и их потенциалы. Рассмотрим фун-

даментальные решения (4), которые удовлетворяют уравнению

∇+ωU(x) + F ◦ U(x) = δ(x),

(8)

правая часть которого - сингулярная дельта-функция. Фундаментальные решения определя-

ются с точностью до решений однородного уравнения (с нулевой правой частью).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

481

Свойства фундаментальных решений позволяют строить частные решения уравнения (4)

в виде бикватернионной свёртки

{

} {

}

∑

B = G∗ U = (g + G) ∗(u + U) = g ∗ u- G_k ∗ U_k

+ u∗G+g∗U+

ε_jkle_j(G_k ∗ U_l)

k=1

j,k,l=1

где в правой части стоят покомпонентные функциональные свёртки, которые следует брать

согласно правилам свёртки обобщённых функций [13, с. 126]. Условия существования таких

свёрток определяют класс бикватернионов в правой части уравнения (4), для которых ука-

занные решения существуют.

Используя формулу (7) и свойство свёрток с дельта-функцией, получаем фундаментальные

решения уравнения (4) в следующем виде:

U(x) = D^-ωψ(x) ∗ δ(x) + B⁰(x) = D^-ωψ(x) + B⁰(x) = (ω + f)ψ(x) - grad ψ(x) - ψ(x)F + B⁰(x).

Определение. Назовём функцией Грина фундаментальное решение уравнения (8), удо-

влетворяющее условиям затухания на бесконечности:

U(x) → 0

при

∥x∥ → ∞,

порождённое фундаментальным решением уравнения (6), удовлетворяющим некоторым усло-

виям излучения для расходящихся волн.

Для построения такого решения используем преобразование Фурье обобщённых функций.

Переменные Фурье, соответствующие x = (x₁, x₂, x₃), обозначаем ξ = (ξ₁, ξ₂, ξ₃) соответствен-

но. Используя свойство преобразования Фурье производной [13, c. 162] ∂/∂x_j ↔ -iξ_j, полу-

чаем преобразование Фурье уравнения (6):

(-∥ξ∥² + (ω + f²) - 2i(F, ξ) + (F, F )

ψ(ξ) = 1,

которое можно записать в виде {-(ξ + iF, ξ + iF ) + (f + ω)²

ψ = 1. Откуда находим преобра-

зование Фурье скалярного потенциала

ψ(ξ) = -

(ξ + iF, ξ + iF ) - (ω + f)²

Для построения обратного преобразования Фурье воспользуемся фундаментальным реше-

нием уравнения Гельмгольца

Δχ(x) + k²χ(x) = δ(x), Rek > 0,

удовлетворяющим условиям излучения Зоммерфельда при ∥x∥ → ∞:

∂ψ

ψ(x) = O(1/r),

∓ ikψ = o(1/r), r = ∥x∥,

∂r

которое описывает затухающую на бесконечности сферическую волну [13, с. 203]

χ(x)e^-iωt = -

ei(±k∥x∥-ωt).

4π∥x∥

Она расходится из точки x = 0 для верхнего знака (+), а для нижнего знака (-) сходится.

Им соответствуют следующие регуляризации преобразования Фурье функции (∥ξ∥² - ω²)-1 :

F[χ(x)] =

∥ξ∥² - (ω ± i0)²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

482

АЛЕКСЕЕВА

Используя свойства сдвига преобразования Фурье [13, c. 162]

F[χ(x)ei(a,x)] = F[χ(x)](ξ + a),

получаем

ψ(x) = -

e±ik∥x∥-(F,x), k = ω + f.

4π∥x∥

Этим комплексным амплитудам соответствуют волны вида

-(F,x)

ψ₊(x)e^-iωτ = -

exp(i((ω + f)∥x∥ - ωτ)),

4π∥x∥

-(F,x)

ψ_-(x)e^-iωτ = -

exp(-i((ω + f)∥x∥ + ωτ)).

(9)

4π∥x∥

Их свойства на бесконечности зависят от структурного коэффициента F = f +F. В частности,

ψ₊(x) → 0, если Imf ≥ 0, Re F = 0,

(10)

ψ_-(x) → 0, если Imf ≤ 0, Re F = 0.

(11)

Эти волны расходятся на бесконечности, если

Re (ω + f) > 0 для ψ₊(x), Re (ω + f) < 0 для ψ_-(x).

