ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.498-508
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.955.4+517.988.6
РАЗРУШЕНИЕ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИКЕ,
ЗАДАННОЙ УРАВНЕНИЕМ ШРЁДИНГЕРА
СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В ПОТЕНЦИАЛЕ
© 2022 г. В. Ж. Сакбаев, А. Д. Ширяева
Исследованы особенности динамики квантовых состояний, порождаемой фокусирующим
нелинейным уравнением Шрёдингера. Установлены взаимосвязи между явлениями само-
фокусировки, неограниченным возрастанием градиента решения и перехода квантового
состояния из чистого в смешанное. Показано, что продолжение динамики чистого кван-
тового состояния через момент градиентного взрыва может быть реализовано с помощью
частичного следа нелинейной динамики чистого состояния в расширенном гильбертовом
пространстве.
DOI: 10.31857/S0374064122040069, EDN: BZUVZR
Введение. В настоящей работе исследуется эволюция множества квантовых состояний,
порождаемая нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ) со степенной зависимостью по-
тенциала от плотности вероятности состояния в координатном пространстве
du
i
= Δu(t) + V(u(t))u(t), t ∈ (0, T ); T ∈ (0, +∞];
(1)
dt
u(+0) = u0; u0 ∈ H ≡ L2(G).
(2)
Здесь в качестве координатного пространства G могут выступать либо пространство Rd,
либо ограниченная звёздная область d-мерного евклидова пространства Rd с гладкой (за-
даваемой локально графиками бесконечно дифференцируемых функций) границей ∂G, либо
d-мерный тор Td (d ∈ N). Пусть V(u) ≡ |u|p, p ≥ 0. В уравнении (1) Δ - оператор Лапла-
са D(Δ) → H, областью определения которого является пространство D(Δ), состоящее из
функций пространства Соболева W22(G), удовлетворяющих некоторым граничным условиям.
Так, если G = Rd, то D(Δ) = W22(G); если G - ограниченная область в Rd с гладкой гра-
W2
ницей, то D(Δ) = {u ∈ W22(G) : u|∂G = 0} ≡
(G); если G = Td, то D(Δ) ⊂ W22(G) в
2
том смысле, что сужение функции из D(Δ) на любую локальную карту B многообразия Td
принадлежит пространству W22(B).
В работах [1-8] показано, что для малых показателей нелинейности p ∈ [0, 4/d) задача
Коши (1), (2) порождает непрерывную группу U(t), t ∈ R, нелинейных преобразований
√
u0 → u(t,u0), t ∈ R, пространства начальных данных H1 = D(
-Δ), которые сохраняют
H -норму решения и значение функционала энергии
∫
(
)
1
1
E(u) =
-
|∇u|2 +
|u|p+2
dx
2
p+2
G
на векторах u(t, u0) = U(t)u0, t ∈ R. Если же p ≥ 4/d, то существуют такие начальные дан-
ные (2), при которых решение задачи Коши допускает явление самофокусировки за конечное
время, сопровождающееся явлением градиентного взрыва решения.
Нелинейное уравнение Шрёдингера интенсивно изучалось в связи с математическим опи-
санием явления самофокусировки волн в нелинейной оптической среде (см. [1]). Нелинейное
уравнение Шрёдингера изучалось в d-мерном евклидовом пространстве и его областях, иссле-
довались различные виды нелинейной зависимости потенциала взаимодействия от неизвестной
волновой функции (см. [2, 5, 9-12]).
498
РАЗРУШЕНИЕ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИКЕ
499
Как показано в работах [2, 5, 9, 10], задача Коши для нелинейного уравнения Шрёдинге-
ра со степенной зависимостью нелинейного потенциала от неизвестной функции может иметь
только либо единственное глобальное решение, либо локальное решение, допускающее раз-
рушение при приближении к границе промежутка существования решения. В первом случае
задача Коши определяет однопараметрическую группу преобразований пространства началь-
ных условий, во втором случае длина промежутка существования может принимать любое
положительное значение в зависимости от выбора начального условия (см. [5, 8-10]).
В работе [8] исследована связь явления разрушения решения с явлением самофокусиров-
ки [13] и явлением перехода из чистого состояния квантовой системы в смешанное состояние
в случае задачи с одномерным координатным пространством. В настоящей статье изучаются
обобщения этих результатов на случай многомерного координатного пространства.
В связи с возможностью разрушения чистого состояния становится естественной поста-
новка вопроса о динамике, порождаемой нелинейным уравнением Шрёдингера в множестве
смешанных квантовых состояний. Динамику смешанных квантовых состояний описывает со-
ответствующее нелинейному уравнению Шрёдингера уравнение Лиувилля-фон Неймана (см.
[14, 15]), для которого получены как условия глобального существования единственного реше-
ния задачи Коши, так и условия разрушения решения этой задачи.
Для задачи Коши, допускающей явление разрушения решения, в работах [7, 16] предложе-
на процедура регуляризации, позволяющая аппроксимировать её направленным семейством
задач Коши. Регуляризацией задачи Коши называется такое топологическое пространство
начально-краевых задач, в котором исследуемая задача Коши представляет собой предельную
точку (см. [16]). Для изучения задачи Коши (1), (2) в качестве регуляризации рассматрива-
ется однопараметрическое семейство задач Коши для нелинейных уравнений Шрёдингера, в
каждой из которых функционал энергии является полуограниченным (что обеспечивает гло-
бальную разрешимость регуляризованной задачи Коши в соответствующем энергетическому
функционалу пространстве). При этом направленное семейство гамильтоновых векторных по-
лей регуляризованных задач Коши сходится к гамильтонову векторному полю исследуемой
задачи Коши на всюду плотной общей области определения этих полей. В работах [7, 8] ис-
следована регуляризация функционала энергии исходного уравнения Шрёдингера (1) направ-
ленным семейством полуограниченных снизу функционалов энергии
∫
)
(ϵ
1
1
Eϵ(u) =
|Δu|2 -
|∇u|2 +
|u|p+2
dx, ϵ ∈ (0, 1), ϵ → +0.
