ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.509-518
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.225
О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ПУАССОНА В ОБЛАСТЯХ С СИЛЬНО (СЛАБО)
ПРОНИЦАЕМЫМИ ПЛЁНКАМИ В ВИДЕ ОТРЕЗКА
© 2022 г. С. Е. Холодовский
Рассмотрены краевые задачи для уравнения Пуассона на плоскости с плёнкой, представля-
ющей собой отрезок, который при исследовании моделируется семейством конфокальных
эллипсов, пересечение которых совпадает с этим отрезком. Выведены условия сопряжения
и граничные условия как для сильно, так и для слабо проницаемых плёнок. Построены
явные решения различных краевых задач с плёнками внутри и на границе областей. Ре-
шения задач с плёнками выражены в квадратурах через известные решения аналогичных
задач без плёнок.
DOI: 10.31857/S0374064122040070, EDN: CABITP
Введение. Реальные среды, в которых протекают процессы тепломассопереноса, зачастую
содержат теплоизоляторы, наноразмерные покрытия, экраны, дренажи, мембраны, трещины
и т.п. - все они моделируются плёночными включениями или покрытиями.
В монографиях [1, 2] решения краевых задач ищутся в виде интегралов типа Коши по кон-
туру плёнки с неизвестной плотностью при выполнении обобщённых условий сопряжения на
плёнке и сводятся к решению сингулярных интегральных уравнений. Общие задачи для сильно
проницаемой плёнки произвольной формы приводят к решению интегро-дифференциального
уравнения [1, с. 111]. Метод потенциалов с неизвестной плотностью получил развитие в рабо-
тах [3-7]. Краевые задачи для гармонических функций вне криволинейных разрезов на плоско-
сти с различными условиями на сторонах разрезов изучались в работах [8-10]. В статьях [11-
14] решены задачи с аналогичными условиями сопряжения на плёнках без концевых точек.
В данной работе решаются задачи для плёнок, имеющих концевые точки.
1. Вывод условий сопряжения и граничных условий на плёнках. На плоскости
z = x + iy будем рассматривать эллиптическую систему координат (ξ,η), т.е.
x = achξ · cosη, y = ashξ · sinη,
0 ≤ ξ < ∞,
-π < η ≤ π,
где a = const > 0.
Рассмотрим на плоскости z = x + iy какую-либо область D, содержащую отрезок S =
= {-a < x < a} × {y = 0} = {ξ = 0} × {-π < η < π}, который будем моделировать сильно
или слабо проницаемой плёнкой. Для вывода условий сопряжения на плёнке S используем
язык задач тепломассопереноса. Заменим плёнку S областью D0(0 ≤ ξ < l, -π < η < π) с
постоянной проницаемостью k0, ограниченную эллипсом ξ = l, где D0 ⊂ D. Пусть внешняя
область D \ D0 имеет постоянную проницаемость k.
Рассмотрим для функций u(ξ, η) в D \ D0 и u0(ξ, η) в D0 для уравнения Лапласа
Δu = 0, ξ > l; Δu0 = 0,
0<ξ<l,
(1)
задачу с классическими условиями сопряжения на ∂D0 :
u0(l,η) = u(l,η), k0 ∂ξu0(l,η) = k ∂ξu(l,η),
(2)
u0(0,η) = u0(0,-η),
∂ξu0(0,η) = -∂ξu0(0,-η),
(3)
где Δu = ∂ξξu + ∂ηηu, ∂ξξ = ∂2/∂ξ2, ∂ξ = ∂/∂ξ.
509
510
ХОЛОДОВСКИЙ
Из условий (3) следует, что потенциал и нормальная скорость непрерывны на разрезе S(ξ =
= 0, -π < η < π), т.е. разрезом S можно пренебречь.