(12)

Приведённые условия - это условия излучения для скалярных МД-потенциалов. Выбираем тот

из потенциалов (10), для которых они выполняются. В противном случае фундаментальные

решения экспоненциально растут на бесконечности и функции Грина не существует.

Используя соответствующее представление потенциала (9) и формулу теоремы 1, находим

фундаментальное решение стационарного МД-уравнения. В частности, при условиях (10), (12)

для φ₊(x) получаем

iω-f∥x∥+i(F,x)

U(x) = ωψ(x) - grad ψ(x) = -

(ω - iF - i(ω + if + i∥x∥-1)e_x),

(13)

4π∥x∥

где e_x = x/∥x∥. Соответственно, используя теорему 1, с учётом (9) находим решение стацио-

нарного МД-уравнения. В частности, из неё следует

Теорема 3. Если G(x) - регулярный бикватернион с компактным носителем, частные

производные которого являются интегрируемыми функциями, то уравнение (4) имеет ре-

шение вида

(iω-f)∥x∥-(F,x)

4πB(x) = -

∗ D-FG(x) =

∥x∥

∫

e(iω-f)∥x-y∥+(F,y)

=e-(F,x)

{ωg(y) + div G(y) + ωG(y) - rot G(y)} dV (y) -

∥x - y∥

supp G(y)

∫

e(iω-f)∥x-y∥+(F,y)

-e-(F,x)F^- ◦

G(y) dV (y),

∥x - y∥

supp G(y)

dV (y) = dy₁ dy₂ dy₃. При условиях (10), (12) оно описывает порождаемые источником расхо-

дящиеся и затухающие на бесконечности волны.

Аналогично при условиях (11), (12) вычисляется решение U(x) для ψ_-(x) и переформу-

лируется теорема 3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

483

Если носитель бикватерниона G(x) неограничен, то условия существования интеграла

определяют условия на G, при которых решение существует.

Бикватернион G может быть сингулярным. В этом случае следует использовать первое

равенство в (7), взять свёртку по правилам нахождения свёртки в пространстве обобщённых

функций [13, c. 132], а затем подействовать МД-оператором.

6. Построение аналога формулы Грина методом обобщённых функций. Под тако-

вым аналогом мы понимаем представление решения уравнения в ограниченной области S^- ⊂

⊂ R³ по его граничным значениям на границе S по аналогии с представлением решения урав-

нения Лапласа по граничным значениям решения и его производных [13, c. 252]. Для этого

используем характеристическую функцию этой области H^-s(x). Её производная в простран-

стве обобщённых функций имеет вид

∂_jH^-S(x) = -n_j(x)δ_S(x),

где сингулярная обобщённая функция n_j(x)δ_S (x) - простой слой на поверхности S, а n(x) =

= (n₁(x), n₂(x), n₃(x)) - внешняя единичная нормаль к S.

Введём регулярный бикватернион

B(x) = B(x)H^-S(x),

равный решению уравнения (4) в этой области с её границей, а вне их равный нулю. Обоб-

щённые частные производные этого бикватерниона в пространстве B^′(R³) представляются в

виде [13, c. 104]

∂_j B(x) =∂BH-S(x) - BS(x)nj(x)δS(x), j = 1,2,3.

∂x_j

Здесь первое слагаемое справа - классическая частная производная бикватерниона, B_S (x) -

значения бикватерниона B(x) на S. С учётом представления (14) получаем

∇+ω B(x) = {(ω - div B(x)) + ωB(x) + (grad b(x) +

+ rotB(x))}H-S (x) + {(n(x),B) - bn(x) - [n(x),B]}δ_s(x).

Тогда действие МД-операторов на этот бикватернион в пространстве обобщённых бикватер-

нионов примет вид

∇+ω B(x) + F ◦B(x) = G(x)H^-S(x) + i{(n(x),B_S(x)) - b_S(x)n(x) - [n(x),B_S(x)]}δ_S(x) =

= Ĝ(x) - (n(x) ◦ B_S (x))δ_S (x),

(14)

где B_S (x) = b_s(x) + B_S (x). Введём сингулярный бикватернион простого слоя

Γ(x) = -(n(x) ◦ B_S (x))δ_S (x) = i{n(x), B_s(x) - b_sn(x) - [n(x), B_s(x)]}δ_S (x).

Здесь (-n(x) ◦ BS (x)) - плотность простого слоя на S. В результате приходим к уравне-

нию вида

∇⁺ B(x) + F ◦B(x) =Ĝ(x) +Γ(x).