2
2
p+2
G
В [7, 8] установлено, что направленное семейство решений задач Коши для регуляризован-
ных уравнений Шрёдингера сходится к решению задачи Коши (1), (2) на всём промежутке
существования решения последней. На промежутках, содержащих граничные точки проме-
жутка существования решения задачи (1), (2), установлена расходимость последовательности
регуляризованных решений; за пределами промежутка существования решения задачи Ко-
ши (1), (2) направленное семейство решений задач Коши для уравнения Шрёдингера с регу-
ляризованным оператором имеет предельное множество в пространстве (B(H))∗ квантовых
состояний, снабжённом∗-слабой топологией. Наделение множества регуляризованных задач
структурой измеримого пространства позволяет определить однопараметрическое семейство
мер на множестве векторных квантовых состояний и, тем самым, однопараметрическое семей-
ство смешанных квантовых состояний.
Структура настоящей работы следующая. В п. 1 приведены результаты о разрешимости
задачи Коши (1), (2), о её регуляризации и поведении последовательности решений регуля-
ризованных задач. В п. 2 установлены взаимосвязи между явлением разрушения квантового
состояния с явлением градиентного взрыва задачи Коши и с явлением самофокусировки. В п. 3
регуляризация задачи Коши (1), (2) представлена как нелинейная динамика чистых состояний
в расширенном гильбертовом пространстве.
1. Задача Коши и её регуляризации.
1.1. Разрешимость задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера. При-
ведём известные результаты о разрешимости задачи Коши для уравнения Шрёдингера
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
5∗
500
САКБАЕВ, ШИРЯЕВА
(см. [4, 7]). Пусть выполнены приведённые во введении после условия (2) предположения
относительно координатного пространства G, нелинейного потенциала √ и оператора Δ.
Обозначим через Hk область определения неотрицательного оператора (
-Δ)k при k ∈ N.
Определение 1. H1-решением задачи Коши (1), (2) на промежутке [0,T) при некотором
T ∈ (0,+∞] называется функция u ∈ C([0,T),H1), удовлетворяющая равенству
∫t
u(t) = e-itΔu0 - i e-i(t-s)ΔV(u(s))u(s) ds, t ∈ [0, T ).
0
Теорема 1. Для каждого ρ > 0 существует T > 0 такое, что если u0 ∈ H1, ∥u0∥ ≤
≤ ρ, то задача Коши имеет единственное решение u( · , u0) на отрезке [-T, T ]. При этом
∥u(t, u0)∥H = ∥u0∥H , E(u(t, u0)) = E(u0) для всех t ∈ [-T, T ].
Теорема 2. Пусть 0 ≤ p < 4/d. Тогда для каждого u0 ∈ H1 существует единствен-
ное решение задачи Коши (1), (2) на промежутке [0,+∞), причём значения этого решения
ограничены в пространстве H1.
Теорема 3. Пусть p ≥ 4/d. Тогда если u0 ∈ H3 и E(u0) < 0, то существует число
T1(u0) > 0 такое, что на промежутке [0,T1) задачи Коши (1), (2) имеет единственное
H1-решение и при этом lim
∥u(t)∥H1 = +∞.
t→T1-0
Случай G = Rd исследован в большом числе публикаций, теоремы 1-3 для него изложены
в монографии [17]. Для случая G = Td результаты этих теорем установлены в работах [4, 6,
15]. В случае, когда G - ограниченная звёздная относительно некоторой точки область в Rd
c гладкой границей, теоремы 1-3 установлены в работах [7, 8].
1.2. Регуляризация задачи Коши. Неограниченность в пространстве H1 поверхностей
уровня функционала энергии E(u), u ∈ H1, служит причиной наличия градиентных взрывов
решений при сверхкритических значениях параметра нелинейности p. Поэтому в качестве
аппроксимации НУШ (1) рассмотрим однопараметрическое семейство нелинейных уравнений
Шрёдингера
d
i
u = Lϵu ≡ Δu + |u|pu + ϵΔ2u, t > 0, ϵ ∈ (0,1),
(3)
dt
где ϵ ∈ (0, 1) - параметр регуляризации. Регуляризованный энергетический функционал при
каждом значении параметра ϵ ∈ (0, 1) имеет вид
∫
[
]
1
1
ϵ
Eϵ(u) =
|u|p+2 -
|∇u|2 +
|Δu|2
dx, u ∈ H2.
p+2
2
2
G
Тогда при каждом ϵ ∈ (0, 1) поверхности уровня функционала энергии ограничены в энер-
гетическом пространстве H2 и компактны в пространстве H1. Задача Коши (2), (3) имеет
единственное решение при каждом u0 ∈ H2 (см. [7, 8]).