Найдём приращения функции u(ξ, η) (потенциала) и нормальной скорости k ∂ξu в точках
(l, ±η) (эти точки при каждом фиксированном η при вырождении области D0 в отрезок
S (при l → 0) сливаются в одну точку). Из условий (2), (3) с учётом теоремы Лагранжа о
среднем получаем
u(l, η) - u(l, -η) = u0(l, η) - u0(0, η) - u0(l, -η) + u0(0, -η) =
l
=
(k0 ∂ξu0(c1, η) - k0 ∂ξu0(c2, -η)),
(4)
k0
k(∂ξ u(l, η) + ∂ξu(l, -η)) = k0(∂ξu0(l, η) - ∂ξu0(0, η) +
+ ∂ξu0(l,-η) - ∂ξu0(0,-η)) = lk0(∂ξξu0(c3,η) + ∂ξξu0(c4,-η)),
(5)
где ci = ci(l) ∈ (0, l).
Пусть в равенствах (4), (5) имеют место сходимости
l → 0, k0 → ∞, lk0 → A.
(6)
При этом область D0 вырождается в сильно проницаемую плёнку (с параметром A) в виде
отрезка S(ξ = 0, -π < η < π). Из условия u0(l, η) - u0(0, η) = l ∂ξu0(c1, η) следует равенство
lim u0(l, η) = lim u0(0, η) при l → 0. Отсюда с учётом того, что, согласно первому условию
в (2), u0(l, η) = u(l, η), для любого c = c(l) ∈ (0, ξ0) при l → 0 получаем
lim u0(c, η) = lim u0(l, η) = lim u(l, η),
(7)
так как если для некоторых c = c(l) ∈ (0, l), η0 ∈ (-π, π) выполняется соотношение
lim u0(c, η0) = lim u0(l, η0),
то кривизна ∂ξξu0(ξ, η0) графика u0(ξ, η0), а значит, в силу уравнения Лапласа (1) и величи-
на ∂ηηu0(ξ, η0), стремится к ∞ при l → 0, что для гармонической функции u0(ξ, η) в D0
невозможно.
Дифференцируя равенство (7) дважды по η, найдём с учётом уравнений Лапласа (1), что
lim ∂ξξu0(c, η) = lim ∂ξξu(l, η) для любого c = c(l) ∈ (0, l). Отсюда, переходя в равенствах (4),
(5) к пределу (6), приходим к условиям сопряжения на сильно проницаемой плёнке в виде
отрезка S(ξ = 0, -π < η < π):
2A
u(0, η) = u(0, -η),
∂ξu(0,η) + ∂ξu(0,-η) =
∂ξξu(0,η).
(8)
k
Здесь второе условие упрощено с учётом второго условия в (3) и соотношения (5).
Пусть в равенствах (4), (5) имеют место сходимости
l → 0, k0 → 0, l/k0 → B.
(9)
При этом область D0 вырождается в слабо проницаемую плёнку (с параметром B) в виде
отрезка S.
Из условия ∂ξu0(l, η) - ∂ξu0(0, η) = l ∂ξξu0(c3, η) следует, что lim ∂ξu0(l, η) = lim ∂ξu0(0, η)
при l → 0. Отсюда с учётом второго равенства в (2) имеем lim k0 ∂ξu0(c, η) = lim k0 ∂ξu0(l, η) =
= lim k ∂ξu(l, η) для любого c = c(l) ∈ (0, l). Тогда, переходя в равенствах (4), (5) к пределу
(9), приходим к условиям сопряжения на слабо проницаемой плёнке в виде отрезка S(ξ = 0,
-π < η < π):
u(0, η) - u(0, -η) = 2Bk ∂ξu(0, η),
∂ξu(0,η) = -∂ξu(0,-η).
(10)
Здесь первое условие упрощено с учётом второго условия в (2).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
511
Из условий сопряжения (8) следует, что на сильно проницаемой плёнке потенциал непре-
рывен, а нормальная скорость при u(0, η) = const имеет разрыв. Последнее объясняется тем,
что частицы подвижной среды при входе в сильно проницаемую плёнку под углом θ = π/2
протекают внутри плёнки и вытекают из неё в точках, отличных от точек втекания. На слабо
проницаемой плёнке нормальная скорость непрерывна, а потенциал при ∂ξu(0, η) = 0 имеет
разрыв (10), при этом скорость потока сквозь плёнку пропорциональна разности потенциалов
на сторонах плёнки, что согласуется с физическими представлениями.