Бикватернионная свёртка правой части этого уравнения с функцией Грина, согласно теоре-

ме 1, является решением уравнения (4):

B= B₁ +B2 = U ∗Ĝ + U ∗^Γ.

Первое слагаемое

B₁

вычисляется по формуле теоремы 3. Вычисляя второе слагаемое

B₂,

имеем

{

}

e(iω-f)∥x∥+j(F,x)

B₂(x) = U(x)∗Γ(x) =

(ω - iF - (iω - f - ∥x∥-1)e_x)

∗ (n(x)◦B_S (x))δ_S (x) =

4π∥x∥

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

4^∗

484

АЛЕКСЕЕВА

∫

{

}

e(iω-f)∥x-y∥+i(F,x)

(ω - iF - (iω - f - ∥x - y∥-1)e_x-y)

∗ (n(y) ◦ B_S (y)) dS(y).

4π

∥x - y∥

Здесь и далее e_y-x = (y - x)/∥x - y∥.

Результат сформулируем в виде теоремы, которая является аналогом формулы Грина для

эллиптических уравнений и систем.

Теорема 4. Если G(x) удовлетворяет условиям теоремы 3, то решение стационарного

МД-уравнения (4) определяется своими граничными значениями на S формулой

∫

e(iω-f)r-i(F,y)

4πB(x)H^-S(x) = -ei(F,x)

{ω - iF + (iω - f)e_y-x} ◦ {(n(y) ◦ B_S (y))} dS(y) -

∫

e(iω-f)r-i(F,y)

-ei(F,x)

e_y-x ◦ {n(y) ◦ B_S(y)}dS(y) +B1(x), r = ∥x - y∥.

r²

Заметим, что для всех x ∈ S подынтегральные функции интегрируемы и интегралы су-

ществуют.

Однако для граничных точек x ∈ S второй интеграл содержит неинтегрируемую на S

особенность при x = y порядка r-2. Исследование предельных свойств этого интегрального

представления приводит к сингулярным граничным интегральным уравнениям (СГИУ), ко-

торые являются разрешающими для краевых задач для уравнения (4). Заметим также, что

и для граничных точек формула сохраняет тот же вид, если положить, что H^-S(x) = 1/2 на

границе S. Только в этом случае интеграл следует брать в смысле главного значения. Для

доказательства этого факта дадим вначале представление функции H^-S(x) через функцию

Грина уравнения (4).

7. Представление характеристической функции множества S^-. Аналог фор-

мулы Гаусса. Хорошо известна формула Гаусса, которая представляет характеристическую

функцию множества S^- через значения фундаментального решения уравнения Лапласа и его

нормальной производной на границе S [13, c. 412]. Построим аналогичную формулу, исполь-

зуя функцию Грина стационарного МД-уравнения. Для этого свернём уравнение для фун-

даментального решения (8) с H^-S(x), воспользуемся свойством свёрток с дельта-функцией и

производных свёрток обобщённых функций. В результате получим

H^-S(x) = ∇+ωU(x) ∗ H^-S(x)+(F ◦ U(x)) ∗ H^-S(x) = (ω + F) ◦ U(x) ∗ H^-S(x)-U(x) ∗ n(x)δ_S(x) =

∫

= (ω + F) ◦ U(x - y) dV (y) - U(x - y) ◦ n(y)dS(y).

S^-

Эта формула имеет следующее интегральное представление.

Лемма 3. Характеристическая функция множества S^-, ограниченного замкнутой по-

верхностью Ляпунова S, представима в виде

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

4πH^-S(x) = (ω + F) ◦

(ω - {F + (iω - f - r-1)e_x-y}) dV (y) -

S^-

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

(ω - {iF + (iω - f)e_x-y}) ◦ n(y) dS(y) -

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

e_y-x ◦ n(y)dS(y).

(15)

r²

Для x ∈ S все интегралы регулярные, а для x ∈ S второй интеграл является сингулярным

и берётся в смысле главного значения. На границе, по определению, H^-S(x) = 1/2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

485

Доказательство. Формула (15) вытекает непосредственно из представления функции

Грина (13). Если x ∈ S, то все подынтегральные функции непрерывные, а множество интегри-

рования ограничено, поэтому интегралы существуют и для таких x являются непрерывными

и дифференцируемыми функциями.

