ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.519-533
ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.1
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
ТРЁХМЕРНЫХ АФФИННЫХ СИСТЕМ
С ОДНИМ УПРАВЛЕНИЕМ
© 2022 г. Д. А. Фетисов
Рассматривается задача об A-орбитальной линеаризации нелинейных систем, аффинных
по управлению. В известных к настоящему времени условиях A-орбитальной линеаризуе-
мости предполагается, что C∞ -модуль, порождённый векторными полями, соответствую-
щими системе, имеет постоянный ранг. В настоящей работе это предположение не выполне-
но. Доказывается необходимое и достаточное локальное условие, при котором трёхмерная
аффинная система с одним управлением A-орбитально эквивалентна по обратной связи
и состоянию линейной управляемой системе, рассматриваемой в окрестности положения
равновесия.
DOI: 10.31857/S0374064122040082, EDN: CABTCS
Введение. Задача преобразования нелинейной системы с управлением в линейную управ-
ляемую систему (т.е. в линейную систему, удовлетворяющую условию управляемости Р. Кал-
мана) является одной из классических задач теории управления. Первые результаты в этой
области были получены для аффинных систем с одним управлением при специальном классе
преобразований [1]. Впоследствии эти результаты были обобщены в работах [2, 3].
Напомним [2], что если одну аффинную систему можно преобразовать в другую с исполь-
зованием гладких невырожденных замен состояния и управления, то такие системы называют
эквивалентными по обратной связи и состоянию. В случае, если аффинная система эквива-
лентна по обратной связи и состоянию линейной управляемой системе, то говорят, что эта
аффинная система линеаризуема обратной связью. Условия линеаризуемости обратной свя-
зью [2, 3] для многих систем не выполняются, в связи с чем были предложены многочисленные
обобщения этого понятия, позволившие распространить идею линеаризации на более широкие
классы систем. Среди таких обобщений выделим приближённую линеаризацию обратной свя-
зью [4], линеаризацию обратной связью по выходу [5] и орбитальную линеаризацию [6].
Напомним [6], что две аффинные системы называют орбитально эквивалентными по об-
ратной связи и состоянию, если одну из них можно преобразовать в другую с помощью
гладких невырожденных замен состояния, управления и независимой переменной, при этом
предполагается, что замена независимой переменной не зависит от управления. В случае, если
аффинная система орбитально эквивалентна по обратной связи и состоянию линейной управ-
ляемой системе, то говорят, что эта аффинная система орбитально линеаризуема [6]. Необхо-
димые и достаточные условия орбитальной линеаризуемости для аффинных систем с одним
управлением получены в работах [6, 7], а для систем с векторным управлением - в работе [8].
Как оказалось, использование замен независимой переменной, зависящих от управления,
позволяет преобразовать в линейную управляемую систему даже системы, не линеаризуемые
орбитально [9]. Напомним [10], что две аффинные системы называют A-орбитально экви-
валентными по обратной связи и состоянию, если одна система преобразуется в другую с
использованием гладких невырожденных замен состояния, управления и независимой пере-
менной, причём замены независимой переменной могут зависеть как от состояния, так и от
управления. Если аффинная система A-орбитально эквивалентна по обратной связи и состо-
янию линейной управляемой системе, то говорят, что эта аффинная система A-орбитально
линеаризуема. Необходимые и достаточные условия А-орбитальной линеаризуемости для сис-
тем с одним управлением получены в работах [11, 12], а для систем с векторным управлением -
в работе [10]. Все указанные условия найдены на основе построения производного флага корас-
пределения, ассоциированного с системой. При этом предполагалось, что ранги всех элементов
519
520
ФЕТИСОВ
производного флага постоянны в окрестности рассматриваемой точки. Такое допущение авто-
матически выводит из рассмотрения положения равновесия аффинной системы.
Вместе с тем, линеаризация системы в окрестности положений равновесия имеет приори-
тетное значение с точки зрения приложений. В настоящей работе для трёхмерных аффинных
систем с одним управлением формулируется и доказывается необходимое и достаточное ло-
кальное условие А-орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию линейной
управляемой системе, рассматриваемой в окрестности нулевого положения равновесия.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему
∑
x = f0(x) +
fj(x)uj,
(1)
j=1
где x = (x1, . . . , xn)т ∈ M - состояние, u = (u1, . . . , um)т ∈ Rm - управление, x ≡ dx/dt, M -
открытое подмножество в Rn,
∑
∂
fj =
fjk
,
fjk ∈ C∞(M), j = 0,m, k = 1,n,
∂xk
k=1
C∞(M) - кольцо гладких функций M → R. На протяжении всей статьи под гладкостью
понимается бесконечная дифференцируемость.
Напомним понятие A-орбитальной эквивалентности аффинных систем по обратной связи
и состоянию. Для этого рассмотрим наряду с системой (1) систему
∑
y′ = h0(y) +
hj(y)vj,
(2)
j=1
где y = (y1, . . . , yn)т ∈ P - состояние, v = (v1, . . . , vm)т ∈ Rm - управление, y′ ≡ dy/dτ, P -
открытое подмножество в Rn,
∑
∂
hj =
hjk
,
hjk ∈ C∞(P), j = 0,m, k = 1,n.
∂yk
k=1
Говорят [10], что системы (1) и (2) A-орбитально эквивалентны по обратной связи и со-
стоянию на множествах M и P, если существует матрица A = (αij)i,j=0,m, αij : M → R,
i, j = 0, m, гладкая и невырожденная на множестве M, и диффеоморфизм Φ : M → P
такие, что
⎛
⎞
⎛
⎛
⎞⎞
h0
f0
⎝...⎠=Φ∗ ⎝(A-1)т ⎝
⎠⎠,
hm
fm
где Φ∗ - касательное отображение, индуцированное диффеоморфизмом Φ.
Пусть x0 ∈ M, y0 ∈ P. Будем говорить, что системы (1) и (2) A-орбитально эквивалент-
ны по обратной связи и состоянию в паре точек (x0,y0), если существуют окрестности U(x0)
и V (y0) точек x0 и y0 соответственно такие, что системы (1) и (2) A-орбитально эквивалент-
ны по обратной связи и состоянию на множествах U(x0) и V (y0), причём соответствующий
диффеоморфизм Φ : U(x0) → V (y0) удовлетворяет условию Φ(x0) = y0.