Если область динамического процесса D расположена в верхней полуплоскости y > 0
(ξ > 0,
0 < η < π) и плёнка S(ξ = 0,0 < η < π) находится на её границе, то в услови-
ях сопряжения (8), (10) функции u(0, -η) и ∂ξu(0, -η) соответственно в случае граничных
условий 1-го и 2-го рода являются функциями ϕ(η) и ψ(η), заданными на внешней стороне
плёнки. При этом граничные условия на сильно и слабо проницаемых плёнках имеют соот-
ветственно вид
2A
∂ξu(0,η) -
∂ξξu(0,η) = -ψ(η),
(11)
k
u(0, η) - 2Bk ∂ξu(0, η) = ϕ(η).
(12)
Значения потенциала на сторонах сильно проницаемой плёнки совпадают между собой
(см. (8)). Отсюда вытекает, что сильно проницаемая плёнка, на которой задано граничное
условие 1-го рода, не влияет на процесс. На сторонах слабо проницаемой плёнки значения
нормальной скорости совпадают между собой (см. (10)). Отсюда следует, что слабо проница-
емая плёнка, на которой задано граничное условие 2-го рода, не влияет на процесс.
Отметим, что классическое граничное условие 3-го рода является граничным условием
1-го рода на слабо проницаемой плёнке при заданном потенциале на внешней стороне плён-
ки (12) (при отсутствии плёнки, т.е. при идеальном контакте области D с внешней средой,
скачок потенциала в граничном условии 3-го рода приводит к бесконечной скорости в точках
границы).
2. Плёнки на плоскости при отсутствии границ. Рассмотрим на плоскости z = x+iy
для функции u(ξ, η) уравнение Пуассона
Δu = F(ξ,η), ξ > 0,
(13)
с условиями сопряжения (8) или (10) соответственно на сильно или слабо проницаемой плёнке
S(ξ = 0, -π < η < π), где ξ, η - эллиптические координаты плоскости z = x + iy, функция
F (ξ, η) является периодической по η с периодом 2π и в окрестности плёнки тождественно
нулевой.
На вспомогательной плоскости ζ = ξ + iη рассмотрим для функции f(ξ, η) в полосе
G(-∞ < ξ < ∞, -π < η < π) аналогичное уравнение (без плёнки)
{
F (ξ, η), ξ > 0,
Δf =
(14)
0,
ξ ≤ 0,
в предположении, что существует классическое решение f(ξ, η) этого уравнения, удовлетво-
ряющее при ξ → -∞ условию
f (ξ, η) = O(ec|ξ|),
0<c<γ,
где постоянная γ равна k/A для сильно проницаемой плёнки и 1/(Bk) для слабо проницае-
мой плёнки (см. ниже (21) и (23) соответственно).
Функцию f(ξ, η) можно найти по известному на всей плоскости ω = α + iβ = reiη, где
r = eξ, решению f0(r,η) уравнения Пуассона
{
F (ln r, η), r > 1,
Δr,ηf0 =
0,
r ≤ 1,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
512
ХОЛОДОВСКИЙ
здесь Δr,η - оператор Лапласа в полярных координатах r, η. При этом f(ξ, η) = f0(eξ , η).
В частности, рассматривая на плоскости ω гармоническую функцию f0(r, η), имеющую про-
извольные особые точки при r > 1, получим функцию f(ξ, η) = f0(eξ , η). Например, потен-
циал источника (фундаментальное решение) с особой точкой (ξ0, η0), ξ0 > 0,
-π < η0 < π
имеет вид
f (ξ, η) = Q ln(e2ξ + e2ξ0 - 2eξ+ξ0 cos(η - η0)).
Методом свёртывания разложений Фурье [11] выразим решения задач (13), (8) и (13), (10)
соответственно с сильно и слабо проницаемой плёнкой через решение f(ξ, η) задачи (14).
