ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2022, том 58, № 4, с.534-544

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

СТАБИЛИЗИРУЮЩИХ РЕГУЛЯТОРОВ

ДЛЯ ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Для переключаемых интервальных линейных систем установлены достаточные условия

существования стабилизирующих регуляторов. В частности, для переключаемой интер-

вальной системы с режимами различных порядков условие существования стабилизатора

в форме статической обратной связи по состоянию сводится к разрешимости системы ли-

нейных матричных неравенств, а для переключаемой интервальной системы с медленными

переключениями условие существования цифрового стабилизирующего регулятора в фор-

ме динамической обратной связи по выходу сформулировано в терминах разрешимости

системы нелинейных матричных неравенств.

DOI: 10.31857/S0374064122040094, EDN: CAGTXK

1. Достаточное условие существования статического регулятора. В работе [1] рас-

сматривалась задача стабилизации переключаемой интервальной системы с режимами раз-

личных динамических порядков

x(σ) = [A_σ]x(σ) + [b_σ]u, σ ∈ S(Ω), Z(Ω) = {Z_ij ∈ Rni×nj : (i,j) ∈ Ω},

(1)

где σ : R₊ → I = {1, . . . , m} - кусочно-постоянная функция (переключающий сигнал) с ко-

нечным числом разрывов (переключений) на любом конечном промежутке, I - множество

индексов, нумерующих режимы функционирования системы (1); [A_σ] = [A] ◦ σ - композиция

отображения [A] : I → {[A₁], . . . , [A_m]}

([A_i] ∈ Rni×ni ) и переключающего сигнала σ, [bσ] =

= [b]◦σ - аналогичная композиция для отображения [b] : I → {[b₁], . . . , [b_m]} ([bi] ∈ Rni ); пары

интервальных матриц ([A_i], [b_i]), i = 1, m, определяют режимы функционирования системы

(1); u ∈ R¹ - управляющий скалярный вход; Ω ⊆ I × I - множество, определяющее допу-

стимые переключения между режимами, т.е. пара индексов (i, j) принадлежит множеству Ω,

если и только если возможно переключение с j-го на i-й режим функционирования; S(Ω) -

множество допустимых переключающих сигналов σ, т.е. если σ ∈ S(Ω), то для любой его

точки разрыва t такой, что

lim σ(t) = j,

lim σ(t) = i,

t→t-0

t→t+0

выполняется условие (i, j) ∈ Ω.

Под i-м режимом функционирования системы (1) понимается динамическая система

x(i) = [A_i]x(i) + [b_i]u.

При этом предполагается, что, в общем случае, режимы имеют различные динамические по-

рядки, определяемые векторами состояния

x(i) = (xj1,... ,xjn

)∈Rni, j₁ <...<jni,

{j₁, . . . , jni } ⊆ {1, . . . , n},

где n = max{jn1 , . . . , jnm }. Таким образом, Rni ⊆ Rⁿ для каждого i = 1, m. Обозначим

упорядоченный набор индексов {j₁, . . . , jni } через Γ_i, а множество {1, . . . , n} через Γ. Далее

будем обозначать через x(i) вектор из Rⁿ, все компоненты которого с индексами из множества

534

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

535

Γ\Γ_i равны нулю. Заметим, что если для различных режимов (i-го и j-го) совпадают наборы

переменных состояния, то в этом случае Γ_i = Γ_j.

В силу кусочной непрерывности функции σ(t) переходы между режимами осуществляют-

ся скачкообразно, а движение переключаемой системы в каждый момент времени определя-

ется активным режимом. Для согласования перехода между различными режимами задаётся

множество Z(Ω), состоящее из матриц преемственности Z_ij ∈ Rni×nj , (i, j) ∈ Ω [1]. Каждая

такая матрица Z_ij определяет линейное преобразование конечного состояния предыдущего

j-го режима x(j)(t_ij ) в начальное состояние текущего i-го режима x(i)(t_ij ) (t_ij - момент

переключения между j-м и i-м режимами), т.е.

x(i)(t_ij) = Z_ijx(j)(t_ij).