Для x ∈ S первый интеграл в формуле (15) имеет слабую сингулярность порядка 1/r²,

интегрируемую при y = x, так как интеграл берётся по трёхмерному множеству. Второй по-

верхностный интеграл также имеет слабую интегрируемую сингулярность порядка 1/r. Одна-

ко у третьего поверхностного интеграла особенность порядка 1/r² является сильной и, вообще

говоря, неинтегрируемой:

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

I(x) =

e_x-y ◦ n(y)dS(y) =

{e_y-x, n(y) - [e_y-x, n(y)]} dS(y).

r²

Вычислим его значение при x → x^∗ ∈ S. Обозначим ε-окрестность точки x^∗ на поверхности

S через O_ε(x^∗) = {y ∈ S : ∥y - x^∗∥ < ε}.

Пусть x ∈ S, x - x^∗ = -ε₁n(x^∗). Разобьём этот интеграл на два. Тогда

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

I(x) = -

{(e_x-yn(y)) - [e_x-yn(y)]} dS(y) -

r²

S\Oε(x^∗)

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

{(e_x-yn(y)) - [e_x-yn(y)]} dS(y)

→ I(x^∗,ε),

r²

x→x^∗

S\Oε(x^∗)

∫

e(iω-f)r(x∗,y)(F,x∗-y)

I(x^∗, ε) = -

{(e_x∗_-yn(y)) - [e_x∗_-yn(y)]} dS(y) -

r²

S\Oε(x^∗)

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

- lim

{(e_y-x, n(y)) - [e_x-yn(y)]} dS(y).

x→x^∗

r²

Oε(x^∗)

Здесь первое слагаемое будет регулярным для всех x, в том числе для x на поверхности, так

как подынтегральные функции непрерывны в области интегрирования. При x ∈ S и ε → 0

оно стремится к интегралу в смысле главного значения, который существует в силу того, что

e_x-y = -e_y-x.

Пусть x - x^∗ = -ε₁n(x^∗), 0 < ε1 < ε. Вычислим второе слагаемое. Заметим, что

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

(e_y-x, n(y)) dS(y) = Ω(x) + O(ε) → 2π,

(y - x²)

ε→0

Oε(x^∗)

где Ω(x) - телесный угол, который доставляет конус с вершиной в точке x и с образующими,

проходящими через границу окрестности O_ε(x^∗).

Далее, поскольку n(y) → n(x^∗) при ε → 0 и при всех x ∈ S справедливо соотношение

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

(1 + O(ε))

[e_y-x, n(y)] dS(y) =

[n(x^∗), n(y)] dS(y)

→ 0,

(y - x)²

ε→0

Oε(x^∗)

то

∫

(iω-f)r+i(F,x-y)

lim

[e_y-x, n(y)] dS(y) = 0.

ε₁→0

ε→0

(y - x)²

Oε(x^∗)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

486

АЛЕКСЕЕВА

С учётом этого, суммируя, получаем

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

lim

(-ω + {iF + (iω - f - r-1)e_y-x}) ◦ n(y) dS(y) =

x→x^∗

∫

e(iω-f)r+i(F,x-y)

= V.P.

(-ω + {iF + (iω - f - r-1)e_y-x}) ◦ n(y) dS(y) + 2π.

Так как 4πH^-S(x) = 4π для x ∈ S^-, то, переходя в этом равенстве к пределу при x → S и

перенося 2π в левую часть, приходим с учётом предыдущего, согласно определению функции

H^-S(x) на границе, к формуле (15). Теорема доказана.

Если положить F = 0, то отсюда, как следствие, получим аналог формулы Гаусса через

фундаментальное решение стационарного обобщённого уравнения Максвелла (ОУМ).

Следствие 1. Характеристическая функция множества S^-, ограниченного замкнутой

поверхностью Ляпунова S, представима в виде

∫

e^iωr

4πH^-S(x) = ω

(ω + {i(ω - r-1)e_y-x}) dV (y) -

(ω + i(ω - r-1)e_y-x) ◦ n(y) dV (y).

S^-

Если здесь положить ω = 0, то отсюда, как следствие, получим аналог формулы Гаусса

через фундаментальное решение статического ОУМ.