Функция f(ξ, η) при ξ ≤ 0 (где она удовлетворяет уравнению Лапласа (14)) представима
в виде
∑
a0
f (ξ, η) =
+ enξ(an cos(nη) + bn sin(nη)), ξ ≤ 0,
(15)
2
n=1
где
∫
π
∫
π
1
1
an =
f (0, η) cos(nη) dη, bn =
f (0, η) sin(nη) dη.
π
π
−π
-π
Отсюда следуют равенства
∑
f (ξ, η) - f(ξ, -η) = 2
enξbn sin(nη),
(16)
n=1
∑
f (ξ, η) + f(ξ, -η) - a0 = 2
enξan cos(nη).
(17)
n=1
Заменяя в равенствах (16), (17) переменную ξ ≤ 0 на ξ - t, умножая полученные выра-
жения на e-γt, γ > 0, и интегрируя по t ∈ (0, ∞), найдём, что
∞
∫
∑
bn
e-γt(f(ξ - t,η) - f(ξ - t,-η))dt = 2
enξ
sin(nη),
(18)
n+γ
n=1
0
∞
∫
∑
an
e-γt(f(ξ - t,η) + f(ξ - t,-η) - a0)dt = 2
enξ
cos(nη).
(19)
n+γ
n=1
0
Решения задач (13), (8) и (13), (10) будем искать в виде
∑
u(ξ, η) = f(ξ, η) +
e-nξ(pn cos(nη) + qn sin(nη)), ξ > 0,
(20)
n=1
где постоянные pn, qn подлежат определению; в частности, функция u(ξ, η) должна удовле-
творять уравнению (13) (при условии сходимости и дифференцируемости ряда (20)).
Рассмотрим случай сильно проницаемой плёнки. Подставляя функции (20), (15) в усло-
вия сопряжения (8) и приравнивая в получившемся равенстве коэффициенты при cos(nη) и
sin(nη) слева и справа, для коэффициентов pn, qn получаем систему алгебраических урав-
нений, решение которой имеет вид
(
)
2γ
k
qn = -bn, pn =
-1 an, γ=
> 0.
(21)
n+γ
A
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
513
Отсюда с учётом разложения (15) функции f(-ξ, η) при ξ > 0 и равенства (19) решение
(20) задачи (13), (8) с сильно проницаемой плёнкой S(ξ = 0, -π < η < π) выражается непо-
средственно через решение f(ξ, η) уравнения (14) по формуле (без разложений Фурье, т.е. без
сильных осцилляций):
∫∞
u(ξ, η) = f(ξ, η) - f(-ξ, η) + γ e-γt(f(-ξ - t, η) + f(-ξ - t, -η)) dt, ξ > 0,
(22)
0
где постоянная γ определена в (21).
В случае слабо проницаемой плёнки S(ξ = 0, -π < η < π), рассуждая аналогично, решение
задачи (13), (10) с учётом равенства (18) найдём в виде
∫∞
u(ξ, η) = f(ξ, η) + f(-ξ, η) - γ e-γt(f(-ξ - t, η) - f(-ξ - t, -η)) dt, ξ > 0,
(23)
0
где γ = 1/(Bk) > 0, а f(ξ, η) - решение уравнения (14).
При отсутствии плёнки решение u(ξ, η) уравнения (13) с классическими условиями сопря-
жения u(0, η) = u(0, -η),
∂ξu(0,η) = -∂ξu(0,-η) на разрезе S получим в виде
U (ξ, η) = f(ξ, η) + f(-ξ, -η), ξ > 0.
(24)
Свойства решений.
2.1. Рассмотрим предельные случаи параметров плёнки 0 < A,B < ∞.
При A → 0 (γ → ∞, см. (21)) сильно проницаемая плёнка S(ξ = 0, -π < η < π) исчезает,
при этом из формулы (22) с помощью интегрирования по частям получаем, что
∫∞
u(ξ, η) = f(ξ, η) + f(-ξ, -η) + e-γt(∂ξ f(-ξ - t, η) + ∂ξf(-ξ - t, -η)) dt → U(ξ, η),
0
где функция U(ξ, η) определена равенством (24).
