ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.489-497

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.4

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

С ОДНОЙ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Рассматриваются равномерно параболические уравнения с одной пространственной пере-

менной как дивергентного, так и недивергентного вида без младших членов. Старший

коэффициент уравнения предполагается не зависящим от времени, никаких условий глад-

кости на него не накладывается. Устанавливается асимптотика слабого фундаментального

решения и его производных по временной переменной любого порядка при условии, что

старший коэффициент уравнения имеет слабый предел на бесконечности. Кроме того, рас-

сматривается вопрос об асимптотической близости фундаментальных решений и скорость

стабилизации производных по времени решений задачи Коши.

DOI: 10.31857/S0374064122040057, EDN: BZPNYP

Введение. Рассматривается параболическое уравнение

p(x)∂_tu - ∂2xu = 0,

(1)

в котором измеримая функция p удовлетворяет условию

0 < μ ≤ p(x) ≤ μ-1 для всех x ∈ R,

(2)

и такова, что существуют пределы

∫

lim

p(x) dx = a²¹,

lim

p(x) dx = a²², a₁, a₂ > 0.

(3)

R→+∞ R

-R

При выполнении условий (2) и (3) и гёльдеровости коэффициента p А.К. Гущин и В.П. Ми-

хайлов [1] получили необходимые и достаточные условия на начальную функцию, при которых

решение задачи Коши для уравнения (1) стабилизируется при t → +∞. Подобные результаты

для уравнений как дивергентного, так и недивергентного вида установлены Ф.О. Порпером и

С.Д. Эйдельманом [2]. В.В. Жиковым [3] найдены необходимые и достаточные условия ста-

билизации для уравнений дивергентного вида в многомерном случае. Обзор результатов по

стабилизации решений задачи Коши имеется в [4].

Для параболических уравнений дивергентного вида без младших членов первые оценки

их фундаментальных решений Γ(x, ξ, t, τ), в которых постоянные не зависят от гладкости

коэффициентов, впервые получены Дж. Нэшем [5]. Д. Аронсон [6] установил двусторонние

гауссовы оценки фундаментальных решений

K₁(t - τ)-n/2e-k1(x-ξ)2/(t-τ) ≤ Γ(x,ξ,t,τ) ≤ K₂(t - τ)-n/2e-k2(x-ξ)2/(t-τ).

Здесь константы зависят только от размерности n уравнения и его постоянной параболич-

ности. В работе [7] для уравнения с одной пространственной переменной без младших чле-

нов с коэффициентами, не зависящими от времени, показано, что фундаментальное решение

Γ(x, ξ, t, τ) = Γ(x, ξ, t - τ) является бесконечно дифференцируемой функцией по переменной

t и справедливы оценки

|∂^mt∂^lxΓ(x, ξ, t)| ≤ C_mt-(2m+l+1)/2e-cm(x-ξ)2/t, l = 0, 1, m ≥ 0,

(4)

489

490

КОНЕНКОВ

где постоянные C_m и c_m зависят только от постоянной параболичности. Из последнего нера-

венства следует, в частности, что функции tn+1/2∂^ntΓ(x, ξ, t) являются ограниченными в полу-

пространстве t > 0. В настоящей работе устанавливается, что если выполнено условие (3), то

эти функции стабилизируются при t → +∞. Это даёт возможность выписать главный член

асимптотики производных ∂^ntΓ(x, ξ, t).

1. Асимптотическая близость фундаментальных решений. Получим асимптоти-

ку фундаментального решения уравнения (1), сравнивая его с фундаментальным решением

некоторого “модельного” уравнения. Поэтому сначала рассмотрим вопрос о близости фун-

даментальных решений двух уравнений вида (1) при больших t, если их коэффициенты в

определённом смысле близки при x → ∞. Асимптотическая близость решений задачи Коши

изучалась в работе [2].