Как показано в работе [10], A-орбитальная эквивалентность систем (1) и (2) по обратной
связи и состоянию на множествах M и P означает, что система (1) заменой независимой
переменной
∑
˙τ = α00(x) +
α0j(x)uj,
j=1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
521
заменой управления
∑
αi0(x) +
αij(x)uj
j=1
vi
=
,
i = 1,m,
∑
α00(x) + α0j(x)uj
j=1
и заменой состояния y = Φ(x) преобразуется на множестве
{
}
∑
Mxu = (x,u) : x ∈ M,α00(x) + α0j(x)uj = 0
j=1
в систему (2), ограниченную на множество Myv = {(y, v) : y ∈ P, Δ(Φ-1(y), v) = 0}, где
1
α01(x) ... α0m(x)
v1
α11(x) ... α1m(x)
Δ(x, v) =
.
vm αm1(x) ... αmm(x)
Отметим, что известные из работ [2] и [6] понятия эквивалентности и орбитальной эквива-
лентности аффинных систем по обратной связи и состоянию являются частными случаями A-
орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию, а именно: системы (1) и (2) эк-
вивалентны по обратной связи и состоянию, если они A-орбитально эквивалентны по обратной
связи и состоянию с матрицей
⎛
⎞
1
0
0
⎜α10
α11
α1m⎟
A=
⎝
⎠;
αm0
αm1
... αmm
системы (1) и (2) орбитально эквивалентны по обратной связи и состоянию, если они A-ор-
битально эквивалентны по обратной связи и состоянию с матрицей
⎛
⎞
α00
0
0
⎜α10
α11
α1m⎟
A=
⎝
⎠.
αm0
αm1
... αmm
Наибольший интерес представляет A-орбитальная эквивалентность по обратной связи и
состоянию системы (1) линейной управляемой системе
(y11)′ = y12, . . . , (y1ρ
)′ = y1ρ
,
(y1ρ
)′ = v1,
1-1
1
1
(ym1)′ = ym2, . . . , (ymρ
)′ = ymρ
,
(ymρ
)′ = vm,
(3)
m-1
m
m
где ρ1 + . . . + ρm = n, либо системе
(y0)′ = 1,
(y11)′ = y12, . . . , (y1ρ
)′ = y1ρ
,
(y1ρ
)′ = v1,
1-1
1
1
(ym1)′ = ym2, . . . , (ymρ
)′ = ymρ
,
(ymρ
)′ = vm,
(4)
m-1
m
m
где ρ1 + . . . + ρm = n - 1, которая становится линейной управляемой системой после перехода
к новой независимой переменной y0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
522
ФЕТИСОВ
Задача нахождения условий A-орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоя-
нию системы (1) системе (4) в случае m > 1 рассматривалась в работе [10], а в случае m = 1 - в
работе [12]. Различные аспекты задачи об A-орбитальной эквивалентности по обратной связи
и состоянию системы (1) системе (3) в случае m = 1 обсуждались в работах [9, 11]. В ра-
боте [9] получена система уравнений в частных производных, решив которую можно найти
линеаризующие преобразования. В работе [11] в случае m = 1 найдено необходимое и доста-
точное условие A-орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию системе (3).
С использованием этого условия разработан алгоритм построения линеаризующих преобразо-
ваний, основанный на построении производного флага кораспределения, ассоциированного с
системой.
Отметим, что условие и алгоритм из работы [11] применимы лишь к регулярным точкам
производного флага, т.е. к таким точкам, в окрестности которых все кораспределения, со-
ставляющие производный флаг, имеют постоянный ранг. Это предположение исключает из
рассмотрения положения равновесия системы. Вместе с тем, для приложений важны условия
A-орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию системе (3) именно в окрест-
ностях положений равновесия.
Целью настоящей работы является нахождение для трёхмерных аффинных систем усло-
вий A-орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоянию линейной управляемой
системе, рассматриваемой в окрестности нулевого положения равновесия.
Далее будем рассматривать систему
x = f0(x) + f1(x)u,
(5)
где x = (x1, x2, x3)т ∈ M - состояние, u ∈ R - управление,
x ≡ dx/dt, M - открытое
подмножество R3,
∑
∂
fj =
fjk
,
fjk ∈ C∞(M), j = 0,1, k = 1,2,3.
∂xk
k=1
Пусть x0 ∈ M. Рассмотрим задачу об A-орбитальной эквивалентности системы (5) и
системы
y′1 = y2, y′2 = y3, y′3 = v
(6)
по обратной связи и состоянию в паре точек (x0, 0). A-орбитальная эквивалентность сис-
тем (5) и (6) по обратной связи и состоянию в паре точек (x0, 0) означает существование
окрестности U(x0) точки x0, окрестности V (0) точки y = 0, матрицы A = (αij )i,j=0,1,
αij ∈ C∞(U(x0)), i,j = 0,1, невырожденной в U(x0), и диффеоморфизма Φ : U(x0) → V (0)
таких, что Φ(x0) = 0, и заменами независимой переменной
˙τ = α00(x) + α01(x)u,
управления
α10(x) + α11(x)u
v=
α00(x) + α01(x)u
и состояния y = Φ(x) система (5) преобразуется на множестве
Mxu = {(x,u) : x ∈ U(x0), α00(x) + α01(x)u = 0}
в линейную управляемую систему (6), ограниченную на множество Myv = {(y, v) : y ∈ V (0),
α11(Φ-1(y)) - α01(Φ-1(y))v = 0}.
Отметим, что в окрестности точки y = 0 модуль, порождённый векторными полями, со-
ответствующими системе (6), имеет переменный ранг, поэтому рассматриваемая в настоящей
работе задача не может быть решена методом, предложенным в статье [11]. Условие орби-
тальной эквивалентности систем (5) и (6) по обратной связи и состоянию в паре точек (x0, 0)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
523
известно [6], в настоящей работе это условие обобщается на более широкий класс преобразо-
ваний.