Более точно,

x(j)(t_ij) = lim

x(j)(t), x(i)(t_ij) = lim x(i)(t).

t→t_ij -0

t→t_ij +0

В работе [1] введено понятие S(Ω)-устойчивости для системы (1) и исследована задача

поиска S(Ω)-стабилизирующего регулятора в форме статической обратной связи по состоянию

u = -k^тx (x ∈ Rⁿ).

В результате в [1] показано, что данная задача стабилизации в соответствии с методом

динамического расширения может быть сведена к задаче стабилизации интервальной системы

с режимами одинаковых порядков

A_σ]x + [bσ]u, σ ∈ S(Ω),

Z(Ω) =

Z_ij ∈ R^n×n : (i,j) ∈ Ω}.

(2)

Замыкая систему (2) обратной связью u = -k^тx, приходим к задаче поиска такого вектора

k = (k₁,...,k_n)^т, который обеспечивает S(Ω)-устойчивость системы

x=(

A_σ] - [bσ]k^т)x, σ ∈ S(Ω),

Z(Ω) =

Z_ij ∈ R^n×n : (i,j) ∈ Ω}, x ∈ Rⁿ,

(3)

или, что то же самое, семейства переключаемых систем вида

A_σ -bσk^т)x, σ ∈ S(Ω),

Z(Ω) =

Z_ij ∈ R^n×n : (i,j) ∈ Ω},

где

A_i ∈

A_i],

bi ∈ [^bi].

В [1] сформулировано также достаточное условие устойчивости системы (3) при заданном

векторе k (теорема 1), которое предполагает переход от системы (3) к её интервальному

расширению

x = [Λσ(k)]x

(4)

и проверке существования единой функции Ляпунова для семейства линейных стационарных

систем, матрицы которых образуют множество вершинных матриц для всех режимов систе-

мы (4).

Заметим, что это условие позволяет сформулировать конструктивное достаточное условие

существования стабилизирующей обратной связи u = -k^тx для системы (2) в случае, когда

[b_i] = b_i, i = 1, m. Однако оно не позволяет сформулировать эффективный алгоритм нахож-

дения вектора k стабилизирующей обратной связи в случае интервальных векторов [b_i].

В настоящей работе предлагается конструктивный алгоритм поиска стабилизирующего ре-

гулятора вида u = -k^тx для переключаемой интервальной системы (2) с режимами одинако-

вых порядков n и импульсными эффектами (скачкообразное изменение текущего состояния

системы при переключениях). Этот алгоритм основан на некотором достаточном условии су-

ществования стабилизирующей обратной связи по состоянию u = -k^тx для системы (2).

Рассмотрим вначале задачу стабилизации интервальной системы

x = [A]x + [b]u

(5)

с помощью обратной связи u = -k^тx. Здесь [A] = ([a_ij, a_ij])ni,j=1,

[b] = ([bⁱ, bⁱ])ni=1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

536

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

Указанную задачу можно переформулировать следующим образом: найти вектор

k = (k₁,...,k_n)^т

такой, что для любого вектора параметров

w = (g,s)^т,

где g = (g₁, . . . , g_n2 ), s = (s₁, . . . , s_n), g₁ ∈ [a₁₁, a₁₁], . . . , g_n ∈ [a1n, a1n], gn+1 ∈ [a₂₁, a₂₁], . . . ,

g2n ∈ [a2n,a2n], ..., g_n2_-n ∈ [an1,an1], ..., g_n2 ∈ [a_nn,a_nn], g_n2 ∈ [a_nn,a_nn], s₁ ∈ [b¹,b¹], ...,

s_n ∈ [bⁿ,bⁿ], система

x = Ψ(w,k)x

(6)

c матрицей

⎛

⎞

g₁ - s₁k₁

g_n - s₁k_n

⎜

gn+1 - s₂k₁ ... g2n - s₂k_n⎟

Ψ(w, k) =

⎝

⎠

g_n2-n+1 - snk1 ... gn2 - snkn

является асимптотически устойчивой.

Заметим, что множество матриц Ψ(w, k) при каждом фиксированном k ∈ Rⁿ и при всех

возможных значениях вектора w образует выпуклое множество в пространстве R^n×n.