Даже для непрерывного коэффициента p уравнение (1) не имеет, вообще говоря, класси-

ческого фундаментального решения. Однако для p ∈ L_∞(R) при выполнении условия равно-

мерной параболичности (2) существует слабое фундаментальное решение Γ, причём функция

Γ(x, ξ, t)/p(ξ) является непрерывной по совокупности аргументов при t > 0 [7].

Для уравнения (1) с коэффициентом p_i, i = 1, 2, через Γ_i обозначим его слабое фунда-

ментальное решение.

Через δ (возможно, с индексами) будем обозначать различные функции, положительные

и невозрастающие на [0, ∞), такие, что lim δ(t) = 0. Будем говорить, что функция f ста-

t→+∞

билизируется к числу A со скоростью не меньшей чем δ(t), если |f(t) - A| ≤ δ(t) для всех

t ≥ t₀ > 0.

Теорема 1. Пусть для коэффициентов p₁ и p₂ выполнены условие (2) и для некоторого

x ∈ R оценка



∫



₁



(p₁(y) - p₂(y)) dx

δ(|R|), R = 0.

(5)

≤

^R

Тогда для n ≥ 0 и ξ ∈ R имеет место соотношение

lim

tn+1/2(∂^ntΓ₁(x,ξ,t)/p₁(ξ) - ∂^ntΓ₂(x,ξ,t)/p₂(ξ)) = 0.

t→+∞

Если для каждого компакта Q ⊂ R существует функция δ_Q, для которой условие (5)

справедливо при всех x ∈ Q, то сходимость равномерна по (x,ξ) на компактах K ⊂ R².

Установим предварительно несколько утверждений о стабилизации функций одного пере-

менного.

Лемма 1. Пусть функция f ∈ C²(0, ∞) удовлетворяет оценке |f^′′(t)| ≤ Mt-2 и вы-

полняется соотношение lim f(t) = A ∈ R. Тогда

t→+∞

lim tf^′(t) = 0.

t→+∞

Если f(t) стабилизируется к A со скоростью не меньшей чем δ(t), то найдётся функция

δ₁, определяемая лишь числом M и функцией δ, такая, что tf^′(t) стабилизируется к нулю

со скоростью не меньшей чем δ₁(t).

Доказательство. Для ε > 0 имеем

ε²t²f^′′(t₁)

f (t + εt) = f(t) + εtf^′(t) +

t₁ ∈ (t,t + εt),

|tf^′(t)| ≤ ε-1|f(t + εt) - f(t)| +

|t²f^′′(t₁)|,

εM

|tf^′(t)| ≤ 2ε-1δ(t) +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

491

√

Минимизируя по ε > 0 правую часть последнего неравенства, получаем |tf^′(t)| ≤ 2

Mδ(t).

Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть функция f для некоторого α ∈ R удовлетворяет оценкам |f(k)(t)| ≤

≤ C_kt^α-k, t > 0, k ≥ 1, и, кроме того, lim t^-αf(t) = A. Тогда для n ∈ N имеет место

t→+∞

соотношение

lim

t^n-αf(n)(t) = (α)_nA,

(6)

t→+∞

где (α)_n = α(α - 1) . . . (α - n + 1) - убывающий факториал. Если функция t^-αf(t) стабили-

зируется к A со скоростью не меньшей чем δ(t), то для каждого n найдётся функция δ_n,

определяемая лишь числами n, C_k, k = 1,... ,n + 2, и функцией δ, такая, что скорость

стабилизации в (6) не меньше чем δ_n(t).

Доказательство проведём индукцией по n. Пусть утверждение верно для некоторого

n ≥ 0. Тогда функция g(t) = t^n-αf(n)(t) удовлетворяет оценке |g^′′(t)| ≤ Mt-2, где M зависит

лишь от n, C_k, k = 1, . . . , n + 2, и lim

g(t) = (α)_nA. По лемме 1 имеем

t→+∞

lim

tg^′(t) = lim ((n - α)t^n-αf(n)(t) + tn+1-αf(n+1)(t)) = 0

t→+∞

и |tg^′(t)| ≤ δ^∗n(t), откуда следует, что

lim

tn+1-αf(n+1)(t) = (α - n) lim

t^n-αf(n)(t) = (α - n)(α)_nA = (α)n+1A,

t→+∞

причём

|tn+1-αf(n+1)(t) - (α)n+1A| ≤ |tg^′(t)| + |n - α||t^n-αf(n)(t) - (α)_nA| ≤

≤ δ^∗n(t) + |n - α|δ_n(τ) = δn+1(t).