2. Условие линеаризуемости. Будем далее обозначать C∞(M)-модуль гладких век-
торных полей, заданных на множестве M, через T (M). Пусть ξ1, . . . , ξk ∈ T (M). Запись
P = span{ξ1,...,ξk} означает, что
{
}
∑
P = ξ ∈ T (M) : ξ = βjξj, βj ∈ C∞(M)
,
j=1
т.е. P - подмодуль модуля T (M), порождённый векторными полями ξ1, . . . , ξk. Через [ξ, η]
обозначаем коммутатор векторных полей ξ, η ∈ T (M). Используем также обозначения
ad0ξη = η, adk+1ξη = [ξ, adkξη], k = 0, 1, 2, . . .
Поставим в соответствие системе (5) модуль F = span {f0, f1}. Напомним, что производ-
ным флагом модуля F называют последовательность модулей F0 ⊂ F1 ⊂ F2 ⊂ . . . , постро-
енную по правилу
F0 = F, Fk+1 = Fk + [Fk,Fk], k = 0,1,2,...
Будем использовать обозначения dk = dim Fk(x0), k = 0, 1, 2, . . . Пусть
S = {x ∈ R3 : dimF1(x) < 3}.
Известно [6], что если выполнены равенства d0 = 1, d1 = 2, d2 = 3, то S - гладкая двумерная
поверхность.
Главным результатом настоящей работы является
Теорема. Системы (5) и (6) A-орбитально эквивалентны по обратной связи и состоя-
нию в паре точек (x0,0) тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1) d0 = 1, d1 = 2, d2 = 3;
2) существует векторное поле f ∈ F, касательное к поверхности S и такое, что
f (x0) = 0.
Доказательство. Достаточность. Поскольку f ∈ F, то f = β0f0 + β1f1, где β0 и β1 -
некоторые гладкие функции. Так как f(x0) = 0, то по крайней мере для одного значения ин-
декса k ∈ {0, 1} имеют место соотношения βk(x0) = 0, fk(x0) = 0. Не ограничивая общности,
считаем, что k = 1. Заменим образующую f1 модуля F на образующую f. Очевидно, имеет
место равенство
(
)
(
)(
)
f0
1
0
f0
=
,
f
β0
β1
f1
причём матрица
(
)
1
0
β =
β0
β1
невырождена в точке x0, так как det β(x0) = β1(x0) = 0. Следовательно, модуль F предста-
вим в окрестности точки x0 в виде F = span {f0, f}. Отметим, что векторные поля f0 и f1
выражаются через векторные поля f0 и f по формуле
(
)
(
)
f0
f0
=β-1
(7)
f1
f
Так как f(x0) = 0, то векторное поле f имеет в окрестности точки x0 два функционально
независимых первых интеграла z1 и z2. Дополним z1 и z2 функцией z3 до системы из трёх
функций, независимых в окрестности точки x0. Отметим, что функции z1, z2, z3 всегда
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
524
ФЕТИСОВ
можно выбрать так, чтобы выполнялись равенства zi(x0) = 0, i = 1, 2, 3. Отображение Φ1,
задаваемое соотношениями
z1 = z1(x), z2 = z2(x), z3 = z3(x),
является локальным диффеоморфизмом, при этом имеет место равенство Φ1(x0) = 0. Обра-
зами векторных полей f и f0 при касательном отображении Φ1∗, индуцированном отобра-
жением Φ1, являются векторные поля
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Φ1∗f = γ1
+γ2
+γ3
,
Φ1∗f0 = γ01
+γ02
+γ03
,
∂z1
∂z2
∂z3
∂z1
∂z2
∂z3
где γi, γ0i - некоторые функции, гладкие в окрестности точки z = 0, i = 1, 2, 3. Посколь-
ку в окрестности точки x0 выполнены равенства fz1 = 0 и fz2 = 0, то γ1 = γ2 = 0 и,
следовательно, векторное поле Φ1∗f в окрестности точки z = 0 представимо в виде
∂
Φ1∗f = γ3
(8)
∂z3
Так как f(x0) = 0, то Φ1∗|x0 f(x0) = 0 и, следовательно, γ3(0) = 0. Модуль Φ1∗F в результате
принимает вид
{
}
{
}
∂
∂
Φ1∗F = span Φ1∗f0,γ3
= span Φ1∗f0,
,
∂z3
∂z3
где
{
}
∂
∂
∂
Φ1∗f0 = γ01
+γ02
mod
(9)
∂z1
∂z2
∂z3
Так как dim F(x0) = 1, то dim Φ1∗|x0 F(x0) = 1 и поэтому γ01(0) = γ02(0) = 0.
Построим модуль Φ1∗F1. Из сравнения (9) следует, что
{
}
{[
]}
∂
∂
∂
∂
Φ1∗F1 = span Φ1∗f0,
+ span
,γ01
+γ02
=
∂z3
∂z3
∂z1
∂z2
{
}
{
}
∂
∂
∂
= span Φ1∗f0,
+ span (γ01)′
+ (γ02)′
z
∂z3
z3 ∂z1
3 ∂z2
Введём обозначения
γ11 = (γ01)′z
,
γ12 = (γ02)′z
(10)
3
3
и перепишем выражение для модуля Φ1∗F1 в виде
{
}
∂
∂
∂
Φ1∗F1 = span Φ1∗f0,γ11
+γ12
,
(11)
∂z1
∂z2
∂z3
Покажем, что хотя бы для одного номера j ∈ {1, 2} выполнены соотношения γ1j (0) = 0,
(det γ)′
(0) = 0, где
zj
(
)
γ01
γ02
γ=
γ11
γ12
Так как dim F1(x0) = 2, то dim Φ1∗|x0 F1(x0) = 2 и, следовательно, хотя бы одна из функций
γ11, γ12 отлична от нуля в точке z = 0. Не ограничивая общности рассуждений, предполо-
жим, что γ12(0) = 0. Это предположение позволяет записать выражение (11) в виде
{
}
γ11
∂
∂
∂
Φ1∗F1 = span Φ1∗f0,
+
,
γ12 ∂z1
∂z2
∂z3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
525
Из сравнения (9) вытекает, что
)
{
}
det γ
∂
(γ11
∂
∂
∂
Φ1∗f0 =
+γ02
+
mod
(12)
γ12 ∂z1
γ12 ∂z1
∂z2
∂z3
В силу определения множества S с учётом сравнения (12) получаем, что S = {z ∈ R3 :
det γ(z) = 0}. Из соотношения (8) вытекает, что векторное поле ∂/∂z3 является касательным
к поверхности S. Отметим, что из равенств γ01(0) = γ02(0) = 0 следует равенство det γ(0) = 0.