Действительно, поставим в соответствие матрице

Ψ(w, k) = (ψ_ij (w, k))ni,j=1

вектор

ψ(w, k) = (ψ₁₁(w, k), . . . , ψ1n(w, k), ψ₂₁(w, k), . . . , ψ2n(w, k), . . . , ψn1(w, k), . . . , ψ_nn(w, k))^т.

Другими словами, вектор ψ(w, k) фактически является “развёрткой” матрицы Ψ(w, k) по

строкам. Несложно заметить, что векторы ψ(w, k) и w связаны линейным соотношением

ψ(w, k) = Θ(k)w,

(7)

в котором матрица Θ(k) ∈ R(n2+n)×(n2+n) имеет вид

⎛

⎞

I_n O_n ... O_n

-k o_n

o_n

⎜On In

o_n

-k o_n ... o_n

⎟

Θ(k) =

⎝

⎠.

O_n ... O_n I_n o_n

o_n

-k

Здесь I_n - единичная матрица порядка n, O_n - нулевая матрица порядка n, а o_n - нулевой

вектор-столбец размерности n.

Введём следующие обозначения: e_i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)^т - единичный вектор размерно-

сти n, i-я компонента которого равна 1, а E_i =

⁽O_n ... O_n I_n O_n ... O_n)^т ∈ Rn2+ⁿ -

единичный блочный вектор-столбец, i-й блок которого - единичная матрица порядка n.

Используя соотношение (7) и введённые обозначения, представим матрицу Ψ(w, k) следу-

ющим образом:

∑

Ψ(w, k) = e_jψ^т(w, k)E_j =

e_jw^тΘ^т(k)E_j.

(8)

j=1

Теперь заметим, что множество D допустимых параметров w образует параллелотоп в

пространстве Rn2+ⁿ, являющийся выпуклой оболочкой конечного набора его вершин p_i, т.е.

D = Conv{p_i : i = 1,2n2+ⁿ}.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

537

При этом вершины p_i представляются векторами, содержащими в качестве изменяющихся

компонент всевозможные сочетания нижних и верхних границ соответствующих промежутков

[a_ij, a_ij] и

[bⁱ, bⁱ]. Тогда любой вектор w ∈ D записывается в виде линейной комбинации

∑

λ_ip_i, λ_i ≥ 0,

λ_i = 1.

(9)

i=1

Вследствие представлений (8) и (9) получаем

)т

(₂n2+n_∑

)

∑

Ψ(w, k) = e_j

λ_ip_i Θ^т(k)E_j =

λ_ie_jpтiΘ^т

(k)E_j

j=1

i=1

j=1

i=1

)

∑

λ_ie_jpтiΘ^т

(k)E_j

λ_i

e_jpтiΘ^т

(k)E_j

i=1

j=1

i=1

j=1

∑_n

Обозначим Ψ_i(k) =

e_jpтiΘ^т(k)E_j. Таким образом, получаем, что при любом w ∈ D

j=1

справедливо включение

Ψ(w, k) ∈ Conv {Ψ_i(k) : i = 1, 2n2+ⁿ}.

(10)

Заметим, что каждую матрицу Ψ_i(k) можно представить в виде Ψ_i(k) = F_i - g_ik, где F_i ∈

∈R^n×n, g_i ∈ Rⁿ.

Сформулируем достаточное условие существования стабилизирующей обратной связи для

системы (5).

Теорема 1. Пусть система линейных матричных неравенств

{

PFтi + F_iP + zgтi + g_iz^т < 0,

(11)

P > 0, i = 1,2n2+ⁿ,

имеет решение (z₀,P₀), z₀ ∈ Rⁿ, P₀ ∈ R^n×n, P^т0 = P₀. Тогда обратная связь u = -k^тx, где

k^т = -z^т0P-10, стабилизирует систему (5).

Доказательство. Действительно, пусть система линейных матричных неравенств (11)

имеет решение (z₀, P₀) и пусть k^т = -z^т0P-10. Тогда

P₀Fтi + F_iP₀ + z₀gтi + g_iz^т0 < 0.

(12)

Умножим неравенство (12) с двух сторон на положительно определённую матрицу P-10. В ре-

зультате получим

FтiP-10 + P-10F_i + P-10z₀gтiP-10 + P-10g_iz^т0P-10 < 0,

откуда следует, что

FтiP-10 + P-10F_i - kgтiP-10 - P-10g_ik^т < 0.