Лемма доказана.

Обозначим через I1/2t оператор дробного интегрирования порядка 1/2, т.е.

∫

I1/2tf(t) =

√π(t-τ)-1/2f(τ)dτ.

Лемма 3. Пусть f ∈ L_∞(0, ∞) и lim f(t) = 0. Тогда

t→+∞

lim

t-1/2I1/2tf(t) = 0.

t→+∞

Если |f(t)| ≤ δ(t), то найдётся функция δ₁, определяемая лишь ∥f∥L∞(0,∞) и функцией δ,

такая, что t-1/2I1/2tf(t) стабилизируется со скоростью не меньшей чем δ₁(t).

Доказательство. Для t ≥ 4 имеем



∫

)



√πt-1/2I1/2t

f (t)| =^t-1/2

(t - τ)-1/2f(τ) dτ

≤

t1/2

∫

√

∥f∥L∞(0,∞)

≤

+ t-1/2δ(t1/2) (t - τ)-1/2 dτ ≤

2∥f∥L∞(0,∞)t-1/2 + 2δ(t1/2).

(t - t1/2)1/2

t1/2

Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

492

КОНЕНКОВ

Лемма 4. Пусть функция f ∈ C¹(0, ∞) удовлетворяет неравенствам |f(k)(t)| ≤ Ct-1/2-k,

∫t

k = 0,1, и lim

t-1/2

f (τ) dτ = 0. Тогда lim

t1/2f(t) = 0. Если t-1/2

f (τ) dτ стабили-

t→+∞

зируется со скоростью не меньшей чем δ(t), то найдётся функция δ₁, определяемая лишь

числом C и функцией δ, такая, что t1/2f(t) стабилизируется к нулю со скоростью не

меньшей чем δ₁(t).

∫t

Доказательство. Положим g(t) = t-1/2

f (τ) dτ. Тогда |g(t)| ≤ 2C,



|g^′(t)| =^ -¹t-1g(t) + t-1/2f(t)

C₁t-1,

≤



₃



|g^′′(t)| =^

t-2g(t) - t-3/2f(t) + t-1/2f^′(t)

C₂t-2.

≤

Согласно лемме 1 получаем

(

)

lim

tg^′(t) = lim

g(t) + t1/2f(t)

= 0,

t→+∞

откуда

lim

t1/2f(t) =

lim g(t) = 0

t→+∞

|t1/2f(t)| ≤

|g(t)| + t|g^′(t)| ≤

δ(t) + δ^∗(t) = δ₁(t).

Лемма доказана.

Перейдём к доказательству теоремы. Пусть сначала коэффициенты p_i имеют на R ограни-

ченные производные любого порядка. Без ограничения общности положим x = 0 и обозначим

V (ξ, t) = Γ₁(0, ξ, t)/p₁(ξ) - Γ₂(0, ξ, t)/p₂(ξ).

Покажем, что

lim

I1/2tV (1,t) = 0.

(7)

t→+∞

Для этого воспользуемся тауберовой леммой из работы [2], утверждающей, что если функция

g : (0,+∞) → R удовлетворяет неравенствам

|g(k)(t)| ≤ Ct^-k, k ≤ 2,

(8)

и для её преобразования Лапласа

∫∞

g(t) = L[g](t) = e^-λtg(t) dt

имеет место оценка

|λg(λ)| ≤ δ₁(|λ|-1), Re λ > 0,

|λ| < 1,

(9)

то lim

g(t) = 0 и |g(t)| ≤ δ₂(t), где функция δ₂ зависит лишь от C и δ₁. Таким образом,

t→+∞

для доказательства соотношения (7) достаточно для функции g(t) = I1/2tV (1, t) установить