Можно рассмотреть и другие способы регуляризации задачи Коши (1), (2). Так, в работах
[9, 15] регуляризация задаётся направленным семейством задач Коши вида (1), (2), в кото-
рых степенной нелинейный потенциал заменяется на направленное семейство ограниченных
нелинейных потенциалов Vn(u) = min(|u|p, n), n ∈ N, n → ∞, в [9] или
1
Vϵ(|u|) =
|u|p+2, ϵ ∈ (0, 1), ϵ → +0,
1 + ϵ2|u|2p+4
в [15]. Благодаря полуограниченности функционала энергии и сохранению на значениях реше-
ния в каждой точке его интервала существования значения функционала энергии, оказывает-
ся возможным установить равномерную по интервалу существования решения ограниченность
соболевской нормы значений решения и компактность множества значений решения в прост-
ранстве Лебега.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
РАЗРУШЕНИЕ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИКЕ
501
Дальнейшее исследование поведения направленного семейства решений регуляризованных
задач проводится по схеме, не зависящей от выбора регуляризации.
В работах [7, 8, 15] установлено, что если задача Коши (1), (2) имеет H1-решение на проме-
жутке [0, T ), то оно служит пределом последовательности решений регуляризованных задач
в пространстве C([0, T ), H). Если же задача Коши (1), (2) не имеет H1-решения на проме-
жутке [0, T ), то направленное семейство решений регуляризованных задач не имеет предела
(не имеет предельных точек) в гильбертовом пространстве чистых векторных состояний, но
имеет непустое множество предельных точек в симплексе квантовых состояний в локально
выпуклом банаховом пространстве (B(H))∗ квантовых состояний. Эти предельные точки не
являются чистыми состояниями квантовой системы в исходном гильбертовом пространстве.
1.3. Решения регуляризованных задач. Пусть ϵ ∈ (0,1) и l ∈ N. Функция uϵ ∈
∈ C([0,+∞),Hl) называется Hl-решением задачи Коши (2), (3) на полуоси [0,+∞), если она
удовлетворяет уравнению
∫t
uϵ(t) = e-i(Δ+ϵΔ2)tu0 + e-i(Δ+ϵΔ2)(t-s)|uϵ(s)|puϵ(s)ds, t ∈ [0,+∞).
0
Теорема 4 [8]. Пусть ϵ > 0, p ≥ 0. Тогда для каждого u0 ∈ H2 задача Коши (2), (3) на
полуоси [0, +∞) имеет единственное H2-решение uϵ(t, u0). Кроме того,
N (u(t, u0)) = N(u0), Eϵ(u(t, u0)) = E(u0), uϵ(t, u0) = Vϵ(t)u0 при t ≥ 0, u0 ∈ H2.
Предельные точки последовательности решений регуляризованных задач и частичные сле-
ды чистых состояний в расширенном пространстве описывает
Теорема 5 [8, 15]. Пусть u0 ∈H2 и выполнены условия теоремы 4. Пусть T1 ∈(0, +∞) -
супремум длин интервалов, на которых H1-решение u(t,u0), t ∈ [0,T), задачи Коши (1),
(2) существует. Тогда при любом T ∈ (0,T1) направленное семейство {uϵ(t,u0) : t > 0}
решений задачи (2), (3) сходится к решению u(t,u0), t ∈ [0,T1), задачи Коши (1), (2) в
следующем смысле:
lim sup
∥uϵ(t, u0) - u(t, u0)∥H = 0 для любого T ∈ [0, T1).
ϵ→0 t∈[0,T]
Если p = 4 (p = 4/d) и T ≥ T1, то для каждой бесконечно малой последовательности {ϵk}
последовательность {uϵk } расходится в пространстве C([0,T],H).
2. Явления градиентного взрыва, самофокусировки и разрушения состояния.
2.1. Множество квантовых состояний. Множество Σ(H) = S1((B(H))∗)
⋂ (B(H))∗+
квантовых состояний представляет собой пересечение единичной сферы банахова пространст-
ва (B(H))∗ с конусом (B(H))∗+ положительных элементов пространства (B(H))∗.
В множестве квантовых состояний выделяется множество Σp(H) чистых векторных со-
стояний. Чистое состояние ρu, задаваемое единичным вектором u ∈ H, определяется как
линейный непрерывный функционал ρu : B(H) → C, 〈ρu, A〉 = (u, Au)H , A ∈ B(H).
Множество состояний, непрерывных относительно σ-слабой [18, п. 2.4.3] топологии на
пространстве B(H), называется множеством нормальных состояний Σn(H). Согласно тео-
реме Глизона [19] всякое нормальное состояние задаётся на алгебре B(H) как операция взятия
следа произведения элемента алгебры B(H) и некоторого неотрицательного ядерного опера-
∑∞
тора с единичным следом ρ =
pkρuk , где {uk} - ортонормированный базис.
k=1
Лемма 1 [20]. Для состояния ρ условие ρ ∈ Σp(H) выполняется, если и только если
sup
〈ρ, Pu〉 = 1. Состояние ρ является нормальным, если и только если
u∈S1(H)
sup
〈ρ, P〉 = 1.
P∈Pf (H)
Здесь Pf (H) - множество конечномерных ортогональных проекторов, действующих в
пространстве H.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
502
САКБАЕВ, ШИРЯЕВА
Для доказательства леммы 1 достаточно воспользоваться леммой 1 работы [20], рассмотрев
последовательность величин αn =
sup
〈ρ, P〉, n ∈ N. Тогда состояние ρ является
P∈Pf (H):dim P=n
чистым векторным, если и только если α1 = 1. Оно является нормальным, если и только если
lim
αn = 1, откуда и следует второе утверждение леммы 1.
n→∞
Множество Σkp = {ρu : u ∈ S1(H)
⋂Hk}, k ∈ N, называется множеством чистых собо-
левских состояний.
2.2. Градиентный взрыв, самофокусировка и разрушение состояния.