Таким образом, справедливо неравенство

(F_i - g_ik^т)^тP-10 + P-10(F_i - g_ik^т) < 0,

(13)

которое означает, что системы

x = (F_i - g_ik^т)x, i = 1,2n2+ⁿ,

асимптотически устойчивы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

538

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

Рассмотрим теперь для произвольного w ∈ D матрицу Ψ(w, k). В силу включения (10)

имеем

∑

Ψ(w, k) =

λ_iΨ_i(k), λ_i ≥ 0,

λ_i = 1.

i=1

Тогда

(₂n2+n_∑

)

)т

Ψ^т(w,k)P-10 + P-10Ψ(w,k) =

λ_iΨ_i(k) P-10 + P-1

λ_iΨ_i(k)

i=1

∑

λ_i(Ψтi(k)P-10 + P-10Ψ_i(k)).

i=1

Поэтому, учитывая неотрицательность λ_i и неравенство (13), получаем, что

Ψ^т(w,k)P-10 + P-10Ψ(w,k) < 0

для положительно определённой матрицы P-10. Это неравенство означает, что система (6)

асимптотически устойчива. Таким образом, обратная связь u = -k^тx стабилизирует систе-

му (5). Теорема доказана.

Вернёмся теперь к задаче S(Ω)-стабилизации системы (2).

Основываясь на результатах работы [1] и на рассуждениях, использованных при приведён-

ном выше доказательстве теоремы 1, можем сформулировать достаточное условие S(Ω)-ус-

тойчивости системы (3), которое содержит

Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия:

1) при некотором k ∈ Rⁿ существует единая функция Ляпунова V (x) = x^тHx (H > 0)

для семейства систем

x = Ψ(i)l(k)x, i = 1,m, l = 1,2n2+ⁿ,

где Ψ(i)l(k) =∑nj=1 e_j (p(i)l)^тΘ^т(k)E_j , Conv {p(i)l : l = 1, 2n²+n} = D_i - множество допустимых

векторов параметров w для i-го режима системы (2);

2) для матриц преемственности из множества

Z(Ω) системы (2) выполнены условия

(

)

H-1

Z_ijH-1

≥0

ZтijH-1

H-1

при всех (i,j) ∈ Ω. Тогда система (3) является S(Ω)-устойчивой.

Из теорем 1 и 2, а также из результатов работы [1] вытекает следующее достаточное условие

существования S(Ω)-стабилизирующей обратной связи для системы (2).

Теорема 3. Пусть для системы (2) разрешима система линейных матричных нера-

венств

⎧

⎪P (F(i)l)т + F(i)lP + z(g(i)l)т + g(i)lzт < 0, i = 1, m, l = 1, 2n2+n,

⎨

> 0,

(

)

(14)

⎪

Z_ijP

⎩

≥ 0, (i, j) ∈ Ω,

Zтij

где матрицы F(i)l и вектор-столбцы g(i)l таковы, что Ψ(i)l(k) = F(i)l - g(i)lk^т.

Тогда если пара (z₀, P₀) - решение системы (14), то обратная связь u = -k^тx, где k^т =

= -z^т0P-10, является S(Ω)-стабилизирующей для системы (2).

2. Достаточное условие существования динамического регулятора. В работе [2]

рассматривалась задача цифровой стабилизации переключаемой интервальной системы вида

{

x = [A_σ]x + [b_σ]u,

(15)

y = [c_σ]x, σ ∈ S_τ,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

539

где σ : R₊ → I = {1, . . . , m} - кусочно-постоянная функция (переключающий сигнал) с ко-

нечным числом разрывов (переключений) на любом конечном промежутке; S_τ - множество

переключающих сигналов σ, для которых время между любыми двумя соседними переклю-

чениями не меньше τ; x ∈ Rⁿ - вектор состояния, y ∈ R - измеряемый скалярный выход,

u ∈ R - управляющий вход; [A_σ] : I → {[A₁],...,[A_m]};

[b_σ] : I → {[b₁], . . . , [b_m]},

[c_σ] : I →

→ {[c₁], . . . , [c_m]}. Здесь [A_i],

[b_i], [ci] (i = 1, m) - интервальные матрицы соответствующих

размеров.