оценки (8) и (9)

Докажем (8). С учётом равенств ∂^ktV (1, 0) = 0, k ≥ 0, имеем

∫

]

√π∂^ktI1/2tV (1,t) =√πI1/2t∂ktV (1,t) =

(t - τ)-1/2∂^kτV (1, τ) dτ = Jk1 + Jk2,

t/2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

493

∫

|J⁰¹| ≤ C (t - τ)-1/2τ-1/2 dτ = C₁,

 ∫



∫



|J¹¹| =^ (t - τ)-1/2∂_τ V (1, τ) dτ



t/2)-1/2V (1, t/2) -

(t - τ)-3/2V (1, τ) dτ

C₂t-1,

⁼

⁽

≤



∫



|J²¹| =^(t/2)-1/2∂_tV (1, t/2) -1(t/2)-3/2V (1, t/2) +

(t - τ)-5/2V (1, τ) dτ

C₃t-2,

≤

∫t

|Jk2| ≤ C (t - τ)-1/2τ-1/2-k dτ = C^′kt^-k, k ≤ 2.

t/2

Докажем (9). Обозначим

Gi(x, ξ, λ) = L[Γi(x, ξ, · )/pi(ξ)](λ), i = 1, 2,

V (ξ, λ) = L[V (ξ, · )](λ) = G₁(0, ξ, λ) - G₂(0, ξ, λ),

и для функций u0i ∈ C∞0(R) положим

∫∞

U_i(λ) =

Gi(0, y, λ)pi(y)ui0(y) dy, i = 1, 2.

-∞

Справедливо представление [2]

∫∞

∫

∞

U₁(λ) - U₂(λ) = λ G₁(0,y,λ)(p₁(y) - p₂(y)) G₂(y,ξ,λ)p₂(ξ)u₂₀(ξ)dξ dy +

-∞

∫∞

+ G₂(0,ξ,λ)(p₁(y)u₁₀(y) - p₂(y)u₂₀(y))dy.

-∞

Через ω_ε(x) = ε-1ω(ε-1x), ε > 0, обозначим дельтообразное сем∫йство функций, в кото-

∞

ром неотрицательная функция ω ∈ C∞0(R) удовлетворяет условию

ω(x) dx = 1. Зафик-

-∞

сируем ξ ∈ R и положим uεi0(x) = ω_ε(x - ξ)/p_i(x). Устремляя в предыдущем представлении

ε к нулю, получаем

∫∞

V (ξ, λ) = λ

G₁(0,y,λ)(p₁(y) - p₂(y))G₂(y,ξ,λ)dy = λΦ(ξ,λ).

-∞

Для функции Φ при ξ = 0 справедлива оценка [2]

|Φ(ξ, λ)| ≤ λ-3/2δ₁(|λ|-1), Re λ > 0,

|ξ| < 2|λ|-1,

где функция δ₁ зависит только от μ и δ. Так как g(λ) = L[I1/2tV (1, · )](λ) = λ-1/2

V (1, λ),

Re λ > 0 [8, гл. 2, § 7.2], то

|λg(λ)| = |λ3/2Φ(1, λ)| ≤ δ₁(|λ|-1), Re λ > 0,

|λ| ≤ 1,

что завершает доказательство оценки (9) и вместе с ней и соотношения (7).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

494

КОНЕНКОВ

По лемме 3 для функции g(t) = I1/2tV (1, t) с учётом оценки (8) получаем

∫

lim

t-1/2I1/2tg(t) = lim t-1/2

V (1, τ) dτ = 0.

t→+∞

Применяя последовательно леммы 4 и 2 при α = 0, будем иметь

lim

t1/2V (1,t) = 0 и

lim

tn+1/2∂^ntV (1,t) = 0, n ∈ N,

t→+∞

причём для каждого n скорость стабилизации не превышает некоторой функции δ_n, завися-

щей лишь от μ, n и δ.