Отсюда заключаем, что 0 ∈ S.
Так как функция (det γ)/γ12 равна нулю на поверхности S и векторное поле ∂/∂z3 яв-
ляется касательным к S, то на поверхности S имеет место равенство
(detγ)′
= 0.
γ
12
z3
Перепишем его в виде
(
)′
γ11
γ01 -
γ02
= 0, z ∈ S.
γ
12
z3
Учитывая обозначения (10), приходим к равенству
(γ11)′
γ02 = 0, z ∈ S.
(13)
γ
12
z3
Пусть V (0) - окрестность точки z = 0, в которой функция γ12 не обращается в нуль. По-
кажем, что (γ11/γ12)′z3 = 0 на множестве S
⋂V (0). Предположим, что в некоторой точке z0 ∈
∈S
⋂V (0) выполнено соотношение (γ11/γ12)′z
(z0) = 0. Вследствие непрерывности функции
3
(γ11/γ12)′z3 это означает, что соотношение (γ11/γ12)′z3 = 0 выполнено и в некоторой окрестно-
сти W (z0) точки z0. Всегда можем считать, что W (z0) целиком содержится в V (0). В силу
соотношения (13) получаем, что на множестве S
⋂W(z0) выполнено равенство γ02 = 0. Так
как векторное поле ∂/∂z3 является касательным к S, то на участке поверхности S, который
расположен в W (z0), имеет место равенство (γ02)′z3 = 0, или, что то же самое, γ12 = 0. По-
лученное противоречие доказывает, что (γ11/γ12)′z3 = 0 на множестве S
⋂V (0), в том числе
и в точке z = 0.
В силу сравнения (12) модуль Φ1∗F2 имеет вид
{[
]
[
]}
∂
γ11
∂
∂
∂
γ11
∂
∂
Φ1∗F2 = Φ1∗F1 + span detγ
,
+
,
,
+
∂z1
γ12 ∂z1
∂z2
∂z3
γ12 ∂z1
∂z2
Поскольку
[
]
∂
γ11
∂
∂
(γ11)′
∂
,
+
=
,
∂z3
γ12 ∂z1
∂z2
γ12
∂z1
z3
(γ11/γ12)′z3 (0) = 0 и dim Φ1∗|x0 F2(x0) = 3, то
{[
]}
∂
γ11
∂
∂
Φ1∗F2 = Φ1∗F1 + span detγ
,
+
∂z1
γ12 ∂z1
∂z2
Введём обозначение
γ11
∂
∂
ξ=
+
γ12 ∂z1
∂z2
Так как
[
]
[
]
∂
γ11
∂
∂
∂
∂
det γ
,
+
= det γ
,ξ
- ξ(det γ)
,
∂z1
γ12 ∂z1
∂z2
∂z1
∂z1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
526
ФЕТИСОВ
то
{
[
]
}
∂
∂
Φ1∗F2 = Φ1∗F1 + span det γ
,ξ
- ξ(det γ)
∂z1
∂z1
Поскольку dim Φ1∗|x0 F2(x0) = 3 и det γ(0) = 0, то ξ(det γ)(0) = 0. С учётом вида векторного
поля ξ полученный результат означает, что по крайней мере одна из частных производных
(det γ)′z1 , (det γ)′z2 отлична от нуля в точке z = 0. Если (det γ)′z2 (0) = 0, то требуемое утвер-
ждение доказано. Если же (det γ)′ (0) = 0, тоz
2
γ11(0)
ξ(det γ)(0) =
(det γ)′
(0).
z1
γ12(0)
Так как ξ(det γ)(0) = 0, то γ11(0) = 0, (det γ)′ (0) = 0. Таким образом, показано, что суще-z
1
ствует номер j ∈ {1, 2}, для которого выполнены неравенства γ1j (0) = 0, (det γ)′ (0) = 0.z
j
Далее будем предполагать, что имеют место соотношения γ12(0) = 0, (det γ)′ (0) = 0. Тог-z
2
да, согласно теореме о неявной функции, уравнение det γ(z) = 0 разрешимо относительно z2 в
окрестности точки z = 0 и может быть записано в этой окрестности в виде z2 = ψ(z1, z3), где
ψ - некоторая гладкая функция, удовлетворяющая условию ψ(0,0) = 0. Поскольку функция
z2 - ψ(z1,z3) равна нулю на поверхности S и векторное поле ∂/∂z3 является касательным
к S, то на поверхности S имеет место равенство
(z2 - ψ(z1, z3))′z
= 0.
3
Запишем его в виде
ψ′z
(z1, z3)|z2=ψ(z1,z3) = 0
3
и заметим, что поскольку функция ψ′z3 (z1, z3) не зависит от z2, то в окрестности точки z = 0
выполнено равенство
ψ′z
(z1, z3) = 0.