При A → ∞ (γ → 0) из формулы (22) непосредственно находим
u(ξ, η) → f(ξ, η) - f(-ξ, η),
а значит, предельная функция u(ξ, η) является решением задачи (13), u(0, η) = 0, т.е. плёнка
S вырождается в линию нулевого потенциала (при этом линии тока перпендикулярны плёнке).
В данном случае плёнка является абсолютно проницаемым отрезком S (каверной).
При B → 0 (γ → ∞, см. (23)) из формулы (23) с помощью интегрирования по частям
получаем, что u(ξ, η) → U(ξ, η), где функция U(ξ, η) задана в (24), т.е. слабо проницаемая
плёнка S(ξ = 0, -π < η < π) исчезает.
При B → ∞ (γ → 0) из представления (24) находим
u(ξ, η) → f(ξ, η) + f(-ξ, η),
а значит, предельная функция u(ξ, η) является решением задачи (13), ∂ξu(0, η) = 0, т.е. в
данном случае имеем обтекание непроницаемого отрезка S заданным потоком.
Таким образом, потенциалы (22), (23) описывают процессы тепломассопереноса на плоско-
сти с сильно и слабо проницемыми плёнками в виде отрезка S(ξ = 0, -π < η < π) в диапазоне
от абсолютно проницаемой каверны до непроницаемого экрана.
2.2. Обозначим функции u(ξ,η), f(ξ,η) через u1(ξ,η), f1(ξ,η) в случае задачи (13), (8)
с сильно проницаемой плёнкой и через u2(ξ, η), f2(ξ, η) в случае задачи (13), (10) со слабо
проницаемой плёнкой.
6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
514
ХОЛОДОВСКИЙ
Тогда, если в задачах (13), (8) и (13), (10) k/A = 1/(Bk) = γ, а f1(ξ, η) и f2(ξ, η) -
сопряжённые друг другу гармонические функции (∂ξf1 = ∂ηf2,
∂ηf1 = -∂ξf2 вне особых
точек), решения u1(ξ, η) (22) и u2(ξ, η) (23) задач с сильно и слабо проницаемыми плёнка-
ми также являются сопряжёнными друг другу гармоническими функциями, что проверяется
непосредственно.
2.3. Рассмотрим на плоскости с разрезом S в эллиптических координатах ξ, η потенциал
некоторого процесса без плёнки: U(ξ, η) = f(ξ, η) + f(-ξ, -η) (см. (24)). При внесении в
указанный поток сильно проницаемой плёнки в виде отрезка S потенциал в каждой точке
изменится на величину
Δ1u(ξ,η) = u(ξ,η) - U(ξ,η),
где функция u(ξ, η) определена равенством (22). Из выражения (22) следует, что u(ξ, η) -
- u(ξ, -η) = U(ξ, η) - U(ξ, -η). Отсюда получаем равенство
Δ1u(ξ,η) = Δ1u(ξ,-η),
т.е. приращения Δ1u(ξ, η) потенциалов в точках, симметричных относительно прямой, на
которой расположена сильно проницаемая плёнка (относительно оси x), одинаковые.
При внесении в невозмущённый поток с потенциалом U(ξ, η) (см. (24)) слабо проницаемой
плёнки S потенциал изменится на величину
Δ2u(ξ,η) = u(ξ,η) - U(ξ,η),
где функция u(ξ, η) определена равенством (23). Из выражения (23) следует, что u(ξ, η) +
+ u(ξ, -η) = U(ξ, η) + U(ξ, -η). Отсюда получаем равенство
Δ2u(ξ,η) = -Δ2u(ξ,-η),
т.е. приращения Δ2u(ξ, η) потенциалов в точках, симметричных относительно прямой, на
которой расположена слабо проницаемая плёнка, отличаются лишь знаками.