Определение 2. Решение u(·,u0) задачи Коши (1), (2) допускает
1) явление градиентного взрыва, если существует число T1 ∈ (0, +∞), при котором имеет
место соотношение lim
∥u(t, u0)∥H1 = +∞;
t→T1-0
2) явление самофокусировки в точке x1 ∈ G, если существует число T1 ∈ (0, +∞) такое,
что lim
(M|x-x1|2 u(t, u0), u(t, u0))H
= 0, где M|x-x1|2 - действующий в пространстве H
t→T1-0
оператор умножения на функцию ∥x - x1∥2
, x ∈ G;
Rd
3) явление разрушения чистого состояния, если существует такое число T1 ∈ (0, +∞), что
sup
[ lim
〈ρu(t,u0), Pφ〉] < ∥u0∥H = 1,
φ∈S1(H) t→T1-0
4) явление разрушения нормального состояния, если существует число T1 ∈ (0, +∞) такое,
что выполняется неравенство sup
[ lim
〈ρu(t,u0), P〉] < 1.
P∈P(H) t→T1-0
Лемма 2. Условие 4) равносильно следующему условию: существуют число T1 ∈(0, +∞) и
последовательность {tk} такие, что tk → T1-0 и последовательность векторов {u(tk,u0)}
сходится слабо в пространстве H к элементу u∗, для которого ∥u∗∥H < ∥u0∥H .
Действительно, если последовательность {u(tk, u0)} сходится слабо к вектору u∗ ∈ H та-
кому, что ∥u∗∥H < ∥u0∥H , то sup
[ lim
〈ρu(tk ,u0), P〉] ≤ ∥u∗∥H < 1 и выполняется условие 4).
k→∞
P∈P(H)
Пусть выполняется условие 4). Докажем, что тогда существует такая последовательность
чисел {tk}, что tk → T1 - 0 и последовательность {u(tk, u0)} сходится слабо к элементу u∗,
для которого ∥u∗∥H < ∥u0∥H .
Допустим противное: для любой последовательности чисел {tk} такой, что tk → T1 - 0 и
последовательность {u(tk, u0)} сходится слабо к некоторому элементу u∗, выполняется усло-
вие ∥u∗∥H ≥ ∥u0∥H . Тогда поскольку ∥u(t, u0)∥ = ∥u0∥ для любого t ∈ [0, T1), то ∥u∗∥ =
= ∥u0∥. Следовательно, любая сходящаяся слабо последовательность {u(tk, u0)} будет схо-
дящейся по норме пространства H. Значит, ограниченная условием ∥u(tk, u0)∥H = ∥u0∥H
последовательность {u(tk, u0)} будет компактной не только в слабой топологии пространства
H, но и в топологии нормы. Таким образом, для любой последовательности чисел {tk} та-
кой, что tk → T1 - 0, последовательность {u(tk, u0)} компактна в пространстве H. Поэтому
lim [ lim
〈ρu(t,u0), Pn〉] = 1, где
{Pn} - последовательность операторов проектирования на
n→∞ t→T1-0
линейную оболочку первых n векторов некоторого ОНБ. Тогда sup
[ lim
〈ρu(t,u0), P〉] = 1,
P∈P(H) t→T1-0
а это противоречит условию 4). Лемма доказана.
Лемма 3. Условие 3) равносильно следующему условию: функция u(t, u0), t ∈ [0, T1), не
имеет в пространстве H предела при t → T1 - 0.
Действительно, если функция u(t, u0), t ∈ [0, T1), имеет в пространстве H предел u1 при
t → T1 - 0, то тогда
sup
[ lim
|(u(t, u0), u1)|2 = ∥u0∥2H = 1.
〈ρu(t,u0), Pφ〉] = lim
〈ρu(t,u0), Pu1〉=lim
φ∈S1(H) t→T1-0
t→T1-0
t→T1-0
Обратно, если sup
[ lim
〈ρu(t,u0), Pφ〉] = 1, то множество значений непрерывной функции
φ∈S1(H) t→T1-0
u(t, u0) при t ∈ [0, T1) компактно в пространстве H и существует предел u1 = lim
u(t, u0) ∈
t→T1-0
∈ H. Лемма доказана.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
РАЗРУШЕНИЕ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИКЕ
503
Следствие. Если решение задачи Коши (1), (2) допускает явление разрушения нормаль-
ного состояния при t → T1 - 0, то оно допускает и явление разрушения чистого состояния
при t → T1 - 0. Если решение задачи Коши (1), (2) допускает явление разрушения чистого
состояния при t → T1 - 0, но не допускает явление разрушения нормального состояния при
t → T1-0, то это означает, что решение u(t,u0) при t → T1-0 имеет в пространстве H
компактное множество частичных пределов, состоящее более чем из одной точки.
2.3. Самофокусировка и разрушение чистого состояния. Установим связи между
явлениями градиентного взрыва, самофокусировки и разрушения чистого состояния.
Теорема 6. Пусть u0 ∈ H3 и H1-решение u(t, u0), t ∈ [0, T1), задачи Коши (1), (2)
определено на интервале [0,T1) для некоторого T1 ∈ (0,+∞). Тогда справедливы следующие
импликации:
c) ⇒ b);
b) ⇒ a), если либо G = R1, либо G - ограниченная область в Rd с гладкой границей;
a) ⇒ b), если p = 4/d и pd < 2(p + 2).
Здесь условия a), b) и c) следующие:
a) решение допускает градиентный взрыв при t → T1 - 0;
b) решение допускает разрушение нормального состояния при t → T1 - 0;
c) решение допускает явление самофокусировки при t → T1 - 0.