3
Следовательно, поверхность S в окрестности точки z = 0 задаётся уравнением z2 = ψ(z1), в
котором функция ψ удовлетворяет условию ψ(0) = 0. Из доказанного вытекает, что функция
det γ в окрестности точки z = 0 представима в виде det γ(z) = (z2 - ψ(z1))C(z), где C(z) -
некоторая гладкая функция. Из соотношения (det γ)′ (0) = 0 вытекает, что C(0) = 0. Отсюдаz
2
следует, что модуль Φ1∗F1 в окрестности точки z = 0 имеет вид
{
}
∂
γ11
∂
∂
∂
Φ1∗F1 = span (z2 - ψ(z1))
,
+
,
∂z1
γ12 ∂z1
∂z2
∂z3
Как показано выше, на участке поверхности S, расположенном в некоторой окрестности
точки z = 0, имеет место равенство (γ11/γ12)′z3 = 0, поэтому в окрестности точки z = 0
функция (γ11/γ12)′ представима в видеz
3
(γ11)′
= (z2 - ψ(z1))B(z),
γ12
z3
где B(z) - некоторая функция, гладкая в окрестности точки z = 0. Интегрируя полученное
равенство по переменной z3, находим
γ11(z)
= (z2 - ψ(z1))D(z) + ϕ(z1, z2),
(14)
γ12(z)
где D(z), ϕ(z1, z2) - некоторые гладкие функции. Модуль Φ1∗F1, таким образом, принимает
вид
{
}
∂
∂
∂
∂
Φ1∗F1 = span (z2 - ψ(z1))
, ((z2 - ψ(z1))D(z) + ϕ(z1, z2))
+
,
∂z1
∂z1
∂z2
∂z3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
527
Вычитая из второй образующей первую образующую, умноженную на D(z), получаем
{
}
∂
∂
∂
∂
Φ1∗F1 = span (z2 - ψ(z1))
,
+ ϕ(z1, z2)
,
∂z1
∂z2
∂z1
∂z3
Из сравнения (12) и равенства (14) вытекает, что
{
}
∂
∂
∂
∂
Φ1∗f0 = (z2 - ψ(z1))ε00
mod
+ ϕ(z1, z2)
,
,
∂z1
∂z2
∂z1
∂z3
где
C
ε00 =
+γ02D.
γ12
Так как C(0) = 0 и γ02(0) = 0, то ε00(0) = 0.
Выпрямляя векторное поле ∂/∂z2 + ϕ(z1, z2)∂/∂z1, оставляя для упрощения записи преж-
ние обозначения z1, z2, z3 для переменных состояния и опуская специальное обозначение
для выпрямляющего диффеоморфизма, представим модуль Φ1∗F1 в виде
{
}
∂
∂
∂
Φ1∗F1 = span (z2
ψ(z1))
,
,
,
(15)
∂z1
∂z2
∂z3
где
ψ(z1) - гладкая функция, удовлетворяющая условию
ψ(0) = 0,
{
}
∂
∂
∂
Φ1∗f0 = (z2
ψ(z1))ε00
mod
,
,
(16)
∂z1
∂z2
∂z3
ε00 - гладкая функция такая, что ε00(0) = 0.
Рассмотрим диффеоморфизм Φ2, задаваемый равенствами
y1 = z1, y2 = z2
ψ(z1), y3 = z3.
Отметим, что поскольк
ψ(0) = 0, то Φ2(0) = 0. Установим образы при отображении Φ2∗ век-
торных полей, порождающих, согласно равенству (15), модуль Φ1∗F1. Обозначим через Φ12
композицию диффеоморфизмов Φ1 и Φ2, т.е. Φ12 = Φ2 ◦Φ1. Матрица Якоби отображения Φ2
имеет вид
⎛
⎞
1
0
0
∂Φ2
⎠.
=⎝
ψ′
1
0
∂z
0
0
1
Следовательно,
(
)
(
)
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Φ2∗
=
ψ′(y1)
+
,
Φ2∗
=
,
Φ2∗
=
∂z1
∂y2
∂y1
∂z2
∂y2
∂z3
∂y3
Так как
(
)
(
)
{
}
∂
∂
∂
∂
∂
Φ2∗ (z2
ψ(z1))
=y2
ψ′(y1)
+
=y2
mod
,
(17)
∂z1
∂y2
∂y1
∂y1
∂y2
то модуль Φ12∗F1 принимает вид
{
}
∂
∂
∂
Φ12∗F1 = span y2
,
,
∂y1
∂y2
∂y3
Из сравнений (16) и (17) следует, что
{
}
∂
∂
∂
Φ12∗f0 = ε00y2
mod
,
,
∂y1
∂y2
∂y3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
528
ФЕТИСОВ
где ε00 - гладкая функция, удовлетворяющая условию ε00(0) = 0. Отсюда, в свою очередь,
вытекает сравнение
(
)
{
}
∂
∂
∂
Φ12∗f0 = ε00 y2
+μ
mod
,
(18)
∂y1
∂y2
∂y3
в котором μ - некоторая гладкая функция. Из доказанного следует также равенство
∂
Φ12∗f = ε11
,
(19)
∂y3
где ε11 - гладкая функция, удовлетворяющая условию ε11(0) = 0.
Поскольку ε00(0) = 0 и ε11(0) = 0, то из равенства Φ12∗F0 = span {Φ12∗f0, Φ12∗f} выте-
кает соотношение
{
}
∂
∂
∂
Φ12∗F0 = span y2
+μ
,
(20)
∂y1
∂y2
∂y3
Из условия dim Φ12∗|x0 F0(x0) = 1 следует, что μ(0) = 0.
Покажем, что μ′y3 (0) = 0. Действительно, модуль Φ12∗F1 представим в виде
{[
]}
∂
∂
∂
Φ12∗F1 = Φ12∗F0 + span
,y2
+μ
∂y3
∂y1
∂y2
Из равенств
[
]
∂
∂
∂
∂
,y2
+μ
=μ′
∂y3
∂y1
∂y2
y3 ∂y2
и dim Φ12∗|x0F1(x0) = 2 вытекает, что μ′
(0) = 0.
y3
Рассмотрим диффеоморфизм Φ3, задаваемый равенствами
y1 = y1, y2 = y2, y3 = μ(y).
Так как μ(0) = 0, то Φ3(0) = 0. Найдём образы при отображении Φ3∗ векторных полей,
порождающих модуль Φ12∗F0. Пусть Φ - композиция диффеоморфизмов Φ12 и Φ3, т.е. Φ =
= Φ3 ◦ Φ12. Матрица Якоби отображения Φ3 имеет вид
⎛
⎞
1
0
0
∂Φ3
=⎝ 0
1
0
⎠.