Используя оценки (4), для произвольного ξ ∈ R приходим к неравенству

|tn+1/2∂^ntV (ξ, t)| ≤ |tn+1/2(∂^ntV (ξ, t) - ∂^ntV (1, t))| + |tn+1/2∂^ntV (1, t)| ≤

≤ C_n|ξ - 1|t-1/2 + δ_n(t) ≤ C_n(|ξ| + 1)t-1/2 + δ_n(t) ≡ δ^∗n(t).

(10)

Если рассматривать стабилизацию для произвольного x, то в выражении для δ^∗n вместо |ξ|

появится |x-ξ|. Отсюда вытекает последнее утверждение теоремы о равномерной сходимости

по (x, ξ) на компактах.

Наконец, если p_i ∈ L_∞(R), то сглаженные коэффициенты p(m)i = p_i ∗ ω1/m, m ∈ N,

удовлетворяют условию равномерной параболичности (2) с той же постоянной μ. Для соот-

ветствующих фундаментальных решений Γ(m)i производные ∂^ntΓ(m)i(x, ξ, t)/p(m)i(ξ) сходятся

при m → ∞ к ∂^ntΓ_i(x, ξ, t)/p_i(ξ) равномерно на компактах Q ⊂ R³ ([7, гл. 5, § 3, доказа-

тельство свойства 10]). Поэтому для слабых фундаментальных решений также справедливо

неравенство (10). Теорема доказана.

2. Асимптотика фундаментальных решений. Установим асимптотику фундаменталь-

ного решения при условии, что коэффициент p имеет слабый предел на бесконечности.

Теорема 2. Пусть для уравнения (1) выполнены условия (2) и (3). Тогда для n ≥ 0 и всех

x,ξ ∈ R имеет место соотношение

lim

tn+1/2∂^ntΓ(x,ξ,t)/p(ξ) =

(11)

t→+∞

(a₁ + a₂)Γ(1/2 - n)

причём сходимость равномерная по (x,ξ) на компактах K ⊂ R².

Доказательство. Пусть Z(x, t; c) = (4πct)-1/2e-x2/4ct, c > 0, - фундаментальное решение

уравнения теплопроводности ∂_tu - c∂2xu = 0. Положим

{

a²¹, x > 0,

p₀(x) =

a²², x < 0,

и обозначим через Γ₀(x, ξ, t) фундаментальное решение оператора L₀u ≡ p₀(x)∂_tu - ∂2xu. Оно

имеет вид

[

]

a₁ - a₂

Γ₀(x,ξ,t) = Z(x - ξ,t,a-21) +

Z(x + ξ, t, a-21) θ(x)θ(ξ) +

a₁ + a₂

[

]

a₂ - a₁

+ Z(x - ξ,t,a-22) +

Z(x + ξ, t, a-22) θ(-x)θ(-ξ) +

a₁ + a₂

2a²²

2a²¹

Z(x - a₂ξ/a₁, t, a-21)θ(x)θ(-ξ) +

Z(x - a₁ξ/a₂, t, a-22)θ(-x)θ(ξ),

a₁(a₁ + a₂)

a₂(a₁ + a₂)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

495

где θ(x) - функция Хевисайда. Это равенство получено с помощью преобразования Лапласа

и решения соответствующей задачи для обыкновенного дифференциального уравнения. Непо-

средственно проверяется, что функция Γ₀ является слабым фундаментальным решением для

оператора L₀ в смысле работы [7]. Кроме того, доопределив по непрерывности Γ₀(x, ξ, t)/p₀(ξ)

при x = 0 и ξ = 0, получим непрерывную в R² × (0, ∞) функцию, причём

lim

t1/2Γ₀(x,ξ,t)/p₀(ξ) =

t→+∞

√π(a₁ + a₂)

равномерно по (x, ξ) на компактах.

Для d > 0 функция



∫



δ_d(R) = sup

(p(y) - p₀(y)) dy



-d≤x≤d

^T

|T|>R

является невозрастающей, стремится к нулю при R → ∞ и не превосходит некоторой функции

δ, зависящей только от μ, d и δ [1].