Следствие 2. Характеристическая функция множества S^-, ограниченного замкнутой

поверхностью Ляпунова S, представима в виде

∫

e_y-x ◦ n(y)

(e_y-x, n(y))

[e_y-x, n(y)]

4πH^-S(x) = -

dS(y) =

dS(y) -

dS(y).

r²

Скалярная часть этого равенства

∫

(e_y-x, n(y))

4πH^-S(x) =

dS(y)

r²

- это формула Гаусса, а векторная часть равна нулю:

∫

[e_y-x, n(y)]

dS(y) = 0.

r²

Здесь для x ∈ S интегралы берутся в смысле главного значения.

8. Сингулярные граничные интегральные уравнения. Следствием теоремы 4 и лем-

мы 3 является

Теорема 5. Если бикватернион G(x) удовлетворяет условиям теоремы 3, то существу-

ют решения уравнения (4), при этом все они удовлетворяют граничному интегральному

уравнению

∫

2πB_S (x) = ω

∥y∥-1eik∥y∥-(F,y)G(x - y) dV (y) -

r-1eikr-(F,x-y)∇G(y)dV (y) +

y∈S^-

{ ∫

∫

}

+e-(F,x)F^- ◦

r-1eikr+(F,y)G(y)dV (y) - r-1eikr+(F,y)n(y) ◦ B_S(y)dV (y)

y∈S^-

∫

eikr-(F,x-y)

+ ω r-1eikr+(F,y)n(y) ◦ B_S(y)dV (y) - V.P.

{n(y) ◦ B_S (y)} ◦ ∇

dS(y).

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

487

Доказательство. Вычислим сингулярное слагаемое в формуле (16) при x ∈ S^- с учётом

формулы (15) для внутренних точек. Имеем

∫

eikr-(F,x-y)

{n(y) ◦ B_S (y)} ◦ ∇

dS(y) =

∫

eikr-(F,x-y)

{n(y) ◦ (B_S (y) - B_S (x^∗))} ◦ ∇

dS(y) +

{n(y) ◦ B_S (x^∗)} ◦ ∇

dS(y) =

∫

}

eikr-(F,x-y)

^{eikr-(F,x-y)

{n(y)(B_S (y) - B_S (x^∗))} ◦ ∇

dS(y) + ∇

n(y) ◦ B_S (x^∗) dS(y) =

∫

{

}

eikr-(F,x-y)

= {n(y)(B_S (y)-B_S(x^∗))}◦∇

dS(y)◦B_S (x^∗)+

∇

n(y) dS(y)◦B_S (x^∗)=

∫

eikr-(F,x-y)

{n(y)(B_S (y) - B_S (x^∗))} ◦ ∇

dS(y) + 4πB_S (x^∗).

Здесь x^∗ ∈ S. Переходя в первом слагаемом получившегося выражения к пределу при x → x^∗,

с учётом формулы (15) для граничных точек, получаем

∫

eikr-(F,x∗-y)

lim

{n(y) ◦ (B_S (y) - B_S (x^∗))} ◦ ∇

dS(y) =

x→x^∗

∫

eikr-(F,x∗-y)

{n(y) ◦ (B_S (y) - B_S (x^∗))} ◦ ∇

∫

eikr-(F,x∗-y)

= V.P. n(y) ◦ B_S(y) ◦ ∇

- V.P.

{n(y) ◦ B_S (x^∗)} ◦ ∇

∫

eikr-(F,x∗-y)

= V.P.

{n(y) ◦ B_S (y)} ◦ ∇

- 2πB_S (x^∗).

Переходя в формуле теоремы 4 к пределу при x → x^∗, с учётом этих соотношений приходим

к формуле (16). Теорема доказана.

Заключение. Построенное в теореме 5 граничное бикватернионное уравнение эквивалент-

но четырём сингулярным граничным интегральным уравнениям для четырёх комплексных

компонент, которые связывают их с его значением на границе. Значения на границе определя-

ются значениями восьми действительных функций, определяющих действительную и мнимую

части на границе. Следовательно, на границе из восьми граничных функций можно задавать

только четыре. Остальные четыре определяются решением системы из четырёх СГИУ, кото-

рые являются разрешающими для краевых задач для стационарного МД-уравнения (4).

При F = 0 получим СГИУ и решения стационарных краевых задач для ОУМ [12]. При

F = if получим СГИУ и решения стационарных краевых задач для уравнений Дирака [14, 15].

Если исследуется периодический по времени процесс под действием периодических внеш-

них источников возмущений, то, разлагая решение и действие источников в ряды Фурье по

времени, получим рассмотренные здесь задачи для каждой гармоники ряда. Сумма решений

для каждой гармоники ряда даст решение периодической по времени задачи.