∂y
μ′y1
μ′y2
μ′
y3
Следовательно,
(
)
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
Φ3∗
=
+μ′y
(Φ-13(y))
,
i = 1,2, Φ3∗
=μ′y
(Φ-13(y))
∂yi
∂yi
i
∂y3
∂y3
3
∂y3
Поскольку
(
)
(
)
(
)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Φ3∗ y2
+μ
=y2
+μ′y
(Φ-13(y))
+ μ(Φ-13(y))
+μ′y
(Φ-13(y))
,
1
2
∂y1
∂y2
∂y1
∂y3
∂y2
∂y3
то в силу равенства μ(Φ-13(y)) = y3 будем иметь
(
)
{
}
∂
∂
∂
∂
∂
Φ∗ y2
+μ
=y2
+y3
mod
∂y1
∂y2
∂y1
∂y2
∂y3
В силу соотношения (20) и того, что μ′ (0) = 0, получаемy
3
{
}
∂
∂
∂
Φ∗F0 = span y2
+y3
,
∂y1
∂y2
∂y3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
529
Из равенства (19) вытекает, что
∂
Φ∗f = ε11
,
∂y3
а из сравнения (18) - равенство
(
)
∂
∂
∂
Φ∗f0 = ε00 y2
+y3
+ε01
,
∂y1
∂y2
∂y3
в котором ε00, ε01, ε11 - гладкие функции, удовлетворяющие условиям ε00(0) = 0, ε11(0) = 0.
Таким образом, установлено, что
⎛
⎞
(
)
∂
y2
+y3 ∂
Φ∗f0
∂y1
∂y2
= ε(y)⎝
⎠,
Φ∗f
∂
∂y3
где
(
)
ε00
ε01
ε=
0
ε11
Так как ε00(0) = 0, ε11(0) = 0, то det ε(0) = 0. Используя формулу (7), окончательно прихо-
дим к представлению
⎛
⎞
(
)
∂
y2
+y3 ∂
Φ∗f0
∂y1
∂y2
= β-1(Φ-1(y))ε(y)⎝
⎠.
(21)
Φ∗f1
∂
∂y3
Введём в рассмотрение матрицу
A = (αij)i,j=0,1 по формуле
A(y) = β-1(Φ-1(y))ε(y).
Поскольку обе матрицы в правой части этого равенства невырождены в точке y = 0, то и
матрица
A(y) невырождена в точке y = 0. Из представления (21) вытекает, что диффеомор-
физм Φ преобразует в некоторой окрестности U(x0) точки x0 систему (5) в систему
y1 = α00(y)y2 + α10(y)y2u,
y2 = α00(y)y3 + α10(y)y3u,
y3 = α01(y) + α11(y)u.
(22)
Несложно видеть, что замена независимой переменной
˙τ = α00(y) + α10(y)u
и замена управления
α01(y) + α11(y)u
v=
α00(y) + α10(y)u
преобразуют систему (22) на множестве Myu = {(y, u) : y ∈ Φ(U(x0)), α00(y) + α10(y)u = 0} в
линейную управляемую систему (6), ограниченную на множество
Myv = {(y,v) : y ∈ Φ(U(x0)), α11(y) - α10(y)v = 0}.
Отметим, что матрица A из определения A-орбитальной эквивалентности по обратной связи
и состоянию связана с матрицей
A соотношением A(x)
Aт(Φ(x)).
Необходимость. Пусть системы (5) и (6) A-орбитально эквивалентны в паре точек (x0, 0).
Системе (6) соответствуют векторные поля
∂
∂
∂
h0 = y2
+y3
,
h1 =
,
∂y1
∂y2
∂y3
7
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
530
ФЕТИСОВ
порождающие модуль H = span {h0, h1}. A-орбитальная эквивалентность систем (5) и (6)
в паре точек (x0, 0) означает, что существуют окрестности U(x0) и V (0), матрица A =
= (αij )i,j=0,1, αij
∈ C∞(U(x0)), i,j = 0, 1, невырожденная в U(x0), и диффеоморфизм
Φ : U(x0) → V (0), удовлетворяющие условиям Φ(x0) = 0 и
(
)
(
(
))
h0
f0
= Φ∗ (A-1)т
h1
f1
Из последнего равенства следует представление
(
)
(
)
f0
h0
Φ∗
= Aт(Φ-1(y))
,
f1
h1
означающее, что заменой переменных y = Φ(x) система (5) преобразуется в систему
y =
= g0(y) + g1(y)u, где
g0 = α00(Φ-1(y))h0 + α10(Φ-1(y))h1, g1 = α01(Φ-1(y))h0 + α11(Φ-1(y))h1.
Так как матрица A(x) невырождена при x ∈ U(x0), то матрица Aт(Φ-1(y)) невырождена
при y ∈ V (0). Поэтому в окрестности точки y = 0 модуль, порождённый векторными полями
g0 и g1, совпадает с модулем H. Таким образом, Φ∗F = H. Построение производного флага
модуля H даёт следующий результат:
{
}
{
}
∂
∂
∂
∂
∂
∂
H0 = H, H1 = span y2
,
,
,
H2 =
,
,
∂y1
∂y2
∂y3
∂y1
∂y2
∂y3
Нетрудно видеть, что dim H0(0) = 1, dim H1(0) = 2, dim H2(0) = 3. Отсюда вытекает, что
имеют место равенства d0 = 1, d1 = 2, d2 = 3.
Множество Sy = {y ∈ R3 : dim H1(y) < 3}, очевидно, принимает вид Sy = {y ∈ R3 : y2 = 0}.
Поскольку h1y2 = 0, то векторное поле h1 ∈ H является касательным к поверхности Sy.
Из доказанного следует, что в качестве векторного поля f из условия теоремы может быть
взято векторное поле Φ-1∗h1.
3. Алгоритм линеаризации. Из доказательства достаточности теоремы вытекает сле-
дующий алгоритм преобразования системы (5) в систему (6).
Построим производный флаг модуля F = span {f0, f1}, т.е. найдём модули F0, F1 и F2.