3. Плёнки внутри областей. Рассмотрим в области D(0 < ξ < ∞,-b < η < b), 0 < b <
< π, для функции u(ξ,η) краевую задачу
Δu = F(ξ,η), Lu|η=b = h1(ξ), Lu|η=-b = h2(ξ)
(25)
с условиями сопряжения (8) или (10) на плёнке. Здесь L - оператор граничных условий 1-го
или 2-го рода: Lu ≡ u или Lu ≡ ∂ηu. В данном случае область D ограничена гиперболой
η = ±b и содержит сильно или слабо проницаемую плёнку S(ξ = 0,0 < η < b) в виде
отрезка, примыкающего правым концом к границе в точке (ξ = 0, η = b). В частности при
b = π/2 область D является правой полуплоскостью x > 0 с плёнкой S(0 < x < a,y = 0),
перпендикулярной границе.
На плоскости ζ = ξ + iη в полосе G(-∞ < ξ < ∞, -b < η < b) рассмотрим аналогичную
краевую задачу без плёнки для уравнения Пуассона (14) с граничными условиями вида
{
{
h1(ξ), ξ > 0,
h2(ξ), ξ > 0,
Lf|η=b =
Lf|η=-b =
(26)
0,
ξ ≤ 0,
0,
ξ ≤ 0.
Отметим, что решение задачи (14), (26), как и решения рассмотренных ниже классических
задачи (14), (30) и задач (38) и (45), строится в квадратурах методами функции Грина и
конформных отображений полосы G на полуплоскость или квадрант.
Решения u(ξ, η) краевых задач (25), (8) и (25), (10) с плёнкой S(ξ = 0, 0 < η < b) выража-
ются через решение f(ξ, η) классической задачи (14), (26) соответственно по формулам (22)
и (23), что проверяется непосредственно.
4. Плёнки на границе областей.
4.1. Однородные граничные условия на плёнках. Рассмотрим область D(0 < ξ <
< ∞,b < η < d),
0 ≤ b < d ≤ π, ограниченную гиперболами η = b, η = d и отрезком
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
515
S(ξ = 0, b < η < d) в виде сильно или слабо проницаемых плёнок. При b = 0, d = π область
D является верхней полуплоскостью y > 0 с плёнкой S(-a < x < a, y = 0) на границе.
Для функции u(ξ, η) рассмотрим в области D краевую задачу
Δu = F(ξ,η), L1u|η=b = h1(ξ), L2u|η=d = h2(ξ)
(27)
с однородными граничными условиями на сильно или слабо проницаемой плёнке соответ-
ственно вида (11), (12):
(∂ξξu - γ ∂ξu)|ξ=0 = 0
(28)
или
(∂ξ u - μu)|ξ=0 = 0,
(29)
где γ = k/(2A) > 0, μ = 1/(2Bk) > 0, Li - операторы граничных условий 1-го или 2-го рода
в произвольном сочетании.
Выразим решения задач (27), (28) и (27), (29) через решение f(ξ, η) аналогичной класси-
ческой задачи (без плёнки) в полосе G(-∞ < ξ < ∞, b < η < d) для уравнения Пуассона (14)
с граничными условиями вида
{
{
h1(ξ), ξ > 0,
h2(ξ), ξ > 0,
L1f|η=b =
L2f|η=d =
(30)
0,
ξ ≤ 0,
0,
ξ ≤ 0.
Для вывода общих формул рассмотрим задачи (27), (28) и (27), (29) и (14), (30) при b = 0,
d = π, hi(ξ) = 0, Liu ≡ u. Тогда решение f(ξ,η) задачи (14), (30) при ξ ≤ 0 представимо в
виде
π
∫
∑
2
f (ξ, η) =
enξbn sin(nη), bn =
f (0, η) sin(nη) dη.
(31)
π
n=1
0
Отсюда следует равенство (аналогичное (18), (19))
∞
∫
∑
bn
e-γtf(ξ - t,η)dt =
enξ
sin(nη), ξ ≤ 0, γ > 0.