Если положить ω = 0, то эти формулы дают решения статических краевых задач для

уравнений Максвелла и Дирака.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

488

АЛЕКСЕЕВА

Так как уравнения Максвелла и Дирака являются частным случаем биволновых уравне-

ний, то построенные решения могут использоваться для решения краевых задач электродина-

мики и теории поля при исследовании периодических по времени решений для электромагнит-

ных (ЭМ) полей и элементарных частиц. В этом случае граничные условия задаются, исходя

из физических представлений об исследуемом процессе.

Полученные представления могут использоваться в экспериментах, поскольку зачастую

полевые характеристики ЭМ-полей на границе можно измерить экспериментально, не решая

соответствующее СГИУ.

Заметим также, что трансформация электрогравимагнитных (ЭГМ) зарядов и токов под

действием внешних электрогравимагнитных полей описывается бикватернионными диффе-

ренциальными уравнениями вида (1) (см. [16, 17]). Построенные решения можно использовать

для решения краевых задач в ЭГМ-полях.

Работа выполнена при поддержке Комитета науки Министерства образования и науки Рес-

публики Казахстан (гранты AP09261033, AP09258948).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hamilton W.R. On a new species of imaginary quantities connected with a theory of quaternions // Proc.

of the Royal Irish Academy (Nov 13, 1843). P. 424-434.

2. Edmonds J.D. Eight Maxwell equations as one quaternionic // Amer. J. Phys. 1978. V. 46. № 4. P. 430.

3. Шпилькер Г.Л. Гиперкомплексные решения уравнений Максвелла // Докл. АН СССР. 1983. Т. 272.

№ 6. С. 1359-1363.

4. Rodrigues Jr. W.A., Capelas de Oliviera E. Dirac and Maxwell equations in the Clifford and spin Clifford

bundles // Int. J. of Theor. Phys. 1990. V. 29. P. 397-412.

5. Finkelstein D., Jauch J.M., Schiminovich S., Speiser D. Foundations of quaternion quantum mechanics

// J. Math. Phys. 1992. V. 3. P. 207-220.

6. Adler S.L. Quaternionic Quantum Mechanics and Quantum Fields. New York, 1995.

7. De Leo S., Rodrigues Jr. W.A. Quaternionic quantum mechanics: from complex to complexified

quaternions // Int. J. Theor. Phys. 1997. V. 36. P. 2725-2757.

8. Ефремов А.П. Кватернионы: алгебра, геометрия и физические теории // Гиперкомплексные числа

в геометрии и физике. 2004. Т. 1. № 1. С. 111-127.

9. Acevedo M., Lopez-Bonilla J., Sanchez-Meraz M. Quaternions, Maxwell equations and Lorentz trans-

formations // Apeiron. 2005. V. 12. № 4. P. 371.

10. Марчук Н.Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. М.; Ижевск, 2009.

11. Алексеева Л.А. Бикватернионные волновые уравнения и свойства их обобщённых решений // Диф-

ференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 5. С. 614-624.

12. Alexeyeva L.A. Biquaternions algebra and its applications by solving of some theoretical physics equations

// Clifford Analysis, Clifford Algebras and their Applications. 2012. V. 7. № 1. P. 19-39.

13. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М., 1979.

14. Алексеева Л.А. Дифференциальная алгебра бикватернионов. 2. Уравнение Дирака и его обобщен-

ные решения // Мат. журн. 2011. Т. 11. № 1. С. 30-38.

15. Alexeyeva L.A. Differential algebra of biquaternions. Dirac equations and its generalized solutions

// Progress in Analysis. Moscow, 2013. Proc. of the 8th Congress of ISAAC (Moscow, Aug 22-27, 2011).

P. 153-161.

16. Alexeyeva L.A. Newton’s laws for a biquaternionic model of the electro-gravimagnetic fields, charges,

currents, and their interactions // J. of Phys. Math. 2009. V. 1. Art. ID S090604.

17. Alexeyeva L.A. Biquaternionic form of laws of electro-gravimagnetic charges and currents interactions

// J. of Modern Phys. 2016. V. 7. P. 1351-1358.

Институт математики и математического моделирования

Поступила в редакцию 28.11.2021 г.

Министерства образования и науки Республики Казахстан,

После доработки 30.03.2022 г.

г. Алматы

Принята к публикации 21.04.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022