Доказательство.
∫
c) ⇒ b). Докажем, что из равенства lim
dx = 0 следует равенство
|x-x0|2|u(t, x, u0)|2
G
t→T1-0
lim
(u(t, u0), φ) = 0
t→T1-0
для любого φ ∈ H. Действительно, при любом δ > 0 имеем
∫
lim
|u(t, x, u0)|2 dx = 0.
t→T1-0
G\Oδ(x0)
Следовательно, при любом δ > 0 и всех φ ∈ H выполняется равенство
∫
lim
φ(x)u(t, x, u0) dx = 0.
t→T1-0
G\Oδ(x0)
Так как ∥u(t, u0)∥H = ∥u0∥H для любого t ∈ [0, T1), то последовательность {u(tk, u0)} слабо
компактна в пространстве H при произвольном выборе последовательности {tk} такой, что
tk → T1 - 0. Для произвольного частичного предела u∗ ∈ H последовательности {u(tk,u0)}
в сла∫ой топологии пространства H и для каждого элемента φ ∈ H имеет место равенство
lim
), при
φ(x)u(t, x, u0) dx = 0. Поэтому слабый предел функции u(t, u0), t ∈ [0, T1
Oδ(x0)
δ→+0
t → T1 - 0 существует и равен нулю. Следовательно, lim
〈ρu(t,u0), P〉 = 0 для любого ко-
t→T1-0
нечномерного ортогонального проектора P и, значит, при t → T1 - 0 происходит разрушение
нормального состояния.
b) ⇒ a). Пусть решение допускает разрушение нормального состояния при t → T1 - 0.
Тогда, согласно лемме 2, существует последовательность {tk} такая, что tk → T1 - 0 и по-
следовательность {u(tk, u0)} сходится слабо в H к элементу u∗ ∈ H, при этом ∥u∗∥ < ∥u0∥.
Покажем, что тогда выполняется соотношение lim
∥u(t, u0)∥H1 = +∞.
t→T1-0
Действительно, пусть последовательность {u(tk, u0)} сходится слабо в H к элементу u∗ ∈
∈ H и пусть ∥u0∥2 - ∥u∗∥2 = σ > 0.
Предположим, что G - ограниченная область в Rd. Тогда оператор Лапласа Δ имеет
дискретный спектр (см. [21, теорема 8.4]). Пусть {ek} - собственный ОНБ в пространстве H.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
504
САКБАЕВ, ШИРЯЕВА
Тогда lim
(u(tk, u0), ek) = (u∗, ek) при каждом k ∈ N. Следовательно, для каждого N ∈ N
k→∞
существует T2 ∈ (0, T1) такое, что при любом t ∈ (T2, T1) выполняется неравенство
∑
σ2
|(u(t, u0), ek)H |2 ≤ ∥u∗∥2H +
,
2
k=1
поэтому
∑
σ2
σ2
|(u(t, u0), ek)H |2 ≥ ∥u0∥2 - ∥u∗∥2H -
=
2
2
k=N+1
Значит, для любого N ∈ N существует T2 ∈ (0, T1) такое, что при любом t ∈ (T2, T1) выпол-
няется неравенство ∥u(t, u0)∥W 1
≥ σ2λN/2. Следовательно, lim
∥u(t, u0)∥H1 = +∞.
2
t→T1-0
Пусть G = R. Докажем, что выполняется условие a). Предположим противное: существу-
ет такая последовательность {tk}, что tk → T1 - 0 и lim
∥u(tk, u0)∥H1 < ∞. Тогда после-
k→∞
довательность {u(tk, u0)} ограничена в пространстве H1 и в силу теоремы о компактности
вложения пространства H1 в пространство H (при d = 1) компактна в пространстве H.
Это противоречит разрушению нормального состояния в силу леммы 2.
a) ⇒ b). Пусть p = 4/d и lim
∥u(t, u0)∥H1 = +∞. Докажем, что тогда ни для какой
t→T1-0
последовательности чисел {tk} такой, что tk → T1 - 0, последовательность {u(tk, u0)} не
является сходящейся в пространстве H (и потому в силу леммы решение допускает явление
разрушения нормального состояния). Для этого используем подход работы [9]. Предположим
противное: существует последовательность {tk} такая, что tk → T1 - 0 и последовательность
{u(tk, u0)} сходится в пространстве H. Согласно теореме 1 для каждого k ∈ N справедливо
равенство
1
1
∥∇u(tk, u0)∥2H = E(u0) +
∥u(tk, u0)∥p+2p+2.
2
p+2
Согласно неравенству Гальярдо-Ниренберга (см. [22]), если dp < 2(p + 2), то оценка
∥u(t, u0)∥p+2 ≤ C∥u(t, u0)∥1-α2∥u(t, u0)∥αH1 ,
где α = dp/(2(p + 2)), справедлива при всех t ∈ [0, T1) (здесь константа C не зависит от
u(t, u0)). Так как p = 4/d, то α(p + 2) = 2. Следовательно, для любых m, n ∈ N имеем
∥u(tn, u0)∥p+2p+2 ≤ (∥u(tm, u0)∥p+2 + ∥u(tn, u0) - u(tm, u0)∥p+2)p+2 ≤
≤ cp(∥u(tm,u0)∥p+2p+2 + ∥u(tn,u0) - u(tm,u0)∥p+2p+2) ≤
≤ cp∥u(tm,u0)∥p+2p+2 + cpC∥um(t,u0) - un(t,u0)∥(p+2)(1-α)2∥um(t,u0) - un(t,u0)∥2H1.