Вычислим размерности dk = dim Fk(x0), k = 0, 1, 2, и проверим выполнение равенств d0 = 1,
d1 = 2, d2 = 3. Построим множество S = {x ∈ R3 : dimF1(x) < 3} и найдём векторное поле
f ∈ F, касательное к S и отличное от нуля в точке x0.
Определим независимые первые интегралы z1 и z2 векторного поля f в окрестности
точки x0. Дополним z1 и z2 функцией z3 до системы функций, независимых в окрестности
точки x0. Выберем все функции zi такими, чтобы выполнялись равенства zi(x0) = 0, i =
= 1, 2, 3. Обозначим через Φ1 диффеоморфизм, задаваемый системой функций
z1 = z1(x), z2 = z2(x), z3 = z3(x).
Из равенства d0 = 1 следует, что найдётся номер k ∈ {0, 1} такой, что fk(x0) = 0. Найдём
образ векторного поля f1-k при отображении Φ1∗ :
{
}
∂
∂
∂
Φ1∗f1-k = γ01
+γ02
mod
,
∂z1
∂z2
∂z3
положим γ11 = (γ01)′z3 , γ12 = (γ02)′z3 и обозначим γ = (γij )i=0,1;j=1,2. Как показано в доказа-
тельстве теоремы, хотя бы для одного номера j ∈ {1, 2} выполнены соотношения γ1j(0) = 0,
(det γ)′
(0) = 0. В дальнейших рассуждениях будем предполагать, что j = 2. Тогда уравнение
zj
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
531
det γ(z) = 0 в окрестности точки z = 0 разрешимо относительно z2. Как показано в дока-
зательстве теоремы, при этом получается соотношение вида z2 = ψ(z1), где ψ - некоторая
гладкая функция.
В доказательстве теоремы показано, что существуют гладкие функции D(z) и ϕ(z1, z2),
для которых имеет место равенство (14). Пусть z1 = σ(z1, z2), z2 = z2, z3 = z3 - диффеомор-
физм, выпрямляющий векторное поле ∂/∂z2 + ϕ(z1, z2)∂/∂z1. Положим
y1 = σ(z1(x),z2(x)), y2 = z2(x) - ψ(z1(x)).
Вычислим производную y1 функции y1 в силу системы (5) и разделим её на y2. В результате
получим соотношение вида
y1
= α00(x) + α01(x)u,
y2
в котором α00 и α01 - некоторые функции, являющиеся, как показано в доказательстве тео-
ремы, гладкими в окрестности точки x0. Вычислим производную
y2 функции y2 в силу
системы (5) и положим
y2
y3 =
α00(x) + α01(x)u
Как показано в доказательстве теоремы, функция y3 зависит только от состояния x и явля-
ется гладкой в окрестности точки x0. Наконец, вычислим производную функции y3 в силу
системы (5):
y3 = α10(x) + α11(x)u.
Функции y1, y2 и y3 задают линеаризующий диффеоморфизм Φ в пространстве состоя-
ний, а функции αij , i, j = 0, 1, - матрицу A, которая определяет линеаризующие замены
управления и независимой переменной.
4. Пример. Покажем, что система
x1 = u,
x2 = x3 + x31 + (2x1 - x2x3 - x31x2)u,
x3 = x1 - (x1x2 + 3x21)u
(23)
A-орбитально эквивалентна системе (6) в паре точек (0, 0) и построим линеаризующие пре-
образования. Отметим, что точка x = 0 является положением равновесия системы (23).
Системе (23) соответствуют векторные поля
∂
∂
∂
∂
∂
f0 = (x3 + x31)
+x1
,
f1 =
+ (2x1 - x2x3 - x31x2)
- (x1x2 + 3x21)
∂x2
∂x3
∂x1
∂x2
∂x3
и модуль F = span {f0, f1}. Построим производный флаг модуля F. По определению F0 = F.
Очевидно, что dim F0(0) = 1. Вычисления показывают, что векторное поле adf0 f1 имеет вид
∂
∂
adf0 f1 = -(x3 + x31)2
- (1 + x1x3 + x41)
∂x2
∂x3
Так как adf0 f1 ∈ F0, то F1 = span {f0, f1, adf0 f1}. Нетрудно проверить, что dim F1(0) = 2.
Векторные поля ad2f
f1 и [f1, adf0 f1] имеют вид
0
∂
∂
ad2f
f1 = (1 - x1x3 - x41)
-x2
,
0
1
∂x2
∂x3
∂
∂
[f1, adf0 f1] = (-x2 + x1x2x3 + x41x2 - (x3 + x31)3)
+ (-x3 - x31 + x21x2 - x1(x3 + x31)2)
∂x2
∂x3
Непосредственная проверка показывает, что ad2f
f1 ∈ F1 и
0
[f1, adf0 f1] = -x2ad2f
f1 + (x3 + x31)adf0f1.
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
7∗
532
ФЕТИСОВ
Следовательно, F2 = span {f0, f1, adf0 f1, ad2f
f1}. Нетрудно убедиться, что dimF2(0) = 3.
0
Таким образом, условие 1) теоремы выполнено.
Построим множество S. Чтобы найти множество точек x, в которых dim F1(x) < 3, при-
равняем к нулю определитель, столбцами которого являются столбцы координат векторных
полей f0, f1, adf0 f1. В результате получим уравнение
0
1
0
x3 + x31
2x1
0
=0,
x1
-3x21
-1
или x3 + x31 = 0. Следовательно, S = {x ∈ R3 : x3 + x31 = 0}. Проверим, найдётся ли в модуле
F векторное поле f, отличное от нуля в точке x = 0 и касательное к поверхности S. Будем
искать поле f в виде f = β0f0 + β1f1, где функции β0, β1 необходимо найти. В силу условия
f (x3 + x31) = 0, x ∈ S, получаем равенство β0f0(x3 + x31) + β1f1(x3 + x31) = 0, x ∈ S, которое
приводит к соотношению β0x1 - β1x1x2 = 0, x ∈ S. Найденное соотношение превращается
в тождество (выполненное не только на поверхности S, но и всюду в R3), если положить,
например, β0 = x2, β1 = 1. Отсюда следует, что в качестве векторного поля f можно взять
поле
∂
∂
∂
f =x2f0 +f1 =
+ 2x1
- 3x2
1
∂x1
∂x2
∂x3
Двумя независимыми первыми интегралами векторного поля f являются, например, функ-
ции z1 = x2 - x21 и z2 = x3 + x31. Дополним z1 и z2 функцией z3 = x1 до системы из трёх
независимых функций и рассмотрим диффеоморфизм Φ1, задаваемый равенствами
z1 = x2 - x21, z2 = x3 + x31, z3 = x1.