При этом поиск цифрового стабилизатора осуществлялся в классе дискретных динамиче-

ских обратных связей вида

{

v[(l + 1)T ] = Qv[lT ] + qy[lT ],

(16)

u[lT ] = Hv[lT ] + hy[lT ], v ∈ R^r,

где T - заданный период квантования по времени. При этом предполагалось, что переключа-

ющие сигналы σ системы (15) принадлежат множеству S_T (переключения сигнала σ могут

происходить только в моменты времени lT, l = 0, 1, . . .).

В работе [2] предложен алгоритм сведения указанной задачи стабилизации системы (15)

к задаче стабилизации специальным образом построенной дискретной переключаемой интер-

вальной системы (точной дискретизации системы (15))

{

x[(l + 1)T ] = [Λ^∗σ]x[lT ] + [μ^∗σ]u[lT ],

(17)

y[lT ] = [c_σ]x[lT ], σ ∈ [S]_T,T ,

дискретным регулятором (16).

В частности, одним из основных результатов работы [2] является конструктивное доста-

точное условие [S]_T,T -устойчивости системы (17), замкнутой регулятором (16), т.е. системы

{

x[(l + 1)T ] = ([Λ^∗σ] + [μ^∗σ]h[c_σ])x[lT ] + [μ^∗σ]Hv[lT ],

(18)

v[(l + 1)T ] = g[c_σ]x[lT ] + Qv[lT ], σ ∈ [S]_T,T .

При этом в [2] остался открытым вопрос об условиях существования стабилизирующего регу-

лятора вида (16), обеспечивающего [S]_T,T -устойчивость системы (18).

В настоящей работе на основании изложенного выше подхода и результатов работы [2]

сформулировано достаточное условие существования стабилизирующего регулятора для сис-

темы (17) (а следовательно, и для системы (15)) в случае, когда вектор cσ “точечный”, т.е.

[c_i] = c_i для всех i = 1, m. Данное условие, как и приведённая выше теорема 3, сформулиро-

вано на языке матричных неравенств.

Рассмотрим сначала задачу стабилизации по выходу дискретной интервальной системы

{

x[(l + 1)T ] = [A]x[lT ] + [b]u[lT ],

(19)

y[lT ] = cx[lT ], x ∈ Rⁿ, u, y ∈ R¹,

с помощью динамического регулятора

{

v[(l + 1)T ] = Qv[lT ] + qy[lT ],

(20)

u[lT ] = Hv[lT ] + hy[lT ], v ∈ R^r,

т.е. задачу поиска матрицы

(

)

Q q

Θ=

∈R(r+1)×(r+1),

(21)

H h

обеспечивающей устойчивость параметрически неопределённой системы

{

x[(l + 1)T ] = ([A] + [b]hc)x[lT ] + [b]Hv[lT ],

(22)

v[(l + 1)T ] = qcx[lT ] + Qv[lT ].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

540

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

Указанную задачу можно переформулировать следующим образом: найти матрицу Q =

= {q_ij}ri,j=1, векторы q = (q₁, . . . , q_r)^т, H = (h1, . . . , hr)т и константу h такие, что для

любого вектора параметров w = (g, s)^т, где g = (g₁, . . . , g_n2 ), s = (s₁, . . . , s_n), g₁ ∈ [a₁₁, a₁₁],

..., gn ∈ [a1n, a1n], gn+1 ∈ [a21, a21], . . . , g2n ∈ [a2n, a2n], . . . , gn2-n ∈ [an1, an1], . . . , gn2 ∈

∈ [a_nn, a_nn], g_n2 ∈ [a_nn, a_nn], s₁ ∈ [b¹, b¹], . . . , s_n ∈ [bⁿ, bⁿ], матрица

⎛

⎞

g₁ + s₁hc₁

g_n + s₁hc_n s₁h₁ ... s₁h_r

⎜

gn+1 + s₂hc₁ ... g2n + s₂hc_n s₂h₁ ... s₂h_r⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

Ψ(w, Θ) =

⎜gn2-n + snhc1 ... gn2 + snhcn snh1 ... snhr⎟

⎜

⎟

⎜

q₁c₁

q₁c_n

q₁₁

q1r

⎟

⎝

⎠

q_rc₁

q_rc_n

qr1

q_rr

является шуровской матрицей, или, что то же самое, дискретная система

(

)

(

)

x[(l + 1)T ]

x[lT ]

= Ψ(w,Θ)

v[(l + 1)T ]

v[lT ]

асимптотически устойчива.