Таким образом, получаем, что при всех m, n ∈ N и при p = 4/d справедливо неравенство
1
1
∥∇u(tn, u0)∥2H ≤ E(u0) +
[cp∥u(tm, u0)∥p+2p+2 + 2cpC∥um(t, u0) - un(t, u0)∥(p+2)(1-α)2 ×
2
p+2
× (∥∇um(t, u0)∥2H + ∥∇un(t, u0)∥2H + ∥um(t, u0)∥2H + ∥un(t, u0)∥2H )].
По предположению последовательность {u(tk, u0)} сходится в пространстве L2. Так как α ∈
∈ (0, 1), то существует N ∈ N такое, что для любых n, m ≥ N выполнено неравенство
2
cpC∥um(t,u0) - un(t,u0)∥(p+2)(1-α)2 <1
p+2
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
РАЗРУШЕНИЕ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИКЕ
505
Значит, существует константа B > 0 такая, что для любого n ≥ N справедливо неравенство
1
1
∥∇u(tn, u0)∥2H ≤ B +
∥∇u(tn, u0)∥2H .
2
4
Но это неравенство противоречит условию a) lim
∥u(t, u0)∥H1 = +∞. Теорема доказана.
t→T1-0
3. Продолжение динамики через момент разрушения состояния.
3.1. Динамика множества квантовых состояний. Обозначим через T группу преоб-
разований множества соболевских состояний
Σkp(H) = {ρu : u ∈ Hk,
∥u∥H = 1},
(4)
порождаемую уравнением Шрёдингера.
Если p ∈ [0, 4/d), то группа T действует на элемент ρu ∈ Σ1p(H) согласно правилу
Tρu = ρu(t,u0), ρu ∈ Σp(H).
Динамика нормального смешанного состояния задаётся (см. [15]) уравнением Лиувилля-
фон Неймана со следующей нелинейной зависимостью потенциала от состояния:
d
i
ρ(t) = [Δ + f(ρ(t)), ρ(t)], t > 0;
(5)
dt
ρ(+0) = ρ0, ρ0 ∈ Σ(H),
(6)
f (ρ(t))φ(x) = (wρ(t)(x))p/2φ(x), φ ∈ H,
∑∞
где wρ(t)(x) =
pk(t)|uk(t,x)|2, t ≥ 0, x ∈ G, если
k=1
∑
ρ(t) =
pk(t)ρuk(t).
k=1
Регуляризованная динамика нормальных квантовых состояний может быть задана для
соболевских состояний Σ2p (см. (4)) с помощью регуляризованного нелинейного уравнения
Лиувилля-фон Неймана (см. [14, 15])
d
i
ρ(t) = [ϵΔ2 + Δ + f(ρ(t)), ρ(t)], t > 0.
(7)
dt
Если p ≥ 0, ϵ > 0, то группа Tϵ действует на произвольный элемент ρu0 ∈ Σ2p(H)
согласно правилу (здесь полугруппа преобразований Vϵ определена в теореме 4)
Tϵρu0 = ρVϵ(t)u0 , t ≥ 0, ρu0∈Σp(H).
Исследуем сходимость и дадим описание множества предельных точек обобщённой после-
довательности ρϵ(t, ρu0 ) при ϵ → 0 в слабой-* топологии пространства (B(H))∗. Пусть A∗ -
σ-алгебра подмножеств, порождённая семейством функционалов {ΦA : ρ → ρ(A)| A ∈ B(H)}
на множестве Σ(H).
Пусть W0(0, 1) - множество неотрицательных конечно-аддитивных мер на измеримом
пространстве ((0, 1), 2(0,1)), сконцентрированных в произвольном интервале (0, δ), δ > 0, и
нормализованных условием ν((0, 1)) = 1. Здесь 2(0,1) - σ-алгебра всех подмножеств интерва-
ла (0, 1).
Фиксируем некоторое u0 ∈ H2. Тогда множество решений регуляризованных задач Коши
(2), (3) вместе с мерой ν на измеримом пространстве ((0, 1), 2(0,1)) задают случайный про-
цесс со значениями в множестве чистых состояний Σp(H), рассматриваемом как измеримое
пространство (Σp(H), A∗):
(8)
ρV·(·)u0 : (0,1) × R → Σp(H); (ϵ,t) → ρVϵ(t)u0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
506
САКБАЕВ, ШИРЯЕВА
3.2. Квантовые состояния и меры на единичной сфере S1(H).
Лемма 4 [23]. Для любого ρ ∈ Σ(H) существует такая нормированная мера ν : 2S1(H) →
→ [0, 1], что
∫
〈ρ, A〉 =
(u, Au) dν(u) для любого A ∈ B(H).
(9)
S1(H)
Если мера ν в равенстве (9) счётно-аддитивна, то состояние ρ является нормальным.
Таким образом, квантовые состояния являются математическими ожиданиями случайных
величин со значениями в измеримом пространстве чистых состояний (Σp(H), A∗).
3.3. Случайный процесс, продолжающий решение через момент градиентного
взрыва. Пусть (E, A, ν) - измеримое пространство с мерой, причём E = (0, 1), A = 2(0,1),
ν ∈ W0(0,1). Тогда, согласно (8), при каждом u0 ∈ H2 и каждом t ≥ 0 определена случайная
величина
ρV·(t)u0 : (E,A,ν) → (Σ(H),A∗).