Поскольку f1(0) = 0, то необходимо найти образ векторного поля f0 при касательном отоб-
ражении Φ1∗. Так как матрица Якоби отображения Φ1 имеет вид
⎛
⎞
-2x1
1
0
∂Φ1
=⎝ 3x21
0
1⎠,
∂x
1
0
0
то
∂
∂
Φ1∗f0 = z2
+z3
∂z1
∂z2
Из полученного представления вытекает, что γ01 = z2, γ02 = z3. Следовательно, γ11 = 0,
γ12 = 1 и detγ(z) = z2. Равенство detγ(z) = 0 эквивалентно соотношению z2 = 0. Сле-
довательно, ψ(z1) = 0. Представление (14) выполнено с D(z) = 0, ϕ(z1, z2) = 0. Так как
ϕ = 0, то диффеоморфизм, выпрямляющий векторное поле ∂/∂z2 + ϕ(z1,z2)∂/∂z1, является
тождественным отображением. Первые два соотношения, задающие линеаризующую замену
состояния, имеют, таким образом, вид y1 = z1(x), y2 = z2(x) или, что то же самое, y1 = x2 -x21,
y2 = x3 + x21.
Чтобы завершить нахождение линеаризующих преобразований, осталось найти функцию
y3 и матрицу A. Вычисления показывают, что производная функции y1 в силу системы (23)
имеет вид y1 = x3 + x31 - x2(x3 + x31)u. Следовательно, y1/y2 = 1 - x2u. Отсюда вытекает, что
α00 = 1, α01 = -x2 и
y2
x1 - x1x2u
y3 =
=
=x1.
1-x2u
1-x2u
Так как производной функции y3 в силу системы (23) будет y3 = u, то α10 = 0, α11 = 1.
Таким образом, линеаризующая замена состояния в системе (23) задаётся равенствами
y1 = x2 - x21, y2 = x3 + x21, y3 = x1,
(24)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
ОБ А-ОРБИТАЛЬНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ
533
а матрица A, определяющая линеаризующие замены управления и независимой переменной,
имеет вид
(
)
1
-x2
A=
0
1
Нетрудно проверить, что заменой состояния (24), заменой управления v = u/(1 - x2u) и
заменой независимой переменной
τ = 1 - x2u система (23) преобразуется на множестве
Mxu = {(x,u) : x ∈ R3,
1 - x2u = 0}
в линейную управляемую систему (6), ограниченную на множество
Myv = {(y,v) : y ∈ R3,
1 + (y1 + y23)v = 0}.
В заключение отметим, что поскольку f1(x3 + x31) = -x1x2, то векторное поле f1 не
является касательным к поверхности S. Следовательно [6], системы (23) и (6) не являют-
ся орбитально эквивалентными по обратной связи и состоянию в паре точек (0, 0). Таким
образом, применение замен независимой переменной, зависящих от управления, позволило
линеаризовать систему, не линеаризуемую орбитально.
Заключение. Для трёхмерных аффинных систем в работе получено необходимое и до-
статочное локальное условие A-орбитальной эквивалентности по обратной связи и состоя-
нию линейной управляемой системе, рассматриваемой в окрестности положения равновесия.
Найденное условие позволяет распространить результаты в области A-орбитальной линеари-
зации на случай, когда векторные поля, соответствующие системе, порождают C∞-модуль
переменного ранга. Предложен алгоритм A-орбитальной линеаризации, с помощью которого
трёхмерная аффинная система может быть преобразована в линейную управляемую систему,
рассматриваемую в окрестности положения равновесия.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-
следований (проект 20-07-00279).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Brockett R.W. Feedback invariants for nonlinear systems // Proc. of IFAC Congress. Helsinki, 1978.
P. 1115-1120.
2. Jakubczyk B., Respondek W. On linearization of control systems // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math.
1980. V. 28. P. 517-522.
3. Hunt L.R., Su R. Linear equivalents of nonlinear time-varying systems // Proc. of the MTNS. 1981.
P. 119-123.
4. Krener A. Approximate linearization by state feedback and coordinate change // Systems and Contr.
Lett. 1984. № 5. P. 181-185.
5. Isidori A. Nonlinear Control Systems. London, 1995.
6. Respondek W. Orbital feedback linearization of single-input nonlinear control systems // Proc. of the
IFAC Symposium on Nonlinear Control Systems. Enschede, 1998. P. 499-504.
7. Guay M. An algorithm for orbital feedback linearization of single-input control affine systems // Systems
and Contr. Lett. 1999. V. 38. № 4-5. P. 271-281.
8. Li S.-J., Respondek W. Orbital feedback linearization for multi-input control systems // Int. J. of Robust
and Nonlin. Contr. 2015. V. 25. P. 1352-1378.
9. Фетисов Д.А. Линеаризация аффинных систем на основе замен независимой переменной, завися-
щих от управления // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 11. С.1514-1525.
10. Fetisov D.A. A-orbital feedback linearization of multiinput control affine systems // Int. J. of Robust
and Nonlin. Contr. 2020. V. 30. № 14. P. 5602-5627.
11. Фетисов Д.А. А-орбитальная линеаризация аффинных систем // Дифференц. уравнения. 2018.
Т. 54. № 11. С. 1518-1532.
12. Fetisov D.A. On some approaches to linearization of affine systems // IFAC-PapersOnline. 2019. V. 52.
№ 16. P. 700-705.
Московский государственный технический университет
Поступила в редакцию 30.01.2022 г.
им. Н.Э. Баумана
После доработки 30.01.2022 г.
Принята к публикации 09.03.2022 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58
№4
2022