По теореме 1 имеем

lim

t1/2Γ(x,ξ,t)/p(ξ) =

t→+∞

√π(a₁ + a₂)

и сходимость равномерная на компактах. Из леммы 2 при α = -1/2 теперь следует, что вы-

полнено соотношение (11) при n ≥ 1, так как (-1/2)_n/√π = 1/Γ(1/2- n). Теорема доказана.

Поскольку (t-1/2)(n) =

√π/(Γ(1/2 - n)tn+1/2), из предыдущей теоремы вытекает

Следствие 1. Пусть для уравнения (1) выполнены условия (2) и (3). Тогда имеет место

представление

Γ(x, ξ, t)/p(ξ) =

√π(a₁ + a₂)t1/2+H(x,ξ,t),

где

lim

tn+1/2∂^ntH(x,ξ,t) = 0, n ≥ 0,

t→+∞

равномерно по (x, ξ) на компактах.

Следствие 2. Пусть для уравнения (1) выполнены условия (2) и (3). Тогда имеет место

представление

g(x, ξ, t)

Γ(x, ξ, t)/p(ξ) =

√π(a₁ + a₂)t1/2^,

где

lim

g(x, ξ, t) = 1 и

lim

tⁿ∂^ntg(x,ξ,t) = 0, n ∈ N,

t→+∞

равномерно по (x, ξ) на компактах.

Доказательство. Положим f(t) = t1/2Γ(x, ξ, t)/p(ξ). Из оценки(4)вытекает, что |f(n)(t)| ≤

≤ C_nt^-n, n ≥ 0, и по теореме 2 - что lim

f (t) = (√π(a1 + a2))-1. Применяя лемму 2 при

t→+∞

α = 0, получаем lim

tⁿ∂^ntf(t) = 0. Следствие доказано.

t→+∞

Рассмотрим теперь уравнение дивергентного вида

∂_tu - ∂_x(p(x)∂_xu) = 0

(12)

и обозначим его фундаментальное решение черезΓ(x, ξ, t).

Теорема 3. Пусть для уравнения (12) выполнены условия (2) и (3). Тогда для n ≥ 0 и

всех x, ξ ∈ R имеет место соотношение

lim

tn+1/2∂^ntΓ(x,ξ,t) =

t→+∞

(a₁ + a₂)Γ(1/2 - n)

причём сходимость равномерная по (x,ξ) на компактах K ⊂ R².

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

496

КОНЕНКОВ

∫_x

Доказательство. Для гладкого коэффициента p заменой x → q(x) =

dy/p(y) уравне-

ние (12) сводится к уравнению недивергентного вида (1) с коэффициентом p₁(x) = p(q-1(x)),

где q-1 - обратная к q функция. Обозначим его фундаментальное решение через Γ(x, ξ, t).

Справедливо равенство [2]

Γ(x,ξ,t)=Γ(q(x),q(ξ),t)/p1(q(ξ)).

(13)

Для коэффициента p ∈ L_∞(R) рассмотрим его приближение гладкими функциями p_ε =

= p ∗ ω_ε. Учитывая равномерную сходимость фундаментальных решений к соответствующим

слабым фундаментальным решениям при ε → 0+ на компактах Q ⊂ R² × (0, ∞) [7], заклю-

чаем, что равенство (13) справедливо и для слабых фундаментальных решений. Требуемое

утверждение вытекает теперь из теоремы 2. Теорема доказана.

Следствие 3. Пусть для уравнения (12) выполнены условия (2) и (3). Тогда имеет место

представление

Γ(x, ξ, t) =

√π(a₁ + a₂)t1/2+H(x,ξ,t),

где

lim

tn+1/2∂^ntH(x,ξ,t) = 0, n ≥ 0,

t→+∞

равномерно по (x, ξ) на компактах.