Следовательно, в силу теоремы 4 направленное семейство задач Коши (2), (3) определяет
случайный процесс T со значениями в пространстве непрерывных отображений множества
Σ2p(H) в себя:
T : E × [0,+∞) → C(Σ2p(H),Σ2p(H)); Tϵ(t)ρu0 = ρV
ϵ(t)u0 .
Среднее значение такого случайного процесса задаётся равенством
∫
MT = Tν , где Tν (t)ρu0 = M(ρu
ϵ(t,u0))=ρν (t,ρu0)=
ρuϵ(t,u0) dν(ϵ), t ≥ 0;
E
∫
〈ρν (t, ρu0 ), A〉 =
〈ρuϵ(t,u0), A〉 dν(ϵ) для любого A ∈ B(H).
E
Теорема 7 [8, 9]. Пусть ν ∈ W0(0, 1) и u0 ∈ H2, а [0, T1) - промежуток существования
H1-решения задачи Коши (1), (2).
Тогда среднее значение случайного процесса ρuϵ(t,u0), t ≥ 0, определяет однопараметри-
ческое семейство квантовых состояний
∫
T ν(t)ρu0 = ρν(t,ρu0); ρν(t,ρu0) =
(10)
ρuϵ(t,u0) dν(ϵ), t ≥ 0.
(0,1)
При этом семейство преобразований (10) обладает следующими свойствами:
i) ρν(t,ρu0 ) = ρu(t,u0) для всех t ∈ [0,T1);
ii) ρν(t,ρu0 ) ∈ Σ(H) для всех t > T1, если T1 < +∞;
iii) ρν(T1,ρu0 ) ∈ Σn(H), если p = 4/d и T1 < +∞.
3.4. Нелинейная динамика чистого состояния в расширенном пространстве. По-
кажем, что однопараметрическое семейство преобразований квантовых состояний (10) пред-
ставимо как частичный след группы нелинейных преобразований множества чистых состояний
в расширенном гильбертовом пространстве.
В качестве расширенного гильбертова пространства рассмотрим пространство
H = L2((0,1),2(0,1),ν,H)
квадратично интегрируемых по Петтису относительно меры ν отображений (0, 1) → H.
Начальному условию (2) соответствует следующий вектор расширенного пространства:
U0(ϵ) = u0, ϵ ∈ (0,1),
(11)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
РАЗРУШЕНИЕ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИКЕ
507
а регуляризованная динамика задаётся однопараметрической группой преобразований расши-
ренного пространства
U (t)U0(ϵ) = uϵ(t, u0), t ≥ 0, ϵ ∈ (0, 1).
(12)
Согласно теореме 4 однопараметрическое семейство операторов U(t), t ≥ 0, корректно опре-
делено равенством (12) на подпространстве H2 пространства H, состоящем из отображений
(0, 1) → H2. Тем самым на множестве чистых состояний Σ2p(H) = {ρU0 : U0 ∈ H2} задана
однопараметрическая группа преобразований TU (t), t ≥ 0, действующих по правилу
TU(t)ρU = U(t)ρU U(t)∗ = ρU(t)U , t ≥ 0, U ∈ H2.
В алгебре ограниченных операторов B(H) выделим подалгебру AH = {A
⊗I(0,1): A ∈
∈ B(H)} операторов, действующих согласно равенству
∫
(V, A
⊗I(0,1)U) =
(V (ϵ), AU(ϵ)) dν(ϵ) для любых U, V ∈ H.
(13)
(0,1)
Теорема 8. Пусть ν ∈ W0(E). Тогда для произвольного u0 ∈ H2 справедливо соотноше-
ние
〈Tν (t)ρu0 , A〉 = (U(t), A
⊗I0,1U(t)U0)H, t ≥ 0, A ∈ B(H),
где вектор U0 ∈ H определён равенством (11).
Утверждение теоремы 8 следует из теоремы 7 и определения (13) подалгебры AH .
Таким образом, однопараметрическое семейство Tν (t), t ≥ 0, динамических преобразова-
ний множества квантовых состояний Σ(H), служащее продолжением решения задачи Коши
(1), (2), является частичным следом группы TU , t ∈ R, задаваемым сужением на подалгебру
AH, т.е. Tν(t)ρu0 = TU(t)ρU |AH , t ≥ 0.
Решение задачи Коши (1), (2) продолжается на полуось [0, +∞) посредством случайно-
го процесса T ρu0 : E × [0, +∞) → Σ2(H). Математическое ожидание продолжения решения
случайным процессом представляет собой продолжение решения однопараметрическим семей-
ством квантовых состояний Tν (t)ρu0 , t ≥ 0.
Однопараметрическое семейство операторов Tν (t), t ≥ 0, не является полугруппой. Одно-
параметрическое семейство усреднённых отображений множества состояний в себя изучалось
в работе [24] в связи с задачей продолжения решения сингулярного линейного уравнения Шрё-
дингера с симметричным линейным оператором L вместо самосопряжённого гамильтониана.
Для предельного семейства Tν (t), t ≥ 0, динамических преобразований множества состоя-
ний на C∗-подалгебрах алгебры ограниченных линейных операторов в [24] получено разло-
жение Краусса в выпуклую комбинацию двух полугрупп. Также в этой работе установлена
сходимость последовательности итераций {(Tν (t/n))n} к предельной полугруппе линейных
преобразований множества состояний на C∗-подалгебре. В силу теоремы Наймарка существу-
ет расширение симметрического оператора L до самосопряжённого оператора в расширенном
пространстве такое, что предельное семейство Tν (t), t ≥ 0, динамических преобразований
множества состояний исходной квантовой системы является частичным следом унитарной ди-
намики в расширенном пространстве на специальную подалгебру операторов, изоморфную
алгебре операторов в исходном пространстве. Нелинейным аналогом теоремы Наймарка яв-
ляется полученное в теореме 8 расширение семейства преобразований Tν (t) до группы пре-
образований TU подпространства H2 в расширенном пространстве H [25].