(32)
n+γ
n=1
0
Решения задач (27), (28) и (27), (29) будем искать в виде
∑
u(ξ, η) = f(ξ, η) +
e-nξpn sin(nη), ξ > 0;
(33)
n=1
в частности, функция u(ξ, η) удовлетворяет уравнению и граничным условиям (27).
В случае сильно проницаемой плёнки из граничного условия (28) и разложений (31), (33)
найдём pn = (2γ/(n + γ) - 1)bn. Отсюда с учётом равенства (32) решение (33) задачи (27),
(28) с плёнкой S(ξ = 0, b < η < d) получаем в виде
∫∞
u(ξ, η) = f(ξ, η) - f(-ξ, η) + 2γ e-γtf(-ξ - t, η) dt, ξ > 0,
(34)
0
где f(ξ, η) - решение задачи (14), (30) без плёнки.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
6∗
516
ХОЛОДОВСКИЙ
В случае слабо проницаемой плёнки из граничного условия (29) и разложений (31), (33)
находим pn = (1 - 2μ/(n + μ))bn. Отсюда, учитывая представление (32), решение (33) задачи
(27), (29) приводим к виду
∫∞
u(ξ, η) = f(ξ, η) + f(-ξ, η) - 2μ e-μtf(-ξ - t, η)dt, ξ > 0,
(35)
0
где f(ξ, η) - решение задачи (14), (30).
Для общего случая задач (27), (28) и (27), (29) и задачи (14), (30) при 0≤b<d≤π,
hi(ξ) = 0, Liu ≡ u или Liu ≡ ∂ηu формулы (34), (35) сохраняются, что проверяется непо-
средственно.
4.2. Неоднородные граничные условия на плёнках. Рассмотрим задачу (27), (28) с
неоднородным условием на сильно проницаемой плёнке вида
Δu = 0, L1u|η=b = 0, L2u|η=d = 0,
(36)
(∂ξξu - γ ∂ξu)|ξ=0 = γψ(η),
(37)
где γ = k/(2A). Выразим её решение через решение f(ξ, η) аналогичной задачи (без плёнки)
в полуполосе G1(0 < ξ < ∞, b < η < d):
Δf = 0, L1f|η=b = 0, L2f|η=d = 0,
∂ξf|ξ=0 = ψ(η).
(38)
Для вывода общих формул, как и выше, рассмотрим обе задачи (36), (37) и (38) при b = 0,
d = π, Liu ≡ u. Представим решение задачи (38) в виде разложения Фурье
π
∫
∑
2
f (ξ, η) =
e-nξbn sin(nη), ξ ≥ 0, bn =
f (0, η) sin(nη) dη.
(39)
π
n=1
0
Тогда из граничного условия (38) при ξ = 0 вытекает равенство
∑
ψ(η) = - nbn sin(nη),
(40)
n=1
а из равенства (39) следует, что
∞
∫
∑
bn
e-γtf(ξ + t,η)dt =
e-nξ
sin(nη), ξ ≥ 0, γ > 0.
(41)
n+γ
n=1
0
Решение задачи (36), (37) будем искать в виде
∑
u(ξ, η) =
e-nξpn sin(nη), ξ > 0;
(42)
n=1
в частности, функция u(ξ, η) удовлетворяет уравнению и граничным условиям (36). Из гра-
ничного условия (37) и равенства (40) найдём pn = -γbn/(n + γ). Отсюда с учётом представ-
ления (41) решение (42) задачи (36), (37) с сильно проницаемой плёнкой S(ξ = 0, b < η < d)
получаем в виде
∫∞
u(ξ, η) = -γ e-γtf(ξ + t, η) dt, ξ > 0,
(43)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
О РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА
517
где f(ξ, η) - решение задачи (38) без плёнки. Для общего случая задач (36), (37) и (38) при
0 ≤ b < d ≤ π, Liu ≡ u или Liu ≡ ∂ηu формула (43) сохраняется, что проверяется непосред-
ственно.