Заметим, что множество матриц Ψ(w, Θ) при каждой фиксированной матрице (21) обра-

зует выпуклое множество в пространстве матриц R(n+r)×(n+r).

Действительно, как и выше (в п. 1), поставим в соответствие матрице

Ψ(w, Θ) = (ψ_ij (w, Θ))n+ri,j=1

вектор

ψ(w, Θ) = (ψ₁₁(w, Θ), . . . , ψ1,n+r(w, Θ), ψ₂₁(w, Θ), . . . , ψ2,n+r(w, Θ),

...,ψn+r,1(w,Θ),... ,ψn+r,n+r(w,Θ))^т,

который является “развёрткой” матрицы Ψ(w, Θ) по строкам. Далее заметим, что вектор

ψ(w, Θ) можно представить следующим образом:

ψ(w, Θ) = Γ(Θ)w^∗,

(23)

где

r²

w^∗ = (g₁,... ,g_n2 ,s₁,... ,s_n,1,... ,1,1, . . . , 1)т,

т.е. w∗ - это вектор параметров w, дополненный rn + r2 единицами, а матрица Γ(Θ) ∈

∈ R(n+r2)×(n2+n+nr+r2) имеет следующий вид:

Γ(Θ) = (Δ₁(Θ) Δ₂(Θ)),

где

⎛

⎞

I_n

O_n ... O_n hc o_n o_n ... o_n o_n

⎜Or×n Or×n ... Or×n H or or ... or or⎟

⎜

⎟

⎜

O_n I_n ... O_n o_n hc o_n ... o_n o_n⎟

⎜

⎟

⎜Or×n Or×n ... Or×n or H or ... or or⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

O_n O_n ... I_n o_n o_n o_n ... o_n hc

⎜

⎟

Δ₁(Θ) =

⎜Or×n Or×n ... Or×n or or or ... or H⎟,

⎜

⎟

⎜

O_n O_n ... O_n o_n o_n o_n ... o_n o_n⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

O_n O_n ... O_n o_n o_n o_n ... o_n o_n⎟

⎜

⎟

⎜Or×n Or×n ... Or×n or or or ... or or⎟

⎝

⎠

O_r×n O_r×n ... O_r×n o_r o_r o_r ... o_r o_r

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

541

⎛

⎞

o_n ... o_n

o_n ... o_n ... o_n ... o_n

o_n ... o_n

⎜

o_r ...

o_r

o_r ... o_r ...

o_r ...

o_r

o_r ... o_r

⎟

⎜

⎟

⎜

o_n ...

o_n

o_n ... o_n ...

o_n ...

o_n

o_n ... o_n

⎟

⎜

⎟

⎜

o_r ...

o_r

o_r ... o_r ...

o_r ...

o_r

o_r ... o_r

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

o_n ... o_n

o_n ... o_n ... o_n ... o_n

o_n ... o_n

⎜

⎟

⎜

o_r ...

o_r

o_r ... o_r ...

o_r ...

o_r

o_r ... o_r

⎟

⎜

⎟

⎜q1c1

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

... q₁c_n

⎟

Δ₂(Θ) =

⎜

⎟,

⎜

q₁₁

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

... q₁r ...

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

... q_rc₁ ...

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

⎟

⎜

... q_rc_n

⎟

⎜

⎟

⎜

qr1

⎟

⎝

⎠

... q_rr

здесь O_r×n - нулевая r × n-матрица; очевидно, что

Δ₁(Θ) ∈ R(n+r2)×(n2+n), Δ₂(Θ) ∈ R(n+r2)×(nr+r2).