Следствие 4. Пусть для уравнения (12) выполнены условия (2) и (3). Тогда имеет место

представление

g(x, ξ, t)

Γ(x, ξ, t) =

√π(a₁ + a₂)t1/2^,

где

lim

g(x, ξ, t) = 1 и

lim

tⁿ∂^ntg(x,ξ,t) = 0, n ∈ N,

t→+∞

равномерно по (x, ξ) на компактах.

Уже пример фундаментального решения Z(x, t; c) уравнения теплопроводности показыва-

ет, что в утверждениях этого пункта нельзя заменить равномерную сходимость на компактах

на равномерную сходимость во всей плоскости.

3. Скорость стабилизации производных решения задачи Коши. Отметим ещё ста-

билизацию функций tⁿ∂^ntu, n ≥ 1, для ограниченного решения u задачи Коши

Lu = 0, u|t=0 = ψ ∈ L_∞(R),

(14)

если имеется стабилизация самого решения. Существование у коэффициента p предельных

средних (3) при этом не предполагается.

Теорема 4. Пусть для уравнения (1) выполнено условие (2), a функция u является огра-

ниченным в R × (0,∞) решением задачи (14). Если

lim

u(x₀, t) = 0

t→+∞

для некоторого x₀ ∈ R, то

lim

tⁿ∂^ntu(x,t) = 0

t→+∞

для всех x ∈ R и n ≥ 1, где сходимость равномерная на компактах K ⊂ R.

Доказательство. Так как решение задачи Коши (14) единственно в классе ограниченных

функций [7], то оно представляется в виде потенциала Пуассона:

∫∞

u(x, t) =

Γ(x, y, t)ψ(y) dy.

-∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

АСИМПТОТИКА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

497

Используя оценку (4) для фундаментального решения, получаем

∞

∫

|∂^ntu(x, t)| ≤ ∥ψ∥_L

|∂^ntΓ(x, y, t)| dy ≤ C_n∥ψ∥_L

∞ (R)

∞(R)t^-n, n ≥ 0.

−∞

Утверждение теоремы для точки x₀ следует теперь из леммы 2 при α = 0:

|∂^ntu(x₀, t)| ≤ δ_n(t).

Для произвольного x имеем

∞

∫

|∂_x∂^ntu(x, t)| ≤ ∥ψ∥_L

|∂_x∂^ntΓ(x, y, t)| dy ≤ C^′n∥ψ∥_L

∞(R)

∞ (R)t-n-1/2

−∞

tⁿ|∂^ntu(x,t)| ≤ tⁿ(|∂^ntu(x,t) - ∂^ntu(x₀,t)| + |∂^ntu(x₀,t)|) ≤ C^′n|x - x₀|t-1/2∥ψ∥_L

∞ (R) +^δn(t).

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гущин А.К., Михайлов В.П. О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения

с одной пространственной переменной // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1971. Т. 112. C. 181-202.

2. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Асимптотическое поведение классических и обобщенных решений

одномерных параболических уравнений второго порядка // Тр. Моск. мат. о-ва. 1978. Т. 36. C. 85-

130.

3. Жиков В.В. О стабилизации решений параболических уравнений // Мат. сб. 1977. Т. 104 (146).

№ 4 (12). С. 597-616.

4. Денисов В.Н. О поведении решений параболических уравнений при больших значениях времени

// Успехи мат. наук. 2005. Т. 60. Вып. 4 (364). C. 145-212.

5. Naсh J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations // Amer. J. Math. 1958. V. 80. № 4.

P. 931-954.

6. Aronson D.G. Bounds for the fundamental solution of a parabolic equation // Bull. Amer. Math. Soc.

1967. V. 73. № 6. P. 890-896.

7. Порпер Ф.О., Эйдельман С.Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболиче-

ских уравнений второго порядка и некоторые их приложения // Успехи мат. наук. 1984. Т. 39.

Вып. 3 (237). С. 107-156.

8. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые

их приложения. Минск, 1987.

Рязанский государственный университет

Поступила в редакцию 14.06.2020 г.

им. С.А. Есенина

После доработки 14.06.2020 г.

Принята к публикации 09.03.2022 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022