Заключение. В первой части статьи установлены взаимосвязи между явлениями само-
фокусировки, неограниченным возрастанием градиента решения и перехода квантового со-
стояния из чистого в смешанное. Во второй части показано, что продолжение динамики чи-
стого квантового состояния через момент градиентного взрыва может быть реализовано с
помощью частичного следа нелинейной динамики чистого состояния в расширенном гильбер-
товом пространстве.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
508
САКБАЕВ, ШИРЯЕВА
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Таланов В.И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах // Письма в журн. эксп.
и теор. физики. 1964. Т. 2. № 5. С. 218-222.
2. Glassey R.T. On the blowing up of solution to the Cauchy problem for nonlinear Schrödinger equations
// J. Math. Phys. 1977. V. 18. № 4. P. 1794-1797.
3. Ginibre J., Velo G. On a class of nonlinear Schrödinger equations. I. The Cauchy problem, general case
// J. Funkt. Anal. 1979. V. 32. № 1. P. 1-32.
4. Bourgain J. Periodic nonlinear Schrödinger equation and invariant measures // Commun. Math. Phys.
1994. V. 66. P. 1-26.
5. Zhidkov P.E. Korteweg de Vries and nonlinear Schrödinger equations: qualitative theory // Lect. Not.
Math. V. 1756. Berlin, 2001.
6. Colliander J., Keel M., Staffilani G., Takaoka H., Tao T. Almost conservation laws and global rough
solutions to a nonlinear Schrödinger equation // Math. Res. Lett. 2002. V. 9. № 5-6. P. 659-682.
7. Сакбаев В.Ж. Градиентный взрыв решений задачи Коши для нелинейного уравнения Шрёдингера
// Тр. ин-та им. В.А. Стеклова. 2013. Т. 283. С. 171-187.
8. Efremova L.S., Grekhneva A.D., Sakbaev V.Zh. Phase flow generated by Cauchy problem for nonlinear
Schrödinger equation and dynamical mappings of quantum states // Lobachevski J. of Math. 2019. Т. 40.
№ 10. С. 1455-1469.
9. Merle F., Tsutsumi Y. L2 convergence of blow-up solutions for nonlinear Schrödinger equation with
critical power nonlinearity // J. of Differ. Equat. 1990. V. 84. P. 205-214.
10. Насибов Ш.М. О коллапсе решений задачи Коши для кубического эволюционного уравнения Шрё-
дингера // Мат. заметки. 2019. Т. 105. № 1. С. 76-83.
11. Насибов Ш.М. Нелинейное эволюционное уравнение Шрёдингера в сверхкритическом случае
// Теор. и мат. физика. 2021. Т. 209. № 3. С. 427-437.
12. Tsvetkov N. Invariant measures for the defocusing nonlinear Schrödinger equation // Annales de
l’Institute Fourier. 2008. V. 58. № 7. P. 2543-2604.
13. Амосов А.А., Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Коробкин В.В., Прохоров А.М., Серов Р.В. Само-
фокусировка волновых пучков с платообразным распределением интенсивности // Письма в журн.
эксп. и теор. физики. 1979. Т. 30. № 2. С. 119-122.
14. Spohn H. Large Scale Dynamics of Interacting Particles. Berlin, 1991.
15. Grekhneva A.D., Sakbaev V.Zh. Dynamics of a set of quantum states generated by a nonlinear Liouville-
von Neumann equation // Comp. Math. Math. Phys. 2020. V. 60. № 8. P. 1337-1347.
16. Ефремова Л.С., Сакбаев В.Ж. Понятие взрыва множества решений дифференциальных уравнений
и усреднение случайных полугрупп // Теор. и мат. физика. 2015. Т. 185. № 2. С. 252-271.
17. Linares F., Ponce G. Introduction to Nonlinear Dispersive Equations. New York, 2009.
18. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М., 1982.
19. Шерстнев А.Н. Методы билинейных форм в некоммутативной теории меры и интеграла. М., 2008.
20. Sakbaev V.Zh. On the variational description of the trajectories of averaging quantum dynamical maps
// P-adic, Ultrametric Anal. 2012. V. 4. № 2. P. 115-129.
21. Шубин M.A. Лекции об уравнениях математической физики. М., 2003.
22. Brezis H. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. New York; Dordrecht;
Heidelberg; London, 2011.
23. Амосов Г.Г., Сакбаев В.Ж. Геометрические свойства систем векторных состояний и разложение
состояний в интегралы Петтиса // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27. № 4. С. 1-14.
24. Волович И.В., Сакбаев В.Ж. О квантовой динамике на C∗-алгебрах // Тр. Мат. ин-та им.
В.А. Стеклова. 2018. Т. 301. C. 33-47.
25. Amosov G.G., Sakbaev V.Zh., Smolyanov O.G. Linear and nonlinear liftings of states of quantum systems
// Rus. J. Math. Phys. 2012. V. 19. № 4. P. 417-427.
Институт прикладной математики
Поступила в редакцию 11.02.2022 г.
им. М.В. Келдыша РАН, г. Москва,
После доработки 11.02.2022 г.
Лётно-исследовательский институт
Принята к публикации 21.04.2022 г.
им. М.М. Громова, г. Жуковский
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