Введём следующие обозначения: l^∗i = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0)^т - единичный вектор размерно-

сти n + r, i-я компонента которого равна 1, а

(

)т

L^∗i =

On+r ... On+r In+r On+r ... On+r

– единичный блочный вектор-столбец, i-й блок которого - единичная матрица порядка n + r.

Используя представление (23) и введённые обозначения, запишем матрицу Ψ(w, Θ) следу-

ющим образом:

∑

Ψ(w, Θ) = l^∗j(w^∗)^тΓ^т(Θ)L^∗j.

(24)

j=1

Заметим, что множество D^∗ допустимых наборов параметров w^∗ образует вырожденный

параллелотоп размерности n² + n в пространстве Rn2+n+nr+r2 . При этом

D^∗ = Conv {p^∗i : i = 1,2n2+ⁿ},

где вершины p^∗i представляются векторами, содержащими в качестве изменяющихся ком-

понент всевозможные сочетания нижних и верхних границ соответствующих промежутков

[a_ij, a_ij] и

[bⁱ, bⁱ]. Тогда любой вектор w^∗ ∈ D^∗ записывается в виде линейной комбинации

∑

w^∗ =

λ_ip^∗i, λ_i ≥ 0,

λ_i = 1.

(25)

i=1

Из представлений (24) и (25) следует, что

(₂n2+n_∑

)

∑

)т

∑

Ψ(w, Θ) = l^∗

λ_ip^∗

Γ^т(Θ)L^∗j =

λ_il^∗j(p^∗i)^тΓ^т(Θ)L^∗

j=1

i=1

j=1

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

542

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

)

∑

(n+r∑

∑

λ_il^∗j(p^∗i)^тΓ^т(Θ)L^∗

λ_i

l^∗j(p^∗i)^тΓ^т(Θ)L^∗

i=1

j=1

i=1

j=1

Обозначим

∑

Ψ_i(Θ) = l^∗j(p^∗i)^тΓ^т(Θ)L^∗j.

j=1

Таким образом, получаем, что для любого w^∗ ∈ D^∗ имеет место равенство

Ψ(w, Θ) = Conv {Ψ_i(Θ) : i = 1, 2n2+ⁿ}.

(26)

Заметим, что каждую матрицу Ψ_i(Θ) можно представить [3] в виде

Ψ_i(Θ) = A(i)0 + B(i)0ΘC₀,

где

(

)

(

)

(

)

(i)

A(i) O_n×r

O_n×r b

O_r×n I_r×r

A(i)0 =

B(i)0 =

C₀ =

O_r×n O_r×r

I_r×r o_r

c^т

(o_r)^т

Коэффициенты матриц A(i) и векторов b(i) зависят от компонент соответствующих вер-

шин p^∗i.

Сформулируем достаточное условие существования стабилизирующей обратной связи (20)

для системы (19).

Теорема 4. Пусть система матричных неравенств

⎧(

)

⎪

G-¹

A(i)0 + B(i)0ΘC₀

⎨

> 0,

(A(i)0)^т + (C₀)^т(Θ)^т(B(i)0)^т

(27)

⎪

^⎩G > 0, i = 1,2n²+n,

имеет решение (G₀,Θ₀). Тогда регулятор

{

z[(l + 1)T ] = Q₀z[lT ] + q₀y[lT ],

(28)

u[lT ] = H₀z[lT ] + h₀y[lT ],

(

)

Q₀

q₀

где

= Θ₀, стабилизирует систему (19).

H₀

h₀

Доказательство. Действительно, пусть система (27) имеет решение (G₀, Θ₀). Тогда в

силу леммы Шура [3, с. 19], выполняется неравенство

G₀ - Ψтi(Θ₀)G₀Ψ_i(Θ₀) > 0,

из которого следует, что матрица Ψ_i(Θ₀) является шуровской. Отсюда вытекает, что дискрет-

ная система

(

)

(

)

x[(l + 1)T ]

x[lT ]

= Ψ_i(Θ₀)

v[(l + 1)T ]

v[lT ]

асимптотически устойчива.

Рассмотрим теперь для произвольного w^∗ ∈ D^∗ матрицу Ψ(w, Θ₀). В силу (26) имеем

∑

Ψ_i(w,Θ₀) =

λ_iΨ_i(Θ₀), λ_i ≥ 0,

λ_i = 1.