В случае слабо проницаемой плёнки S(ξ = 0, b < η < d) граничное условие (37) заменяется
условием
(∂ξ u - μu)|ξ=0 = μϕ(η),
(44)
где μ = 1/(2Bk). Выразим решение задачи (36), (44) через решение f(ξ, η) классической
задачи
Δf = 0, L1f|η=b = 0, L2f|η=d = 0, f|ξ=0 = ϕ(η)
(45)
в полуполосе G1(0 < ξ < ∞, b < η < d). Рассматривая обе задачи (36), (44) и (45) при b = 0,
d = π, Liu ≡ u и представляя граничную функцию ϕ(η) из (44), (45) в виде ряда
π
∫
∑
2
ϕ(η) =
bn sin(nη), bn =
ϕ(η) sin(nη) dη,
(46)
π
n=1
0
решение задачи (45) найдём в виде разложения (39) с коэффициентами bn вида (46). При
этом равенство (41) сохраняется. Представляя решение задачи (36) в виде (42), из граничного
условия (44) с учётом равенств (46) найдём pn = -μbn/(n + μ). Отсюда и из равенства (41)
решение (42) задачи (36), (44) со слабо проницаемой плёнкой S(ξ = 0, b < η < d) получаем в
виде
∫∞
u(ξ, η) = -μ e-μtf(ξ + t, η) dt, ξ > 0,
(47)
0
где f(ξ, η) - решение задачи (45) без плёнки. В общем случае при 0 ≤ b < d ≤ π, Liu = u
или Liu = ∂ηu решение задачи (36), (44) строится также по формуле (47).
Решения краевых задач (27), (37) и (27), (44) с неоднородными условиями в области D(0 <
< ξ < ∞,b < η < d) имеют вид суммы соответствующих решений (34), (43) и (35), (47).
Заключение. Найденные явные решения дополняют результаты о краевых задачах мате-
матической физики в областях, содержащих плёночные включения.
Работа выполнена в рамках гранта Совета по научной и инновационной деятельности За-
байкальского государственного университета (проект 358-ГР).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пилатовский В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. М., 1966.
2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.
3. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.,
1987.
4. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М., 1987.
5. Ерофеенко В.Т., Козловская И.С. Интегральные уравнения в задачах экранирования электромаг-
нитных полей для цилиндрических тел // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 2. С. 242-247.
6. Сетуха А.В. О построении фундаментальных решений краевой задачи Неймана в области вне
разомкнутой плоской поверхности // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 4. С. 505-515.
7. Крутицкий П.А., Прозоров К.В. К задаче для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости
с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов // Диф-
ференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 9. С. 1268-1283.
8. Крутицкий П.А. Обобщение задачи Неймана для гармонических функций вне разрезов на плоско-
сти // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 9. C. 1100-1112.
9. Крутицкий П.А., Сгибнев А.И. Метод интегральных уравнений в обобщенной задаче о скачке для
уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 9. C. 1199-
1213.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
518
ХОЛОДОВСКИЙ
10. Крутицкий П.А. Краевая задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с разными
условиями третьего рода на разных сторонах разрезов // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 1.
C. 86-100.
11. Холодовский С.Е. Метод свертывания разложений Фурье. Случай обобщенных условий сопряжения
типа трещины (завесы) в кусочно-неоднородных средах // Дифференц. уравнения. 2009. Т. 45. № 6.
С. 855-859.
12. Холодовский С.Е. О решении краевых задач для уравнения Лапласа в шаре, ограниченном много-
слойной пленкой // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 7. С. 919-926.
13. Холодовский С.Е. Об установившихся процессах на плоскости с круговым включением, экраниро-
ванным двухслойной пленкой // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2019. Т. 59. № 9.
С. 89-97.
14. Холодовский С.Е. О многослойных пленках на границе полупространства // Мат. заметки. 2016.
Т. 99. Вып. 3. С. 421-427.
Забайкальский государственный университет,
Поступила в редакцию 19.04.2021 г.
г. Чита
После доработки 02.03.2022 г.
Принята к публикации 09.03.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