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ

543

Но тогда, используя результаты работы [2], получаем неравенство

G₀ - Ψ^т(w,Θ₀)G₀Ψ(w,Θ₀) > 0,

и, следовательно, система

(

)

(

)

x[(l + 1)T ]

x[lT ]

= Ψ(w,Θ₀)

v[(l + 1)T ]

v[lT ]

асимптотически устойчива. Теорема доказана.

Рассмотрим переключаемую интервальную систему (15) с “точечным” вектором c_σ, т.е.

систему

{

x = [A_σ]x + [b_σ]u,

(29)

y = c_σx, σ ∈ S_T,T.

Пусть переключаемая интервальная система

{

x[(l + 1)T ] = [Λ^∗σ]x[lT ] + [μ^∗σ]u[lT ],

(30)

y[lT ] = c_σx[lT ], σ ∈ [S]_T,T ,

является точной дискретизацией [2] системы (29) и пусть

{

x[(l + 1)T ] = [Λ_i]x[lT ] + [μ_i]u[lT ],

(31)

y[lT ] = c_ix[lT ], i = 1, m,

- различные режимы системы (30).

Замкнув i-й режим (31) (i = 1, 2n2+ⁿ) регулятором (16), получаем

{

x[(l + 1)T ] = ([Λ_i] + [μ_i]hc_i)x[lT ] + [μ_i]Hv[lT ],

(32)

v[(l + 1)T ] = gc_ix[lT ] + Qv[lT ].

По аналогии с системой (22) построим для каждой i-й системы (32) матрицу Ψ_i(w(i), Θ),

где Θ - матрица параметров регулятора (16), а w(i) - вектор параметров, определяемый

интервальными коэффициентами матрицы [Λ_i] и вектора [μ_i]. Далее, используя приведённые

выше рассуждения, построим для каждого i = 1, m множество матриц Ψ(i)l(Θ) (l = 1, n² + n),

выпуклая оболочка которых содержит матрицы Ψ_i(w(i), Θ) для любого допустимого набора

параметров w(i). Теперь заметим, что матрицы Ψ(i)l(Θ) могут быть представлены в виде

Ψ(i)l(Θ) = A(l)0,i + B(l)0,iΘC0,i,

где

(

)

(

)

(

)

(l)

A_i

O_n×r

O_n×r b(l)i

O_r×n I_r×r

A(l)0,i =

B(l)0,i =

C0,i =

O_r×n O_r×r

I_r×r o_r

cтi

(o_r)^т

Из теоремы 4 и результатов работы [2] вытекает, что для переключаемой интервальной

системы (29) имеет место следующее достаточное условие существования стабилизирующей

обратной связи (16).

Теорема 5. Пусть для системы (30) система матричных неравенств

⎧(

)

⎪

G-¹

A(l)0,i + B(l)0,iΘC0,i

⎨

> 0,

(A(l)0,i)^т + Cт0,i(Θ)^т(B(l)0,i)^т

(33)

⎪

^⎩G > 0, i = 1,m, l = 1,2n²+n,

имеет решение (G₀,Θ₀). Тогда регулятор (28) стабилизирует систему (29).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022

544

ФУРСОВ, МОСОЛОВА

В заключение отметим, что решение системы нелинейных матричных неравенств (33) яв-

ляется значительно более сложной задачей, чем решение системы (14). В качестве возможного

подхода к численному решению системы (33) можно использовать методику, приведённую в

работе [3, с. 230].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 22-21-

00162).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фурсов А.С., Мосолова Ю.М., Миняев С.И. Построение систем стабилизации для переключаемых

интервальных объектов с режимами различных порядков // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57.

№ 11. С. 1555-1563.

2. Фурсов А.С., Миняев С.И., Мосолова Ю.М. Синтез цифрового стабилизатора по выходу для пере-

ключаемой интервальной линейной системы // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 11. С. 1545-

1559.

3. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств.

М., 2007.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 18.02.2022 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 02.03.2022 г.

Институт проблем передачи информации

Принята к публикации 09.03.2022 г.

им. А.А. Харкевича, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 58

№4

2022